离散数学数理逻辑部分综合练习辅导

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离散数学第2版课后习题答案

离散数学第2版课后习题答案离散数学是计算机科学和数学领域中一门重要的学科，它研究离散对象及其关系、结构和运算方法。

离散数学的应用非常广泛，包括计算机科学、信息科学、密码学、人工智能等领域。

而离散数学第2版是一本经典的教材，它系统地介绍了离散数学的基本概念、原理和方法。

本文将为读者提供离散数学第2版课后习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握离散数学的知识。

第一章：基本概念和原理1.1 命题逻辑习题1：命题逻辑的基本符号有哪些？它们的含义是什么？答：命题逻辑的基本符号包括命题变量、命题联结词和括号。

命题变量用字母表示，代表一个命题。

命题联结词包括否定、合取、析取、条件和双条件等，分别表示“非”、“与”、“或”、“如果...则...”和“当且仅当”。

括号用于改变命题联结词的优先级。

习题2：列举命题逻辑的基本定律。

答：命题逻辑的基本定律包括德摩根定律、分配律、结合律、交换律、吸收律和否定律等。

1.2 集合论习题1：什么是集合？集合的基本运算有哪些？答：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。

集合的基本运算包括并、交、差和补等。

习题2：列举集合的基本定律。

答：集合的基本定律包括幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律和德摩根定律等。

第二章：数理逻辑2.1 命题逻辑的推理习题1：什么是命题逻辑的推理规则？列举几个常用的推理规则。

答：命题逻辑的推理规则是用来推导命题的逻辑规则。

常用的推理规则包括假言推理、拒取推理、假言三段论和析取三段论等。

习题2：使用推理规则证明以下命题：如果A成立，则B成立；B不成立，则A不成立。

答：假言推理规则可以用来证明该命题。

根据假言推理规则，如果A成立，则B成立。

又根据假言推理规则，如果B不成立，则A不成立。

2.2 谓词逻辑习题1：什么是谓词逻辑？它与命题逻辑有何区别？答：谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑系统，它引入了谓词和量词。

与命题逻辑不同，谓词逻辑可以对个体进行量化和描述。

《离散数学》复习题及答案

页眉内容《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

( )(1)北京是中华人民共和国的首都。

(2) 陕西师大是一座工厂。

(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。

(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。

答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。

(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PP⌝P→⌝↔（4）QQ→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。

(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。

(数理逻辑)离散数学习题参考答案2

第二次：（等值演算）P38 3,4 （主范式）7(2), 8(3) , 9(2) , 10(2) ,12,133(1) 矛盾式()(())00p q q p q q p q q p ¬∧→⇔¬¬∧∨⇔∧∧¬⇔∧⇔1)(2) 重言式 (())()()()1()p p q p r p p q p r p r →∨∨→⇔¬∨∨∨¬∨⇔∨¬∨⇔(3) ()()(()())()(p q p r p q p r p q p ∨→∧⇔¬∨∨∧⇔¬∧¬∨∧10 0 010001010 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1p q r ()()p q p r ∨→∧r ) 可满足式成真赋值是:000，001，101，111.真值表如右图所示. 4(3) 左式=()p q ¬↔(()())(()())()()()()()()()11()p q q p p q q p p q q p p q p p q q q p p q p q ⇔¬→∧→⇔¬¬∨∧¬∨⇔∧¬∨∧¬⇔∨∧∨¬∧¬∨∧¬∨¬⇔∨∧∧∧¬∧()(p q p ⇔∨∧¬∧q )=右式原等值式得证。

()()()()()(()()1()() 00 0110 11 0p q 01 1()()p q p q →→↔¬1p q p q p p p q q p q p q p q p q p q ∧¬∨¬∧⇔∨¬∧∨∧¬∨¬∧¬∨∨∧¬∧∧⇔∨∧¬∧(4)左式＝＝右式原等值式得证q 7 (1)解：先求主析取范式，后求主和取范式如下： )7 (1)解法二：先求主和取范式，后求主析取范式如下：77 (2)解：先求主析取范式，后求主和取范式如下：)⇔∧67135135670⇔∨∨∨∨⇔∨∨∨∨⇔m m m m m m m m m m M 24()(())(()())()()()()()(()()()()()∧∨⇔∧∧¬∨∨¬∨∧¬∨∧⇔∧∧¬∨∧∧∨¬∧¬∧∨¬∧∧∨∧¬∧∨∧∧⇔∧∧¬∨∧∧∨¬∧¬∧∨¬∧∧∨∧¬∧∧∧p q r p q r r p p q q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r M M 02()()()⇔∨∨∧∨¬∨∧¬∨∨⇔∧p q r p q r p q r M M 41356()()()(())(()()()()()()∧∨⇔∨∧∨⇔∨∧¬∨∧∧¬∨∨⇔∨∨∧∨¬∨∧∨∨∧¬∨∨∧⇔∨∨∨∨p q r p r q r p q q r p p q r p q r p q r p q r p q r M m m m m m ()()()()()()()(()()0()()()()→∧→⇔¬∨∧¬∨⇔¬∧¬∨¬∧∨¬∧∨∧⇔¬∧¬∨¬∧∨∨∧⇔¬∧¬∨¬∧∨∧p q q r p q q r p q p r q q q r p q p r q r p q p r q r 0113372456()(())()()()(())()()()(())()()() ¬∧¬⇔¬∧¬∧¬∨⇔¬∧¬∧¬∨¬∧¬∧⇔∨¬∧⇔¬∧¬∨∧⇔¬∧¬∧∨¬∧∧⇔∨∧⇔¬∨∧∧⇔¬∧∧∨∧∧⇔∨0137()∴→∧→⇔∨∨∨⇔∧∧∧p q p q r r p q r p q r m m p r p q q r p q r p q r m m q r p p q r p q r p q r m m q r m m m m M M M M （主析取范式）（主合取范式）p q 8 (2)解：先求主和取范式，后求主析取范式如下： 7表可知成真赋值为01,10, 表可知，其成假赋值010,100,101,110 范式为：0612()()⇔∨∨∧¬∨¬∨⇔∧⇔∨p q r p q r M M m m 345()(()())(()())()()()()()()↔→⇔→∧→→⇔¬¬∨∧¬∨∨⇔∧¬∨∧¬∨⇔∨∨∧∨¬∨∧¬∨∨∧¬∨¬∨∨∨∨∨p q r p q q p rp q q p r p q q p r p q r p p r q q r q p r m m m m9 (2)解：由如右真值，其则主析取范式为：12m m ∨。

《离散数学》题库及答案解析

《离散数学》题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z（考察定义在公式∀x A和∃x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。

在∀x A和∃x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。

于是A(x)、B(y，x)和∃z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元）5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

( )(1)北京是中华人民共和国的首都。

(2) 陕西师大是一座工厂。

(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。

(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。

数理逻辑部分1章练习题参考答案

《离散数学》第1章练习题参考答案2017年一、填空题1. 设命题公式)(r q p G ∨⌝∧=，则G 的成真赋值是 100 、 101 、 111 .2. 已知命题公式r q p G →∧⌝=)(，则G 的析取范式为r q p ∨⌝∨.3. 设B A ,为两个命题公式，B A ⇔当且仅当为重言式B A ↔，B A ⇒当且仅当为重言式B A →.4. 已知命题公式),,(r q p A 的主合取范式为530M M M ∧∧，则它的主析取范式为76421m m m m m ∨∨∨∨.5. 已知命题公式),,(r q p A 的成真赋值为000,001,010,100,110，则其主合取范式为357M M M ∧∧.二、选择题1. 设命题公式)(p q p G ⌝→∧=，则使G 的真值为1的p ，q 的取值是（ C ）（A ） 00 （B ） 01 （C ） 10 （D ） 112. 与命题公式)(r q p →→等值的公式是（ B ）（A ）r q p →∨)( （B ）r q p →∧)( （C ）)(r q p ∧→ （D ）)(r q p ∨→3. 命题公式p q p →∧)(是（ A ）（A ）永真式（B ）永假式（C ）非永真式的可满足式（D ）合取范式4. 设命题公式)(),(p q H q p G ⌝→=→⌝=，则G 与H 的关系是（ D ）（A ）G H ⇔ （B ）G H → （C ）G H ⇒ （D ）H G ⇒5. 下列重言蕴涵式中，不正确的是（ C ）（A ）Q P Q ∨⇒ （B ）Q P Q →⇒（C ）P Q P Q ⇒→∧⌝)( （D ）Q Q P ⌝⇒→⌝)(三、计算题1. 将下列命题符号化（1）李强不是不聪明，而是不用功（2）如果天不下雨，我们就去郊游解（1）设p ：李强聪明，q ：李强用功.原命题符号化为：q p ⌝∧（2）设p ：天下雨，q ：我们去郊游.原命题符号化为：q p →⌝2.给出下列公式的真值表（1）r q p r q p ⌝∧∧→→∧)(（2）)()()(r p r q q p ⌝∧⌝→→∧∨⌝解略.3. 设命题变项q p ,为1， s r ,为0，试求出下列命题的真值（1）)(r q p ∧∨ （2）)()(s q r p →⌝∧→解（1）101)01(1)(⇔∨⇔∧∨⇔∧∨r q p（2）010)00()01()()(⇔∧⇔→∧→⇔→⌝∧→s q r p4. 判断下列公式的类型（1）)(r q p p ∨∨→ （2）)()(q p q p ∨⌝→↔解用真值表知（1）是重言式，（2）是可满足式.5. 求命题公式r q p →∨)(的主合取范式，并求其成假赋值. 解用真值表可得642)(M M M r q p ∧∧⇔→∨.真值为0的赋值有三种：001，100，110.6. 求命题公式r q p ∨∧)(的主合取范式与主析取范式.解用真值表法可知42076531)(M M M m m m m m r q p ∧∧⇔∨∨∨∨⇔∨∧四、证明题1. 用等值演算法证明q q p p →→∧)(为重言式. 证原式q q p p q q p p →∨⌝∧⇔→→∧⇔)()( q q p q q p p ∨∧⌝⇔∨∨⌝∧⌝⇔)())((11⇔∨⌝⇔∨⌝∨⌝⇔p q q p2. 构造下列推理的证明（1）前提：q p q s s r q r →⌝→∨⌝→,,,，结论：p ⌝；（2）前提：s r s p q s r q p ,),)((),()(⌝∨→∧⌝→→⌝，结论：q p ↔；(3) 前提：)(,)(,t p r r q q p ∧⌝⌝⌝∧∨⌝→，结论：t ⌝. 证（1）用归谬法证明①p 结论的否定引入 ②q p → 前提引入 ③q ①②假言推理 ④q s ⌝→ 前提引入 ⑤s ⌝ ③④拒取 ⑥ s r ∨ 前提引入⑦r ⑤⑥析取三段论 ⑧q r ⌝→ 前提引入 ⑨q ⌝ ⑦⑧假言推理 ⑩q q ⌝∧ ③⑨合取 ⑩得出矛盾，因此，p ⌝是前提的有效结论.（2）① s p q ⌝∨→)( 前提引入② s 前提引入 ③ p q → ①②析取三段论 ④ )()(s r q p ∧⌝→→⌝ 前提引入 ⑤ r 前提引入 ⑥ s r ∧ ②⑤合取 ⑦ q p → ④⑥拒取⑧)p→∧q→③⑦合取(q)(p⑨qp↔⑧置换（3）①r⌝)(前提引入∨∧q⌝r②rq∨⌝①化简③r⌝①化简④)⌝前提引入⌝p∧(t⑤tp⌝∨④置换⑥q⌝②③析取三段论⑦qp→前提引入⑧p⌝⑥⑦拒取⑨t⌝⑤⑧析取三段论。

电大离散数学数理逻辑部分期末复习辅导

离散数学数理逻辑部分期末复习辅导一、单项选择题1．设P：我将去打球，Q：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间”符号化为( )．A．P∨⌝P⌝Q→B．QP→C．QP↔D．Q 复习：P→Q表示的逻辑关系是，P是Q的充分条件，或Q 是P的必要条件．因此“只要P则（就）Q”，“P仅当Q”，“只有Q才P”等，都可用复合命题P→Q表示．解因为语句“我有时间”是“我将去打球”的必要条件，所以选项B是正确的．记住：“P仅当Q”即表示为P→Q．答 B问：如果把“我将去打球”改成“我将去市里”、“我将去旅游”等，会符号化吗？2．设命题公式G：)→⌝，则使公式G取真值为1的QP∧(RP，Q，R赋值分别是( )．A．0, 0, 0 B．0, 0, 1 C．0, 1, 0 D．1, 0, 0 解对于选项A、B、C、D中，Q∧R的真值为0，要使公式G取真值为1，必需⌝P的真值为0，从而P的真值为1，所以选项D是正确的．答 D若题目改为：设命题公式⌝P→(Q∧R)取真值为1，则P，Q，R的赋值是．答1,0,0；1,0,1；1,1,0；1,1,1；0,1,13．命题公式(P∨Q)→R的析取范式是( )．A．⌝(P∨Q)∨R B．(P∧Q)∨RC．(P∨Q)∨R D．(⌝P∧⌝Q)∨R复习：范式：一个命题公式称为析取（合取）范式，当且仅当它具有形式：A1∨A2∨…∨A n （A1∧A2∧…∧A n），（n≥1）其中A1，A2，…，A n均是由命题变元或其否定所组成的简单合取（析取）式．对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅仅由小项（大项）的析取（合取）组成，则该等价式称为原式的主析取（主合取）范式．求命题公式的主析取（主合取）范式的推演步骤：(1) 首先将公式化为析取（合取）范式．①将公式中的联结词化归成⌝，∧及∨．（利用双条件等价式P↔Q⇔(P→Q)∧(Q→P)消去↔，利用蕴含等价式P→Q ⇔⌝P∨Q消去→）②利用德·摩根律将否定符号⌝直接移到各个命题变元之前．③利用合取对析取（析取对合取）的分配律、结合律将公式归约为析取范式（合取范式）．(2) 除去析取（合取）范式中永假（真）的析取（合取）项，并将析取（合取）范式中重复出现的合取（析取）项和相同变元合并．(3) 对于不是小项（大项）的合取（析取）式，补入没有出现的命题变元，即通过合取（析取）添加(P∨⌝P)（(P∧⌝P)）式，然后应用合取（析取）对析取（合取）的分配律展开公式．(4) 合并相同的小项（大项），并将小项（大项）按编码从小到大的顺序排列，可用∑（∏）表示之．主析取范式与主合取范式的关系：一般地，若命题公式A的主析取范式为∑(i1, i2, …, i k)则公式A的主合取范式为∏(0, 1, …, i1-1, i1+1, …, i k-1, i k+1, …, 2n-1) 解R⇔⌝∨∨→)(⇔)(∨)(Q⌝PQPR∧⌝P∨QR答 D4．命题公式(P∨Q) 的合取范式是( )．A．P∧Q B．(P∧Q)∨(P∨Q)C．P∨Q D．⌝(⌝P∧⌝Q)答 C5．命题公式)⌝的析取范式是( )．P→(QA．Q⌝D．QP∨P⌝∨P⌝⌝C．Q∧B QP∧解()()⌝→⇔⌝⌝∨P Q P Q⇔∧⌝P Q答 A注意：第3、4、5题复习了合取范式和析取范式的概念，大家一定要记住的。

离散数学集合论综合练习作业辅导

离散数学集合论综合练习作业辅导(10春)一、单项选择题A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{ a }}∈A B．{ a }⊆AC．{2}∈A D．∅∈A正确答案：BA={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（）．A．B⊂ A B．A⊂ BC．B∉A D．B∈ A正确答案：D注意：这两个题是重点，大家一定要掌握，还有灵活运用。

3．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A．{{1}, {a}} B．{∅,{1}, {a}}C．{∅,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }}正确答案：C注意：若A是n元集，则幂集P(A )有2 n个元素．当n=1时，A的幂集是什么？4．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b>⎢a , b∈A , 且a =b }，则R具有的性质为（）．A．不是自反的B．不是对称的C．反自反的D．传递的正确答案：D要求大家能熟练地写出二元关系R的集合表达式，并能判别R具有的性质．5．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S是R的（）闭包．A．自反B．传递C．对称D．以上都不对正确答案：C定义：A上包含R的自反（对称、传递）关系，叫做R的自反（对称、传递）闭包。

6．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系的哈斯图如右图所示，若A的子集B = {3 , 4 , 5}，则元素3为B的（）．A．下界B．最大下界C．最小上界D．以上答案都不对5正确答案：C二、填空题1．设集合A = {1，2，3，4，5 }，B = {1，2，3}，R 从A 到B 的二元关系，R ={<a , b >⎢a ∈A ，b ∈B 且2≤a + b ≤4}则R 的有序对集合表示式为．应该填写：R = {<1 , 1>，<1 , 2>，<1 , 3>，<2 , 1>，<2 , 2>，<3 , 1>}注意：若把二元关系R 的条件2≤a + b ≤4改为a ≤b ，大家一定要会做．2．设集合A ={1, 2, 3, 4 }，B ={6, 8, 12}， A 到B 的二元关系R ＝},,2,{B y A x x y y x ∈∈=><那么1-R ＝应该填写：{<6，3>，<8，4>}设集合A =｛a , b , c , d ｝，A 上的二元关系R ={<a , b >, <b , a >, <b , c >, <c , d >}，则二元关系R 具有的性质是．应该填写：反自反的注意：若A 和R 的元素减少了，大家要会判别．设集合A =｛a , b , c , d ｝，A 上的二元关系R ={<a , a >, <b , b >, <b , c >, <c , d >}，若在R 中再增加两个元素，则新得到的关系就具有对称性．应该填写：<c , b >, <d , c >注意：第3，4题是重点，我们不仅要熟练掌握，尤其是A 和R 的元素都减少的情况，而且如果新得到的关系具有自反性，那么应该增加哪两个元素呢？5．设R 是集合A 上的等价关系，且1 , 2 , 3是A 中的元素，则R 中至少包含等元素．应该填写：<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>因为等价关系一定是自反的、对称的、传递的，由于二元关系R 是自反的，所以它至少包含<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>等元素．A ={1, 2}，B ={a , b }，那么集合A 到B 的双射函数是．应该填写：{<1, a >, <2, b >}，{<1, b >, <2, a >}注意：第6题也是重点，我们要熟练掌握．三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）R 1和R 2是A 上的自反关系，判断结论：“11-R 、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的” 是否成立？并说明理由．解：结论成立．因为R 1和R 2是A 上的自反关系，即I A ⊆R 1，I A ⊆R 2．由逆关系定义和I A ⊆R 1，得I A ⊆11-R ；由I A ⊆R 1，I A ⊆R 2，得I A ⊆ R 1∪R 2，I A ⊆ R 1⋂R 2．所以，11-R 、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的．R ，S 是集合A 上的对称关系，判断R ∩S 是否具有对称性，并说明理由．解：结论成立．因为∀x ，y ∈A ，若<x , y >∈R ，则<y , x >∈R ；若<x , y >∈S ，则<y , x >∈S ．于是，若<x , y >∈R ∩S 则<x , y >∈R 且<x , y >∈S ，即 <y , x >∈R 且<y , x >∈S 也即<y , x >∈ R ∩S ，所以R ∩S 是对称的．注意：第1，2题是重点，我们不仅要熟练掌握，而且，如果把这两个题目改成证明题，大家也一定要掌握．例如，设R ，S 是集合A 上的对称关系，则R ∩S 也是对称关系．证明：因为∀x ，y ∈A ，若<x , y >∈R ，则<y , x >∈R ；若<x , y >∈S ，则<y , x >∈S ．于是，若<x , y >∈R ∩S 则<x , y >∈R 且<x , y >∈S ，即 <y , x >∈R 且<y , x >∈S 也即<y , x >∈ R ∩S ，所以R ∩S 是对称关系．3．设集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={2, 4, 6, 8}，判断下列关系f 是否构成函数f ：A →B ，并说明理由．(1) f ={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}； (2) f ={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}；(3) f ={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．解：(1) f 不能构成函数．因为A 中的元素3在f 中没有出现．(2) f 不能构成函数．因为A 中的元素4在f 中没有出现．(3) f 可以构成函数．因为f 的定义域就是A ，且A 中的每一个元素都有B 中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件．注意：第3题也是重点，我们要熟练掌握，这样当遇到集合A ，B 中的元素比较少时，也能正确判断并说明理由．四、计算题A ＝{{a , b }, c , d }，B ={a , b , {c , d }}，求(1) B ⋂A ； (2) A ⋃B ； (3) A －B ； (4)B ⨯A ．解：（1）B ⋂ A ={{a , b , {c , d }⋂{a , b }, c , d }}= ∅（2）A ⋃B ={{a , b }, c , d }⋃{a , b , {c , d }}={ a , b , {a , b }, c , d , {c , d }}（3）A －B = {{a , b }, c , d }-{a , b , {c , d }}＝{{a , b }, c , d }（4）A ⨯ B ={{a , b }, c , d }⨯{a , b , {c , d }}={<{a , b }, a >, <{a , b }, b >, <{a , b }, {c ,d }>, < c , a >, < c , b >, < c , {c , d }>, < d , a >, < d , b >, < d , {c , d }>}注意：第1题也是重点，我们要熟练掌握．想一想：如果设集合A = {a , {b }, c }，B ={a , b , {c }, c } ，求（A ∪B ）－A ，A －（A∩B ）或（A ∪B ）－（A ∩B ）。

离散数学复习资料

《离散数学》习题与解答第一篇数理逻辑第一章命题逻辑1-1（1）指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题指出他的真值a)离散数学是计算机科学系的一门必修棵b)∏> 2 吗？c)明天我去看电影d)请勿随地吐痰e)不存在最大质数f)如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲的语言就容易多了g)9+5<12h)x<3i)月球上有水j)我正在说假话[解]a)不是命题b)是命题,真值视具体情况而定c)不是命题d)是命题,真值为te)是命题,真值为tf)是命题,真值为fg)不是命题h)是命题, 真值视具体情况而定i)不是命题1-2(1)用P表示命题“天下雪”,(又表示命题“我将去镇上”,R表示命题“我有时间”.以符号形式写出下列命题:(a)如果天不下雪和我有时间,那么我将去镇上.(b)我将去镇上，仅当我有时间.(c)天不下雪(d)天下雪,那么我不去镇上[解]a)(┐P∧R)→Qb)Q→Rc)┐Pd)P→┐Q1-2(2)将下面这段陈述中所出现的原子命题符号化,并指出他们的真值,然后将这段陈述中的每一命题符号化 2 是有理数是不对的.2是偶素数.2或4是素数.如果2是素数则3也是素数.2是素数当且仅当3也是素数.[解]:陈述中出现5个原子命题，将他们符号化为:P: 2 是有理数其真值为FQ:2是素数其真值为TR:2是偶数其真值为TS:3是素数其真值为TU:4是素数其真值为F陈述中各命题符号化为:┐P;Q∧R;Q∨U;Q→S;Q＜＝＞S1-2(3)将下列命题符号化a)如果3+3=6,则雪是白色的.b)如果3+3≠6,则雪是白色的c)如果3+3=6,则雪不是白色的.d)如果3+3≠6,则雪不是白色的e)王强身体很好，成绩也很好.f)四边形ABCD是平行四边形,仅当其对边平行[解]:设P:3+3=6 Q:雪是白色的R:王强成绩很好S:王强身体很好U: 四边形ABCD是平行四边形V: 四边形ABCD的对边是平行的于是:a)可表示为:P→Qb)可表示为: ┐P→Qc)可表示为: P→┐Qd)可表示为：┐P→┐Qe)可表示为：S∧Rf)可表示为:U＜＝＞V1-3(1)判别下列公式中哪些是合式公式,那些不是合式公式a) (Q→R∧S)b) (P＜＝＞(R→S))c) ((┐P→Q)→(Q→P)))d) (RS→T)e)((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)))[解]:a)不是合式公式(若规定运算符优先级后也可以作为合式公式)b)是合式公式c)不是合式公式(括号不配对)d)不是合式公式e)是合式公式1-3(2)对下列各式用指定的公式进行代换:a) (((A→B)→B)→A),用（A→C）代换A，用（（B∧C）→A代换B。

离散数学综合练习及答案

北京科技大学远程教育学院《离散数学》综合练习(一)参考答案数理逻辑一、判断下列句子是否是命题，若是命题判断真值，并将其符号化。

1、今天天气真好！解：不是命题。

2、王华和张民是同学。

解：是命题。

真值视实际情况而定。

p：王华和张民是同学。

3、我一边吃饭，一边看电视。

解：是命题。

真值视实际情况而定。

p：我吃饭。

q：我看电视。

p∧q 4、没有不呼吸的人。

解：是命题。

真值为1。

M(x)：x是人。

F(x)：x呼吸。

∀x(M(x)→F(x))二、求命题公式的真值表和成真赋值、成假赋值。

p→∧qr∧→(p])[(r)解：成真赋值：000，001，010，011，101，111；成假赋值100，110三、用真值表、等值演算两种方法判别公式类型。

1、r q q p →∧→])[( 解：rq q p r q q q p r q q p rq q p r q q p r q q p ∨⌝∧⌝∨⇔∨⌝∨⌝∧⌝∨⇔∨⌝∨⌝∧⇔∨⌝∨∨⌝⌝⇔∨∧∨⌝⌝⇔→∧→])[()]()[()()(])[(])[(可满足式2、))((p q p q ∧∨⌝⌝∨ 解：))((p q p q A ∧∨⌝⌝∨=1)()()())((⇔∨⌝∨∨⌝⌝⇔⌝∨∨⌝⌝∨⇔∧∨⌝⌝∨q p q p p q p q p q p q永真式四、求命题公式的主析取范式和成真赋值、成假赋值。

)(r q p →→ 解：∑=→→），，，，，，7543210()(r q p 成真赋值：000，001，010，011，100，101，111；成假赋值110 五、解释I 如下：D 是实数集，特定元素a =0；特定函数f (x ，y )=x -y ；特定谓词F (x ，y )：x<y 。

在解释I 下判别公式真、假。

1、)])(([x y x f F y x ，，⌝∀∀ 解：)])[()])(([)]([)])(([x y x y x x y x y x x y x F y x x y x f F y x ≥-∀∀⇔<-⌝∀∀⇔-⌝∀∀⇔⌝∀∀，，，真值为假2、)]()([)({z y f z x f F y x F z y x ，，，，→∀∀∀ 解：)]()()[()]}()([)({z y z x y x z y x z y f z x f F y x F z y x -<-→<∀∀∀⇔→∀∀∀，，，，真值为真六、1、求前束范式)()(y x yG x xF ，∀→⌝∃ 解：)]()([)()()()()()(y t G x F y x y t yG x xF y x yG x xF y x yG x xF ，，，，∨∀∃⇔∀∨∃⇔∀∨∃⇔∀→⌝∃2、证明：B x xA B x A x →∀⇔→∃)())(( 证明：Bx xA Bx xA B x A x B x A x B x A x →∀⇔∨⌝∀⇔∨⌝∃⇔∨⌝∃⇔→∃)()()())(())((七、写出下面推理的证明，要求写出前提、结论，并注明推理规则。

《离散数学》复习题及答案

《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式?x((A(x)?B(y，x))??z C(y，z))?D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

( )(1)北京是中华人民共和国的首都。

(2) 陕西师大是一座工厂。

(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。

答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。

(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P↔（4）QP→⌝P⌝Q→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。

(1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( )(3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)?Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。

离散数学与应用数理逻辑部分课后习题答案

（1）
解答：所以为永假式。（ Nhomakorabea）解答：
所以因为永真式。
（3）
解答：
为可满足式。
真值表为
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
4、用等值演算法证明下面的等值式。
（2）
解答：
（4）
解答：
5、求下列公式的主析取范式，并求它们的成真赋值。
（1）
解答：
所满足的条件即为
（1）若赵去，钱也去：；
（2）李、周两人中必有一人去：；
（3）钱、孙两人中去且仅去一人：；
（4）孙、李两人同去或同不去：；
（5）若周去，则赵、钱也同去：。
将所有条件进行合取，然后求其主析取范式
（过程省略）
所以最终方案有两套：
（1）赵钱周不去，孙李去；（2）赵钱周去，孙李不去。
解答：
（1）命题符号化： A曾到过受害者房间； A在11点以前离开；
A就是谋杀嫌疑犯；看门人会看见过A；
（2）推理的形式结构：
前提：
结论：
（3）证明
① 前提引入
② 前提引入
③ ①②拒取式
④ 前提引入
⑤ ③④合取
⑥ 前提引入
⑦ ⑤⑥假言推理。
P63:习题四

离散数学数理逻辑部分综合练习(1).docx

一-单项选择题B ・(P/\0) V/? D ・\!R G(x):兀是健壮的，则命题“没有一个国家级 )・ B ・「\/x(C(x) t 「G(x)) D ・—«3%(C(x) A —iG(x)) 兀是学生，则命题“不是所有人都是学生” A. (X/x)(A(x)/\B ⑴) B ・-](m*)(A ⑴AB(X))C. n (Vx)(/4(x) -*B(X )) D ・ ~I (m^)(A ⑴A~i B(x)) 9.表达式 Vx(P(x,y) 7 Q(z)) A 3y(R(x, y) T X/Z Q(Z ))中 Vx 的辖域是(). A. P(x, y)B ・ P(x,y)\/Q(z)C ・ R(x, >)D ・ P(x, ^)A /?(X , y)二、填空题 1・命题公式P T (Q V P)的真值是 ________________ ・2. 设戸他生病了，Q ：他出差了. R ：我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(PS'T R •3•含有三个命题变项P,Q,R 的命题公式的主析取范式是_(P A 2A /?)V (P A ，O/\—\R) •4. 设F(x)：兀是鸟，G(x)：兀会飞翔.则命题“鸟会飞”符号化为(\7X )(F(X )T G(x)) 符号化为( )? ?A. Q T P B ・ P T Q C ・ P > Q D. ―P v ―Q 2. 设命题公式G ：「P T (Q A R),则使公式G 取真值为1的P, Q,尺赋值分别是( )A. 0,0,0B. 0, 0, 1C. 0, 1,0D. 1,0,0 3・卜'列公式(] )为重言式. A. -iP/\-QB. (Q T (/VQ)) *0如0)C.D. (-1Pv(PAe )) 4. 下列等价公式成立的为(). A. -I P A -I Q O P V 0 B. P T (-I Q T P) O 「P T (P T Q)1-设P ：我将去市里，Q ：我有时间・命题“我将去市里，仅当我有时间时” C. Q T (P V Q) o-iQMPvQ) D. ^P V (P A 2)5. 命题公式TPT 2)的主析取范式是().A. P A -QB. -P N QC. -F 、Q 6. 命题公式(PVQ) -/?的析取范式是( )D. Pv-.O A.「(PVQ) V/? C ・(PVQ) V/? 7. 设C(%): x 是国家级运动员, 运动员不是健壮的”可符号化为( A. ―Vx(C(x) A ―G(x)) C. ―3x(C(x) —> ―G (兀)) 8. 设A (x):兀是人，B (x)5.设个体域D={\, 2},那么谓词公式v \fyB(y)消去量词后的等值式为⑵)\/(B⑴人B(2)) •6.设个体域D={a, b, c},则谓词公式(X/x)Ad)消去量词后的等值式为A(d)人A (Z?)心(c ) ・7.设个体域D={a, b},则谓词公式(Vx)A(x) A ( 3% ) B ( % )消去量词后的等值式为.8.设个体域D={1,2},则谓词公式BxA(x)消去量词后的等值式为—A 仃)\/A(2)・9•谓词命题公xl：(Vx)(P(x)->2(x)V/?(x, y))中的约束变元为兀•10. (Vx)(P(x)^e(x)V/?(x, y))中的自由变元为 /?% y )中的y ・三、公式翻译题1 •请将语句“今天不是天晴”翻译成命题公式・1・解：设P:今天是天晴；则-iP・2.将语句“今天没有下南・”翻译成命题公式.2.解：设P：今天下雨，则「P・3.将语句“今天没有人來・”翻译成命题公式.3.解：设P：今天有人來，则-iP・4.将语句“他不去学校・”翻译成命题公式.4.解：设P：他去学校，则"5.将语句“尽管他接受了这个任务，但他没有完成好・”翻译成命题公式.5.解：设戸他接受了这个任务，Q：他完成好了这个任务，则P^Q.6.将语句“小王去旅游，小李也去旅游・”翻译成命题公式.6.解：设小王去旅游，Q：小李去旅游，则P A Q.7.将语句“他去旅游，仅当他有时间・”翻译成命题公式.7.解：设P：他去旅游，Q：他有时间，则P—Q・8.请将语句“我去书店，仅当天不下雨”翻译成命题公式・8.解：设P：我去书店，Q：天不下雨，则P T Q.9.将语句“如果所有人今天都去参加活动，则明天的会议取消•”翻译成命题公式.9.解：设所有人今天都去参加活动，Q：明犬的会议取消,则P T Q・10.将语句“如果你去了，那么他就不去•”翻译成命题公式.10.解：设P：你去，Qz他去，则P T「Q.11•请将语句“有人不去工作”翻译成谓词公式.11•解：设P(x)： x是人，Q(x)：无去工作，贝I」(3x)(P(x) AH Q(x)).12.将语句“有人去上课・”翻译成谓词公式.12.解：设P(x)：兀是人，Q(x)： x去上课，则0x)(P(x) A2(X)). 13•请将语句“所有人都努力工作・”翻译成谓词公式・13.解：设P(x)：兀是人，Q(x)： x努力工作.则(Vx)(P(X)T 2(%)).14.将语句“所有人都去工作•”翻译成谓词公式.14.解：设兀是人，Q(x)：无去工作，则(vx)(p(x)^e(%)).15.将语句“所有的人都学习努力・”翻译成命题公式.15.解：设P⑴：兀是人，Q(x):兀学习努力，贝I」(Vx) (P9)T Q(X))・四、判断说明题(判断下列各题，并说明理由・)1.命题公式7Q T P)A P为永假式.1.解：正确因为，由真值表P Q Q T P「（Q T P）「( Q T P)人P0 0 1 0 00 1 0 1 01 0 1 0 01 1 1 0 0可知，该命题公式为永假式.2.命题公式P/\ Q) \/P为永真式.2.解：正确.-1 PA (P—| 2)VF 是dhi PA (P—-I 2)与P 组成的析取式，如果P的值为真，则1 PA (P-i Q) VP为真，如果P的值为假，贝归P与P—1 Q为真,即1 PA (P-1 0)为真,也即i PA (P-n 2)VP为真，所以i PA (P-n 2)VP是永真式.另种说明：-i PA (P-n 2)VP是由1 PA (P—i 0)与P组成的析取式，只耍其中一项为真，则整个公式为真.可以看到，不论P的值为真或为假，(P—1 2)与P总有一个为真, 所以1 PA (P-n 2)VP是永真式.或用等价演算-1 PA (P-n 2)VP«T3•下而的推理是否正确，试予以说明.(1)(Vx) F -G (x) 前捉引入(2) F (y) -G (y) US (1).3.解：错误.(2)应为F (y丿->G (x),换名时，约束变元与自由变元不能混淆.五•计算题1.(1)求命题公式TP T Q)人(P TF2)的主析取范式、主合取范式；(2)求该命题公式的成假赋值.1・解：(1) 0 A (P V 2) A (-.P V -.Q)O (P A-)Q)/\(-I P\/-I Q) O (P A -yQ A -I P) v (P A -ig A -\Q) O(P A「Q)(主析取范式)o (P V (Q 人「Q))人((P 人「P) V「Q)« (Pvg) A(Pv -10 A(P V iQ) A(-|P V iQ) o (P V Q)人(P V「Q) A (「P V「Q) (主合取范式)(2)因为命题公式的成真赋值是(1,0), 所以它的成假赋值是(0, 0), (0, 1), (1, 1).2.求公式(P A Q)T R的析取、合取、主析取、主合取范式.2.解：(Pg T R o十八①^ Ro (―iPv-i0 v R O rPv -yQ\/ R (析取、合取、主合取范式) O鬥P/M-1 eve)A(-i /?V/?))V((-1 PVP)An 2A(n /?V/?))V((n PVP) Ah eve)A/?) PN-\ eAn /?)V(-1 PA-] 2A/?)V(-| PAgAq /?)V(n P/\Q/\R) V(PA-1 2A-I /?)V(PA-1 eA7?)V(PAeA7?) (主析取范式)3.求P T Q P R的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式.3.解：p-(/?ve)pv(/?ve)O -1 PVgV/? (析取、合取、主合取范式)o(i PAn 2A-i /?)V(-i PA-i Q^R) V(n PAgA/?) V (-1 PAgA-i /?)V(PA-i 2A/?)V(PAeA-i R) V(PAQA/?)(主析取范式)4•试求出(PVQ) -/?的析取范式，合取范式，主合取范式.4.解：(PVQ) (PV0V/?« (n PAn Q)V/?(析取范式)o 鬥PV/?)A (n SV/?)(合取范式)o(鬥PV/?)V(2A-i 2))A ((-i eV7?)V(PA-i P)) o(「PV/?Ve)A(-i PV/?Vn e)A (n 2V/?VP) A(-1 ev/?v-i P)0(-1 pvev/?)A(-i pvn ev/?)A(pv-i ev/?) (主合取范式)5.求(PVQ) f (/?ve)的合取范式.5.解：(PV2)f(/?ve) o-i (pve) v(/?ve)O(「P/\「Q)V(/?ve) «(^pv/?ve)A(-ievRve)«(-^v/?ve)合取范式6・设谓词公式3x(P(%, y) t X/zQ(y,兀,z)) A V.y/?(y, z)导F(y)・试(1)写出量词的辖域；(2)指出该公式的自由变元和约束变元.6.解：(1) 3x量词的辖域为(P(x,y)T VzQ(y,兀,z)),Vz量词的辖域为Q(y,x,z), 量词的辖域为R(”z)・(2)自由变元为(P(x,y) T VzQ(y,x,z))与F(y)中的y,以及R(y,z)中的z 约束变元为(P(x, y) -> VzQ(y,x,z))中的兀与Q(y,x, z)中的z,以及R(y,z)中的y・六、证明题1.试证明命题公式(P T(Q—R))人与「(P—Q)等价.1.证明：(P T(Q—R)”「P八Qo(「Pp(QgR)2P八Q Qv—iR) A-I P A Q«(—)P A-I P A0V(2A-I P A0V(-I/?A—)P A0<=>(-I P A0V(-I P A0V(-I P A Q A-I7?)(吸收律) ofPviQ) (摩根律)2.试证明Ox) (P (x) A/? (x) ) => (3x) P (x) A (3x) R (兀) 2.证明：'〔1) (3x) (P (x) /\R (x)) P(2) P (a) A/? (a) ES(1)(3) P (a) T(2)I(4) (3x) P(x) EG(3)(5) R (a) T(2)I(6) Ox) R(x) EG(5)P(x) A (3x) R (%)T(5)(6)I(7) （玉）。

离散数学形考任务3数理逻辑部分概念及性质

离散数学形成性考核作业3数理逻辑部分的概念及性质判断题●含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P∧Q的主析取范式是(P∧Q∧R)∨(P Q∧┐R)．( ) 对●命题公式┐(P→Q)的主析取范式是P∨┐Q．( ) 错●命题公式┐P∧(P→┐Q)∨P为永真式．( ) 对●命题公式┐P∧(P∨Q)⇒Q成立．( ) 对●命题公式┐P∧P的真值是T．( ) 错●命题公式P→(Q∨P)的真值是T．( ) 对●设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，那么命题“有人去上课．”为∃x(P(x)→Q(x))．( ) 错●设P(x)：x是人，Q(x)：x学习努力，那么命题““所有的人都学习努力．”为(∀x)(P(x)∧Q(x))．( ) 错●设P：他生病了，Q：他出差了，R：我同意他不参加学习．那么命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P∨Q) →┐R．( ) 错●设P：我们下午2点去礼堂看电影，Q：我们下午2点去教室看书．那么命题“我们下午2点或者去礼堂看电影或者去教室看书”符号化的结果为P∨Q．( ) 错●设P：小王来学校，Q：他会参加比赛．那么命题“如果小王来学校，则他会参加比赛”符号化的结果为P→ Q．( ) 对●设P：昨天下雨，Q：今天下雨．那么命题“昨天下雨，今天仍然下雨”符号化的结果为P∧Q．( ) 对●设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x小于3”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值为T．( ) 对●设个体域D＝{1,2, 3, 4}，A(x)为“x大于5”，则谓词公式(∀x)A(x)的真值为T．( ) 错●设个体域D＝{a, b},那么谓词公式∃xA(x)∨∀yB(y)消去量词后的等值式为A(a)∨B(b)．( ) 错●设个体域D＝{a, b}，则谓词公式(∀x)(A(x)∧B(x))消去量词后的等值式为(A(a)∧B(a))∧(A(b)∧B(b))．( ) 对●谓词公式┐(∀x)P(x) ⇔(∃x) ┐P(x)成立．( ) 对●谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x))∨C(y))中的自由变元为x．( ) 错●谓词命题公式(∀x)(P(x)→Q(x)∨R(x，y))中的约束变元为x．( ) 对●下面的推理是否正确．( )(1) (∀x)A(x)→B(x)前提引入(2) A(y)→B(y) US (1) 错单选∀的辖域是( )．B．P(x, ●表达式(∀x)(P(x，y)∨Q(z))∧∃y (R(x, y) →∀z Q(z))中x。

(完整word版)离散数学数理逻辑部分期末复习辅导

离散数学数理逻辑部分期末复习辅导一、单项选择题1．设P：我将去打球，Q：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间”符号化为( )．A．P∨P⌝⌝P↔D．Q Q→B．QP→C．Q2．设命题公式G：)→⌝，则使公式G取真值为1的P∧(RQP，Q，R赋值分别是( )．A．0, 0, 0 B．0, 0, 1 C．0, 1, 0 D．1, 0, 0 3．命题公式(P∨Q)→R的析取范式是( )．A．⌝(P∨Q)∨R B．(P∧Q)∨RC．(P∨Q)∨R D．(⌝P∧⌝Q)∨R4．命题公式(P∨Q) 的合取范式是( )．A．P∧Q B．(P∧Q)∨(P∨Q)C．P∨Q D．⌝(⌝P∧⌝Q)5．命题公式)⌝的析取范式是( )．P→(QA．Q⌝D．Q∨P∨P⌝P∧P⌝∧B Q⌝C．Q6．下列等价公式成立的为( )．A．⌝P∧⌝Q⇔P∨QB．P→(⌝Q→P) ⇔⌝P→(P→Q)C．Q→(P∨Q) ⇔⌝Q∧(P∨Q)D．⌝P∨(P∧Q) ⇔Q7．下列公式成立的为( )．A．⌝P∧⌝Q ⇔P∨Q B．P→⌝Q⇔⌝P→Q C．Q→P⇒ P D．⌝P∧(P∨Q)⇒Q C．(Q→P)→P⇔⌝(⌝Q∨P)∨P⇔(Q∧⌝P)∨P⇔(Q∨P)∧(⌝P∨P) ⇔(Q∨P)∧1⇔P∨Q（不是永真式）D．⌝P∧(P∨Q)⇒Q（析取三段论）或者直接推导：⌝P∧(P∨Q)→Q⇔⌝(⌝P∧(P∨Q))∨Q⇔(P∨(⌝P∧⌝Q))∨Q⇔((P∨⌝P)∧(P∨⌝Q))∨Q⇔(P∨⌝Q)∨Q⇔P∨(⌝Q∨Q)⇔P∨1⇔1所以⌝P∧(P∨Q)⇒Q8．下列公式中( )为永真式．A．⌝A∧⌝B↔⌝A∨⌝B B．⌝A∧⌝B↔⌝(A∨B) C．⌝A∧⌝B↔A∨B D．⌝A∧⌝B ↔⌝(A∧B)9．下列公式( )为重言式．A．⌝P∧⌝Q↔P∨QB．(Q→(P∨Q))↔(⌝Q∧(P∨Q))C．(P→(⌝Q→P))↔(⌝P→(P→Q))D．(⌝P∨(P∧Q))↔Q解 A ．P Q P Q ⌝∧⌝⇔∨/，1P Q P Q ⌝∧⌝↔∨⇔/B ．(())1Q P Q Q P Q →∨⇔⌝∨∨⇔(())()()()1Q P Q Q P Q Q P Q ⌝∧∨⇔⌝∧∨⌝∧⇔∧⌝⇔/(())(())1Q P Q Q P Q →∨↔⌝∧∨⇔/C ．()()P Q P P Q P →⌝→⇔⌝∨∨()()P P Q P P Q ⇔∨⌝∨⇔⌝→→所以，(P →(⌝Q →P ))↔(⌝P →(P →Q ))⇔1D ．()()()P P Q P P P Q P Q Q ⌝∨∧⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝∨⇔/(())1P P Q Q ⌝∨∧↔⇔/10．设A (x )：x 是人，B (x )：x 是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（）．A ．(∀x )(A (x )∧B (x )) B ．⌝(∃x )(A (x )∧B (x ))C ．⌝(∀x )(A (x )→B (x ))D ．⌝(∃x )(A (x )∧⌝B (x ))11．设A (x )：x 是人，B (x )：x 是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（）．A ．(∃x )(A (x )∧B (x )) B ．(∀x )(A (x )∧B (x ))C ．⌝(∀x )(A (x )→B (x ))D ．⌝(∃x )(A (x )∧⌝B (x ))12．设C (x )：x 是国家级运动员，G (x )：x 是健壮的，则命题“没有一个国家级运动员不是健壮的”可符号化为 ( )．A ．))()((x G x C x ⌝∧⌝∀B ．))()((x G xC x ⌝→⌝∀C ．))()((x G x C x ⌝→⌝∃D ．))()((x G x C x ⌝∧⌝∃13．表达式))QyzyRP→∨∀中x∧∃xx∀x())(,)()(zzQ(,(y∀的辖域是( )．A．P(x, y) B．P(x, y)∨Q(z)C．R(x, y) D．P(x, y)∧R(x, y)14．在谓词公式(∀x)(A(x)→B(x)∨C(x，y))中，（）．A．x，y都是约束变元B．x，y都是自由变元C．x是约束变元，y是自由变元D．x是自由变元，y是约束变元15．设个体域D={a, b, c}，那么谓词公式)xA∀x∃消去∨(y()yB量词后的等值式为．A．(A(a)∨A(b)∨A(c))∨(B(a)∧B(b)∧B(c))B．(A(a)∧A(b)∧A(c))∨(B(a)∨B(b)∨B(c))C．(A(a)∨A(b)∨A(c))∨(B(a)∨B(b)∨B(c))D．(A(a)∧A(b)∧A(c))∨(B(a)∧B(b)∧B(c))16．命题公式QP→的主合取范式是( )．A．)∧∨⌝⌝∧⌝P∧∨B．Q∨P()P⌝)((QQQPC．Q∨P⌝P∨⌝D．Q 17．下列等价公式成立的为( )．A．⌝P∧P⇔⌝Q∧Q B．⌝Q→P⇔P→QC．P∧Q⇔P∨Q D．⌝P∨P⇔Q18．命题公式Q∨)(为( )．QP→A．矛盾式B．可满足式C．重言式D．合取范式19．谓词公式∃xA(x)∧⌝∃xA(x)是（）．A．不可满足的B．可满足的C．有效的D．蕴含式二、填空题1．命题公式()→∨的真值是．P Q P解()1P Q P P Q P→∨⇔⌝∨∨⇔2．设P：他生病了，Q：他出差了，R：我同意他不参加学习．则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为．答()∨→P Q R3．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P∧Q的主析取范式是．解()∧⇔∧∧∨⌝P Q P Q R RP Q R P Q R⇔∧∧∨∧∧⌝()()答()()∧∧∨∧∧⌝P Q R P Q R4．设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，则命题“有人去上课．”为．答(()())∃∧x P x Q x5．设个体域D＝{a, b},那么谓词公式)xA∀∨x∃消去量()(yyB词后的等值式为．答(()())(()())∨∨∧A a A bB a B b6．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x小于3”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值为．解(∃x)A(x)⇔A(1)∨A(2)∨A(3)⇔1∨1∨0⇔17．谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x))∨C(y))中的自由变元为．答y8．谓词命题公式(∀x)(P(x)→Q(x)∨R(x，y))中的约束变元为．答x三、公式翻译题1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．解设P：今天是天晴．则命题公式为：P．2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．解设P：小王去旅游，Q：小李去旅游．则命题公式为：P∧Q．．3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式．解设P：明天天下雪，Q：我去滑雪．则命题公式为：P Q→．4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间”翻译成命题公式．解设P：他去旅游，Q：他有时间．则语句表示为P Q→．5．请将语句“有人不去工作”翻译成谓词公式．解设P(x)：x是人，Q(x)：x去工作．则语句表示为∃∧⌝．x P x Q x(()())6．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．解设P(x)：x是人，Q(x)：x努力工作．则语句表示为∀→．x P x Q x(()())四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．命题公式P P⌝∧的真值是1．2．命题公式⌝P∧(P→⌝Q)∨P为永真式．3．谓词公式))xP∀xx→∀是永真式．y→∃yG(,)()((xxP解正确．xyGxxP∀→y→∃∀()))xP,((x)(⇔⌝∀∨⌝∃∨∀()((,)())xP x yG x y xP xxP x xP x yG x y⇔⌝∀∨∀∨⌝∃(()())(,)⇔∨⌝∃⇔1(,)1yG x y五、计算题1．求P→Q∨R的析取范式、合取范式、主析取范式、主合取范式．解P→Q∨R⇔⌝P∨Q∨R（析取范式、合取范式、主合取范式）⇔(⌝P∧(Q∨⌝Q)∧(R∨⌝R))∨((P∨⌝P)∧Q∧(R∨⌝R))∨((P∨⌝P)∧(Q∨⌝Q)∧R) （补齐命题变项）⇔(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)（∧对∨的分配律）⇔(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R) （主析取范式）解二（利用主析取范式与主合取范式的关系）P→Q∨R⇔⌝P∨Q∨R（析取范式、合取范式、主合取范式）⇔M100⇔m000∨m001∨m010∨m011∨m101∨m110∨m111⇔(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R) （主析取范式）2．求命题公式(P∨Q)→(R∨Q)的主析取范式、主合取范式．解()()∨→∨P Q R Q⇔⌝∨∨∨()()P Q R Q()⇔⌝∧⌝∨∨（析取范式）P Q Q R⇔⌝∨∨∧⌝∨∨（∨对∧的分配律）()()P Q R Q Q R⇔⌝∨∨∧⌝∨∨()(())P Q R Q Q R⇔⌝∨∨∧P Q R()1⇔⌝∨∨（主合取范式）（同上题）P Q R⇔(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)（主析取范式）（根据上题）解二（利用命题公式的真值表）列出命题公式(P∨Q)→(R∨Q)的真值表如下：表中所有小项的析取就是公式的主析取范式，所有大项的合取就是公式的主合取范式，故所求公式的主析取范式为：(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)，主合取范式为：⌝P∨Q∨R．注：如果题目只是求“析取范式”或“合取范式”，大家就不必再进一步求“主析取范式”或“主合取范式”．例如：求(P∨Q)→R [或(P∨Q)→(R∨Q)，P→Q∧R]的合取范式、析取范式．解()∨→P Q R⇔⌝∨∨P Q R()⇔⌝∧⌝∨（析取范式）P Q R()P R Q R⇔⌝∨∧⌝∨（合取范式）()()∨→∨P Q R Q()()P Q R Q⇔⌝∨∨∨()()P Q Q R⇔⌝∧⌝∨∨（析取范式）()⇔⌝∨∨∧⌝∨∨()()P Q R Q Q R⇔⌝∨∨（合取范式）P Q R→∧P Q R⇔⌝∨∧（析取范式）()P Q R⇔⌝∨∧⌝∨（合取范式）()()P Q P R3．设谓词公式((,)(,,))(,)∃→∀∧∀．x P x y zQ y x z yR y z （1）试写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．解（1）量词x∃的辖域为(,)(,,)→∀，P x y zQ y x zQ y x z，z∀的辖域为(,,)R y z．y∀的辖域为(,)（2）自由变元为(,)(,,)R y z中的z．P x y zQ y x z→∀中的y，(,)约束变元为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀中的x ，(,,)Q y x z 中的z ，(,)R y z 中的y ．4．设个体域为D ={a 1, a 2}，求谓词公式∀y ∃xP (x ,y )消去量词后的等值式．解 12(,)(,)(,)y xP x y xP x a xP x a ∀∃⇔∃∧∃11211222((,)(,))((,)(,))P a a P a a P a a P a a ⇔∨∧∨六、证明题1．试证明 (P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q 与⌝(P ∨⌝Q )等价．证明 (())P Q R P Q →∨⌝∧⌝∧(())P Q R P Q ⇔⌝∨∨⌝∧⌝∧ （蕴含等价） ((()))P Q R P Q ⇔⌝∨∨⌝∧⌝∧ （结合律） P Q ⇔⌝∧ （吸收律） ()P Q ⇔⌝∨⌝ （德·摩根律）。