函数思想在数列中的应用

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函数思想在数列中的应用

应用函数思想解决数列问题上海市澄衷高级中学丁志伟数列问题一向是高中数学的重点与难点，除了其自身的一些特殊性质外，从函数角度来看，数列从根本上讲是一种特殊的函数（通常是离散函数）。

所以很多数列问题都可以从函数的角度来考虑，运用函数的概念、性质、图像来解决问题。

所以本文主要说明如何应用函数思想来解决数列问题。

基础知识：用函数的观点理解等差数列、等比数列1.对于等差数列，∵a n =a 1+（n －1）d =dn +（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是n 的一次函数，对应的点（n ，a n ）是位于直线上的若干个点.当d ＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d =0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前n 项和为S n ，则S n =pn 2+qn （p 、q ∈R ）.当p =0时，{a n }为常数列；当p ≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.对于等比数列：a n =a 1q n-1.可用指数函数的性质来理解.当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列是递增数列；当a 1＞0，0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n }是递减数列.当q =1时，是一个常数列.当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.一、运用函数的有关概念解决问题1．运用函数图像上点的坐标的意义来解决问题例1已知等差数列{}n a 的前 m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（C ）A 、130B 、170C 、210D 、260分析:等差数列的前n 项和n S =21()22d d n a n +-,可以看成关于 n 的二次函数,则n S n 可以看成关于n 的一次函数. 一次函数图像是一条直线,那么三个点)3,3(),2100,2(),30,(3mS m m m m m m 就在同一条直线上,利用斜率相等,得它的前3m 项和为210. 2．运用复合函数概念解决问题例2、已知122113,,,3n n n n a a a n Z a -*+==∈=求分析:条件21n n a a +=理解为2(1)()f n f n +=，而1122423)1()2()1()(--==⋯⋯=-=-=n n f n f n f n f二、运用函数图像使数列问题直观化具体化1、利用凸凹函数图像解决问题例3、某厂2001年投资和利润逐月增加，投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同。

函数思想在数列中的渗透及应用

（责任编辑金铃）
（＋＝＝＝
＋
五，
一 Ⅲ （＋
）＋
·
ＮＩＸＩＥＡＢ过定点Ｍ（Ｃｚ。，一Ｃ）·
当直线ＡＢ的斜率为０时，可以验证ＡＢ也过定点Ｍ．由于以上各步可逆，充分性也成立．
所以原命题得证．
结论３：对于双曲线一一１（。＞ｏ，６＞ｏ），点ｃ（，Ｙ。）是双曲线上的一定点，ＡＢ是它的一动弦，则ＣＡ
知识，以函数的概念、图象、性质为纽带，架起数列与函
数的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效化解数
列问题，本文结合几个实例谈谈函数思想在数列中的渗
透及应用．
一、运用函数的有关概念研究数列
数列的通项公式ａ以及前项和Ｓ均是关于变量
（＋以。）＋（６。一口）ｍｙｏ＋（６ｍａ。）ｚ０— ０，
／
／。．
￣ＣＢ的充要条件是动弦ＡＢ过定点Ｍ ‘
ｚ。，一
也就是 ”一（＋），把它代入直线方程ｘ＝ｍｙ－￣ｎ得
一＋｛（＋。）
）．（其中ｃ一＆。＋６证明过程与结论２类似．
．
【例２】在等比数列｛ｎ）中，前ｎ项和为Ｓ，已知Ｓ一３，Ｓ一１５，求Ｓ．
思路导引：由题设知，公比ｑ≠１考虑到等比数列前项和对应的函数为：Ｓ一Ｋ ·矿一Ｋ（Ｋ是常数且ｑ≠ ０，ｑ≠ １，则有：

基于新课程论函数思想在数列中的重要性

基于新课程论函数思想在数列中的重要性：一、问题提出新课程对“双基”的要求越来越明确，其中对于数列内容的学习，要求学生不仅掌握数列的概念以及基本知识、理解这些概念及其本质，还要体会其中所蕴含的数学思想，对数列内容的处理突出函数思想、数学模型思想以及离散与连续的关系，能够学以致用。

但在有些教学课堂中常常看到这样的现象：仅仅单纯讲数列知识，很少将函数思想融入。

而函数与数列作为高中数学内容的两大模块，有着举足若轻的位置，更有着密不可分的关系。

二、在人教版教材数列一章中函数思想的体现1.教学目标中对函数的要求新课程教学目标要求学生不仅要对基础知识的掌握，还要认识现实世界和实际生活的联系，培养学生的数学应用意识。

数列作为一种离散函数，是一种重要的数学模型，培养学生能用函数的背景和研究方法来认识、研究数列，从而能解决一些实际问题。

2.教材内容的编排上函数思想的体现从教材编排上，函数内容几乎是必修1中所有内容，而数列在必修5第二章以一个独立章节出现，约占12个课时，说明这两个模块在高中数学上都处于相当重要地位。

而函数知识几乎贯穿高中数学学习的始末，在高中数学学习中起着决定性作用。

数列一章中学习，与函数的联系大部分是在概念和例题中直接体现出来，几乎每一节都能可看到函数的身影。

人教版高中数学必修5中2.1数列的概念和简单表示法一节中，解释数列的概念时将数列看成是：以正整数集N为定义域的函数an=fn当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一对函数值。

利用了函数的概念解释数列的概念，以及接下来在数列的简单表示法中介绍了通项公式、列表法、图像法、简单的递推公式四种表示法，其中的通项公式可看成数列的函数解析式，列表法和图像法也正是函数的表示法，这恰恰呼应了数列是一种特殊函数。

有了前面数列是一种特殊函数做铺垫，在后面等差数列和等比数列的学习中更加明确突出了与函数的联系。

如2.2等差数列例3，已知数列an的通项公式为an=pn+q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？此题通过利用等差数列的定义判定an是不是等差数列，最终得到an-an-1=d（n≥2）是一个与n无关的常数，证明这个数列是等差数列。

函数思想在中学数学中的应用-(2)

函数思想在中学数学中的应用-(2)函数思想在中学数学中的应用韩伟摘要:函数思想是解决一些中学数学问题的重要思想方法,本文通过列举函数思想在数列、不等式、最值问题中的应用,来体现函数思想在中学数学中的作用.关键词: 函数思想数列不等式最值一、知识回顾1.引言在中学代数的学习中,函数起着“纽带”的作用,特别是在近几年全国各地高考中,好多问题如数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法.这就要求我们在平时的学习中更加重视对函数的学习和理解,我们应掌握函数的概念、本质及相关性质.通过此篇文章希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用.2.函数的概念(1)对应说:在变化过程中,有两个变量x和y.如果给定一个x 值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.(2)集合说:给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于A中任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数()f x与之对应,那么就把对应关系f叫做定义在A上的函数,记作f:A→B或(),=∈.y f x x A此时x叫做自变量,集合A叫做函数的定义域,集合{()f x|x A∈}叫作函数的值域,习惯上称y是x的函数.(3)映射说:设A,B是两个非空数集,f是A到B的一个映射,那么映射f:A→B称为A到B的函数.3.函数的本质函数的本质是一种对应关系,是从一个非空数集到另一个非空数集的一种对应关系.4.函数的性质(1)有界性:如果存在正数M ,对于函数()f x 定义域(或其子集)内的一切x 值,都有|()f x |≤M 成立,那么函数()f x 叫做在定义域(或其子集)上的有界函数,如果适合这个条件的正数M 不存在,那么称这个函数是无界的.(2)单调性:一般地,对于函数()y f x =的定义域内的一个子集A ,如果对于任意的1x ,2x∈A,当1x<2x 时都有12()()f x f x <(或12()()f x f x >),就称函数()y f x =在数集A 上是增加的(或减少的).(3)奇偶性:对于函数()f x 在定义域内的任意一个x 值,如果都有()()f x f x -=-成立,那么函数()f x 叫做奇函数;如果都有()()f x f x -=成立,那么函数()f x 叫做偶函数.(4)周期性:设()f x 是定义在数集M 上的函数,如果存在常数T ≠0,对于任意的x M ∈,都有x ±T ∈M ,且()()f x T f x +=总成立,则函数()f x 叫做周期函数,常数T 称为()f x 的周期.二. 利用函数思想解决数列的问题数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举两例来看一下:例1．若数列{na }的通项公式为na=38⨯n 1()8-3⨯n 1()4+1()2n (其中*n N ∈),且该数列中最大项为ma ,求m 的值.分析:由于该数列不是直接与等差数列、等比数列相关的数列,形式看起来比较复杂,难以下手.但如果我们能认真观察通项公式na 的形式特点,不难发现它可以变形为:na = 38⨯31()2n-3⨯21()2n +1()2n，此时若令x =1()2n ∈1(0,]2,则na 所对应的函数为()f x =32833xx x-+, x ∈1(0,]2.这样由函数()f x 的导数易得该函数的极大值点,即可求得该数列中最大项为ma 中的m 的值.解: 由已知,得na=38⨯31 ()2n -3⨯21()2n +1()2n ， (*n N ∈)令()f x =na , x =1()2n, 则x ∈1(0,]2,且()f x =32833xx x-+, 则'()f x =2861xx -+=8(x -21)(x -41).令'()f x ≥0,得x ∈1(0,]4 , 所以该函数在1(0,]4上是单调递增的; 令'()f x ≤0,得x ∈11[,]42 , 所以该函数在11[,]42上是单调递减的. 故x =41为其极大值点,即2n =时该数列取得最大项,所以2m =. 例 2.设数列{na }的首项为156a=-,且1n n aa +-=12(1,2,n =……),求此数列到第几项的和最先大于100？解: 由已知1n n aa +-=12，可知数列{na }为等差数列,且112,56d a==-.所以该数列通项公式为56(1)121268nan n =-+-=-.则56nS n =-+2)1(-n n 12⨯2662n n =-.令100nS>, 得26621000nn -->, 即2331500n n -->⇒n <6156131-(0)<,或n >6156131+(7.11≈).由于*n N ∈,所以满足上述条件的最小正整数为12. 故此数列到第12项的和最先大于100.注：此类题是利用等差数列前n 项和公式nS=n 1a +2)1(-n n d =2d2n +(1a -2d )n =2d 211()2a n d ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦-2d 211()2a d -是关于n 的二次函数来解题的.当0d >时，nS 有最小值；当0d <时，nS 有最大值 .由于n 取正整数，因而当(12-1ad)不是正整数时，nS 的最小值或最大值不等于-2d 211()2ad -，此时n 取最接近于(12-1a d)的正整数时，才是nS 的最小值或最大值.值得注意的是接近于(12-1ad)的正整数有时是一个，有时有两个.三．利用函数思想解决不等式的问题在不等式的有关问题（计算、证明）中，函数的性质常常是有力的工具，利用函数的单调性、奇偶性等性质对题解十分有利，但在这方面往往是学生的缺陷.下面举两例来看一下：例3.<135212462n n -⋅⋅⋅⋅L <(1,)n n N >∈.分析：此不等式的证明若用一般的方法难以证明，仔细观察不等式的特点，可利用函数y =1x x+在(1,)-+∞上的单调增加性质可得1112k k k k k k -+<<++,k =1,2,...,21n -.可对不等式两边采用压缩法和放大法即可证明.证明：令c =135212462n n -⋅⋅⋅⋅L ,利用函数y =1xx+在(1,)-+∞上的单调增加性质， 1112k k k k k k -+<<++，k =1,2,...,21n -.∴123234<<, 234345<<,……,2221221221n n nn n n --<<-+,又 2c=1133552121()()()()22446622n n n n--⋅⋅⋅⋅L , ⇒11232221()()()2234212n n n n--⋅⋅⋅-L <2c<1234212()()()2345221n n n n -⋅⋅⋅+L ,⇒ 12211221cnn ⋅<<+ 即c <<.例4.已知实数a b e >>,其中e 是自然对数的底，证明ba <ab .分析：欲证ba<ab ，只需证ln ln b a a b <,即b b a a ln ln <.由此联想到函数()f x =xx ln 在(,)e +∞上若是严格递减的即可证明结论.证明: 对于函数()f x =x x ln 在(,)e +∞上，其导函数'()f x =2ln 1x x -0<.∴()f x 在(,)e +∞上是严格递减的.∴对∀a b e >>，都有()()f a f b < ,即 b b a a ln ln <.故ln ln b a a b <,从而ba<ab .四．利用函数思想解决最值问题求最值问题是函数思想的重要应用，此类题综合性强，知识面覆盖广，尤其在实际问题中利用函数思想解决最值问题最为广泛.下面举两例来看一下:例5．已知0a >,0π2<≤x ,函数y =2cossin x a x b-+的最大值是0，最小值是4-，求使y 取得最大值和最小值的x 值以及a 和b 的值.解: 设sin x t =,t1≤,则21y t at b =--++=-(t +2a)2+42a +b +1.因为(t +2a )2≥ ，所以-(t +2a)2≤ . 因此y ≤42a +b +1.故当t +2a =0时，y最大值=42a +b +1=0.又0a >, t 1≤ ，所以当1t =时,(t +2a )有最大值，从而 114ya b b a =--++=-=-最小值.所以由42a +b +1=0,4b a -=-，解得 2,2a b ==-.综上可得y 取最小值时，1t = 即 sin 1x = ，所以x =2π; y 取最大值时，1t =-即sin 1x =-，所以x =23π.例6、渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (0k >).（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）(1) 2()24k m km y x m =--+写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2) 求鱼群年增长量的最大值；(3) 求鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围.解： (1)由题意，得()m x y kx m -=,即(1)xy kx m=-，0x m <<. （2）2()24k mkm y x m=--+.因为0x m <<,所以当2m x =时，y 有最大值4km. （3）依题意，得0x y m <+<,即02m<+4kmm <. 解得22k -<<, 又0k >,所以02<<.k五．总结函数思想是研究问题的重要思想，用函数思想来研究问题是一种重要观念.本文主要通过列举函数思想在数列、不等式、最值问题中的应用，来体会函数思想在中学数学中的应用.当然，函数思想在中学数学中的应用远远不止这些，至于在其他方面的应用还须大家在进一步的学习过程中共同探讨、总结.参考文献:[1] 钱珮玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，1999年7月.84-90.[2] 李永新，滕文凯.中学数学教材教法[M].长春：东北师范大学出版社，2005年6月.100-107.[3]李晓玲.培养生动活泼的函数思想[J].成材之路,2007年第12期.25-26.[4]尤泽燕,谢碧华,王孝振.函数对称性的探究[J].福建中学数学(月刊),2007年第3期.33-34.The Application of Function Thinking in MathematicsName: Jia Liping Student Number: 2003405456Advisor: Yang ShaohuaAbstract: The function thinking is an important way to solve some mathematics problems.This article through enumerating the application of function thinking in the sequence,the inequality and the most value question to embody the role of function thinking in mathematics.Key word: function thinking sequence inequality most value。

高考数列题中函数思想的运用

【解析】（Ｉ）由题意，。。＝ｎ＋去√．６。＝
２０００（盎）”｛．
（Ⅱ）．．．函数ｙ＝２０００（品）‘（ｏ＜。＜１０）
递减，．。．对每个自然数ｎ，有６。＞６。＋ｌ＞
ｑ”１的函数值系列，它的图象是函数ｖ＝ｇ”１图象上的无穷多个孤立点．ｎ与ｓ。也能够建立函数关系．如等差数
ａｌ
６。＋２，则以６。，６。＋１，６。＋＿为边长能构成一个
！！１２＿Ｌ、．．！。ｉ！！１２一～ ‰＋ｔ“‘Ｆ（ｎ）一门西再可西；再面。
区间［专，１］上的图象
为直线段．
图２
焉兰酱，躺扎．・．嘶＋１）ｖｆｉｉｉｊｊ两７
２（ｎ＋１）一１’‘‘’、“＋１’
ｎ
（Ⅱ）＾（ｚ）＝一２ｚ＋２，＊∈［｛，１］的反
函数为：ｙ＝ｌ一专，ｚ∈［ｏ，１］．由已知条件
。＞Ｆ（ｎ）’．．，（ｎ）是随ｎ的增大而增大，Ｙ
２以函数图象为工具。直观地简化数列问题函数图象是函数特征的直观体现，利用图象解决数学问题（以形助数）是我们在解决问题时经常采用的手段．在数列中，我们可以利用等差数列通项公式、前ｎ项和公式及等比数列的通项公式中展示的图象关系来解决问题，常常会起到意想不到的效果．例２（２００４年重庆）若｛‰｝是等差数列，首项ｎ１＞０，ｎ瑚３＋口２００４＞０，０２蚴ｎ２００４＜０，则使前ｎ项和Ｓ。＞ｏ成立的最大自然数ｎ是（）．（Ａ）４００５（Ｂ）４００６（ｃ）４００７（Ｄ）４００８
本文链接：/Periodical_hblkjxyj200702034.aspx
２００７年第２期
河北理科教学研究
考试指导
高考数列题中函数思想的运用
考试指导
江苏省如皋市第一中学陈军潘佩２２６５００
数列是一类定义在正整数集或它的有限子集｛１，２，３，・一，ｎ｝上的特殊函数．任何数列问题中都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征．因此，在解决数列问题时要注意利用函数的性质（如值域、单调性、最值等）去分析，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示它们问的内在联系，从而有效地分解数列问题．１以函数概念为载体，有机地消化数列问题数列的通项公式。。＝，（ｎ）就是函数的解析式，定义域为Ｎ＋（或它的有限子集｛ｌ，２，…，ｎ｝）．它的图象上的点（ｎ，ｏ。）是一群孤立的点．如：等差数列是‰＝ｐｎ＋口的函数值系列，它的图象是直线ｙ＝ｐｘ＋ｑ上均匀排开的无穷多个孤立点；等比数列是‰＝

函数思想在高中数学解题中的应用

函数思想在高中数学解题中的应用【摘要】本文将探讨函数思想在高中数学解题中的重要性和应用。

在代数方程问题中，函数思想可以帮助我们理解和解决复杂的方程，提高解题效率。

在几何问题中，通过函数图像的分析，我们可以深入理解几何形状的性质，从而更好地解决几何难题。

函数思想在数列与数论中的应用也不可忽视，通过函数的性质可以发现数列中的规律，解决数论中的难题。

使用函数思想解决数学建模问题和简化解题过程都是本文要探讨的内容。

通过本文的学习，读者将更好地认识到函数思想在高中数学解题中的广泛应用和重要性，为未来高中数学教学提供思路和方法。

【关键词】函数思想、高中数学、解题、代数方程、函数图像、几何问题、数列、数论、数学建模、函数性质、广泛应用、教学、重要性。

1. 引言1.1 介绍函数思想在高中数学解题中的重要性函数思想在高中数学解题中起着至关重要的作用。

函数是数学中非常基础且重要的概念，它是描述自变量和因变量之间关系的工具。

在高中数学学习中，函数思想可以帮助我们更好地理解和解决各种数学难题。

通过函数思想，我们可以将问题抽象化，找到问题之间的关联，从而更好地解决问题。

在代数方程问题中，函数思想可以帮助我们建立数学模型，将复杂的代数方程化简为函数的表示形式，进而更容易解决问题。

在几何问题中，函数图像可以帮助我们直观地理解问题，进而找到解题的方法。

在数列与数论中，函数思想可以帮助我们研究数列的性质及规律，从而更好地掌握数学知识。

1.2 概述本文内容本文将重点探讨函数思想在高中数学解题中的应用。

通过引入函数的概念和性质，我们可以更加灵活地解决各种数学难题。

本文将从代数方程问题、几何问题、数列与数论、数学建模以及函数性质等方面展开讨论，阐述函数思想在这些领域中的作用和意义。

通过具体的例题和解题方法，读者可以更深入地理解函数思想在高中数学中的实际运用。

本文将总结函数思想在数学解题中的广泛应用，并展望未来在高中数学教学中的重要性。

函数思想在数列解题中的应用

[]2012.247随着新课程改革的实施与不断创新，近几年来，数列与函数的综合已成为高考命题的重点与热点，两者交融的试题常常作为学生综合能力考查的把关题。

因此，在解决数列问题时，应充利用函数有关知识，以它的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效地解决数列与函数的综合问题。

一、理清数列与函数的关系从函数观点来看，数列是一类定义在正整数集或的有限子集｛1，2，…n｝上的一些特殊函数，当自变量从小到大依次取值时，a n 即为所对应的一列函数，而数列的通项公式、求和公式也就是相应函数的解析式。

可见，任何数列问题都蕴涵着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征。

特别地，对于等差数列的前n 项求和公式与二次函数联系相当紧密，一般都是按照求二次函数的最值方法来求数列前n 项和的最值问题。

同时，等比数列的通项公式及前n 项求和公式也与我们非常熟悉的指数函数联系相当紧密。

二、巧助函数解析式解决数列问题数列是特殊的函数，由已知的函数解析式巧解数列问题是函数与数列交汇的基本形式体现。

一般地，解决此类问题，主要是要对数列的通项公式及前n 项和公式的特殊函数关系这一概念的理解与分析，进而合理地找到解决问题的主要思路和方法。

例1设函数f （x ）=4x4x +2，求和s n =f(12002)+f(22002)+…+f(20012002)。

解析：我们知道，函数f （x ）=a xa x +a √具有一个重要特性，即f （1-x ）+f （x ）=1，因此可利用这一特性解决求和的相关问题。

解：因为f （x ）=4x4x +2，所以f （1-x ）=41-x41-x +2=44+2·4x =4x4x +2，所以由f （1-x ）+f （x ）=1可知，有s n =f(12002)+f(22002)+…+f(20012002)，①s n =f(20012002)+f(20002002)+…+f(12002)。

函数思想在高中数学解题中的应用

函数思想在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 了解函数思想的重要性了解函数思想的重要性是高中数学学习中的重要一环。

函数思想可以帮助我们更好地理解问题，提高问题解决的效率。

通过了解函数思想，我们可以更快地找到问题的核心，从而更快地解决问题。

函数思想也可以帮助我们建立起对数学知识体系的整体认识，提高数学思维的深度和广度。

在高中数学学习中，函数思想是贯穿始终的一个重要内容。

无论是在解代数方程还是解几何问题，函数思想都扮演着重要的角色。

了解函数思想可以让我们更好地理解数学概念，提高解题的速度和准确性。

所以，掌握函数思想对于高中数学学习来说是至关重要的。

1.2 高中数学解题的特点高中数学解题的特点主要包括题目形式简单、题目类型多样、涉及知识面广泛、考察思维能力强等特点。

在高中数学学习中，学生需要掌握各种数学概念和方法，能够灵活运用这些知识解决各类数学问题。

高中数学解题通常需要考虑多个因素，需要学生进行一定的逻辑推理和分析，以找到解题的有效方法。

另外，高中数学解题还常常涉及到多个知识点的综合运用，需要学生具有整合和综合能力，能够将所学知识有机地结合起来解决问题。

由于高中数学解题的特点，学生在解题时往往需要一定的思维方法和技巧，能够快速准确地分析问题并找到解决方法。

因此，深入理解和灵活运用函数思想在高中数学解题中具有重要的意义，可以帮助学生更好地应对各种数学问题，提高解题效率和准确性。

2. 正文2.1 函数思想在代数方程中的应用在高中数学中，代数方程是一个重要的内容，通常涉及到未知数的关系和等式的求解。

函数思想在代数方程中的应用可以帮助我们更加清晰地理解和解决这些问题。

我们可以将代数方程中的未知数看做自变量，而等式则可以看做一个函数关系。

通过建立数学模型，我们可以将复杂的代数方程简化成一个函数方程，从而更好地进行求解和分析。

函数思想可以帮助我们对代数方程的图像进行理解和分析。

通过绘制函数图像，我们可以直观地看到方程的解和特性，从而更好地理解方程的含义和求解方法。

函数思想在中学数学中的应用

函数思想在中学数学中的应用在中学代数的学习中,函数起着“纽带”的作用,特别是在近几年全国各地高考中,好多问题如数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法.这就要求我们在平时的学习中更加重视对函数的学习和理解,我们应掌握函数的概念、本质及相关性质.通过此篇文章希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用.一，利用函数思想解决数列的问题数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举例来看一下:例1.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，m，k∈N *，且m≠k，若S m=S k=a, 则S m+k =().-2a D. 0A. aB. 2aC.解析：由于{a n}是等差数列，所以S n是关于n的二次函数，设S n=f(n)=An 2+Bn(A≠0)，∵S m=S k=a，∴f(m)=f(k)，∴f(n)的对称轴为n=m+k2，∴f(m+k)=f(0)=0，即S m+k =0，选 D .评析：解本题的关键是建立目标函数f(n)，因为等差数列的前n项和是关于n的二次函数，利用二次函数的对称性就可以解出这道题．二．利用函数思想解决解析几何问题在解析几何中常遇到动态型的问题。

在变化过程中，存在两个变量，我们常常把某一个看做自变量，另一个看做自变量的函数，通过明确函数的解析式，利用函数思想来研究和处理问题例2.若抛物线y=-x 2+mx-1和两端点为A(0,3)，B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．解析：线段AB的方程为y=-x+3(0≤x≤3)由y=-x 2+mx-1, y=-x+3(0≤x≤3）消去y得x 2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3).∵抛物线和线段AB有两个不同的交点，∴方程x 2-(m+1)x+4=0在［0,3］上有两个不同的解.设f(x)=x 2-(m+1)x+4，则f(x)的图像在［0,3］上与x轴有两个不同的交点，∴Δ=(m+1) 2-16＞0,0＜m+12＜3,f(0)=4＞0,f(3)=9-3(m+1)+4≥0.解得3＜m≤10三．利用函数思想解决不等式的问题在不等式的有关问题（计算、证明）中，函数的性质常常是有力的工具，利用函数的单调性、奇偶性等性质对题解十分有利，但在这方面往往是学生的缺陷.下面举两例来看一下：例3.已知不等式7x-2>m(x 2-1)对m∈［-2,2］恒成立,求实数x的取值范围．解析：设f(m)=(x 2-1)m-7x+2，f(m)是关于m的一个函数，其图像是直线.依题意，f(m)<0对m∈［-2,2］恒成立.当-2≤m≤2时，y=f(m)的图像是线段，该线段应该全部位于x轴下方，其充要条件是端点的纵坐标小于0，即f(-2)＜0， f(2)＜0，解得12＜x＜72.即适合题意的x的取值范围是（12,72）四。

高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用

高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。

以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。

函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

例谈函数思想在数列问题中的应用

２运用函数思想解数列的求和问题
数列求和是数歹知识的一个重要万囱，在求Ｕ向
与一般的关系，是这种关系，函数思想方法成为正使
研究和解决数列问题的重要方法．们可以用函数我的思想、方法解决数列的问题．列中的通项、／数前７，
，、＃一２
图是条线那三点ｍ）２）的研究，出函数的最大值．象一直，么个（，ｍ，，（，求
、厶，
３ｌｆ的最大一２÷ｌ值问题，通过对函数单调性
和问题上，我们时常会运用到函数的单调性、周期性
等性质及函数的解析式．
项和、递推关系、最值问题及大小比较问题通常都可
以转化为函数问题来求解．
ｕ｝项（２ｓ）｛的ｃ＿，通０ｉｓ
其前项和为，则为
斜率相等，求出ｓ。的值．解：等差数列｛｝的前ｎ项和＝１＋
＋∞ ）上是减函数，最大值是２其）＝一．９
所以有ａ一．ａ＝ａ４ ≥ ９又２１－３＞ａ．１
综上，所求的ａ的最小值是一．９
识，它们的解析式应是相同的，而得到ｇ口的值．从，。
有两种形式有时我们必须运用等差、比数列的等知识去解决其它数列问题，将非等差、比的问题转化等为等差、等比问题加以解决，从而使问题简单化
或其子集上的函数．列与函数之间的关系是特殊数

例谈数列中函数思想的应用

参考文献 [1]李雪明，陈斌．空间点的射影定位的探讨[J]．数学教学，2005（9）： 2
例谈数列中函数思想的应用
朱水英浙江省诸暨市第二高级中学（311800）
数列一直以来都是高考的重点内容．数列这一块内容的教学对于教师来说是比较有体系的，一道例题适当改动就可以派生很多小题，什么题型对应什么方法都是很有规律可循的．虽然教师讲得起劲，但是学生掌握得并不怎么好，因为学生在接受新知识新内容时会存在一定的困难，题型方法越多越容易混淆．所以作为教师在教学过程中不仅要交给学生解题的通法，而且最好能在学生已有的认知领域内挖掘数列这一块内容与其它章节的关系，往往能有意想不到的效果．
n ∈ N+ ， n ≤ 10 ， 4 < 22 < 5 ，所以最小项在 a4 和 a5
中找，最大项在 a1 和 a10 中找．
方法 2
an+1 − an
=
n +1+ 22 − n − 22 n+1 n
=
n2 + n − 22 ， n(n +1)
而 n ∈ N+ ，则 n(n +1) > 0 ，易得 n ≤ 4 时， an+1 − an < 0 ， n ≥ 5 时， an+1 − an > 0 ，即 a1 > a2 > a3 > a4 ，
2 数列的最值
案例
2
已知 an
= n +
22 n
(n
∈
N
+，n
≤
10)
，求数列
{an} 的最大项和最小项．
分析求数列的最值常用的方法是研究数列{an}
的单调性．

例析数学思想在数列中应用

例析数学思想在数列中的应用数列是高中数学的重要内容，也是初、高等数学的重要的衔接点。

纵观近几年高考试卷不难发现它是必考内容之一，常以填空题和解答题形式出现，属于中、高档题型。

填空题主要考查等差（比）数列的通项公式、求和公式的应用以及基本性质；解答题往往放在最后两题的位置，通常从数列的基本性质入手，进一步研究数列的通项公式和求和公式，有时会和方程、函数、不等式等知识结合起来考查。

学生对于这类问题往往束手无策，但学生如果能理解数列中蕴含的数学思想方法，灵活运用它会起到意想不到的效果。

下面笔者对数列试题中常涉及的数学思想方法进行举例分析。

一、方程思想等差（比）数列一般涉及五个基本量：a1、d（q）、n、an、sn，我们根据其中三个可以求出另外二个的基本问题，可以运用方程思想，通过解方程（组）求解。

例1.（2010年福建高考）在等比数列{an}中，若公比q为4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an=___________。

分析：根据等比数列前n项和公式可求出a1=1，故an=4n-1。

注：本题利用方程思想揭示问题隐含的等量关系，从而显示设问与条件的联系。

等差（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛应用。

二、函数思想数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）上的特殊函数。

运用函数思想去研究数列，要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决相关问题，它不仅使问题简化，而且还可以加深对知识的关系的理解。

例2.已知a■=■，n∈n*，求{an}中最大项是第几项？分析：本题实质上求f（n）=n+■，n∈n*的最小值时项数，因为n+■≥2■，当且仅当n=■时取等号，又n∈n*，故n=12或13，又a12=a13，所以最大项是第12项和第13项。

注：函数思想在数列中的运用，学生有时想不到。

怎样有效地将数列情景转化为函数情景，然后用函数的性质解决问题，是运用函数思想解决数列问题的关键所在。

函数思想在中学数学中的应用

函数思想在中学数学中的应用韩伟摘要:函数思想是解决一些中学数学问题的重要思想方法,本文通过列举函数思想在数列、不等式、最值问题中的应用,来体现函数思想在中学数学中的作用.关键词: 函数思想数列不等式最值一、知识回顾1.引言在中学代数的学习中,函数起着“纽带”的作用,特别是在近几年全国各地高考中,好多问题如数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法.这就要求我们在平时的学习中更加重视对函数的学习和理解,我们应掌握函数的概念、本质及相关性质.通过此篇文章希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用.2.函数的概念(1)对应说:在变化过程中,有两个变量x 和y .如果给定一个x 值,相应地就确定了一个y 值,那么我们称y 是x 的函数,其中x 是自变量,y 是因变量.(2)集合说:给定两个非空数集A 和B ,如果按照某个对应关系f ,对于A 中任何一个数x ,在集合B 中都存在唯一确定的数()f x 与之对应,那么就把对应关系f 叫做定义在A 上的函数,记作f :A →B 或(),y f x x A =∈.此时x 叫做自变量,集合A 叫做函数的定义域,集合{()f x |x A ∈}叫作函数的值域,习惯上称y 是x 的函数.(3)映射说:设A ,B 是两个非空数集,f 是A 到B 的一个映射,那么映射f :A →B 称为A 到B 的函数.3.函数的本质函数的本质是一种对应关系,是从一个非空数集到另一个非空数集的一种对应关系.4.函数的性质(1)有界性:如果存在正数M ,对于函数()f x 定义域(或其子集)内的一切x 值,都有|()f x |≤M 成立,那么函数()f x 叫做在定义域(或其子集)上的有界函数,如果适合这个条件的正数M 不存在,那么称这个函数是无界的.(2)单调性:一般地,对于函数()y f x =的定义域内的一个子集A ,如果对于任意的1x ,2x ∈A ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <(或12()()f x f x >),就称函数()y f x =在数集A 上是增加的(或减少的).(3)奇偶性:对于函数()f x 在定义域内的任意一个x 值,如果都有()()f x f x -=-成立,那么函数()f x 叫做奇函数;如果都有()()f x f x -=成立,那么函数()f x 叫做偶函数.(4)周期性:设()f x 是定义在数集M 上的函数,如果存在常数T ≠0,对于任意的x M ∈,都有x ±T ∈M ,且()()f x T f x +=总成立,则函数()f x 叫做周期函数,常数T 称为()f x 的周期.二. 利用函数思想解决数列的问题数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举两例来看一下:例1．若数列{n a }的通项公式为n a =38⨯n 1()8-3⨯n 1()4+1()2n (其中*n N ∈),且该数列中最大项为m a ,求m 的值.分析:由于该数列不是直接与等差数列、等比数列相关的数列,形式看起来比较复杂,难以下手.但如果我们能认真观察通项公式n a 的形式特点,不难发现它可以变形为:n a = 38⨯31 ()2n -3⨯21()2n +1()2n ，此时若令x =1()2n ∈1(0,]2,则n a 所对应的函数为()f x =32833x x x -+, x ∈1(0,]2.这样由函数()f x 的导数易得该函数的极大值点,即可求得该数列中最大项为m a 中的m 的值.解: 由已知,得n a =38⨯31 ()2n -3⨯21()2n +1()2n ， (*n N ∈) 令()f x =n a , x =1()2n , 则x ∈1(0,]2,且()f x =32833x x x -+,则'()f x =2861x x -+=8(x -21)(x -41). 令'()f x ≥0,得x ∈1(0,]4 , 所以该函数在1(0,]4上是单调递增的; 令'()f x ≤0,得x ∈11[,]42 , 所以该函数在11[,]42上是单调递减的. 故x =41为其极大值点,即2n =时该数列取得最大项,所以2m =. 例2.设数列{n a }的首项为156a =-,且1n n a a +-=12 (1,2,n =……),求此数列到第几项的和最先大于100？解: 由已知1n n a a +-=12，可知数列{n a }为等差数列,且112,56d a ==-.所以该数列通项公式为56(1)121268n a n n =-+-=-.则56n S n =-+2)1(-n n 12⨯2662n n =-. 令100n S >, 得26621000n n -->, 即2331500n n -->⇒n <6156131-(0)<,或n >6156131+(7.11≈). 由于*n N ∈,所以满足上述条件的最小正整数为12.故此数列到第12项的和最先大于100.注：此类题是利用等差数列前n 项和公式n S =n 1a +2)1(-n n d =2d 2n +(1a -2d )n = 2d211()2a n d ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦-2d 211()2a d -是关于n 的二次函数来解题的.当0d >时，n S 有最小值；当0d <时，n S 有最大值 .由于n 取正整数，因而当(12-1a d)不是正整数时，n S 的最小值或最大值不等于-2d 211()2a d -，此时n 取最接近于(12-1a d)的正整数时，才是n S 的最小值或最大值.值得注意的是接近于(12-1a d )的正整数有时是一个，有时有两个.三．利用函数思想解决不等式的问题在不等式的有关问题（计算、证明）中，函数的性质常常是有力的工具，利用函数的单调性、奇偶性等性质对题解十分有利，但在这方面往往是学生的缺陷.下面举两例来看一下：例3.<135212462n n -⋅⋅⋅⋅<(1,)n n N >∈.分析：此不等式的证明若用一般的方法难以证明，仔细观察不等式的特点，可利用函数y =1x x +在(1,)-+∞上的单调增加性质可得1112k k k k k k -+<<++,k =1,2,...,21n -.可对不等式两边采用压缩法和放大法即可证明. 证明：令c =135212462n n -⋅⋅⋅⋅,利用函数y =1x x+在(1,)-+∞上的单调增加性质， 1112k k k k k k -+<<++，k =1,2,...,21n -. ∴ 123234<<, 234345<<, ……, 2221221221n n n n n n --<<-+, 又 2c =1133552121()()()()22446622n n n n--⋅⋅⋅⋅, ⇒ 11232221()()()2234212n n n n --⋅⋅⋅-<2c <1234212()()()2345221n n n n -⋅⋅⋅+, ⇒ 12211221c n n ⋅<<+ 即c <<. 例4.已知实数a b e >>,其中e 是自然对数的底，证明b a <a b .分析：欲证b a <a b ，只需证ln ln b a a b <,即b b a a ln ln <.由此联想到函数()f x =xx ln 在(,)e +∞上若是严格递减的即可证明结论.证明: 对于函数()f x =x x ln 在(,)e +∞上，其导函数'()f x =2ln 1x x -0<. ∴()f x 在(,)e +∞上是严格递减的.∴对∀a b e >>，都有()()f a f b < ,即bb a a ln ln <. 故ln ln b a a b <,从而b a <a b . 四．利用函数思想解决最值问题求最值问题是函数思想的重要应用，此类题综合性强，知识面覆盖广，尤其在实际问题中利用函数思想解决最值问题最为广泛.下面举两例来看一下:例5．已知0a >,0π2<≤x ,函数y =2cos sin x a x b -+的最大值是0，最小值是4-，求使y 取得最大值和最小值的x 值以及a 和b 的值. 解: 设sin x t =,t 1≤,则21y t at b =--++=-(t +2a )2+42a +b +1.因为(t +2a )20≥ ，所以-(t +2a )20≤ . 因此y ≤42a +b +1. 故当t +2a =0时，y 最大值=42a +b +1=0. 又0a >, t 1≤ ，所以当1t =时,(t +2a )有最大值，从而 114y ab b a =--++=-=-最小值.所以由 42a +b +1=0,4b a -=-，解得 2,2a b ==-. 综上可得y 取最小值时，1t = 即 sin 1x = ，所以x =2π; y 取最大值时，1t =-即sin 1x =-，所以x =23π. 例6、渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (0k >).（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）(1) 2()24k m km y x m =--+写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2) 求鱼群年增长量的最大值；(3) 求鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围.解： (1)由题意，得()m x y kx m -=,即(1)x y kx m=-，0x m <<. （2）2()24k m km y x m =--+. 因为0x m <<, 所以当2m x =时，y 有最大值4km . （3）依题意，得0x y m <+<,即02m <+4km m <. 解得22k -<<, 又0k >,所以02k <<.五．总结函数思想是研究问题的重要思想，用函数思想来研究问题是一种重要观念.本文主要通过列举函数思想在数列、不等式、最值问题中的应用，来体会函数思想在中学数学中的应用.当然，函数思想在中学数学中的应用远远不止这些，至于在其他方面的应用还须大家在进一步的学习过程中共同探讨、总结.参考文献:[1] 钱珮玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，1999年7月.84-90.[2] 李永新，滕文凯.中学数学教材教法[M].长春：东北师范大学出版社，2005年6月.100-107.[3]李晓玲.培养生动活泼的函数思想[J].成材之路,2007年第12期.25-26.[4]尤泽燕,谢碧华,王孝振.函数对称性的探究[J].福建中学数学(月刊),2007年第3期.33-34.The Application of Function Thinking in MathematicsName: Jia Liping Student Number: 2003405456Advisor: Yang ShaohuaAbstract: The function thinking is an important way to solve some mathematics problems.This article through enumerating the application of function thinking in the sequence,the inequality and the most value question to embody the role of function thinking in mathematics.Key word: function thinking sequence inequality most value。

函数的思想在数列中的应用

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
又 an·an＋1·an＋2·an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，
所以 an＋1·an＋2·an＋3·an＋4＝an＋1＋an＋2＋an＋3＋an＋4，
将以上两式相减得(a 将以上两式相减得 n－an＋4)(an＋1·an＋2·an＋3－1)＝0，＝，
递推的意识
又已知条件知 an＋1·an＋2·an＋3≠1，，故数列{a 的周期为故 an＋4＝an，故数列 n}的周期为 4. ∴a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100＝25(a1＋a2＋a3＋a4)=200 ＋
一、函数的意识
练习 2、等差数列 n}的通项 an = 12 − 2n ，求 {an } 的前 n 项和 Sn 最、等差数列{a 的通项大值？大值？
练习 1 、设 {a } 是公差大于零的等差数列，且
n
a3a6 = 55，a2 + a7 = 16 。求数列 {an } 的通项公式。的通项公式。
点击样卷
的通项公式。求数列 {bn } 的通项公式。 5× 4 d = 30 a = 10 5a1 + 1 2 (1)解法 1、得 d = −2 解法 a1 + 6d = −2 a7 − a3 = −2 解法 2、 S5 = 5a3 = 30, a3 = 6, d = 4
满足：变式 3、等差数列 n}满足： a1 < 0 S5 = S10 ，问 {an } 的前、等差数列{a 满足 _____项和最项和最_____？？
三、巧用函数的周期性【例3】在数列 n}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (n∈N*), 】在数列{a 中

浅谈函数思想在数列中的应用

ｎ的一次函数，那么对一切ｎ∈Ｎ，点ｆｎ，且ｌ共线，所以我
、
ｎ／
们可以运用一次函数思想求解等差数列前ｎ项和的问题．
例１等差数列中的第Ｐ项是ｑ，第ｑ项是Ｐ，求第Ｐ＋ｑ项．
解因为等差数列的通项可看成是关于ｎ的一次
例４已知数列｛％｝中，＝２，当ｎ ≥ ２时，＝
求－
，
解将等式两边取倒数，得＝２＋一，ｎ≥ ２．令６＝
（
ｌ
１则ｂ１＝１；当ｎ≥ ２时ｂ＝２＋６．则数列｛６｝是以
，
，
ｚ
为首项，２为公差的等差数列．即可得ｂ＝２ｎ— Ｎ－，所以
ｂ＝－１，故＋ｇ＝Ⅱ（ｐｇ）＋ｂ（Ｐ＋ｑ）＝＋ｑ）［ａ（ｐｑ）＋６］：一（ｐ＋ｑ）．
二、函数思想在等比数列中的应用以。为首项，ｑ为公比的等比数列ｔ％｝的通项公式为
％＝ａｌｑ＝ｃｑｎｆ其中Ｃ＝１，以及前几项和公式｜ｓｎ：
三、函数思想在可转化为等差、等比数列的数列中的应用
数列的知识是在等差、等比数列的基础上发展起来的，因此我们在碰到某类在形式上非等差、等比的数列时，第一反应就是想方设法把它们转化成我们所熟悉的等差、等比数列问题加以解决．构造函数是函数思想的重要体现，构造法在求数列通项公式中是一种比较常见的方法，通常我们需要将已知的递推数列通过变形或重组构造出新的等差数列、等比数列或其他能够求出通项的形式，使问题得以解决．

函数思想方法在初中数学教育运用

DOI:10.19551/ki.issn1672-9129.2021.03.269函数思想方法在初中数学教育运用施小琳(广西南宁市宾阳县武陵中学㊀530414)摘要:在初中数学教育当中,函数思想方法的有效运用可以帮助学生构建良好的思维逻辑,提高学生的数学学习和解题能力㊂因此,初中数学教师在教学过程中应深挖函数思想方法的运用方式,以促进学生的数学水平的不断增强㊂关键词:函数思想;初中数学;课堂教学中图分类号:G633.6㊀文献标识码:A㊀文章编号:1672-9129(2021)03-0269-01前言:函数思想方法在教学中的具体表现是当学生遇到比较难解的题目时,可以利用函数思想方法进行思维转化,将其以类似函数图像的方式进行具体分析,从而获得更为直观的解题方法,最终顺利完成解题,实现个人数学能力的全面提升㊂本文以初中数学教育教学为研究内容,探讨教师应如何运用好函数思想方法帮助学生更好的理解㊁吸收数学知识点,并实现个人数学解题能力的全面增强㊂1㊀函数思想方法在数列问题中的运用在初中数学教学中,函数思想方法的教学,主要是教会学生利用运动变化的观点及方法去探究数学相关问题中的数量关系,从而找到相应的解题函数关系,进而利用所学习的函数知识,实现顺利解题的目标㊂很多情况,函数思想方法与方程思想方法融会贯通,在问题的分析中,学生利用两种思想方法可以找到问题中变量之间的数量关系,从而通过比较熟悉的方程或方程组的建立实现问题的解决㊂对于函数知识的有效运用,在三角函数㊁数列㊁解析几何中比较常见㊂其中,在数列的相关问题的解决时,教师需要让学生懂得对函数知识的充分利用,借助函数的概念㊁图像及性质等将数列与函数之间建立起联系的桥梁,从而将其内在联系进行揭示,最终实现迅速解决数列问题的目标㊂例如:在等差数列{a n}中,前n项的和是S n,公差d小于0,如果存在正整数m,且mȡ3,使得a m=S m,那么,当n >m(nɪN+)时,有()㊂选项A:S N>a n;选项B:S nȡa n ;选项C:S n<a n;选项D:S nɤa n㊂在这道题目的解答中,学生借助函数图像能够更快速的完成解题㊂由于d小于0,数列{a n}和{S n}所对应的函数图像可知,分别是直线和抛物线㊂直线为y=dx+(a1-d),抛物线为y=d/2∗x2+ (a1-d/2)x㊂学生通过函数图像可以清晰的判断出答案为选项A㊂这种利用函数思想方法解决数列问题是初中数学教育中比较常见的,为此,教师需要在日常教学中帮助学生更好的巩固函数基础知识,并教会学生进行思维转化,当遇到类似问题时候能够快速的想到利用函数中的数量关系,结合图像及性质等进行快速解答㊂2㊀函数思想方法在方程问题中的应用对于初中数学来说,方程的相关问题非常普遍,同时,也是学生经常遇到的考点问题㊂方程题目的解答,需要学生根据实际和求解予以解答,这种方式通常会显得有一些难度㊂如果在课堂教学过程中,教师能够教会学生运用好函数思想方法,将对学生答题解题效率的提升大有裨益㊂值得注意的是,初中数学的教育教学中,函数思想方法的有效运用,需要学生将初中数学各个知识点的关联性予以充分掌握,如此才能更好的将函数类题目与平面图形进行有效联结,学生的解题和归纳水平才能得到提升㊂即函数思想方法在方程问题中的运用需要学生将方程与函数进行转化,并针对具体的条件予以分析探究,从而确保解题策略能够为实际教学需要提供最充分的条件㊂例如:已知x0为方程x3+3x2-8=0的一个正实数根,且n<x0<n+1(n是自然数),求n的值㊂在这道题目中,很多学生第一时间会想到因式分解㊂但我们知道如果能够被因式分解,那么解得的值一定是一个具体值,但本题不同,根据描述,可以不解出x0的具体值,而是只需要将x0的值限定于两个相邻的自然数之间即可㊂而且这个题目并不是求x0,而是求它的范围的下限是多少㊂通过观察题干中的方程,可以直接判断xʂ0,所以可以先将方程进行化简得出x2 +3x=8/x,此时方程左侧是一个二项式,右侧为一个分项式㊂即左侧是二次函数y1=x2+3x,右侧为反比例函数y2 =8/x,想要求得x的值,就是求两个函数的交点横坐标㊂通过将方程问题进行函数思想的转化,学生可以利用函数图像很好的将抽象问题进一步具体化,从而得到最终结果,n 是介于1和2之间的㊂3㊀函数思想方法在生活问题中的应用初中数学课堂教学中,最重要的便是让学生能够学以致用,既要教会学生是什么,又要让给他们明白为什么㊂学了数学知识有什么用,对其自身成长又意义何在等等,都是教师应该让给学生明白和了解的㊂而函数思想方法在实际生活中的应用教育,既能够帮助学生更好的理解和吸收相应的知识内容,又可以让学生更透彻的明白函数思想在实际生活中的重要作用,进而提高教育效率和效果㊂而且,在课堂教学过程中,如果教师能够恰当的引用一些学生在生活中最常见的生活实际例子来作为课堂辅助材料,一定可以帮助学生更好的将抽象转化为具体,减少学生们的学习障碍㊂例如:在菜市场中,各种蔬菜的单价是一定不变的,那么随着重量的变化,需要支付的钱也会发生变化,它们之间存在的数量变化关系就可以借助函数关系进行表示㊂或者,在运动比赛中,标枪运动员在投掷标枪的过程中,标枪会在空中划出一道漂亮的弧线,这条抛物线便是一种二次函数㊂教师通过列举生活中的函数事例,可以更好的培养学生的函数思想,将函数的抽象性进一步形象化,进而促进学生的理解和吸收,增强学生们的数学学习综合能力㊂结束语:总而言之,函数思想方法是初中数学教学中非常重要的一种学习和解题方法㊂教师首先要足够重视对学生函数相关知识点的讲解和教学,使函数知识真正的内化于学生心中㊂其次,以扎实的函数知识为基础,学生才能将一般的数学问题用函数的思想进行转化,从而找到问题的一般规律,并探究出解题路径㊂最后,通过日常的多样化练习,学生才能对函数思想方法的运用做到融会贯通,举一反三,最终实现个人数学能力的综合提升㊂参考文献:[1]函数思想方法在初中数学教育中的应用探讨[J].余云霞.新课程.2019.09.18[2]函数思想方法在初中数学教育中的应用[J].吕晓杰㊁刘敏.科普童话.2019.05.05[3]函数思想方法在初中数学教育中的应用[J].王春.科教导刊.2018.07.15㊃962㊃。