大学物理 第5章刚体定轴转动

赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。 某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联 系 例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速 度为 ωo ，由于细杆与 桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i


第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度； ②令 t 0 取极限；
d d lim 2 t 0 t dt dt
赵 承 均
d lim t 0 t dt

即：角速度为角坐标对时间的一次导数。 方向：右手四指沿刚体转动方向，伸 直的大拇指的指向为角速度的方向。 定轴转动的角速度方向只有两个，因此在 规定正方向（逆时针方向）后，角速度方 向可用其值的正负示。第一篇力学
重 大 数 理 学 院
1 2 M f ml 0 3t
赵 承 均
o
l
第一篇
力学
第二类问题：已知 J 和力矩 M：求出运动情况和b及F 。
重 大 数 理 学 院
赵 承 均
例：质量为 m1 和 m2 两个 物体，跨在定滑轮上 m2 放 在光滑的桌面上，滑轮半径 为 R ，质量为 M ，求： m1 下落的加速度，和绳子的张 力 T1,T2 。
2



即：角速度对时间 t 的 一次导数，或角位矢对时 间 t 的二次导数。
第一篇
力学
方向：角速度变化的方向。
单位：弧度/秒2 ，rad/s2,s-2
重 大 数 理 学 院
赵 承 均
o

o



角加速度是矢量，但对于定轴转动角加速度的方向只有 两个，只用角加速度的正负数值就可表示角加速度的方向， 不必用矢量表示。
0

P
赵 承 均
0
单位：弧度， rad 角位移是赝矢量，对无 限小转动是矢量：
o
0
x
Reference line
即： 0
时是矢量。
角位移方向的确定方法同角位矢。
第一篇
力学
3.角速度—
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描写刚体转动快慢和方向的物理量。
⑴平均角速度
t
用矢量方法表示力矩：
M r F
F 为外力在转动平面内的分矢量
第一篇
力学
方向：从r右旋到F，大拇指指向。
单位：牛顿·米，N·m
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M 的方向垂直于 r 与 F 构成的平面：规定正方向后，力矩 的方向可由正负号确定。 容易证明：刚体内各质元间的内力力矩的矢量和恒为 0 。
即：刚体的角位移与发生这段角位移所用时间之比。
赵 承 均
单位：弧度/秒， rad/s，s-1 转/分， rev/min
2 1rev/min rad/s 0.105 s-1 60
第一篇
力学
⑵ 角速度
重 大 数 理 学 院
① 用平均角速度代替变化的角速度； ② 令 t 0 取极限；

P
赵 承 均
单位：弧度，rad 角坐标为标量。 角位矢的大小等于 角坐标，其方向由右手 螺旋法则确定，或规定 正方向（逆时针）后由 其值的正负确定。
o

Reference line
x
第一篇
力学
2.角位移— d 描写刚体位臵变化的物理量。
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刚体初始角坐标 末态角坐标 刚体的角位移
第一篇
力学
Z ,
二、转动定律
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由牛顿运动定律推导
根据牛顿第二定律有：
赵 承 均
度，其切向和法向分量式为：
e i Fi Fi mi ai ai 为 P 质点作圆周运动的加速
i Fi
O
i
P
e Fi
i
ri
e i 切向： Fi sin i Fi sin i mi ai mi ri
赵 承 均
m1m2 g T1 T2 m1 m2
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力学
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第三类问题：已知运动情况和力矩 M ，求未知刚体转动惯 量 J 。 例：测轮子的转动惯量用一 根轻绳缠绕在半径为 R ，质 量为 M 的轮子上若干圈后， 一端挂一质量为 m 的物体， 从静止下落 h 用了时间 t, 求轮子的转动惯量 J 。
m2
T2
M,R
T1
m1
第一篇
力学
m2 T2
解：受力分析
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M,R
以 m1 为研究对象 （1）
m1 g T1 m1a
以 m2 为研究对象
T1 T1 m1 m1g
（3）
赵 承 均
T2 m2 a
以 M 为研究对象
（2）
m1
M,R
(T1 T2 ) R J
1 J MR 2 2
第一篇 Rigid body
力学
Rotational theorem
转动
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刚体中至少（任意）两质点连线在运动过程中方向变 化的运动，称为转动。
转动还包含以下几种特殊形式：定轴转动、定点转动、平面 平行运动等。 定轴转动 刚体在运动过程中， 能且只能在刚体上找到两 点保持不动，这种运动称 为定轴转动。
x
m
m 细杆的质量密度 l
质元质量
dm dx
质元受阻力矩
dM f dmgx
第一篇
力学
细杆受的阻力矩
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M f dM f gxdx
0 l
o
dm
赵 承 均
1 gl 2 2
x
l
dx
x
m
由细杆质量 有
m l
1 M f mgl 2
赵 承 均
o
l
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
解：以细杆为研究对象，只有摩擦阻力产生力矩，由匀变速 转动公式：
0 t
0 t 0
0
t
赵 承 均
o
l
细杆绕一端的转动惯量
1 2 J ml 3
第一篇
力学
则摩擦阻力矩为：
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M f J 1 2 0 ml 3 t
N 1 1 2 2 Ek mi vi mi ri i 1 2 i 1 2 N
1 N 2 mi ri 2 2 i 1
第一篇
力学
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1 N 2 2 则刚体的动能为： Ek mi ri 2 i 1
第一篇
力学
§ 5.1 刚体平动和定轴转动 一、质点系力学性质的分类
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刚体 变形体
任意两质点间距离不变的质点系，称为刚体。 至少一对质点间距可变的质点系，称为变形体。
赵 承 均
二、刚体运动的分类
平动
刚体中任意两质点连 线在运动过程中保持平行 的运动，称为平动。 此类运动，任意两点的轨道形状、速度、加速度都相同。
对于质量连续分布的刚体，计算转动惯量时，将刚体分 割成无限多个质元， ① 确定刚体的质量密度；
② 建立坐标系，转心为 坐标原点；
赵 承 均
r
③ 确定质量元 dm ； ④ 由定义计算。
dm
J r 2 dm
第一篇
力学
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例1：在无质轻杆的 b 处 3 b 处各系质量为 2 m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量 J 。
与平动动能比较
mi ri 2
i 1
n
相当于描写转动惯性的物理量
赵 承 均
1.转动惯量
①与刚体质量有关。
2
J mi ri
i 1
N
②与质量对轴的分布有关。 ③与轴的位臵有关。
单位：千克·米2
，kg·m2
上式只适用于离散质点 系的转动惯量计算。
第一篇
力学
2.连续质点系转动惯量的计算
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M,R
赵 承 均
m
h
第一篇
力学
分别以 m、M 为研究对象
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mg T ma TR J
(1) (2)
M,R
物体从静止下落时满足
赵 承 均
T
h at 2 /2
补充方程：
(3)
(4)
h
a R
联立方程(1)----(4)
T mg
mR 2 ( gt 2 2h) J 2h
赵 承 均
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力学
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定轴转动有以下特征： 1 、任意一点的运动轨道都是圆轨道，并且圆心是轨道面与 定轴的交点。 2 、所有质点的转动角速度都相同，线速度与该质点到定轴 的距离成正比。
赵 承 均
定轴转动
定点转动
第一篇
力学
三、刚体转动的角量描述
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角位矢（角坐标）、角位移、角速度、角加速度。 坐标系 以刚体上任一点为坐标原点，过该点垂直于转轴的 直线为 X 轴，转轴为 Z 轴。
Fi ri sin i 0
i i
令
赵 承 均
M Fi ri sin i , J mi ri 2
e i 1 i 1
n
n
则
M J
定轴转动定律—— 刚体所受的对于某定轴的合外力矩等于刚体对此定轴的转动 惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。
第一篇
力学
四、转动惯量
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当切断电风扇的电源后，电风扇并 不是马上就停止转动，而是转动一段时 间后才停止转动，即转动的物体也有惯 性，刚体的转动惯性与什么有关呢？
赵 承 均
1 2 质点的平动动能为： Ek mv 2
刚体定轴转 动时，各质点作 圆周运动，刚体 的动能等于各质 点动能之和：
第一篇
力学
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注意
与牛顿第二定律 F ma 相比较，地位相当，
瞬时性；即同一时刻对同一刚体，同一转轴而言。
赵 承 均
在定轴转动中，M z 和 的方向均在转轴方向，可用代
数量表示。
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力学
三、解题方法及应用举例
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1. 确定研究对象。 2. 受力分析，并求外力的力矩。 3. 列方程求解 平动物体-----牛顿第二定律或动量定理 转动刚体-----转动定理 第一类问题：已知运动情况和J，确定运动学和动力学的联系
第一篇
力学
§ 5.2 刚体定轴转动定律 一、力矩
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赵 承 均
力对转轴的力矩等于在转动平面内的分力 F 的大小和 F 与轴之间的垂直距离 d 的乘积。 M Fd rF sin M F M Fd r o r 根据矢量乘积法则： P d
A B AB sin
外力矩 内力矩
赵 承 均
对所有质点求和，且它们的角加速度β均相同，有：
2 Fi ri sin i Fi ri sin i mi ri i i i
e i
合外力矩
合内力矩
第一篇
力学
因为内力中任一对作用力和反作用力的力矩为零，所以:
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T2 m2 T2
T1
第一篇
力学
（ 4 ）
补充方程：
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a R
联立方程(1)---(4)
m1 g a m1 m2 M / 2 m1 (m2 M / 2) g T1 m1 m2 M / 2 m1m2 g T2 m1 m2 M / 2
讨论：当 M=0 时
M F
赵 承 均
r
第一篇
力学
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例：一匀质细杆，长为l 质量为m，在摩擦系数为m的水平桌 面上转动，求摩擦力的力矩 Mf。 解：杆上各质元均受摩 擦力作用，但各质元受 的摩擦阻力矩不同，靠 近轴的质元受阻力矩小， 远离轴的质元受阻力矩 大，
dm
o
赵 承 均
x
l
dx