边值问题和唯一性定理(静电场)

静电场边值问题 唯一性定理

静电场的边值问题

静电场的唯一性定律
目前可解决的静电场问题



电荷在有限区域内，电荷的分布情况已知，并 且介质为线性各向同性均匀介质中的静电场问 题。对于此类问题，一般可以先求出电位，再 计算场中各点的电场强度和电位移矢量。 电荷、介质分布具有某种对称性的问题。由于 电荷和介质的分布具有对称性，因此电位移矢 量的分布必然也具有对称性。在这种情况下， 可以先用高斯通量定理求解电位移矢量，然后 再求电场强度。 已知电场的分布求电荷分布的问题。在这种情 况下，可直接由公式计算电荷的体密度，导体 上的面电荷密度根据分界面条件确定。
2
静电场边值问题的提出

实际中对于很多电磁场的问题通常并不 知道电荷分布，如静电场中导体表面的 感应电荷分布，介质极化后极化电荷的 分布等。对于此类的问题，必须通过求 解满足给定边界条件的电位微分方程 （泊松方程或拉普拉斯方程）的电位函 数，进而再求场域中的电场强度。我们 把这种在给定边界条件下，求解泊松方 程或拉普拉斯方程的问题称为边值问题。

对于各向同性、线性的非均匀媒质，电位 满足的微分方程又是什么形式呢？
D
D E
E
( )
7
边值问题举例－直接积分法
例 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷 体密度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位 及电场。（同例2-4） 解:采用球坐标系,分区域建立方程
自学)
10
反设满足场的解答有两个相异的解答1和 2，则差
场u= 1 2 满足拉普拉斯方程
2 2
u 1 2 0 根据矢量恒等式
2
(uu) u u (u) (u)
2 2
2
在整个场域求积分，并利用高 斯散度定律
3
边值问题 微分方程 边界条件
2 2 0
场域 边界条件
分界面 衔接条件
1 2 1 1 2 2 0
n n
自然 边界条件
r
lim r 0
第一类 边界条件
第二类 边界条件
第三类 边界条件
S f1 (s)
已知场域边界 上各点电位值
n
f 2 ( s) (
S
) f 3 ( s) n S
一、二类边界条 件的线性组合
已知场域边界上各 点电位的法向导数
静电场边值 问题框图
泊松方程与拉普拉斯方程
D
D E
E E E
E
0
5

1 d 2 d1 1 2 (r ) dr 0 r dr
2
(0 r a )
(a r )
8
22
1 d 2 d2 (r )0 2 dr r dr
积分之，得通解
r 2 1 1 (r ) C1 C2 6 0 r
边界条件
2 (r )
电场强度（球坐标梯度公式）： Nhomakorabea1 r E1 (r ) 1 er er r 3 0
2 a3 E2 (r ) 2 er e 2 r r 3 0 r
0r a
ar
唯一性定理
在静电场中,满足给定边界条件 的电位微分方程(泊松方程或者拉普 拉斯方程)的解是唯一的。(反证法
1
r 0
C3 C4 r
1 r a 2 r a
0
1 r
r a
有限值 0 电位参考点
0
2 r
r a
2
r
确定积分常数
a 2 a3 C1 0 C4 0 C2 , C3 2 0 3 0
ar
电位：
3 a 1 (r ) (3a 2 r 2 ) 0 r a 2 (r ) 6 0 3 0 r
(# )
若导体边界为第一类边界条件，则
u S 0
i
代入（＃）中，则

V
(u ) 2 dV 0 u 0 (1 2 ) 0 1 2 Const
对于差场u，其边界为齐次第一类边界条件，即
Const 0 1 2
若导体边界为第二类边界条件，则
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唯一性定理的意义

下面将要介绍的镜像法、电轴法等便是 巧妙地利用唯一性定理，用等效电荷替 代原来的分布电荷，求得满足唯一性定 理的解答，从而使问题的求解大为简化。
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唯一性定理的意义



在求解时，首先判断问题的边界条件是否满足。 当满足边界条件时，就可以断定解是唯一的。 可以用来判断静电场问题解答的正确性。用不 同的方法得到的解答(试探解、数值解、解析 解)往往具有不同的数学形式，在这种情况下 可以用唯一性定理判断它们的正确性。 为我们用其它间接方法求解静电场问题提供了 理论依据，或者说无论用什么方法获得静电场 的解答，只要解答满足唯一性定理，该解答就 是唯一正确的解答。
泊松方程与拉普拉斯方程
泊松方程

2
拉普拉斯方程
0 0
2
注意：泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、 线性的均匀媒质 分区域 列写方程
21 0 2 2 0 2 3 3 3
三个不同媒质区域的静电场
6
泊松方程与拉普拉斯方程

V
(uu )dV uu dS (u ) 2dV
s V
式中：S S0
S
i
S0是体积的无限远边界
由于无穷远S0处电位为零，因此
uu dS uu dS
S S
则

u uu dS u dS S S n


V
(u) 2 dV
u n 0
Si
代入（＃）中，则

V
(u) 2 dV 0 u 0 (1 2 ) 0 1 2 Const
即1和 2 相差一个常数，但这不影响电场强度值 （电场强度是电位函数的负梯度）。 综上，电位函数相等或者相差一个常数，此 时电位函数可确定同一电场强度解答，静电 场的唯一性定理得证。