融安县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

融安县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知数列{a n }是等比数列前n 项和是S n ，若a 2=2，a 3=﹣4，则S 5等于（ ） A ．8
B ．﹣8
C ．11
D ．﹣11
2． 直径为6的球的表面积和体积分别是（ ）
A ．144,144ππ
B ．144,36ππ
C ．36,144ππ
D ．36,36ππ 3． 有30袋长富牛奶，编号为1至30，若从中抽取6袋进行检验，则用系统抽样确定所抽的编号为（ ） A ．3，6，9，12，15，18 B ．4，8，12，16，20，24 C ．2，7，12，17，22，27 D ．6，10，14，18，22，26
4．
已知向量=（1，1，0
），=（﹣1，0，2）且
k
+与
2
﹣互相垂直，则k 的值是（ ） A ．1
B
．
C
．
D
．
5． 已知A={﹣4，2a ﹣1，a 2}，B={a ﹣5，1﹣a ，9}，且A ∩B={9}，则a 的值是（ ）
A ．a=3
B ．a=﹣3
C ．a=±3
D ．a=5或a=±3 6． 已知集合A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则集合A ∪B=（ ）
A ．{5，8}
B ．{4，5，6，7，8}
C ．{3，4，5，6，7，8}
D ．{4，5，6，7，8}
7． 若直线l
的方向向量为=（1，0，2），平面α
的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A ．l ∥α B ．l ⊥α
C ．l ⊂α
D ．l 与α相交但不垂直
8． 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（ ） A
．
π B ．2
π
C ．
4
π
D
．
π
9． 已知e 为自然对数的底数，若对任意的1
[,1]x e
∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln 1y
x x a y e -++= 成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A.1[,]e e
B.2(,]e e
C.2(,)e +∞
D.21(,)e e e
+
【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．
10．已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪-+⎩
……… 内的概率为（ ）
A.
34
B.
38
C.
14
D.
18
【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 11．已知两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a 等于（ ） A ．1或﹣3 B ．﹣1或3 C ．1或3 D ．﹣1或﹣3
12．以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分
数的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．如图所示，在三棱锥C ﹣ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是 ．
14．若x ，y 满足线性约束条件，则z=2x+4y 的最大值为 ．
15．抛物线y 2=8x 上一点P 到焦点的距离为10，则P 点的横坐标为 ．
16．圆心在原点且与直线2x y +=相切的圆的方程为_____ .
【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题. 17．在等差数列}{n a 中，20161-=a ，其前n 项和为n S ，若
28
108
10=-S S ，则2016S 的值等于 . 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度.
18．设α为锐角，若sin （α﹣
）=，则cos2α= ．
三、解答题
19．（本题12分）如图，D 是Rt BAC ∆斜边BC 上一点，AC =. （1）若22BD DC ==，求AD ； （2）若AB AD =，求角B .
20．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数()133x x a
f x b
+-+=+.
（1）当1a b ==时，求满足()3x
f x =的x 的取值；
（2）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数
①存在t R ∈，不等式()()
2222f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围； ②若函数()g x 满足()()()
12333
x
x f x g x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，
若对任意x R ∈，不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值.
21．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，，E ，F 分别是A 1C 1，
AB 的中点．
（I ）求证：平面BCE ⊥平面A 1ABB 1； （II ）求证：EF ∥平面B 1BCC 1； （III ）求四棱锥B ﹣A 1ACC 1的体积．
22．（本小题满分12分）△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知k sin B＝sin A＋sin C（k为正常数），a＝4c.
（1）当k＝5
时，求cos B；
4
（2）若△ABC面积为3，B＝60°，求k的值．
23．已知函数f（x）=cos（ωx+），（ω＞0，0＜φ＜π），其中x∈R且图象相邻两对称轴之间的距离为
；
（1）求f（x）的对称轴方程和单调递增区间；
（2）求f（x）的最大值、最小值，并指出f（x）取得最大值、最小值时所对应的x的集合．
24．如图，四棱锥P ABC -中，,//,3,PA BC 4PA ABCD AD BC AB AD AC ⊥=====，M 为线段AD 上一点，2,AM MD N =为PC 的中点．
（1）证明：//MN 平面PAB ；
（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值；
融安县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：设{a n}是等比数列的公比为q，
因为a2=2，a3=﹣4，
所以q===﹣2，
所以a1=﹣1，
根据S5==﹣11．
故选：D．
【点评】本题主要考查学生运用等比数列的前n项的求和公式的能力，本题较易，属于基础题．
2．【答案】D
【解析】
考点：球的表面积和体积．
3．【答案】C
【解析】解：从30件产品中随机抽取6件进行检验，
采用系统抽样的间隔为30÷6=5，
只有选项C中编号间隔为5，
故选：C．
4．【答案】D
【解析】解：∵=（1，1，0），=（﹣1，0，2），
∴k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），
2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），
又k+与2﹣互相垂直，
∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=．
故选：D．
【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，是基础的计算题．
5．【答案】B
【解析】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，
∴2a﹣1=9或a2=9，
当2a﹣1=9时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意；
当a2=9时，a=±3，若a=3，集合B违背互异性；
∴a=﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．6．【答案】C
【解析】解：∵A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，
∴A∪B={3，4，5，6，7，8}．
故选C
7．【答案】B
【解析】解：∵=（1，0，2），=（﹣2，0，4），
∴=﹣2，
∴∥，
因此l⊥α．
故选：B．
8．【答案】C
【解析】解：用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为：cm；
已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为：，
所以球的体积为：=4π
故选：C．
9．【答案】B
【解析】
10．【答案】B
【解析】
11．【答案】A
【解析】解：两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，
所以=≠，
解得a=﹣3，或a=1．
故选：A．
12．【答案】D
【解析】解：因为以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母共可构成个分数，
由于这种分数是可约分数的分子与分母比全为偶数，
故这种分数是可约分数的共有个，
则分数是可约分数的概率为P==，
故答案为：D
【点评】本题主要考查了等可能事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
二、填空题
13．【答案】30°．
【解析】解：取AD的中点G，连接EG，GF则EG DC=2，GF AB=1，
故∠GEF即为EF与CD所成的角．
又∵FE⊥AB∴FE⊥GF∴在Rt△EFG中EG=2，GF=1故∠GEF=30°．
故答案为：30°
【点评】此题的关键是作出AD的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解，如果一味的想利用余弦定理求解就出力不讨好了．
14．【答案】38．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，
直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，
由，解得，
即A（3，8），
此时z=2×3+4×8=6+32=32，
故答案为：38
15．【答案】 8 ．
【解析】解：∵抛物线y 2
=8x=2px ，
∴p=4，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|MF|=x+=x+2=10， ∴x=8， 故答案为：8．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
16．【答案】22
2x y +=
【解析】由题意，圆的半径等于原点到直线2x y +=的距离，所以
r d ==
=222x y +=.
17．【答案】2016-
18．【答案】 ﹣ ．
【解析】解：∵α为锐角，若sin （α﹣）=，
∴cos （α﹣）=，
∴sin
=
[sin （α﹣
）+cos （α﹣
）]=
，
∴cos2α=1﹣2sin 2
α=﹣
．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】（1）2=AD ；（2）3
π
=
B .
【
解
析
】
考点：正余弦定理的综合应用，二次方程，三角方程.
【方法点晴】本题主要考查三角形中的解三角形问题，解题的关键是合理选择正、余弦定理..当有三边或两边及其夹角时适合选择余弦定理，当有一角及其对边时适合选择正弦定理求解，解此类题要特别注意，在没有明确的边角等量关系时，要研究三角形的已知条件，组建等量关系，再就是根据角的正弦值确定角时要结合边长关系进行取舍，这是学生们尤其要关注的地方. 20．【答案】（1）1x =-（2）①()1,-+∞，②6
【解析】
试题
解析：（1）由题意，1
31
331x x x +-+=+，化简得()2332310x x ⋅+⋅-= 解得()1
3133
x x =-=舍或，
所以1x =-
（2）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1
133033x x x x a a
b b
-++-+-++=++ 化简并变形得：()()
333260x x a b ab --++-=
要使上式对任意的x 成立，则30260a b ab -=-=且 解得：11{
{ 33a a b b ==-==-或，因为()f x 的定义域是R ，所以1
{ 3
a b =-=-舍去 所以1,3a b ==，所以()131
33
x x f x +-+=+
①()131********x x x f x +-+⎛⎫
==-+ ⎪++⎝⎭
对任意1212,,x x R x x ∈<有：
()()()()
21
12
12121222333313133131x x x x x
x f x f x ⎛⎫-⎛⎫
⎪-=-=
⎪ ⎪++++⎝⎭
⎝
⎭
因为12x x <，所以21330x x
->，所以()()12f x f x >， 因此()f x 在R 上递减．
因为()()
2222f t t f t k -<-，所以22
22t t t k ->-， 即2
20t t k +-<在
时有解
所以440t ∆=+>，解得：1t >-，
所以的取值范围为()1,-+∞
②因为()()()
12333x x
f x
g x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，所以()()
3323x x g x f x --=-
即()33x
x
g x -=+
所以()()
2
22233332x x x x
g x --=+=+-
不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立， 即()
()
2
3323311x x
x x m --+-≥⋅+-，
即：9
3333
x x x x
m --≤++
+恒成立 令33,2x x
t t -=+≥，则9m t t
≤+在2t ≥时恒成立
令()9h t t t =+，()29
'1h t t
=-，
()2,3t ∈时，()'0h t <，所以()h t 在()2,3上单调递减
()3,t ∈+∞时，()'0h t >，所以()h t 在()3,+∞上单调递增
所以()()min 36h t h ==，所以6m ≤ 所以，实数m 的最大值为6
考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题
【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。

21．【答案】
【解析】（I ）证明：在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，
所以，BB 1⊥BC ．
又因为AB ⊥BC 且AB ∩BB 1=B ， 所以，BC ⊥平面A 1ABB 1． 因为BC ⊂平面BCE ，
所以，平面BCE ⊥平面A 1ABB 1． （II ）证明：取BC 的中点D ，连接C 1D ，FD ．
因为E ，F 分别是A 1C 1，AB 的中点，
所以，FD ∥AC 且
．
因为AC ∥A 1C 1且AC=A 1C 1，
所以，FD ∥EC 1且 FD=EC 1． 所以，四边形FDC 1E 是平行四边形． 所以，EF ∥C 1D ．
又因为C 1D ⊂平面B 1BCC 1，EF ⊄平面B 1BCC 1，
所以，EF ∥平面B 1BCC 1．
（III ）解：因为，AB ⊥BC
所以，
．
过点B 作BG ⊥AC 于点G ，则
．
因为，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AA 1⊂平面A 1ACC 1
所以，平面A 1ACC 1⊥底面ABC ． 所以，BG ⊥平面A 1ACC 1．
所以，四棱锥B ﹣A 1ACC 1的体积
．
【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，线面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）∵54sin B ＝sin A ＋sin C ，由正弦定理得5
4
b ＝a ＋
c ，
又a ＝4c ，∴5
4b ＝5c ，即b ＝4c ，
由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（4c ）2＋c 2－（4c ）22×4c ·c ＝1
8.
（2）∵S △ABC ＝3，B ＝60°.
∴1
2
ac sin B ＝ 3.即ac ＝4. 又a ＝4c ，∴a ＝4，c ＝1.
由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝42＋12－2×4×1×1
2
＝13.
∴b ＝13，
∵k sin B ＝sin A ＋sin C ，
由正弦定理得k ＝a ＋c b ＝513
＝513
13，
即k 的值为513
13.
23．【答案】
【解析】解：（1）函数f （x ）=cos （ωx+）的图象的两对称轴之间的距离为
=
，
∴ω=2，f （x ）=cos （2x+）．
令2x+
=k π，求得x=
﹣
，可得对称轴方程为 x=
﹣
，k ∈Z ．
令2k π﹣π≤2x+≤2k π，求得 k π﹣
≤x ≤k π﹣
，
可得函数的增区间为，k ∈Z ．
（2）当2x+=2k π，即x=k π﹣，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值为1．
当2x+
=2k π+π，即x=k π+
，k ∈Z 时，f （x ）取得最小值为﹣1．
∴f （x ）取最大值时相应的x 集合为{x|x=k π﹣，k ∈Z}；
f （x ）取最小值时相应的x 集合为{x|x=k π+，k ∈Z}．
24．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】
试
题解析：
（2）在三角形AMC 中，由2
2,3,cos 3
AM AC MAC ==∠=
，得 2222cos 5CM AC AM AC AN MAC =+-∠=， 222AM MC AC +=，则AM MC ⊥， ∵PA ⊥底面,ABCD PA ⊂平面PAD ，
∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD
平面PAD AD =，
∴CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ，
在平面PAD 内，过A 作AF PM ⊥，交PM 于F ，连结NF ，则ANF ∠为直线AN 与平面PMN 所成角。

在Rt PAM ∆中，由PA AM PM AF =，得5AF =，∴sin 25
ANF ∠=，
所以直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为
25
．1
考点：立体几何证明垂直与平行．。