芒市第一中学2016年春季学期期末考试高二年级数学试卷(理科)

芒市第一中学2016年春季学期期末考试高二年级
数学试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求，请将答案写在答题卡的相应位置）
1、已知集合}20{≤≤=x x A ，}0{2
>-=x x x B ，则=B A （ ）
A. ),2(]1,(+∞-∞
B. )2,1()0,( -∞
C.)2,1[
D.]2,1(
2、复数i z +=1，且
)(1R a z
ai
∈-是纯虚数，则实数a 的值为 （ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2
3、在区间],[ππ-上随机取一个数x ，则事件：“0cos ≥x ”的概率为（ ） A.
41 B. 43 C. 2
1
D. 3
2 4、已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ） A.
43 B ．2
3
C ．43
D ．1
5、若0,0>>b a ，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于（ ）
A. 2
B. 3
C. 6
D. 9
6、甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站两人，同一级台阶上的人不区分站法的位置，则不同的站法有 （ )
A.270
B.300
C.336
D.366
7、不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤-≥+0422y x y x y x 所围成的平面区域的面积为 （ ）
A. 23
B.26
C.6
D.3 8、已知命题x
e a x p ≥∈∀],1,0[:，命题04,:2
=++∈∃a x x R x q ，若命题""q p ∧是真命题，
则实数a 的取值范围是 ( ) A. ]4,[e B.]4,1[ C. ),4(+∞ D. ]1,(-∞
9、执行如图所示的程序框图，输出2016
2015
=
s ，则判断框内应填 （ ） A.?2015≤k B. ?2016≤k
C .?2015≥k D. ?2016≥k
10、设)(x f 是定义在]2,2[-上的奇函数，若)(x f 在]0,2[-上单调递减，则 使0)(2<-a a f 成立的实数a 的取值范围是（ ）
A.]2,1[-
B. ]2,10,1[（） -
C.）（1,0
D. ），（），（∞+∞-10
11、在封闭的直三棱柱111C B A ABC -内有一个体积为V 的球，若BC AB ⊥，
3,8,61===AA BC AB ，则V 的最大值为 （ ）
A ．π4
B ．
π2
9
C ．π6
D ．
π3
32 12、已知O 为坐标原点，F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x C ：的左焦点，B A ,分别为C 的左、
右顶点，P 为C 上一点，且x PF ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A ．
3
1
B ．
2
1
C ．
32 D ．4
3 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中横线上。

） 13.函数x x y 2cos 2sin 3-=的图象可由函数x y 2sin 2=的图象至少向右平移 个
单位长度得到.
14.已知等比数列{}n a 中，16,2643==a a a ，则
=--8
612
10a a a a .
15.若x x f 2cos )(cos =，则)2
1
(-f 的值为 .
16.已知)(x f 为偶函数，当0<x 时，x x x f 3)ln()(+-=，则曲线)(x f y =在点)3,1(-处的切线
方程是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17.已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且*,2
)
1(N n a a S n n n ∈+=
.
（I ）求证：数列{}n a 是等差数列 ； （II ）设n
n S b 21
=
，n n b b b b T ++++= 321，求n T . 18.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算得80101
=∑=i i x ，20101
=∑=i i y ，184101=∑=i i i y x ，7202
10
1
=∑=i i x .
（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程∧
∧
∧+=a x b y ； （2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.
附：线性回归方程^
^
a x
b y +=中，2
2
1
1
^
x
n x y
x n y x b i n
i i i n
i -∑-∑=
==，-∧-∧-=x b y a ，其中-
-y x ,为样本平均值.
19.如图，已知正三棱柱111C B A ABC -，延长BC 至D ， 使C 为BD 的中点.
（1）求证：平面⊥D AC 1平面B AA 1；
（2）若421==AA AC ，，求二面角B AD C --1的余弦值.
20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>
，椭圆C 与y 轴交于B A ,两点，且
2=AB ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且直线PB PA ,与直线4=x 分别交于N M ,
两点，是
否存在点P ，使得以MN 为直径的圆经过点)0,2(？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由.
21.已函数x x x f ln )(2+=.
（1）求函数)(x f 在区间],1[e 上的最大值和最小值； （2）求证：当),1(+∞∈x 时，函数)(x f 的图象在2
32
132)(x x x g +=
的下方.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 内切于圆O ，过点A 作圆O 的切线EP 交CB 的延长线于P ,已知
PCA EAD ∠=∠.
求证:（1）AB AD =； （2）BP DC DA ∙=2
.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为0cos sin
2
=-θθρ，点)2
,1(π
M .以极点O 为原点，以
极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系中，斜率为1-的直线l 过点M ，且与曲线C 交于B A ,两点.
（I ）求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （II ）求点M 到B A ,两点的距离之积．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲 已知函数12)(++-=x x x f （1）求证：3)(3≤≤-x f ； （2）解不等式x x x f 2)(2-≥.
高二下学期期末理科数学答案
BA 12~11 CDAAB 10~6 DCCBD 5~1
1216. 2
1
-15.14.2 12.
13--=x y π
17.（1）证明：当1=n 时，12
)
1(11111=⇒+=
=a a a S a . 当2≥n 时，⎪⎩⎪⎨⎧+=+=---1
2
112
22n n n n
n n a a S a a S
)
2(100
)1)((211111
2
12≥=-∴>+=--+⇒+-+=⇒------n a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n
所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）解：由（1）可得
18.解：（1）由题意知 10=n
21020
1,81080111======∴∑∑=-=-
n i i n i i y n y x n x
242810184-,80810720-1
2
2
12
=⨯⨯-==⨯-=-
-=-=∑∑y x n y x x n x
n
i i i n
i i
3
.080
242
2
1
1
^
==
-∑-∑=
∴==x
n x y
x n y x b i n
i i i n
i 4.083.02-=⨯-=-=-∧-∧x b y a 故所求回归方程为4.03.0-=x y .
.
1
111 11
13121211 111)1(121,2
)
1(,321+=+-=+-
++-+-=++++=∴+-
=+==+=
=n n
n n n b b b b T n n n n S b n n S n a n
n n n n n
（2）由于变量y 的值随x 的值增加而增加（03.0^
>=b ），故x 与y 之间是正相关. （3）将7=x 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄
为（千元）7.14.073.0=-⨯=y
19.（1）证明：
(2)解，如图，建立空间
直角坐标系
xyz A -，
则
ABD 的法向量)1,0,0(=，
平面
设平面1ADC 的法向量),,(z y x n =，则1,AC n AD n ⊥⊥ )4,2,1(),0,4,0(1== )104(-=∴，，
1717
17
1,cos -=-=
>=
< 故二面角B AD C --1的余弦值为17
17
.
20.解：（1）由已知2AB =，得知22b =，1b =,
因为
c a =
，
222a b c =+，所以2,a = 所以椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=.
（2）假设存在.设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -，
所以AP 的直线方程为001
1y y x x -=+， BP 的直线方程为0
1
1y y x x +=-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+，00
4(1)
1y n x +=-，
所以0
82MN m n x =-=-
，
线段 MN 的中点0
4(4,)y x ， B
AA D AC D AC AD B AA AD A AA AB AD AA ABC AA AB DA BAD ADC DC AC ACD ACB 11111110000 90 30 120 60平面平面平面平面又平面即⊥∴⊂⊥∴=⊥∴⊥⊥=∠∴=∠∴==∠∴=∠ )
4,2,1(),4,0,2(),4,0,0()0,4,0(),0,2,1(),0,0,2(),0,0,0(111C B A D C B A
若以MN 为直径的圆经过点(2,0)， 则222000
44
(42)(
0)(1)y x x -+-=-, 因为点P 在椭圆上， 所以2
20014x y +=，代入化简得0
810x -=，
所以08x =， 而[]022x ∈-，，矛盾， 所以这样的点P 不存在.
21.（1）解： 时，
1>x )(x f ∴在区
间],1[e 上是增函数
)(x f ∴的最小值是1)1(=f ， )(x f 的最大值是21)(e e f +=.
（2）证明：令x
x x x x x x x x x x F x
x x x g x f x F )
12)(1(1212)(ln 2
1
32)()()(2
232/23++-=
++-=++-=++-=-=则 0)(,1/<∴>x F x ，从而)(x F 在),1(+∞上是减函数， 于是06
1
3221)1()(<-=-=
<F x F 故当),1(+∞∈x 时，函数)(x f 的图象在2
32
132)(x x x g +=的下方.
22.证明略.
23.解：（1）0 0cos sin 0cos sin 2222=-∴=-∴=-x y θρθρθθρ 故曲线C 的直角坐标方程为x y =2.
)1,0( 4
3
1M k π
α=∴-= 故直线l 的参数方程为)( 22143sin 12243cos 为参数t t t y t t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=+=-==ππ （2）把x y =2代入)( 22143sin 122
43cos
为参数t t t y t t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=-==ππ， 化简得02232=++t t ，221=∴t t
x
x x f x x x x f 1
2)(
)0(ln )(/2
+=∴>+= 0)(/>x f
故点M 到B A ,两点的距离之积为2.
24.（1）证明略.
（2）x x x x 2122
-≥+--
①当1-≤x 时，1 310322-=∴≤≤-⇒≤--x x x x ②当21<<-x 时，11 11012-≤<-∴≤≤-⇒≤-x x x ③当2≥x 时， 0322无解≤+-x x 综上所述，不等式的解集为]1,1[-.。