第二章 机械能守恒定律

第2章 机械能守恒定律

2-1 处于一斜面上的物体，在沿斜面方向的力F 作用下，向上滑动。已知斜面长为5.6 m ，顶端的高度为3.2 m ，F 的大小为100 N ，物体的质量为12 kg ，物体沿斜面向上滑动的距离为4.0 m ，物体与斜面之间的摩擦系数为0.24。求物体在滑动过程中，力F 、摩擦力、重力和斜面对物体支撑力各作了多少功？这些力的合力作了多少功？将这些力所作功的代数和与这些力的合力所作的功进行比较，可以得到什么结论？

已知：如图， 3.2h m =; 5.6l m =, 4.0r r m ∆=∆=

12m kg = ,100F N =,μ

求: F

f G N W W W W W 合

解:cos N mg α= cos f N mg μμα∴== 而：sin 0.5714h

l

α=

=

cos 0.8207α∴== 100 4.0400F W F r J =∆=⨯=

cos 0.24129.80.8207 4.092.41f W f r mg r

J μα=-⋅∆=-⋅∆=-⨯⨯⨯⨯=-

sin 268.8G W mg r J α=-⋅∆=-

cos900N W N r =∆=

sin F F f mg α=--合

cos sin 10023.267.1F mg mg μαα=--=--

9.7()(N =方向沿斜面向上）

9.7 4.038.8W F r J ∴=⋅∆=⨯=合合

显然:40092.4268.8038.8()F f G N W W W W J +++=--+=

2-2 将物体放到弹簧秤的悬钩上，弹簧就被拉伸，问在弹簧被拉伸的过程中，什么力作正功？什么力作负功？

答： 重力方向与物体的位移方向一致

∴重力做正功,而弹簧力的方向与弹簧伸长的方向相反所以弹簧力做负功。忽略空气阻力等，重力做

功与弹簧力做功大小相等。

2-3 物体在一机械手的推动下沿水平地面作匀加速运动，加速度为2

0.49m s -⋅ 。若动力机械的功率有50%用于克服摩擦力，有50%用于增加速度，求物体与地面的摩擦系数。

解: p F v =⋅

由牛顿第二定律: F f ma -=

F f ma mg ma μ∴=+=+

故: ()P F v mg ma v mgv ma v μμ=⋅=+=+⋅

动力机械的功率50%用于克服摩擦力，50%用于增加速度

50%

150%

mgv

p mav

p μ⨯∴

=

=⨯

即得：20.490.050 5.0109.8

a g μ-=

===⨯ 2-4 有一斜面长5.0 m 、顶端高3.0 m ，今有一机械手将一个质量为1000 kg 的物体以匀速从斜面底部推到顶部，如果机械手推动物体的方向与斜面成0

30，斜面与物体的摩擦系数为0.20，求机械手的推力和它对物体所作的功。 解: 物体的受力情况如图

sin cos 6cos sin 6F mg N F f mg πθπθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩

cos

(sin

cos )sin 66

F F mg mg π

π

μθθ∴=++

故：3cos sin (0.20.280.6)1009.8

9.710()0.8660.20.5

cos

sin

6

6

mg mg F N mg μθθ

π

π

μ+⨯+⨯⨯=

=

=⨯-⨯-

注：sin 0.6cos 0.8h

l

θθ=

=== 24cos

9.710 5.00.866 4.210()6

F W F l J π

-=⋅⋅=⨯⨯⨯=⨯

2-5 有心力是力的方向指向某固定点(称为力心)、力的大小只决定于受力物体到力心的距离的一种力，万

有引力就是一种有心力。现有一物体受到有心力 m F e r

α=-

的作用(其中m 和α都是大于零的常量)，从

P r 到达Q r ，求此有心力所作的功，其中P r 和Q r 是以力心为坐标原点时物体的位置矢量。

解: 根据题意，画出物体在有心力场中运动的示意图，即如图示， 物体在运动过程中的任意点C 处，在有心力f 的作用下作位移元dl ，力所作的元功为：

02(0m dA f d r dr

d r r

ρ=⋅=-

与的夹角为）

所以，在物体从点P (位置矢量为P r )到达点Q (位置矢量为Q r )的过程中，f 所作的总功为：

11Q

P

r Q

r p r m m A dr r r r ααα-+=-=⋅-⎰

1111()1Q p

m r r ααα--=--

2-6 马拉着质量为100 kg 的雪撬以1

2m s -⋅ 的匀速率上山，山的坡度为0.05(即每100 m 升高5 m)，雪撬与雪地之间的摩擦系数为0.10。求马拉雪撬的功率。 解: sin cos sin F f mg mg mg θμθθ=+=+

0.101009.811009.80.05=⨯⨯⨯+⨯⨯

147()N =

147 2.0294()P Fv W ∴==⨯=

2-7 机车的功率为6

2.010W ⨯，在满功率运行的情况下，在100 s 内将列车由静止加速到1

20m s -⋅ 。若忽略摩擦力，试求： (1)列车的质量；

(2)列车的速率与时间的关系； (3)机车的拉力与时间的关系； (4)列车所经过的路程。