第二章2传递函数.ppt
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第二章 传递函数
5. 振荡环节
nt
第二章 传递函数
常见振荡环节的实例： (1) 机械位移系统 Y(s) 1 G(s)= F(s) = ms2+fs+k (2) 他激直流电动机 1/Ce N(s) G(s)= U(s) = T T s2+T s+1 a m m (3) RLC电路 Uc(s) 1 G(s)= U (s) = LCs2+RCs+1 r
Δ
0
1 R(s)= S
t C(s)= TS ·1 S G(s) =RC s
第二章 传递函数
液位系统 d[h0+h(t)] =[qi0+qi(t)]-[qo0+qo(t)] A dt qi—流入箱体 平衡时：qi0=qo0 其中: 流量增量 qi0 +qi 故 qi0—流入箱体 dh(t)流出箱体 qo =q (t)-q A dt — 的流量 o(t) i 流量增量 qoh—液面高度 (t)的流量公式 h0+h o0—流出箱体 的流量 增量 qo(t)=a h(t) qo0+qo A—dh(t) 箱体面积 h0—液面高度 +a h(t) 得: A 根据物料平衡关系=qi(t) dt
实例
水位控制系统
V1
θo
控制阀
浮球
RPB Q1 UB H 水箱 V2 Q2用水量
RPA
K1
变速箱
θm
伺服电动机
UA 控 制 器 放 大 器
△U
Ua
SM
第二章 传递函数
1 c(t)=1- e Sin(ω 2 单位阶跃响应： 微分方程： 2 dt+β) 2 ωn T 1-ζ G(s) = 2 d2c(t) ζ ζ 1 dc(t) = S2+2ζ ω n S+ω n2 2 2 S + 单位阶跃响应曲线 = r(t) S+ T +2T T 2 + c (t) 2 T dt dt 1 r(t) —无阻尼自然振荡频率 ωn = c(t) ζ — 阻尼比 T — 时间常数 T c(t) 1 振荡环节方框图 传递函数： r(t) R(S) C(s) ωn2 1 C(S) = 2 22 G(s) = R(s)+2ξω S+ω + 2T ζ S+ 1 2 TS n n 0 S t
第二章2传函
n
n 1
y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初 始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系 统传递函数为：
b0 s m b1s m1 bm1s bm Y ( s) G ( s) n n 1 R( s) a0 s a1s an1s an
d Cm lim ( s s1 ) F ( s ) Cm 1 lim [( s s1 ) m F ( s )] s s1 s s1 ds
m
Cm j
1 dj lim j [( s s1 ) m F ( s )] j! s s1 ds
1 d ( m 1) C1 lim ( m 1) [( s s1 ) m F ( s )] (m 1)! s s1 ds f (t ) L1[ F ( s )] Cm Cm 1 m 2 m 1 [ t t (m 1)! (m 2)! C2t C1 ]e s1t
线性微分方程
性能指标
傅 氏 变 换
拉氏变换
传递函数 S=jω
频率特性
计算
频率响应
拉氏反变换
按定义求拉氏反变换很困难，一般常用部分分 式法计算：
F (s )
分解
部分分式
查表
原函数
F (s ) 的一般形式为 B ( s ) b0 s m b1s m 1 bm 1s bm F (s) n A( s ) s a1s n 1 an 1s an
Uo ( s) [例] 求如图所示电路的传递函数 U i ( s )
C i1 R1 i2 R2
[解]：解法一：列出回路电压方程和输 出节点方程
1 i1dt R1i1 R1i2 ui R2 i2 uO
数学模型-传递函数
1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
自控理论 2-2传递函数
当 ui ( t ) = 1( t )时,
− t 1 −1 τs 则u0 ( t ) = L ⋅ =e τ τs + 1 s 1
图2-8 RC电路 电路
当 τ << 1 时，可近似认为 G ( s ) ≈ τs
5. 振荡环节
d 2 c( t ) dc( t ) 2 T + 2ζT + c( t ) = Kr ( t ) 2 dt dt
运放 2
U 2 ( s ) τs + 1 G2 ( s) = = U 1 ( s) Ts
( 2 − 38)
式中
τ = R3C
T = R2C
功放
U a ( s) G3 ( s) = = K2 U 2 ( s)
( 2 − 39)
附:电枢控制直流电动机的微分方程 电枢控制直流电动机的微分方程
dmc d 2n dn TaTm 2 + Tm + n = K u ua − K m (Ta + mc ) dt dt dt La ; 电磁时间常数 Ta = Ra 传递系数 1 Ku = Ce 机电时间常数 Tm Km = J ( 2 − 10)
m m −1
∏ (s − z
j =1 n i =1
m
j
)
∏ (s − p )
i
式中
z j ( j = 1 , 2 L m )为传递函数的零点； 为传递函数的零点； p i ( i = 1 , 2 L n )为传递函数的极点； 为传递函数的极点； K 1 = b0 为传递系数或根轨迹增 益。
② 时间常数表达式
n≥m
当初始条件均为零时，两边取拉氏变换 当初始条件均为零时，
(s
第二章 2-2传递函数
6
3
为了方便，常把传递函数分解为一次因式的乘积，
式（2-51）中的K常称为传递函数的增益或传递系 数（放大系数）。
4
二、传递函数的零、极点
式（2-52）中zj (j=1.2……m)为分子多项式的根，称为传 递函数的零点。 Pi(1.2……n)为分母多项式的根，称为传递函数的极点。 传递函数的零、极点可以是实数或零，也可以是复数，由 于传递函数分子、分母多项式的系数都是实数，故若有复数 零极点时，它们必是成对共轭的。 传递函数的分母多项式就是相应微分方程式 (2-49)的特 征多项式，令该分母多项式等于零，就可得到相应微分方程 的特征方程。 在特征方程中，s最高阶次等于输出量最高阶导数的阶次， 如果s的最高阶次等于n，这种系统就称为n阶系统。
1
一、传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系 统的传递函数。
若线性定常系统的微分方程为：
在初始条件为零时，对（2-49）进行拉氏变换，得
2
根据传递函数的定义，描述该线性定常 系统的传递函数为：
可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出的。 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用下图表示， 输出是由输入经过G(s)的传递而得到的，因此称G(s)为传递 函数。因为传递函数是在零初始条件下定义的，故在初始条 件为零时，它才能完全表征系统的动态性能。
§2-2传递函数
控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性能的数 学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作用及初始条 件下系统的输出响应，并可通过响应曲线直观地反映出系 统的动态过程。 但系统的参数或结构形式有变化，微分方程及其解都会 同时变化，不便于对系统进行分析与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统的另一 种数学模型 ——传递函数。 它不仅可以表征系统的动态特性，而且可以方便地研究 系统的参数或结构的变化对系统性能所产生的影响。 在经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是 在传递函数基础上建立起来的。
3
为了方便，常把传递函数分解为一次因式的乘积，
式（2-51）中的K常称为传递函数的增益或传递系 数（放大系数）。
4
二、传递函数的零、极点
式（2-52）中zj (j=1.2……m)为分子多项式的根，称为传 递函数的零点。 Pi(1.2……n)为分母多项式的根，称为传递函数的极点。 传递函数的零、极点可以是实数或零，也可以是复数，由 于传递函数分子、分母多项式的系数都是实数，故若有复数 零极点时，它们必是成对共轭的。 传递函数的分母多项式就是相应微分方程式 (2-49)的特 征多项式，令该分母多项式等于零，就可得到相应微分方程 的特征方程。 在特征方程中，s最高阶次等于输出量最高阶导数的阶次， 如果s的最高阶次等于n，这种系统就称为n阶系统。
1
一、传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系 统的传递函数。
若线性定常系统的微分方程为：
在初始条件为零时，对（2-49）进行拉氏变换，得
2
根据传递函数的定义，描述该线性定常 系统的传递函数为：
可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出的。 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用下图表示， 输出是由输入经过G(s)的传递而得到的，因此称G(s)为传递 函数。因为传递函数是在零初始条件下定义的，故在初始条 件为零时，它才能完全表征系统的动态性能。
§2-2传递函数
控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性能的数 学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作用及初始条 件下系统的输出响应，并可通过响应曲线直观地反映出系 统的动态过程。 但系统的参数或结构形式有变化，微分方程及其解都会 同时变化，不便于对系统进行分析与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统的另一 种数学模型 ——传递函数。 它不仅可以表征系统的动态特性，而且可以方便地研究 系统的参数或结构的变化对系统性能所产生的影响。 在经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是 在传递函数基础上建立起来的。
《控制工程》传递函数
1．系统由单变量非线性函数所描述
df 1 d2 f Dx + Dx 2 f ( x) f ( x0 ) + dx x 2! dx 2 0 x0 1 d3 f + 3! dx 3 D x 3 + LL f ( x0 ) +
y= f (x) y(t):输出 x(t):输入 df Dx dx x 0 df Dx dx x 0
1、机械平移系统（即m、c、k系统）
第二章 传递函数
原则：根据牛二定律列写相应的动力学方程
y(t)
质量m
m
Fm m(t ) y
y2
弹簧k
y1
k
压弹簧：Fk=k(y1-y2) 拉弹簧： Fk=k(y2-y1)
压：说明y1要大于y2，这才有压的效果 其中y1与y2之差为弹簧的净形变量
阻尼c
y1 c y2
( ( an X 0n) (t ) + an1 X 0n 1) (t ) + … + a0 X 0 (t )
X0(t)——系统输出
bm X i( m) (t ) + bm1 X i( m1) + … + b0 X i (t )
Xi(t)——系统输入
3．根据系统微分方程对系统进行分类 1）线性系统：方程只包含变量X0(t)、Xi(t)的各阶导数 a．线性定常系统：an…a0 ；bm…b0为常数 b．线性时变系统：an…a0 ；bm…b0为时间的函数
第二章 传递函数
一、定义
定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入 输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统的微分方程为：
a n x(0n)( t ) + a n 1 x(0n 1)( t ) + L + a0 x0( t )
2第二章 2控制系统的传递函数模型
(S Z
i 1 n j 1
m
i
)
(S P )
j
Zi (i=1,2,…,m) 是分子多项式的根，称为传递函数的零点
pj (j=1,2,…,n) 是分母多项式的根，称为传递函数的极点
K *=b0/a0
称为传递函数的传递系数（根轨迹增益）
传递函数的零极分布图
为了更直观、更形象地 p2 × p1× z1
4、理想微分环节
微分方程 c(t)= Tdr(t)/dt 传递函数 G(s)=Ts 特点： 输出量正比输入量变化的速度，能 预示输入信号的变化趋势。 实例：集成运放的微分运算，测速发电 机输出电压与输入角度间的传递函数即为 微分环节。
5、一阶微分环节（或称比例微分环节）
微分方程 c(t)= Tdr(t)/dt + r(t) 传递函数 G(s)=Ts+1 特点： 输出量既包含与输入量成正比的量， 又包含输入信号的变化趋势。 实例：集成运放的比例微分运算等。
0 1 n 1 n
G( s)
例1、试求RC无源网络的传递函数
uo(s)/u (s)
i
解答：
RC网络的微分 方程表示为
Ui
R1
R2
i (t ) C 1
C2
Uo
d 2 uo ( t ) duo ( t ) R1 R2 C 1C 2 ( R1C 1 R1C 2 R2 C 2 ) 2 dt dt uo ( t ) ui ( t )
主要内容：
第一讲、 时域数学模型
第二讲、 复域数学模型 第三讲、 方框图与信号流图
本章要求：
一、了解控制系统数学模型的建立方法及数学 模型的表示形式。 二、掌握控制系统时域、复域数学模型的建立
2-2 传递函数及方块图
2－2
传递函数
传递函数 是经典控制最基本，最重要的概念之一。 1. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变
换和输入量的拉氏变换之比。 设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：
L[c(t)] C(s) G(s) L[r(t)] R(s)
式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式 R(s)=L[r(t)]——输入量的拉氏变换式。 那么 C(s)=R(s)G(s) 控制系统的时间响应c(t)等于C(s)的拉氏反变换：
19
2－3
方块图
4、误差传递函数 a) 在控制量作用下系统的误差传递函数： 假设N(s)＝0，则
E ( s ) R( s ) C ( s ) H ( s ) C ( s) H ( s) 1 R(s) R( s ) R( s )
G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 1 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 G1 (s)G2 ( s) H ( s)
C(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
结论： 具有负反馈结构环节传递函数等于前向通 的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反 馈通道传变换方式 A +
原方块图 + B C + B + C A BC
等效方块图
A
+ + C
+ _
A BC
1
比较点交换
X1 (s) X 2 (s) C(s)
所以
G(s)
C(s) X 1 (s) X 2 (s) X 1 (s) X 2 (s) R(s) R(s) R(s) R(s)
G 1 (s) G 2 (s)
传递函数
传递函数 是经典控制最基本，最重要的概念之一。 1. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变
换和输入量的拉氏变换之比。 设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：
L[c(t)] C(s) G(s) L[r(t)] R(s)
式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式 R(s)=L[r(t)]——输入量的拉氏变换式。 那么 C(s)=R(s)G(s) 控制系统的时间响应c(t)等于C(s)的拉氏反变换：
19
2－3
方块图
4、误差传递函数 a) 在控制量作用下系统的误差传递函数： 假设N(s)＝0，则
E ( s ) R( s ) C ( s ) H ( s ) C ( s) H ( s) 1 R(s) R( s ) R( s )
G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 1 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 G1 (s)G2 ( s) H ( s)
C(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
结论： 具有负反馈结构环节传递函数等于前向通 的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反 馈通道传变换方式 A +
原方块图 + B C + B + C A BC
等效方块图
A
+ + C
+ _
A BC
1
比较点交换
X1 (s) X 2 (s) C(s)
所以
G(s)
C(s) X 1 (s) X 2 (s) X 1 (s) X 2 (s) R(s) R(s) R(s) R(s)
G 1 (s) G 2 (s)
2第二节传递函数
第二节控制系统的传递函数传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。
利用传递函数，在系统的分析和综合中可解决如下问题：不必求解微分方程就可以研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
可以研究系统参数变化或结构变化对系统动态过程的影响，因而使分析系统的问题大为简化。
可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求，使综合问题易于实现。
一、传递函数的基本概念令初始值为零，将上式求拉氏变换，得)()...()()...(01110111s X b s b s b s b s Y a s a s a s a m m m m n n n n ++++=++++----当传递函数和输入已知时，Y (s )=G (s ) X (s )。
通过拉氏反变换可求传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
01110111......)()()(a s a s a s a b s b s b s b s X s Y s G n n n n m m m m ++++++++==----称为元件和系统的传递函数)~0,~0(,m j n i b a j i ==式中：x (t ) —输入，y (t )—输出为常系数)()(...)()()()(...)()(01)1(1)(01)1(1)(t x b t x b t x b t x b t y a t y a t ya t y a m m m m n n n n +'+++=+'+++----设系统或元件的微分方程为：[关于传递函数的几点说明]⏹传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。
且与系统的动态特性一一对应。
⏹传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。
物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。
而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。
⏹传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。
自动控制原理 第二章2
有关。
▪ 性质4 传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，
且具有复变量函数的所有性质。（物理可实现）
传递函数的零点和极点是实数或共轭复数。
5
一、 传递函数的定义和主要性质
自动控制原理
▪ 性质5 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提
供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理 系统具有完全相同的传递函数。
dt
传递函数： G(s)
1
Ts 1
Ts 1
RC充电电路
1
i
R
G(s) U o (s) Cs
Ui (s) R 1
ui
C
Cs
C(s)
uo
1 1 RCs 1 Ts 1
时间常数T＝RC，当T小时，充电快
11
例： 单容水槽（水位控制系统的被控对象） 自动控制原理
Qi 水流入量 Q0 水流出量 u 调节阀开度 h 水位高度 Qi Qi
统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
传递函数
输出信号的拉氏变换 输入信号的拉氏变换
零初始条件
G(s) C(s) R(s)
1
一、 传递函数的定义和主要性质
自动控制原理
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
dn
d n1
d
a0 dt n c(t) a1 dt n1 c(t) an1 dt c(t) anc(t)
L
1
[G(s)]=
g(t)
6
二、基本环节及其传递函数
自动控制原理
1、比例环节（又叫放大环节）
R(s)
C(s)
K
特 点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。
运动方程:
▪ 性质4 传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，
且具有复变量函数的所有性质。（物理可实现）
传递函数的零点和极点是实数或共轭复数。
5
一、 传递函数的定义和主要性质
自动控制原理
▪ 性质5 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提
供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理 系统具有完全相同的传递函数。
dt
传递函数： G(s)
1
Ts 1
Ts 1
RC充电电路
1
i
R
G(s) U o (s) Cs
Ui (s) R 1
ui
C
Cs
C(s)
uo
1 1 RCs 1 Ts 1
时间常数T＝RC，当T小时，充电快
11
例： 单容水槽（水位控制系统的被控对象） 自动控制原理
Qi 水流入量 Q0 水流出量 u 调节阀开度 h 水位高度 Qi Qi
统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
传递函数
输出信号的拉氏变换 输入信号的拉氏变换
零初始条件
G(s) C(s) R(s)
1
一、 传递函数的定义和主要性质
自动控制原理
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
dn
d n1
d
a0 dt n c(t) a1 dt n1 c(t) an1 dt c(t) anc(t)
L
1
[G(s)]=
g(t)
6
二、基本环节及其传递函数
自动控制原理
1、比例环节（又叫放大环节）
R(s)
C(s)
K
特 点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。
运动方程:
2第二节传递函数解析
第二节控制系统的传递函数传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。
利用传递函数，在系统的分析和综合中可解决如下问题：不必求解微分方程就可以研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
可以研究系统参数变化或结构变化对系统动态过程的影响，因而使分析系统的问题大为简化。
可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求，使综合问题易于实现。
一、传递函数的基本概念令初始值为零，将上式求拉氏变换，得)()...()()...(01110111s X b s b s b s b s Y a s a s a s a m m m m n n n n ++++=++++----当传递函数和输入已知时，Y (s )=G (s ) X (s )。
通过拉氏反变换可求传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
01110111......)()()(a s a s a s a b s b s b s b s X s Y s G n n n n m m m m ++++++++==----称为元件和系统的传递函数)~0,~0(,m j n i b a j i ==式中：x (t ) — 输入，y (t ) — 输出为常系数 )()(...)()()()(...)()(01)1(1)(01)1(1)(t x b t x b t x b t x b t y a t y a t ya t y a m m m m n n n n +'+++=+'+++----设系统或元件的微分方程为：[关于传递函数的几点说明]⏹传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。
且与系统的动态特性一一对应。
⏹传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。
物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。
而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。
第二章 2-2 复数域数学模型-传递函数
K bm 为系统增益（放大系数）
an
返回
传递函数的第三种表达形式 各项提取b0
G(s)
b0sm b1sm1 a0sn a1sn1
bm-1s bm a n-1s a n
因式分解
b0 (s z1)(s z2 ) a0 (s p1)(s p2 )
m
各项提取a0
(s zm ) (s pn )
t 0
s
(6)时间比例尺(相似)定理
L[ f ( t )] aF(as) a
(7)位移定理
a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延
迟 ，则其象函数应乘以 es 。
L[ f (t )] es F (s)
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，
原函数应乘以e at。即
L[eat f (t)] F (s a)
(1)例1 求单位脉冲函数 f (t) (t) 的拉氏变换。
0
F(s) (t)estdt (t)es0dt es0 (t)dt es0 1
0
0
0
(2)例2 求阶跃函数 f (t) R 1(t)的拉氏变换。
F (s) Restdt R est R
0
s 0s
单位阶跃函数 f (t) 1(t) 的拉氏变换为 1 。
第二章 控制系统的数学模型
第二节 复数域数学模型 —传递函数
思考？
建立系统微分方程的目的是什么？ 如何求解得到的微分方程式？ 对于高阶线性微分方程如何求解？ 使用拉普拉斯变换法解线性微分方程有哪些 优势？
优势：
在求解方法上：计算简单 (把微积分运算 变换成代数运算或查表) ，容易求出系统对 输入的响应。
代入初始值变换形式可得
Y (s)
3第二章(举例2)传递函数及结构图变换
K ( i s 1) ( l s 2 l l s 1) s
v
s
e
s
(T j s 1) (Tk s 2 k Tk s 1)
2 2 j 1 k 1
i 1 d
l 1 e
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理
装置或元件。
C 2 ( s) G2 ( s)R( s)
2. 并联结构的等效变换
• 等 效 变 换 证 明 推 导
R(s) G1(s) G2(s)
C1(s)
C(s)
C2(s)
C ( s ) [G 1 ( s ) G 2 ( s )] R ( s ) C (s) R(s) G1 ( s ) G 2 ( s )
K ——环节的放大系数 T ——环节的时间常数 ——环节的阻尼比
d x r (t ) dt
2
2
2
dx r ( t ) dt
x r ( t )]
1 两个串联的一阶微分环节
延滞环节 例1：水箱进水管的延滞 传递函数：
G (s) X c (s) X r (s) e
s
运动方程式：
出值。
延迟环节从输入开始之初，在0 ~τ时间内没 有输出，但t=τ之后，输出完全等于输入。
水箱进水管的延滞
系统函数方块图
系统函数方块图是一种数学模型，采用
它将更便于求传递函数，同时能形 象直观地表明输入信号在系统或元 件中的传递过程。
1.
串联结构的等效变换（１）
• 串联方块图
R(s)
G1(s)
传递函数
传递函数的概念与定义
2013-2传递函数
a0sn Xc s a1sn1Xc s b0sm Xr s b1sm1X r s
an1sXc s an Xc s bm1sXr s bm X r s
Xc
(s)
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
Xr (s)
W
s
Xc Xr
s s
A0 s
s
A1 1/T
A0
KT s(s 1 T)
s s0
K
A1
K /T s(s 1/
T
)
(s
1
/
T
)
s1
/
T
K
X
c
(s)
K
1 s
(s
1 1/
T
)
e at
惯性环节的单位阶跃响应
X
c
(s)K1 s源自(s1 1/T
)
求拉氏反变换得
xc (t) K (1 et /T ), t 0
二指输入信号作用于系统之前系统是
静止的，即t= 0时 ，系统的输出量及各
阶导数为零。
进行时域分析：需要求解微分方程。 进行复域分析：需要求解系统的传递函数。 许多情况下，传递函数是能完全反映系统动 态性能的。 这两项求解，更有效的方法是对微分方程进 行拉氏变换。
线性定常微分方程求解:
微分方程求解方法：
s( 1 s 1)(s 1)
尾1标准型
22
2
K 2
增益！！
2.3.2 典型环节的传递函数及暂态特性
（1） 比例环节
1 R1
xr
xc
1 R2
xc
R2 R1
xr
控制工程基础4-第2章 (数学模型-2：传递函数)
第三节 传递函数
拉氏变换可以简化线性微分方 程的求解。还可将线性定常微分方 程转换为复数S域内的数学模型— 传递函数。
一、传递函数的概念
二、典型环节的传递函数
一、 传递函数概念
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 r(t) c(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
R(s)
G1(s)+G2(s)
C(s)
+ G2(s) C2(s)
n C1(s)=R(s)G1(s) C2(s)=R(s)G2(s) G (s)=Σ Gi (s) n个环节的并联 i=1 C(s)=C1(s)+C2(s) =R(s)G1(s)+R(s)G2(s) C(s) =G (s)+G (s) G(s)= R(s) 1 等效 2
2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。
3） 传递函数为复变量S 的有理分式。
4） 传递函数是在零初始条件下定义 的，不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。
二、 基本环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很 大。但若从系统的数学模型来看，一 般可将自动控制系统的数学模型看作 由若干个典型环节所组成。研究和掌 握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
结构图特点
• 结构图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整 个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定 量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来） • 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能， 但不能反映非零条件下的动态性能 • 结构图最重要的作用：计算整个系统的传函 • 对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到 的系统传函是确定唯一的. • 结构图中方块≠实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至 整个系统
拉氏变换可以简化线性微分方 程的求解。还可将线性定常微分方 程转换为复数S域内的数学模型— 传递函数。
一、传递函数的概念
二、典型环节的传递函数
一、 传递函数概念
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 r(t) c(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
R(s)
G1(s)+G2(s)
C(s)
+ G2(s) C2(s)
n C1(s)=R(s)G1(s) C2(s)=R(s)G2(s) G (s)=Σ Gi (s) n个环节的并联 i=1 C(s)=C1(s)+C2(s) =R(s)G1(s)+R(s)G2(s) C(s) =G (s)+G (s) G(s)= R(s) 1 等效 2
2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。
3） 传递函数为复变量S 的有理分式。
4） 传递函数是在零初始条件下定义 的，不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。
二、 基本环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很 大。但若从系统的数学模型来看，一 般可将自动控制系统的数学模型看作 由若干个典型环节所组成。研究和掌 握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
结构图特点
• 结构图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整 个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定 量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来） • 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能， 但不能反映非零条件下的动态性能 • 结构图最重要的作用：计算整个系统的传函 • 对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到 的系统传函是确定唯一的. • 结构图中方块≠实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至 整个系统
自动控制理论第二章传递函数_图文
解：前向通路4条 独立回路3个
§2.6 一般反馈控制系统
传递函数的各种术语 误差传函 扰动传函 一般控制作用
1. 一般控制系统
前向通道传函 闭环系统的开环传函 系统闭环传递函数 系统在给定作用下的输出
1、由系统输入到系统输出端的信号通路定义为系统 前向主通路(道)[简称主通路或前向通路]
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
③引出点(测量点)：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
④比较点(综合点)：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
梅逊公式
回路总增益 (闭环传函)
第i条前向通 道余子式
第i个前向 通道增益
特征式
例：三级RC滤波网络如
图所示，求传递函数G(s)。
解： 前向通路1条 独立回路5个
两两不接触回路6个
三三不接触回路 特征式 余子式 传递函数
例：试求取图示系统的传递函数
解：前向通路3条
独立回路2个
例：系统结构图如图所示，试求其传递函数
积分器框图
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
电压的传递函数
三、纯微分环节
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率 。
微分方程 传递函数
测速发电机
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程
传递函数
运算放大器
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的 过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而 最终趋于稳定值。
§2.6 一般反馈控制系统
传递函数的各种术语 误差传函 扰动传函 一般控制作用
1. 一般控制系统
前向通道传函 闭环系统的开环传函 系统闭环传递函数 系统在给定作用下的输出
1、由系统输入到系统输出端的信号通路定义为系统 前向主通路(道)[简称主通路或前向通路]
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
③引出点(测量点)：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
④比较点(综合点)：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
梅逊公式
回路总增益 (闭环传函)
第i条前向通 道余子式
第i个前向 通道增益
特征式
例：三级RC滤波网络如
图所示，求传递函数G(s)。
解： 前向通路1条 独立回路5个
两两不接触回路6个
三三不接触回路 特征式 余子式 传递函数
例：试求取图示系统的传递函数
解：前向通路3条
独立回路2个
例：系统结构图如图所示，试求其传递函数
积分器框图
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
电压的传递函数
三、纯微分环节
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率 。
微分方程 传递函数
测速发电机
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程
传递函数
运算放大器
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的 过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而 最终趋于稳定值。
《控制工程》传递函数解析PPT课件
m
.. y(t
)
+
c
. y(t
)
+
k
y
(t)
f (t)
令初始条件均为零， 方程两边取拉氏变换
k c
第二章 传递函数
y(t)
m
f(t)
(ms 2 + cs + k ) Y( s ) F( s )
∴
G(s)
Y(s) F(s)
ms2
1 + cs
+
k
-
图2-5
例2 ： L、R、C 电路系统
R
L
u1(t)
则该系统的传递函数 G(S) 为：
G(s)
X0 (s) Xi (s)
bms m ansn
+ bm1s m1 + L + s0 + an1s n1 + L + a0
-
（n≥m）
传递函数方框图：
Xi(s) G（s）
X0(s)
第二章 传递函数
求传递函数的步骤：
1）列出系统微分方程（非线性方程需线性化） 2）假设全部初始条件均为零，对微分方程进行拉氏变换
系统综合设计的基础，因此，十分重要。
-
一、定义
第二章 传递函数
定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入 输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变
换与输入量的拉氏变换之比。
设线性定常系统的微分方程为：
an x(0n)( t) + an1x(0n1)( t) + L + a0 x0( t)
bm x(i m)( t)
第二章 传递函数
第二章 传递函数
动态结构图第二章(2)动态结构图
Ua (s) Ra Ia (s) LasIa (s) Eb (s)
Mm (s) CmIa (s)
Eb (s) Kbsm (s)
Js2 m(s) Mm fsm(s)
c
(s)
1
i
m
(s)
r (s)
e (s) K s Us(s) c (s)
K Ua (s) a
I 1
Las Ra
a (s) Cm Mm(s)
1
If
(s)
1 2
R0
U f (s)
1
C0s C0s
1
2 1
2
R0 R0
C0s
C0
s
1 2
R0
U f (s)
R0
Uf
(s)
1
1
1 4
R0C0
s
1 T0s
R0
式中：T0
1 4
R0C0
1 R1C1
30
• 比较环节和速度调节器环节的结构图
整理得 式中
Uk
s
KC
1 1s 1s
Ur
U f
s
1
3、按照信号的传递方向把各方框图依次连接 起来，就构成了系统结构图。
12
举例说明系统动态结构图的绘制
例1 以机电随动系统为例，如下图所示
13
由典型元部件 的传函得其象 方程组如下：
e (s) r (s) c (s) Us (s) Kse (s)
Ua (s) KaUs (s) Ua (s) RaIa (s) LasIa (s)
10
三、系统动态结构图的绘制
绘制原则：
按照动态结构图的基本连接形式，构 成系统的各个环节，连接成系统的动 态结构图。
Mm (s) CmIa (s)
Eb (s) Kbsm (s)
Js2 m(s) Mm fsm(s)
c
(s)
1
i
m
(s)
r (s)
e (s) K s Us(s) c (s)
K Ua (s) a
I 1
Las Ra
a (s) Cm Mm(s)
1
If
(s)
1 2
R0
U f (s)
1
C0s C0s
1
2 1
2
R0 R0
C0s
C0
s
1 2
R0
U f (s)
R0
Uf
(s)
1
1
1 4
R0C0
s
1 T0s
R0
式中：T0
1 4
R0C0
1 R1C1
30
• 比较环节和速度调节器环节的结构图
整理得 式中
Uk
s
KC
1 1s 1s
Ur
U f
s
1
3、按照信号的传递方向把各方框图依次连接 起来，就构成了系统结构图。
12
举例说明系统动态结构图的绘制
例1 以机电随动系统为例，如下图所示
13
由典型元部件 的传函得其象 方程组如下：
e (s) r (s) c (s) Us (s) Kse (s)
Ua (s) KaUs (s) Ua (s) RaIa (s) LasIa (s)
10
三、系统动态结构图的绘制
绘制原则：
按照动态结构图的基本连接形式，构 成系统的各个环节，连接成系统的动 态结构图。
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jik 07
10 1
102
8
5.Bode图的共同规律 图的共同规律 典型环节
dB
(1)低频渐近线斜率 ×(-20)dB/dec； 低频渐近线斜率=ν× 低频渐近线斜率 ； 相位起始角=ν× 相位起始角 ×(-90o) 180 (2)“跨过导前 跨过导前+20，跨过惯性 ， 45 跨过导前 ，跨过惯性-20， 90 0 跨过二阶-40”； 跨过二阶 ； - 45 - 90 (3)高频渐近线斜率 (3)高频渐近线斜率= 高频渐近线斜率= - 180 (n-m)×(-20)dB/dec, × 相位收敛 收敛角 相位收敛角=(n-m)×(-90o) 九.应用实例 应用实例 1.三种数学模型的关系 三种数学模型的关系
jik 07
11
Page: 12
小结：1.Nyquist图的作法： 小结： 图的作法： 图的作法
G ( j 0) , ∠G ( jω )
→ 特殊点 G ( jω n ) , ∠G ( jω n ) →
起点 经历的象限 终点
G ( j∞) ,∠G ( j∞)
2.Bode图的作法： 图的作法： 图的作法 各环节的Bode图（转折频率、斜率、相位） ①各环节的 图 转折频率、斜率、相位） 叠加方法：幅频：斜率相加与垂直移动； ②叠加方法：幅频：斜率相加与垂直移动； 相频：纵坐标相加。 相频：纵坐标相加。 跨过导前+20，跨过惯性 ，跨过惯性 ③“跨过导前 跨过导前 ，跨过惯性-20，跨过惯性-40”； ； 微分 3.三种数学模型的关系 三种数学模型的关系 p p 方程 作业：复习： 作业：复习：P66～P72; ～ jω s 系统 预习： 预习：P76～P81; ～ 传递 频率 习题：2.13(2)、(5)(渐近线 函数 s jω 特性 习题： 、 jik 07渐近线) 渐近线 12
Page: 1
八．频率特性图的一般作法 m
K ∏ (1 + τ i s) 1.系统的型 系统的型 1 G ( s) = ni =ν 传递函数： 传递函数： −
j =1
sν ∏ (1 + T j s )
ν=0： 0型系统 ： 型系统 ν=1：Ⅰ型系统 ： ν=2：Ⅱ型系统 ：
K ∏ (1 + jτ iω ) ( jω )ν ∏ (1 + jT jω )
u (ω)
纯惯性开节 1 G (s) = s( s + 1)(2 s + 1) 带延时的 1 惯性开节 G ( jω ) = jω (1 + jω )(1 + j 2ω ) −3 1 − 2ω 2 (= −j ) 2 2 2 2 (1 + ω )(1 + 4ω ) ω (1 + ω )(1 + 4ω ) 1 G ( jω ) = ∠G ( jω ) = -90o − tg −1ω − tg −1 (2ω ) ω 1 + ω 2 ⋅ 1 + (2ω ) 2 Im [G( jω)] G ( j 0) = ∞, ∠G ( j 0) = −90o 特殊点：ω=0∶
s p
40 20 0 -20 -40
20 lg G
Page: 9
ωT
1
ω (s -1 )
G
ωT ω (s -1 )
微分 方程 系统
s jω
p jω
传递 函数
jik 07
频率 特性
9
Page: 10
实例2.3 测控器件动作元件模型 实例 RCL电网络与质量弹簧阻尼的结合， 电网络与质量弹簧阻尼的结合， 电网络与质量弹簧阻尼的结合 输入u(t),输出 输出x(t) 输入 输出 各环节方程
2
k2 ms + cs + 2k
③
X (s)
U ( s)
+ -+ -
1 I (s) Ls
k2 ms + cs + 2k
2
③
X (s)
(3)方块图合画 (3)方块图合画 化简 A→B
X (s) G (s) = = U ( s)
①
R I 1 ( s)
k1 s
A
1 Cs
B
Ls +
②
k1 s
Cs
++
k2 mRLCs 4 + L(m + RCc) s 3 + ( Rm + Lc + RC (2kL + k1 k 2 )) s 2 + ( Rc + 2kL + k1 k 2 ) s + 2 Rk
& f = m&&(t ) + cx(t ) + 2kx(t ) x F ( s ) = (ms 2 + cs + 2k ) X ( s ) k 2 I ( s ) = ( ms 2 + cs + 2k ) X ( s ) k I ( s) ③ X ( s) = 2 2 ms + cs + 2k
I (s)
ωT 1 = 1τ , ωT 3 = 1 , T3 1
2
20lg G 40
20
⑥
ωT 2
ωT 1
ωT 3
①
ω
④
⑤
②
(4)相频特性图： 相频特性图： 相频特性图
2③ຫໍສະໝຸດ ω④1jik 07 6
Page: 7
1 + 0.1s 例 3．作 G ( s ) = 的 Nyquist 图与 Bode 图 0.1s
10 1 + j 0.1ω 10 + jω 解：G ( jω ) = j 0.1ω = jω = 1 − j ω
K 的半圆图； Im 1 + jTω (2) ∠G ( jω ) = −arctg (Tω ) − τω
(1)先作 G1 ( jω ) =
[G ( jω ) ]
K
Re
使惯性环节上的矢径 顺时针再转τω角度； jik 07
ω
2
j v (ω)
Page: 3
(3)在原点附近，系统的 在原点附近， 在原点附近 奈氏图为一旋紧的螺旋线。 奈氏图为一旋紧的螺旋线。 例2: 作 Nyquist图
（K、τ i、T j > 0） 最小相位系统
G ( jω ) ≈
G ( s) =
K
K ∏ (1 + τ i s) sν ∏ (1 + T j s )
j =1 i =1 n −ν
m
Page: 4
(1)起点（或低频段）： 起点（或低频段） 起点 ων ν=0，0型：正实轴 ， 型 正实轴（K, 0）点； ） ν=1,Ⅰ型系统： Ⅰ型系统： 负虚轴无穷远处， 四象限由u(0)的正负决定； 的正负决定； 负虚轴无穷远处，三、四象限由 的正负决定 ν=2,Ⅱ型系统： Ⅱ型系统： 负实轴无穷远处， 三象限由v(0)的正负决定 的正负决定. 负实轴无穷远处，二、三象限由 的正负决定
∠G ( jω ) = ν (−90o )
Kτ 1τ 2 L (2)终点（或高频段）： ω → ∞, G ( jω ) ≈ T T Lω n−m 终点（ 终点 或高频段）： 1 2 ∠G ( jω ) = (n-m)(−90o ) n > m : 沿（n − m） (−90o )方向进入原点 × 4 n = m : 正实轴上一点 jik 07
Page: 5
(3)走势： 走势： 走势 增加导前环节（零点） 增加导前环节（零点）， 使相角超前，相位变化非单调, 曲线“ 使相角超前，相位变化非单调 Nyquist曲线“弯曲”； 曲线 弯曲” 增加惯性环节（极点） 使相角滞后 使相角滞后。 增加惯性环节（极点），使相角滞后。 4.Bode图的一般作法 图的一般作法 步骤： 步骤： (1)将各环节写成标准形（末一化）； 将各环节写成标准形（ 将各环节写成标准形 末一化）； 1 大排列， (2)求出各环节转角频率 (2)求出各环节转角频率 ω Ti = ，并从小到 大排列， Ti (3)依次作出各环节的 依次作出各环节的Bode图（渐进线）; 依次作出各环节的 图 渐进线） (4)将各环节曲线合成； 将各环节曲线合成； 将各环节曲线合成 (5)将对数幅频特性曲线竖直移动 将对数幅频特性曲线竖直移动20lgKdB. 将对数幅频特性曲线竖直移动
终点 G ( j∞) ,∠G ( j∞) K −τs e 的 Nyquist 图 例 1：作系统G ( s ) = Ts + 1
解：惯性环节与延时环节的串联.仅使惯性环节 惯性环节与延时环节的串联 仅使惯性环节 的相频特性增加(－ ，幅频特性不变。 的相频特性增加 －τω)，幅频特性不变。 作图： 作图：
2 j =1 i =1 n −ν m
频率特性： 频率特性：
m
G ( jω ) =
幅频特性: 幅频特性 G ( jω ) =
K ∏ 1 + (τ iω )
i =1 n −ν j =1
o
ω ν ∏ 1 + (T jω ) 2
m −1 n −ν i =1 j =1
相频特性 : ϕ (ω ) = −ν ⋅ 90 + ∑ tg (τ iω ) − ∑ tg −1 (T jω )
始于负虚轴无穷远处。(第三象限 始于负虚轴无穷远处 第三象限) 第三象限 G ( j∞) = 0, ∠G ( jω ) = −270o ω ω=∞ ∶ 思考：如何求出与负实轴相交时的频率？ 思考：如何求出与负实轴相交时的频率？
jik 07
ω =∞
Re
3
ω =0
3.Nyquist图的共同规律 图的共同规律
Nyquist Nyquist图：
[G( jω)] Im ω= ∞
ω
1
ω =0
Re
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5.Bode图的共同规律 图的共同规律 典型环节
dB
(1)低频渐近线斜率 ×(-20)dB/dec； 低频渐近线斜率=ν× 低频渐近线斜率 ； 相位起始角=ν× 相位起始角 ×(-90o) 180 (2)“跨过导前 跨过导前+20，跨过惯性 ， 45 跨过导前 ，跨过惯性-20， 90 0 跨过二阶-40”； 跨过二阶 ； - 45 - 90 (3)高频渐近线斜率 (3)高频渐近线斜率= 高频渐近线斜率= - 180 (n-m)×(-20)dB/dec, × 相位收敛 收敛角 相位收敛角=(n-m)×(-90o) 九.应用实例 应用实例 1.三种数学模型的关系 三种数学模型的关系
jik 07
11
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小结：1.Nyquist图的作法： 小结： 图的作法： 图的作法
G ( j 0) , ∠G ( jω )
→ 特殊点 G ( jω n ) , ∠G ( jω n ) →
起点 经历的象限 终点
G ( j∞) ,∠G ( j∞)
2.Bode图的作法： 图的作法： 图的作法 各环节的Bode图（转折频率、斜率、相位） ①各环节的 图 转折频率、斜率、相位） 叠加方法：幅频：斜率相加与垂直移动； ②叠加方法：幅频：斜率相加与垂直移动； 相频：纵坐标相加。 相频：纵坐标相加。 跨过导前+20，跨过惯性 ，跨过惯性 ③“跨过导前 跨过导前 ，跨过惯性-20，跨过惯性-40”； ； 微分 3.三种数学模型的关系 三种数学模型的关系 p p 方程 作业：复习： 作业：复习：P66～P72; ～ jω s 系统 预习： 预习：P76～P81; ～ 传递 频率 习题：2.13(2)、(5)(渐近线 函数 s jω 特性 习题： 、 jik 07渐近线) 渐近线 12
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八．频率特性图的一般作法 m
K ∏ (1 + τ i s) 1.系统的型 系统的型 1 G ( s) = ni =ν 传递函数： 传递函数： −
j =1
sν ∏ (1 + T j s )
ν=0： 0型系统 ： 型系统 ν=1：Ⅰ型系统 ： ν=2：Ⅱ型系统 ：
K ∏ (1 + jτ iω ) ( jω )ν ∏ (1 + jT jω )
u (ω)
纯惯性开节 1 G (s) = s( s + 1)(2 s + 1) 带延时的 1 惯性开节 G ( jω ) = jω (1 + jω )(1 + j 2ω ) −3 1 − 2ω 2 (= −j ) 2 2 2 2 (1 + ω )(1 + 4ω ) ω (1 + ω )(1 + 4ω ) 1 G ( jω ) = ∠G ( jω ) = -90o − tg −1ω − tg −1 (2ω ) ω 1 + ω 2 ⋅ 1 + (2ω ) 2 Im [G( jω)] G ( j 0) = ∞, ∠G ( j 0) = −90o 特殊点：ω=0∶
s p
40 20 0 -20 -40
20 lg G
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ωT
1
ω (s -1 )
G
ωT ω (s -1 )
微分 方程 系统
s jω
p jω
传递 函数
jik 07
频率 特性
9
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实例2.3 测控器件动作元件模型 实例 RCL电网络与质量弹簧阻尼的结合， 电网络与质量弹簧阻尼的结合， 电网络与质量弹簧阻尼的结合 输入u(t),输出 输出x(t) 输入 输出 各环节方程
2
k2 ms + cs + 2k
③
X (s)
U ( s)
+ -+ -
1 I (s) Ls
k2 ms + cs + 2k
2
③
X (s)
(3)方块图合画 (3)方块图合画 化简 A→B
X (s) G (s) = = U ( s)
①
R I 1 ( s)
k1 s
A
1 Cs
B
Ls +
②
k1 s
Cs
++
k2 mRLCs 4 + L(m + RCc) s 3 + ( Rm + Lc + RC (2kL + k1 k 2 )) s 2 + ( Rc + 2kL + k1 k 2 ) s + 2 Rk
& f = m&&(t ) + cx(t ) + 2kx(t ) x F ( s ) = (ms 2 + cs + 2k ) X ( s ) k 2 I ( s ) = ( ms 2 + cs + 2k ) X ( s ) k I ( s) ③ X ( s) = 2 2 ms + cs + 2k
I (s)
ωT 1 = 1τ , ωT 3 = 1 , T3 1
2
20lg G 40
20
⑥
ωT 2
ωT 1
ωT 3
①
ω
④
⑤
②
(4)相频特性图： 相频特性图： 相频特性图
2③ຫໍສະໝຸດ ω④1jik 07 6
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1 + 0.1s 例 3．作 G ( s ) = 的 Nyquist 图与 Bode 图 0.1s
10 1 + j 0.1ω 10 + jω 解：G ( jω ) = j 0.1ω = jω = 1 − j ω
K 的半圆图； Im 1 + jTω (2) ∠G ( jω ) = −arctg (Tω ) − τω
(1)先作 G1 ( jω ) =
[G ( jω ) ]
K
Re
使惯性环节上的矢径 顺时针再转τω角度； jik 07
ω
2
j v (ω)
Page: 3
(3)在原点附近，系统的 在原点附近， 在原点附近 奈氏图为一旋紧的螺旋线。 奈氏图为一旋紧的螺旋线。 例2: 作 Nyquist图
（K、τ i、T j > 0） 最小相位系统
G ( jω ) ≈
G ( s) =
K
K ∏ (1 + τ i s) sν ∏ (1 + T j s )
j =1 i =1 n −ν
m
Page: 4
(1)起点（或低频段）： 起点（或低频段） 起点 ων ν=0，0型：正实轴 ， 型 正实轴（K, 0）点； ） ν=1,Ⅰ型系统： Ⅰ型系统： 负虚轴无穷远处， 四象限由u(0)的正负决定； 的正负决定； 负虚轴无穷远处，三、四象限由 的正负决定 ν=2,Ⅱ型系统： Ⅱ型系统： 负实轴无穷远处， 三象限由v(0)的正负决定 的正负决定. 负实轴无穷远处，二、三象限由 的正负决定
∠G ( jω ) = ν (−90o )
Kτ 1τ 2 L (2)终点（或高频段）： ω → ∞, G ( jω ) ≈ T T Lω n−m 终点（ 终点 或高频段）： 1 2 ∠G ( jω ) = (n-m)(−90o ) n > m : 沿（n − m） (−90o )方向进入原点 × 4 n = m : 正实轴上一点 jik 07
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(3)走势： 走势： 走势 增加导前环节（零点） 增加导前环节（零点）， 使相角超前，相位变化非单调, 曲线“ 使相角超前，相位变化非单调 Nyquist曲线“弯曲”； 曲线 弯曲” 增加惯性环节（极点） 使相角滞后 使相角滞后。 增加惯性环节（极点），使相角滞后。 4.Bode图的一般作法 图的一般作法 步骤： 步骤： (1)将各环节写成标准形（末一化）； 将各环节写成标准形（ 将各环节写成标准形 末一化）； 1 大排列， (2)求出各环节转角频率 (2)求出各环节转角频率 ω Ti = ，并从小到 大排列， Ti (3)依次作出各环节的 依次作出各环节的Bode图（渐进线）; 依次作出各环节的 图 渐进线） (4)将各环节曲线合成； 将各环节曲线合成； 将各环节曲线合成 (5)将对数幅频特性曲线竖直移动 将对数幅频特性曲线竖直移动20lgKdB. 将对数幅频特性曲线竖直移动
终点 G ( j∞) ,∠G ( j∞) K −τs e 的 Nyquist 图 例 1：作系统G ( s ) = Ts + 1
解：惯性环节与延时环节的串联.仅使惯性环节 惯性环节与延时环节的串联 仅使惯性环节 的相频特性增加(－ ，幅频特性不变。 的相频特性增加 －τω)，幅频特性不变。 作图： 作图：
2 j =1 i =1 n −ν m
频率特性： 频率特性：
m
G ( jω ) =
幅频特性: 幅频特性 G ( jω ) =
K ∏ 1 + (τ iω )
i =1 n −ν j =1
o
ω ν ∏ 1 + (T jω ) 2
m −1 n −ν i =1 j =1
相频特性 : ϕ (ω ) = −ν ⋅ 90 + ∑ tg (τ iω ) − ∑ tg −1 (T jω )
始于负虚轴无穷远处。(第三象限 始于负虚轴无穷远处 第三象限) 第三象限 G ( j∞) = 0, ∠G ( jω ) = −270o ω ω=∞ ∶ 思考：如何求出与负实轴相交时的频率？ 思考：如何求出与负实轴相交时的频率？
jik 07
ω =∞
Re
3
ω =0
3.Nyquist图的共同规律 图的共同规律
Nyquist Nyquist图：
[G( jω)] Im ω= ∞
ω
1
ω =0
Re