4.2.1直线与圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
练习：P132习题4.2 A组4、5、6、7.
1.直线和圆位置关系的判定方法：代数法和几何法.
相离： Δ<0
Cr
l
d
Cr
l d
Cr
d
l
步骤：1°将直线方程与圆的方程联立成方程组. 2°利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程. 3°求出其判别式Δ的值. 4°比较Δ与0的大小关系,若Δ＞0,则直线与圆相交；若Δ=0,则直线与
圆相切;若Δ＜0,则直线与圆相离.反之也成立.
练习1
【例1】已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y4=0,判断直线l与圆的位置关系.如果相交,求出它们的 交点坐标.
__D_2+_E_2_-_4_F_＞__0___,圆心坐标为___(_ _D_, _E_)__，
半径为__r __1__D_2 _E_2__4F_____
22
2
探究
直线与圆的位置关系
依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆
的位置关系. （几何法）
相交：d<r 相切： d=r
相离： d>r
Cr
l
d
Cr
l d
Cr
d
l
强调：1.当直线与圆相交时，注意利用弦心距、弦长、
半径之间的关系来求解问题. 2.注意数形结合解决问题.
d 2 ( l )2 r2 2
3.过圆外一点与圆相切的直线l必有两条.
4.2.1 第二课时 直线与圆的位置关系
解
设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵两切线 2x＋y－5＝0 与 2x＋y＋15＝0 平行， |15－－5| ∴2r＝ ＝4 5，∴r＝2 5， 22＋12 |2a＋b＋15| ∴ ＝r＝2 5，即|2a＋b＋15|＝10① 22＋1
|2a＋b－5| ＝r＝2 5，即|2a＋b－5|＝10② 22＋1 又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直， b－1 1 ∴ ＝ ③ a－2 2
解． 消去 y， 整理得(1＋t2)x2＋2(t2－3t)x＋(t2－6t＋8)＝0 有解． 所以，Δ＝4(t2－3t)2－4(1＋t2)(t2－6t＋8)≥0， 4 即 6t－8≥0，解得 t≥ . 3 y＋2 4 故 的最小值是 . 3 x＋ 1
返回
y＋2 法二：令 ＝ k， x＋1 则k表示圆上任一点与(－1，－2)点连线的斜率， ∴kx－y＋k－2＝0， |0－1＋k－2| 由 ≤ 1， k2 ＋ 1 4 得 k≥ . 3 y＋2 4 ∴ 的最小值为 . 3 x＋ 1
解：(1)当所求直线的斜率存在时，设过 A(3,4)的直线方程为 y －4＝k(x－3)，即 kx－y＋4－3k＝0， |2k－1＋4－3k| 4 由 ＝ 1 ，得 k ＝ . 3 1＋k2 4 所以切线方程为 y－4＝ (x－3)，即 4x－3y＝0. 3 当所求直线的斜率不存在时，直线方程为 x＝3，也符合题意． 故所求直线方程为 4x－3y＝0 或 x＝3.
)
解析：圆的圆心(0,0)到直线bx＋ay－ab＝0的距离小 于或等于圆的半径1， |b×0＋a×0－ab| 即 ≤ 1， a2＋b2 a2＋b2 1 1 即 2 2 ≥1，则 2＋ 2≥1. a b a b
答案： Dຫໍສະໝຸດ 返回y 3．如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么x的最大 值是________． y 解析：设 x ＝k，则y＝kx，(x－2)2＋k2x2＝3，整理得
4.2.1直线与圆的位置关系
【教学反思】
1、本节知识容量较大，思维量较高，教师利用实例 分析了散点图的分布规律，推导出了线性回归直 线的方程的求法，运用实例分析比较，帮助同学 们养成良好的学习态度，培养勤奋刻苦的精神；
2、把课堂还给学生，让学生多动手、动脑，对学生 有难度的知识老师给予有梯度的提示，引导学生 主动探究与思考，让学生真正参与到课堂中来；
【知识归纳】
1、知识： （1）直线与圆的位置关系的判断； （2）弦长问题； 2、思想方法： （1）坐标法的思想； （2）数形结合思想。
【作业布置】
1、作业：课本132页习题4.2 A. 2，3，5；B. 4；
【创设情境】
问题2：点 P(x0, y0 ) 到直线 l : Ax By C 0
方程；
解：（1）由已知： d 35 7 ，即圆的半径 r 7 ； 32 42
所以所求圆的方程为: x2 y2 49 ；
【变式训练】
（2）已知圆的方程 x2 y2 2 ，直线 y x b ，当 b 为
何值时，直线与圆相交，相切，相离？
（3）已知圆的方程 (x 1)2 ( y 3)2 r2(r 0) ，直线 3x 4y 6 0 ，当 r 为何值时，直线与圆相交？
由已知，设直线 l 的方程为 y 3 k(x 3) ， 即 kx y 3k 3 0 ， 根据点到直线的距离公式， d | 2 3k 3 | ，
k2 1 因此， | 3k 1| 5 ，即 | 3k 1| 5 5k 2 ，
1 k2 两边平方，并整理得 2k 2 3k 2 0 ，解得 k 1 ，或k 2 ，
在 RtAOB 中， OA 70,OB 40 ，
则 AB 10 65 ，设 O 到 AB 的距离为 d ， 则 d OAOB 70 40 34.7 30 ，
4.2.1直线与圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
一、直线与圆的位置关系：
图a 图b
图c
(1)图a直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 相交，这时直线叫圆的割线。 (2)图b直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆 相切， 直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做 切点。 (3)图c直线和圆没有公共点，叫做直线和圆相离。
2
r
2
x y Dx0 Ey0 F
4.2.1 直线与圆的位置关系
2 2
练习: 过点A(2,4)向圆x y 4引切线， 求切线长。
y A( 2 ,4 )
d
x0 y0 4
2 2 2 2
2 4 4 4 4
2
o
x
4.2.1 直线与圆的位置关系 三、已知斜率的切线方程:
4.2.1 直线与圆的位置关系
仿照点和圆位置关系的 判定，怎样判断直线和 圆的位置关系呢？
4.2.1 直线与圆的位置关系
二、直线与圆的位置关系的判定：
方法1：定义法 判断方法： (1)△＞0 直线与圆相交； 方法2：几何法
圆心到直线的距离d与 (3)△＜0 直线与圆没有交点 直线与圆相离. 半径r的大小关系
2
o
x
3 2 k 4
但斜率不存在时，x 2 故切线方程为： 4 y 10 0或x 2 3x
4.2.1 直线与圆的位置关系
结论：过圆外一点P x0 , y0 引圆 标准方程、一般方程 的切线长为: d
x0 a y0 b
2 2 0 2 0
(d>r) 1、相离 (2)△ = 0 直线与圆相切；
2、相切 (d=r)
高考数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方 程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆 外时，切线有两条.
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编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
|1＋4－5＋ 5|
圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝|CP|＝
12＋22 ＝1.
在 Rt△ACP 中，|AP|＝ r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
解析答案
数学思想
数形结合思想
例 4 直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且只有一个交点，则 b 的取值范
围是( ) A.|b|＝ 2 C.－1≤b＜1
线的距离等于
12－222＝0，即圆心(1，2)位于直线 kx－y＝0 上.
于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0.
解析答案
课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质 进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算 量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长 的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去 y，组成 一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l＝
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题型探究
重点突破
题型一 直线与圆的位置关系的判断 例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.
4.2.1直线与圆的位置关系
台风
轮船
y D(港口)
x2 y2 9
4x 7y 28 0
O(台风中心)
CB
xA
本题实质是判定直线 与圆的位置关系!
C rd
l
C l
d r 相交 d r 相切
C l
直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系判断方法： 一、几何方法。主要步骤：
把直线方程化为一般式方程, 利用圆的方程求出圆心坐标和 半径r
例1 如图，已知直线l：3x y 6 0 和圆心为C的 圆 x2 y2 2y 4 0 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如
果相交，求它们交点的坐标．
解：由 x2 3x 2 0 ，解得： x1 2, x2 1
把 x1 2,代x2入方1程①，得 y1 0 ；
例1 如图，已知直线l：3x y 6 0和圆心为C的 圆 x2 y2 2y 4 0 ，判断直线 l 与圆的位置关系；
分析：依据圆心到直线的距离与半径长的关系，
判断直线与圆的位置关系（几何法）；
解法一：圆 x2 y2 2y 4 0 可化为 x2 ( y 1)2 5.
y
M
o
x
练习2:设点M(4，4)为圆 x2＋y2=8外 一点，如何求过点M的圆的切线方程？
y
M
o
x
归纳小结
几何方法
直线和圆的位置关系的判断方法
代数方法
确定圆的圆心坐标和半径r
把直线方程代入圆的方程
计算圆心到直线的距离d
得到一元 二次方程
判断 d与圆半径r的大小关系
d r,直线与圆相离 d r,直线与圆相切 d r,直线与圆相交
人教版高中数学必修二 第4章 4.2 4.2.1 直线与圆的位置关系
4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系学习目标核心素养1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.1．直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d＜r d＝r d＞r代数法：由⎩⎨⎧Ax＋By＋C＝0，（x－a）2＋（y－b）2＝r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？[提示]“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．无法判断B[圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝|－5|32＋42＝1. ∵d＝r，∴直线与圆相切．选B.]2．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝()A．1 B． 2C． 3 D．2D[直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2.]3．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．45[由已知圆心C(3，1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝|3＋2|5＝5，则弦长＝2r2－d2＝4 5.]直线与圆的位置关系0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，(1)∴当Δ>0时，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0时，即－43<m<0，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2，1)，半径r＝2.圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝|2m－1－m－1|1＋m2＝|m－2|1＋m2.(1)当d<2时，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d>2时，即－43<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．直线与圆位置关系判断的三种方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3，0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能A [将点P (3，0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P (3，0)在圆内．∴过点P 的直线l 必与圆C 相交．]求圆的切线方程思路探究：确定点A 在圆外→判断切线条数 ――――――――――――――→根据圆心到直线的距离d ＝r求切线方程 [解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A 在圆外，故切线有两条．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4)，即kx －y －4k －3＝0. 设圆心为C ，因为圆心C (3，1)到切线的距离等于半径1，所以|3k－1－3－4k|k2＋1＝1，即|k＋4|＝k2＋1，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－158.所以切线方程为－158x－y＋152－3＝0，即15x＋8y－36＝0.②若直线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1，这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.1．本例中若将点“A(4，－3)”改为“A(2，1)”，则结果如何？[解]因为(2－3)2＋(1－1)2＝1，所以点A(2，1)在圆上，从而A是切点，又过圆心(3, 1)与点A的直线斜率为0，故所求切线的方程为y＝1.2．若本例的条件不变，求其切线长．[解]因为圆心C的坐标为(3，1)，设切点为B，则△ABC为直角三角形，|AC|＝（3－4）2＋（1＋3）2＝17，又|BC|＝r＝1，则|AB|＝|AC|2－|BC|2＝（17）2－12＝4，所以切线长为4.圆的切线的求法：(1)点在圆上时：求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－1k，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0.(2)点在圆外时：①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．直线与圆的相交问题1．已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？[提示]将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2求弦长．2．若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？[提示]通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l＝2r2－d2.【例3】求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．思路探究：法一：求圆心半径――――→勾股定理 弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解 法二：求交点坐标――――――――――→利用两点间距离公式求弦长[解] 法一：圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0可化为x 2＋(y －1)2＝5， 其圆心坐标为(0，1)，半径r ＝ 5. 点(0，1)到直线l 的距离为d ＝|3×0＋1－6|32＋12＝102，l ＝2r 2－d 2＝10，所以截得的弦长为10.法二：设直线l 与圆C 交于A 、B 两点．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0，得交点A (1，3)，B (2，0)，所以弦AB 的长为|AB |＝（2－1）2＋（0－3）2＝10.3．若本例改为“过点(2，0)的直线被圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长为10，求该直线方程”，又如何求解？[解] 由例题知，圆心C (0，1)，半径r ＝5，又弦长为10， 所以圆心到直线的距离d ＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫1022＝5－52＝102.又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在， 可设直线斜率为k ，则直线方程为y ＝k (x －2)， 所以d ＝|－1－2k |k 2＋1＝102，解得k ＝－3或k ＝13，所以直线方程为y ＝－3(x －2)或y ＝13(x －2)， 即3x ＋y －6＝0或x －3y －2＝0.求弦长常用的三种方法：(1)利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系⎝ ⎛⎭⎪⎫12l 2＋d 2＝r 2解题．(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．(3)利用弦长公式，设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆的两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2].1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系．2．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．3．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．1．直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心D [圆心坐标为(1，－1)，圆心到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为d ＝|3－4＋12|32＋42＝115＜r ＝3.又点(1，－1)不在直线3x ＋4y ＋12＝0上，所以直线与圆相交且不过圆心．选D.]2．若直线y ＝x ＋a 与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为( ) A ．2 B ．± 2 C ．1 D ．±1B [由题意得|a |2＝1，所以a ＝±2，故选B.] 3．求过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程．[解] 由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)，即kx －y －k －7＝0.∴|－k －7|k 2＋1＝5，解得k ＝43或k ＝－34.∴所求切线方程为y ＋7＝43(x －1)或y ＋7＝－34(x －1)， 即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.。
高一数学人教版A版必修二课件：4.2.1 直线与圆的位置关系
解析答案
(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的 弦长为4 5 ，求l的方程.
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题了 吗
总是
比别人
学得慢
一看就懂 一做就错 看得懂，但不会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识
解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识
速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方 式
案例式
位置关系 公共点个数
相交 相切 相离 2个 1个 0个
判 几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|
A2＋B2 定
方 法
代数法： Ax＋By＋C＝0， 由 x－a2＋y－b2＝r2
消元得到一元二次方程的判别式Δ
_d_<_r_ _d_＝__r _Δ_>_0_ Δ_＝__0_
_d_>_r_ Δ__<_0_
|k＋1| 即 k2＋1≤1， 解得k≤0.
解析答案
规律与方法
1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较 (1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法 较为简单. (2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则 用代数法较简单. 2.过一点的圆的切线方程的求法 (1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的 斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
4.2.1 直线与圆的位置关系
例3.（128页，练习，第3题） 判断直线 3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的位置关系.
解：将圆的方程写成标准形式 ( x - 1)2+y 2=1
圆心坐标为（1，0），半径r=1.
圆心到直线3x+4y+2=0的距离
d=
3×1+2 5
=1
因为d所=r以，直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x
x2+(y+2)2=25
圆心坐标是(0,-2),半径r=5
M(-3,-3)
x
因为直线l被圆所截得的弦长
为4 5,所以弦心距为:
52-(—42—5 )2 = 5 即圆心到直线的距离为 5 .
例2. 已知过点M(-3，-3)的直线被圆x2+y2+4y-21 =0所截得的弦长为4 5，求直线的方程:
解： 因为直线l经过点(-3,-3)，
y
（接上 设直线方程为y+3=k(x+3)，
页） 即kx-y+3k-3=0 所以圆心（0，-2）到该直线
M(-3,-3)
x
的距离为
d
=
2+3k- 3 k2 +1
=
5
整理后得：2 k2 - 3k - 2 = 0 解出：k1=2或k2=－21—
所以所求直线方程分别为: y+3=2(x+3) 或 即：x+2y+9=0或2x-y+3=0 y+3=－21—(x+3)
＝—150 <
5
所以直线与圆相交，有两个交点.
思路二：利用方程组实数解的个数进行判断.
4.2.1直线与圆的位置关系
3:已知直线L:kx-y+6=0被圆x2+y2=25 截得的弦长为8,求k值
培养学生用数形结合的思想 优化解题程序，用运动变化的观 点分析解决问题的能力。
演示
运用点到直线的距离解决直 线与圆的关系问题，将学生 思维引向更高层次。
例5: 在圆（x+1）2+(y+2)2＝8上到直线ｘ+ｙ +１=０的距离为 2 的点有_____个.
开放性问题: 在（x+1）2+(y-1)2＝R2的圆上是否存在四 个点到直线AB：3x-4y-3=0的距离等于１。
C
O
相交
由 x 2 3x 2 0 ，解得
.
A
x
交点坐标为（2，0），（1，3）
x1 2, x2 1
解法二：原方程化为 x 2 ( y 1) 2 5 圆心坐标（0，1）
半径为 5 圆心到直线L的距离 d
3 0 1 6 32 12
5 5 10
=1202-100×96=4800>0 所以方程组有两解，
因为r=2,d<r 所以直线L与圆C相交
直线L与圆C相交
比较：几何法比代数法运算量少，简便。
2、求以c(1、3）为圆心，并和直线 3x-4y-6=0相切的圆的方程.
3、判断直线3x+4y+2=0与Y 圆x2+y2-2x=0的位置关系.
C(1、3)
给出这个问题的用意是开拓学 生的思维，让学生从多角度思 考问题，培养学生的创新能力。
4.2.1直线与圆的位置关系
果相交，求它们交点的坐标． 分析：方法一，判断直线l与圆的位置关系，就是看由它
们的方程组成的方程组有无实数解； 方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，
判断直线与圆的位置关系．
10
第11页/共35页
典例讲解
例1 如图，已知直线l： 3x y 6 和0 圆心为C的 圆 x2 y2 2y 4 0 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如
②几何法：由圆心
到直线的距离d与半径r 的大小来判断：当d<r时， 直线与圆相交；当d=r时， 直线与圆相切；当d>r时， 直线与圆相离．
27
第28页/共35页
作业:测试反馈
28
第29页/共35页
反馈练习
已知点P（5，0）和⊙O：x2+y2=16,自P作⊙O的 切线，求切线的长及切线的方程;
解:（1）设过P的圆O的切线切圆于点Q，
典例讲解
例3求直线4x+3y=40和圆x2+y2=100的公共点坐标，
并判断它们的位置关系．
解： 直线4x+3y=40与圆x2+y2=100的公共点的坐标就是
方程组
的解．
4x+3y=40
x2+y2=100
解这个方程组得 x1 10
x2
14 5
y1 0
14 48
y2
48 5
所以公共点坐标为 (10, 0), ( , ) ．因为直线
55
和圆有两个公共点，所以直线和圆相交．
17
第18页/共35页
典例讲解
例4:在Rt△ABC,∠C=900,AC=3cm,BC=4cm,
4.2.1 直线与圆的位置关系
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 已知圆x2+y2=8,定点P(4,0),问过点P的直线的斜
率为多少时,这条直线与已知圆:(1)相切;(2)相交;(3)相离.
解:(方法一)由题意知点P在圆外,设过点P的直线的斜率为k(由已
知条件知k存在),则其方程为y=k(x-4).
由
������ = ������(������-4), ������2 + ������2 = 8
果|AB|=8,求直线l的方程.
解:将圆的方程配方得(x+1)2+(y-2)2=25,由圆的性质可得,圆心
到直线 l 的距离 d=
(
25)2-
8 2
2
= 3. 当l 的斜率不存在时,x=-4 满
足题意.当 l 的斜率存在时,设方程为 y=k(x+4),即 kx-y+4k=0.由点到
直线的距离公式,得
所以|AB|=
1
+
1 ������ 2
|������1
−
������2|
= 1 + 3 (������1 + ������2)2-4������1������2=2 3.
(方法三)联立方程组
������ + 3������-2 = 0, ������2 + ������2 = 4,
解之,得
������1 ������1
答案:D
代数法与几何法的比较 剖析1.判断直线与圆的位置关系,一般有两种方法:代数法(判别 式法)和几何法.代数法将直线与圆的公共点个数问题转化为一元 二次方程根的个数问题,利用判别式加以判断,往往计算量比较大, 但它是判断直线与圆的位置关系的通用方法;几何法是结合几何图 形,充分利用圆的几何性质,将直线与圆的位置关系转化为圆心到 直线的距离与圆的半径之间的大小关系,是判断直线与圆的位置关 系的一般方法. 2.在判断直线与圆的位置关系方面,几何法运算量小,是常用方法. 但几何法无法求直线与圆的交点(或切点)坐标.而代数法可以将直 线与圆的交点(或切点)坐标转化为一元二次方程的根,进而求得交 点(或切点)的坐标,因此代数法和几何法都要熟练掌握.
4.2.1直线与圆的位置关系
l B
C. A
O
x
例2、已知过点M（-3，-3）的直线l被圆
x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5，求直线l的
方程。
y
M. .O
x
小结
练习:
3、如图,已知∠AOB= 30°,M为OB上一点,且OM=5cm，若以M 为圆心,r为半径作圆,那么: 1)当直线AB与⊙M相离时, r的取值范围是_0_c_m__<__r_<_2_._5_c_m_; 2)当直线AB与⊙M相切时, r的取值范围是____r__=_2_._5_c_m___;
那么直线和圆的位置关系有哪几种呢？
新授讲解 1、直线与圆相离、相切、相交的定义。
相离
切点
切线
相切
交点
交点 割线
相交
直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数来 定义的，即直线与圆没有公共点、只有一个公共点、有两 个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交。
思考：一条直线和一个圆，如果有公共点能不能多
3)当直线AB与⊙M有公共点时, r的取值范围是___r_≥_2_.5_c_m___.
A C
2.5
O
30°
5
M
B
小结
㈠方法探索
y xb
y
解法一(利用△)：解方程组
x2
y2
4
消去 y 得： 2x2+2bx+b2-4=0 ①
方程①的判别式
⊿=(2b)2-4×2(b2-4)=4(2 2 +b)(2 2 - b).
知识回顾
点和圆的位置关系有几种？
设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b) 到P(x0，y0)的距离为d,则 点在圆内(x0 -a)2+(y0 -b)2＜r2 d<r, 点在圆上 (x0 -a)2+(y0 -b)2=r2 d=r, 点在圆外(x0 -a)2+(y0 -b)2＞r2 d>r.
4.2.1.直线与圆的位置关系
解法1：几何法 x2 y 2 2 y 4 0 2 2 x ( y 1) 5
圆心(0,1), 半径r 5 设C到直线l的距离为d.则
|2＋b|
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4.圆x2+y2-4x-5=0上的点到直线3x-4y+14=0的距 离的最大值为 .
答案：7
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小 结：
判定方法 位置关系 图形 几 何特 征 方程特征
几何法
代数法
相交
有两个公共点
圆心坐标为（2，0），r=2
2k 0 5 4k k 2 1 2, k 21 20
切线方程为21x-20y+16=0
当直线的斜率不存在时还有一条切线x=4
四、练习
1、已知直线4x+3y-35=0与圆心在原点的圆C 相切，求圆C的方程。
2、判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0 的位置关系。
几何法：判断圆C的圆心到 直线l的距离d与圆的半径r的 关系（大于、小于、等 于）．
y 所以 的最大值为 3 . x
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(2)设y－x＝b，即为直线y＝x＋b，b为该直线在y轴上的 截距，如图所示．当直线y＝x＋b与圆有公共点时，当且仅当
直线与圆相切，且切点在第四象限时b最小，此时圆心(2,0)到
4.2.1直线与圆的位置关系
5，点C （0，1）到
d
| 3 0 1 6| 32 12
5 5 10
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
8
典例
3 例1 如图，已知直线l： x y 6 0 和圆心为C的 2 2 圆 x y 2 y 4 0 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如
果相交，求它们交点的坐标．
4.2.1直线与圆的位置关系
判断点P( x0 , y0 )与圆C : x a x b r 2的位置关系：
2 2
设点P到圆心O的距离为d
圆内 O
d=OP<r
圆上 P P O
d=OP=r
2 2
圆外 O
d=OP>r
P
(1)d r 点P在圆内 ( x0 a) 2 y0 b r 2 . (2)d r 点P在圆上 ( x0 a) 2 y0 b r 2 . (3)d r 点P在圆外 ( x0 a) 2 y0 b r 2 .
2
2
(2)利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
Ax By C 0 设方程组 ( x a ) 2 ( y b) 2 △<0 n=0 △=0 n=1 △>0 n=2
r
2
的解的个数为n
直线与圆相离
直线与圆相切
直线与圆相交
11
练习P.128
1.试解本节引言中的问题. 2.已知直线4x+3y-35=0与圆心在原点的圆 相切,求圆C的方程. 3.判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的 位置关系. 4.已知直线l:y=x+6,圆C:x2+y2-2y-4=0.试判 断直线l与圆C有无公共点,有几个公共点.
4.2.1 直线与圆的位置关系
探究一
探究二
探究三
思想方法
解法二由
3������ + ������-6 = 0, ������2 + ������2-2������-4 =
0,
消去y,得x2-3x+2=0.
设两交点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系, 得x1+x2=3,x1·x2=2.
∴|AB|= (������2-������1)2 + (������2-������1)2 = 10[(������1 + ������2)2-4������1������2 ] =
探究二
探究三
思想方法
课堂篇 探究学习
判断直线与圆的位置关系 例1 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为 何值时,直线与圆 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点? 思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心 到直线的距离,通过与半径比较大小判断.
( 5)2-
10 2 =
2
210,所以弦长|AB|=
10.
探究一
探究二
探究三
思想方法
课堂篇 探究学习
反思感悟求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半
径为r,
弦长为|AB|,则有
|������������|
2
+d2=r2,即|AB|=2
������2-������2.
方程 y= 1-������2表示单位圆在 x 轴上及其上方的半圆,
当 l 经过 A(-1,0),B(0,1)时,l 与曲线 C 有两个交点,此时 b=1,记直线 为 l1;当 l 与半圆相切时,b= 2,切线记为 l2;当 l 在 l1 与 l2 之间(包含 l1) 时,l 和曲线 C 有两个不同的公共点.因此 1≤b< 2.
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例2. 已知过点M(－3, －3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－ 21＝0所截得的弦长为 4 5 , 求直线 l 的方程. 解: 圆C: x2＋(y ＋2) 2＝25 k x－y＋3k－3=0 圆心为C (0, -2), 半径r =5， l 设直线l : y＋3＝k (x＋3) 即: k x－y＋3k－3=0 5 2 5 圆心C到直线l的距离为 5 : (0,-2) 5 | k 0 2 3k 3 | 5 d k 2 12 M(-3, -3) 2 | 3k 1 | 5( k 1) 直线 l 的方程: 9k2－6k＋1=5k2＋5, 4k2－6k－4=0, x＋2y＋9=0 1 2 k 2; 2k －3k－2=0, k 2x－y＋3=0
作业:.1.《聚焦课堂》P
2.P132: 1 ，2，3，5; 3. 阅读教材P126到P128;
再见!
课堂小结
判断直线与圆的位置关系有两种方法: (1) 判断直线与圆的方程组是否有解:
方程组无解 方程组有唯一解 方程组有两解 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
(2) 圆心到直线的距离与半径的关系:
d>r
d=r d<r
本节课到此结束，请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢!
例. 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的 台风预报: 台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范 围是半径长为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心 正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会 受到台风的影响? y
练习
1. P128练习 第2、3、4题. 2. 圆: x2＋y2＋2x＋4y－3＝0到 直线l: x＋y＋1＝0的距离为 2 的点的坐标. 3.求圆心在直线2x－y＝3上，且与 两坐标轴相切的圆的方程. 4.若直线4x－3y＝a与圆x2＋y2＝100 (1)相交； (2)相切；(3)相离， 分别求实数a的取值范围.
直线与圆相交
复习引入
2. 在初中我们怎样判断直线与圆的位置关系? 设圆心到直线的距离为d, 半径为r,则 方程组无解
直线与圆相离 直线与圆相切
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ直线与圆相交
方程组有唯一解 方程组有两解
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 Ax＋By＋C＝0
讲授新课
例1. 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为C的圆 x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆的位置关系; 如果相交，求出它们交点的坐标. 3x＋y－6＝0 解: 圆C: x2＋(y －1) 2＝5 圆心为C (0,1), 半径其实此问 r= 5 (0,1) 圆心C到直线l的距离: 题可以直 接由解方 | 3 0 1 6 | 10 程组获解 直线与圆相交 ; d d < r, 2 32 12 3 x ＋ y － 6 ＝ 0 得交点坐标: 解方程组: x2＋y2－2y－4＝0
讲授新课
例1. 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为C的圆 x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆的位置关系; 如果相交，求出它们交点的坐标. 3x＋y－6＝0 y ＝ 6－ 3x x2＋(6－3x)2－2(6－3x)－4＝0 10x2＋30x＋20＝0 (0,1) x2＋3x＋2＝0, x＝－1, x＝－2, y＝9, y＝12, (－1,9), (－2,12), 3 x ＋ y － 6 ＝ 0 得交点坐标: 解方程组: x2＋y2－2y－4＝0
4.2.1 直线与圆的位置关系
复习引入
1. 在初中我们知道直线与圆有三种位置关系: (1) 相交，有两个公共点; (2) 相切，只有一个公共点; (3) 相离，没有公共点.
复习引入
2. 在初中我们怎样判断直线与圆的位置关系? 设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则
d>r
d=r d<r
直线与圆相离 直线与圆相切
2
解:如图建立直角坐标系,B(0,40) 港口 则轮船A(70,0), 则港口B(0,40), x y 40 轮船 1 直线AB的方程: 70 40 O 70 A(70,0) x 4 x 7 y 280 0 原点O到AB的距离: | 4 0 7 0 280 | 280 d 它不会受到台 >30 65 42 7 2 风的影响.