§2-4 二次函数y=ax2+bx+c的图象(1)y=a(x-h)2和y=a(x+h)2+k的图象和性质

由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数 y=3(x-1)2的图象． 在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图 象．
想一想P42 2
比较函数 y 3x 与y 3x 1的图象
2
2
驶向胜利 的彼岸
⑴完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们之间有什么 关系?
九年级数学(下)第二章 二次函数
4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象(1)函数y=a(x-h)2 和y=a(x-h)2+K的图象和性质
想一想P46 1
函数y=ax²+bx+c的图象
驶向胜利 的彼岸
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经 作过的二次函数的图象有什么关系? 你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2 的形式吗?
直线x=h
在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
位置
开口方向 增减性 最值 开口大小
当x=h时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
当x=h时,最大值为0.
a 越小,开口越大.
做一做P47 13
我思，我进步
驶向胜利 的彼岸
在同一坐标系中作出二次函数y=3x² ,y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2的图象. 二次函数y=3x² ,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什 么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么? 作图看一看．
猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和 y=-3x2的图象的位置和形状. 请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象
2.抛物线y=-3(x1)2和y=-3(x+1)2在x 轴的下方(除顶点外), 它的开口向下,并且 向下无限伸展. y
与y=3x2 的图象有什么关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
y 3x
2
y 3x 1
2
图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
?
二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线 y=-3x² ,y=-3(x-1)2有什么关 系? 它的开口方向,对称轴和 顶点坐标分别是什么?
二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2+2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.
X=1 开口向上,当 X=1时有最小 值:且最小值=2.
议一义P45 17
我思，我进步
驶向胜利 的彼岸
在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x1)2-2,y=-3x² 和y=-3(x-1)2的图象 二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x² ,y=3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的 开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些 值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的 值随x值的增大而减小?
1.抛物线y=a(xh)2的顶点是(h,0), 对称轴是平行于y 轴的直线x=h.
二次函数y=a(x-h)2的性质
X=h
y ax
X=h
2
4. a 越大,开口越小, a 越小,开口越大.
y a x h
2
3.当a>0时,在对称轴 (x=h)的左侧,y随着x的 增大而减小;在对称轴 (x=h)右侧,y随着x的增 大而增大;当x=h时函数 y的值最小(是0). 当a<0时,在对称轴(x=h) 的左侧,y随着x的增大而 增大;在对称轴(x=h)的 右侧,y随着x增大而减小; 当x=h时,函数y的值最 大(是0).
y 3x 2
X=-1 X=1
1)2的顶点是(1,0);对 称轴是直线:x=1;抛 物线y=-3(x+1)2的 顶点是(-1,0);对称轴 是直线:x=-1.
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看 作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平 移了1个单位.
2 2
-4
-3 27
-2 12 27
-1 3 12 0
0 0 3 3
1 3 0 12
2 12 3 27
3 27 12
4
27
27
12
3
1. 函 数 y=3(x+1)2 的 图 象
与 y=3x2 和 y=3(x-1)2 的 图
象有什么关系?它是轴对称 图形吗?它的对称轴和顶点 坐标分别是什么?
二次函数y=3(x+1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向左平移了1 个单位.
x -3 27 -2 12 -1 3 0 0 1 3 2 12 3 27 4 48
y 3x 2
x 12 y 3
48
27
12
3
0
3
12
27
(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2 的图象．
做一做P46 3
观察图象,回答问题
y 3x
2
驶向胜利 的彼岸
y 3x 1
2 2
-4
-3
27
-2
12 27 29
-1
3 12 14
0
0 3 5
1
3 0 2
2
12 3 5
3
27 12 14
4
27 29
y 3x 1 2
二次函数y=3(x-1)2+2的
y 3x 2
图象和抛物线y=3x² ,y=3(x1)2有什么关系?它的开口 方向,对称轴和顶点坐标分 别是什么?
y 3x 1
y 3x 2
2
y 3x 1
2
图象是轴对称图形. 对称轴是平行于 y轴的直线:x= -1. 顶点坐标 是点(-1,0).
二次项系数相同 a>0,开口都向上.
想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样?
2.x取哪些值时,函数 2的值随x值的增 y 3 x 12 y=3(x+1) 大而增大?x取哪些值时, 函数y=3(x+1)2的值随x的 增大而减少？
顶点是(1,2).
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中 作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?
二次函数y=3(x-1)2的
y 2 x 2 1
图象与抛物线y=3x2和 y=3(x-1)2有何关系?它的 开口方向、对称轴和顶点 坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.
二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴
y a x h
2
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： y=a(x-h)2 (a>0) 抛物线
顶点坐标 对称轴
y=a(x-h)2 (a<0)
（h，0）
（h，0）
直线x=h 在x轴的上方(除顶点外) 向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
驶向胜利 的彼岸
1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它 与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是 轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增 大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随 x的增大而减少？
二次函数y=a(x-h)2 与y=ax2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=ax2整体沿x轴 平移了h 个单位(当 h>0时,向右移 h 个单 位;当h<0时,向左移 h 个单位)得到的.
2.当a>0时,抛 物线y=a(x-h)2 在x轴的上方 (除顶点外),它 的开口向上,并 且向上无限伸 展; 当a<0时,抛物 线y=a(x-h)2在 x轴的下方(除 顶点外),它的 开口向下,并且 向下无限伸展.
2
(3) 函 数 y=3(x-1)2 的 图象与y=3x2 的图象有 什么关系?它是轴对称 图形吗?它的对称轴和 顶点坐标分别是什么?
?
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的 增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的 值随x的增大而减少？
(3)函数y=3(x-1)2的图象
X=1
想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)22的图象和抛物线y=-3x² ,y=-3(x+1)2
在对称轴(直线:x=-1)左侧 (即x<-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而减少,. 顶点是最低点,函数 有最小值.当x=-1时, 最小值是0.. 二次函数y=3(x+1)2 与y=3x2的增减性类似.