系统运动的稳定性
牛顿定律与力学系统的稳定性
牛顿定律与力学系统的稳定性牛顿定律是经典力学的基础，它描述了物体运动的动力学规律。
这一定律在物理学中具有重要的地位，不仅在力学领域中有广泛应用，还是其他物理学分支的基础。
而与牛顿定律密切相关的一个概念就是力学系统的稳定性。
首先，我们来回顾一下牛顿定律的基本内容。
牛顿第一定律指出，一个物体如果没有外力作用，将保持静止或匀速直线运动。
牛顿第二定律则给出了物体在外力作用下的加速度与作用力之间的关系，即F=ma，其中F表示作用力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
牛顿第三定律表明，任何作用力都存在着一个与之大小相等、方向相反的反作用力。
牛顿定律的这些规律构成了力学系统的基础。
从微观角度看，力学系统由一系列物体组成，每个物体之间通过作用力相互作用。
而力学系统的稳定性则描述了系统在外界扰动下保持平衡的能力。
力学系统的稳定性有两个方面的考虑，一是平衡位置的稳定性，二是运动过程的稳定性。
首先，平衡位置的稳定性是指力学系统在平衡位置附近发生微小扰动后，是否能够回到原来的平衡位置。
这一现象可以通过简单的摆锤来说明。
当摆锤停在竖直下方时，它处于稳定平衡状态。
如果我们将摆锤稍稍偏离竖直位置，它将受到重力的作用而产生回复力，使得摆锤回到原始位置。
这种回复力的产生是由于重力是一个恢复力，它使得系统趋向于平衡状态。
这种稳定的平衡位置可以通过位势能的概念来解释，即物体在平衡位置附近的位势能较低，任何微小的位移都会导致位势能的增加，从而产生恢复力。
其次，力学系统运动过程的稳定性是指系统在外力作用下是否能够保持规律的运动。
这一稳定性可以通过谐振子的运动来说明。
谐振子是一个由质量为m的物体通过弹簧与一个固定支点相连构成的系统。
当外力作用于谐振子时，它会按照一定的规律在弹簧的拉力和重力的共同作用下进行周期性振动。
这种稳定的运动是由于力学系统在外界扰动下能够保持能量守恒，外力提供的能量在系统内部不断进行转化，使得谐振子保持有规律的振动。
第七章 车辆系统运动稳定性
3
轮对蛇行运动
4
1 稳定状态——振动收敛
机车车辆在理想的平直道上运行 时，在特定的条件下，如轮对具 有一定的定位刚度，各悬挂参数 匹配适当，在某一速度范围内运 行，这时所产生的蛇行运动的振 幅是随着时间的延续而衰减的， 这种运动称之为稳定的蛇行运动 。
4
2 y/mm
0
-2
-4
5
2临界状态——振动稳定
33
9
300 km/h 330 km/h 360 km/h 310 km/h 340 km/h 370 km/h 320 km/h 350 km/h 380 km/h
6 y/mm
轮轨间隙为6mm。
3
0
0
1
2
3 Time/s
4
5
6
34
整车蛇行失稳
35
整车蛇行失稳形式
转向架车辆具有两种蛇行运动： 第一种：车体蛇行（车体摇晃激烈、频率较 低），通常在较低速度下发生； 第二种：转向架蛇行（车体振动不很明显，转向 架激烈摇摆、频率较高），通常在较高 速度下发生；
8
高速车辆的蛇行运动失稳后，不仅会使车 辆的运行性能恶化，旅客的舒适度下降， 作用在车辆各零部件上的动载荷增大，并 且将使轮对严重地打击钢轨，损伤车辆及 线路，甚至会造成脱轨事故。 蛇行运动是机车车辆以及动车组实现高速 运行的一大障碍。
9
共振与失稳
对于强迫振动系统，只要激振力中的某一个频 率与该系统的自振频率中的某一个相等时就会 发生共振，超过共振临界速度后，共振现象就 消失。 对于自激振动系统，当车辆的运行速度略超过 某一最低临界速度值，系统中就开始失稳。系 统一旦失稳，随着速度的提高，失稳程度也越 严重。 车辆的运行速度可以容许超过共振的临界速 度，而绝对不能超过蛇行运动的临界速度。
稳定性
稳定性 (stability)系统受到扰动后其运动能保持在有限边界的区域内或回复到原平衡状态的性能。
稳定性问题是自动控制理论研究的基本问题之一。
稳定性分为状态稳定性和有界输入-有界输出稳定性。
状态稳定性如果充分小的初始扰动只引起系统偏离平衡状态的充分小的受扰运动，则称系统是稳定的。
如果当时间趋于无穷大时，所有这些受扰运动均回复到原平衡状态，则称系统是渐近稳定的。
如果对任意初始扰动引起的受扰运动，系统都能随时间趋于无穷大而回复到平衡状态，则称系统是全局或大范围渐近稳定的。
有界输入－有界输出稳定性如果对应于每个有界的输入，系统的输出均是有界的,就称系统是有界输入-有界输出稳定的，简称BIBO稳定。
一个向量信号称为有界，是指组成信号的每一个分量的函数值都为有限值。
对于可用常系数线性微分方程描述的系统，在系统是联合能控和能观测时（见能控性和能观测性），BIBO稳定等价于全局渐近稳定。
在线性控制理论中，系统稳定即指其平衡状态是全局渐近稳定。
稳定性的判别判定系统稳定性主要有两种方法：①李雅普诺夫方法：它同时适用于线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统。
对于线性定常系统，这种方法在使用上并不简便（见李雅普诺夫稳定性理论。
②基于对系统传递函数的极点分布的判别方法：只适用于线性定常系统。
传递函数的极点即是其分母多项式为零的代数方程的根。
这种方法在应用上比较简便。
其中按代数方法进行判别的为代数稳定判据，如劳思稳定判据和胡尔维茨稳定判据；按复变函数方法进行判别的有奈奎斯特稳定判据和米哈伊洛夫稳定判据；按图解方法通过研究极点随增益的变化关系来进行判别的为根轨迹法。
除此之外，在研究某些类型的稳定性问题时，也常采用波波夫稳定判据。
而泛函分析和微分几何的方法也已在研究稳定性问题中得到应用。
稳定性(stability)在一定条件下，物体在偏离平衡位置后能恢复到原来平衡位置的性能。
如塔式起重机一般要加适当的配重，使其承受各种载荷时重心始终在支承点周围的范围内而不翻倒。
线性系统理论第五章 系统运动的稳定性new
|
d
矛盾。因此，反设不成立。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论2
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系 统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个 有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式
hij (t) dt i 1,2, q j 1,2, p 0
等价定义为：
（1）由任意初始状态X0∈S(δ)出发的受扰运动φ(t;X0,t0) ，相对 于平衡 状态Xe=0对所有t∈[t0, ∞)均为有界
（2）受扰运动相对于平衡状态Xe=0满足渐近性，即
lim
t
(t;
x0
,
t0
)
0
x0 S( )
称自治系统的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
不稳定
称自治系统 x& f (x, t) x(t0 ) x0 t [t0 , ) 的孤立平衡状态
Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取实数ε>0为多么大，都不存在对应
一个实数δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出
发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式‖Φ(t；x0,t)-Xe‖≤ε，
‖ Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤ε
⑴ 稳定的几何解释 ⑵ 李亚普诺夫意义下一致稳定 ⑶ 时不变系统的稳定属性 ⑷ 李亚普诺夫意义下稳定的实质
t t0
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
⑴ 稳定的几何解释
几何意义：对任给正实数ε，在状态空间中以原点（即xe）为球心 构造半径为ε的一个超球体，其球域即为S(ε)。则若存在对应地一
工程力学中的力学系统的稳定性分析
工程力学中的力学系统的稳定性分析在工程力学中，力学系统的稳定性分析是一个重要的研究方向。
稳定性分析旨在研究力学系统在受到外界扰动时的响应，以及系统是否能够恢复到原始状态或者进入新的稳定状态。
本文将介绍力学系统的稳定性分析方法和应用。
一、力学系统的定义力学系统是由若干个物体和它们之间相互作用所组成的物理系统。
在力学系统中，物体之间相互作用有可能产生力和力矩的作用，从而影响系统的运动状态。
二、稳定性的概念稳定性是指力学系统在扰动下能否保持原有的运动状态或回到平衡状态。
稳定性可以分为两种情况，一种是平衡稳定，另一种是非平衡稳定。
1. 平衡稳定：当系统受到轻微扰动后，它将回到原始状态，这种情况称为平衡稳定。
平衡稳定的系统可以维持其平衡位置。
2. 非平衡稳定：当系统受到轻微扰动后，它将进入新的稳定状态，这种情况称为非平衡稳定。
三、力学系统稳定性分析的方法稳定性分析是通过对力学系统的运动方程和能量方程的分析来判断系统的稳定性。
常用的稳定性分析方法有线性稳定性分析和非线性稳定性分析两种。
1. 线性稳定性分析：线性稳定性分析是指将系统的运动方程进行线性化后进行分析。
其基本思想是通过线性化后的运动方程来研究系统在扰动作用下的响应。
线性稳定性分析方法常用于简化模型和小幅度扰动情况下的分析。
2. 非线性稳定性分析：非线性稳定性分析是指考虑系统的非线性特性，并通过对系统的非线性动力学方程进行求解和分析，来判断系统的稳定性。
非线性稳定性分析方法适用于模型复杂和大幅度扰动情况下的分析。
四、力学系统稳定性分析的应用力学系统的稳定性分析在工程领域有着广泛的应用，例如：1. 结构稳定性分析：在建筑工程中，对于大型结构的稳定性分析是非常重要的。
通过对结构进行力学稳定性分析，可以判断结构在承受外力时是否会发生失稳现象，从而保证结构的可靠性和安全性。
2. 机械系统稳定性分析：对于机械系统的稳定性分析可以帮助设计和优化机械装置。
通过稳定性分析，可以判断机械系统的工作状态是否稳定，进而优化设计，提高机械系统的性能和可靠性。
判断系统稳定性的方法
判断系统稳定性的方法系统稳定性是指系统在一定条件下保持正常运行的能力，是衡量系统可靠性和安全性的重要指标。
在日常工作和生活中，我们经常需要对系统的稳定性进行评估和判断。
那么，如何判断系统的稳定性呢？下面我将介绍几种常用的方法。
首先，我们可以通过系统的运行时间来判断其稳定性。
通常情况下，系统运行时间越长，其稳定性就越高。
因此，我们可以通过查看系统的运行时间来初步评估其稳定性。
当然，这只是一个简单的参考指标，我们还需要结合其他方法来进行综合评估。
其次，我们可以通过系统的负载情况来判断其稳定性。
系统的负载情况反映了系统的运行状态和性能表现。
如果系统的负载长时间处于高水平，那么很可能会导致系统的不稳定。
因此，我们可以通过监控系统的负载情况，及时发现并解决潜在的稳定性问题。
另外，我们还可以通过系统的日志信息来判断其稳定性。
系统日志记录了系统的运行状态、错误信息、异常情况等重要信息，通过分析系统日志，我们可以及时发现系统的异常情况，进而采取相应的措施，确保系统的稳定性。
此外，我们还可以通过系统的性能指标来判断其稳定性。
系统的性能指标包括CPU利用率、内存使用率、磁盘IO等，通过监控这些性能指标，我们可以了解系统的运行状态和性能表现，及时发现并解决潜在的稳定性问题。
最后，我们还可以通过系统的故障率来判断其稳定性。
系统的故障率反映了系统的可靠性和稳定性，通过分析系统的故障率，我们可以对系统的稳定性进行评估，并采取相应的措施，提高系统的稳定性。
综上所述，判断系统的稳定性需要综合考虑系统的运行时间、负载情况、日志信息、性能指标和故障率等多个方面的因素。
只有综合考虑这些因素，我们才能全面准确地评估系统的稳定性，及时发现并解决潜在的稳定性问题，确保系统的正常运行。
第五章 系统的稳定性PDF
第五章系统的稳定性讲授内容5.1系统稳定的初步概念一、稳定性的定义系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力。
若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称系统为稳定的；反之，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称系统为不稳定的。
线性系统的稳定性是系统的固有特性，仅与系统的结构及参数有关；而非线性系统的稳定性不仅与系统的结构及参数有关，而且还与系统的输入有关。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是的系统所有特征根的实部全都小于零，或系统传递函数的所有极点均分布在s平面的左半平面内。
若系统传递函数的所有极点中，只有一个位于虚轴上，而其它极点均分布在s平面的左半平面内，则系统临界稳定。
而临界稳定的系统极易因为系统的结构或参数的细微变化而变成不稳定的系统。
因此，临界稳定往往也归结为不稳定的一种。
5.2 （劳斯）稳定判据Routh Routh 判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
一、系统稳定的必要条件要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
Routh 运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
Routh Routh 运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
Routh Routh Routh Routh 在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：Routh 1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
第五章稳定性理论
稳定性理论5.1 外部稳定性和内部稳定性运动稳定性分为基于I/O 描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。
内容包括 外部稳定性 内部稳定性内部稳定性和外部稳定性关系（1）外部稳定性考虑以I/O 描述的线性因果系统，假定初始条件为零，外部稳定性定义如下：定义5.1 称一个因果系统为外部稳定，如果对任意有界输入u (t )，对应输出y (t )均有界，即 102(),[,]()u t t t y t ββ∀≤<∞∈∞⇒≤<∞外部稳定也称为BIBO 稳定。
定理5.1 对零初始条件线性时变系统，t 0时刻BIBO 稳定的充分必要条件是 01212(,),,,,;,,,tij t h t d i q j pττβ≤<∞==∫L L证明：先证SISO 情形。
充分性，已知脉冲响应函数绝对可积，证明系统BIBO 稳定。
由基于脉冲响应的输出关系式，有ττβττττττd u d u t h d u t h t y tt tt tt ∫∫∫≤⋅≤=000)()(),()(),()(因此，对任意有界输入u (t ) ∞<≤1β)(t u ∞<≤≤⇒∫10ββττβd u t y tt )()(即系统BIBO 稳定。
再证必要性，已知系统BIBO 稳定，反设有t 1，使得 ∞=∫ττd t h t t 11),(构造有界输入 ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>+==0100011111),(,),(,),(,),(sgn )(ττττt h t h t h t h t u∞===⇒∫∫τττττd t h d u t h t y tt t t 1010111),()(),()(这与系统BIBO 稳定矛盾，必要性得证。
MIMO 情形：对输出的每一分量，有 pj q i dt t h ij ,,,;,,,,)(L L 21210==∞<≤∫∞β定理5.2 对零初始条件线性时不变系统，BIBO 稳定的充分必要条件是，传递函数矩阵G (s )所有极点均具负实部。
现代机械控制工程 第五章 系统的稳定性
其中，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，即满足系统稳定的 必要条件。
劳斯稳定判据的判别过程如下：
n列出劳斯阵列 s a0 a2 sn-1 a1 a3 sn-2 b1 b2 sn-3 c1 c2 sn-4 d1 d2 …… s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1
a1a2 a0a3 b1 a1 b2
K 0 6 5 K 0
即：当0<K<30时系统稳定。
例2：单位反馈系统的开环传递函数为：
K ( s 1) G( s) s(Ts 1)(5s 1)
求系统稳定时K和T的取值范围。 解：系统闭环特征方程为：
5Ts3 (5 T )s 2 (1 K )s K 0
系统稳定条件为：
T 0 K 0 (5 T )(1 K ) 5TK 0
T 0 5T 0 K 4T 5
劳斯阵列的特殊情况 劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于 零，但其余各项不等于零或不全为零。 处理方法：用一个很小的正数 代替该行第 一列的零，并据此计算出阵列中的其余 各项。然后令 0，按前述方法进行判别。 如果零( )上下两项的符号相同，则系统存在 一对虚根，处于临界稳定状态；如果零 ( )上 下两项的符号不同，则表明有一 个符号变化，系统不稳定。
e t (a1 a2t ar t r 1)
当- < 0时，该输出分量指数单调衰减。 当- > 0时，该输出分量指数单调递增。 当- = 0时，该输出分量多项式递增。 对于一对r重复根-+j，相应的时域分量为：
e t (b1 b2t br t r 1 ) cos t (c1 c2t cr t r 1 ) sin t e t
第五章稳定性理论
稳定性理论5.1 外部稳定性和内部稳定性运动稳定性分为基于I/O 描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。
内容包括外部稳定性内部稳定性内部稳定性和外部稳定性关系（1）外部稳定性考虑以I/O 描述的线性因果系统，假定初始条件为零（保证系统输入输出描述的唯一性），外部稳定性定义如下：（ｔ时刻输出仅取决于ｔ时刻及之前的输入） 定义5.1 称一个因果系统为外部稳定，如果对任意有界输入u (t )，对应输出y (t )均有界，即102(),[,]()u t t t y t ββ∀≤<∞∈∞⇒≤<∞外部稳定也称为BIBO 稳定。
（有界输入－有界输出）β为有界常数。
１范数：向量各元素绝对值之和；２范数：向量各元素平方之和的１／２次方。
性质１： 非负性；齐次性；三角不等式。
定理5.1 对零初始条件线性时变系统，t 0时刻BIBO 稳定的充分必要条件是（设Ｈ（ｔ，τ）为系统脉冲响应矩阵，ｈｉｊ（ｔ，τ）一个元） 01212(,),,,,;,,,tij t h t d i q j pττβ≤<∞==∫L L 证明：先证SISO 情形。
充分性，已知脉冲响应函数绝对可积，证明系统BIBO 稳定。
由基于脉冲响应的输出关系式，有 ττβττττττd u d u t h d u t h t y tt t t t t ∫∫∫≤⋅≤=000)()(),()(),()(因此，对任意有界输入u (t )∞<≤1β)(t u∞<≤≤⇒∫10ββττβd u t y tt )()( 即系统BIBO 稳定。
再证必要性，已知系统BIBO 稳定，反设有t 1，使得∞=∫ττd t h t t 101),(构造有界输入（分段函数）⎪⎩⎪⎨⎧<−=>+==010*******),(,),(,),(,),(sgn )(ττττt h t h t h t h t u∞===⇒∫∫τττττd t h d u t h t y tt t t 1010111),()(),()(这与系统BIBO 稳定矛盾，必要性得证。
系统运动的稳定性
稳定性与鲁棒性关系探讨
稳定性是鲁棒性的基础
稳定性和鲁棒性相互制约
稳定的系统才能谈得上鲁棒性，不稳 定的系统无法抵御外部扰动。
提高系统的鲁棒性可能会牺牲部分稳 定性，需要在二者之间寻求平衡。
鲁棒性是对稳定性的补充
鲁棒性要求系统在受到外部扰动时仍 能保持稳定，是对稳定性的更高要求。
PART 03
线性系统运动稳定性分析
系统运动的稳定性
https:/统运动稳定性基本理论 • 线性系统运动稳定性分析 • 非线性系统运动稳定性分析 • 控制策略对系统运动稳定性影响研究 • 总结与展望
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
稳定性定义及意义
03
仿真与实验验证
通过大量的仿真和实验验证，证实了 所提方法和策略的有效性和实用性， 为实际应用提供了有力支持。
未来发展趋势预测和展望
深度学习在稳定性分析中 的应用
随着深度学习技术的不断发展 ，未来可以尝试将深度学习应 用于系统运动的稳定性分析中 ，以提高分析的准确性和效率 。
多智能体系统稳定性研究
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
非线性系统稳定性分析方法
相平面法
通过绘制相平面图分析系统运动 轨迹，判断系统稳定性，适用于 二阶非线性系统。
李雅普诺夫方法
构造李雅普诺夫函数并分析其导 数性质，判断系统稳定性，适用 于非线性定常系统。
描述函数法
将非线性环节近似为线性环节， 利用线性系统稳定性判据分析系 统稳定性，适用于弱非线性系统。
Poincare映射法
将连续的非线性系统转化为离散的映射，通过分 析映射的性质来研究系统的动力学行为。
系统的稳定性及其判定(罗斯阵列)
6-6 系统的稳定性及其判定所有工程实际系统的工作都应该具有稳定性，所以对系统稳定性的研究十分重要。
本节将介绍系统稳定性的意义及其判定方法。
一、系统稳定性的意义若系统对有界激励f(t)产生的零状态响应也是有界的，即当时，若有(式中和均为有界的正实常数)，则称系统为稳定系统或系统具有稳定性研究不同问题时，“稳定”的定义不尽相同。
这里的定义是“有界输入、有界输出”意义下的稳定。
，否则即为不稳定系统或系统具有不稳定性。
可以证明，系统具有稳定性的必要与充分条件，在时域中是系统的单位冲激响应h(t)绝对可积，即＜∞（6-36)证明设激励f(t)为有界，即式中，为有界的正实常数。
又因有故有(6 -37)由此式看出，若满足＜∞则一定有证毕即也一定有界。
式中为有界的正实常数。
由式(6-36)还可看出，系统具有稳定性的必要条件是(6-38)式(6-36)和式(6-38)都说明了系统的稳定性描述的是系统本身的特性，它只取决于系统的结构与参数，与系统的激励和初始状态均无关。
若系统为因果系统，则式(6-36)和式(6-38)可写为＜∞( 6-39)(6-40)二、系统稳定性的判定判断系统是否稳定，可以在时域中进行，也可以在s域中进行。
在时域中就是按式(6-36)和式(6-38)判断，已如上所述。
下面研究如何从s域中判断。
1.H(s)的极点［即D(s)=0的根］分布来判定若系统函数H(s)的所有极点均位于s平面的左半开平面，则系统是稳定的。
若H(s)在jω轴上有单阶极点分布，而其余的极点都位于s平面的左半开平面，则系统是临界稳定的。
若H(s)的极点中至少有一个极点位于s平面的右半开平面，则系统就是不稳定的；若在jω轴上有重阶极点分布，则系统也是不稳定的。
2.用上述方法判定系统的稳定与否，必须先要求出H(s)的极点值。
但当H(s)分母多项式D(s)的幂次较高时，此时要具体求得H(s)的极点就困难了。
所以必须寻求另外的方法。
系统的稳定性
3.“小偏差”稳定性
又称“局部稳定性”。实际系统往往存在 非线性，所以，系统的动力学方程往往是建立 在“小偏差”线性化的基础上的。在偏差较大 时，线性化带来的误差很大。初始偏差不超过 某一微小范围的稳定性，称为小偏差稳定性。
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5.2 劳斯稳定判据
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一、幅角原理
设一复变函数：
F (s) K (s z1)(s z2 ) (s zm ) (s p1)(s p2 ) (s pn )
s为复变量
[ s] 平面上的解析点s映射到[ F( s) ] 平面上的点为F( s)
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GB(s)在[s]右半平面没有极点 （即F(s)在[s]右半平面没有零点）
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应用幅角原理，可导出Nyquist稳定判据
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G(s)H(s)=F(s)-1，对[F(s)]的原点的圈数即为 对(-1,j0)点在[G(s)H(s)]平面上的圈数
试判别系统的稳定性
•
F(s) 2s4 48s2 50 0 F(s) 8s3 96s 0
系统不稳定 有一个具有 正实部的根
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5.3 Nyquist稳定判据
判据：1＋G(s)H(s)=0 Re(si)<0 研究的是: GK( jω）即G( jω)H( jω)
(2)Nyquist判据证明复杂，但应用简单。因为一般系统 的开环系统多为最小相位系统，P=0，故只需看开环 轨迹是否包围(-1,j0)点，若不包围，系统稳定。
(3)在P=0，即开环传函在[s]平面右半平面无极点时，称 开环稳定。反之，称开环不稳定。开环不稳定，闭环 可能稳定；开环稳定，闭环可能不稳定。
控制工程基础课件第七章 系统的稳定性
s3 s2 s1 s0
2T T+2 T +2 1 K
T +2 K
1+K K 2TK 0
若使系统稳定，还必须使 劳斯数列中第一列元素均 大于零，满足稳定的充分 条件，因此有
TT++22＞01 K
T +2
2TK
＞0
解得
T0＜＞K- ＜2 TT
+2 2
第三节 乃奎斯特稳定判据
乃奎斯特稳定判据：又称频域法判据，它 是根据开环频率特性来判断闭环系统的稳定 性，同时还可以得知系统的相对稳定性及指 出改善系统稳定性的途径。
例5－2 已知系统的特征方程为D s s5 2s4 2s3 4s2 11 10 0 用劳斯判据判断系统的稳定性。
解 (1) 该系统特征方程的系数不缺项且均同号，满足系 统稳定的必要条件。
(2) 劳斯列表如下
s5 s4 s3 s2
1 2
4 -12 12
2 4 6
10
s1 6 0
11 10 0
(a0sn a1sn1 ... an1s an ) X o (s) M0 (s) (b0sm b1sm1 ... bm1s bm ) Xi (s) N0 (s)
X0
s
M s Ds
Xi
s
N s Ds
式中
M s b0sm b1sm1 bm1s bm ; D s a0sn a1sn1 an1s an ; N s 与初始条件有关的s多项式。
稳定的摆
不稳定的摆
扰动去除后系统的输出：
1：回到原来的平衡状态------稳定 2：发散的震荡------不稳定 3：持续震荡------不稳定（临界稳定） 4：达到新的平衡状态-----（临界稳定）
线性系统理论(第五章)
x0 − xe
≤ δ ( ε , t 0 ) 的任一初态 x 0 出发的受扰
S (ε )
S (δ )
运动都同时满足不等式： 运动都同时满足不等式：
φ (t ; x0 , t0 ) − xe ≤ µ
∀ t ≥ t0 + T ( µ ,δ , t0 )
运动的有界性。 运动的有界性。
x0 xe
φ (t ; x0 , t0 )
001
系统运动的稳定性
讨论内部稳定性。 讨论内部稳定性。 李亚普诺夫方法（А.М.Ляпунов) Ляпунов) 李亚普诺夫方法（ 线性系统 定常系统 非线性系统 ； 时变系统 ； 离散时间系统。 离散时间系统。
连续时间系统
002
系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性 外部稳定性 考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入 u ( t ) ， 考虑一个线性因果系统， 即满足条件： 即满足条件：
G ( t ) 为其脉冲响应矩阵， ˆ ( s ) 为其传递函数矩阵，则系统 G 为其脉冲响应矩阵， 为其传递函数矩阵，
为 B I B O 稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数 k ， 稳定的充分必要条件是，
j = 1, 2 , L , p ) 均满足关系式： 均满足关系式：
G (t )
的每一个元
大范围渐近稳定为全局渐近稳定。 大范围渐近稳定为全局渐近稳定。 小范围渐近稳定为局部渐近稳定。 小范围渐近稳定为局部渐近稳定。 大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外， 大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它孤立平 衡点。 衡点。 线性系统渐近稳定==大范围渐近稳定 线性系统渐近稳定==大范围渐近稳定。 大范围渐近稳定。
006
第5章 系统的稳定性2(机械控制原理与技术教案)
a1 xo(t )
a0 xo(t )
xi(t )
自由响应
强迫响应
n
n
xo(t ) A1ie sit A2ie sit B(t )
i 1
i 1
系统的初态引 输入引起的 起的自由响应 自由响应
si:系统的特征根
2. 系统稳定条件
1) 当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位 于[s]平面的左半平面）
由系统稳定的充要条件，有
s3
1
7500 0
s2
34.6
7500K 0
s1 34.6 7500 7500K
0
34.6
s0
7500K
0
(1) 7500K>0，亦即K>0。显然，这就是由必要条件所得的结果。
(2)
34.6 7500 7500K 0 34.6
，亦即K<34.6。
故能使系统稳定的参数K的取值范围为0<K<34.6。
第五章 系统的稳定性
第五章 系统的稳定性
——系统能正常工作的首要条件
系统的稳定性与稳定条件 Routh（劳斯）稳定判据 Nyquist 稳定判据 Bode稳定判据 系统的相对稳定性
一、系统的稳定性与稳定条件
例：液压位置随动系统
原理：
外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开 →活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）
0 常量
当n m 当n m
② LF包围原点的圈数 = LGH包围(－1，j0)点的圈数 N=Z-P
三、NYQUIST 稳定判据
5. 判据
当由－到+时，若[GH]平面上的开环频率 特性G(j)H(j)逆时针方向包围（－1，j0）点P圈， 则闭环系统稳定。（P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平 面的极点数）
系统运动的稳定性分析
的符号特V征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需
求解系统状态方程的解，故称直接法。
直接法解决了一些其它稳定性判据难以解决的非 线性系统的稳定性问题，但遗憾的是对一般非线性 系统仍未找到构造李雅普诺夫函数V(x)的通用方法。 尽管如此目前它仍然是研究系统(包括时变、非线性) 稳定性的有力工具。
几何意义：
3.大范围渐进稳定性
定义：当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡状 态xe均具有渐进稳定性，称这种平衡状态xe是大范围 渐进稳定的。此时，δ→∞，S(δ)→∞。当t→∞时， 由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于xe。
对于严格的线性系统，如果它是渐进稳定的，必 定是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳定
系统在原点处的平衡状态是渐 进稳定的。
3.当 x ，有V (x,t)
1，2，3
系统在原点处的平衡状态是大范围渐 进稳定的。
[例4.3.1] 已知非线性系统的状态方程为:
[定理4.1] 线性定常系统
x Ax Bu
y
Cx
(4.10)
（1）平衡状态xe是渐进稳定的充分必要条件是矩
阵A的所有特征值均具有负实部；
（2）平衡状态xe是不稳定的充分必要条件是矩阵
A的有些特征值均具有正实部；
（3）当系统用传递函数描述时，系统BIBO稳定的
充分必要条件为G(s）的极点具有负实部。
[例4.2.1] 设系统的状态空间表达式为： P161例4-1
x
1
0
0 1 1x 1u
y 1 0x
试分析系统平衡状态xe=0的稳定性与系统的BIBO （输出）稳定性。 解：系统的特征方程为
动稳定度单位-概述说明以及解释
动稳定度单位-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在科学研究和工程应用中，动稳定度是一个重要的概念。
它用来描述系统在动态运行中的稳定性和可靠性。
动稳定度单位是一种衡量动态稳定性的量化指标，它能够直观地反映系统在变化环境下的表现。
动稳定度单位的核心思想是通过对系统的动态响应进行分析和评估，从而判断系统的稳定性。
它可以帮助我们了解系统在振荡、震动及其他动态运动过程中的行为。
通过对系统的动态特性进行研究，我们可以评估系统的稳定性，并提出相应的改进措施。
动稳定度单位的计算方法多种多样，常见的有频率响应、幅频响应、阻塞频率响应等。
不同的计算方法适用于不同的系统和研究目的。
通过这些方法，我们可以得到系统的动态特性曲线和频谱图，从而分析系统的稳定性和可靠性。
在实际应用中，动稳定度单位可以广泛应用于各个领域。
例如，在机械工程中，它可以帮助我们评估机械系统的运动稳定性，从而提高设备的可靠性和安全性。
在电气工程中，它可以用于分析电路系统的动态行为，帮助我们设计稳定的电路。
在控制工程中，它可以帮助我们设计合适的控制算法，提高系统的稳定性和性能。
总之，动稳定度单位是一个重要的概念，它能够帮助我们评估系统的动态稳定性和可靠性。
通过对系统的动态特性进行分析，我们可以提出相应的改进措施，从而提高系统的性能和可靠性。
动稳定度单位在各个领域都有广泛的应用前景，将对未来科学研究和工程技术的发展起到积极的促进作用。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构部分是对整篇文章进行概括和介绍的一部分，它主要用来向读者展示整篇文章的组织结构和内容安排。
本篇文章将按照以下结构展开：1. 引言：本部分主要对文章的主题进行概述，介绍动稳定度单位的背景和意义。
2. 正文：本部分将从两个要点的角度来探讨动稳定度单位。
具体内容如下：2.1 第一个要点：在本部分，将介绍动稳定度单位的定义、应用场景以及计算方法。
我们将详细分析动稳定度单位在工程领域中的实际应用，并探讨其对系统稳定性的影响。
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4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1
外部稳定性和内部稳定性
一 外部稳定性
对于一个因果系统，假定系统的初始条件
为零，如果对应于一个有界的p维输入u(t)， 所产生的q维输出y(t)也是有界的，则称此系 统是外部稳定的。也称为有界输入-有界输出 稳定(BIBO稳定)。
5
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
线性时变系统BIBO稳定判据：
若已知系统状态方程，令 x f ( x, t ) 0 所求得的解x， 就是平衡状态。 在大多数情况下，xe=0即状态空间原点为系统的一 个平衡状态。此外系统也可以有非零平衡状态。 系统运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性， 也即偏离平衡状态的受扰运动能否依靠系统内部的 结构因素而返回到平衡状态，或者限制在它的一个 有限邻域内。
两种稳定性有 关系吗？
外 部 稳 定 性
内 部 稳 定 性
既能控又能观时
11
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.2 李雅普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自Βιβλιοθήκη 系统，可 用如下系统状态方程来描述:
x f ( x, t )
式中：x为n维状态向量，f(x,t)为线性或非线性、 定常或时变的n维函数。具体为n个一阶微分方程：
lim x0u (t ) 0
t
则称该系统为内部稳定，或渐近稳定。
8
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
线性时变系统内部稳定判据：
对n维连续时间线性时变自治系统，系统在时 刻 t 0是内部稳定的充要条件为：状态转移矩阵对所 有 t [t 0 , ]为有界,并满足渐近属性即成立：
lim (t , t0 ) 0
t
0
gij (t) dt k<
或G(s)的所有极点均具有负实部。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
二
内部稳定性
A( t ) x B( t )u, x ( t 0 ) x 0 x y C( t ) x D( t )u, t [ t 0 , t ]
令外界输入u=0，初始状态任意，如果零输入响 应满足下列关系式：
6
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
线性定常系统BIBO稳定判据：
对于零初始条件的线性定常系统，G(t)为
其单位脉冲响应矩阵，G(s)为其传递函数矩阵，
则系统BIBO稳定的充要条件为：存在一个有限
常数k，G(t)的每一个元 均满足如下关系式：
gij (t ) (i 1,q; j 1,, p)
若能使系统方程的解 x(t;x0,t0) 在 t→∞ 的过程中，都位 于以xe为球心，任意规定的半径为ε的闭球域S(ε)内， 即
|| (t; x0 , t0 ) xe || , t t0
第5章 李雅普诺夫稳定性分析 稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。 稳定的现象
不 稳 定 的 摆
稳 定 的 摆
1
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
描述稳定性有两种方法
外部稳定性
内部稳定性
通过零输入下 的状态运动响 应来描述系统 的稳定性。
通过系统的输入输出关系来描述 系统的稳定性。
2
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫第一法 （间接法）
李雅普诺夫第二法 （直接法）
利用线性系统微分方程 的解来判断系统稳定性。 由于间接法需要解系统微 分方程，并非易事，所以 间接法的应用受到了很大 的限制。
先利用经验和技巧来构 造李亚普诺夫函数，再利 用李雅普诺夫函数来判断 系统稳定性。直接法不需 解系统微分方程，获得广 泛应用。
i fi ( x1, x2 , , xn , t )；i 1, 2, , n x
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
2. 受扰运动
假定自治系统状态方程
x f ( x, t )
是满足解的存在且唯一性条件的，则可将系统 由 t0 初始时刻的初始状态 x0 所引起的运动（即 状态方程的解）表为：
x0u (t ) ( t； x0 , t0 ), t [t0 , ]
则初始状态 x0 必满足 φ(t0;x0,t0)=x0 。由于这一 运动是由初始状态的扰动引起的，因此常称其 为系统的受扰运动。
13
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 平衡状态(※)
对于所有t，满足 xe f ( xe , t ) 0 的状态xe称 为平衡状态。
得范数，其几
|| (t;x 0 , t 0 ) x e || , t t0
则称该系统的平衡态是李雅普诺夫意义下稳定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
该定义的几何含义是：设系统初始状态x0位于以平衡
状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即
|| x0 xe || ( , t0 )
对于零初始条件的线性时变系统，G(t,τ)为 其单位脉冲响应矩阵，则系统BIBO稳定的充要条 件为：存在一个有限常数k，使对于一切 t [t 0 , ]
g ij (t, ) (i 1,q; j 1,, p) ，G(t,τ)的每一个
元均满足如下关系式：
t
t0
g ij ( t , ) d k
14
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
4 李雅普诺夫意义下的稳定性
假若对于任意实数
0 ，都存在一个实
为欧几里
数 ( , t 0 ) 0 ，使得从满足下式
何意义是空间 || x 0 x e || ( , t 0 ) 距离的尺度。 的初始状态x 0 出发的系统的所有解都满足不等式
在研究运动的内部稳定性时，为体现出系统自
身结构的特点，常限于研究没有外部输入作用时的
系统。也就是说内部稳定性表现为系统的零输入响 应，即在输入恒为零时，系统的状态演变的趋势。 李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的更 一般性理论，不仅适用于线性定常系统，而且适 用于非线性、时变系统。
3
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
t
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
线性时不变系统内部稳定判据：
对n维连续时间线性时不变自治系统，系统是内 部稳定的充要条件为：系统矩阵A所有特征值 均具有负实部,即成立：
Re{i ( A)} 0,
i 1, 2,
,n
10
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
三 线性定常系统内部稳定性和外部稳定性的关系