基于动态CVaR模型的房地产组合投资的风险度量与控制策略_孟志青

2007年9月系统工程理论与实践第9期　文章编号:1000-6788(2007)09-0069-08基于动态CVaR模型的房地产组合投资的风险度量与控制策略孟志青,虞晓芬,蒋　敏,高　辉(浙江工业大学经贸管理学院,杭州310032)摘要:　研究了基于动态条件风险值(CVaR)模型的房地产组合投资风险度量问题.定义一种动态CVaR模型,它是一个动态规划问题,证明了它可以等价一个非线性规划问题求解.据此,建立了一个基于动态CVaR的房地产组合投资优化模型,通过计算这个模型可以得到在一定置信水平下的房地产投资的风险损失值和组合投资比例.应用这个模型对全国10个城市的房屋价格数据进行了多阶段的风险值和投资比例数值计算,结果表明多阶段组合投资的风险值要比单个阶段更小.控制风险的主要策略是选择低风险的CVaR值的投资组合.关键词:　动态条件风险值;C VaR;房地产组合投资;风险度量中图分类号:　F832 文献标志码:　A Risk Measure and Control Strategy of Real Estate PortfolioInvestment based on the Dynamic CVaR ModelMENG Zhi-qing,YU Xiao-fen,JIANG Min,GAO Hui(College of Business and Adiministration,Zhejiang Un iversity of Technology,Hangzhou310032,China)Abstract:　This paper studies risk measure and control strategy of real estate portfolio investment based on thed ynamic condition value-at-risk(CVaR)model.We define a dynamic C VaR model which is a d ynamic program mingproblem.We show that the CVaR problem is equal to another nonlinear programming problem.Based on the dynamicCVaR model,we build a model of real estate portfolio investment model.We apply to the model to compute invest mentproportion and risk losses of portfolio by using data of real estate of10's cities in China.Numerical results show thatthe multi-stages investment is the less risk losses of real estate investment than that of s ingle stage.The control strategyof risk is to choose invest ment proportion of portfolio according to low ris k.Key words:　dynamic conditional value-at-risk;CVaR;real estate portfolio investment;risk measure1　引言近年来房地产投资发展迅速,普遍上涨的房价不断地推动着投资规模增长,虚高的房价造成新建房屋的大量空置,和大量低收入者买不起房的现象,已成为房地产投资的突出问题.国家出台了一系列控制房价的政策,目的将房地产投资调整到正常的发展轨道上.房地产投资是一种具有复杂风险的决策与控制问题[1],房地产投资主要包含两类风险:系统风险和非系统风险.对于系统风险,不能在组合投资中被分散,而对于非系统风险,投资者可以通过调整投资组合策略分散风险,保证投资者获得稳定收益.近年来,许多学者应用金融投资组合理论从不同的角度研究了房地产投资问题[3～8],他们多数是基于马克维茨的投资组合模型通过方差来刻画投资风险,文[2]系统地阐述了蒙特卡罗方法应用于房地产投资项目的风险分析的整个过程,而文[9]使用了一种基于信息熵的技术研究房地产投资组合模型.这些基本上是研究一个阶段的投资风险,事实上,房地产投资是动态的多阶段决策问题,受外部环境因素影响大,收益变化不稳定,风险控制困难,因此,需要更复杂地模型来研究房地产投资问题.本文将采取一种新的风险度量工具:动态条件风险值(CVaR:Conditional Value at Risk)模型来研究房地产组合投资问题.收稿日期:2006-08-08资助项目:浙江省哲学社科规划项目(NX05LJ07);浙江省自然科学基金(Y606097) 作者简介:孟志青(1962-),男,上海人,教授,博士,研究方向:优化理论与风险管理.条件风险值(C VaR )的理论是用来研究风险最优化的一种新的模型[10～16],在理论上具有良好的特性,具有优化和可计算性.CVaR 模型目前被广泛地用于证券组合投资问题的风险度量与控制,研究表明了CVaR 模型要比马克维茨模型、VaR 模型对证券组合投资的风险度量更有效.实际上,房地产投资作为一个多阶段决策问题,按不同阶段进行动态投资可以比一次性投资更加有效地分散非系统风险.本文我们首先定义了一种动态规划CVaR 模型,即定义了决策变量、状态变量和状态转移方程,给出了每个阶段的α-VaR 和整个阶段的α-C VaR 值,建立了全过程优化的CVaR 模型.由此建立了一个房地产组合投资的动态C VaR 模型,使用了该模型对全国10个大中城市房屋销售价格指数进行了数值实验,测算了它们的风险值和组合投资.结果表明该模型对房地产组合投资分阶段进行动态投资要比单阶段组合投资的分散风险更明显.通过我们对70个城市的房屋投资的风险测算,目前全国大部分的城市投资已具有明显的风险,使用房地产组合投资成为规避风险的重要手段.该模型对于房地产风险的预测和投资决策具有重要的指导意义.2　动态C VaR 模型这里我们考虑组合投资是按多个阶段进行风险决策问题,是一个动态规划问题.本文我们考虑了一种动态C VaR 模型,我们证明了动态规划模型可以等价于一个非线性规划问题求解.设投资数为阶段i ,设f i (s i ,x i ,ξ):R m ×R n ×R r ※R 1(i =1,2,…,I )为在控制变量(决策变量)x i ∈X i ∈R n ,状态向量s i ∈S i R n ,以及随机向量ξ∈R r下的损失函数,有密度函数p (ξ).设X i (s i )(i =1,2,…,I )是在状态变量s i 下所有可能的决策变量的集合.表示状态向量s i 的状态转移方程如下:s i +1=g i (s i ,x i ),s i ∈S i ,x i ∈X i (s i ),i =1,2,…,I -1,(1)其中s 1为起始点,x i (s i )∈X i (s i )是第i 阶段的决策.设　Χi (s i ,x i ,·)为损失函数f i (s i ,x i ,ξ)的分布函数,即:Χi (s i ,x i ,y )=P {f i (s i ,x i ,ξ)≤y =∫f i(s i,x i,z )≤yp (z )dz ,i =1,2,…,I .(2)设一个状态序列s =(s 1,s 2,…,s I )所对应满足(1)的决策序列设为x =(x 1,x 2,…,x I ),那么(s ,x )构成一个策略,所有策略构成的集合为A ,即A ={(s ,x )|s i +1=g i (s i ,x i ),i =1,2,…,I -1,s i ∈S i ,x i ∈X i (s i ),i =1,2,…,I .} 下面我们给出如下定义.定义2.1　给定1个置信水平α∈(0,1),及一个策略(s ,x ),称y ＊α(s i ,x i )=min {y |Χi (s i ,x i ,y )≥α}(3)是在置信水平α下关于决策x i 和状态s i 的一个α-VaR 损失值.记y =(y 1,y 2,…,y I ),对于任意i =1,2,…,I ,设α(s i ,x i ,y i )=(1-α)-1∫f i(s i,x i,z )≤yif i(s i,x i,z )p (z )dz .(4)Υ(s ,x ,y )=∑Ii =1α(s i,x i ,y i ).(5) 定义2.2　我们称Υ(s ,x ,y ＊α(s ,x ))为在t 时刻和置信水平α下关于状态s 和决策x 的α-C VaR 损失值.其中记y ＊α(s ,x )=(y ＊α(s 1,x 1),y ＊α(s 2,x 2),…,y ＊α(s I ,x I )). 我们引入类似文[1]中定义的损失函数.对于i =1,2,…,I ,我们定义F (s i ,x i ,y )=y +(1-α)-1∫z ∈Rr[f i (s i ,x i ,z )-y ]+p (z )dz .(6) 根据文[1]的求解CVaR 值的等价定理(定理1)得到.70系统工程理论与实践2007年9月引理2.1　对i =1,2,…,q ,如果P {f i ,(s i ,x i ,ξ)= y }=∫f i(s i,x i,z )= yp (z )dz =0,则函数F i(s i,x i,y )关于y 是连续可微的凸函数,并且F i (s i ,x i ,y ) y=(1-α)-1[Χi (s i ,x i ,y )-α].(7) 通过(4)和引理2.1,我们来研究最优的α-CVaR 损失值求解方法.我们希望找到一个全过程最优的策略(s ,x )∈A 使得Υ(s ,x ,y ＊α(s ,x ))达到最小.我们有下面的动态CVaR 问题(C VaR )min Υ(s ,x ,y ＊α(s ,x ))=∑Ii =1i(s i,x i ,y ＊α(s i ,x i ))s .t .(s ,x )∈A .对于第k 阶段的每一个状态s k ,设Υi (s k ,x k )=∶∑Ii =ki (s i ,x i ,y ＊α(s i ,x i ))其中设一个子状态序列s k =(s k ,s k +1,…,s I )所对应满足(1)的决策序列设为x k =(x k ,x k +1,…,x I ),那么(s k ,x k )构成一个从阶段k 的状态s k 到阶段I 的子策略.所有子策略构成的集合为A k (s k ),即A k (s k )={(s k ,x k )|s i +1=g i (s i ,x i ),i =k ,k +1,…,I -1,x i ∈X i (s i ),i =k ,k +1,…,I .}那么,我们定义动态CVaR 问题的k -子问题:Υk (s k )=min {Υk (s k ,x k )|(s k ,x k )∈A k (s k )}.根据动态规划的最优化原理,原问题及所有k -子问题可统一在最优方程并同时得到解决.最优方程为以下的递推公式:Υi (s i )=min x i∈X i(s i)( i (s i ,x i ,y ＊α(s i ,x i ))+Υi +1(g i (s i ,x i ))),ΥI +1(s I +1)=0.i =1,2,…,I 由(3)可知, i (s i ,x i ,y ＊(s i ,x i ))的计算是比较困难的,从而要求解(CVaR )和上述的递推优化问题会是件困难的事情.考虑求解另一个优化问题来代替原来问题的求解.(FCVaR )min∑Ii =1F i(s i,x i ,y i )s .t .　y ∈R I,(s ,x )∈A .我们可以通过求解问题(FC VaR )的最优解,来得到问题(CVaR )的最优解.我们证明下面等价定理.定理2.1　给定(s ,x )∈A ,若 y 是问题min y ∈RI ∑Ii =1F i (s i ,x i ,y i )的一个最优解,且满足条件P {f i (s i ,x i ,ξ)= y i }=∫f i(s i,x i,z )= yip (z )dz =0,i =1,2,…,I ,(8)则∑I i =1i(s i,x i , y i )=min y ∈R I∑Ii =1F i(s i,x i ,y i ),(9)并且 y i =y ＊α(s i ,x i ),i =1,2,…,I .进一步,如果( s , x , y )是问题(FCVaR )的一个最优解,则( s , x )是(CVaR )的最优解.证明　记F (s ,x ,y )=∑Ii =1F i(s i,x i ,y i ),由引理2.1知F (s ,x ,y )关于y 是连续可微的凸函数,并且对每个i 有F (s ,x ,y ) y i=F i (s i ,x i ,y i ) y i 71第9期基于动态CVaR 模型的房地产组合投资的风险度量与控制策略=(1-α)-1(Χi (s i ,x i ,y )-α),由于 y 是问题min y ∈R I∑Ii =1F i(s i,x i ,y i )的一个最优解,上式等于0,即Χi (s i ,x i , y i )-α=0,i =1,2,…,I .(10)另一方面,由(6)得到∑I i =1F i(s i,x i , y i )=∑Ii =1 y i +(1-α)-1∫z ∈R m (f i (s i ,x i ,z )- y i )+p (z )dz=∑Ii =1y i +(1-α)-1∫f i(s i,x i,z )≥ yi(f i (s i ,x i ,z ))p (z )dz -(1-α)-1∫f i(s i,x i,z )≥ yiy ip (z )dz根据(2)和(4)式得到,∑I i =1F i(s i,x i , y i )=∑Ii =1i(s i,x i , y i )+ y ∑Ii =1(1-α)-1(Χi (s i ,x i , y i )-α),由此及(10)得到(9).由于Χi (s i ,x i ,y i )是关于y i 的非减函数,那么由定义2.1知 y i =y ＊α(s i ,x i )。