2018-2019学年重庆市巴蜀中学高一下学期期中数学试题(解析版)

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重庆市2019学年高一下学期期中考试数学试卷【含答案及解析】

重庆市2019学年高一下学期期中考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.2. 设平面向量 , 若∥ ，则等于（）A. B. C. D.3. 在中，若，则（）A. B. C. D.4. 在各项均为正数的等比数列中，则（）A．4 B． 6 C．8 D．5. 数列前项的和为（）A. B. C. D.6. 如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内①处和执行框中的②处应填的语句分别是（）A. B.C. D.7. 已知平面上一条直线上有三个不同的点，是直线外一点，满足，则的最小值为（）A. B. C. D. 38. 若实数满足约束条件，目标函数仅在点处取得最小值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.9. 在中，角所对的边分别是，若，且，，则的面积为（）A. B. C. D.10. 已知数列的前项和为，，当时，，则（）A. 1006B. 1007C. 1008D. 100911. （原创）已知平面直角坐标系中点，，，平面区域由所有满足（，）的点组成的区域，若区域的面积为8，则的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 612. （原创）已知，则的最小值是（）A. B. 16 C. D. 17二、填空题13. 已知为单位向量，其夹角为，则 __________ ．14. 下边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“ ”表示除以的余数），若输入的分别为495,135，则输出的 __________ ．15. 已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若，则所有九个数的和为 __________ ．16. （原创）在非直角中，为上的中点，且，为边上一点，，，则的面积的最大值为 __________ ．（其中表示的面积）三、解答题17. 已知等比数列的各项均为正数，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18. （原创）已知函数（为常数）.（1）当时，解关于的不等式；（2）当，时，若对于恒成立，求实数的取值范围.19. 已知点分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角所对的边分别是 .（1）若是和的等差中项，且，求的值；（2）若，求周长的最大值.20. 设分别为三个内角的对边，若向量，且，．（1）求的值；（2）求的最小值（其中表示的面积）.21. （本小题满分 1 4 分）已知数列中，（ 1 ）求证：是等比数列，并求的通项公式；（ 2 ）数列满足，数列的前 n 项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．22. （改编）已知数列满足，， . （1）若，，，求实数的取值范围；（2）设数列满足：，，设，若，，求的取值范围；（3）若成公比的等比数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公比 .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

2018-2019学年重庆市巴蜀中学高一下学期3月月考数学试题

【详解】
(1)设等差数列的首项和公差，则，解得，
所以，即有．
(2)由(1)知，，，
所以．
由得，，解得，所以当或时，最大，，最大值为30．
【点睛】
本题主要考查等差数列通项公式的求法、等差数列的前项和公式的应用以及等差数列的前项和的最值问题的求法．等差数列前项和的最值问题常见求法有：二次函数法，图像法和通项法．
④因为，所以，
如图所示，在中，延长交于，
设，，由，所以有
，即，
因为不共线，所以，即，因此，由角平分线定理的逆定理可知，为的平分线，同理可知，为的平分线，故点P为ABC的内心，正确．
故答案为：③④．
【点睛】
本题主要考查向量夹角与数量积之间的关系运用，以及三角形重心、内心的判断，属于中档题．
(1)求AB的长；
(2)求ABC的面积.
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】(1)在中由余弦定理可求出角的余弦值，再根据平方关系求出其正弦值，然后在中根据正弦定理，即可求出AB的长；
(2)由求出，再根据三角形面积公式即可求出．
【详解】
(1)在中，，所以．
在中，即，解得．
(2)因为，所以
根据三点共线即可求出，所以，
即，
又△ABC的面积为，可知，，求得，再根据基本不等式，即可求出的最小值．
【详解】
因为，所以，由三点共线可得，
，即，所以，由向量的模的公式可得，
，
而，可得，
根据基本不等式，
，
所以的最小值为．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查向量共线定理推论、向量的模的计算公式以及基本不等式的应用，意在考查学生综合运用知识的能力，属于难题．

2020年重庆市巴蜀中学高一下学期期中数学试题(附带详细解析)

……装…______姓名：……装…绝密★启用前2020年重庆市巴蜀中学高一下学期期中数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知非零实数a b >，则下列说法一定正确的是（） A ．22a b >B ．||||a b >C ．11a b< D ．22a c b c ⋅≥⋅2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（） A ．1(0,0)e =，2(1,2)e =- B ．1(1,2)e =-，2(5,7)e = C ．1(3,5)e =，2(6,10)e =D ．1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AC a =，BD b =则AD =（）A ．1124a b -B ．1124a b + C ．1122a b -D ．1122a b +4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若向量(,)p a c a b =+-，(,)q b a c =-，且p q ，则角C =（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 5．在数列{}n a 中：已知11a =，1(2)n n a a n n --=≥，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．2n n a =B ．21n n a +=C ．2n n na +=D ．222n n n a -+=6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了（） A ．6里B ．12里C ．24里D ．96里7．下列式子的最小值等于4的是（） A ．4(0)a a a+≠ B ．4sin sin x x +，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．4x x e e -+，x ∈RD 28．已知向量(2,1)a =，(1,)b λ=-，若5a b ⋅=-，则向量a 在向量b 方向上的投影等于（） A ． B ．2C ．D 9．已知等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[0,9]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值的正整数n 的值为（） A ．4B ．5C ．6D ．710．在R 上定义运算a •b =(a +1)b ，若存在x ∈[1,2]使不等式(m −x )•(m +x)<4成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．(−2,2)B ．(−1,2)C ．(−3,2)D ．(1,2)11．在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则()AG AW BC +⋅=（） A ．4B ．6C ．10D ．1412．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、()c a b c >>，已知不等式11ta b b c a c+≥---恒成立，则当实数t 取得最大值T 时，cos T B 的取值范围是（） A ．120,5⎛⎫⎪⎝⎭B ．122,5⎛⎫⎪⎝⎭C ．D ．(2,4)○…………订…班级：___________考号○…………订…第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知a =b =且角3A π=则角B =_______.14．已知向量a 、b 满足：||1a =，(3,4)b =，2a b a ⋅=，则a 与b 的夹角的余弦值为________.15．如图，为了测量河对岸的塔高AB ，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得200CD =米，且在点C 和D 测得塔顶A 的仰角分别为45︒，30，又30CBD ∠=︒，则塔高AB =______.16．在数列{}n a 中，已知11a =，2211n n n n n a S n a S ---=-()2,n n N +≥∈，记2nn a b n=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，则2021T =______.三、解答题17．已知函数2()45()f x x x x R =-+∈. （1）求关于x 的不等式()2f x 的解集；（2）若不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围. 18．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且24a =，420S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等比数列，且11b a =，84b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图：在平面四边形ABCD 中，已知B D π∠+∠=，且7AD CD ==，5AB =，3BC =.………○……………○……（1）求D ∠；（2）求四边形ABCD 的面积.20．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，满足1232n n a n b b b b ⋅⋅⋅⋅=，且14b =，2124a a =+.（1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式. （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S . 21．已知向量(sin ,1)m x ω=-，13cos ,2n x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中0>ω），设函数()()2f x m m n =⋅+-，且函数()f x 的最小正周期为π.（1）将函数()f x 的表达式化成()sin()f x k mx n ϕ=++（其中k 、m 、n 为常数）的形式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若32125B f π⎛⎫+=⎪⎝⎭，且32BA BC ⋅=，又cos A a ，516b ，cos Cc成等差数列，求ABC ∆的外接圆的面积. 22．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意n N +∈恒有233123n n S a a a =+++成立；数列{}n b 满足：11b =，且()2211cos sin 22n n n n b a b a n N ππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求1a 、2a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）①记212n n c b -=+，证明数列{}n c 为等比数列； ②若数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2019T 的值.参考答案1．D 【解析】【分析】运用不等式的基本性质、取特例法、作差法，逐一对四个选项进行判断. 【详解】选项A.由不等式性质220a b a b >>⇒>可知；是两个正数存在a b >，才有22a b >，本题的已知条件没有说明是两个正数，所以本选项是错误的；选项B:若1,2a b =-=-，显然结论||||a b >不正确，所以本选项是错误的；选项C:11b a a b ba--=，a b >可以判断b a -的正负性，但是不能判断出ba 的正负性，所以本选项不正确；选项D:若0c，由a b >，可以得到22ac bc =，若0c ≠时，由不等式的性质可知：a b >，2220c ac bc >⇒>，故由a b >可以推出22a c b c ⋅≥⋅，故本选项正确，所以本题选D. 【点睛】本题考查了不等式的性质.判断不等式是否成立，除了应用不等式的性质之处，一般用特例法、比较法来进行判断. 2．B 【解析】【分析】以作为基底的向量需要是不共线的向量，可以从向量的坐标发现A ，C ， D 选项中的两个向量均共线，得到正确结果是B ．【详解】解：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，A 中一个向量是零向量，两个向量共线，不合要求B 中两个向量是1(1,2)e =-，2(5,7)e =，则2517⨯≠-⨯故1(1,2)e =-与2(5,7)e =不共线，故B 正确；C 中两个向量是1212e e =，两个向量共线，D 项中的两个向量是124e e =，两个向量共线，故选：B ．【点睛】本题考查平面中两向量的关系，属于基础题. 3．D 【解析】【分析】结合平行四边形的性质，利用已知AC a =，BD b =，可以用,a b 表示出,AO OD ,最后用,a b 表示出AD .【详解】11112222AD AO OD AC BD a b =+=+=+，故本题选D. 【点睛】本题考查了平面向量的加法的几何意义、平行四边形的性质，正确理解平面向量的加法的几何意义是解题的关键. 4．C 【解析】【分析】由p q ，可以得到等式，结合余弦定理，可以求出角C 的大小. 【详解】222()()()p q a c a c b a b c a b ab ⇒+-=-⇒=+-,由余弦定理可知：2222cos c a b ab C =+-⋅，所以有1cos ,(0,)23C C C ππ=∈⇒=,故本题选C. 【点睛】本题考查了两平面向量共线时，坐标运算，考查了余弦定理. 5．C 【解析】利用“累加求和”、等差数列的通项公式即可得出．【详解】解：11a =，1(2)n n a a n n--=，2112211(1)()()()(1)2122n n n n n n n n na a a a a a a a n n ---++∴=-+-+⋯+-+=+-+⋯++==．故选：C 【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，属于基础题. 6．A 【解析】【分析】由题意可知该问题为等比数列的问题，设出等比数列的公比和首项，依题意可求出首项和公比，进而可求出结果. 【详解】由题意可得，每天行走的路程构造等比数列，记作数列{}n a ，设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为12q =，依题意有()6113781a q q -=-，解得1192a =，则56119262a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，最后一天走了6里，故选A.【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的概念以及通项公式和前n 项和公式即可，属于基础题型. 7．C 【解析】【分析】由基本不等式和函数(0)ay x a x=+>的单调性，求出四个选项中函数的最小值，然后进行判断，找到最小值为4的选项.选项A:设1y a a =+，当0a >时，12y a a =+≥=，当且仅当1a =时，取等号；当0a <时，1()2y a a =--+≤-=--，当且仅当1a =-时，取等号，故函数没有最小值；选项B: 4sin sin y x x =+,令sin 0,(0,1)2x a x a π⎛⎫=∈∴∈ ⎪⎝⎭，函数4y a a =+在(0,2)a ∈时，单调递减，故当(0,1)a ∈时，是单调递减函数，所以5y >，没有最小值；选项C: 444x x x x e e e e -+=+≥=，当且仅当ln 2x =时，等号，故符合题意；选项D:令2y ==1(2)(2)t t y t t t=≥⇒=+≥，而函数1y t t=+在1t ≥时，是单调递增函数，故当2t ≥时，函数1y t t=+也是单调递增，所以52y ≥，不符合题意，所以本题选C. 【点睛】本题考查了基本不等式和函数(0)ay x a x=+>的单调性，利用基本不等式时，一定要注意三点：其一，必须是正数；其二，要有值；其三，要注意等号成立的条件，简单记为一正二定三相等. 8．A 【解析】【分析】首先根据向量的数量积求出参数λ的值，即可得到b ，再根据a b b⋅计算可得.【详解】解：(2,1)a =，(1,)λ-=b ，且 5a b ⋅=-125λ∴-⨯+=-解得3λ=-()1,3b ∴=--，()21b ∴=-=向量a 在向量b 方向上的投影5210a b b⋅-===-故选：A 【点睛】本题考查向量的数量积及数量积的几何意义，属于基础题. 9．B 【解析】试题分析：∵关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[]0,9，∴，分别是一元二次方程的两个实数根，且．∴，可得：，∴．∴，可得：，．∴使数列{}n a 的前项和n S 最大的正整数的值是．故选B ．考点：等差数列的前项和. 10．C 【解析】【分析】先将原式进行化简，然后参变分离，转化为求最值，最后变换成关于m 的不等式求解即可. 【详解】令g(x)=(m −x )⋅(m +x )=[(m −x )+1]⋅(m +x )=m 2−x 2+m +x 因为∃x ∈[1,2],g(x)<4 即m 2+m <x 2−x +4 也就是m 2+m <(x 2−x +4)max在x ∈[1,2]时，x =2，x 2−x +4取最大值为6 所以m 2+m <6 解得−3<m <2故选C 【点睛】本题考查了不等式的解法，转化思想非常重要，是解题的关键，属于中档题. 11．C 【解析】【分析】取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则0DW BC ⋅=，再用AB 、AC 表示AW ，AG ，BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得. 【详解】解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心 0DW BC ∴⋅=()()22113323AG AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+ ()12AW AD DW AB AC DW =+=++()()()115326AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=++++=++()()()5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ⎡⎤∴+⋅=⋅=⋅⋅⎢++++⎥⎣⎦()56AB A BC C =⋅+ ()()56C AC AB AB A =⋅+- ()()222242105566AC AB =-=-= 故选：C【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题． 12．B 【解析】【分析】由11t a b b c a c+≥---，则a c a ct a b b c --≤+--利用基本不等式求出t 的最大值T ，再用余弦定理表示出cos T B ，在锐角三角形中，由a b c >>，求出ca的取值范围，再利用函数1y t t=+的单调性，求出cos T B 的取值范围【详解】解：11ta b b c a c +≥---，()a b c >> a c a c t a b b c--∴≤+--224a c a c a b b c a b b c b c a b a b b c a b b c a b b c ---+--+---+=+=++≥+=------ 当且仅当b c a ba b b c--=--即2a c b +=时等号成立，此时取得最小值4 4t ∴≤4T ∴=2222222233232cos 4cos 421222a c a c a c b a c ac a c T B B ac ac ac c a +⎛⎫+- ⎪+-+-⎛⎫⎝⎭∴==⋅=⋅==+- ⎪⎝⎭在锐角三角形中a b c >>，所以222b c a +>，代入2a c b +=化简得25230c c a a ⎛⎫+⋅-> ⎪⎝⎭315c a ∴<<令c t a =，则3,15t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1y t t =+在3,15t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以342,15y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭31212,25a c c a ⎛⎫⎛⎫∴+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1cos 22,5T B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题考查基本不等式，余弦定理的应用，属于难题.13．4π 【解析】【分析】由正弦定理即可解得. 【详解】解：3a =，b =3A π=由正弦定理可得sin sin a b A B=sin sin3B π∴=解得sin B a b >A B ∴>4B π∴=故答案为：4π 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 14．15【解析】【分析】首先求出b ，a b ⋅，再根据夹角公式cos ,a b a b a b⋅<>=计算可得.【详解】解：(3,4)b =，2345b∴=+=1a =，221a a b a ∴===⋅11cos ,155a b a b a b⋅∴<>===⨯ 故答案为：15【点睛】本题考查向量的数量积及向量的夹角的计算，属于基础题. 15．200 【解析】【分析】由题意可知：45ACB ∠=︒， 30ADB ∠=︒,设AB x =，可以在在ABC ∆中，求出BC x =，在ABD ∆中，可以求出BD =，在BCD ∆中，利用余弦定理可求出2CD 的表达式，结合已知200CD =，可以求出AB 的长. 【详解】由题意得：在ABC ∆中，45ACB ∠=︒，在ABD ∆中，30ADB ∠=︒,设AB x =，则BC x =，BD =，在BCD ∆中200CD =，30CBD ∠=︒由余弦定理得：2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠22220032x x x ⇒=+-⇒200x =【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力. 16．20211011【解析】【分析】根据()1=(2,)n n n a S S n n N *--≥∈,可以化简等式2211n n n n n a S n a S ---=-为n 111n a a n n n n -=⨯-+，令n n a c n=则11n n n c c n -=⨯+，利用累乘法可求出21n c n =+，最后求出n a ，得21121n n a b n n n ⎛⎫==⨯- ⎪+⎝⎭根据裂项相消法可以求出2021T 的值. 【详解】由()22112,n n n n n a S n a S n n N+---=-≥∈得()2211nnn n n a SS n a ----=，∴()2211n n na n a --=，∴n 111n a a nn n n -=⨯-+，令n n a c n =则11n n n c c n -=⨯+，∴11n n c n c n -=+由累乘法得121n a c n =+， ∴21n c n =+，∴21n a n n =+，∴21n n a n =+，∴22112(1)1n n a b n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪++⎝⎭，∴202111111120212(1)2(1)2232021202220221011T =-+-++-=-=. 【点睛】本题考查了公式()1=(2,)n n n a S S n n N *--≥∈、累乘法、裂项相消法，考查了数学运算能力.17．(1) {|13}x x << (2) (2,4) 【解析】【分析】（1）()2f x 化为2452x x -+<，直接求解不等式的解集；（2）问题不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立min |3|()m f x ⇔-<，求出函数2()45()f x x x x R =-+∈的最小值，解不等式即可.【详解】（1）由()2f x 得2430x x -+<，即13x <<，所以()2f x 的解集为{|13}x x <<；（2）不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立min |3|()m f x ⇔-<，由22()45(2)1f x x x x =-+=-+得，()f x 的最小值为1，所以|3|1m -<恒成立，即131m -<-<，所以24m <<，所以实数m 的取值范围为(2,4). 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，以及不等式恒成立时，求参数问题，关键是找到问题的等价命题.18．（1）2n a n =；（2）122n +- 【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a 公差为d ，根据条件得到方程组解得；（2）首先求出{}n b 的通项公式，再由等比数列前n 项和公式计算可得. 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a 公差为d ，24a =，420S =.()1144414202a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯-+=⎪⎩解得 122a d =⎧⎨=⎩()112n a a n d n ∴=+-=（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，由11b a =，84b a =131228b b q =⎧∴⎨=⨯⎩解得122b q =⎧⎨=⎩，2nn b ∴=则()23121222222212n n n n T +-=++++==--【点睛】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的通项及前n 项和公式的应用，属于基础题.19．(1) 3D π= (2) 【解析】【分析】（1）分别在，和ABC ∆中，运用余弦定理，求出2AC 的表达式，利用 B D π+=，这样可以求出D ∠的大小；（2）由（1）可以求出B ∠的大小，利用面积公式结合ACD ABC ABCD S S S ∆∆=+四边形，求出四边形ABCD 的面积. 【详解】（1）在中，由余弦定理得：222222cos 77277cos AC AD CD AD CD D D=+-⨯⋅=+-⨯⨯9898cos D =-.在ABC ∆中，由余弦定理得：222222cos 53253cos AC AB BC AB BC B B =+-⨯⋅=+-⨯⨯=3430cos B -.∴9898cos 3430cos D B -=-， ∵B D π+=，∴cos cos()cos B D D π=-=-， ∴9898cos D -=3430cos D +， ∴1cos 2D =， ∴3D π=.（2）由（1）得233B πππ=-=，∴ABCD ACD ABC S S S =+11sin sin 22AD CD D AB BC B =⋅+⋅17722=⨯⨯⨯+15322⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了余弦定理、面积公式，重点考查了数学运算能力，方程思想.20．（1）1n a n =+，4nn b ；（2）()132489n nS n ++⨯-=【解析】【分析】（1）首先求出12a =，从而得到{}n a 的通项公式，继而求出{}n b 的通项公式. （2）利用错位相减法求出前n 项和n S . 【详解】解：（1）{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，满足1232n n a n b b b b ⋅⋅⋅⋅=，且14b =，.所以11142a b ⋅==解得12a =，又2124a a =+，所以23a =，所以1n a n =+()11232n n n b b b b ⋅+∴⋅⋅⋅=①当2n ≥时，则()112312n n n b b b b ⋅--⋅⋅⋅=②①除以②得11242n n n n n nb经检验当1n =时，4n n b 也成立，所以4n nb（2）由（1）知()14n nn n c a b n =⋅=+⋅()12324344414n n n S =⨯+⨯++∴⨯++⨯①; ()2341243444441n n n S +=⨯+⨯+⨯+++⨯②;①减②得()123412414141414314n n nS n +=⨯+⨯-+⨯+⨯++⨯-+⨯()()1414414134n n n n S +--=+-+⨯-()1144414333n n n S n ++=-+-+⨯-()13248333n n S n +-+=-()132489n nn S ++⨯-=∴ 【点睛】本题考查数列通项公式的计算，以及错位相减法求和，属于中档题. 21．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）62536π 【解析】【分析】（1）根据平面向量的数量积及三角恒等变换化简可得()sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由函数的最小正周期求出ω.（2）由32125B f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭求出sin B ，再由同角三角函数的基本关系求出cos B ，由32BA BC ⋅=，可得40ac =，由cos A a ，516b ，cos Cc成等差数列，利用正弦定理边角互化求出b ，最后由正弦定理求出外接圆的半径，即可得解. 【详解】解：（1）(sin ,1)m x ω=-，13cos ,2n x ω⎛⎫=-⎪⎭，()()2f x m m n =⋅+- 221()2sin 1cos 22f x m m n x x x ωωω∴=+⋅-=++-1cos 21()2222x f x x ωω-∴=+-1()2cos 222f x x x ωω∴=- ()sin 26f x x πω⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为π22T ππω∴==，1ω∴= ()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（2）32125B f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭3sin 221221265B B f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3sin 5B ∴=cos 54B ∴=±又32BA BC ⋅=即cos 32ac B = 4cos 5B ∴=，40ac = cos A a ，516b ，cos C c成等差数列 5cos cos 216A Cb a c∴⨯=+即()58cos cos ac b c A a C =+ ()5sin sin 8sin sin cos sin cos A C B C A A C ∴=+ ()5sin sin 8sin sin A C B A C ∴=+25sin sin 8sin A C B ∴=即258ac b =5b ∴=2sin b R B =，5252335R ∴==，256R ∴= 2225625636S R πππ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭【点睛】本题考查三角函数的性质，正弦定理解三角形，属于中档题.22．（1）11a =，22a =，n a n =；（2）①证明见解析；②1009303592-+⨯ 【解析】【分析】（1）代入求出1a 、2a 的值，猜想{}n a 的通项公式为n a n =，再用数学归纳法证明即可；（2）由11b =，且()2211cos sin 22n n n n b a b a n N ππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+∈⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.即可得到一般地，2122n n b b +=，2211n n b b -=+则212122n n b b +-=+，从而可证数列{}n c 为等比数列，再用分组求和的方法求出2019T . 【详解】解：（1）232331n n S a a a =+++当1n =时，2311S a =解得11a =或10a =（舍去）当2n =时，233212S a a =+解得22a =猜想数列{}n a 的通项公式为n a n =，则()12n n n S += 显然当1n =时成立，假设当n k =时也成，即323312k k S a a a =+++，则1n k =+时，()()()()2222221111122112k k k k k k k k k k S S a S S a a S k k +++++=+=+⋅+=+⋅⋅+++ ()()22211k S k k k =++++ ()321k S k =++231k k S a +=+ 233311k a a a +=+++得证所以n a n =（2）①11b =，且()2211cos sin 22n n n n b a b a n N ππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()211012b b ∴=++= ()321104b b =++=答案第17页，总17页 ()431015b b =++=一般地，2122n n b b +=，2211n n b b -=+则212122n n b b +-=+所以()2121222n n b b +-+=+即2121222n n b b +-+=+ 所以{}212n b -+是公比为2的等比数列，212n n c b -=+，所以数列{}n c 为等比数列；()1211222n n b b --∴+=+⋅121232n n b --∴=-+⋅122111322n n n b b -+∴==-+⋅ 11212232132n n n n b n +--⎧-+⋅⎪∴=⎨⎪-+⋅⎩，为奇数，为偶数 ②()()()()01210092019232232232232T =-+⋅+-+⋅+-+⋅++-+⋅()()()()0121008132132132132+-+⋅+-+⋅+-+⋅++-+⋅ ()()()01210081009210101100923232323232=-⨯+-⨯+⨯⋅+⋅+⋅++⋅+⋅()()1009100912210101100963212-=-⨯+-⨯+⋅+⋅- 1009303592=-+⨯【点睛】本题考查利用n S 求n a ，递推公式证明数列是等比数列及分组求和，属于难题.。

2018-2019学年重庆八中高一(下)期中数学试卷试题及答案

2018-2019学年重庆八中高一（下）期中数学试卷一、选择题：1．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）等差数列{}n a 中，若23a =，47a =，则6(a =) A ．11B ．7C ．3D ．22．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3B π=，b =1a =，则(c = )A ．1B ．2C 1D 3．（2019春•阿克苏市期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）向量,,a b c 正方形网格中的位置如图所示．若向量c a b λ=+，则实数(λ= )A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（3分）（2019春•黄山期中）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a ba+=，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）等比数列{}n a 前n 和为n S ，若23S =，415S =，则56(a a += ) A ．16B ．17C ．48D ．497．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）如图，在ABC ∆中，45B =︒，D 是BC 上一点，27AD =，6AC =，4DC =，则AB 的长为( )A B ．C ．D ．8．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）在边长为4的等边ABC ∆中，M ，N 分别为BC ，AC 的中点，(AM BN = )A ．6-B ．6C ．0D ．32-9．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 和D ，现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，CD =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30︒，则塔高AB 为( )A ．B ．C ．60mD ．20m10．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）已知向量,a b 满足：||1,(1,3)a b ==，a 与b 的夹角为23π，则|2|(a b -= )A ．21BC D11．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）若a ，b 是方程20(0,0)x px q p q -+=<>的两个根，且a ，b ，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值为( ) A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-12．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，公差0d <，10210a S <，则n S 最大时，n 的值为( ) A ．11 B ．10 C ．9 D ．8二、填空题：13．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）设ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5a =，3cos ,25B c ==，则ABC S ∆= ．14．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）已知向量(1,)a m =，(3,2)b =-，若()//a mb b +，则m = ．15．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11()1nn na a n N a +++=∈-，若12a =，则2019T 为． 16．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）在ABC ∆中，2AB AC AM +=，|1AM =，动点P 在线段AM 上，则()PA PB PC +的最小值为．三、解答题：17．（2019春•沙坪坝区校级期中）已知数列{}n a 前n 和为n S ，且2*11,()22n S n n n N =+∈，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前100项的和．18．（2019春•沙坪坝区校级期中）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，（1）求sin sin A C 的值；（2）若a =ABC ∆的周长．19．（2019春•沙坪坝区校级期中）在四边形ABCD 中，内角B 与D 互补，4AB AD ==，5BC =，1CD =；（1）求AC ；（2）求四边形ABCD 的面积．20．（2019春•沙坪坝区校级期中）某地区2018年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从2019年开始到2028年每年人口比上年增加0.5万人，从2029年开如到2038年每年人口为上一年的99%．（1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注:2019年为第一年）；（Ⅱ）若新政策实施后的2019年到2038年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2038年后是否需要调整改策？（参考数据：100.990.9)≈21．（2019春•沙坪坝区校级期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ．若向量(2,)m a b c =+，(cos ,cos )n C B =，且m n ⊥．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若2b =且sin cos A B =c ．22．（2019春•沙坪坝区校级期中）已知数列{}n a 前n 和为n S ，且21n n S a =-，(*)n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 和为n T ；（3）记32(1)(0)n n n n c a λλ=--≠，是否存在实数λ，使得对任意的*n N ∈，恒有1n n c c +>？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．2018-2019学年重庆八中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：1．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）等差数列{}n a 中，若23a =，47a =，则6(a =) A ．11B ．7C ．3D ．2【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，23a =，47a =， 13a d ∴+=，137a d +=，联立解得：11a =，2d =，则615211a =+⨯=．故选：A ．2．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3B π=，b =1a =，则(c = )A ．1B ．2C 1 D【解答】解：3B π=，b =1a =，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得：2131212c c =+-⨯⨯⨯，可得：220c c --=， ∴解得：2c =，或1-（舍去）．故选：B ．3．（2019春•阿克苏市期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【解答】解：设塔的顶层共有1a 盏灯，则数列{}n a 公比为2的等比数列， 717(12)38112a S -∴==-，解得13a =．故选：B ．4．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）向量,,a b c 正方形网格中的位置如图所示．若向量c a b λ=+，则实数(λ= )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．取小正方形的边长为1．则(1,1)a =，(0,1)b =-，(2,1)c =．向量c a b λ=+，(2∴，1)(1λ=，1)(0+，1)-． 2λ∴=，11λ=-，实数2λ=．故选：D ．5．（3分）（2019春•黄山期中）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a ba+=，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【解答】解：21cos cos 222C a b Ca ++==，∴可得cos a b a a C +=+，可得：cos b C a=， ∴由余弦定理可得：222cos 2a b c bC ab a+-==，整理可得：222a b c =+，ABC ∴∆为直角三角形．故选：A ．6．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）等比数列{}n a 前n 和为n S ，若23S =，415S =，则56(a a += ) A ．16B ．17C ．48D ．49【解答】解：在等比数列{}n a 中，由23S =，415S =，得242264()()S S S S S -=-，26123(15)S ∴=-，即663S =， 5664631548a a S S ∴+=-=-=．故选：C ．7．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）如图，在ABC ∆中，45B =︒，D 是BC 上一点，27AD =，6AC =，4DC =，则AB 的长为( )A B ．C ．D ．【解答】解：AD =，6AC =，4DC =，∴在ADC ∆中，由余弦定理得：cos ADC ∠==(0,)ADC π∠∈，sin ADC ∴∠==sin sin(180)ADB ADC ∴∠=︒-∠=∴在ABD ∆中，由正弦定理得：sin sin AD ADBAB B∠=== 故选：B ．8．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）在边长为4的等边ABC ∆中，M ，N 分别为BC ，AC 的中点，(AM BN = )A ．6-B ．6C ．0D ．32-【解答】解：由图可知：||||4AB AC ==，2AB AC =， 1()2AM AB AC =+，12BN BA AN AB AC =+=-+，所以2211111()()622244AM BN AB AC AB AC AB AC AB AC =+-+=-+-=-，故选：A ．9．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 和D ，现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，CD =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30︒，则塔高AB 为( )A ．B．C ．60mD ．20m【解答】解：因为15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，所以120CBD ∠=︒，在BCD ∆中，根据正弦定理可知sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，sin 45BC=︒，解得BC = 在直角ABC ∆中，tan30ABBC ︒=，20AB m ∴==，所以塔高20AB m =．故选：D ．10．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）已知向量,a b 满足：||1,(1,3)a b ==，a 与b 的夹角为23π，则|2|(a b -= )A ．21BCD 【解答】解：因为向量,a b 满足：||1,(1,3)a b ==，a 与b 的夹角为23π，所以2||1(2b =+， 2||||cos13a b a b π==-，所以22|2|4421a b a a b b -=-+=，故选：B ．11．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）若a ，b 是方程20(0,0)x px q p q -+=<>的两个根，且a ，b ，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值为( ) A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-【解答】解：方程20(0,0)x px q p q -+=>>有两个不同的根a ，b ，∴△240p q =->，0a b p +=<，0ab q =>．a ∴，b 一都负，不妨设0a b <<．由a ，b ，2这三个数可适当排序后成等差数列，有6种排序：a ，b ，2；b ，a ，2； 2，a ，b ； 2，b ，a ； b ，a ，2；b ，2，a ， ∴只能a ，b ，2； 2，b ，a ，成等差数列，22b a ∴=+．①由a ，b ，2这三个数可适当排序后成等比数列，有6种排序：a ，b ，2；b ，a ，2； 2，a ，b ； 2，b ，a ； b ，a ，2；b ，2，a ，∴只能为a ，2，b ；b ，2，a 成等比数列．4ab q ∴==，解得4q =． 0a b <<，联立①可得1b =-，4a =-， 5p ∴=-． 1p q ∴+=-．故选：D ．12．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，公差0d <，10210a S <，则n S 最大时，n 的值为( ) A ．11 B ．10C ．9D ．8【解答】解：121211121()212a a S a ⨯+==．首项10a >，公差0d <，10210a S <， 100a ∴>，110a <．则n S 最大时，n 的值为10．故选：B ．二、填空题：13．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）设ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5a =，3cos ,25B c ==，则ABC S ∆= 4【解答】解：由3cos 5B =，可得4sin 5B =，114sin 524225ABC S ac B ∆∴==⨯⨯⨯=．故答案为：414．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）已知向量(1,)a m =，(3,2)b =-，若()//a mb b +，则m =23．【解答】解：向量(1,)a m =，(3,2)b =-，∴(a mb +=13m +，2)(13m m m -=+，)m -，若()//a mb b +，则1332m m +-=-，求得23m =，故答案为：23． 15．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11()1nn na a n N a +++=∈-，若12a =，则2019T 为 3 【解答】解：数列{}n a 满足11()1nn na a n N a +++=∈-，若12a =，当1n =时，解得：121131a a a +==--．当2n =时，解得：2321112a a a +==--，当3n =时，解得：3431113a a a +==-，当4n =时，解得：454121a a a +==-，故周期为4，数列{}n a 的前n 项积为n T ，所以：412341T a a a a ==，故：201950443=⨯+，所以：20191234201720182019()()T a a a a a a a =⋯， 11112(3)()32=⋯--=．故答案为：316．（3分）（2019春•沙坪坝区校级期中）在ABC ∆中，2AB AC AM +=，|1AM =，动点P 在线段AM 上，则()PA PB PC +的最小值为 12- ．【解答】解：由已知2AB AC AM +=，可得M 为BC 的中点，设AP AM λ=，(01)λ则2(1)1()22()(1)2(1)2[]22PA PB PC PA PM AM AM λλλλλλ+-+==--=---=-，当且仅当1λλ=-，即12λ=时取等号，故答案为：12-．三、解答题：17．（2019春•沙坪坝区校级期中）已知数列{}n a 前n 和为n S ，且2*11,()22n S n n n N =+∈，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前100项的和．【解答】解：（1）数列{}n a 前n 和为n S ，211,22n S n n =+①，当1n =时，11a =，当2n 时，()()211111,22n S n n -=-+-②， ①-②得：1n n n a S S n -=-=（首项符合通项），故：n a n =．（2）由（1）得：11111(1)1n n n b a a n n n n +===-++，所以：1111112231n T n n =-+-+⋯+-+，1111nn n =-=++，则：100100101T =． 18．（2019春•沙坪坝区校级期中）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，（1）求sin sin A C 的值；（2）若a =ABC ∆的周长．【解答】解：（1）A ，B ，C 成等差数列，2A C B ∴+=， A B C π++=，∴13B π=，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，∴23sin sin 4sin B A C ==；（2）由（1）可知，3sin sin 4A C =， 3sin sin(120)4A A ∴︒-=，∴13sin sin )24A A A +=，∴132(1cos 2)24A A +-=， sin(2)16A π∴-=，203A π<<， 13A π∴=，13B π=，即ABC ∆为正三角形，2a =，∴周长为19．（2019春•沙坪坝区校级期中）在四边形ABCD 中，内角B 与D 互补，4AB AD ==，5BC =，1CD =；（1）求AC ；（2）求四边形ABCD 的面积．【解答】解：（1）ADC ∆中，由余弦定理可得，2222cos AC AD DC AD DC D =+-， 1618cos 178cos D D =+-=-，ABC ∆中，由余弦定理可得，2222cos AC AB BC AB BC B =+-，1625245cos 4140cos B B =+-⨯⨯=-，D B π+=， cos cos D B ∴=-，178cos 4140cos 4140cos D B D ∴-=-=+， 1cos 2D ∴=-，AC =（2）由（1）可知，sin sin B D ==11414522ABCD ADC ABC s s s ∆∴=+=⨯⨯⨯⨯=20．（2019春•沙坪坝区校级期中）某地区2018年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从2019年开始到2028年每年人口比上年增加0.5万人，从2029年开如到2038年每年人口为上一年的99%．（1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注:2019年为第一年）；（Ⅱ）若新政策实施后的2019年到2038年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2038年后是否需要调整改策？（参考数据：100.990.9)≈【解答】解：()I 由题意可知当110n 时，{}n a 为等差数列，首项为145.5a =，公差为0.5d =．故45.50.5(1)0.545n a n n =+-=+．故1050a =．当1020n 时，{}n a 为等比数列，公比为0.99q =，10500.99n n a -∴=．综上，100.545,110500.99,1120n n n n a n -+⎧=⎨⎩． ()II 设{}n a 的前n 项和为n S ，则1011045477.5S a d =+=，1010112010(1)49.5(10.99)495110.99a q S S q ---===--．20477.5495972.5S ∴=+=．故新政策实施后的2019年到2038年人口平均值为972.548.62520==， 48.62549<，∴到2038年后不需调整政策．21．（2019春•沙坪坝区校级期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ．若向量(2,)m a b c =+，(cos ,cos )n C B =，且m n ⊥．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若2b =且sin cosA B =c ．【解答】解：（1）由m n ⊥可得，(2)cos cos 0m n a b C c B =++=，由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos 0A C B C C B ++= 2sin cos sin()0A C B C ∴++=，即2sin cos sin 0A C A +=， sin 0A ≠， 1cos 2C ∴=-，(0,)C π∈，∴23C π=212= （2）由（1）及sin cosA B =，可得1sin cos()3A A π-，2111cos2sin cos sin 2242AA A A A -=+=tan 2A =6A B π∴==，212=，c ∴=．22．（2019春•沙坪坝区校级期中）已知数列{}n a 前n 和为n S ，且21n n S a =-，(*)n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 和为n T ；（3）记32(1)(0)n n n n c a λλ=--≠，是否存在实数λ，使得对任意的*n N ∈，恒有1n n c c +>？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）令1n =，解得11a =，21n n S a =-， 1121n n S a --∴=-，两式相减得：12n n a a -=，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n a -∴=；（2）由（1）得：12n n b n -=，则01112222n n T n -=++⋯+①12121222(1)22n n n T n n -=++⋯+-+② 由②-①得：(1)21n n T n =-+；（3）当n 为奇数时，11132n n n c a λ+++=-， 32n n n c a λ=+，两式做差得：123320n n n n c c λ+-=-> 移项得：23()32nλ<()n N +∈ 解得：1λ<，当n 为偶数时，11132n n n c a λ+++=+， 32n n n c a λ-=，两式做差得：123320n n n n c c λ+-=+> 移项得：23()32nλ>-()n N +∈ 解得：1λ>-，故n 为奇数时，1λ<且0λ≠；n 为偶数时，1λ>-且0λ≠．。

2018-2019学年重庆市高一下学期期中考试数学试题(解析版16)

高一下学期期中考试数学试题一、单选题 1．已知向量，，则向量（）A.B.C.D.2．下列命题中，正确的是（）A. 若a ＞b ，c ＞d ，则a ＞cB. 若ac ＞bc ，则a ＞bC. 若22a b c c ，则a ＜b D. 若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd3．在数列中，，，则（）A. 2B. 3C.D. -14．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则是（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 对角三角形D. 等边三角形 5．在等比数列中，，是方程的两根，则（）A. 2B. -2C. 3D. -36．设，是平面向量的一组基底，则能作为平面向量的一组基底的是（）A. ，B.，C. ，D.，7．在中，已知，，，则角等于（）A. B.或C. D.或8．若向量，满足，则的值为（）A. B. C. -1 D. 19．已知关于的不等式的解集是，则的值是（）A. -11B. 11C. -1D. 110．已知等差数列中，是的前项和，且，，则的值为（）A. 260B. 130C. 170D. 210 11．已知2x >-，则12x x ++的最小值为（） A. 12-B. -1C. 2D. 012．设是等比数列的前项和，，若，则的最小值为（）A. B. C. 20 D.二、填空题 13．数列，，，，…，则是该数列的第__________项．14．设，满足约束条件，则的最大值为__________． 15．已知数列的前和为，且，则__________．16．在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围是______．三、解答题 17．已知等差数列中，，，求通项公式和前项和.18．已知向量，，.（1）若，求实数的值；（2）若与垂直，求实数的值.19．在中，角所对的边分别为、、，且，.(1)若，求的值；(2)若的面积，求、的值.20．已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若不等式在区间内恒成立，求实数的取值范围.21．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.22．数列满足（，），.（1）求，的值；（2）是否存在一个实数，使得（），且数列为等差数列？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由；（3）求数列的前项和.数学试题【解析】一、单选题 1．已知向量，，则向量（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根据平面向量线性运算的坐标表示，利用求解即可. 详解：，故选B.点睛：本题主要考查平面向量的坐标运算性质，意在考查对基本运算的掌握与应用，属于简单题.2．下列命题中，正确的是（）A. 若a ＞b ，c ＞d ，则a ＞cB. 若ac ＞bc ，则a ＞bC. 若22a b c c<，则a ＜b D. 若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd 【答案】C【解析】对于:A 若2,3,1,2a b c d =-=-==- ，则不成立，对于:B 若0c ≤ ，则不成立，对于:C 根据不等式的性质两边同乘以2c ，则a b < ，故成立，对于:D 若1,1,1,2a b c d ==-=-=- ，则不成立，故选C.3．在数列中，，，则（）A. 2B. 3C.D. -1 【答案】D【解析】分析：直接利用递推关系，由求出…,从而可得结果.详解：，，；；，故选D.点睛：本题主要考查利用递推公式求数列中的项，属于简单题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）所求项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）所求项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.4．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则是（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 对角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】分析：由利用余弦定理列可得为负值，角为钝角，可得三角形为钝角三角形.详解：因为所以可得，再由余弦定理列可得，，为钝角，为钝角三角形，故选A.点睛：本题主要考查利用正弦定理、判断三角形形状问题，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.5．在等比数列中，，是方程的两根，则（）A. 2 B. -2 C. 3 D. -3【答案】D【解析】分析：根据韦达定理，利用等比数列的性质可得结果.详解：因为，是方程的两根，所以，由韦达定理可得，，根据等比数列的性质可得，，故选D.点睛：本题主要考查等比数列的性质的应用，属于简单题.等比数列最主要的性质是下标性质：解等比数列问题要注意应用等比数列的性质：若则.6．设，是平面向量的一组基底，则能作为平面向量的一组基底的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】试题分析：不共线的向量就能作为基底，D选项对于的坐标分别是不共线，故可以作为基底.【考点】向量基本运算.7．在中，已知，，，则角等于（）A. B. 或 C. D. 或【答案】C【解析】分析：由正弦定理可求得的值，由大边对大角可得，从而可得角的值.因为>，可解得，故选C.点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 8．若向量，满足，则的值为（）A. B. C. -1 D. 1【答案】A 【解析】分析：由，可求出的值.详解：因为，得,，故选A.点睛：本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.9．已知关于的不等式的解集是，则的值是（）A. -11B. 11C. -1D. 1【解析】分析：不等式的解集转化为方程的根，由韦达定理求出的值，求和即可得结果.详解：因为关于的不等式的解集是，所以是方程的根，由韦达定理可得，故，故选C.点睛：本题主要考查一元二次方程不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，考查韦达定理的应用，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.10．已知等差数列中，是的前项和，且，，则的值为（）A. 260B. 130C. 170D. 210【答案】D【解析】分析：由等差数列的性质可得成等差数列，结合，，即可得结果.详解：由等差数列的性质可得成等差数列，所以，又因为，，所以，解之可得，故选D.点睛：等差数列的常用性质有：(1)通项公式的推广：(2)若为等差数列，且；(3)若是等差数列，公差为，则是公差的等差数列；(4)数列也是等差数列本题的解答运用了性质.11．已知2x>-，则12xx++的最小值为（）A.12- B. -1 C. 2 D. 0【解析】因为2,x >-所以11120,,222222x x x x x x +>>+=++-≥+++选D.12．设是等比数列的前项和，，若，则的最小值为（）A. B. C. 20 D. 【答案】C【解析】分析：利用等比数列的前项公式求出，由数列的单调性可得，根据基本不等式的性质求解即可. 详解：设等比数列的的公比，，，，则，当且仅当，即时取等号，的最小值为，故选C.点睛：本题考查了等比数列的前项公式，利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.二、填空题13．数列，，，，…，则是该数列的第__________项．【答案】8【解析】分析：将，化为，可得，为等差数列，公差为，首项为，利用等差数列的通项公式可得结果.详解：数列，化为，可得，为等差数列，公差为，首项为，通项公式，令，解得，所以是该数列的第项，故答案为.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式，以及归纳推理，属于简单题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.14．设，满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】3【解析】作可行域，则直线过点A（3,0）时取最大值315．已知数列的前和为，且，则__________．【答案】【解析】分析：当时，，当时，，可得，两式相减得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可得结果.详解：当时，，当时，，①，②①-②得：，即，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故答案为.点睛：本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题.已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.16．在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围是______．【答案】【解析】由正弦定理,a2=b(b+c)即为sin2A−sin2B=sinBsinC，，，sin(A+B)sin(A−B)=sinBsinC即为sinCsin(A−B)=sinBsinC，sin(A−B)=sinB，由于A，B为三角形的内角，则有A−B=B，即A=2B，sinA=sin2B=2sinBcosB，由正弦定理可得,，结合题意可得角的范围：,则的取值范围是。

重庆巴蜀中学校2024年高一下学期5月期中考试数学试题+答案

高2026届高一（下）期中考试数学试卷注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数5i12iz =+，则在复平面内表示复数z 的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在正方体1111ABCD A B C D −中，直线AC 和直线1BC 所成的角为（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π23．已知等腰ABC △中，2π3A =，则BC 在BA 上的投影向量为（）A ．32BAB ．32BA −C ．3BAD ．3BA − 4．已知平面向量,a b 满足()()2,,1,1a b k a b +=−= ．若//a b，则k =（）A ．－2B ．12−C ．12D ．25．设α是给定的平面，,A B 是不在α内的任意两点，则（） A ．在α内存在直线与直线AB 平行 B ．存在过直线AB 的平面与α垂直 C ．在α内不存在直线与直线AB 异面D ．在α内不存在直线与直线AB 垂直6．已知非零向量a 和单位向量b 满足a b ⊥ ，且向量a b + 与a 的夹角为30，则a = （）A B ．13CD ．37．已知正四棱台1111ABCD A B C D −，其所有顶点均在同一个表面积为32π的球面上，且该球的球心在底而ABCD 上，则棱台1111ABCD A B C D −的体积为（）A B ．C D ．8．某地开展植树造林活动，拟测量某座山的高．勘探队员在山脚A 测得山顶B 的仰角为45 ，他沿着坡角为15 的斜坡向上走了100米后到达C ，在C 处测得山顶B 的仰角为60 ．设山高为BD ，若,,,A B C D 在同一铅垂面，且在该铅锤面上,A C 位于直线BD 的同侧，则BD =（） A．米 B． C．−米D．+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．下列各组向量中，可以用来表示向量()1,2a =−的是（） A ．()()121,1,1,2e e ==B ．()()121,1,2,2e e =−=−C ．()()121,2,3,6e e =−=−D ．()()121,2,3,4e e ==−−10．已知复数()122,0z z z ≠，下列命题中正确的是（） A ．若21z ∈R ，则1z ∈RB ．若12z z ∈R ，则12z z ∈R C ．若1222z z z =，则114z z =D ．若2121z z z =，则12z z =11．满足下列条件的四面体存在的是（） A ．15条棱长均为1 B ．1条棱长为1，其余5C ．24条棱长均为1D ．2条棱长为1，其余4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．一个母线长为2的圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面积为______．13．在直三棱柱111ABC A B C −中，所有棱长均相等，则二面角1C AB C −−的正切值为______． 14．在ABC △中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c，已知1,,sin sin c b c B C =>，且sin sin sin a A b B B C −=+，则A =______，ABC △的面积为______．．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 是菱形，E 是1DD 的中点．（1）求证：1//BD 平面AEC ；（2）求证：平面AEC ⊥平面1BDD ． 16．（15分）在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC △的面积为S ，已知2c =，且224a b +=+．（1）求C ；（2a −的取值范围． 17．（15分）如图，在三棱锥V ABC −中，VAB △和ABC △均是边长为4的等边三角形，VC =（1）证明：AB VC ⊥；（2）已知平面α满足//,//VA AC αα，且平面α 平面VBC l =，求直线l 与平面ABC 所成角的正弦值． 18．（17分）在ABC △中，3, 1.BC AB AC M =−=为边BC 上一点，1,BM D =为边AB 上一点，AM 交CD 于P ．（1）若3,2AC AD ==，求AM CD ⋅ ．（2）若35,22BD CD ==，（i ）求AC ；（ii ）求APD △和MPC △的面积之差． 19．（17分）定义空间中既有大小又有方向的量为空间向量．起点为1A ，终点为2A 的空间向量记作12A A，其大小称为12A A 的模，记作1212,A A A A 等于12,A A 两点间的距离．模为零的向量称为零向量，记作0．空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义与性质和平面向量一致，如：对任意空间向量,,a b c ，均有3a a a a++=a b b a +=+ ，00a a a +=+=，()()a b c a b c a b c ++=++=++ ；对任意实数λ和空间向量a ，均有a a λλ= ；对任意三点123,,A A A ，均有122313A A A A A A +=等．已知体积为()1,2,,24i V i = 的三棱锥()1,2,,24i P ABC i −=的底面均为ABC △，在ABC △中，AB Q =是ABC △内一点，120AQB ∠=．记241i i V V ==∑．（1）若(),,30,1,2,,24i AQ CQ AB AC ACQ P i ⊥⊥∠==到平面ABC 的距离均为1，求V ；（2）若Q 是ABC △的重心，且对任意1,2,,24i = ，均有i i i AP BP CP i ++=．（i ）求V 的最大值；（ii ）当V 最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组()(),1,2,24,,,1,2,,5j j j a a a j = 满足对任意1,2,,5,1,2,,24j i =，均有,j l a =，且对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 均有1224,,10j i j i i a a ==∑ 求证：12,,j i j l a a =不可能对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 及1,2,3,4,5i =均成立．（参考公式：22421211111;2,300nn n i n i i i j i i i i j i x x x x x x x x i ==≤<≤= =+++=+=∑∑∑∑∑ ）巴蜀中学2023－2024学年高一下期中考数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分40分．1．A 2．C 3．A 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B1．()5ii 12i 2i 12iz ==−=++，对应的点在第一象限，故选A ． 2．直线AC 和直线1BC 所成的角等于13D AC π∠=，故选C ．3．由图可知，BC 在BA 上的投影向量为32BA，故选A ．4．由//a b知，()()//a b a b +− ，则2k =，（也可求出向量坐标），故选D ．5．当直线AB 与α相交时，在α内不存在直线与直线AB 平行；易知存在过直线AB 的平面与α垂直；在α内存在直线与直线AB 异面；在α内存在直线与直线AB 垂直；故选B ．6．由于a b ⊥ ，且向量a b + 与a 的夹角为30 ，作图可知，a = ，故选C ．7．设球心为O ，则球O 的半径R =，由于O 在底面ABCD 上，底面ABCD 为正方形，易得正方形ABCD4=，面积为16；设底面1111A B C D 的外接圆半径为r ，则r =正方形1111A B C D 2=，面积为4；所以正四棱台1111ABCD A B C D −的体积为(11643V =×++=，故选C ．8．在ABC △中，135,15,100,ACB ABC AC AB ∠=∠=== ，由正弦定理得sin sin AB ACACB ABC=∠∠，解得5050sin15BD ==米，故选B ．二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题6分，满分18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．ACD 10．BC 11．BCD9．选项A 和D 中的两个向量不共线，均可构成平面的一组基底，故可以用来表示向量a，选项C 中的两个非零向量均与a 共线，所以也可以用来表示向量a ，选项B 中的两个非零向量选项共线，但与a不共线，不能用来表示向量a，故选ACD ．10．取12i,i z z ==−知，选项A 和D 错误，由复数的性质知，选项B 和C 正确，故选BC ．11．解法一：（1）当有1条边为a ，5条边为1时，不妨设四面体ABCD 满足1AB BC CA BD CD =====，设BC 中点为E ，则AE DE ==AED θ∠=，则2AD a θ==，所以(a ∈；所以当有1条边为1，5条边为a 时，a∈+∞，故A 错误，B 正确；（2）当有2条边为a ，4条边为1时，分两种情况：①长为a 的两条棱有一公共顶点，不妨设为BD CD a ==，设AD 与平面ABC 所成的角为,BC θ中点为E ，则a ；②长为a 的两条棱为相对棱，不妨设为BC AD a ==，设BC 中点为E ，则2sin 22a AE θθ==<0a <<，综上可知，(;a ∈所以当有2条边为1，4条边为a 时，a ∈+∞，故C ，D 正确；故选BCD ．解法二：（1）当有1条边为a ，5条边为1时，不妨设四面体ABCD 满足1AB BC CA BD CD =====，由正弦定理易得，ACD △1<（极限位置为共面的情形时，点B 在平面ACD 内的射影为ACD △的外心），所以(a ∈；所以当有1条边为1，5条边为a 时，a∈+∞，故A 错误，B 正确；（2）当有2条边为a ，4条边为1时，分两种情况：①长为a 的两条棱有一公共顶点，不妨设为BD CD a ==，由正弦定理易得，ACD △的外接圆半径为1<则a ∈；②长为a BC AD a ==，故其可放入一个长方体中，不妨设长方体边长分别为,,x y z ，不妨设22222221,x y z x y z a +=+=+=，则222221110,022x a y z a =−>==>，所以0a <<，综上可知，(;a ∈所以当有2条边为1，4条边为a 时，a ∈+∞，故C ，D 正确；故选BCD ．三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分15分．12．2π 13 14．31;42π（仅答对一空给3分） 12．设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2l =，且22rl r ππ=，所以1r =，侧面积为2π． 13．不妨设直三棱柱111ABC A B C −的所有棱长均为2，取AB 中点P ，则1C PC ∠为二面角1C AB C −−的平面角，11tan C C C PC CP ∠=，即二面角1C AB C −−． 14．在ABC △中，由正弦定理得，sin sin sin a b c AB C==，又因为sin sin sin sin a A b B B c C −=+，所以222a b c −=+，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +−==，因为()0,A π∈，所以34A π=；因为在ABC △中，由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==1sin sin bB C=，所以2sin sin 2b B C a=，所以2a =，所以221a b =+=，所以2220b −+=，所以b =或b =（舍），因为ABC △的面积为11sin 22Sbc A =．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．证明：（1）设,AC BD 交于点O ．四边形ABCD 为菱形，所以O 是AC 的中点，因为E 是1DD 的中点，连接OE ，所以1//OE BD ，因为OE ⊂平面1,AEC BD ⊂/AEC ，所以1//BD 平面AEC（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，因为1DD ⊥底面,ABCD AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，因为1BB ⊂平面1,BDD BD ⊂平面11,BDD BB BD B = ，所以AC ⊥平面1BDD ，因为AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面1BDD ．16．解：（1）因为221sin ,42Sab C a b =+=+，所以22sin 4a b C +=+，在ABC △中，由余弦定理，得2222cos a b c ab C +−=，因为2c =，所以2242cos a b ab C +=+，所以cos C C =，所以tan C =(0,π)C ∈，所以π6C =．（2）在ABC △中，由正弦定理，得4sin sin sin ab cAB C===4sin a B A −− 5ππ4sin 2sin 4sin 63A A A A A−−=+=+因为5π0,6A∈ ，所以ππ7π,336A +∈ ，所以π1sin ,132A +∈−，(]2,4a −∈−a −的取值范围为(]2,4−． 17．解：（1）如图，设AB 的中点为D ，连结,DV DC ，因为VAB △和ABC △均为等边三角形，所以,VD AB CD AB ⊥⊥，又因为,VD CD D VD =⊂平面,VCD CD ⊂平面VCD ，所以AB ⊥平面VCD ，又因为VC ⊂平面VCD ，所以AB VC ⊥．（2）因为//,//,VA AC VA AC A αα= ，且,VA AC ⊂平面VAC ，所以//α平面VAC ，又平面α 平面VBC l =，平面VAC 平面VBC VC =，所以//VC l ，所以直线l 与平面ABC 所成角等于直线VC 与平面ABC 所成的角．在平面VCD 内作VO CD ⊥，则由（1）知，AB ⊥平面VCD ，又VO ⊂平面VCD ，所以VO AB ⊥．又因为,AB CD D AB =⊂ 平面,ABC CD ⊂平面ABC ，所以VO ⊥平面ABC ，所以VCD ∠是直线VC 与平面ABC 所成的角．因为VAB △和ABC △均是边长为4的等边三角形，所以VD CD ==又因为VC =VCD △中，12cos VCVCD CD ∠==所以sin VCD ∠==，所以直线l 与平面ABC18．解：（1）如图，因为1,3AB AC AC −==，所以4AB =，因为D 为边AB 上一点，2AD =，所以D 为AB 中点，所以12AD AB =，所以12CD AB AC =− ，因为113BM BC ==，所以13BM BC = ，所以2133AM AB AC =+ ，在ABC △中，因为AC BC =，所以2cos 3AD BAC AC ∠==，所以2212111152333233AM CD AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=−⋅+=−⋅−=−．（2）（i ）如图，在BCD △中，由余弦定理得，2225cos 29BD BC CD DBC BD BC +−∠==⋅，所以5cos 9ABC ∠=，设AC x =，则1AB x =+，在ABC △中，由余弦定理得，()22222(1)95cos 22139BA BC AC x x ABC BA BC x +−++−∠===⋅+×，解得5x =，所以5AC =．（ii ）由（i ）知5AC =，所以6AB =，又因为0ABC ∠π<<，所以sin ABC ∠ABM △的面积1sin 2ABM S AB BM ABM ∠⋅⋅ BCD △的面积1sin 2BCD S BD BC ABM =⋅⋅∠= ，所以APD △和MPC △的面积之差APD MPC APD BDPM BDPM MPC ABM BCD S S S S S S S S −=+−−=−，即APD △和MPC △． 19．解：（1）如图，在ACQ △中，1sin 2AQ ACACQ AC ∠==．因为,AC AB AQ CQ ⊥⊥，所以30QAB ACQ ∠=∠= ，所以，在ABQ △中，18030QBA AQB QAB QAB ∠=−∠−∠==∠ ，所以在ABQ △中，122cos ABAQ BQ QAB===∠，所以4AC =，所以ABC △的面积为12S AB AC =⋅=，所以13i i P ABC V Sd →==241ii V V ===∑．（2）（i ）因为Q 是ABC △的重心，所以ABC △的面积为3QABSS AQ BQ =⋅ ，在ABQ △中，由余弦定理得，2222cos AB AQ BQ AQ BQ AQB =+−⋅∠，即2212AQ BQ AQ BQ ++⋅=，由基本不等式知，22123AQ BQ AQ BQ AQ BQ ++⋅=≥⋅，所以4AQ BQ ⋅≤，故S ≤，等号当且仅当2AQBQ ==时成立，又由Q 是ABC △的重心知，0AQ BQ CQ ++=，所以3i i i i i i AP BP CP AQ QP BQ QP CQ QP QP ++=+++++= ，所以()1,2,,243i i QP i ==，所以()111,2,,2433i i P ABCV S d S QP i →=⋅≤⋅≤= ，所以242411i i V V i ==≤=∑，等号当且仅当2AQ BQ ==，且i QP ⊥平面ABC 时成立，所以V的最大值为．（ii ）由（i）知，i V =，所以对任意1,2,,5,1,2,,24j i = ，均有,1j i a =，故2,1j i a =，记1,2,5,i i i i S a a a =+++ ，则()2152221,2,5,,,52j i i i i i j i j i S a a a a a ≤<≤=+++=+∑所以2224242,,11151202i j i j i i i i j S a a ==≤<≤=+∑∑∑，由于任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 均有224,,10j i j i i a a ==∑，所以21224,,1150j i j i i j i a a ≤<≤=∑∑，所以2421120i i S ==∑．假设2,,j i j i a a =对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 及1,2,3,4,5i =均成立．则对于1,2,,5i = ，均有()()2221,2,5,1,525i i i i i S a a a a =+++== ，所以24524522221161125i i ii i i i i S S S S ====+≥=∑∑∑∑，与2421120i i S ==∑矛盾，所以假设不成立，即2,,j i j i a a =不可能对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 及1,2,3,4,5i =均成立．。

2018-2019学年度高一下学期期中考试数学试卷(解析版)

2018-2019学年度第二学期期中考试高一数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用两角差的正弦公式计算即可.【详解】由两角差的正弦公式可得故选A.【点睛】本题考查两角差的正弦公式的应用，属基础题.2.下列函数中，以为周期且在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A选项周期为，不满足条件；B选项周期为；C选项周期为，且在区间为减函数，不满足条件；D选项周期为，且在区间为增函数；故选D．考点：（1）正弦函数的单调性（2）函数的周期性3.已知向量.若为实数，，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以，又因为，所以，故选B．考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质．视频4.给出下面四个命题：①；②；③；④.其中正确的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】①；②；③；④,所以正确的为①②，选B.5.已知，，与的夹角为，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件及投影的计算公式便可得出向量在方向上的投影为，从而得出该投影的值．【详解】根据条件，在方向上的投影为：故选C.【点睛】本题考查一个向量在另一个向量方向上的投影的定义及计算公式，向量夹角的概念．6.已知函数的部分图象如下图所示，则函数的解析式（）学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象求出A，ω 和φ的值即可．【详解】由函数的图象得即则，则，则则则∵，∴当k=0时，则函数．故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．7.将函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的一个值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据左加右减，写出三角函数平移后的解析式，根据平移后图象的对称轴，把对称轴代入使得函数式的值等于±1，写出自变量的值，根据求最小值得到结果．【详解】∵把函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，∴平移后函数的解析式是，∵所得图象关于直线对称，∴由正弦函数的图象和性质可得：解得：∴当时，的最小值是．故选：A．【点睛】本题考查由三角函数图象的平移求函数的解析式，本题解题的关键是先表示出函数的解析式，再根据题意来写出结果，属于基础题．8.在中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量数量积的定义进行运算即可【详解】故选D.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，属基础题.9.若是锐角，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是锐角，且，所以也为锐角，所以..故选B.点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可，再利用公式求解前，需将每一个三角函数值确定下来，尤其是要利用角的终边确定好正负.10.中，，，分别是的中点，则（）A. 4B. -4C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的加法表示，再利用平面向量数量积的运算法则计算即可.【详解】由题中，，，分别是的中点，则，则故选B.【点睛】本题考查面向量的加法法则及平面向量数量积的运算，属基础题.11.在△ABC中,设=2,那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A. 垂心B. 内心C. 外心D. 重心【答案】C【解析】【分析】假设BC的中点是O,先化简已知得2=2,即()·=0, 所以, 所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.【详解】假设BC的中点是O,则=()·()=2=2,即()·=0,所以,所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查平面向量的数量积运算和向量的减法法则，考查向量垂直的表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是在于熟练掌握向量的运算法则.12.函数（）的图象经过、两点，则（）A. 最小值为B. 最大值为C. 最小值为D. 最大值为【答案】A【解析】【分析】当A、B为函数的图象的相邻的两个顶点时，函数的周期最小，最大，此时，由，求得的值【详解】由题意可得A、B为函数的图象的顶点，故当A、B为函数的图象的相邻的两个顶点时，周期最大小，最小，此时，，，故选：A．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若扇形的弧长为，圆心角为弧度，则扇形的面积为_________。

2018-2019学年重庆八中高一(下)期中数学试卷

2018-2019学年重庆八中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，B={x∈R|x2≥4}，那么P∪（∁R B）=（）A. [2，3]B. （-∞，-2]∪[1，+∞）C. [1，2）D. （-2，3]2.若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A. B. a2＞b2 C. D. a|c|＞b|c|3.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b=2，、，则△ABC的面积为（）A. B. C. 3 D. 64.已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A. B. C. D.5.设函数，则=（）A. -1B. 5C. 6D. 116.将y=3sin4x的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度得到y=f（x）的图象，则=（）A. B. C. D.7.已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为（）A. 10B.C.D.8.已知的值为（）A. -8B. 8C.D.9.如图，在△ABC中，AD⊥AB，=，||=1，则的值为（）A. B. C. D.10.已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为（）A. B. C. D.11.定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，f（x）＝，若对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1﹣x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的最大值是（）A. ﹣1B.C.D.12.锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，若a2+b2=5c2，则cos C的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若，则x=______．14.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S13=52，则a4+a8+a9=______．15.在△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，若，，则2a+c的最大值为______．16.已知数列{a n}满足，（n≥2，n∈N*），则a n=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知{a n}是公差不为0的等差数列，满足a3=7，且a1、a2、a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）若，，a＞b，求a．19.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？20.如图，△ABC中，，D是边AB上一点，BD=2AD，（Ⅰ）若，求BC；（Ⅱ）求△BCD面积的最大值．21.已知S n为数列{a n}的前n项和且满足S n=2a n-2，在数列{b n}中满足a2=4b1，（1）求数列{a n}的通项公式，并证明为等差数列；（2）设，令T n为{P n}的前n项的和，求T n．22.在△ABC中，BC=1，AC=2，以边AB为一边长向外作正方体ABEF，O为方形ABEF的中心，M，N分别为边BC，AC的中点．（1）若，求CO的长．（2）当∠BCA变化时，求OM+ON的最大值．-------- 答案及其解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合P={x∈R|1≤x≤3}，B={x∈R|x2≥4}={x|x≥2或x≤-2}，∴C R B={x|-2＜x＜2}，∴P∪（∁R B）={x|-2＜x≤3}=（-2，3]．故选：D．先求出集合P，B，从而求出C R B，由此能求出P∪（∁R B）．本题考查并集、补集的求法，考查并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：C解析：解：a，b，c∈R，a＞b，＜b不成立，比如a=1，b=-1；a2＞b2不成立，比如a=1，b=-1；由1+c2＞0，可得＞成立；a|c|＞b|c|不成立，比如c=0．故选：C．由a=1，b=-1可判断A，B；由c=0可判断D；运用不等式的性质可判断C．本题考查不等式的性质和运用，考查举反例法和推理能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：∵，∴sin A=∵b=2，、，∴S==，故选：B．由三角形的正弦平方加余弦的平方和为1，以及三角形的面积公式即可求得．本题考查△ABC的面积的求法，以及由三角形的正弦值得到余弦值．4.答案：D解析：解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选：D．利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．5.答案：B解析：解：∵函数，∴=+f（-1）=+2=3+2=5．故选：B．推导出=+f（-1），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.答案：A解析：解：将y=3sin4x的图象向左平移个单位长度，得到y=3sin（4x+4×）=3sin（4x+）的图象，再向下平移3个单位长度得到y=3sin（4x+）-3的图象，则=3sin（+）-3=3cos-3=-，故选：A．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7.答案：C解析：解：由△ABC三边长构成公差为4的等差数列，设三边长分别为a，a+4，a+8（a ＞0），∴a+8所对的角为120°，∴cos120°==-，整理得：a2-2a-24=0，即（a-6）（a+4）=0，解得：a=6或a=-4（舍去），∴三角形三边长分别为6，10，12，则S△ABC=×6×10×sin120°=15．故选：C．由三角形ABC的三边构成公差为4的等差数列，设三边长分别为a，a+4，a+8（a大于0），由三角形的边角关系得到a+8所对的角为120°，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出三角形的三边长，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．此题考查了等差数列的性质，余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．8.答案：A解析：【分析】本题是基础题，考查三角函数的诱导公式的应用，平方关系的应用，考查计算能力．利用诱导公式直接化简表达式，求出cosα-sinα的值，然后化简，求解即可．【解答】解：由，可得cosα-sinα=，所以1-sin2α=，2sinαcosα=-又==-8．故选：A．9.答案：D解析：解：∵在△ABC中，AD⊥AB，∴=0=（+）=•+•=•=•=（-）•=•-•=故选：D．将转化成（+），化简后得•，然后转化成•=（-）•，再进行化简可得结论．本题主要考查了向量在几何中的应用，以及平面向量数量积的运算，同时考查了转化的思想，属于中档题．10.答案：A解析：【分析】本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于中档题．由a7=a6+2a5求得q=2，代入求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．【解答】解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，可得，∴q2-q-2=0，∴q=2．∵，∴q m+n-2=16，∴2m+n-2=24，∴m+n=6，∴，当且仅当=时，即时等号成立．故的最小值等于，故选：A．11.答案：C解析：解：f（-x）=f（x），可得f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=，可得0≤x＜1时，f（x）=1-x2递减，f（x）∈（0，1]；当x≥1时，f（x）递减，且f（1）=0，f（x）∈（-∞，0]，f（x）在x≥0上连续，且为减函数，对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1-x）≤f（x+m）恒成立，可得f（|1-x|）≤f（|x+m|），即为|x-1|≥|x+m|，即有（2x-1+m）（m+1）≤0，由一次函数的单调性，可得：（2m-1+m）（m+1）≤0，且（2m+2-1+m）（m+1）≤0，即为-1≤m≤且-1≤m≤-，即有-1≤m≤-，则m的最大值为-，故选：C．由题意可得f（x）为偶函数，求得f（x）在x≥0上连续，且为减函数，f（|1-x|）≤f（|x+m|），即为|x-1|≥|x+m|，即有（2x-1+m）（m+1）≤0，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求最大值．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：不妨将c看作定值，以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A（-，0），B（，0），设C（x，y），则+y2++y2=5c2，∴x2+y2=c2；∴点C在以（0，0）为圆心，c为半径的圆上，又△ABC是锐角三角形，当C在y轴上时，AC2=BC2=+=c2，∴cos C==为最小；当CB⊥AB时，代入B（，0），∴C（，c），∴BC=c，AC2=c2+2c2=3c2，即AC=c，∴cos C==（取不到），则cos C的取值范围为[，），故选：C．不妨将c看作定值，以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，求得A，B的坐标，设C（x，y），由条件可得C的轨迹，讨论C在y轴上和当CB⊥AB 时，运用余弦定理和余弦函数的定义，可得范围．本题考查余弦定理的应用，注意运用坐标法，考查运算能力，属于中档题．13.答案：-4解析：解：∵=（2，1），=（x，-2），由‖，得2×（-2）-x=0，解得x=-4．故答案为-4．直接利用向量共线的坐标表示列式求解．本题考查了平行向量与共线向量的坐标表示，是基础的计算题，属会考题型．14.答案：12解析：【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S13=52，可得13a1+d=52，化简再利用通项公式代入a4+a8+a9，即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S13=52，∴13a1+d=52，即a1+6d=4．则a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故答案为：12．15.答案：2解析：解：由，，根据正弦定理，=2，∴a=2sin A，c=2sin C且A+C=，∴2a+c=4sin A+2sin C=4sin A+2sin（-A）=5sin A+cos A=2sin（A+φ）其中tanφ=∴2a+c≤2．故答案为2．由正弦定理，将边的问题转化为角的问题，由两角和的正弦公式将其化简，借助辅助角公式，得到一角一函数，由此得到最值．本题考查正弦定理，两角和差正弦公式，辅助角公式．16.答案：解析：解：数列{a n}满足，（n≥2，n∈N*），可得=，取倒数可得=1+•，设b n=，可得b n=1+b n-1，即有b n-2=（b n-1-2），则b n-2=（b1-2）•=（3-2）•=，即b n=2+，可得a n=，故答案为：．等式两边同除以n，再取倒数，b n=，可得b n=1+b n-1，即有b n-2=（b n-1-2），运用等比数列的定义和通项公式，可得b n，即可得到a n．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用构造数列法，考查变形和运算化简能力，属于中档题．17.答案：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），a1、a2、a6成等比数列，有，即，因为a3=7，所以（7-d）2=（7-2d）（7+3d），解得d=3或d=0（舍），所以a n=3n-2；（2）由题意有，所以．解析：（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），运用等比数列中项性质和等差数列通项公式，解方程可得公差d，进而得到所求通项；（2）求得，由裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．18.答案：解：（1）因为，由正弦定理，将其转化为：=所以，而sin A≠0，故，所以．（2）由b2=a2+c2-2ac cos B，得7=12+a2-6a，解得a=5或a=1，∵a＞b∴a=1（舍）取a=5．解析：（1）由正弦定理，将边的问题转化为角的问题，由此能求出B．（2）由余弦定理．b2=a2+c2-2ac cos B，即可得到a．本题考查△ABC的面积的求法，考查BM长的求法，考查sin∠AMB的值的求法，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用．19.答案：解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为故所求函数及其定义域为（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有，当且仅当，即时上式中等号成立，若，则当时，全程运输成本y最小，若，即a＞bc2，则当v∈（0，c]时，有==因为c-v≥0，且a＞bc2，故有a-bcv≥a-bc2＞0，所以，且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，全程运输成本y最小，综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．解析：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，属于中档题．（1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y （元）表示为速度v（千米/时）的函数，由题设条件速度不得超过c千米/时．故定义域为v∈（0，c]；（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对对速度的范围进行分类讨论，如等号成立时速度值不超过c，则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，若等号成立时速度值大于最高限速v，可以判断出函数在（0，c]上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值．20.答案：解：（Ⅰ）在△ACD中，由，，得：，所以=，由正弦定理，，．因为BD=2AD，所以AB=3AD=3．△ABC中，由余弦定理，，所以．（Ⅱ）记∠ACD=α，则，且．因为BD=2AD，所以△BCD面积S△BCD=2S△ACD，设AD=x，AC=y，所以，在△ACD中，，，所以△BCD面积取得最大值为．解析：（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求sin∠ACD的值，由正弦定理可求AD，CA的值，进而可求AB的值，在△ABC中，由余弦定理可求BC的值．（Ⅱ）记∠ACD=α，设AD=x，AC=y，可求，由余弦定理，基本不等式进而可求△BCD面积最大值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．21.答案：解：（1）S n=2a n-2，当n＞1时，a n=S n-S n-1=2a n-2-（2a n-1-2），化为：a n=2a n-1．当n=1时，S1=2a1-2⇒a1=2．综上，{a n}是公比为2，首项为的2等比数列，．∵a2=4b1，∴b1=1，由题，∴，∴是等差数列，∴．（2），∴T n=3+7×4+11×42+……+（4n-1）•4n-1，∴4T n=3×4+7×42+……+（4n-5）•4n-1+（4n-1）•4n，上述两式相减得，解得．解析：（1）S n=2a n-2，当n＞1时，a n=S n-S n-1，化为：a n=2a n-1．当n=1时，S1=2a1-2，解得a1．利用等比数列的通项公式可得a n，可得b1=1，由题，可得，利用等差数列的通项公式可得b n．（2），利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：（1）因为，所以：∠OBC+∠OAC=π，可得：cos∠OBC=-cos∠OAC，由余弦定理，可得：CO2=BO2+BC2-2BO•BC cos∠OBC，CO2=AO2+AC2-2AO•AC cos∠OAC，解得：．（2）取AB的中点为H，连接MH，设∠BCA=α．在△ABC中，由正余弦定理，，在△MHO中，由余弦定理，=，同理：．设，所以，由函数的单调性得OM+ON的最大值为．解析：（1）由已知可得∠OBC+∠OAC=π，可求cos∠OBC=-cos∠OAC，由余弦定理进而解得CO的值．（2）取AB的中点为H，连接MH，设∠BCA=α．在△ABC中，由正余弦定理可求，在△MHO中，由余弦定理可得OM2=+sinα-cosα，同理：，设，可得，由函数的单调性得OM+ON的最大值．本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。

重庆巴蜀中学数学高一下期中经典练习卷

一、选择题1．(0分)[ID ：12425]设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（）A ．-4B ．14-C ．14D ．42．(0分)[ID ：12420]若四棱锥的三视图如图，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大值为（）A ．3B ．13C ．32D ．333．(0分)[ID ：12416]水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（）A 2B ．17C ．2D ．84．(0分)[ID ：12414]已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（）A ．643B ．32C ．54D ．645．(0分)[ID ：12379]已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（）A ．3B ．212C ．22D ．26．(0分)[ID ：12376]设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//；②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③ 7．(0分)[ID ：12375]直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（）A ．－3B ．－4C ．－6D ．36- 8．(0分)[ID ：12354]已知圆M:x 2+y 2−2ay =0(a >0)截直线x +y =0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N:(x −1)2+(y −1)2=1的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 9．(0分)[ID ：12348]已知圆O ：2224110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（）A ．42B ．24C ．212D ．610．(0分)[ID ：12345]若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm11．(0分)[ID ：12343]在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202,2ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 长度最小3P ABC -的外接球的表面积是（）A ．92πB ．92πC ．18πD ．40π12．(0分)[ID ：12341]正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π 13．(0分)[ID ：12389]在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（）A ．34a B ．33a C ．32a D ．3a 3a14．(0分)[ID ：12387]α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（）①若α//β，m ⊂α，则m//β； ②若m//α，n ⊂α，则m//n ；③若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥β ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β. A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④15．(0分)[ID ：12365]如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A ．3πB 3C ．4πD 3 二、填空题16．(0分)[ID ：12490]已知圆锥的底面半径为10，高为30，在它的所有内接圆柱中，侧面积的最大值是_____.17．(0分)[ID ：12462]若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .18．(0分)[ID ：12524]已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.19．(0分)[ID ：12519]已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.20．(0分)[ID ：12484]已知圆O ：224x y +=, 则圆O 在点3)A 处的切线的方程是___________.21．(0分)[ID ：12467]已知,m n 为直线，,αβ为空间的两个平面，给出下列命题：①,//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②,////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩；③,//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④,//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩．其中的正确命题为_________________． 22．(0分)[ID ：12464]如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .23．(0分)[ID ：12442]正三棱柱的底面边长为，高为2，则它的外接球的表面积为．24．(0分)[ID ：12482]已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 的圆的切线方程为______25．(0分)[ID ：12448]已知直线:0l x my m ++=，且与以A (-1,1)、B (2,2)为端点的线段相交，实数m 的取值范围为___________.三、解答题26．(0分)[ID ：12604]已知两直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y +-=的交点为P . （1）直线l 过点P 且与直线5360x y +-=垂直，求直线l 的方程；（2）圆C 过点()3,1且与1l 相切于点P ，求圆C 的方程.27．(0分)[ID ：12602]如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，PA ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAB ；（2）若二面角P －AD －B 为60°．①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．28．(0分)[ID ：12575]如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．29．(0分)[ID ：12552]如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，33DE AF ==.（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.30．(0分)[ID ：12535]如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，,AD AB ⊥22,AB BC AD ===四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求二面角B EF D --二面角的正弦值；（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为66，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．B4．A5．D6．B7．A8．B9．B10．B11．C12．A13．B14．B15．A二、填空题16．；【解析】【分析】设内接圆柱的底面半径为r高为h得到将侧面积表示为底面半径的函数用配方法求二次函数的最大值【详解】设内接圆柱的底面半径为r高为h侧面积为S则时侧面积故答案为：【点睛】本题考查了圆锥内17．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积18．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键19．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C（2a）当∠MFN最大时过点MNF的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN＜9020．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O在点处的切线的方程的斜率∴圆O在点A处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的21．③④【解析】关于①也会有的结论因此不正确；关于②也会有异面的可能的结论因此不正确；容易验证关于③④都是正确的故应填答案③④22．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因23．【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为得底面所在平面截其外接球所成圆半径为又由高为则球心到圆的球心距为根据球心距截面圆半径球半径构成的直角三角形满足勾股定理我们易得半径满足：已知求得正三棱柱外接球所24．【解析】【分析】先由题得到点A在圆上再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k的值即得过点A的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以25．【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图∵∴由图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值．【详解】解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-，又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =．故选D ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．2．C解析：C【解析】【分析】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，可证得,CD PD ⊥CB PB ⊥，分别计算四个侧面三角形的面积，比较即得解.【详解】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，其中底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD由于,,CD AD CD PA ADPA A CD ⊥⊥=∴⊥平面PAD ，CD PD ∴⊥同理可证：CB PB ⊥ 1111222,2332222PAB PAD S PA AB S PA AD ∆∆∴=⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯= 111122332,213132222PBC PCD S PB BC S CD PD ∆∆=⨯=⨯==⨯=⨯= 故四棱锥的四个侧面的面积中最大值为32故选：C【点睛】本题考查了利用三视图还原几何体，侧面三角形面积的计算，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.3．B解析：B【解析】【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ．【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=11122B C ⨯⨯，解得114B C =，所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半. 4．A解析：A【解析】【分析】设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值.【详解】正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O .则2OA =,1PO ⊥ 平面ABCD .则22211OO O A OA +=,即()22233h ⎫+-=⎪⎪⎝⎭，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()221112233V a h h h h =⨯=- 令()()2122f h h h h =-，则()2246f h h h '=-当04h <<时，()0f h '>，f h 单调递增.当4h >时，()0f h '<，f h 单调递减.所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：()216412424433⨯⨯-⨯⨯= . 故选：A【点睛】本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．5．D 解析：D【解析】【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值.【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1．因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形． ∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小，此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>．又min 21PC k =+，222221+1k ⎛⎫∴=+，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题.6．B解析：B 【解析】【分析】【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误； ②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确； ③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误； ④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确．故选B ．7．A解析：A 【解析】【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可. 【详解】由题意，根据圆的方程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心坐标为(1,1)-，半径r =又由圆心到直线的距离为d ==所以由圆的弦长公式可得4=，解得3a =-，故选A. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8．B解析：B 【解析】化简圆M:x 2+(y −a)2=a 2⇒M(0,a),r 1=a ⇒M 到直线x +y =0的距离d =√2⇒ (√2)2+2=a 2⇒a =2⇒M(0,2),r 1=2，又N(1,1),r 2=1⇒|MN|=√2⇒|r 1−r 2|<|MN|< |r 1+r 2|⇒两圆相交. 选B9．B解析：B 【解析】【分析】设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==，22121216162S AC BD d d =⋅=-⋅-，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()221216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =.()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.222222121211222161622S AC BD r d r d d d =⋅=⨯-⋅-=-⋅- 2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.故选：B . 【点睛】本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.10．B解析：B 【解析】【分析】【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4， ∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）．考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.11．C解析：C 【解析】【分析】首先确定三角形ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．【详解】解：如图所示：三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面2,2ABC AP AB ==，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3 则：当AM BC ⊥时，线段PM 达到最小值，由于：PA ⊥平面ABC ，所以：222PA AM PM +=，解得：1AM =，所以：3BM =，则：60BAM ∠=︒，由于：120BAC ∠=︒，所以：60MAC ∠=︒ 则：ABC 为等腰三角形．所以：23BC =在ABC 中，设外接圆的直径为2324r ==，则：2r =，所以：外接球的半径2229222R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，则：94182S ππ=⋅⋅=，故选：C ．【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．12．A解析：A 【解析】【分析】【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上，记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ，在Rt △1AOO 中，12AO =，由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积13．B解析：B 【解析】【分析】当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积．【详解】如图，当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大， ∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D SAB ⨯⨯=1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33a ．故选:B ．【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．14．B解析：B【解析】【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m∥β；在②中，m与n平行或异面；在③中，m与β相交、平行或m⊂β；在④中，由n⊥α，m⊥α，得m∥n，由n⊥β，得m⊥β．【详解】由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；在②中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；在④中，若n⊥α，m⊥α，则m∥n，由n⊥β，得m⊥β，故④正确．故选：B．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．15．A解析：A【解析】【分析】设BC的中点是E，连接DE，由四面体A′BCD的特征可知，DE即为球体的半径.【详解】设BC的中点是E，连接DE，A′E，因为AB＝AD＝1，BD由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD为直角三角形所以DE为球体的半径DE=22==Sππ43故选A【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.二、填空题16．；【解析】【分析】设内接圆柱的底面半径为r 高为h 得到将侧面积表示为底面半径的函数用配方法求二次函数的最大值【详解】设内接圆柱的底面半径为r 高为h 侧面积为S 则时侧面积故答案为：【点睛】本题考查了圆锥内解析：150π；【解析】【分析】设内接圆柱的底面半径为r ，高为h ，得到303h r =-，将侧面积表示为底面半径的函数，用配方法求二次函数的最大值. 【详解】设内接圆柱的底面半径为r ，高为h ，侧面积为S ,则303033010h rh r -=∴=-22660S rh r r πππ∴==-+226(10)6(5)150r r r πππ=--=--+5r ∴=时，侧面积max 150S π=故答案为：150π 【点睛】本题考查了圆锥内接圆柱的问题，考查了学生空间想象，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.17．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r 高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积解析：2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有2πr =2⇒r =1π，故底面面积S =πr 2=π×(1π)2=1π，故圆柱的体积V =Sh =1π×2=2π. 考点：圆柱的体积18．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键解析：27310x y -+=【解析】【分析】计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.【详解】设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故51335022y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()532525y x -=-++，化简得到27310x y -+=. 故答案为：27310x y -+=.【点睛】本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.19．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C （2a ）当∠MFN 最大时过点MNF 的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN ＜90 解析：22(2)(1)2x y -+-=【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意，设圆心坐标为C （2，a ），当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切．=，∴a=1或9，a=1时，，∠MCN=90°，∠MFN=45°， a=9时，r=MCN ＜90°，∠MFN ＜45°，则所求圆的方程为22(2)(1)2x y -+-= 考点：圆的标准方程20．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O 在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O 在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O 在点处的切线的方程的斜率∴圆O 在点A 处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的30y +-=【解析】【分析】先求出k OA ，从而圆O 在点(处的切线的方程的斜率k = ，由此能出圆O在点A 处的切线的方程．【详解】k OA =O 在点(处的切线的方程的斜率k =，∴圆O 在点A (处的切线的方程1y x =-），30y +-=．30y +-=. 【点睛】本题考查圆的切线方程的求法，属中档题.21．③④【解析】关于①也会有的结论因此不正确；关于②也会有异面的可能的结论因此不正确；容易验证关于③④都是正确的故应填答案③④解析：③④ 【解析】关于①,也会有n ⊂α的结论,因此不正确；关于②,也会有,m n 异面的可能的结论,因此不正确；容易验证关于③④都是正确的,故应填答案③④.22．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因解析：12【解析】 ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=，所以30BAD BCA ∠==.由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=，所以AC =设AD x =，则0t <<DC x =.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅24x =-+.故2234BD x x =-+.在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos 2222PD PB BD x x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅，所以30BPD ∠=.过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠， 2112342sin 3022x x d x -+=⋅，解得2234d x x =-+.而BCD ∆的面积111sin (23)2sin 30(23)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=. 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=. 故四面体PBCD 的体积211111sin (23)33332234BcD BcD BcD V S h S d S d x x x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯-+ 2(236234x x =-+设22234(3)1t x x x =-+=-+023x ≤≤12t ≤≤.则231x t -=-（1）当03x ≤≤时，有2331x x t ==-故231x t =-此时，22131)[2331)]6t t V t --=21414()66t t t t-=⋅=-. 214()(1)6V t t=--'，因为12t ≤≤，所以()0V t '<，函数()V t 在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612V t V ≤=-=. （2）当323x <≤时，有2331x x t -=-=-，故231x t =+-.此时，221(31)[23(31)]6t t V t +--+-=21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 23．【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为得底面所在平面截其外接球所成圆半径为又由高为则球心到圆的球心距为根据球心距截面圆半径球半径构成的直角三角形满足勾股定理我们易得半径满足：已知求得正三棱柱外接球所解析：【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成圆O 半径为33r =，又由高为2，则球心到圆O 的球心距为1d =，根据球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形满足勾股定理，我们易得半径R 满足：22273R r d =+=，已知求得正三棱柱外接球，所以外接球的表面积为22843S R ππ==．考点：棱柱的几何特征，球的表面积，空间位置关系和距离．【方法点晴】解决本题的关键是确定球心的位置，进而确定半径．因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以过三角形的外心且垂直于此三角形的所在平面的垂线上的任意一点到次三角形三个顶点的距离相等，所以过该三角形的三个顶点的球的球心必在垂线上．所以本题中球心必在上下底面外心的连线上，进而利用球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形，即可算出．24．【解析】【分析】先由题得到点A 在圆上再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k 的值即得过点A 的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以解析：25x y +=【解析】【分析】先由题得到点A 在圆上，再设出切线方程为2(1),y k x -=-利用直线和圆相切得到k 的值，即得过点A 的圆的切线方程.【详解】因为22125+=，所以点()1,2A 在圆上，设切线方程为2(1),y k x -=-即kx-y-k+2=0, 因为直线和圆相切，所以22215,2(1)k k k -+=∴=-+-，所以切线方程为112022x y --++=，所以切线方程为25x y +=，故答案为：25x y +=【点睛】（1）本题主要考查圆的切线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离0022Ax By Cd A B ++=+.25．【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图∵∴由图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存解析：21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点，再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率，数形结合求得实数m 的取值范围．【详解】解：由直线:0l x my m ++=可知直线过定点()0,1P -，又()1,1A -，()2,2B ，如图∵()11201PA K --==---，123022PB K --==-，∴由图可知，直线与线段相交，直线l 的斜率(]3,2,2k ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，或斜率不存在， ∴(]13,2,2m ⎡⎫-∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，或0m =，即203m -≤<或102m <≤，或0m =， ∴21,32m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 故答案为：21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查直线系方程的应用，考查了直线的斜率计算公式，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．三、解答题26．（1）35100x y -+=；（2）()2215x y -+=.【解析】【分析】（1）联立方程组，求出直线1:240l x y -+=和2:20l x y +-=的交点，再求出直线l 的斜率，可得直线l 的方程；（2）设出圆的标准方程，求出圆心与半径，即可求得圆的方程．【详解】（1）联立方程组24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩， ∴直线240x y -+=和20x y +-=的交点()0,2P ，又∵直线5360x y +-=的斜率为53-，∴直线l 的斜率为35， ∴直线l 的方程为()3205y x -=-，化为一般式可得35100x y -+=. （2）设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，2222(3)(1)a b r ∴-+-==，1a ，0b =，∴圆的方程为22(1)5x y -+=．【点睛】本题考查直线、圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．27．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②11．【解析】试题分析：（1）要证明//EF 平面PAB ，可以先证明平面//EF MA ，利用线面平行的判定定理，即可证明//EF 平面PAB ；（2）①要证明平面PBC ⊥平面ABCD ，可用面面垂直的判定定理，即只需证明PB ⊥平面ABCD 即可；②由①BE ⊥平面PBC ，所以FEB ∠为直线EF 与平面PBC 所成的角，由PB =ABP ∠为直角，即可计算,AM EF 的长度，在Rt EBF ∆中，即计算直线EF 与平面PBC 所成的角的正弦值．试题解析：（1）证明：如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM ．因为F 为PC 中点，故MF ∥BC 且MF ＝12BC ．由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ．又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM ．又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB ．（2）①证明：如图，连接PE ，BE ．因为PA ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P －AD －B 的平面角．在△PAD 中，由PA ＝PD AD ＝2，可解得PE ＝2．在△ABD 中，由BA ＝BD ，AD ＝2，可解得BE ＝1．在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°，由余弦定理，可解得PB从而∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB ．又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC ．又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD ．②连接BF ．由①知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB 及已知，得∠ABP 为直角．而MB ＝12PB AM ＝2，故EF ＝2．又BE ＝1，故在Rt △EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝11．所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为11．考点：直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据∠为直线EF与平面PBC所成的角，可放置在BE⊥平面PBC，可以确定FEB∆中，即计算直线EF与平面PBC所成的角的正弦值．Rt EBF28．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【详解】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.29．（1）见解析（2）存在点G 且1EG =满足条件.【解析】试题分析：（1）根据//,//DE AF AB CD ，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；（2）先求出整个几何体的体积.假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，设EG t =，求得几何体GFBME 的体积，将其分割成两个三棱锥,B EFG B EGM --，利用t 表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求得t 的值.试题解析：解：（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ，∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ，∵AB AF A ⋂=，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE .（2）假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，()1331133213332322ABCDEF B ADEF B CDE V V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=，设EG t =，则21392144GFBME B EFG B EGM V V V --=+=⨯=，设M 到ED 的距离为h ，则331h EM t EC ==-，32h t =，234EGM S t ∆= ∴2131393334324t t ⨯⨯+⨯⨯=，解得1t =，即存在点G 且1EG =满足条件. 点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的解决方法.第一问要证明面面平行，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行即可.第二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出G 的位置的值.。

2018-2019学年重庆市第一中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)

重庆市第一中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}2,1,0,1,2A =--，集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（） A ．{}2,1,0,2-- B ．{}2C ．{}2,1,2--D ．{}2,1--【答案】C【解析】根据分式不等式的解法得到集合B ，再由集合的交集运算得到结果. 【详解】集合{}2,1,0,1,2A =--，集合{}11=|01B xx x x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭或，根据集合的交集运算得到A B ⋂={}2,1,2--. 故答案为：C. 【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2．在等差数列{}n a 中，1239a a a ++=，则2a =（） A ．3 B ．9C ．2D ．4【答案】A【解析】根据等差数列的性质得到1232293 3.a a a a a ++==⇒= 【详解】等差数列{}n a 中，1239a a a ++=,根据等差数列的运算性质得到1232293 3.a a a a a ++==⇒=故答案为：A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题. 3．如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（） A ．11a b< B ．2ab b < C ．2ab a -<-D ．2m m P UI W ==【答案】D【解析】分析：利用作差法比较实数大小即得解. 详解：1a --（1b -）=a b ab-，因为0a b <<，所以0,0.a b ab - 所以11a b-<-.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，常用作差法和作商法，一般如果知道实数是正数，可以利用作商法，否则常用作差法.4．在等比数列{}n a 中，已知2171,16a a a =⋅=，则该数列的公比q =（） A ．2± B ．4± C ．2 D ．4【答案】A【解析】根据等比数列的性质得到217416,a a a ⋅==进而解得44a =±，由等比数列的通项公式得到结果. 【详解】等比数列{}n a 中，已知2217441,164a a a a a =⋅==⇒=±2422 2.a a q a =⇒=±故答案为：A. 【点睛】这个题目考查了等比数列的性质以及通项公式的应用，属于基础题. 5．下列命题正确的是（）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。

2019-2020学年重庆市巴蜀中学高一下学期半期(期中)考试数学试题(解析版)

2019-2020学年重庆市巴蜀中学高一下学期半期（期中）考试数学试题一、单选题1．22cos 15sin 15︒-︒=（）A ．12B ．12-C D ．【答案】C【解析】利用余弦的二倍角公式即可. 【详解】22cos 15sin 15cos302︒︒-︒==故选：C. 【点睛】此题考余弦的二倍角公式，属于简单题.2．等差数列{} n a 的首项为1，523a a =+，则3a =（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】先利用题目条件解出数列{}n a 的公差，然后求解出3a . 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，由523a a =+得，5233d a a -==，则1d =，所以3123a a d =+=. 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及简单应用，属于简单题，只需按照公式直接计算即可. 3．对于实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是（） A ．若 a b >，则22ac bc >B ．若22ac bc >，则 a b >C ．若0a b <<，则11a b< D ．若0a b <<，则b a a b< 【答案】B【解析】代入特殊值再结合不等式的基本性质即可选出正确答案. 【详解】解：当0c 时，22ac bc =，则A 不正确；由22ac bc >知，0c ≠，所以 a b >，B 正确；若2,1a b =-=-，则11112a b-=>=-，则C 不正确；若2,1b a ==，则122b a a b =>=，故选:B. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题.4．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】A【解析】利用正弦定理边角互化思想化简可得cos 0B =，求得角B 的值，进而可判断出ABC 的形状. 【详解】cos a b C =，由正弦定理得sin sin cos A B C =，即()sin cos sin sin cos cos sin B C B C B C B C =+=+，cos sin 0B C ∴=，0C π<<，sin 0C ∴>，则cos 0B =， 0B π<<，所以，2B π=，因此，ABC 是直角三角形.故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 5．当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[)3,+∞D ．(],3-∞【答案】D【解析】由题可转化为min 11a x x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+-，利用基本不等式求解11x x +-的最小值即可. 【详解】因为当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，又111121311x x x x +=-++≥+=--，当且仅当2x =时取等号，所以11`x x +-的最小值等于3， 3a ∴≤则实数a 的取值范围为](3-∞，故选：D 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，考查了转化与化归的思想. 6．等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（） A ．4:1 B ．6:1C ．7:1D ．9:1【答案】C【解析】利用等比数列前n 项和的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -，成等比数列求解. 【详解】因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S -，96S S -成等比数列，设3S m =，则63S m =，则632S S m -=，故633S S S -=96632S S S S -=-，所以964S S m -=，得到97S m =，所以937S S =. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和性质的运用，难度一般，利用性质结论计算即可. 7．在数列{} n a 中，13a =，且有133nn na a a +=+，则2020a =（）A ．12020B ．32020C ．20203D ．202012【答案】B【解析】先取倒数，再根据等差数列定义以及通项公式求得1na ，即得结果. 【详解】因为133n n n a a a +=+，所以11113n n a a +=+∴111111(1)(1)3333n nn n a a =+-=+-= 所以20202020120203=32020a a =∴ 故选：B 【点睛】本题考查等差数列定义以及通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．将函数()sin 2y x ϕ=+的图像向左平移12π个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=（）A ．12-B ．12C． D【答案】C【解析】由三角函数平移变换原则可得到解析式sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据对称关系可求得ϕ，结合诱导公式可求得三角函数值. 【详解】()sin 2y x ϕ=+向左平移12π个单位可得：sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象关于原点对称，()6k k Z πϕπ∴+=∈，解得：()6k k ϕπ=π-∈Z，sin 2sin 2sin 33k ππϕπ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭. 故选：C . 【点睛】本题考查根据三角函数对称性求解参数值、利用诱导公式化简求值的问题；关键是能够根据对称性，利用整体对应的方式构造方程求得ϕ.9．已知数列{} n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（） A ．若11a =，34a =，则57a =B ．若130a a +>，则240a a +> C ．若21 a a >，则32a a > D ．若210a a >>，则1322a a a +> 【答案】D【解析】利用等比数列的通项公式逐一验证即可. 【详解】对于A ，若11a =，34a =，则2314a q a ==，25316a a q ==，故A 错误，对于B ，取11a =，2q =-，可得2428100a a +=--=-<，故B 错误，对于C ，取11a =-，2q =-，可得34a =-，2 2a =，故C 错误，对于D ，若210a a >>，则1q >，可得2213111(1)a a a a q a q +=+=+，212 2q a a =， 22132112(12)(1)0a a a a q q a q +-=+-=->，则1322a a a +>，故D 正确，故选：D. 【点睛】此题考等比数列的通项公式的应用，属于简单题.10．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a =（） A ．12-B ．12C ．-2D ．2【答案】A【解析】根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，点(),1A a ，()2,1B -，()4,5C ， O 为坐标原点，根据OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则OA OC OB OC OCOC⋅⋅=,即OA OC OB OC ⋅=⋅，可得4152415a +⨯=⨯-⨯，解得12a =-. 故选：A.本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力.11．如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60方向，则A 、B 两岛屿的距离为（）海里．A ．56B ．106C ．102D ．202【答案】A【解析】连接AB ，根据题意得出相应角的大小，分别在ADC ∆、BCD ∆、ABD ∆使用正弦定理、锐角三角函数定义、余弦定理进行求解即可. 【详解】连接AB ，由题意可知：10,105,45,90,30CD ADC BDC BCD ACD ︒︒︒︒=∠=∠=∠=∠=，所以有45,60DAC ADB ︒︒∠=∠=.在ADC ∆中，由正弦定理可知：52sin sin AD CDAD ACD CAD =⇒=∠∠.在Rt BCD ∆中，cos 102CDBDC BD BD∠=⇒=. 在ABD ∆中，由余弦定理可知：222cos 56AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=.故选：A本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方位角的定义，考查了数学运算能力. 12．ABC中，若::3:2AC AB CM MB==，60AMB∠=°，则sin CAB∠=（）A．115B．3C ．53D ．53【答案】D【解析】根据正弦定理求得AM为角CAB∠平分线，再根据正弦定理求得tanθ，最后根据万能公式求结果.【详解】设CAMθ∠=,因为::AC AB CM MB=，所以sin sinsin sinAC AB AMC AMBCM MB BAMθ∠∠=∴=∠，sin(18060)sin60sin sinsin sinBAM BAMBAMθθθ-∴=∴∠=∴∠=∠,因此sin sin(60),sin sin(60),B Cθθ=+=-()()sin602sin sinsin603sin sinAM BMBMBAM CM CMCθθθθ⎫=⎪︒-⎪⇒==⎬︒+⎪=⎪⎭，31sin3tan2322tan3313tancos sinθθθθθθθ--⇒==⇒=++22tan3sin21tan14θθθ∴==+.故选：B【点睛】本题考查正弦定理解三角形、万能公式，考查基本分析求解能力，属基础题.二、填空题13．求111112233420192020++++=⨯⨯⨯⨯____________.【答案】20192020【解析】利用裂项相消法111(1)1n n n n =-++可得.【详解】111112233420192020++++⨯⨯⨯⨯ 11111111201911223342019202020202020=-+-+-++-=-=，故答案为：20192020. 【点睛】此题考裂项相消法求数列的和，属于简单题.14．已知等差数列{} n a 的前n 项和为n S ，若1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则100S =____________. 【答案】50【解析】先证明出当A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ）且OB xOA yOC =+时，1x y +=，可得出11001a a +=，然后利用等差数列的求和公式可求得100S 的值. 【详解】当A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ）时，则AB 与AC 共线，则存在R λ∈，使得AB AC λ=，即()OB OA OC OA λ-=-，可得()1OB OA OC λλ=-+，OB xOA yOC =+，()11x y λλ∴+=-+=，因为1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则11001a a +=，由等差数列求和公式可得()110010010010015022a a S +⨯===.故答案为：50.【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了平面向量三点共线结论的推导与应用，考查计算能力，属于中等题.15．已知,a b 为单位向量，且12a b ⋅=，若c a b λμ=+.且22λμ+=，则c 的最小值为____________. 【答案】1【解析】根据,a b 为单位向量，且12a b ⋅=，可以求得60AOB ∠=︒，由22c a b a b μλμλ=+=+⋅，根据22λμ+=，所以12μλ+=，得到,,A B C '三点共线，从而得到最值，求得结果. 【详解】12a b ⋅=60AOB =⇒∠︒，则22c a b a b μλμλ=+=+⋅，因为22λμ+=，所以12μλ+=，画出图形，如图所示：,,C A B '∴三点共线，min 1O l c d OA →∴===.故答案为：1. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，三点共线的条件，距离的意义，属于简单题目.16．设2020a b +=，0b >，则当a =____________时，12020a a b+取得最小值.【答案】20202019-【解析】根据题中所给的式子，结合已知条件，将式子进行整理，结合绝对值的意义以及基本不等式求得结果. 【详解】由已知有：22212020202020202020a a a a b a b a b a b a a b ++=+=++212020≥-+221140392202020202020=-+⨯=，当且仅当0a <，22020a ba b=时，等号成立.即222202020192020a a b ⇒=-=. 故答案为：20202019-. 【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有基本不等式，属于简单题目.三、解答题17．已知2a =，4b =，a 与b 的夹角为60︒. （1）计算()a ab ⋅+的值；（2）若()0a a kb ⋅-=，求实数k 的值. 【答案】（1）8；（2）1.【解析】利用平面向量的数量积直接计算即可. 【详解】（1）()2424cos 608a a b a a b ⋅+=+⋅=+⨯⨯︒=，（2）()0a a kb ⋅-=，即2424cos 60440aka b k k -⋅=-⨯⨯⨯︒=-=，1k ∴=.【点晴】此题考平面向量的数量积的计算，属于简单题.18．已知函数()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 【答案】（1）π；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求周期；（2）根据正弦函数性质求值域.【详解】（1）()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2sin cos x x x =1cos 22x -=+ 1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， T π∴=.（2）50,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()30,2f x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.19．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，.c 已知22cosA cosC c a cosB b--=． ()1求n sinC si A的值； ()2若14cosB =，ABC 的周长为5，求b 的长．【答案】（1）2（2）2 【解析】试题分析：（1）由正弦定理和三角形的性质，得sin 2sin C A =，即求解sin sin C A的值；（2）由（1）可知sin 2sin C A=，∴2c a =，再由余弦定理和三角形周长，即可求解,a b 的长. 试题解析：（1）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===知， cos 2cos 22sin 2sin cos 2sin A C R C R A B R B-⋅-=，（2分）即cos sin 2cos sin 2cos sin cos sin A B C B B C B A -=-，即sin()2sin()A B B C +=+，（4分）又由A B C π++=知，sin 2sin C A =，所以sin 2sin C A =. （6分）（2）由（1）可知sin 2sin C A=，∴2c a =，（8分）由余弦定理得2222(2)22cos 4b a a a a B a =+-⋅⋅=∴2b a =，（10分）∴225a a a ++=，∴1a =，∴2b =. （12分）【考点】正弦定理；余弦定理.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，113543n n n n S a a S --=-+（2n ≥）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)2n n a =；(2)12(1)2n n T n +=+-⋅.【解析】【详解】（1）由题意知113354n n n n S S a a ---=-（2n ≥）∴12n n a a -=，12n n a a -= 又∵12a =，∴{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴1222n n n a -=⋅=（2）由已知得22n n b =⋅，∴1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅()23121222122n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅两式相减，得()()11212212212n n n nT n n ++--=-⋅=-⋅-- ∴()1212n n T n +=+-⋅点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.21．,,A B C 是ABC 的三个内角，已知向量()sin sin ,sin sin m A C B A =+-，()sin ,sin sin n B A C =--，且//m n .（1）求角C 的大小；（2）若向量()0,1s =-，2cos ,2cos 2B t A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，试求s t +的取值范围. 【答案】（1）3π；（2）522s t ≤+<. 【解析】（1）先根据向量平行得角的关系，再根据正弦定理化为边的关系，最后根据余弦定理求结果；（2）先根据向量模的定义化简，再根据二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数解析式，最后根据正弦函数性质求结果.【详解】（1）//m n ()()()() sin sin sin sin sin sin sin A C A C B A B ⇒+-=--， 222sin sin sin sin sin C A B A B =+-⇒，222cos 231c a b ab C C π⇒⇒=+-=⇒=. （2）2cos ,2cos 12B s t A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 2222cos 2cos 12B A s t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝∴⎭ 22cos cos A B =+222cos cos 3A A π⎛⎫ ⎪⎝=+⎭-1cos 2214A A =+ 11sin 226A π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 由27023666A A ππππ<<⇒-<-<， 1sin 2126A π⎛⎫∴-<-≤ ⎪⎝⎭， 21524s t∴≤+<5s t ⇒≤+<. st +的取值范围为)22【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理解三角形、向量平行坐标表示、向量模的定义、二倍角余弦公式、辅助角公式、正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题. 22．数列{} n a 中，1a x =，()1412n n a a n n -+=-≥.（1）若2x =，求n a 及2n S . （2）对任意正整数n ，()()221228n n a a +-+-≥恒成立，求实数x 的取值范围.【答案】（1）2,21,n n n a n n ⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，2243n Sn n =+；（2）72x -≤或72x +≥. 【解析】（1）先计算出25a =，由题意有12145,3412n n n n a a n n a a n n ---+=-≥⎧⎨+=-≥⎩，，则可得()243n n a a n -=≥-，所以数列{} n a 的所有奇数项成等差数列，所有偶数项成等差数列，然后根据等差数列的通项公式求解即可；（2）针对项数n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论，将1n a +和n a 代入()()221228n n a a +-+-≥，然后利用参变分离思想将问题转化为二次不等式的恒成立问题求解.【详解】（1）由题意可知12145,3412n n n n a a n n a a n n ---+=-≥⎧⎨+=-≥⎩，，两式相减得()243n n a a n -=≥-. ①135,,,a a a 是等差数列，首项为12a =，公差为4；∴n 为奇数时，12422n n a n -=+⨯=. ②246 ,,,a a a 是等差数列，首项为275a x =-=，公差为4； ∴n 为偶数时，514212n n a n ⎛⎫=+-⨯=+ ⎪⎝⎭. 综上，2,21,n n n a n n ⎧=⎨+⎩为奇数为偶数. ()()221124544322n n n n n S S S n n n n --=+=+⨯++⨯=+奇偶. （2）同（1）方法得：2223n n x n a n x n +-⎧=⎨+-⎩，为奇数，为偶数. ①n 为奇数时，()()221228n n a a +-+-≥即为 ()()222522228n x n x +--++--≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()222141742x x n n -+≥--⇒对任意正整数n 恒成立，n 为奇数时，()2max 424n n ⎡⎤--=-⎣⎦，2214174x x ∴-+≥-72x ⇒≤或72x ≥. ②n 为偶数时，()()221228n n a a +-+-≥即为()()22222328n x n x +-++--≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()2226342x x n n ⇒--≥--对任意正整数n 恒成立，n 为偶数时，()x 2ma 4224n n ⎡⎤--=-⎣⎦，222632426210x x x x x R ∴--≥-+≥⇒⇒-∈，综上：x ≤或x ≥【点睛】本题考查数列通项公式的求解，考查与数列结合的不等式恒成立问题，难度较大.解答时，利用分类讨论思想得出数列的通项公式是关键.。

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