2012年上海市数学高考模拟试卷(一)
2012年上海各区县高三一模数列题汇总
2012年上海各区县高三一模数列题汇总嘉定区22．〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分．定义1x ，2x ，…，n x 的“倒平均数”为nx x x n+++ 21〔*N n ∈〕．已知数列}{n a 前n项的“倒平均数”为421+n ，记1+=n a c n n 〔*N n ∈〕．〔1〕比较n c 与1+n c 的大小；〔2〕设函数x x x f 4)(2+-=，对〔1〕中的数列}{n c ，是否存在实数λ，使得当λ≤x 时，n c x f ≤)(对任意*N n ∈恒成立？假设存在，求出最大的实数λ；假设不存在，说明理由．〔3〕设数列}{n b 满足11=b ，b b =2〔R b ∈且0≠b 〕，21---=n n n b b b 〔*N n ∈且3≥n 〕，且}{n b 是周期为3的周期数列，设n T 为}{n b 前n 项的“倒平均数”，求n n T ∞→lim ．答案：22．〔1〕设数列}{n a 的前n 项和为n S ，由题意得421+=n S n n ， 所以n n S n 422+=，……〔1分〕当1=n 时，611==S a ，当2≥n 时，241+=-=-n S S a n n n ，而1a 也满足此式． 所以24+=n a n 〔*N n ∈〕．……〔1分〕 所以124124+-=++=n n n c n ，……〔1分〕 0)2)(1(222121>++=+-+=-+n n n n c c n n ，因此1+<n n c c ．……〔1分〕 〔2〕假设存在实数λ，使得当λ≤x 时，n c x f ≤)(对任意*N n ∈恒成立，即n c x x ≤+-42对任意*N n ∈恒成立，……〔2分〕由〔1〕知数列}{n c 是递增数列，所以只要124c x x ≤+-，即0342≥+-x x ，〔2分〕解得1≤x 或3≥x ．……〔1分〕所以存在最大的实数1=λ，使得当λ≤x 时，n c x f ≤)(对任意*N n ∈恒成立．…〔1分〕 〔3〕由11=b ，b b =2，得|1|3-=b b ，……〔1分〕① 假设1≥b ，则13-=b b ，1||234=-=b b b ，|2|5b b -=，因为}{n b 周期为3，故b b b ==25，所以b b =-|2|，所以b b =-2，b b -=-2〔舍〕，故1=b ．此时，}{n b 为1，1，0，1，1，0，…．符合题意．……〔1分〕② 假设1<b ，则b b -=13，|21|||234b b b b -=-=，因为}{n b 周期为3，故114==b b ， 所以1|21|=-b ，即121=-b 或121-=-b ，解得0=b 或1=b ，均不合题意．…〔1分〕设数列}{n b 的前n 项和为n S ，则对*N n ∈，有⎪⎩⎪⎨⎧-=--===.23,12,13,2,3,2k n k k n k k n k S n ……〔1分〕即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+==.23,312,13,322,3,32k n n k n n k n n S n 所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+==.23,123,13,223,3,23k n n nk n n n k n T n 因此23lim =∞→n n T ．〔2分〕卢湾区22．〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值6分，第3小题总分值7分．已知数列{}n b ，假设存在正整数T ，对一切*n ∈N 都有n T n b b +=，则称数列{}n b 为周期数列，T 是它的一个周期．例如：数列a ，a ，a ，a ，… ① 可看作周期为1的数列； 数列a ，b ，a ，b ，… ② 可看作周期为2的数列； 数列a ，b ，c ，a ，b ，c ，… ③ 可看作周期为3的数列…〔1〕对于数列②，它的一个通项公式可以是n a n a b n ⎧=⎨⎩为正奇数，为正偶数.试再写出该数列的一个通项公式；〔2〕求数列③的前n 项和n S ；〔3〕在数列③中，假设12,,12a b c ===-，且它有一个形如sin()n b A n ωϕ=+B +的通项公式，其中A 、B 、ω、ϕ均为实数，0A >，0ω>，||2ϕπ<，求该数列的一个通项公式n b ．答案：22．〔1〕1[1(1)][1(1)]22n n n a b a +=+-++-或|sin||cos |22n n n a a b ππ=+等．〔3分〕 〔2〕当31n k =+时，1()3n n S a b c a -=+++；〔5分〕 当32n k =+时，2()3n n S a b c a b -=++++；〔7分〕 当33n k =+时，()3n nS a b c =++〔k ∈N 〕．〔9分〕〔3〕由题意，0ω>，应有23ωπ=，得23ωπ=，〔10分〕 于是2sin()3n b A n B ϕπ=++，把12b =，212b =，31b =-代入上式得2sin()2,(1)341sin(),(2)32sin(2)1,(3)A B A B A B ϕϕϕπ⎧++=⎪⎪π⎪++=⎨⎪π++=-⎪⎪⎩〔12分〕由(1)(2)可得cos A ϕ=，再代入(1)的展开式，可得5sin 24A B ϕ-+=，与(3)联立得12B =，〔13分〕3sin 2A ϕ=-，于是tan ϕ=，因为||2ϕπ<，所以3ϕπ=-，〔14分〕于是可求得A ．〔15分〕故213sin()332n n b ππ=-+〔*n ∈N 〕或写成213sin[(31)]332n n b k ππ=+-+〔k ∈Z ,*n ∈N 〕．〔16分〕闵行区22.〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第(1)小题总分值4分，第(2)小题总分值5分，第(3)小题总分值7分．将边长分别为1、2、3、…、n 、n +1、…〔*n ∈N 〕的正方形叠放在一起，形成如下图的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第n 个阴影部分图形.设前n 个阴影部分图形的面积的平均值为()f n ．记数列{}n a 满足11a =,()+1(),,n n f n n a f a n ⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数当为偶数〔1〕求()f n 的表达式；〔2〕写出23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；〔3〕记()n n b a s s =+∈R ，假设不等式21111000n n n n n b b b b b ++++>有解，求s 的取值范围.答案：22.解：〔1〕由题意，第1个阴影部分图形的面积为2221-，第2个阴影部分图形的面积为2243-，……，第n 个阴影部分图形的面积为()222(21)n n --.〔2分〕故()()()22222221432(21)()n n f n n⎡⎤-+-+--⎣⎦=1234(21)221n n n n+++++-+==+ 〔4分〕〔2〕11a =，2(1)3a f ==，32()2317a f a ==⨯+=，当n 为偶数时，(1)21n a f n n =-=-， 〔3分〕 当n 为大于1的奇数时，[]11()2122(1)1145n n n a f a a n n --==+=--+=-，故1,121,45,1n n a n n n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩当当为偶数当为大于的奇数． 〔5分〕〔3〕由〔2〕知1,121,45,1n s n b n s n n s n +=⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩当当为偶数当为大于的奇数．又21111000n n n n n b b b b b ++++>11212()0n n n n n n n b b b b b b b +++++⇔-=->． 〔ⅰ〕当n =1时，即213()(3)(6)0b b b s -=+->，于是303s s +<⇒<- 〔ⅱ〕当n 为偶数时，即[]()()4(1)5(21)2(2)141(4)0n s n s n s n s +-+-+-+-+=-+->⎡⎤⎣⎦于是410n s -+<，()max 426s n <-+=-． 〔3分〕 〔ⅲ〕当n 为大于1的奇数时，即[]()()()()2(1)1454(2)52180n s n s n s n s +-+⋅-+-+-+=++⋅->⎡⎤⎣⎦于是210n s ++<，max (21)7s n <--=-． 〔5分〕 综上所述：3s <-． 〔7分〕徐汇区22、〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值8分,第3小题总分值6分.设,a R ∈把三阶行列式235140421x a x+中第一行第二列元素的余子式记为()f x ，且关于x 的不等式()0f x <的解集为(2,0)-。
2012年上海市闵行区高考数学一模试卷(文科) 含详解
2012年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）U={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A={x|x2﹣1≤0，x∈Z}，B={x|﹣1≤x≤3，x∈Z}，则（∁U A）∩B=．2．（4分）已知扇形的面积为，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是．3．（4分）已知a、b∈R，命题“若a+b=2，则a2+b2≥2”的否命题是．4．（4分）若α为第二象限角，且sin（）+cos2α=0，则sinα+cosα的值为．5．（4分）椭圆+y2=1（t＞1）上一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为1，则t=．6．（4分）设向量满足，，且与的方向相反，则的坐标为．7．（4分）已知直线l：y=kx+1与两点A（﹣1，5）、B（4，﹣2），若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是．8．（4分）若f（n）=1+++…+（n∈N*），则对于k∈N*，f（k+1）=f（k）+．9．（4分）在△ABC中，若a≠b，且=，则∠C的大小为．10．（4分）执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为．11．（4分）已知数列{a n}的前n项和，则=．12．（4分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=f（x+2），且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|的零点个数为个．13．（4分）如图，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以BC中点E为圆心、以1为半径在矩形内部作四分之一圆弧CD（其中D为OA中点），点P是弧CD 上一动点，PM⊥BC，垂足为M，PN⊥AB，垂足为N，则四边形PMBN的周长的最大值为．14．（4分）在一圆周上给定1000个点．（如图）取其中一点标记上数1，从这点开始按顺时针方向数到第二个点标记上数2，从标记上2的点开始按顺时针方向数到第三个点标记上数3，继续这个过程直到1，2，3，…，2012都被标记到点上，圆周上这些点中有些可能会标记上不止一个数，在标记上2012的那一点上的所有标记的数中最小的是．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．16．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=2x+1的图象关于y=x+1对称，则f （x）=（）A．log2x B．log2（x﹣1）C．log2（x+1）D．log2x﹣1 17．（5分）已知关于x，y的二元一次线性方程组的增广矩阵为，记，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是（）A．B．两两平行C．D．方向都相同18．（5分）设x1、x2是关于x的方程的两个不相等的实数根，那么过两点，的直线与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．随m的变化而变化三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）对于=（x1，y1），=（x2，y2），规定向量的“*”运算为：*=（x1x2，y1y2）．若=（x，1），=（﹣1，x），=（1，0），=（0，1）．解不等式．20．（14分）设双曲线C：的虚轴长为2，渐近线方程是y=，O为坐标原点，直线y=kx+m（k，m∈R）与双曲线C相交于A、B两点，且．（1）求双曲C的方程；（2）求点P（k，m）的轨迹方程．21．（14分）某地政府为改善居民的住房条件，集中建设一批经适楼房．用了1400万元购买了一块空地，规划建设8幢楼，要求每幢楼的面积和层数等都一致，已知该经适房每幢楼每层建筑面积均为250平方米，第一层建筑费用是每平方米3000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加80元．（1）若该经适楼房每幢楼共x层，总开发费用为y=f（x）万元，求函数y=f（x）的表达式（总开发费用=总建筑费用+购地费用）；（2）要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低，每幢楼应建多少层？22．（16分）将边长分别为1、2、3、…、n、n+1、…（n∈N*）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、…、第n个阴影部分图形．容易知道第1个阴影部分图形的周长为8．设前n个阴影部分图形的周长的平均值为f（n），记数列{a n}满足．（1）求f（n）的表达式；（2）写出a1，a2，a3的值，并求数列{a n}的通项公式；（3）记b n=a n+s（s∈R），若不等式有解，求s的取值范围．23．（18分）记函数f（x）在区间D上的最大值与最小值分别为max{f（x）|x ∈D}与min{f（x）|x∈D}．设函数f（x）=（1＜b＜3），g（x）=f（x）+ax，x∈[1，3]，令h（a）=max{g（x）|x∈[1，3]}﹣min{g（x）|x∈[1，3]}，记d（b）=min{h（a）|a∈R}．（1）若函数g（x）在[1，3]上单调递减，求a的取值范围；（2）当a=时，求h（a）关于a的表达式；（3）试写出h（a）的表达式，并求max{d（b）|b∈（1，3）}．2012年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）U={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A={x|x2﹣1≤0，x∈Z}，B={x|﹣1≤x≤3，x∈Z}，则（∁U A）∩B={2，3}．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】用列举法求出集合A和B，再根据集合的补集的定义、两个集合的交集的定义求出（∁U A）∩B．【解答】解：∵A={x|x2﹣1≤0，x∈Z}={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x≤3，x∈Z}={﹣1，0，1，2，3}，∴∁U A={x|x≤﹣2，或x≥2，x∈Z}，∴（∁U A）∩B={2，3}，故答案为{2，3}．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．（4分）已知扇形的面积为，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是．【考点】G8：扇形面积公式．【专题】11：计算题．【分析】半径为r的扇形，若圆心角为θ弧度，则它的面积为S=θr2．由此公式，不难结合已知条件求出圆心角的弧度数．【解答】解：设该扇形的圆心角为θ弧度，则扇形的面积S=θ•12=∴θ=故答案为：【点评】本题给出扇形的面积和半径，求扇形的圆心角的大小，着重考查了扇形面积公的知识，属于基础题．3．（4分）已知a、b∈R，命题“若a+b=2，则a2+b2≥2”的否命题是若a+b ≠2，则a2+b2＜2．【考点】21：四种命题．【专题】11：计算题．【分析】若P则Q的否命题是若￢P，则￢Q，由此可得“若a+b=2，则a2+b2≥2”的否命题．【解答】解：∵原命题为“若a+b=2，则a2+b2≥2”，∴其否命题为：“若a+b≠2，则a2+b2＜2”，故答案为：若a+b≠2，则a2+b2＜2．【点评】本题考查否命题的概念，掌握“=”的否定为“≠”，“≥”的否定是“＜”是关键，属于基础题．4．（4分）若α为第二象限角，且sin（）+cos2α=0，则sinα+cosα的值为．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题．【分析】将sin（）+cos2α=0变形可得到sin（﹣2α）=sin（﹣α），再利用二倍角公式约分后可得到2cos（﹣α）=1，从而可得答案．【解答】解：∵sin（）+cos2α=0，∴cos2α=sin（﹣2α）=﹣sin（）=sin（﹣α），∴•2sin（﹣α）cos（﹣α）=sin（﹣α），又α为第二象限角，∴sin（﹣α）≠0，∴2cos（﹣α）=1，∴cos（﹣α）=．展开得，sinα+cosα=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练应用诱导公式与二倍角公式得到2cos（﹣α）=1是关键，属于中档题．5．（4分）椭圆+y2=1（t＞1）上一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为1，则t=2．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】由椭圆的方程+y2=1（t＞1）可知，b=1，又×2b×c=1，可求得c，从而可得t的值．【解答】解：∵椭圆的方程为+y2=1（t＞1），∴其焦点在x轴，且短半轴b=1，设半焦距为c，∵一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为1，∴又×2b×c=1，而b=1，∴c=1．∴t=b2+c2=1+1=2．故答案为：2．【点评】本题考查椭圆的简单性质，由题意求得b=c=1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．6．（4分）设向量满足，，且与的方向相反，则的坐标为（﹣4，﹣2）．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】11：计算题．【分析】由向量模的公式，计算出=，再根据与的方向相反且模是与模的2倍，所以=﹣2，可得的坐标．【解答】解：∵，∴==又∵=2，且与的方向相反，∴=﹣2=﹣2（2，1）=（﹣4，﹣2）故答案为：（﹣4，﹣2）【点评】本题给出向量的坐标，与的方向相反且长度是的2倍，求向量的坐标，着重考查了平面向量的模的公式和坐标的线性运算的知识，属于基础题．7．（4分）已知直线l：y=kx+1与两点A（﹣1，5）、B（4，﹣2），若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是．【考点】I3：直线的斜率；IM：两条直线的交点坐标．【专题】11：计算题；31：数形结合．【分析】由直线y=kx+1的方程，判断恒过P（0，1），求出K PA与K PB，判断过P点的直线与AB两点的关系，结合图形求出满足条件的直线斜率的取值范围．【解答】解：由直线l：y=kx+1的方程，判断恒过P（0，1），如下图示：∵K PA=﹣4，K PB=﹣，则实数a的取值范围是：．故答案为：．【点评】求恒过P点且与线段AB相交的直线的斜率的取值范围，有两种情况：当A、B在P竖直方向上的同侧时，计算K PA与K PB，若K PA＜K PB，则直线的斜率k∈[K PA，K PB]当A、B在P竖直方向上的异侧时，（如本题）计算K PA与K PB，若K PA＜K PB，则直线的斜率k∈（﹣∞，K PA]∪[K PB，+∞）就是过P点的垂直x轴的直线与线段有交点时，斜率范围写两段区间，无交点时写一段区间．8．（4分）若f（n）=1+++…+（n∈N*），则对于k∈N*，f（k+1）=f（k）+++．【考点】RG：数学归纳法．【专题】15：综合题．【分析】利用所给等式，确定f（k+1）与f（k）中的项，即可得到结论．【解答】解：∵f（n）=1+++…+∴f（k+1）=1+++…++++∵f（k）=1+++…+∴f（k+1）=f（k）+++故答案为：++【点评】本题考查数学归纳法，解题的关键是明确等式的意义，从而确定变化的项．9．（4分）在△ABC中，若a≠b，且=，则∠C的大小为90°．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】利用正弦定理化简已知的等式，由同角三角函数间的基本关系化简后，再利用二倍角的正弦函数公式得到sin2A=sin2B，由正弦函数的图象与性质得到2A与2B互补或相等，进而得到A与B互余或相等，又a不等于b，利用三角形的边角关系得到A不等于B，可得出A与B互余，由三角形的内角和定理即可求出C的度数．【解答】解：由正弦定理得：=化简已知的等式得：=，又tanA=，tanB=，∴sinAcosA=sinBcosB，即2sinAcosA=2sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴2∠A+2∠B=180°或2∠A=2∠B，即∠A+∠B=90°或∠A=∠B，又a≠b，∴∠A≠∠B，∴∠A+∠B=90°，则∠C=90°．故答案为：90°【点评】此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．10．（4分）执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为23．【考点】EF：程序框图．【分析】首先分析程序框图，循环体为“直到型”循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的y．【解答】解：根据题意，本程序框图为求y的和循环体为“直到型”循环结构，输入x=2，第一次循环：y=2×2+1=5，x=5；第二次循环：y=2×5+1=11，x=11；第三次循环：y=2×11+1=23，∵|x﹣y|=12＞6，∴结束循环，输出y=23．故答案为：23．【点评】本题为程序框图题，考查对循环结构的理解和认识，按照循环结构运算后得出结果．属于基础题11．（4分）已知数列{a n}的前n项和，则=．【考点】8J：数列的极限．【专题】15：综合题．【分析】根据数列{a n}的前n项和，确定数列的通项，从而可求．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1，n=1时，a1=S1=1，也满足上式故a n=2n﹣1，∴==故答案为：【点评】本题考查数列通项，考查数列的极限，解题的关键是根据前n项和求通项．12．（4分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=f（x+2），且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|的零点个数为10个．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】15：综合题．【分析】确定函数y=f（x）的周期，构造函数y=f（x），h（x）=|lgx|，则函数g （x）=f（x）﹣|lgx|的零点问题转化为图象的交点问题，结合图象，即可得到结论．【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=f（x+2），∴函数y=f（x）的周期为2构造函数y=f（x），h（x）=|lgx|，则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|的零点问题转化为图象的交点问题，由于f（x）的最大值为1，所以x＞10时，图象没有交点，在（0，1）上有一个交点，（1，3），（3，5），（5，7），（7，9）上各有两个交点，在（9，10）上有一个交点，故共有10个交点，即函数零点的个数为10故答案为：10【点评】本题的考点是函数零点与方程根的关系，主要考查函数零点的定义，关键是正确作出函数图象，注意掌握周期函数的一些常见结论：若f（x+a）=f （x），则周期为a；若f（x+a）=﹣f（x），则周期为2a等．13．（4分）如图，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以BC中点E为圆心、以1为半径在矩形内部作四分之一圆弧CD（其中D为OA中点），点P是弧CD 上一动点，PM⊥BC，垂足为M，PN⊥AB，垂足为N，则四边形PMBN的周长的最大值为．【考点】HO：三角函数模型的应用．【专题】15：综合题．【分析】设∠MBP=α，利用α的三角函数表示出四边形PMBN的周长，再利用辅助角公式化简，即可求得四边形PMBN的周长的最大值．【解答】解：设∠MBP=α，则∴BM=cosα，PM=sinα∴四边形PMBN的周长为2+2（cosα+sinα）=2+2sin（α+）∵∴∴sin（α+）max=1∴2+2sin（α+）的最大值为故答案【点评】本题考查圆的方程综合应用，解题的关键是引进角参数，利用三角函数进行求解．14．（4分）在一圆周上给定1000个点．（如图）取其中一点标记上数1，从这点开始按顺时针方向数到第二个点标记上数2，从标记上2的点开始按顺时针方向数到第三个点标记上数3，继续这个过程直到1，2，3，…，2012都被标记到点上，圆周上这些点中有些可能会标记上不止一个数，在标记上2012的那一点上的所有标记的数中最小的是12．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】2A：探究型．【分析】确定标有2012的是1+2+3+…+2012=2025078号，2025078除以1000的余数为78，即圆周上的第78个点标为2012，从而可得78+1000n=1+2+3+…+k=，即156+2000n=k（k+1），由此可得结论．【解答】解：记标有1为第1号，序号顺时针的依次增大．当超过一圈时，编号仍然依次增加，如1号也是1001号，2001号，…则标有2的是1+2号，标有3的是1+2+3号，标有4的是1+2+3+4，…，标有2012的是1+2+3+…+2012=2025078号．2025078除以1000的余数为78，即圆周上的第78个点标为2012，那么78+1000n=1+2+3+…+k=，即156+2000n=k（k+1）．当n=0时，k（k+1）=156，k=12满足题意，随着n的增大，k也增大．所以，标有2012的那个点上标出的最小数为12．故答案为：12【点评】本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准线方程为y=﹣，故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为p=1，因看错方程形式马虎导致错误．16．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=2x+1的图象关于y=x+1对称，则f （x）=（）A．log2x B．log2（x﹣1）C．log2（x+1）D．log2x﹣1【考点】3M：奇偶函数图象的对称性．【专题】31：数形结合．【分析】先根据：“y=f（x）的图象与函数y=2x+1的图象关于y=x+1对称”进行图象变换得到f（x﹣1）与y=2x关于y=x对称，再结合反函数的知识求得f （x﹣1），最后即可得f（x）．【解答】解：有题意知：f（x﹣1）与y=2x关于y=x对称，所以f（x﹣1）=log2x，⇒f（x）=log2（x+1），故选：C．【点评】本小题主要考查奇偶函数图象的对称性、函数的图象变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．17．（5分）已知关于x，y的二元一次线性方程组的增广矩阵为，记，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是（）A．B．两两平行C．D．方向都相同【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；OO：二元一次方程组的矩阵形式．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例，由此即可得到结论．【解答】解：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例∵，∴两两平行故选：B．【点评】本题考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，考查向量知识，属于基础题．18．（5分）设x1、x2是关于x的方程的两个不相等的实数根，那么过两点，的直线与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．随m的变化而变化【考点】&R：根与系数的关系；J9：直线与圆的位置关系．【专题】11：计算题．【分析】由x1、x2是关于x的方程的两个不相等的实数根，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，再由A和B的坐标，利用直线斜率的公式求出直线AB的斜率，利用平方差公式化简约分后得到结果，将两根之和代入表示出斜率，由A和斜率写出直线AB的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线AB的距离d，将表示出的两根之和与两根之积代入，整理后得到d=r，可得出直线AB与圆相切．【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程的两个不相等的实数根，∴x1+x2=﹣m，x1x2=＞0，又，，∴直线AB的斜率为=x1+x2=﹣m，∴直线AB的方程为y﹣x12=﹣m（x﹣x1），即mx+y﹣mx1﹣x12=0，由圆x2+y2=1，得到圆心（0，0），半径r=1，∵圆心到直线AB的距离d===1=r，∴直线AB与圆的位置关系是相切．故选：B．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，韦达定理，涉及的知识有：直线的两点式方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）对于=（x1，y1），=（x2，y2），规定向量的“*”运算为：*=（x1x2，y1y2）．若=（x，1），=（﹣1，x），=（1，0），=（0，1）．解不等式．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】23：新定义．【分析】利用已知定义先把所求的不等式进行转化，然后根据分式不等式的解法即可求解【解答】解：由题意可得，（6分）∴∴﹣1＜x＜0 （12分）【点评】本题以新定义为载体，主要考查了向量的数量积的运算，分式不等式的求解，属于知识的简单应用20．（14分）设双曲线C：的虚轴长为2，渐近线方程是y=，O为坐标原点，直线y=kx+m（k，m∈R）与双曲线C相交于A、B两点，且．（1）求双曲C的方程；（2）求点P（k，m）的轨迹方程．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合；KK：圆锥曲线的轨迹问题．【专题】15：综合题．【分析】（1）根据双曲线虚轴长为2，渐近线方程是y=，可得几何量的值，即可求得双曲线C的方程；（2）直线AB：y=kx+m与双曲线联立消去y得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3=0，利用韦达定理及⊥知x1x2+y1y2=0，即可求得点P的轨迹方程．【解答】解：（1）由题意，双曲线虚轴长为2，渐近线方程是y=，∴b=，b=a，∴a=1 （3分）故双曲线C的方程为．（6分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=kx+m与双曲线联立消去y得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3=0由题意3﹣k2≠0，且（4分）又由⊥知x1x2+y1y2=0而x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2所以+k2×+km×+m2=0化简得2m2﹣3k2=3①由△＞0可得k2＜m2+3②由①②可得2m2﹣3k2=3 （6分）故点P的轨迹方程是2y2﹣3x2=3（x≠±）（8分）【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是直线与双曲线方程联立，利用韦达定理进行求解．21．（14分）某地政府为改善居民的住房条件，集中建设一批经适楼房．用了1400万元购买了一块空地，规划建设8幢楼，要求每幢楼的面积和层数等都一致，已知该经适房每幢楼每层建筑面积均为250平方米，第一层建筑费用是每平方米3000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加80元．（1）若该经适楼房每幢楼共x层，总开发费用为y=f（x）万元，求函数y=f（x）的表达式（总开发费用=总建筑费用+购地费用）；（2）要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低，每幢楼应建多少层？【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；7F：基本不等式及其应用．【专题】15：综合题．【分析】（1）确定每幢经适楼房从下到上各层的总建筑费用构成以75为首项，2为公差的等差数列，利用总开发费用=总建筑费用+购地费用，可得函数表达式；（2）由（1）知经适楼房每平方米平均开发费用为：g（x）==40（x+，利用基本不等式即可得到结论．【解答】解：（1）由已知，每幢经适楼房最下面一层的总建筑费用为：3000×250=750000元=75（万元），从第二层开始，每幢每层的建筑总费用比其下面一层多：80×250=20000元=2（万元），每幢经适楼房从下到上各层的总建筑费用构成以75为首项，2 为公差的等差数列，（2分）根据总开发费用=总建筑费用+购地费用，可得函数表达式为：y=f（x）=8[75x+]+1400=8x2+592x+1400；（6分）（2）由（1）知经适楼房每平方米平均开发费用为：g（x）==40（x+≥40（2+74）≈4018（元）（12分）当且仅当x=，即x≈13.2时等号成立，但由于x∈N+，验算：当x=13时，g（x）≈4018，当x=14时，g（x）≈4020．答：该经适楼建为13层时，每平方米平均开发费用最低．（14分）【点评】本题考查函数模型的构建，考查等差数列，考查基本不等式的运用，解题的关键是确定函数的模型，属于中档题．22．（16分）将边长分别为1、2、3、…、n、n+1、…（n∈N*）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、…、第n个阴影部分图形．容易知道第1个阴影部分图形的周长为8．设前n个阴影部分图形的周长的平均值为f（n），记数列{a n}满足．（1）求f（n）的表达式；（2）写出a1，a2，a3的值，并求数列{a n}的通项公式；（3）记b n=a n+s（s∈R），若不等式有解，求s的取值范围．【考点】8H：数列递推式；O1：二阶矩阵．【专题】11：计算题．【分析】（1）由图形观察，得第n个阴影部分图形的周长为8n，利用等差数列的求和公式即可得到f（n）的表达式；（2）根据题中a n的表达式，不难写出它3项，再分n为奇数和n为偶数两种情况加以讨论，结合等差数列的通项公式，可得a n关于n的分段函数的表达式；（3）利用行列式乘法法则，得原不等式有解即b n+1（b n﹣b n+2）＞0有解，再分n为奇数和n为偶数两种情况加以讨论，最后综合可得实数s的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，第1个阴影部分图形的周长为8，第2个阴影部分图形的周长为16，…，第n个阴影部分图形的周长为8n，（2分）故f（n）=．（4分）（2）a1=f（1）=8，a2=f（a1）=f（8）=36，a3=f（3）=20，①当n为奇数时，a n=f（n）=4n+4 （3分）②当n为偶数时，a n=f（a n﹣1）=4a n﹣1+4=4[4（n﹣1）+4]+4=16n+4，∴a n=．（5分）（3）b n=a n+s=有解，即b n+1b n﹣b n+1b n+2=b n+1（b n﹣b n+2）＞0有解，①当n为奇数时，b n+1（b n﹣b n+2）＞0即[16（n+1）+4+s][4n+4+s﹣4（n+2）﹣4﹣s]＞0，亦即16（n+1）+4+s＜0有解，故s＜（﹣16n﹣20）max=﹣36 （3分）②当n为偶数时，b n+1（b n﹣b n+2）＞0即即[4（n+1）+4+s][16n+4+s﹣16（n+2）﹣4﹣s]＞0，于是4（n+1）+4+s＜0，故s＜（﹣4n﹣8）max=﹣16．（5分）欲使有解，以上两种情况至少一个成立，故s的取值范围是s＜﹣16．（7分）【点评】本题以一个实际问题为例，考查了等差数列的通项与求和公式、二阶行列式的计算和不等式解集非空的讨论等知识，属于基础题．23．（18分）记函数f（x）在区间D上的最大值与最小值分别为max{f（x）|x ∈D}与min{f（x）|x∈D}．设函数f（x）=（1＜b＜3），g（x）=f（x）+ax，x∈[1，3]，令h（a）=max{g（x）|x∈[1，3]}﹣min{g（x）|x∈[1，3]}，记d（b）=min{h（a）|a∈R}．（1）若函数g（x）在[1，3]上单调递减，求a的取值范围；（2）当a=时，求h（a）关于a的表达式；（3）试写出h（a）的表达式，并求max{d（b）|b∈（1，3）}．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；5A：函数最值的应用．【专题】15：综合题．【分析】（1）根据函数f（x）=（1＜b＜3），g（x）=f（x）+ax，x∈[1，3]，可得函数g（x）的解析式，利用函数在[1，3]上单调递减，即可求a的取值范围；（2）当b=2a+1时，0＜a＜1，，确定函数的单调性，求得函数的最值，即可求h（a）关于a的表达式；（3），分类讨论，确定函数的最小值，利用函数的单调性，确定d（b）=min{h（a）|a∈R}，从而可求max{d（b）|b∈（1，3）}．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（1＜b＜3），g（x）=f （x）+ax，x∈[1，3]，∴（2分）由题意，∴a＜0 （4分）（2）当b=2a+1时，0＜a＜1，，显然g（x）在[1，2a+1]上单调递减，在[2a+1，3]上单调递增，又此时g（1）=g （3）=5a+1故max{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=g（3）=5a+1，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（2a+1）=2a2+3a+1，（4分）从而：h（a）=﹣2a2+2a，a∈（0，1）．（6分）（3）①当a≤0时，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=a+2b﹣1，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（3）=3a+b此时，h（a）=﹣2a+b﹣1②当a≥1时，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（3）=3a+b，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=a+2b﹣1此时，h（a）=2a﹣b+1 （2分）③当0＜a≤时，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=a+2b﹣1，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（b）=ab+b，此时，h（a）=a+b﹣ab﹣1④当时，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（3）=3a+b，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（b）=ab+b，此时，h（a）=3a﹣ab故h（a）=，（4分）因h（a）在（﹣∞，]上单调递减，在[，+∞）单调递增，故d（b）=min{h（a）|a∈R}=h（）=，（6分）故当b=2时，得max{d（b）|b∈（1，3）}=．（8分）【点评】本题考查函数的解析式，考查函数的最值的求解，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，确定函数的单调性是解题的关键．。
高考-2012年上海市高考数学试卷(理科)
2012年上海市高考数学试卷(理科)2012年上海市高考数学试卷（理科）2012年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（56分）：1．（4分）（2012?上海）计算：=_________（i为虚数单位）．2．（4分）（2012?上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=_________．3．（4分）（2012?上海）函数f（x）=的值域是_________．4．（4分）（2012?上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为_________（结果用反三角函数值表示）．5．（4分）（2012?上海）在的二项展开式中，常数项等于_________．6．（4分）（2012?上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═_________．7．（4分）（2012?上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是_________．8．（4分）（2012?上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为_________．9．（4分）（2012?上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）=_________．10．（4分）（2012?上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l 的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=_________．11．（4分）（2012?上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_________（结果用最简分数表示）．12．（4分）（2012?上海）在平行四边形ABCD中，═A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是_________．13．（4分）（2012?上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为_________．14．（4分）（2012?上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是_________．二、选择题（20分）：222217．（5分）（2012?上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的18．（5分）（2012?上海）设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）（2012?上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA═底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．20．（14分）（2012?上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x═[1，2]）的反函数．21．（14分）（2012?上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（16分）（2012?上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP═OQ；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM═ON，求证：O到直线MN的距离是定值．23．（18分）（2012?上海）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s═X，t═X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1═X，且当x n＞1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，x n 的通项公式．2012年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（56分）：1．（4分）（2012?上海）计算：=1﹣2i（i为虚数单位）．2．（4分）（2012?上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=（﹣，3）．＞﹣（﹣，，3．（4分）（2012?上海）函数f（x）=的值域是．=﹣≤sin2x≤﹣的值域是故答案为：4．（4分）（2012?上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为arctan2（结果用反三角函数值表示）．=5．（4分）（2012?上海）在的二项展开式中，常数项等于﹣160．=（﹣）r3=6．（4分）（2012?上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═．为首项，以是以为首项，以故答案为：7．（4分）（2012?上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1]．8．（4分）（2012?上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．所以圆柱的体积为：故答案为：9．（4分）（2012?上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f （x）+2，则g（﹣1）=﹣1．10．（4分）（2012?上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=．中，利用正弦定理可知：故答案为：11．（4分）（2012?上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．××表示个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有=故答案为：12．（4分）（2012?上海）在平行四边形ABCD中，═A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是[2，5]．，设=）2+13．（4分）（2012?上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．=，=10x dx+××+10×﹣﹣故答案为：14．（4分）（2012?上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．EB=，EF=×=故答案为：二、选择题（20分）：2ii bi+c=0222。
2012年高考文科数学上海卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共22页） 数学试卷 第2页（共22页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)考生注意：1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚,并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.计算：3i1i－＋= （i 为虚数单位）. 2.若集合{|21A x x =-＞0},{|||B x x =＜1},则A B = .3.函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是 .4.若=(2,1)d 是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.5.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为 .6.方程14230xx +--=的解是 .7.有一列正方体,棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列,体积分别记为12,,,,n V V V 则12lim()n x V V V →∞+++= .8.在61()x x-的二项展开式中,常数项等于 .9.已知()y f x =是奇函数.若()()2g x f x =+且(1)1g =,则(1)g -= . 10.满足约束条件||2||2x y ＋≤的目标函数z y x =-的最小值是 .11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）.12.在矩形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||BM CN BC CD =,则AM AN 的取值范围是 . 13.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ,其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C .函数()(01)y xf x x =≤≤的图象与x 轴围成的图形的面积为 . 14.已知1()1f x x=+.各项均为正数的数列{}n a 满足11a =,2()n n a f a +=.若20102012a a =,则2021a a +的值是 .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根,则 （ ）A .2,3b c ==B .2,1b c ==-C .2,1b c =-=-D .2,3b c =-=16.对于常数m 、n ,“0mn ＞”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的 （ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件17.在ABC △中,若222sin +sin sin A B C ＜,则ABC △的形状是（ ）A .钝角三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .不能确定18.若*π2ππ=sin sin sin()777n n S n +++∈N ,则在12100,,,S S S 中,正数的个数是（ ）A .16B .72C .86D .100--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第3页（共22页） 数学试卷 第4页（共22页）三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,D 是PC 的中点.已知π2BAC ∠=,2AB =,AC =2PA =.求： （Ⅰ）三棱锥P ABC -的体积；（Ⅱ）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知()lg(1)f x x =+.（Ⅰ）若(12)()1f x f x --0＜＜,求x 的取值范围； （Ⅱ）若()g x 是以2为周期的偶函数,且当01x ≤≤时,有()()g x f x =,求函数()([1,2])y g x x =∈的反函数.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）,则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为7t .（Ⅰ）当0.5t =时,写出失事船所在位置P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向；（Ⅱ）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22:2=1C x y －.（Ⅰ）设F 是C 的左焦点,M 是C 右支上一点.若||MF =求过M 点的坐标； （Ⅱ）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（Ⅲ）设斜率为(||k k 的直线l 交C 于P 、Q 两点.若l 与圆221x y +=相切,求证：OP OQ ⊥.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于项数为m 的有穷数列数集{}n a ,记12max{,,,}(1,2,,)k k b a a a k m ==,即k b 为12,,,k a a a 中的最大值,并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的{}n a ； （Ⅱ）设{}n b 是{}n a 的控制数列,满足1k m k a b C -++=（C 为常数,(1,2,,)k m =）.求证：k k a b =(1,2,,)k m =；（Ⅲ）设m =100,常数1(,1)2a ∈.若(122(1)n n n a an n +=--）,{}n b 是{}n a 的控制数列,求1122100100()()()b a b a b a -+-++-.- 3 - / 11A B =1,12⎛ ⎝【提示】由题意，可先化简两个集合【考点】交集及其运算。
2012年上海市普陀区高考数学一模试卷(理科) 含详解
2012年上海市普陀区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）函数的最小正周期是．2．（4分）（）6的展开式中，常数项为．（用数字作答）3．（4分）函数的定义域是．4．（4分）是两个不共线的向量，已知，，且A，B，D三点共线，则实数k=．5．（4分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，则此数列的各项和S=．6．（4分）已知直线l的方程为2x﹣y﹣3=0，点A（1，4）与点B关于直线l对称，则点B的坐标为．7．（4分）如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果的值为．8．（4分）若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点是，则双曲线的方程是．9．（4分）如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是32cm2的照片，排版设计为纸上左右留空各3cm，上下留空各2.5cm，图间留空为1cm，照此设计，则这张纸的最小面积是cm2．10．（4分）给出问题：已知△ABC满足a•cosA=b•cosB，试判断△ABC的形状，某学生的解答如下：（i）a•⇔a2（b2+c2﹣a2）=b2（a2+c2﹣b2）⇔（a2﹣b2）•c2=（a2﹣b2）（a2+b2）⇔c2=a2+b2故△ABC是直角三角形．（ii）设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理可得，原式等价于2RsinAcosA=2RsinBcosB⇔sin2A=cos2B⇔A=B故△ABC是等腰三角形．综上可知，△ABC是等腰直角三角形．请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果．11．（4分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若S10=20，S20=60，则=．12．（4分）若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为．13．（4分）用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1，2，3，…9的个9小正方形（如图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形涂颜色都不相同，且标号“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为．12345678914．（4分）设n∈N*，a n表示关于x的不等式log4x+log4（5×4n﹣1﹣x）≥2n﹣1的正整数解的个数，则数列{a n}的通项公式a n=．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个，一律得零分．15．（5分）“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2=xz”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）设θ是直线l的倾斜角，且cosθ=a＜0，则θ的值为（）A．π﹣arccosa B．arccosa C．﹣arccosa D．π+arccosa 17．（5分）设全集为R，集合M={x|}，N={x|}，则集合{x|}可表示为（）8888888A．M∪N B．M∩N C．∁R M∩N D．M∩∁R N 18．（5分）对于平面α、β、γ和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是（）A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αB．若a∥b，b⊂α，则a∥αC．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥αD．若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b则a∥b三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19．（12分）已知函数f（x）=kx+2，k≠0的图象分别与x轴、y轴交于A，B 两点，且，函数g（x）=x2﹣x﹣6．当满足不等式f（x）＞g（x）时，求函数y=的最小值．20．（12分）如图，已知圆锥体SO的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥体的体积；（2）异面直线SO与PA所成角的大小（结果用反三角函数表示）．21．（14分）已知△ABC中，，记．（1）求f（x）解析式及定义域；（2）设g（x）=6m•f（x）+1，，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．22．（16分）已知数列{a n}是首项为2的等比数列，且满足（1）求常数p的值和数列{a n}的通项公式；（2）若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、…第3n﹣2项，…，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{b n}，试写出数列{b n}的通项公式；（3）在（2）的条件下，设数列{b n}的前n项和为T n，是否存在正整数n，使得若存在，试求所有满足条件的正整数n的值，若不存在，请说明理由．23．（20分）设点F是抛物L：y2=2px（p＞0）的焦点，P1，P2，…，P n是抛物线L上的n个不同的点n（n≥3，n∈N*）．（1）当p=2时，试写出抛物线L上三点P1、P2、P3的坐标，时期满足；（2）当n≥3时，若，求证：；（3）当n＞3时，某同学对（2）的逆命题，即：“若，则”开展了研究并发现其为假命题．请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：1．试构造一个说明该命题确实是假命题的反例；2．对任意给定的大于3的正整数n，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由：3．如果补充一个条件后能使该命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由．2012年上海市普陀区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）函数的最小正周期是2π．【考点】GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】由二倍角的余弦将f（x）=﹣中的三角函数式降幂即可．【解答】解；∵f（x）=﹣=﹣cosx，∴f（x）的最小正周期是2π．故答案为：2π．【点评】本题考查二倍角的余弦，将条件中的三角函数式降幂是关键，属于基础题．2．（4分）（）6的展开式中，常数项为15．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】本题是二项式展开式求项的问题，可由给出的式子求出通项表达式T r+1=（﹣1）r•，令x的次数为0即可．【解答】解：∵T r+1=（﹣1）r•，∴由6﹣3r=0得r=2，从而得常数项C6r=15，故答案为：15．【点评】本题考查二项式定理的基础知识与基本性质，二项式定理通常考查的内容有项、系数、和的运算等等，同时还会考查赋值法的数学思想，对这些知识要熟练地掌握，其在高考中的难度不大．3．（4分）函数的定义域是（0，1）∪（1，2）．【考点】4K：对数函数的定义域．【专题】11：计算题．【分析】由题意可得＞0，0＜|x﹣1|＜1，由此求得函数的定义域．【解答】解：∵函数，∴＞0，0＜|x﹣1|＜1．解得0＜x＜1，或1＜x＜2，故函数的定义域为（0，1）∪（1，2），故答案为（0，1）∪（1，2）．【点评】本题主要考查对数函数的定义域，得到＞0，是解题的关键，属于基础题．4．（4分）是两个不共线的向量，已知，，且A，B，D三点共线，则实数k=﹣8．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；I6：三点共线．【专题】11：计算题．【分析】先由A，B，D三点共线，可构造两个向量共线，然后再利用两个向量共线的定理建立等式，解之即可．【解答】解：∵A，B，D三点共线，∴与共线，∴存在实数λ，使得=；∵=2﹣﹣（+3）=﹣4，∴2+k=λ（﹣4），∵是平面内不共线的两向量，∴解得k=﹣8．故答案为：﹣8【点评】本题主要考查了三点共线，以及平面向量数量积的性质及其运算律，属于基础题．5．（4分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，则此数列的各项和S=．【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】设公比为q，q＞0，由等比数列的通项公式求出q的值，再由此数列的各项和S=S n=，求出结果．【解答】解：∵各项均为正数的等比数列{a n}中，，设公比为q，q＞0，则有=（）q2，解得q=﹣1．则此数列的各项和S=S n====，故答案为．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题．6．（4分）已知直线l的方程为2x﹣y﹣3=0，点A（1，4）与点B关于直线l对称，则点B的坐标为（5，2）．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】11：计算题．【分析】利用点A（1，4）与点B关于直线l对称，从而线段AB被对称轴垂直平分，由此建立方程组，即可求得结论．【解答】解：设点B的坐标为（x，y），则∵点A（1，4）与点B关于直线l对称，∴∴x=5，y=2∴B（5，2）故答案为：（5，2）【点评】本题考查点关于直线的对称点，解题的关键是利用线段AB被对称轴垂直平分，建立方程组．7．（4分）如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果的值为．【考点】E7：循环结构．【专题】11：计算题．【分析】这个循环结构是当型循环结构，根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：第1次循环：S=0，n=1；第2次循环：S==，n=2；第3次循环：S==，n=3；第4次循环：S==，n=4；第5次循环：S==，n=5；第6次循环：S=+sin=0，n=6；第7次循环：S=0+sin2π=0，n=7；…∵2012÷6=335 (2)∴第2013次循环：S==，n=2013，∵n=2013＞2012，∴输出S=．故答案为：．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8．（4分）若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点是，则双曲线的方程是．【考点】KA：双曲线的定义；KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题．【分析】设双曲线的方程是，又它的一个焦点是，故λ+9λ=10由此可知λ=1，代入可得答案．【解答】解：因为双曲线的渐近线方程为y=±3x，则设双曲线的方程是，又它的一个焦点是故λ+9λ=10∴λ=1，故答案为：【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．9．（4分）如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是32cm2的照片，排版设计为纸上左右留空各3cm，上下留空各2.5cm，图间留空为1cm，照此设计，则这张纸的最小面积是196cm2．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】12：应用题．【分析】设照片的长为xcm，宽为ycm，则xy=32cm2，从而可计算出纸的面积，利用基本不等式即可得到结论．【解答】解：设照片的长为xcm，宽为ycm，则xy=32cm2，纸的面积S=（x+6）（2y+6）=2xy+6（x+2y）+36=100+6（x+2y）≥100+6×16=196当且仅当x=2y=8时，纸的面积最小为196cm2，故答案为：196【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解题的关键是正确计算纸的面积，属于中档题．10．（4分）给出问题：已知△ABC满足a•cosA=b•cosB，试判断△ABC的形状，某学生的解答如下：（i）a•⇔a2（b2+c2﹣a2）=b2（a2+c2﹣b2）⇔（a2﹣b2）•c2=（a2﹣b2）（a2+b2）⇔c2=a2+b2故△ABC是直角三角形．（ii）设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理可得，原式等价于2RsinAcosA=2RsinBcosB⇔sin2A=cos2B⇔A=B故△ABC是等腰三角形．综上可知，△ABC是等腰直角三角形．请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果等腰或直角三角形．【考点】GZ：三角形的形状判断；HR：余弦定理．【专题】11：计算题．【分析】（i）利用余弦定理将角化为边，即可得到结论；（ii）由正弦定理，将边化为角，可得结论．【解答】解：不正确，解答的两种方法都可得出结论，但都不完整．（i）a•⇔a2（b2+c2﹣a2）=b2（a2+c2﹣b2）⇔（a2﹣b2）•c2=（a2﹣b2）（a2+b2）⇔c2=a2+b2或a2﹣b2=0，故△ABC是等腰或直角三角形；（ii）设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理可得，原式等价于2RsinAcosA=2RsinBcosB⇔sin2A=sin2B⇔A=B或A+B=，故△ABC是等腰或直角三角形；故答案为：等腰或直角三角形【点评】本题考查三角形形状的判断，解题的关键是利用余弦定理、正弦定理进行边角互化．11．（4分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若S10=20，S20=60，则=6．【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用等差数列前n项和的性质：S10、S20﹣S10，S30﹣S20仍然构成等差数列即可求得答案．【解答】解：∵{a n}是等差数列，其前n项和为S n，S10=20，S20=60，∴由题意可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20仍然构成等差数列，∴2（60﹣20）=20+（S30﹣60），∴S30=120，∴==6．故答案为：6．【点评】本题考查等差数列列前n项和的性质，考查等差中项的性质，将问题转化为S10、S20﹣S10，S30﹣S20成等差数列是关键，属于中档题．12．（4分）若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】11：计算题．【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，球心为O，一个顶点为A，如右图．可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积．【解答】解：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如右图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，则球心O是O1，O2的中点．∵正六棱柱底面边长为，侧棱长为∴Rt△AO1O中，AO1=，O1O=，可得AO==因此，该球的体积为V=π•（）3=故答案为：【点评】本题给出一个正六棱柱，求它的外接球的体积，着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点，属于基础题．13．（4分）用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1，2，3，…9的个9小正方形（如图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形涂颜色都不相同，且标号“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为．123456789【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】15：综合题．【分析】先考虑所有涂法种数，利用乘法原理，分步进行，再考虑满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的涂法，即可求得概率．【解答】解：首先看图形中的1，5，9，有3种可能，当1，5，9，为其中一种颜色时，2、6就只有两种可能．如果2、6颜色相同的两种情况下，3就有4种可能．若2、6颜色不同，则只有一种可能，加之2、6排列不同，2种．于是右上角3有6种．以此类推，左下角7有6种，根据乘法原理，可得所有涂法共有3×6×6=108种，满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的涂法共有3×2=6种，所以所求概率为：=故答案为：【点评】本题考查等可能事件的概率，考查乘法原理，解题的关键是确定基本事件的个数，属于中档题．14．（4分）设n∈N*，a n表示关于x的不等式log4x+log4（5×4n﹣1﹣x）≥2n﹣1的正整数解的个数，则数列{a n}的通项公式a n=3•4n﹣1+1，n∈N*．【考点】7J：指、对数不等式的解法；81：数列的概念及简单表示法．【专题】54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】由不等式可得x2﹣x•5×4n﹣1+42n﹣1≥0，即4n﹣1≤x≤4n．再由a n的意义，可得a n =4n﹣4n﹣1+1，化简求得结果．【解答】解：由不等式，可得，故有x•5×4n﹣1﹣x2≥42n﹣1，∴x2﹣x•5×4n﹣1+42n﹣1≤0，∴4n﹣1≤x≤4n．∵a n表示关于x的不等式的正整数解的个数，∴a n =4n﹣4n﹣1+1=3•4n﹣1+1，n∈N*．故答案为：3•4n﹣1+1，n∈N*．【点评】本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，数列的简单表示法，属于基础题．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个，一律得零分．15．（5分）“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2=xz”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】14：证明题．【分析】根据题中已知条件先证明充分性是否成立，然后证明必要性是否成立，即可的出答案．【解答】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy=lgx•lgz，即y2=zx，∴充分性成立，因为y2=zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，故选：A．【点评】本题主要考查了等差数列和函数的基本性质，以及充分必要行得证明，是高考的常考类型，同学们要加强练习，属于基础题．16．（5分）设θ是直线l的倾斜角，且cosθ=a＜0，则θ的值为（）A．π﹣arccosa B．arccosa C．﹣arccosa D．π+arccosa 【考点】I2：直线的倾斜角．【专题】11：计算题．【分析】利用三角方程求出θ角．即可得到直线的斜率．【解答】解：因为θ是直线l的倾斜角，且cosθ=a＜0，由反三角函数可知，θ=arccosa，所以直线的倾斜角为：arccosa．故选：B．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，反三角函数的应用，考查计算能力．17．（5分）设全集为R，集合M={x|}，N={x|}，则集合{x|}可表示为（）8888888A．M∪N B．M∩N C．∁R M∩N D．M∩∁R N【考点】1H：交、并、补集的混合运算；K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】由M={x|}={x|}，可求M，解分式不等式可求，N，进而可求，结合选项可判断【解答】解：由可得∴M={x|}={x|﹣2≤x≤2}，∵N={x|}={x|﹣1＜x≤3}∴C R M={x|x＞2或x＜﹣2}}，C R N={x|x＞3或x≤﹣1}∵{x|}={x|}={x|﹣2≤x≤﹣1}A：M∪N={x|﹣2≤x≤3}，不符题意B：M∩N={x|﹣1＜x≤2}，不符题意C：C R M∩N={x|2＜x≤3}，不符题意D：M∩C R N={x|﹣2≤x≤﹣1}，符合题意故选：D．【点评】本题主要考查了集合的基本运算的应用，解题的关键是根据题意求出相应的集合18．（5分）对于平面α、β、γ和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是（）A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αB．若a∥b，b⊂α，则a∥αC．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥αD．若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b则a∥b【考点】2K：命题的真假判断与应用；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】14：证明题．【分析】由线面垂直的判定定理可判断A错误；由线面平行的判定定理可知B 错误；由面面平行的判定定理可知C错误；由面面平行的性质定理可知D正确【解答】解：若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，由线面垂直的判定定理知，只有当m和n为相交线时，才有a⊥α，A错误；若a∥b，b⊂α，此时由线面平行的判定定理可知，只有当a在平面α外时，才有a∥α，B错误；若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，此时由面面平行的判定定理可知，只有当a、b为相交线时，才有β∥α，C错误；由面面平行的性质定理：若两平面平行，第三个平面与他们都相交，则交线平行，可判断若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b则a∥b为真命题，D正确故选：D．【点评】本题主要考查了对线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面平行的性质定理内容的理解和它们的字母符号表达形式，熟记公式推理严密是解决本题的关键三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19．（12分）已知函数f（x）=kx+2，k≠0的图象分别与x轴、y轴交于A，B 两点，且，函数g（x）=x2﹣x﹣6．当满足不等式f（x）＞g（x）时，求函数y=的最小值．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；7E：其他不等式的解法；9J：平面向量的坐标运算．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】首先根据向量坐标形式求出A、B两点的坐标，从而得到直线的斜率，得到函数f（x）的解析式．再设函数F（x）=，解出不等式f（x）＞g（x）得到x的区间就是F（x）的定义域，最后利用求导数的方法讨论F（x）的单调性，可得函数的最小值．【解答】解：设A（m，0），B（0，n）∴，可得m=﹣2，n=2点A坐标为（﹣2，0），B坐标为（0，2）因此直线y=kx+2的斜率k==1，函数f（x）=x+2∴不等式f（x）＞g（x）即x+2＞x2﹣x﹣6，解之得x∈（﹣2，4）设F（x）=，其中x∈（﹣2，4）则F（x）=，求导数得F'（x）=当x∈（﹣2，﹣1）时，F'（x）＜0；当x∈（﹣1，4）时，F'（x）＞0，∴F（x）在区间（﹣2，﹣1）上是减函数，在区间（﹣1，4）上是增函数因此，当x=﹣1时，函数最小值为F（﹣1）=﹣3【点评】本题以向量的坐标运算为载体，求分式函数的最小值，着重考查了一元二次不等式的解法和分式函数单调性与最值求法等知识，属于中档题．20．（12分）如图，已知圆锥体SO的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥体的体积；（2）异面直线SO与PA所成角的大小（结果用反三角函数表示）．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】（1）根据圆锥侧面积公式，结合题中数据列式，可得圆锥的母线长，再用勾股定理算出高的长度，最后用圆锥体积公式可得该圆锥的体积．（2）取OB中点H，连接PH、AH，在△POB中，利用中位线定理，得到PH ∥SO，故∠APH（或其补角）即为直线SO与PA所成角．在Rt△AOH中，计算出AH的长，最后在Rt△PAH中，利用正切的定义，得到异面直线SO与PA所成角的大小为arctan．【解答】解：（1）∵圆锥体SO的侧面积为15π，底面半径OA=3，∴π•OA•SB=15π，得SB=5Rt△SOB中，SO==4，即圆锥的高为4∴圆锥体的体积为V=π×32×4=12π（2）取OB中点H，连接PH、AH∵△POB中，PH为中位线∴PH∥SO，PH=SO=2故∠APH（或其补角）即为直线SO与PA所成角∵SO⊥平面AOB，PH∥SO，∴PH⊥平面AOB，可得PH⊥AH∵△AOH中，AO⊥BO，HO=BO=∴AH==∴Rt△PAH中，tan∠APH==，得∠APH=arctan（锐角），因此，异面直线SO与PA所成角的大小为arctan．【点评】本题给出圆锥一条母线的中点与底面圆上一点的连线，要我们求它与高线所成的角，着重考查了空间平行垂直的位置关系和异面直线所成角的求法，属于中档题．21．（14分）已知△ABC中，，记．（1）求f（x）解析式及定义域；（2）设g（x）=6m•f（x）+1，，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；H4：正弦函数的定义域和值域；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】（1），结合正弦定理，可以表示出BC、AB边的长，根据边长为正，可求出x的取值范围，即定义域，同时我们不难给出求f（x）解析式．（2）由（1）的结论写出g（x）的解析式，并求出g（x）的值域（边界含参数），利用集合相等，边界值也相等，易确定参数的值．【解答】解：（1）由正弦定理有：∴=（2）g（x）=6mf（x）+1=假设存在实数m符合题意，∵，∴．因为m＞0时，的值域为（1，m+1]．又g（x）的值域为，解得；∴存在实数，使函数f（x）的值域恰为．【点评】本题考查的比较综合的考查了三角函数的性质，根据已知条件，及第一步的要求，我们断定求出向量的模，即对应线段的长度是本题的切入点，利用正弦定理求出边长后，易得函数的解析式和定义域，故根据已知条件和未知的结论，分析它们之间的联系，进而找出解题的方向是解题的关键．22．（16分）已知数列{a n}是首项为2的等比数列，且满足（1）求常数p的值和数列{a n}的通项公式；（2）若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、…第3n﹣2项，…，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{b n}，试写出数列{b n}的通项公式；（3）在（2）的条件下，设数列{b n}的前n项和为T n，是否存在正整数n，使得若存在，试求所有满足条件的正整数n的值，若不存在，请说明理由．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】15：综合题．【分析】（1）由，求得，由存在常数p，使得数列a n为等比数列，求出（2p+2）2=2（2p2+2p=4），由此能求出常数p的值和数列{a n}的通项公式．（2）由等比数列的性质得：（i）当n=2k（k∈N*）时，；（ii）当n=2k ﹣1（k∈N*）时，b n=a3k﹣1=23k﹣1，由此能求出数列{b n}的通项公式；}是首项为b1=4，公式q=8的等比数列，知{b2n}是首项b2=8，公比（3）由{b2n﹣1q=8的等比数列，由此能求出．假设存在正整数n 满足条件，则=1+=，即．由此能够推导出当且仅当n=2时，．【解答】解：（1）由，得，∵存在常数p，使得数列a n为等比数列，∴a=a1a3，即（2p+2）2=2（2p2+2p=4），∴p=1．故数列{a n}为首项是1，公比为2的等比数列，即，此时，也满足，则所求常数p的值为1，且（n∈N*）．（2）由等比数列的性质得：（i）当n=2k（k∈N*）时，；（ii）当n=2k﹣1（k∈N*）时，b n=a3k﹣1=23k﹣1，∴．}是首项为b1=4，公式q=8的等比数列，（3）∵{b2n﹣1{b2n}是首项b2=8，公比q=8的等比数列，则（i）当n=2k（k∈N*）时，T n=T2k=（b1+b3+…+b2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k）===．（ii）当n=2k﹣1（k∈N*）时，T n=T2k﹣1=T2k﹣b2k===．即．假设存在正整数n满足条件，则=1+=，∴．则（i）当n=2k（k∈N*）时，===，解得8k=8，k=1．即当n=2时，满足条件．（ii）当n=2k﹣1（k∈N*）时，====，解得8k=，∵k∈N*，∴此时无满足条件的正整数n．综上所述，当且仅当n=2时，．【点评】本题考查数列通项公式的求法，考查正整数是否存在的探究．考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．23．（20分）设点F是抛物L：y2=2px（p＞0）的焦点，P1，P2，…，P n是抛物线L上的n个不同的点n（n≥3，n∈N*）．（1）当p=2时，试写出抛物线L上三点P1、P2、P3的坐标，时期满足；（2）当n≥3时，若，求证：；（3）当n＞3时，某同学对（2）的逆命题，即：“若，则”开展了研究并发现其为假命题．请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：1．试构造一个说明该命题确实是假命题的反例；2．对任意给定的大于3的正整数n，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由：3．如果补充一个条件后能使该命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；F9：分析法和综合法；KI：圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题．【分析】（1）抛物线l的焦点为F（，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），利用抛物线的定义可得x1+x2+x3=3，故可取满足条件的三点；（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，P n（x n，y n），分别过P1、P2、P3，…，P n作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Q n，利用抛物线的定义可得x1+x2+x3+…+x n=，从而可证=np（3）①取n=4时，抛物线l的焦点为F（，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，利用抛物线的定义，可得x1+x2+x3+x4=2p，从而可得结论；②设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，P n（x n，y n），分别过P1、P2、P3，…，P n作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Q n，利用抛物线的定义，可得x1+x2+x3+…+x n=，从而可得结论；③补充条件：点P i的纵坐标满足y1+y2+…+y n=0，即当n＞3时，，点P i的纵坐标满足y1+y2+…+y n=0，则．【解答】解：（1）抛物线l的焦点为F（，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），分别过P1、P2、P3作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，∴=（x1+）+（x2+）+（x3+）=x1+x2+x3+=6∵p=2，∴x1+x2+x3=3故可取P1（），P2（1，2），P3（，）满足条件；（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，P n（x n，y n），分别过P1、P2、P3，…，P n作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Q n ∴=（x1+）+（x2+）+（x3+）+…+（x n+）=x1+x2+x3+…+x n+∵∴x1+x2+x3+…+x n=∴=+=np（3）①取n=4时，抛物线l的焦点为F（，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，∴=x1+x2+x3+x4+2p=4p∴x1+x2+x3+x4=2p不妨取，，，，则故，，，是一个当n=4时，该逆命题的一个反例；②设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，P n（x n，y n），分别过P1、P2、P3，…，P n作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Q n∵，∴x1+x2+x3+…+x n+=np，∴x1+x2+x3+…+x n=因为上述表达式与点的纵坐标无关，所以将这n点都取在x轴的上方，则它们的纵坐标都大于0，则=（0，y1+y2+…+y n）≠③补充条件：点P i的纵坐标满足y1+y2+…+y n=0，即当n＞3时，，点P i的纵坐标满足y1+y2+…+y n=0，则由②知，命题为真．【点评】本题考查抛物线的定义，考查向量的运算，解题的关键是正确运用抛物线的定义，难度较大．。
2012年上海市高考数学试卷理科学生版
2012年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（56分）：=上海）计算：（i为虚数单位）．（1．4分）（2012?2．（4分）（2012?上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=．．的值域是=）（x分）（2012?上海）函数f3．（4的倾斜角ll的一个法向量，则2，1）是直线4．（分）（2012?上海）若=（﹣4．（结果用反三角函数值表示）的大小为的二项展开式中，常数项等于分）4（2012?上海）在．5．（6．（4分）（2012?上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V，V，…，V，…，则（V+V+…+V）═．n211n2xa||﹣（a为常数）．若f（）2012?上海）已知函数f（x=ex）在区间[1，47．（分）（+∞）上是增函数，则a的取值范围是．8．（4分）（2012?上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．2是奇函数，且f（1）=1，若+xg（x）=f上海）已知9．（4分）（2012?y=f（x）（x）+2，则g（﹣1）=．10．（4分）（2012?上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极．的形式，则f（θ）=）的极坐标方程写成a=轴的夹角，若将lρ=f（θ上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人（2012?分）11．（4都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是．（结果用最简分数表示）的长分别、，边中，∠上海）在平行四边形（4．12（分）2012?ABCDA=ABAD 的CD上的点，且满足=，则，为2、1若M、N分别是边BC、取值范围是．13．（4分）（2012?上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．14．（4分）（2012?上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．：20分）二、选择题（2的一个复数+c=0+bx是关于1+ix的实系数方程x15．（5分）（2012?上海）若）根，则（1﹣b=2，c=，c=﹣1D．﹣，c=3B．b=﹣2，c=3C．b=2．Ab=2222的形状是ABCCsin＜Bsin5分）（2012?上海）在△ABC中，若sin，则△A+．16（）（．不能确定DC．钝角三角形A．锐角三角形B．直角三角形54取值，随机变量x=10ξx＜x＜x≤10，1017．（5分）（2012?上海）设≤x＜125134、、取值、的概率均为0.2，随机变量ξ、x、x、xx、x242315）（ξ分别为、ξ的方差，则、，、的概率也均为0.2若记DξDξ2211 Dξ＞DξA．21=Dξ．BDξ21DξDξ＜．C21．D．Dξ与Dξ的大小关系与x、x、x、x的取值有关41322118．（5分）（2012?上海）设a=sin，S=a+a+…+a，在S，S，…S中，正100n21n12n数的个数是（）A．25B．50C．75D．100分）三、解答题（共小题，满分745PA中，底面ABCDABCD是矩形，分）（2012?上海）如图，在四棱锥P﹣1219．（，求：，PA=2PC的中点，已知AB=2，AD=2是⊥底面ABCD，E的面积；）三角形PCD（1所成的角的大小．AE（2）异面直线BC与）+1）=lg（x14分）（2012?上海）已知f（x20．（的取值范围；x）＜1，求x1﹣2x）﹣f（f（1）若0＜（，求函）（xg（x）=f0g（x）是以2为周期的偶函数，且当≤x≤1时，2（）若）的反函数．2]∈[1，y=g数（x）（x上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前2012?14分）（（21．海里为单1位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以处，如图，现假设：A12海里位长度），则救援船恰好在失事船正南方向；①失事船的移动路径可视为抛物线②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；7t小时后，失事船所在位置的横坐标为③救援船出发t的纵坐标，若此时两船恰好会合，求P）当t=0.5时，写出失事船所在位置1（救援船速度的大小和方向．）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（222．y：2x=1﹣分）（2012?上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C22．（16 1xC的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及1）过C的左顶点引（11轴围成的三角形的面积；22OP=1+y相切，求证：P、Q两点，若l与圆x1（2）设斜率为的直线l交C于1；⊥OQ22，求ONOMC上的动点，且⊥M、N分别是C（3）设椭圆C：4x+y、=1，若212的距离是定值．MN证：O到直线x＜＜x}…，x，其中02012?（上海）对于数集X={﹣1，x，x，23．（18分）2211n存在，，}若对任意，t∈Xsnx，≥2，定义向量集Y={=（s，t），∈X＜＜…n．}2具有性质P．例如，则称X具有性质P{﹣1，1，，使得的值；，求1，，2，x}具有性质Px{x（1）若＞2，且﹣1；x1时，=1＞∈具有性质（2）若XP，求证：1X，且当x1n的，x，，求有穷数列q=qx=1xPX3（）若具有性质，且、（为常数）x…，x n1221通项公式．。
2012年上海市高考数学试卷及解析
2012年上海市高考数学试卷及解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1、计算：31ii-=+ （i 为虚数单位） 2、若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则A B ⋂＝ 3、函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）5、一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6、方程14230x x +--=的解是7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++=8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= 10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CNBC CD=，则AM AN ⋅ 的取值范围是13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为14、已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15、若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-= 16、对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件17、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定 18、若2sin sin...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A 、16B 、72C 、86D 、100三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2π，2AB =，AC =2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） PA DB C20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知()lg(1)f x x =+（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？A22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y -=（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若MF =M 的坐标； （2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k （k <l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP ⊥OQ23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =）（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-。
2012年上海市奉贤区高考数学一模试卷(理科) 含详解
2012年上海市奉贤区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（每题4分，56分）1．（4分）不等式的解集是（用区间表示）．2．（4分）函数y=cos22x﹣sin22x的最小正周期是．3．（4分）过点（3，2）且一个法向量为的直线的点法向式方程为．4．（4分）集合A=（1，2]，集合B={x|x＜a}，满足A⊊B，则实数a的范围是．5．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是．6．（4分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则正数a的值为．7．（4分）已知无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，则公比q=．8．（4分）函数y=lg（x2+1），x≥0的反函数是．9．（4分）若，，且与垂直，则向量与的夹角大小为．10．（4分）函数y=sinx+cosx（x∈[0，]）的单调递增区间．11．（4分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．12．（4分）有这么一个数学问题：“已知奇函数f（x）的定义域是一切实数R，且f（m）=2，f（m2﹣2）=﹣2，求m的值”．请问m的值能否求出，若行，请求出m的值；若不行请说明理由（只需说理由）．．13．（4分）对于数列{a n}，如果存在最小的一个常数T（T∈N*），使得对任意的正整数恒有a n+T=a n成立，则称数列{a n}是周期为T的周期数列．设m=qT+r，（m，q，T，r∈N*），数列前m，T，r项的和分别记为S m，S T，S r，则S m，S T，S r三者的关系式．14．（4分）设函数，则方程有个实数根．二、选择题（每题4分，16分）15．（4分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限16．（4分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C．D．17．（4分）下列函数中不能用二分法求零点的是（）A．f（x）=3x﹣1B．f（x）=x3C．f（x）=|x|D．f（x）=lnx 18．（4分）将两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，另一个顶点（2p，0），这样的正三角形有（）A．0个B．2个C．4个D．1个三、解答题（10分+10分+12分+12分+16分+18分）19．（10分）已知锐角△ABC中，三个内角为A、B、C，向量，，∥，求∠A的大小．20．（10分）关于x的不等式的解集为（﹣1，2）．（1）求实数m的值；（2）若实系数一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，求n．21．（12分）已知直角坐标平面内点F1（﹣2，0），F2（2，0），一曲线C经过点P，且．（1）求曲线C的方程；（2）设A（1，0），若，求点P的横坐标的取值范围．22．（12分）函数，定义f（x）的第k阶阶梯函数，其中k∈N*，f（x）的各阶梯函数图象的最高点P k（a k，b k），最低点Q k（c k，d k）．（1）直接写出不等式f（x）≤x的解；（2）求证：所有的点P k在某条直线L上．（3）求证：点Q k到（2）中的直线L的距离是一个定值．23．（16分）出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼﹣闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如（x，y）的有序实数对，直线还是满足ax+by+c=0的所有（x，y）组成的图形，角度大小的定义也和原来一样．直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）定义它们之间的一种“距离”：|AB|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，请解决以下问题：（1）求线段x+y=2（x≥0，y≥0）上一点M（x，y）的距离到原点O（0，0）的“距离”；（2）定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆周”上的所有点到点Q（a，b）的“距离”均为r的“圆”方程；（3）点A（1，3）、B（6，9），写出线段AB的垂直平分线的轨迹方程并画出大致图象．（说明所给图形小正方形的单位是1）24．（18分）正数列{a n}的前n项和S n满足：rS n=a n a n+1﹣1，a1=a＞0，常数r∈N．（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列，求该数列的周期；（3）若数列{a n}是一个有理数等差数列，求S n．2012年上海市奉贤区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，56分）1．（4分）不等式的解集是（1，2）（用区间表示）．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【专题】11：计算题．【分析】先将2移项，然后通分，利用同解变形将不等式化为（x﹣2）（x﹣1）＜0，利用二次不等式的解法求出解集．【解答】解：不等式同解于：，即，即（x﹣2）（x﹣1）＜0，解得1＜x＜2，所以不等式的解集是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查解决分式不等式时，先通过移项，将右边化为0，然后通过同解变形将分式不等式化为整式不等式来解，属于基础题．2．（4分）函数y=cos22x﹣sin22x的最小正周期是．【考点】GS：二倍角的三角函数；H1：三角函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】利用二倍角的余弦将y=cos22x﹣sin22x转化为y=cos4x即可求得其最小正周期．【解答】解：∵y=cos22x﹣sin22x=cos4x，∴其最小正周期T==．故答案为：．【点评】本题考查二倍角的余弦，考查三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．（4分）过点（3，2）且一个法向量为的直线的点法向式方程为3（x﹣3）+2（y﹣2）=0．【考点】9J：平面向量的坐标运算；IB：直线的点斜式方程．【专题】11：计算题．【分析】求出直线的方向向量，利用直线的法向量，及向量的数量积即可得到结论．【解答】解：在直线上任取一点（x，y），则直线的方向向量为（x﹣3，y﹣2）∴直线的法向量为∴3（x﹣3）+2（y﹣2）=0故答案为：3（x﹣3）+2（y﹣2）=0【点评】本题考查向量知识的运用，考查直线的方向向量，属于基础题．4．（4分）集合A=（1，2]，集合B={x|x＜a}，满足A⊊B，则实数a的范围是（2，+∞）．【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【专题】11：计算题．【分析】根据集合A=（1，2]，集合B={x|x＜a}，满足A⊊B，考查区间的端点大小关系可得a＞2，从而得到实数a的范围．【解答】解：∵集合A=（1，2]，集合B={x|x＜a}，满足A⊊B，∴a＞2，故答案为（2，+∞）．【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，集合间的包含关系的应用，属于基础题．5．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是y2=8x．【考点】K7：抛物线的标准方程．【专题】11：计算题．【分析】根据抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，可设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），从而可求抛物线的方程．【解答】解：∵抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2∴可设抛物线的方程为y2=2px（p＞0）∵∴2p=8∴抛物线的方程为y2=8x故答案为：y2=8x【点评】本题重点考查抛物线的方程，解题的关键是根据抛物线的性质，设出抛物线的方程．6．（4分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则正数a的值为2．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】确定双曲线的渐近线方程，与条件比较，即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±即3x±ay=0∵双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，∴a=2故答案为：2【点评】本题考查双曲线的几何性质，解题的关键是正确求出双曲线的渐近线，属于基础题．7．（4分）已知无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，则公比q=．【考点】8J：数列的极限．【专题】11：计算题．【分析】设数列中的任意一项为a，利用无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，建立方程，即可求得公比．【解答】解：设数列中的任意一项为a，则∵无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，∴a=∴1﹣q=q∴q=故答案为：【点评】本题考查数列的极限，解题的关键是利用无穷等比数列的求和公式，属于中档题．8．（4分）函数y=lg（x2+1），x≥0的反函数是．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】从条件中函数式y=lg（x2+1），x≥0中反解出x，再将x，y互换即得，最后注意要写出反函数的定义域．【解答】解：∵y=lg（x2+1），x≥0，∴x=∴函数y=lg（x2+1）（x≥0）的反函数为．故答案为．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Φ（y）；（2）交换x=Φ（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．9．（4分）若，，且与垂直，则向量与的夹角大小为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题．【分析】利用两个向量垂直的性质可得（）•=0，求得cosθ的值，进而求得θ的值．【解答】解：设向量与的夹角大小为θ，则由题意可得（）•=++=1+1×2×cosθ=0，∴cosθ=﹣．再由0≤θ＜π可得θ=，故答案为．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，根据三角函数的值求角，属于中档题．10．（4分）函数y=sinx+cosx（x∈[0，]）的单调递增区间．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HM：复合三角函数的单调性．【专题】11：计算题．【分析】由于y=2sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，结合x∈[0，]即可得到答案．【解答】解：∵y=sinx+cosx=2sin（x+），∴由2kπ﹣≤x+≤2kπ+得其单调递增区间为：[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z），又x∈[0，]，∴y=2sin（x+）在x∈[0，]的单调递增区间为[0，]．故答案为：[0，]．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，考查复合三角函数的单调性，掌握正弦函数的单调性是关键，属于中档题．11．（4分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10．【考点】EF：程序框图．【专题】27：图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S n是否继续循环循环前01第一圈02是第二圈33是第三圈54是第四圈105否此时S值为10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．12．（4分）有这么一个数学问题：“已知奇函数f（x）的定义域是一切实数R，且f（m）=2，f（m2﹣2）=﹣2，求m的值”．请问m的值能否求出，若行，请求出m的值；若不行请说明理由（只需说理由）．不行，因为缺少条件：y=f（x）是单调的，或者是y与x之间是一一对应的．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】若函数y=f（x）是单调函数，则由f（m）=2，f（m2﹣2）=﹣2可得m2﹣2=﹣m，从而求得m的值．若函数y=f（x）不是单调函数，则不行，例如当f（x）=4sinx．【解答】解：若函数y=f（x）是单调函数，则由f（m）=2，f（m2﹣2）=﹣2可得m2﹣2=﹣m，从而求得m的值．若函数y=f（x）不是单调函数，则由f（m）=2，f（m2﹣2）=﹣2，不能推出m2﹣2=﹣m，例如当f（x）=4sinx时，满足f（m）=2的m有无数个，满足f（m2﹣2）=﹣2的m2﹣2也有无数个．故答案为：“不行，因为缺少条件：y=f（x）是单调的，或者是y与x之间是一一对应的”．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的性质，属于基础题．13．（4分）对于数列{a n}，如果存在最小的一个常数T（T∈N*），使得对任意的正整数恒有a n+T=a n成立，则称数列{a n}是周期为T的周期数列．设m=qT+r，（m，q，T，r∈N*），数列前m，T，r项的和分别记为S m，S T，S r，则S m，S T，S r三者的关系式S m=qS T+S r．【考点】F9：分析法和综合法．【专题】2A：探究型．【分析】根据数列{a n}是周期为T的周期数列，m=qT+r，可得S m=（a1+a2+…+a T）+（a1+T+a2+T+…+a2T）+…+（a1+（q﹣1）T+a2+（q﹣1）T+…+a qT）+（a1+qT+a2+qT+…+a r+），从而可得结论．（q+1）T【解答】解：∵数列{a n}是周期为T的周期数列，m=qT+r，∴S m=（a1+a2+…+a T）+（a1+T+a2+T+…+a2T）+…+（a1+（q﹣1）T+a2+（q﹣1）T+…+a qT）+（a1+qT+a2+qT+…+a r+（q+1）T）=qS T+S r∴S m=qS T+S r，故答案为：S m=qS T+S r【点评】本题考查周期数列，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是理解周期数列的定义．14．（4分）设函数，则方程有2n+1个实数根．【考点】&T：函数迭代；53：函数的零点与方程根的关系．【专题】2A：探究型．【分析】利用归纳法思想，先令n=1，可知方程22=4个根，再考虑当n=k+1时，会有f k+1（x）=±[f k（x）﹣]=，依此类推，每个方程去掉绝对值符号，都对应两个方程，而每个方程又会有两个根，由此可得结论．【解答】解：先令n=1，则有：|f0（x）﹣|=，∴或，可知有22=4个根；于是当n=k+1时，会有f k+1（x）=±[f k（x）﹣]=，依此类推，每个方程去掉绝对值符号，都对应两个方程，而每个方程又会有两个根，从而可以得到有2n+1个根．故答案为：2n+1．【点评】本题考查函数的迭代，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、选择题（每题4分，16分）15．（4分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．【分析】先将复数z进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限．【解答】解：∵==﹣i∴复数在复平面对应的点的坐标是（，﹣）∴它对应的点在第四象限，故选：D．【点评】判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果．16．（4分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C．D．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】15：综合题．【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C 错∵ab＞0∴故选：D．【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：一正、二定、三相等．17．（4分）下列函数中不能用二分法求零点的是（）A．f（x）=3x﹣1B．f（x）=x3C．f（x）=|x|D．f（x）=lnx 【考点】51：函数的零点；55：二分法的定义与应用．【专题】4B：试验法．【分析】逐一分析各个选项，观察它们是否有零点，函数在零点两侧的符号是否相反．【解答】解：f（x）=3x﹣1是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；f（x）=x3也是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；f（x）=lnx也是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；f（x）=|x|不是单调函数，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求零点．故选：C．【点评】函数能用二分法求零点必须具备2个条件，一是函数有零点，而是函数在零点的两侧符号相反．18．（4分）将两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，另一个顶点（2p，0），这样的正三角形有（）A．0个B．2个C．4个D．1个【考点】K8：抛物线的性质．【专题】31：数形结合．【分析】根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直线，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形，可知当等边三角形关于x轴轴对称时，有两个．【解答】解：y2=2px（P＞0）等边三角形的一个顶点位于（2p，0），另外两个顶点在抛物线上，则当等边三角形关于x轴轴对称时两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x﹣2p），每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形，这样的正三角形有2个，图中黑色的两个．两个顶点同时在抛物线上方如图中蓝色，或同时在下方各一个如图中绿色，故选：C．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质和数形结合思想，主要是利用抛物线和正三角形的对称性．三、解答题（10分+10分+12分+12分+16分+18分）19．（10分）已知锐角△ABC中，三个内角为A、B、C，向量，，∥，求∠A的大小．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示；GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】直接通过两个向量平行的坐标运算，求出A的三角函数值，然后求出A 的大小．【解答】解：，又∥∴（2﹣2sinA）（1+sinA）﹣（cosA+sinA）（sinA﹣cosA）=0，4sin2A﹣3=0，∴又∠A为锐角，则∴∠A=60°【点评】本题考查平面向量的平行的坐标运算，以及三角函数的恒等变换，考查计算能力．20．（10分）关于x的不等式的解集为（﹣1，2）．（1）求实数m的值；（2）若实系数一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，求n．【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系；A1：虚数单位i、复数；O1：二阶矩阵．【专题】11：计算题．【分析】（1）由行列式的运算法则，得原不等式即x2+mx﹣2＜0，而不等式的解集为（﹣1，2），采用比较系数法，即可得到实数m的值．（2）由一元二次方程根与系数的关系列式，结合复数的运算法则和已知条件，不难求出n的值．【解答】解：（1）原不等式等价于x（x+m）﹣2＜0，即x2+mx﹣2＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由题意得不等式的解集为（﹣1，2），而解集为（﹣1，2）的一个不等式为：x2﹣x﹣2＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）比较系数得m=﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）根据一元二次方程的根与系数关系，得，结合得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴n=x1x2=•=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】本题以二阶行列式为载体，着重考查了一元二次不等式的解集和一元二次方程根与系数关系等知识，属于基础题．21．（12分）已知直角坐标平面内点F1（﹣2，0），F2（2，0），一曲线C经过点P，且．（1）求曲线C的方程；（2）设A（1，0），若，求点P的横坐标的取值范围．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】（1）由椭圆的定义，可得所求曲线C是焦点在F1、F2的椭圆，2a=6，由此不难求出椭圆的标准方程，即曲线C的方程；（2）设点P（x，y），利用直角坐标系中两点的距离公式，将PA长表示为x、y 的式子，再用椭圆方程消去y，可得关于x的式子，代入并解之，最后结合椭圆上点横坐标取值范围，可得点P的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）根据定义知曲线C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）设椭圆方程为，2a=6，a=3，c=2，∴b2=9﹣4=5，可得椭圆方程为，即所求曲线C的方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）设点P（x，y），由两点的距离公式，得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵，∴，解之得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）因为点P在椭圆上，所以﹣3≤x≤3取交集得点P的横坐标的取值范围是：[0，3]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题给出椭圆上一个动点到点A（1，0）的距离小于定长，求该点横坐标的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．22．（12分）函数，定义f（x）的第k阶阶梯函数，其中k∈N*，f（x）的各阶梯函数图象的最高点P k（a k，b k），最低点Q k（c k，d k）．（1）直接写出不等式f（x）≤x的解；（2）求证：所有的点P k在某条直线L上．（3）求证：点Q k到（2）中的直线L的距离是一个定值．【考点】7E：其他不等式的解法；IT：点到直线的距离公式．【专题】11：计算题．【分析】（1）按分段函数分段标准讨论x，然后解不等式f（x）≤x即可；（2）先求出函数f k（x）的解析式，然后研究函数f k（x）的单调性，从而得到f （x）的第k阶阶梯函数图象的最高点P k的坐标，然后求出过P k P k+1这两点的直线的斜率和过P k+1P k+2这两点的直线的斜率，可证得所有的点P k在某条直线L上．（3）先求出求得最低点，利用点到直线L的距离公式求得结果为定值．【解答】解：（1）当x∈[0，]时，故不等式f（x）=x+≤x，x无解；当x∈[，1]时，f（x）=2（1﹣x）≤x，解得x∈．不等式f（x）≤x的解集为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由f（x）的第k阶阶梯函数的定义可得，k∈N*．﹣﹣﹣﹣（6分）且．∴f（x）的第k阶阶梯函数图象的最高点为，﹣﹣﹣﹣﹣（7分）第k+1阶阶梯函数图象的最高点为，所以过P k P k+1这两点的直线的斜率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）同理可得过P k+1P k+2这两点的直线的斜率也为．所以f（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线，且直线方程为，即2x+4y﹣5=0．﹣﹣﹣﹣（10分）（3）证明：同理求得最低点：，点Q k到（2）中的直线L的距离为．﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题主要考查了分段函数的性质，以及函数的单调性和最值，同时考查了分类讨论的数学思想和运算求解的能力，属于中档题．23．（16分）出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼﹣闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如（x，y）的有序实数对，直线还是满足ax+by+c=0的所有（x，y）组成的图形，角度大小的定义也和原来一样．直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）定义它们之间的一种“距离”：|AB|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，请解决以下问题：（1）求线段x+y=2（x≥0，y≥0）上一点M（x，y）的距离到原点O（0，0）的“距离”；（2）定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆周”上的所有点到点Q（a，b）的“距离”均为r的“圆”方程；（3）点A（1，3）、B（6，9），写出线段AB的垂直平分线的轨迹方程并画出大致图象．（说明所给图形小正方形的单位是1）【考点】F5：演绎推理．【专题】11：计算题．【分析】（1）利用“距离”的定义能够求出线段x+y=2（x≥0，y≥0）上一点M （x，y）的距离到原点O（0，0）的“距离”．（2 ）利用“圆”的概念，能够求出“圆周”上的所有点到点Q（a，b）的“距离”均为r的“圆”的方程．（3）由已知条件，得|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9，由此能够求出线段AB的垂直平分线的轨迹方程并画出大致图象．【解答】解：（1）∵任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）定义它们之间的一种“距离”：|AB|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，∴线段x+y=2（x≥0，y≥0）上一点M（x，y）的距离到原点O（0，0）的“距离”：MO=|x﹣0|+|y﹣0|=|x|+|y|=x+y=2．…（3分）（2 ）∵“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，∴“圆周”上的所有点到点Q（a，b）的“距离”均为r的“圆”方程为：|x﹣a|+|y﹣b|=r…（6分）（3）由已知条件得|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9|…（8分）若x≤1，则y=8.5 …（10分）若1≤x≤6，则x+y=9.5 …（12分）若6≤x，则y=3.5 …（14分）图象如右图所示．…（16分）【点评】本题考查“距离”的定义，“圆”的概念，写出线段AB的垂直平分线的轨迹方程并画出大致图象．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．24．（18分）正数列{a n}的前n项和S n满足：rS n=a n a n+1﹣1，a1=a＞0，常数r∈N．（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列，求该数列的周期；（3）若数列{a n}是一个有理数等差数列，求S n．【考点】3Q：函数的周期性；8H：数列递推式．【专题】15：综合题．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以，化简2a2﹣ar﹣2=0，是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】证明：（1）∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．…（4分）（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，∴，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，，a+r，，a+2r，，…当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，所以r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，a，，a，，…所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，当a=1时，该数列的周期是1．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以化简2a2﹣ar﹣2=0，是有理数．设，是一个完全平方数，设为r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时，或者，等差数列的前几项：a，，，，…，，因为数列{a n}是一个有理等差数列是一个自然数，a=1，r=0，a n=1，S n=n，此时，．【点评】本题考查数列知识的综合应用，是对数列知识的综合考查，属于数列中的难题．一般数列出大题，要么是非常容易，在第一第二大题；要么就是很难的题目．。
2012年高考数学试卷及解析上海卷(文科)
2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）3、函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -=二、选择题（本大题共有4题，满分20分）17、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定 18、若2sin sin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A 、16B 、72C 、86D 、100 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知()lg(1)f x x =+（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）【试卷总评】本试卷遵循考纲的要求，保持了近几年的命题风格，注重基础检测，深化能力立意，突出思维考查。
试卷覆盖了高中数学的主干内容，在题型、题量、难度等方面保持了相对稳定，重视对数学思想方法的考查，着重考查了思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新意识，体现了“多考点想，少考点算”的命题理念。
试题能较好地检测考生的数学素养和进入高等学校继续学习的潜能，有利于高校选拔新生，有利于中学实施素质教育，有利于向新课程高考过渡。
上海青浦区2012届高三一模数学试题及答案
上海市青浦区2012届高三上学期期终学习质量调研测试数学试题2012.1（满分150分，答题时间120分钟）学生注意：1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．3． 可使用符合规定的计算器答题．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，{}032<-=x x x A ，{}2>=x x B ，则=B C A U ．2．已知a 是实数，ii a +-1是纯虚数，则=a ． 3．方程)14lg()525lg(-=-⋅x x 的解是 =x ．4．6)2(+x 的展开式中2x 项的系数为 ． 5．直线l 过抛物线px y 22=）（0>p 的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是 ．6．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则9876a a a a ++等于 ．7．设+∈R b a ,，则()=++∞→n n n n b a b a lim ．8．已知命题“03211111=a a”是命题“a A ∈”的必要非充分条件, 请写出一个满足条件的非空集合=A ．9．定义某种新运算⊗：a S =⊗b 的运算原理如右边流程图所示，则5⊗4－3⊗4＝ ．10．已知三棱柱111C B A ABC -的体积为330cm ，P 为其侧棱1BB 上的任意一点，则四棱锥A CC A P 11-的体积为____________3cm ．11．某班级有38人，现需要随机抽取2人参加一次问卷调查，那么甲同学选上，乙同学未选上的概率是 （用分数作答）．12．已知二次函数)(x f y =的图像为开口向下的抛物线，且对任意R x ∈都有)1(x f - )1(x f +=．若向量)1,(-=m ，)2,(-=m ，则满足不等式)1()(->⋅f f 的m 取值范围为 ．13．已知平面区域|)||(|4:221y x y x C +≤+，则平面区域1C 的面积为 ．14．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数)(x f 的图象恰好经过k 个格点，则称函数)(x f 为k 阶格点函数.下列函数：①x x f cos )(=；②3)1()(2+-=x x f π； ③xx f )31()(=；④.log )(32x x f =其中是一阶格点函数的有 （填上所有满足题意的序号）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设集合10x A x x a ⎧-⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，集合{}12>-=x x B ，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ………………………………………………………………………………………（ ）． A .1a ≤ .B 3≤a C . 31≤≤a D . 3≥a16．在边长为１的正六边形654321A A A A A A 中，5331A A A A ⋅的值为………………（ ）． A .23 .B 23- C . 233 D . 233- 17．函数)0,0)(cos(3πϕωϕω<<>+=x y 为奇函数，B A 、分别为函数图像上相邻的最高点与最低点，且4=AB ，则该函数的一条对称轴为…………………………………（ ）．A .1=x .B 2=xC . 2π=x D .π2=x18．已知椭圆191622=+y x 及以下３个函数：①x x f =)(；②x x f sin )(=；③x x x f sin )(=，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有………………………（ ）．A .０个.B １个 C .２个 D .３个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 如图：三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3π，若M 是BC 的中点，求： （1）三棱锥ABC P -的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别a 、b 、c ，已知5a b +=，c =且12cos sin 2sin 2sin 2=+⋅+C C C C .（1）求角C 的大小；（2）求ABC ∆的面积.21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 我们已经学习过如下知识：平面内到两个定点21F F 、的距离和等于常数)2(221F F a a >的点的轨迹叫做椭圆；平面内到两个定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数)2(221F F a a <的点的轨迹叫做双曲线．（1）试求平面内到两个定点21F F 、的距离之商为定值)10(≠>a a a 且的点的轨迹； 提示：取线段21F F 所在直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 设21F F 、的坐标分别为)0,(),0,(c c -其中c F F 221=P（2）若ABC ∆中，满足BC AC AB 2,4==，求三角形ABC 的面积的最大值.22．(本题满分16分) 本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分6分.定义在R 上的奇函数()f x 有最小正周期4，且()0,2x ∈时，142)(+=x xx f （1）判断并证明()f x 在()0,2上的单调性，并求()f x 在[]2,2-上的解析式；（2）当λ为何值时，关于x 的方程()f x λ=在[]6,2上有实数解？23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设3>m ，对于项数为m 的有穷数列{}n a ，令k b 为)(,,,21m k a a a k ≤ 中最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数)3(,,2,1>m m 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c ．（1）若4=m ，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列{}n c ；（2）是否存在数列{}n c 的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．（3）是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列{}n c 的个数；若不存在，请说明理由．参考答案 Q.2012.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1． {}20≤<x x 2． 1=a 3． 2=x 4． 60 5． x y 82= 6． 223- 7． 0 8． {}1=A 或{}4=A 9． 9 10．320cm11． 70336 12．10<≤m 13．π1632+ 14． ①②④二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．C 16． B 17． A 18． C三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 解：（1）因为⊥PA 底面ABC ，PB 与底面ABC 所成的角为3π， 所以 3π=∠PBA ……………………2分因为2=AB ，所以32=PA ……………………4分2324433131=⋅⋅⋅=⋅=∆-PA S V ABC ABC P ……………6分 （2）连接PM ，取AB 的中点，记为N ，连接MN ，则AC MN //所以PMN ∠为异面直线PM 与AC 所成的角或其补角（或直线MN 和PM 所成角等于异面直线PM 与AC 所成的角）…………8分 计算可得：13=PN ，1=MN ，15=PM ……………………10分 101515213151cos =-+=∠PMN ……………………11分 异面直线PM 与AC 所成的角为1015arccos． ……………………12分20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 解：（1）∵12cos sin 2sin 2sin 2=+⋅+C C C C .∴224sin cos C C ⋅222sin cos 2sin 0C C C +⋅-=……………………２分 sin 0C ≠ 22c o s c o s 10C C ∴+-= cos 1C ∴=-（舍）或1cos 2C =………4分 3C π∴= …………………………………6分（2）2221cos cos 322a b c C ab π+-===22()22a b ab c ab +--= 又∵5a b +=，c =∴6ab = ……………………………10分∴11sin 6222S ab C ==⨯⨯2= ……………………………14分 21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 解：（1）取线段21F F 所在直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，P设21F F 、的坐标分别为)0,(),0,(c c -c F F 221=． 设动点坐标),(y x M …………1分 根据题意可得a MF MF =21)10(≠>a a 且 ………………………………２分221)(y c x MF ++= ，222)(y c x MF +-=即[]22222)()(y c x a y c x +-=++ ………………………………４分 整理得222222)12()1)1((-=+-+-a ac y a a c x ………………………………５分 所以平面内到两个定点21F F 、的距离之商为定值)10(≠>a a a 且的点的轨迹是圆． （用a MF MF =12)10(≠>a a 且，最后整理得222222)12()1)1((-=+-++a ac y a a c x 相应给分，其它情形酌情给分） ………………………………６分（2）取线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，设 B A 、的坐标分别为)0,2(),0,2(-．设顶点0,),(≠y y x C ，根据题意可得2=BC AC22)2(y x AC ++= ，22)2(y x BC +-=即[]2222)2(2)2(y x y x +-=++整理得)0(32)6(22≠=+-y y x即点C 落在除去两点的圆32)6(22=+-y x 上．……………10分 又C C ABC y y AB S 221=⋅=∆，240≤<C y ……………12分 28)(max =∴∆ABC S ……………14分22．(本题满分16分) 本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分6分. 解：（1）)(x f 在()0,2上为减函数。
上海崇明2012高考模拟考试试卷及答案—数学(理)
图2上海市崇明县2012年高考模拟考试试卷及答案—数学（理科）（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1． 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2． 答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚； 3． 本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，满分56分，只需将结果写在答题纸上）1、已知a R ∈，若(32)(32)i ai i +--（i 为虚数单位）为纯虚数，则a 的值等于 ．2、若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= ． 3、直线230ax y a ++=与直线3(1)7x a y a +-=-平行，则实数a = ． 4、已知函数1()y f x -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= ．（要求写明自变量的 取值范围） 5、已知全集{}{}22,|20,|log 10,U R A x x x B x x ==-<=+≥则()UA CB = ．6、如图所示的算法流程图中，若2()23,()f x x g x x =+=，若输出2()h a a =，则a 的取值范围是 ． 7、在直角ABC ∆中，90C ∠=，30A ∠=，1BC =，D 为斜边AB 的中点，则AB CD ⋅= ．8、某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5．现从一批该日用品中抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f 的分布表如下：则在所抽取的200件日用品中，等级系数1X =的件数为 ________．9、若2(2n x -展开式的各项系数和为712- 10、已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比:VV =圆柱球 ．（用数值作答） 11、若数列{}n a 满足21211(),1,22n n an N a a a *+=-∈==，则()12lim n n a a a →∞+++=．12、在极坐标系中，已知点4(2,),(2,)3A B ππ，C 是曲线2sin ρθ=上任意一点，则ABC ∆的面积的最小值等于 ．13、某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为45，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为m ，n ，且不同种产品是否受欢迎相互独立．记ξ为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为则m n += ． 14、给出定义：若1122m x m -<+≤（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x m =，在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：①函数()y f x =的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；③函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1；④函数()y f x =的图像关于直线2k x =()k Z ∈对称．其中正确命题的序号是 ．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题给出四个选项，其中有且只有一个结论是正确的，选对并将答题纸对应题号上的字母涂黑得5分，否则一律得零分） 15、()(cos2cos sin 2sin )sin f x x x x x x =+，x R ∈，则()f x 是 ……………………………（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数16、“1m <”是“函数2()2f x x x m =++有零点”的………………………………………（ ） A ．充要条件B. 必要非充分条件C ．充分非必要条件D. 既不充分也不必要条件17、已知复数w 满足2w i =-（i 为虚数单位），复数52z w w=+-，则一个以z 为根的实系数一元二次方程是……………………………………………………………………………（ ） A ．26100x x ++= B. 26100x x -+=C ．26100x x +-=D. 26100x x --=18、若已知曲线1C :2218y x -=(0,0)x y ≥≥，圆2C : 22(3)1x y -+=，斜率为(0)k k > 的直线l与圆2C 相切，切点为A ，直线l 与曲线1C 相交于点B，AB =AB 的斜率为………………………………………………………………………………………………（ ） A ．1B ．12CD三、解答题（本大题共5小题，满分74分。
数学_2012年上海市徐汇区高考数学一模试卷(文科)_(含答案)
2012年上海市徐汇区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1. 已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(4, −3)，则cosα=________．2. 函数y =log 2(x −m)+1的反函数的图象经过点(1, 3)，则实数m =________．3. 若全集U ={x||x −1|<3, x ∈Z}，A ={1, 2, 3}，C U B ={−1, 3}，则A ∩B ________．4. 从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：克）125、124、122、123、126，则该样本方差s 2=________．5. 一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是________cm 3．6. 已知tan(x +π4)=2，则tanx tan2x 的值为( )A 94B 49C 3D 13 7. 根据如图所示的程序框图，输出结果i =________．8. 从{1, 2, 3, 4, 5}中随机选取一个数为a ，从{1, 2, 3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是________．9. 若(x +12x )n 的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中x 4项的系数为________．10. 已知函数f(x)=x 2−1的定义域为D ，值域为{−1, 0, 1}，试确定这样的集合D 最多有________个．11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB →⋅AC →=6，向量m →=(cosA, sinA)与向量n →=(4, −3)相互垂直．若b +c =7，则a 的值为________．12. 已知函数f(x)＝log a x +x −b(a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f(x)的零点x 0∈(n, n +1)，n ∈N ∗，则n ＝________．13. 已知各项为正数的等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n 使得√a m ⋅a n =2√2a 1，则1m +4n 的最小值为________． 14. 如图所示，在△AOB 中，∠AOB =π3，OA =3，OB =2，BH ⊥OA 于H ，M 为线段BH 上的点，且MO →⋅MA →=54，若BM →=xBO →+yBA →，则x +y 的值等于________．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15. 若m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（）A 若m // α，n // α，则m // nB 若m // n，m⊥α，则n⊥αC 若m // β，α // β，则m // αD 若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α16. 若a，b为实数，则“0<ab<1”是“b<1a”的( )A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件17. 已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2，直线x=13是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（）A y=4sin(πx+π6) B y=2sin(πx+π6)+2 C y=2sin(2πx+π3)+2 D y=2sin(πx+π3)+218. 由9个正数组成的矩阵[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]中，每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，给出下列判断：①第2列a12，a22，a32必成等比数列；②第1列a11，a21，a31不一定成等比数列；③a12+a32≥a21+a23；④若9个数之和等于9，则a22≥1．其中正确的个数有（）A 1个B 2个C 3个D 4个三、解答题（共5小题，满分74分）19. 已知复数z1=3a+2+(a2−3)i，z2=2+(3a+1)i（a∈R，i是虚数单位）．(1)若复数z1−z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；(2)若虚数z1是实系数一元二次方程x2−6x+m=0的根，求实数m值．20. 如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30∘，D是AB的中点．（1）求PD与平面PAC所成的角的大小；（2）求△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积．21. 为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：y=x2−200x+40000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？22. 设a ∈R ，把三阶行列式|23514x +a 4021x|中第一行第二列元素的余子式记为f(x)，且关于x的不等式f(x)<0的解集为(−2, 0)．各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(a n , S n )(n ∈N ∗)在函数y =f(x)的图象上．（1）求函数y =f(x)的解析式； （2）若b n =2a n ，求lim n →∞2b n −1b n +2的值； （3）令c n ={a n ，n 为奇数c n 2，n 为偶数，求数列{c n }的前20项之和． 23. 设函数y =f(x)与函数y =f （f(x)）的定义域交集为D ．若对任意的x ∈D ，都有f （f(x)）=x ，则称函数f(x)是集合M 的元素．（1）判断函数f(x)=−x +1和g(x)=2x −1是否是集合M 的元素，并说明理由；（2）设函数f(x)=log 2(1−2x )，试求函数f(x)的反函数f −1(x)，并证明f −1(x)∈M ；（3）若f(X)=ax x+b ∈M(a ，b 为常数且a >0)，求使f(x)<1成立的x 的取值范围．2012年上海市徐汇区高考数学一模试卷（文科）答案1. 452. 23. {1, 2}4. 25. 500π36. B7. 88. 159. 710. 911. √1712. 213. 11614. 1215. B16. D17. B18. B19. 解：(1)由条件得，z 1−z 2=(3a+2−2)+(a 2−3a −4)i ， 因为z 1−z 2在复平面上对应点落在第一象限，故有{3a+2−2>0,a 2−3a −4>0, ∴ {−2<a <−12,a <−1,a >4,解得−2<a <−1.(2)因为虚数z 1是实系数一元二次方程x 2−6x +m =0的根， 所以z 1+z 1¯=6a+2=6，即a =−1， 把a =−1代入，则z 1=3−2i ，z 1¯=3+2i ，所以m =z 1⋅z 1¯=13.20. 解：（1）∵ PA ⊥平面ABC ，∴ PA ⊥AB ，又∵ AC ⊥AB ，PA ∩AC =A∴ AB ⊥平面PAC ，∴ ∠DPA 就是PD 与平面PAC 所成的角．…在Rt △PAD 中，PA =2，AD =√32，… ∴ tan∠DPA =√34∴ ∠DPA =arctan √34，… 即PD 与平面PAC 所成的角的大小为arctan√34．… （2）△PDB 绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体，是以AB 为底面半径、AP 为高的圆锥中挖去一个以AD 为底面半径、AP 为高的小圆锥，∴ V =13π×(√3)2×2−13π×(√32)2×2=32π．…．21. 解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本，利用月处理成本除以月处理量，即y x =x +40000x −200，x ∈(0,300]…因为x +40000x −200≥2√x ×40000x −200=200，… 当且仅当x =40000x ，即x =200时，才能使每吨的平均处理成本最低．…（2）设该单位每月获利为S （元），则单位每月获利为处理二氧化碳得到可利用的化工产品价值减去月处理成本．S =300x −y =300x −(x 2−200x +40000)=−x 2+500x −40000≥0…∴ 100≤x ≤400…由题意可知0<x ≤300，所以当100≤x ≤300时，该单位每月不亏损…22. 解：（1）由条件可知，f(x)=14x 2+ax… 因为关于x 的不等式f(x)<0的解集为(−2, 0)，所以a =12…即函数y =f(x)的解析式为f(x)=14x 2+12x… （2）因为点列(a n , S n )(n ∈N ∗)在函数y =f(x)的图象上，所以S n =14a n 2+12a nn =1代入，a 1=S 1=14a 12+12a 1，即14a 12−12a 1=0， 因为a 1>0，所以a 1=2；…当n ≥2时，由a n =S n −S n−1，化简可得(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0，…因为a n >0，所以a n −a n−1=2，即数列{a n }为等差数列，且a n =2n(n ∈N ∗)… 则b n =22n =4n，所以lim n →∞2b n −1b n +2=lim n →∞2×4n −14n +2=2… （3）n 为奇数时，c 1+c 3+...+c 19=a 1+a 3+...+a 19=10(a 1+a 19)2=200…n 偶数时，c 2+c 4+...+c 20=c 1+c 2+...+c 10=4c 1+2c 3+2c 5+c 7+c 9=72… 所以，数列{c n }的前20项之和为200+72=272…23. 解：（1）因为对任意x ∈R ，f （f(x)）=−(−x +1)+1=x ，所以f(x)=−x +1∈M 因为g （g(x)）=2(2x −1)−1=4x −3不恒等x ，所以g(x)∉M（2）因为f(x)=log 2(1−2x )，所以x ∈(−∞, 0)，f(x)∈(−∞, 0)…函数f(x)的反函数f −1(x)=log 2(1−2x )，(x <0)…又因为f −1（f −1(x)）=log 2(1−2f−1(x))=log 2（1−(1−2x )）=x… 所以f −1(x)∈M…（3）因为f(x)=ax x+b ∈M ，所以f （f(x)）=x 对定义域内一切x 恒成立，∴ a⋅ax x+b ax x+b +b =x即解得：(a +b)x 2−(a 2−b 2)x =0恒成立，故a +b =0…由f(x)<1，得ax x−a <1即(a−1)x+a x−a <0… 若a =1则1x−1<0，所以x ∈(−∞, 1)…若0<a <1，则x−a 1−a x−a >0且a <a 1−a ，所以x ∈(−∞, a)∪(a 1−a , +∞)… 若a >1，则x−a 1−a x−a <0且a >a 1−a ，所以x ∈(a 1−a , a)…。
2012年上海市卢湾区高考数学一模试卷(文科) 含详解
2012年上海市卢湾区高考数学一模试卷（文科）一、填空题：（本大题56分）1．（4分）不等式x2+x+1＜0的解集为．2．（4分）若，则cos2α=．3．（4分）函数（x＞0）的反函数为．4．（4分）若集合A={x|0≤x≤5，x∈Z}，B={x|}，则A∩B=（用列举法表示）．5．（4分）若函数f（x）=ax+b的零点为x=2，则函数g（x）=bx2﹣ax的零点是x=0和x=．6．（4分）已知二元一次方程组，若记，，，则该方程组存在唯一解的条件为（用、、表示）．7．（4分）若（1+ax）5=1+10x+bx2+…+a5x5，则b=．8．（4分）若常数b满足|b|＞1，则=．9．（4分）已知数列{a n}，若a1=14，（n∈N*），则使a n•a n+2＜0成立的n的值是．10．（4分）甲、乙、丙三人同在某公司上班，若该公司规定，每位职工可以在每周七天中任选两天休息（如选定星期一、星期三），以后不再改动，则他们选定的两个休息日相同的概率是（结果用数值表示）．11．（4分）在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为2，则实数a的值为．12．（4分）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到的频率分布直方图如下，由于不幸将部分数据丢失，但知道前4组的频率成等比数列，后6组的频率成等差数列，设最大的频率为a，视力在4.6到达5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为、．13．（4分）已知函数f（x）=ab x+c（b＞0，b≠1），x∈[0，+∞），若其值域为[﹣2，3），则该函数的一个解析式可以为f（x）=．14．（4分）若对于满足﹣1≤t≤3的一切实数t，不等式x2﹣（t2+t﹣3）x+t2（t ﹣3）＞0恒成立，则x的取值范围为．二、选择题：（本大题满分20分）15．（5分）设复数z=i⋅（1+i）（其中i是虚数单位），则复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限16．（5分）“α=2kπ+β（k∈Z）”是“tanα=tanβ”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件17．（5分）若函数f（x）同时满足下列三个条件：①有反函数②是奇函数③其定义域与值域相同，则函数f（x）可以是（）A．f（x）=sinx（）B．f（x）=C．f（x）=﹣x3D．f（x）=ln18．（5分）设函数f（x）=|x2﹣1|，若0＜x＜y，且f（x）=f（y），则（）A．y=（0＜x＜）B．（0＜x＜2）C．（0＜x＜）D．（0＜x＜1）三、解答题：（本大题满分74分）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bcosC，b+c=3a．求sinA的值．20．（14分）已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．（1）求a的值；（2）若h（x）=f（x）+b（b为常数），试讨论函数h（x）的奇偶性．21．（14分）已知、是两个不共线的非零向量，（1）设=，=t（t∈R），=（+），当A，B，C三点共线时，求t 的值；（2）如图，若=，=，、的夹角为120°，且||=||=1，点P是以O 为圆心的圆弧上的一个动点，设=x+2y（x，y∈R），求x+y的最大值．22．（16分）已知数列{b n}，若存在正整数T，对一切n∈N*都有b n+r=b n，则称数列{b n}为周期数列，T是它的一个周期．例如：数列a，a，a，a，…①可看作周期为1的数列；数列a，b，a，b，…②可看作周期为2的数列；数列a，b，c，a，b，c，…③可看作周期为3的数列…（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是，试再写出该数列的一个通项公式；（2）求数列③的前n项和S n；（3）在数列③中，若a=2，b=，c=﹣1，且它有一个形如b n=Asin（ωn+φ）+B的通项公式，其中A、B、ω、φ均为实数，A＞0，ω＞0，|φ|＜，求该数列的一个通项公式b n．23．（18分）已知函数f（x）=（t为常数）．（1）当t=1时，在图中的直角坐标系内作出函数y=f（x）的大致图象，并指出该函数所具备的基本性质中的两个（只需写两个）．（2）设a n=f（n）（n∈N*），当t＞10，且t∉N*时，试判断数列{a n}的单调性并由此写出该数列中最大项和最小项（可用[t]来表示不超过t的最大整数）．（3）利用函数y=f（x）构造一个数列{x n}，方法如下：对于给定的定义域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，x n=f（x n﹣1）（n≥2，n∈N*），…在上述构造过程中，若x i（i∈N*）在定义域中，则构造数列的过程继续下去；若x i不在定义域中，则构造数列的过程停止．若可用上述方法构造出一个常数列{x n}，求t的取值范围．2012年上海市卢湾区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题56分）1．（4分）不等式x2+x+1＜0的解集为∅．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【专题】11：计算题．【分析】原不等式即+＜0，不等式显然无解，由此得到不等式x2+x+1＜0的解集．【解答】解：不等式x2+x+1＜0 即+＜0，故不等式无解，故答案为∅．【点评】本题主要考查二元一次不等式的解法，属于基础题．2．（4分）若，则cos2α=．【考点】GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于sinα的式子，将sin α的值代入即可求出值．【解答】解：因为sinα=，所以cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故答案为：．【点评】通常，在高考题中，三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置，是基础分值的题目，学生在解答三角函数问题时，往往会出现，会而不对的状况．所以，在平时练习时，既要熟练掌握相关知识点，又要在解答时考虑更为全面．这样才能熟练驾驭三角函数题．3．（4分）函数（x＞0）的反函数为y=e2x（x∈R）．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】根据反函数的定义，只要从y=lnx，反解出x，互换x，y即得．【解答】解：∵f（x）=lnx，∴y=lnx，∴x=e2y，互换x，y得y=e2x，∴函数f（x）=lnx（x＞0）的反函数是y=e2x，故答案为：y=e2x（x∈R）．【点评】本题主要考查了反函数的求法，求解时，一定要注意指数式与对数的互化，属于基础题．4．（4分）若集合A={x|0≤x≤5，x∈Z}，B={x|}，则A∩B={0，1，2}（用列举法表示）．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，用列举法表示集合A，进而可得集合B；由交集的定义，计算可得答案．【解答】解：根据题意，A=集合A={x|0≤x≤5，x∈Z}={0，1，2，3，4，5}，则B={0，，1，，2，}，则A∩B={0，1，2}；故答案为{0，1，2}．【点评】本题考查集合的交集运算，关键是用列举法得到集合B．5．（4分）若函数f（x）=ax+b的零点为x=2，则函数g（x）=bx2﹣ax的零点是x=0和x=﹣．【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由函数f（x）=ax+b的零点为x=2，可得2a+b=0，令g（x）=0，可得x=0，或x=﹣，由此得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=ax+b的零点为x=2，∴2a+b=0，即b=﹣2a．∴函数g（x）=bx2﹣ax=﹣2ax2﹣ax=ax（﹣2x﹣1），令g（x）=0，可得x=0，或x=﹣．故它的零点为x=0和x=﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查函数的零点的定义，求得2a+b=0，是解题的关键，属于基础题．6．（4分）已知二元一次方程组，若记，，，则该方程组存在唯一解的条件为与不平行（用、、表示）．【考点】OQ：系数矩阵的逆矩阵解方程组．【专题】29：规律型．【分析】二元一次方程组，存在唯一解时，系数行列式≠0，由此可得结论．【解答】解：二元一次方程组，存在唯一解时，系数行列式≠0∴a1b2﹣a2b1≠0∵，，∴与不平行故答案为：与不平行【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0．7．（4分）若（1+ax）5=1+10x+bx2+…+a5x5，则b=40．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】由二项式定理，可得（1+ax）5的展开式的通项，写出含x的项，结合题意可得5a=10，即可得a=2，再根据通项可得b=C52a2，计算可得答案．【解答】解：（1+ax）5的展开式的通项为T r+1=C5r a r x r，则含x的项为C51ax=5ax，又由题意，可得5a=10，即a=2，则b=C52a2=10×4=40；故答案为40．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是求出a的值．8．（4分）若常数b满足|b|＞1，则=．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先由等比数列的求和公式把原式转化为，再由|b|＞1可知，由此能够求出的值．【解答】解：∵|b|＞1，∴===．答案：．【点评】本题考查等比数列的求和公式和数列极限的求法，解题时要注意合理地进行等价转化．9．（4分）已知数列{a n}，若a1=14，（n∈N*），则使a n•a n+2＜0成立的n的值是21．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题．【分析】由题设知数列{a n}是首项为14，公差为﹣的等差数列，故=﹣+，由此推导出a n•a n+2=，由此能求出使a n•a n+2＜0成立的n的值．【解答】解：∵a1=14，（n∈N*），∴数列{a n}是首项为14，公差为﹣的等差数列，∴=﹣+，∴a n•a n+2=（﹣+）[﹣]=，∵a n•a n+2＜0，∴＜0，整理，得n2﹣42n+440＜0，解得20＜n＜22，∵n∈N*，∴n=21．故答案为：21．【点评】本题考查数列的递推公式的应用，解题时要熟练掌握等差数列的性质和应用，注意合理地进行等价转化．10．（4分）甲、乙、丙三人同在某公司上班，若该公司规定，每位职工可以在每周七天中任选两天休息（如选定星期一、星期三），以后不再改动，则他们选定的两个休息日相同的概率是（结果用数值表示）．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，由组合数公式可得甲在每周七天中任选两天休息的情况数目，同理可得乙、丙的选法数目，由分步计数原理可得三人选择休息日的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，甲在每周七天中任选两天，有C72=21种选法，同理乙、丙也有21种选法，则三人共有21×21×21种选法；其中三人选定的两个休息日相同的情况有C72=21种，则他们选定的两个休息日相同的概率为=；故答案为．【点评】本题考查等可能事件的概率，注意灵活应用组合数公式和分步计数原理．11．（4分）在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为2，则实数a的值为3．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据约束条件（a为常数），画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求关于面积的等式求出a值即可．【解答】解：当a＜0时，不等式组所表示的平面区域，如图中的M，一个无限的角形区域，面积不可能为2，故只能a≥0，此时不等式组所表示的平面区域如图中的N，区域为三角形区域，若这个三角形的面积为2，则AB=4，即点B的坐标为（1，4），代入y=ax+1得a=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．12．（4分）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到的频率分布直方图如下，由于不幸将部分数据丢失，但知道前4组的频率成等比数列，后6组的频率成等差数列，设最大的频率为a，视力在 4.6到达 5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为a=0.27、b=78．【考点】B8：频率分布直方图．【专题】11：计算题．【分析】先根据直方图求出前2组的频数，根据前4组成等比数列求出第3和第4组的人数，从而求出后6组的人数，根据直方图可知4.6～4.7间的频数最大，即可求出频率a，根据等差数列的性质可求出公差d，从而求出在4.6到5.0之间的学生数为b．【解答】解：由频率分布直方图知组矩为0.1，4.3～4.4间的频数为100×0.1×0.1=1．4.4～4.5间的频数为100×0.1×0.3=3．又前4组的频数成等比数列，∴公比为3．根据后6组频数成等差数列，且共有100﹣13=87人．从而4.6～4.7间的频数最大，且为1×33=27，∴a=0.27，设公差为d，则6×27+d=87．∴d=﹣5，从而b=4×27+（﹣5）=78．故答案为：0.27，78．【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识，以及等差数列和等比数列的应用等有关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1，同时考查分析问题的能力，属于基础题．13．（4分）已知函数f（x）=ab x+c（b＞0，b≠1），x∈[0，+∞），若其值域为[﹣2，3），则该函数的一个解析式可以为f（x）=﹣5（满足0＜b＜1的b均可）．【考点】48：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】11：计算题．【分析】由题设条件知：当x=0时，f（0）=a+c=﹣2，当x→+∞时，b x→0，f （x）→c=3，解得a=﹣5，c=3，0＜b＜1．【解答】解：∵f（x）=ab x+c（b＞0，b≠1），x∈[0，+∞），其值域为[﹣2，3），∴当x=0时，f（0）=a+c=﹣2，当x→+∞时，b x→0，f（x）→c=3，解得a=﹣5，c=3，0＜b＜1，∴f（x）=﹣5（满足0＜b＜1的b均可）．故答案为：﹣5（满足0＜b＜1的b均可）．【点评】本题考查指数函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．14．（4分）若对于满足﹣1≤t≤3的一切实数t，不等式x2﹣（t2+t﹣3）x+t2（t ﹣3）＞0恒成立，则x的取值范围为（﹣∞，﹣4）∪（9，+∞）．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】11：计算题．【分析】不等式x2﹣（t2+t﹣3）x+t2（t﹣3）＞0可化为（x﹣t2）（x﹣t+3）＞0，求出不等式的解集，再求出函数的最值，即可确定x的取值范围．【解答】解：不等式x2﹣（t2+t﹣3）x+t2（t﹣3）＞0可化为（x﹣t2）（x﹣t+3）＞0∵﹣1≤t≤3，∴t2＞t﹣3∴x＞t2或x＜t﹣3∵y=t2在﹣1≤t≤3时，最大值为9；y=t﹣3在﹣1≤t≤3时，最小值为﹣4，∴x＞9或x＜﹣4故答案为（﹣∞，﹣4）∪（9，+∞）【点评】本题考查恒成立问题，解题的关键是求出不等式的解集，确定函数的最值，属于中档题．二、选择题：（本大题满分20分）15．（5分）设复数z=i⋅（1+i）（其中i是虚数单位），则复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】利用虚数单位i的幂运算性质，复数Z=i（1+i）=﹣1+i，在复平面内对应点为（﹣1，1）．【解答】解：复数Z=i（1+i）=i+i2=﹣1+i，在复平面内对应点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．【点评】本题考查虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系．16．（5分）“α=2kπ+β（k∈Z）”是“tanα=tanβ”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题．【分析】当a=k，k∈Z时，tanα和tanβ不存在，“α=2kπ+β（k∈Z）”推不出“tanα=tanβ”，“tanα=tanβ”⇒“α=kπ+β（k∈Z）”．【解答】解：∵“α=2kπ+β（k∈Z）”推不出“tanα=tanβ”，例如当a=k，k∈Z时，tanα和tanβ不存在，“tanα=tanβ”⇒“α=kπ+β（k∈Z）”，∴“α=2kπ+β（k∈Z）”是“tanα=tanβ”成立的既非充分又非必要条件故选：D．【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断与应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．17．（5分）若函数f（x）同时满足下列三个条件：①有反函数②是奇函数③其定义域与值域相同，则函数f（x）可以是（）A．f（x）=sinx（）B．f（x）=C．f（x）=﹣x3D．f（x）=ln【考点】34：函数的值域；3K：函数奇偶性的性质与判断；4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】先依据奇函数排除一选项，再根据定义域与值域是否相同，又排除一些选项，最后根据是否有反函数，即可得出答案．【解答】解：由于f（x）=是偶函数，即B不是奇函数，又A：f（x）=sinx（）的定义域为，值域为[﹣1，1]，D：f（x）=ln的定义域为（﹣1，1），值域不是（﹣1，1），故选项A、D定义域与值域不同，对于C：同时满足下列三个条件：①有反函数②是奇函数③其定义域与值域相同，故只有C正确．故选：C．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断．设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且f（﹣x）=﹣f（x），则这个函数叫做奇函数．灵活利用题目的条件解好数学问题是一种能力．18．（5分）设函数f（x）=|x2﹣1|，若0＜x＜y，且f（x）=f（y），则（）A．y=（0＜x＜）B．（0＜x＜2）C．（0＜x＜）D．（0＜x＜1）【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【专题】11：计算题．【分析】利用题设条件，得到|x2﹣1|=|y2﹣1|，再由绝对值的含义能够求出函数的解析式．【解答】解：∵函数f（x）=|x2﹣1|，且f（x）=f（y），∴|x2﹣1|=|y2﹣1|，∵0＜x＜y，∴x2﹣1＜0，y2﹣1＞0|x2﹣1|=1﹣x2=y2﹣1，所以y=，0＜x＜1．故选：D．【点评】本题考查函数的解析式的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．三、解答题：（本大题满分74分）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bcosC，b+c=3a．求sinA的值．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】由a=2bcosC及正弦定理，得sinA=2sinB cosC，展开整理得sin（B﹣C）=0，可得b=c．由b+c=3a，求得cosC==，再求得sinC，由sinA=sin（π﹣2C）=2sinCcosC 求得结果．【解答】解：由a=2bcosC及正弦定理，得sinA=2sinB cosC，又A=π﹣B﹣C，可化为sin（B+C）=2sinB cosC，展开整理得sin（B﹣C）=0，（4分）在三角形中得B﹣C=0，即B=C，可得b=c．（6分）于是由b+c=3a，得2b=3a，因此cosC==，（8分）可得sinC=，（10分）故sinA=sin（π﹣2C）=2sinCcosC=．（12分）【点评】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，判断三角形的形状的方法，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．（1）求a的值；（2）若h（x）=f（x）+b（b为常数），试讨论函数h（x）的奇偶性．【考点】&2：带绝对值的函数；3V：二次函数的性质与图象．【专题】2A：探究型．【分析】（1）利用函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，建立方程，可求a的值；（2）利用奇偶函数的定义，确定b的值，进而可得函数的奇偶性．【解答】解：（1）由题意，∵函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，∴f（0）=g（0），即|a|=1，又a＞0，故a=1．（4分）（2）h（x）=f（x）+b=|x﹣1|+b|x+1|，其定义域为R，（8分）∴h（﹣x）=|x+1|+b|x﹣1|．若h（x）为偶函数，即h（x）=h（﹣x），则有b=1，此时h（2）=4，h（﹣2）=4，故h（2）≠﹣h（﹣2），即h（x）不为奇函数；若h（x）为奇函数，即h（x）=﹣h（﹣x），则b=﹣1，此时h（2）=2，h（﹣2）=﹣2，故h（2）≠h（﹣2），即h（x）不为偶函数；综上，当且仅当b=1时，函数h（x）为偶函数，且不为奇函数，（10分）当且仅当b=﹣1时，函数h（x）为奇函数，且不为偶函数，（12分）当b≠±1时，函数h（x）既非奇函数又非偶函数．（14分）【点评】本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性，正确运用函数奇偶性的定义是关键．21．（14分）已知、是两个不共线的非零向量，（1）设=，=t（t∈R），=（+），当A，B，C三点共线时，求t 的值；（2）如图，若=，=，、的夹角为120°，且||=||=1，点P是以O 为圆心的圆弧上的一个动点，设=x+2y（x，y∈R），求x+y的最大值．【考点】9Y：平面向量的综合题．【专题】15：综合题．【分析】（1）利用向量共线定理，及已知向量建立等式，利用平面向量基本定理，即可得到结论；（2）建立坐标系，用三角函数确定x+y，再利用辅助角公式，即可得到结论．【解答】解：（1）由题意，A、B、C三点共线，可设，（2分）∵，（t∈R），，∴，，∴=∴k=﹣3，t=．（6分）（2）以O为原点，OD为x轴建立直角坐标系，则D（1，0），E（﹣，）．设∠POD=α（0≤α），则P（cosα，sinα），由，得cosα=x﹣y，sinα=，于是y=，x=cosα+，（10分）于是x+y=cosα+=2sin（α+），故当α=时，x+y的最大值为2．（14分）【点评】本题考查向量知识的综合运用，考查三角函数知识，解题的关键是掌握向量共线定理，正确运用三角函数知识，属于中档题．22．（16分）已知数列{b n}，若存在正整数T，对一切n∈N*都有b n+r=b n，则称数列{b n}为周期数列，T是它的一个周期．例如：数列a，a，a，a，…①可看作周期为1的数列；数列a，b，a，b，…②可看作周期为2的数列；数列a，b，c，a，b，c，…③可看作周期为3的数列…（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是，试再写出该数列的一个通项公式；（2）求数列③的前n项和S n；（3）在数列③中，若a=2，b=，c=﹣1，且它有一个形如b n=Asin（ωn+φ）+B的通项公式，其中A、B、ω、φ均为实数，A＞0，ω＞0，|φ|＜，求该数列的一个通项公式b n．【考点】82：数列的函数特性；8E：数列的求和；8N：数列与三角函数的综合．【专题】15：综合题．【分析】（1）根据数列a，b，a，b，…可看作周期为2的数列，可写出数列的通项；（2）数列a，b，c，a，b，c，…可看作周期为3的数列，故可分类得出结论；（3）由题意，ω＞0，应有，得ω=，于是b n=Asin（n+φ）+B，把b1=2，b2=，b3=﹣1，代入上式，即可得出结论．【解答】解：（1）∵数列a，b，a，b，…可看作周期为2的数列；∴a n=等．（3分）（2）数列a，b，c，a，b，c，…可看作周期为3的数列，所以当n=3k+1时，；（5分）当n=3k+2时，；（7分）当n=3k+3时，（k∈N）．（9分）（3）由题意，ω＞0，应有，得ω=，（10分）于是b n=Asin（n+φ）+B，把b1=2，b2=，b3=﹣1，代入上式得（12分）由（1）（2）可得Acosφ=，再代入（1）的展开式，可得﹣φ+B=，与（3）联立得B=，（13分）Asinφ=﹣，于是tanφ=﹣因为|φ|＜，所以φ=﹣，（14分）于是可求得A=．（15分）故b n=sin（）+（16分）【点评】本题考查数列与三角函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，有一定难度．23．（18分）已知函数f（x）=（t为常数）．（1）当t=1时，在图中的直角坐标系内作出函数y=f（x）的大致图象，并指出该函数所具备的基本性质中的两个（只需写两个）．（2）设a n=f（n）（n∈N*），当t＞10，且t∉N*时，试判断数列{a n}的单调性并由此写出该数列中最大项和最小项（可用[t]来表示不超过t的最大整数）．（3）利用函数y=f（x）构造一个数列{x n}，方法如下：对于给定的定义域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，x n=f（x n﹣1）（n≥2，n∈N*），…在上述构造过程中，若x i（i∈N*）在定义域中，则构造数列的过程继续下去；若x i不在定义域中，则构造数列的过程停止．若可用上述方法构造出一个常数列{x n}，求t的取值范围．【考点】82：数列的函数特性；8I：数列与函数的综合．【专题】15：综合题．【分析】（1）当t=1时，f（x）==﹣1+，画出函数的图象，利用图象可得函数的性质；（2）a n==﹣1+，确定1≤n≤[t]，n∈N*时，数列单调递增，且此时a n 均大于﹣1；n≥[t]+1，n∈N*时，数列单调递增，且此时a n均小于﹣1，由此可得结论（3）只需当x≠t时，方程f（x）=x有解，亦即方程x2+（1﹣t）x+1﹣t=0有不等于t的解，由△≥0，可得实数t的取值范围．【解答】解：（1）当t=1时，f（x）==﹣1+．图象如图（2分）基本性质：（每个2分）奇偶性：既非奇函数又非偶函数；单调性：在（﹣∞，1）和（1，+∞）上分别递增；零点：x=0；最值：无最大、小值．（6分）（2）a n==﹣1+，当1≤n≤[t]，n∈N*时，数列单调递增，且此时a n均大于﹣1，当n≥[t]+1，n∈N*时，数列单调递增，且此时a n均小于﹣1，（8分）因此，数列中的最大项为a[t}=，（10分）最小项为a[t}+1=．（12分）（3）根据题意，只需当x≠t时，方程f（x）=x有解，亦即方程x2+（1﹣t）x+1﹣t=0有不等于t的解，（14分）将x=t代入方程左边，得左边为1≠0，故方程不可能有x=t的解．（16分）由△=（1﹣t）2﹣4（1﹣t）≥0，解得t≤﹣3或t≥1，即实数t的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．（18分）【点评】本题考查函数的图象与性质，考查函数的单调性，考查数列与函数的关系，考查方程解的研究，确定函数的单调性是关键．。
2012年上海市金山区高考数学一模试卷(理科) 含详解
2012年上海市金山区高考数学一模试卷（理科）一、填空题：（本大题满分56分，共有14小题，考生应在相应的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分）1．（4分）若集合A={x|x＞1}，集合B={x|x2＜4}，则集合A∩B=．2．（4分）i是虚数单位，计算：=．3．（4分）函数f（x）=x3的反函数是．4．（4分）已知tanα=2，则tan（α+45°）的值为．5．（4分）若为奇函数，则实数a=．6．（4分）已知向量=（﹣1，1）、=（3，m），若⊥，则实数m=．7．（4分）函数y=sin的最小正周期是．8．（4分）计算：（2﹣+）=．9．（4分）（x2﹣）6的二项展开式中含x6的系数是．10．（4分）若由命题A：“”能推出命题B：“x＞a”，则a的取值范围是．11．（4分）执行框图，会打印出一列数，这个数列的第3项是．12．（4分）一个瓶里混合装有三种颜色的糖50粒，其中，10粒红色，15粒咖啡色，25粒白色，一小孩子随意从瓶里取出5粒糖，至少有3粒是红色的概率为．（精确到0.0001）13．（4分）对数函数f（x）=log a x具有性质：f（）=﹣f（x），请写出另一函数g（x）（不是对数函数），也满足g（）=﹣g（x），且它的定义域必须包含（0，+∞），这个函数可以是．14．（4分）将二项式系数表中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0﹣1三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第二次全行的数都为1的是第3行，…，那么第61行中1的个数是．二、选择题（本大题满分20，共有4小题，应在相应括号内正确填涂，每小题填涂正确得5分，否则一律得零分）15．（5分）设直线l∥平面α，若两直线夹在l与α间的线段相等，则此两条直线必（）A．平行B．相交C．异面D．平行、相交或异面16．（5分）若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则（）A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”必要条件17．（5分）函数f（x）=的图象（）A．关于原点对称B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称18．（5分）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个运算“※”（即对任意的a、b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素a※b 与之对应），若对任意的a、b∈S，有a※（b※a）=b，下列等式中不恒成立的是（）A．（a※b）※a=a B．[a※（b※a）]※（a※b）=aC．b※（b※b）=b D．（a※b）※[b※（a※b）]=b三、解答题（本大题满分共74分，请在相应位置写出必要的解题过程）19．（12分）已知△ABC中，tanA=，tanB=，AB的长为，试求：（1）内角C的大小；（2）最小边的边长．20．（14分）如图，在棱长为1的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为棱A1B1的中点，试求：（1）三棱锥M﹣ABC的体积；（2）直线MC与BB1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．21．（14分）如图所示，已知一次函数y=kx+k的图象（直线l）与x轴交于点Q，M是二次函数y=（x2+x）上的动点（不在l上），A、B在l上，MA⊥l，MB⊥x轴，是否存在这样的k，使得为常数．22．（16分）设无穷数列{a n}的前n项和为S n，且，p为常数，p＜﹣3．（1）求证：{a n}是等比数列，写出{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}的公比q=f（p），无穷数列{b n}满足：b1=a1，，求证：是等差数列，并写出{b n}的通项公式；（3）设，在（2）的条件下，有，求数列{c n}的各项和．23．（18分）附加题：如图，过椭圆C：（a＞b＞0）上一动点P引圆x2+y2=b2的两条切线PA，PB（A，B为切点）．直线AB与x轴、y轴分别交于M、N两点．①已知P点的坐标为（x0，y0），并且x0•y0≠0，试求直线AB的方程；②若椭圆的短轴长为8，并且，求椭圆C的方程；③椭圆C上是否存在P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，求出存在的条件；若不存在，说明理由．2012年上海市金山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题满分56分，共有14小题，考生应在相应的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分）1．（4分）若集合A={x|x＞1}，集合B={x|x2＜4}，则集合A∩B={x|1＜x＜2}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】利用交集的性质和不等式的性质求解．【解答】解：∵集合A={x|x＞1}，集合B={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，∴集合A∩B={x|1＜x＜2}．故答案为：{x|1＜x＜2}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．2．（4分）i是虚数单位，计算：=﹣1﹣3i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】利用虚数单位i的幂运算性质吧要求的式子化为，再把分子和分母同时乘以i，运算求得结果．【解答】解：∵===﹣1﹣3i，故答案为﹣1﹣3i．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（4分）函数f（x）=x3的反函数是y=，x∈R．【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】先把y成常数，求出x=f﹣1（y），再x，y互换，得函数f（x）=x3的反函数．【解答】解：设y=f（x）=x3，则x=，x，y互换，得函数f（x）=x3的反函数是y=，x∈R．故答案为：y=，x∈R．【点评】本题考查函数的反函数的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．4．（4分）已知tanα=2，则tan（α+45°）的值为﹣3．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件利用角和的正切公式，计算求得结果．【解答】解：∵tanα=2，则tan（α+45°）===﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．5．（4分）若为奇函数，则实数a=1．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】根据题意求出函数的定义域是R，再由f（x）=﹣f（﹣x）列出方程，整理后利用对应项的系数相等，求出a的值．【解答】解：由题意知，函数的定义域是R，∵f（x）为奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x），即=﹣，∴=﹣，∴a=﹣（a﹣2），解得a=1．【点评】本题的考点是利用函数奇偶性求值，即利用奇（偶）函数的定义列出方程，化简后由对应项的系数相等求出参数的值．6．（4分）已知向量=（﹣1，1）、=（3，m），若⊥，则实数m=5．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由向量的垂直关系可得数量积为0，解方程可得．【解答】解：∵=（﹣1，1），=（3，m），∴=﹣=（4，m﹣1），∵⊥，∴=﹣4+m﹣1=0，解方程可得m=5故答案为：5【点评】本题考查数量积与向量的垂直关系，属基础题．7．（4分）函数y=sin的最小正周期是4π．【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的周期公式即可得到结论．【解答】解：根据三角函数的周期公式可得函数的周期T==4π，故答案为：4π【点评】本题主要考查三角函数的周期计算，利用三角函数的周期公式是解决本题的关键，比较基础．8．（4分）计算：（2﹣+）=2．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】利用极限的运算，即可得出结论．【解答】解：（2﹣+）=2﹣+=2﹣0﹣0=2．【点评】本题考查极限的运算，考查学生的计算能力，比较基础．9．（4分）（x2﹣）6的二项展开式中含x6的系数是15．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于6，求得r的值，即可求得展开式中的含x6的系数．【解答】解：（x2﹣）6的二项展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x12﹣3r，令12﹣3r=6，求得r=2，故二项展开式中含x6的系数是=15，故答案为：15．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．10．（4分）若由命题A：“”能推出命题B：“x＞a”，则a的取值范围是a≤﹣2．【考点】O1：二阶矩阵．【专题】11：计算题．【分析】由二阶矩阵的运算法则化简得到二次不等式，由命题A能推出命题B，说明此二次不等式的解集是x＞a的子集，因而可以求得a的取值范围．【解答】解：∵得到2（1﹣x2）﹣3x＞0，⇒﹣2＜x＜．∵由命题A：“”能推出命题B：“x＞a”，∴{x|﹣2＜x＜}⊆{x|x＞a}．a≤﹣2故答案为：a≤﹣2．【点评】本小题主要考查二阶矩阵、不等式的解法、集合之间的关系等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．11．（4分）执行框图，会打印出一列数，这个数列的第3项是30．【考点】EF：程序框图．【专题】28：操作型．【分析】根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环计算数列a n的各项值，并输出，模拟程序的运行结果，可得答案．【解答】解：当N=1时，A=3，故数列的第1项为3，N=2，满足继续循环的条件，A=3×2=6；当N=2时，A=6，故数列的第2项为6，N=3，满足继续循环的条件，A=6×5=30；当N=3时，A=30，故数列的第3项为30，故答案为：30【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多时，我们多采用模拟程序运行的方法得到程序的运行结果．12．（4分）一个瓶里混合装有三种颜色的糖50粒，其中，10粒红色，15粒咖啡色，25粒白色，一小孩子随意从瓶里取出5粒糖，至少有3粒是红色的概率为0.0483．（精确到0.0001）【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】除去红色，剩下的共有40粒，利用对立事件的概率公式，可得结论．【解答】解：除去红色，剩下的共有40粒．则1﹣≈0.0483故答案为：0.0483．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查对立事件的概率公式，比较基础．13．（4分）对数函数f（x）=log a x具有性质：f（）=﹣f（x），请写出另一函数g（x）（不是对数函数），也满足g（）=﹣g（x），且它的定义域必须包含（0，+∞），这个函数可以是g（x）=x﹣．【考点】3Q：函数的周期性．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】设g（x）=x﹣，则g（）=﹣x=﹣（x﹣）=﹣f（x），g（x）=x ﹣的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），由此能求出结果．【解答】解：设g（x）=x﹣，则g（）=﹣x=﹣（x﹣）=﹣f（x），又g（x）=x﹣的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴g（x）=x﹣．故答案为：g（x）=x﹣．【点评】本题考查函数的解析式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．14．（4分）将二项式系数表中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0﹣1三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第二次全行的数都为1的是第3行，…，那么第61行中1的个数是32．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】11：计算题；5M：推理和证明．【分析】本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据图中三角形是将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，结合杨辉三角我们易得到第1行，第3行，第7行，…全都是1，则归纳推断可得：第n次全行的数都为1的是第2n﹣1行；由此结论我们可得第63行共有64个1，逆推即可得到第61行中1的个数．【解答】解：由已知中的数据第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1…全行都为1的是第2n﹣1行；∵n=6⇒26﹣1=63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1，第61行共有32个1．故答案为：32【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．二、选择题（本大题满分20，共有4小题，应在相应括号内正确填涂，每小题填涂正确得5分，否则一律得零分）15．（5分）设直线l∥平面α，若两直线夹在l与α间的线段相等，则此两条直线必（）A．平行B．相交C．异面D．平行、相交或异面【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】2A：探究型；5F：空间位置关系与距离．【分析】以正方体为例，A1B1∥平面ABCD，E为A1B1的中点，则可得结论．【解答】解：如图所示，以正方体为例，A1B1∥平面ABCD，E为A1B1的中点，则AA1与BB1平行，AA1与BC异面，EA与EB相交，故选：D．【点评】选用正方体，是解决空间中直线与平面之间的位置关系的关键．16．（5分）若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则（）A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】13：作图题．【分析】找出A，B，C之间的联系，画出韦恩图【解答】解：x∈A⇒x∈C，但是x∈C不能⇒x∈A，所以B正确．另外画出韦恩图，也能判断B选项正确故选：B．【点评】此题较为简单，关键是要正确画出韦恩图，再结合选项进行判断．17．（5分）函数f（x）=的图象（）A．关于原点对称B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称【考点】3M：奇偶函数图象的对称性．【专题】11：计算题．【分析】题设条件用意不明显，本题解题方法应从选项中突破，由于四个选项中有两个选项是与奇偶性有关的，故先验证奇偶性较好，【解答】解：，∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称故选：D．【点评】考查函数的对称性，宜从奇偶性入手研究．18．（5分）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个运算“※”（即对任意的a、b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素a※b 与之对应），若对任意的a、b∈S，有a※（b※a）=b，下列等式中不恒成立的是（）A．（a※b）※a=a B．[a※（b※a）]※（a※b）=aC．b※（b※b）=b D．（a※b）※[b※（a※b）]=b【考点】3C：映射．【专题】1：常规题型；51：函数的性质及应用．【分析】由a※（b※a）=b可得，：[a※（b※a）]※（a※b）=b※（a※b）=a，故B正确，同理判断C、D．【解答】解：由a※（b※a）=b可得，选项B：[a※（b※a）]※（a※b）=b※（a※b）=a，故正确，选项C：把已知中的a换成b，故正确，选项D：把（a※b）看成一个整体换成a，与已知相符，故正确，故选：A．【点评】本题考查了映射的灵活应用，属于中档题．三、解答题（本大题满分共74分，请在相应位置写出必要的解题过程）19．（12分）已知△ABC中，tanA=，tanB=，AB的长为，试求：（1）内角C的大小；（2）最小边的边长．【考点】HP：正弦定理．【专题】15：综合题；58：解三角形．【分析】（1）利用tanC=﹣tan（A+B）=﹣，求出内角C的大小；（2）先求出sinA=，再利用，求出最小边的边长．【解答】解：（1）∵C=π﹣（A+B），tanA=，tanB=，∴tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣1，又∵0＜C＜π，∴C=；（2）由tanA==，sin2A+cos2A=1且A∈（0，），得sinA=．∵，∴BC=AB•=．即最小边的边长为．【点评】本题考查正弦定理的应用，考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，比较基础．20．（14分）如图，在棱长为1的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为棱A1B1的中点，试求：（1）三棱锥M﹣ABC的体积；（2）直线MC与BB1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知得AA1⊥底面ABC，AA1=1，S△ABC==，由此能求出三棱锥M﹣ABC的体积．（2）以A为原点，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线MC与BB1所成角的大小．【解答】解：（1）在棱长为1的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵AA1⊥底面ABC，AA1=1，S△ABC==，∴三棱锥M﹣ABC的体积：V===．（2）以A为原点，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则M（，，1），C（0，2，0），B（），B1（），=（﹣，，﹣1），=（0，0，1），|cos＜＞|=||=．∴直线MC与BB1所成角的大小为arccos．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成的角的大小的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．21．（14分）如图所示，已知一次函数y=kx+k的图象（直线l）与x轴交于点Q，M是二次函数y=（x2+x）上的动点（不在l上），A、B在l上，MA⊥l，MB⊥x轴，是否存在这样的k，使得为常数．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】设出点的坐标，分别表示出QB2，QA的长，得出的比值，比较分子，分母，得出须使=1，从而求出k的值．【解答】解：y=kx+k=k（x+1），点Q（﹣1，0），设M（x0，（x02+x0）），QM2=（x0+1）2+（x02+x0）2，B（x0，k（x0+1）），A（x1，y1）∴MA2=，QA==，QB2=（x0+1）2+k2（x0+1）2=（k2+1）（x0+1）2，=，要使得为常数，须使=1，即k=2．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了距离公式，计算量较大，是一道中档题．22．（16分）设无穷数列{a n}的前n项和为S n，且，p为常数，p＜﹣3．（1）求证：{a n}是等比数列，写出{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}的公比q=f（p），无穷数列{b n}满足：b1=a1，，求证：是等差数列，并写出{b n}的通项公式；（3）设，在（2）的条件下，有，求数列{c n}的各项和．【考点】83：等差数列的性质；87：等比数列的性质；8H：数列递推式；8J：数列的极限．【专题】11：计算题；15：综合题；35：转化思想．【分析】（1）通过，通过推出，即可判断数列是等比数列．（2）利用数列{a n}的公比q=f（p），以及，求出b n，即可．（3）设，在（2）的条件下，推出，求出p，然后求出数列{c n}的各项和．【解答】解：（1）（3﹣p）S n+2pa n=3+p，p为常数，且p＜﹣3，n∈N*．所以（3﹣p）S n+2pa n﹣1=3+p，（n≥2），两式相减得：（3﹣p）a n+2pa n﹣2pa n﹣1=0 ﹣1（n≥2）即：（3+p）a n=2pa n﹣1（n≥2），所以（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分当n=1时，（3﹣p）a1+2pa1=3+p，a1=1，故数列{a n}是等比数列﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分a n=（）n﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分（2）数列{a n}的公比q=f（p），q=f（p）=，b1=a1，b n=f（b n﹣1），（n≥2），所以b n=⋅=，所以==+，=，b1=a1=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3分数列{}是等差数列，=1+（n﹣1）=，所以b n=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分（3）因为a n﹣a n+1=（）n﹣1﹣（）n=（）n﹣1[1﹣]=由=因为lga n=lg（）n﹣1=（n﹣1）lg，b n lga n=lg（b n lga n）=[lg]=3lg因为，所以，p=﹣9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3分所以c n=﹣（）n﹣1，故{c n}的各项和为S==﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分．【点评】本题考查数列的判断，数列通项公式的求法，前n项和的求法，数列极限的应用，考查计算能力，转化思想的应用．23．（18分）附加题：如图，过椭圆C：（a＞b＞0）上一动点P引圆x2+y2=b2的两条切线PA，PB（A，B为切点）．直线AB与x轴、y轴分别交于M、N两点．①已知P点的坐标为（x0，y0），并且x0•y0≠0，试求直线AB的方程；②若椭圆的短轴长为8，并且，求椭圆C的方程；③椭圆C上是否存在P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，求出存在的条件；若不存在，说明理由．【考点】K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题．【分析】（1）设A （x1，y1），B （x2，y2），切线PA：x1x+y1y=b2，PB：x2x+y2y=b2，由P点在切线PA、PB上，能求出直线AB的方程．（2）在x0x+y0y=b2中，2b=8⇒b=4，b2=16，分别令y=0，得，x=0 得．代入，得：．由此能求出椭圆C的方程．（3）假设存在点P（x0，y0）满足PA⊥PB，连OA、OB，由|PA|=|PB|，知四边形PAOB为正方形，|OP|=|OA|．所以x02+y02=2b2，又P在椭圆上，所以a2x02+b2y02=a2b2，所以．由此知当a2≥2b2＞0时，椭圆C上存在点P1满足条件，当a2＜2b2时，椭圆C上不存在满足条件的点P．【解答】解：（1）设A （x1，y1），B （x2，y2）切线PA：x1x+y1y=b2，PB：x2x+y2y=b2，∵P点在切线PA、PB上，∴x1x0+y1y0=b2，x2x0+y2y0=b2．∴直线AB的方程为x0x+y0y=b2．（2）在x0x+y0y=b2中，2b=8⇒b=4，b2=16，分别令y=0，得，x=0 得代入，得：①又P（x0，y0）在椭圆上：②代入①⇒a2=25∴所求椭圆为：（xy≠0）（3）假设存在点P（x0，y0）满足PA⊥PB，连OA、OB，由|PA|=|PB|，知四边形PAOB为正方形，|OP|=|OA|∴x02+y02=2b2①又P在椭圆上∴a2x02+b2y02=a2b2②由①、②知：∵a＞b＞0∴a2＞b2，所以当a2≥2b2＞0，即时，椭圆C上存在点P1满足条件，当a2＜2b2，即时，椭圆C上不存在满足条件的点P．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．。
2012年上海市徐汇区高考数学一模试卷(文科) 含详解
2012年上海市徐汇区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边经过点P（3，﹣4），则cosα=．2．（4分）函数y=log2（x﹣m）+1的反函数的图象经过点（1，3），则实数m=．3．（4分）若全集U={x||x﹣1|＜3，x∈Z}，A={1，2，3}，C U B={﹣1，3}，则A ∩B．4．（4分）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量为（单位：克）：125 124 121 123 127，则该样本标准差s=（克）（用数字作答）．5．（4分）一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是cm3．6．（4分）已知，则的值为．7．（4分）根据如图所示的程序框图，输出结果i=．8．（4分）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是．9．（4分）若的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中x4项的系数为．10．（4分）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有个．11．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，=6，向量=（cosA，sinA）与向量=（4，﹣3）相互垂直．若b+c=7，则a的值为．12．（4分）已知函数f（x）=log a x+x﹣b（a＞0，且a≠1）．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n+1），n∈N*，则n=．13．（4分）已知各项为正数的等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n 使得，则+的最小值为．14．（4分）如图所示，在△AOB中，∠AOB=，OA=3，OB=2，BH⊥OA于H，M为线段BH上的点，且，若，则x+y的值等于．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）若m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥β，α∥β，则m∥αD．若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α16．（5分）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（）A．B．C．D．18．（5分）由9个正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，给出下列判断：①第2列a12，a22，a32必成等比数列；②第1列a11，a21，a31一定成等比数列；③a12+a32≥a21+a23；④若9个数之和等于9，则a22≥1．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）已知复数z1=+（a2﹣3）i，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根，求实数m值．20．（12分）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D是AB的中点．（1）求PD与平面PAC所成的角的大小；（2）求△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积．21．（14分）为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：y=x2﹣200x+40000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？22．（18分）设a∈R，把三阶行列式中第一行第二列元素的余子式记为f（x），且关于x的不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）．各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，点列（a n，S n）（n∈N*）在函数y=f（x）的图象上．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）若，求的值；（3）令，求数列{c n}的前20项之和．23．（18分）设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．（1）判断函数f（x）=﹣x+1和g（x）=2x﹣1是否是集合M的元素，并说明理由；（2）设函数f（x）=，试求函数f（x）的反函数f﹣1（x），并证明f ﹣1（x）∈M；（3）若f（X）=（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围．2012年上海市徐汇区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边经过点P（3，﹣4），则cosα=．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】11：计算题．【分析】可求得|OP|=5，由角的余弦的定义可得答案．【解答】解：∵α的终边经过点P（3，﹣4），∴|OP|=5，∴cosα=．故答案为：．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键，属于基础题．2．（4分）函数y=log2（x﹣m）+1的反函数的图象经过点（1，3），则实数m= 2．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由题意可得函数y=log2（x﹣m）+1过（3，1），从而可求得m．【解答】解：∵函数y=log2（x﹣m）+1的反函数的图象经过点（1，3），∴函数y=log2（x﹣m）+1的图象过点（3，1），∴1=log2（3﹣m）+1∴log2（3﹣m）=0，∴3﹣m=1，∴m=2．故答案为：2．【点评】本题考查反函数，掌握互为反函数的两个函数之间的关系是解决问题的关键，属于基础题．3．（4分）若全集U={x||x﹣1|＜3，x∈Z}，A={1，2，3}，C U B={﹣1，3}，则A ∩B{1，2}．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】通过解含绝对值不等式，求出全集U，再由C U B={﹣1，3}，求出集合B，由此能够求出A∩B．【解答】解：∵全集U={x||x﹣1|＜3，x∈Z}={x|﹣2＜x＜4，x∈Z}={﹣1，0，1，2，3}，A={1，2，3}，C U B={﹣1，3}，∴B={0，1，2}，∴A∩B={1，2}，故答案为：{1，2}．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意含绝对值不等式的灵活运用．4．（4分）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量为（单位：克）：125 124 121 123 127，则该样本标准差s=2（克）（用数字作答）．【考点】BC：极差、方差与标准差．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据题意，利用平均数、方差、标准差的公式直接计算即可．【解答】解：由题意得：样本平均数x=（125+124+121+123+127）=124，样本方差s2=（12+02+32+12+32）=4，∴s=2．故答案为2．【点评】本题考查用样本的平均数、方差、标准差来估计总体的平均数、方差、标准差，属基础题，熟记样本的平均数、方差、标准差公式是解答好本题的关键．5．（4分）一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是cm3．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】由勾股定理求出球的半径，再利用球的体积公式求球的体积．【解答】解：球的半径为=5（cm），球的体积为×53=（cm3）故答案为．【点评】本题考查球的体积公式，注意球心距，圆的半径，球的半径，三条线段构成直角三角形，可用勾股定理．6．（4分）已知，则的值为．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】先利用两角和的正切公式求得tanx的值，从而求得tan2x，即可求得．【解答】解：∵，∴=2，解得tanx=；∴tan2x===∴==故答案为：．【点评】本题考查了二倍角的正切与两角和的正切公式，体现了方程思想，是个基础题．7．（4分）根据如图所示的程序框图，输出结果i=8．【考点】E7：循环结构．【专题】11：计算题．【分析】按要求一步步代入循环体，直到符合要求退出循环，即可得到结论．【解答】解：因为i=0，t=76；不满足t≤0，∴t=76﹣10=66，i=0+1=1；不满足t≤0，∴t=66﹣10=56，i=1+1=2；不满足t≤0，∴t=56﹣10=46，i=2+1=3；不满足t≤0，∴t=46﹣10=36，i=3+1=4；不满足t≤0，∴t=36﹣10=26，i=4+1=5；不满足t≤0，∴t=26﹣10=16，i=5+1=6；不满足t≤0，∴t=16﹣10=6，i=6+1=7；不满足t≤0，∴t=6﹣10=﹣4，i=7+1=8；满足t≤0，输出结果i=8．故答案为：8．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．8．（4分）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】11：计算题．【分析】b＞a时，b=2，a=1；b=3，a=1或2，共有3种情况，从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，共有5×3=15种情况，故可求b＞a的概率．【解答】解：由题意，b＞a时，b=2，a=1；b=3，a=1或2，即共有3种情况又从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，共有5×3=15种情况∴b＞a的概率是=故答案为：【点评】本题考查概率的求解，解题的关键是确定基本事件的个数，属于基础题．9．（4分）若的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中x4项的系数为7．【考点】83：等差数列的性质；DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】依题意，+=2×，可求得n，由二项展开式的通项公式即可求得x4项的系数．【解答】解：∵的展开式中前三项的系数依次成等差数列，∴+=2×，即1+=n，解得n=8或n=1（舍）．设其二项展开式的通项为T r+1，则T r+1=•x8﹣r••x﹣r=••x8﹣2r，令8﹣2r=4得r=2．∴展开式中x4项的系数为•=28×=7．故答案为：7．【点评】本题考查二项式定理，通过等差数列的性质考查二项展开式的通项公式，考查分析与计算能力，属于中档题．10．（4分）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有9个．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】根据值域中的几个函数值，结合函数表达式推断出定义域中可能出现的几个x值，再加以组合即可得到定义域D的各种情况．【解答】解：∵f（x）=x2﹣1∴f（0）=﹣1，f（±1）=0，f（±）=1因此，定义域D有：{0，1，}，{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，1，，﹣}，{0，﹣1，，﹣}，{0，﹣1，1，，﹣}共9种情况故答案为：9【点评】本题给出二次函数的一个值域，要我们求函数的定义域最多有几个，着重考查了函数的定义与进行简单合情推理等知识，属于基础题．11．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，=6，向量=（cosA，sinA）与向量=（4，﹣3）相互垂直．若b+c=7，则a的值为．【考点】9Y：平面向量的综合题；HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】由⊥可求得cosA=，再由=6可得bc=10，与b+c=7联立，利用余弦定理即可求得a的值．【解答】解：∵△ABC中，=6，∴cbcosA=6；①又=（cosA，sinA），=（4，﹣3），⊥，∴4cosA﹣3sinA=0，∴tanA=，又A为△ABC中的内角，∴cosA=，代入①有bc=10，又b+c=7，∴由余弦定理得：a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA=49﹣2×10﹣2×10×=17．∴a=．故答案为：【点评】本题考查解三角形，考查向量的数量积与坐标运算，考查余弦定理的应用，属于中档题．12．（4分）已知函数f（x）=log a x+x﹣b（a＞0，且a≠1）．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n+1），n∈N*，则n=2．【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a，b的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n的值．【解答】解：设函数y=log a x，m=﹣x+b根据2＜a＜3＜b＜4，对于函数y=log a x 在x=2时，一定得到一个值小于1，在同一坐标系中划出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，∴函数f（x）的零点x0∈（n，n+1）时，n=2，故答案为：2【点评】本题考查函数零点的判定定理，是一个基本初等函数的图象的应用，这种问题一般应用数形结合思想来解决．13．（4分）已知各项为正数的等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n 使得，则+的最小值为．【考点】7F：基本不等式及其应用；87：等比数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】由题意可得a6q=a6+2，解得q=2．由可得m+n=5，再由m、n是正整数，求得+的最小值．【解答】解：设等比数列的公比为q，则由a7=a6+2a5 ，可得到a6q=a6+2，由于a n＞0，所以上式两边除以a6得到q=1+，解得q=2或q=﹣1．因为各项全为正，所以q=2．由于存在两项a m，a n使得，所以，a m•a n=8 ，即•=8 ，∴q m+n﹣2=8，∴m+n=5．当m=1，n=4时，+=2；当m=2，n=3时，+=；当m=3，n=2时，+=；当m=4，n=1时，+=．故当m=2，n=3时，+取得最小值为，故答案为．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于中档题．14．（4分）如图所示，在△AOB中，∠AOB=，OA=3，OB=2，BH⊥OA于H，M为线段BH上的点，且，若，则x+y的值等于．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题．【分析】利用已知条件可以H为原点，HA所在直线为x轴，HB所在直线为y 轴，建立直角坐标系，则客气O，A，B的坐标，设M（0，m），则可求向量，的坐标，代入=可求m，然后由，可求x+y的值【解答】解：∵∠AOB=，OA=3，OB=2，BH⊥OA，∴OH=1，AH=2，BH=以H为原点，HA所在直线为x轴，HB所在直线为y轴，建立直角坐标系，则O（﹣1，0），A（2，0），B（0，）设M（0，m），向量=（﹣1，﹣m），向量=（2，﹣m），∴=﹣2+m2=∴m=M（0，），∴=（0，﹣），=（﹣1，﹣），=（2，﹣），∵∴（0，﹣）=（﹣x，﹣x）+（2y，﹣y）∴﹣x+2y=0，﹣x﹣y=﹣所以x+y=故答案为：【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示的应用，解题的关键是根据已知条件建立合适的直角坐标系二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）若m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥β，α∥β，则m∥αD．若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题．【分析】A：有题意可得：m，n可能相交，也可能平行，也可能异面．B：由线面垂直的性质定理可得n⊥α是正确的．C：根据空间中线面的位置关系可得：m∥α或者m⊂α．D：由题意可得：n与α相交，或n⊂α，或者n∥α．【解答】解：A：若m∥α，n∥α，则m，n可能相交，也可能平行，也可能异面，故A错误．B：由线面垂直的性质定理可得：若m∥n，m⊥α，则n⊥α是正确的，所以B 正确．C：根据空间中线面的位置关系可得：若m∥β，α∥β，则m∥α或者m⊂α，所以C错误．D：若α∩β=m，m⊥n，则n与α相交，或n⊂α，或者n∥α，故D错误．故选：B．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、线、面的位置关系，以及有关的判定定理与性质定理，并且结合有关公理与定义进行判断即可．16．（5分）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R3：不等式的基本性质．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据不等式的性质，我们先判断“0＜ab＜1”⇒“”与“”⇒“0＜ab＜1”的真假，然后结合充要条件的定义即可得到答案．【解答】解：若“0＜ab＜1”当a，b均小于0时，即“0＜ab＜1”⇒“”为假命题若“”当a＜0时，ab＞1即“”⇒“0＜ab＜1”为假命题综上“0＜ab＜1”是“”的既不充分也不必要条件故选：D．【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质，其中根据不等式的性质判断“0＜ab＜1”⇒“”与“”⇒“0＜ab＜1”的真假，是解答本题的关键．17．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（）A．B．C．D．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题．【分析】由可求得A，m；由T=，可求得ω，由直线是其图象的一条对称轴，可知当x=时，y能取到最值，从而可得符合条件的φ，从而可得满足条件的解析式．【解答】解：∵函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，∴解得A=2，m=2；∵其最小正周期为2，∴，∴ω=π；又直线是其图象的一条对称轴，∴，φ=kπ+（k∈Z），所求函数的解析式为：y=2sin（πx+kπ+）+2，当k=0时，解析式为：．故选：B．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，关键是A，ω，φ，m的确定，属于中档题．18．（5分）由9个正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，给出下列判断：①第2列a12，a22，a32必成等比数列；②第1列a11，a21，a31一定成等比数列；③a12+a32≥a21+a23；④若9个数之和等于9，则a22≥1．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】OY：三阶矩阵．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】先由题意设列出由9个正数组成的矩阵是：由a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，则有：（b+m）2=（a+d）（c+n），得出①正确；再由（a+d）+（c+n）≥2 =2（b+m），得到③正确；再题意设列举出由9个正数组成的特殊矩阵判断②④错即可．【解答】解：由题意设由9个正数组成的矩阵是：由a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列则有：（b+m）2=（a+d）（c+n），故①正确；（a+d）+（c+n）≥2 =2（b+m），故③正确；再题意设由9个正数组成的矩阵是：，故②错；再题意设由若9个数之和等于9，a12+a22+a32=3，而a12，a22，a32必成等比数列，a12+a22+a32=≥2+a32=3a22，即3≥3a22；所以a22≤1．则故④错；其中正确的序号有①③．故选：B．【点评】本题以三阶矩阵为载体，主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、三阶矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）已知复数z1=+（a2﹣3）i，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根，求实数m值．【考点】A1：虚数单位i、复数；A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题设条件，可先通过复数的运算求出的代数形式的表示，再由其几何意义得出实部与虚部的符号，转化出实数a所满足的不等式，解出其取值范围；（2）实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的两个根互为共轭复数，利用根与系数的关系求出a的值，从而求出m的值．【解答】解：（1）由条件得，z1﹣z2=（）+（a2﹣3a﹣4）i…（2分）因为z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，故有…（4分）∴解得﹣2＜a＜﹣1…（6分）（2）因为虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根所以z1+==6，即a=﹣1，…（8分）把a=﹣1代入，则z1=3﹣2i，=3+2i，…（10分）所以m=z1•=13…（12分）【点评】本题考查复数的代数形式及其几何意义，解题的关键是根据复数的代数形式的几何意义得出参数所满足的不等式，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．20．（12分）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D是AB的中点．（1）求PD与平面PAC所成的角的大小；（2）求△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题．【分析】（1）先判断∠DPA就是PD与平面PAC所成的角，再在Rt△PAD中，即可求得结论；（2）△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体，是以AB为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面半径、AP为高的小圆锥，从而可求体积．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，又∵AC⊥AB，PA∩AC=A∴AB⊥平面PAC，∴∠DPA就是PD与平面PAC所成的角．…（2分）在Rt△PAD中，PA=2，AD=，…（4分）∴tan∠DPA=∴∠DPA=arctan，…（5分）即PD与平面PAC所成的角的大小为arctan．…（6分）（2）△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体，是以AB为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面半径、AP为高的小圆锥，∴﹣=．…（12分）．【点评】本题考查线面角，考查几何体的体积，确定线面角，明确几何体的形状是解题的关键．21．（14分）为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：y=x2﹣200x+40000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】12：应用题．【分析】（1）二氧化碳的每吨平均处理成本，利用月处理成本除以月处理量，即可得到，再利用基本不等式可求每吨的平均处理成本最低；（2）单位每月获利为处理二氧化碳得到可利用的化工产品价值减去月处理成本，由此可建立不等式，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本，利用月处理成本除以月处理量，即…（4分）因为，…（6分）当且仅当，即x=200时，才能使每吨的平均处理成本最低．…（8分）（2）设该单位每月获利为S（元），则单位每月获利为处理二氧化碳得到可利用的化工产品价值减去月处理成本．S=300x﹣y=300x﹣（x2﹣200x+40000）=﹣x2+500x﹣40000≥0…（10分）∴100≤x≤400…（12分）由题意可知0＜x≤300，所以当100≤x≤300时，该单位每月不亏损…（14分）【点评】本题考查函数模型的构建，考查学生的阅读能力，考查解不等式，同时考查基本不等式的运用，建立函数模型是关键．22．（18分）设a∈R，把三阶行列式中第一行第二列元素的余子式记为f（x），且关于x的不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）．各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，点列（a n，S n）（n∈N*）在函数y=f（x）的图象上．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）若，求的值；（3）令，求数列{c n}的前20项之和．【考点】8E：数列的求和；8J：数列的极限；OY：三阶矩阵．【专题】15：综合题．【分析】（1）由条件可知，f（x）=x2+ax，利用不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0），可求a，从而可得函数y=f（x）的解析式；（2）利用点列（a n，S n）（n∈N*）在函数y=f（x）的图象上，可得所以S n=+，利用当n≥2时，由=S n﹣S n﹣1，可得数列{a n}为等差数列，从而可得a n=2n，b n=22n=4n，进而可求；（3）分n为奇数、偶数分别求和，即可求得数列{c n}的前20项之和．【解答】解：（1）由条件可知，f（x）=x2+ax…（2分）因为关于x的不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0），所以a=…（3分）即函数y=f（x）的解析式为f（x）=x2+x…（4分）（2）因为点列（a n，S n）（n∈N*）在函数y=f（x）的图象上，所以S n=+n=1代入，a1=S1=+，即﹣=0，因为a1＞0，所以a1=2；…（6分）当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1，化简可得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，…（8分）因为a n＞0，所以a n﹣a n﹣1=2，即数列{a n}为等差数列，且a n=2n（n∈N*）…（10分）则b n=22n=4n，所以==2…（12分）（3）n为奇数时，c1+c3+…+c19=a1+a3+…+a19=…（14分）n偶数时，c2+c4+…+c20=c1+c2+…+c10=4c1+2c3+2c5+c7+c9=72…（16分）所以，数列{c n}的前20项之和为200+72=272…（18分）【点评】本题考查数列与函数的关系，考查数列通项的求解，考查数列求和，确定数列通项是关键．23．（18分）设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．（1）判断函数f（x）=﹣x+1和g（x）=2x﹣1是否是集合M的元素，并说明理由；（2）设函数f（x）=，试求函数f（x）的反函数f﹣1（x），并证明f ﹣1（x）∈M；（3）若f（X）=（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】（1）欲判断函数f（x）=﹣x=1，lg（x）=2x﹣1是否是M的元素，只须验证对任意x∈R，f（f（x））=x是否成立；（2）先求出函数f（x）的反函数f﹣1（x），然后直接根据题中的定义判断f﹣1（x）是否是M的元素即可；（3）根据定义，问题可转换为f2（x）=f（f（x））=x对一切定义域中x恒成立，建立等式，从而可得：（a+b）x2﹣（a2﹣b2）x=0恒成立，即a+b=0，故可解不等式，即可求使f（x）＜1成立的x的范围．【解答】解：（1）因为对任意x∈R，f（f（x））=﹣（﹣x+1）+1=x，所以f（x）=﹣x+1∈M（2分）因为g（g（x））=2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3不恒等x，所以g（x）∉M（2）因为f（x）=log2（1﹣2x），所以x∈（﹣∞，0），f（x）∈（﹣∞，0）…（5分）函数f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（1﹣2x），（x＜0）…（6分）又因为f﹣1（f﹣1（x））=log2（1﹣）=log2（1﹣（1﹣2x））=x…（9分）所以f﹣1（x）∈M…（10分）（3）因为f（x）=，所以f（f（x））=x对定义域内一切x恒成立，∴即解得：（a+b）x2﹣（a2﹣b2）x=0恒成立，故a+b=0…（12分）由f（x）＜1，得＜1即…（13分）若a=1则＜0，所以x∈（﹣∞，1）…（14分）若0＜a＜1，则且a＜，所以x∈（﹣∞，a）∪（，+∞）…（16分）若a＞1，则且a＞，所以x∈（，a）…（18分）【点评】本题主要考查了函数恒成立问题和反函数，函数值的求法等，是一道创新型的题目，还考查了学生的创新意识，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．。
数学_2012年上海市普陀区高考数学一模试卷(理科)_(含答案)
2012年上海市普陀区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分） 1. 函数f(x)=sin 2x 2−cos 2x2的最小正周期是________． 2. (x −1x )6的展开式中的常数项是________．（用数字作答） 3. 函数y =√log 12|x−1|的定义域是________．4. e →1，e →2是两个不共线的向量，已知AB →=2e →1+ke →2，CB →=e →1+3e →2CD →=2e →1−e →2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k =________．5. 已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1=√2+1，a 3=√2−1则此数列的各项和S =________．6. 已知直线l 的方程为2x −y −3=0，点A(1, 4)与点B 关于直线l 对称，则点B 的坐标为________．7. 如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果的值为________．8. 若双曲线的渐近线方程为y =±3x ，它的一个焦点是(√10，0)，则双曲线的方程是________．9. 如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是32cm 2的照片，排版设计为纸上左右留空各3cm ，上下留空各2.5cm ，图间留空为1cm ，照此设计，则这张纸的最小面积是________cm 2．10. 给出问题：已知△ABC 满足a ⋅cosA =b ⋅cosB ，试判断△ABC 的形状，某学生的解答如下： （1）a ⋅b 2+c 2−a 22bc=b ⋅a 2+c 2−b 22ac⇔a 2(b 2+c 2−a 2)=b 2(a 2+c 2−b 2)⇔(a 2−b 2)⋅c 2=(a 2−b 2)(a 2+b 2)⇔c 2=a 2+b 2 故△ABC 是直角三角形．（2）设△ABC 外接圆半径为R ，由正弦定理可得，原式等价于2RsinAcosA =2RsinBcosB ⇔sin2A =cos2B ⇔A =B 故△ABC 是等腰三角形．综上可知，△ABC 是等腰直角三角形．请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果________．11. 已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若S 10=20，S 20=60，则S30S 10=________．12. 若一个底面边长为√32，侧棱长为√6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为________． 13.用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1，2，3，⋯，9的九个小正方形（如图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的小正方形涂相同的颜色，则在符合条件的所有涂法中，恰好满足“1，3，5，7，9”为同一种颜色，“2，4，6，8”为同一种颜色的概率为________．，a n 表示关于x 的不等式log 44数，则数列{a n }的通项公式a n =________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个，一律得零分． 15. lgx ，lgy ，lgz 成等差数列是由y 2=zx 成立的（ ）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 16. 设θ是直线l 的倾斜角，且cosθ=a <0，则θ的值为（ ） A π−arccosa B arccosa C −arccosa D π+arccosa 17. 设全集为R ，集M ={x|x 24+y 2=1}，N ={x|x−3x+1≤0}，则集合{x|(x +32)2+y 2=14}可表示为（ ）A M ∪NB M ∩NC ∁R M ∩ND M ∩∁R N18. 对于平面α，β，γ和直线a ，b ，m ，n ，下列命题中真命题是( )A 若a ⊥m ，a ⊥n ，m ⊂α，n ⊂α，则a ⊥αB 若a // b ，b ⊂α，则a // αC 若a ⊂β，b ⊂β，a // α，b // α，则β // αD 若α // β，α∩γ=a ，β∩γ=b ，则a // b三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 19. 已知函数f(x)=kx +2，k ≠0的图象分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，且AB →=2i →+2j →，函数g(x)=x 2−x −6．当满足不等式f(x)>g(x)时，求函数y =g(x)+1f(x)的最小值．20. 如图，已知圆锥体SO 的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且OA =3，P 是母线BS 的中点．(1)求圆锥体的体积；(2)异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 21. 已知△ABC 中，AC =1,∠ABC =2π3，∠BAC =x ，记f(x)=AB →⋅BC →．（1）求f(x)解析式及定义域；（2）设g(x)=6m ⋅f(x)+1，x ∈(0,π3)，是否存在正实数m ，使函数g(x)的值域为(1,32]？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．22. 已知数列{a n }是首项为2的等比数列，且满足a n+1=pa n +2n (n ∈N ∗) （1）求常数p 的值和数列{a n }的通项公式；（2）若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、…第3n −2项，…，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{b n }，试写出数列 {b n }的通项公式；（3）在（2）的条件下，设数列{b n }的前n 项和为T n ，是否存在正整数n ，使得T n+1T n=113？若存在，试求所有满足条件的正整数n 的值，若不存在，请说明理由．23. 设点F 是抛物L:y 2=2px(p >0)的焦点，P 1，P 2，…，P n 是抛物线L 上的n 个不同的点n(n ≥3, n ∈N ∗)．（1）当p =2时，试写出抛物线L 上三点P 1、P 2、P 3的坐标，时期满足|FP 1→|+|FP 2→|+|FP 3→|=6；（2）当n ≥3时，若FP 1→+FP 2→+⋯+FP n →=0→，求证：|FP 1→|+|FP 2→|+⋯+|FP n →|=np ； （3）当n >3时，某同学对（2）的逆命题，即：“若|FP 1→|+|FP 2→|+⋯+|FP N →|=np ，则FP 1→+FP 2→+⋯+FP N →=0→”开展了研究并发现其为假命题．请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究： 1．试构造一个说明该命题确实是假命题的反例；2．对任意给定的大于3的正整数n ，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由： 3．如果补充一个条件后能使该命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由．2012年上海市普陀区高考数学一模试卷（理科）答案1. 2π2. −203. (0, 1)∪(1, 2)4. −85. 2+32√2 6. (5, 2)7. √3 8. x 2−y 29=19. 19610. 等腰或直角三角形11. 6 12. 9π2 13. 11814. 3⋅4n−1+1，n ∈N ∗ 15. A 16. B 17. D 18. D19. 解：设A(m, 0)，B(0, n)∴ AB →=(−m,n)=(2,2)，可得m =−2，n =2 点A 坐标为(−2, 0)，B 坐标为(0, 2)因此直线y =kx +2的斜率k =0−2−2−0=1，函数f(x)=x +2 ∴ 不等式f(x)>g(x)即x +2>x 2−x −6，解之得x ∈(−2, 4) 设F(x)=g(x)+1f(x)，其中x ∈(−2, 4) 则F(x)=x 2−x−5x+2，求导数得F ′(x)=x 2+4x+3(x+2)2当x ∈(−2, −1)时，F ′(x)<0；当x ∈(−1, 4)时，F ′(x)>0， ∴ F(x)在区间(−2, −1)上是减函数，在区间(−1, 4)上是增函数 因此，当x =−1时，函数最小值为F(−1)=−320. 解：(1)∵ 圆锥体SO 的侧面积为15π，底面半径OA =3， ∴ π⋅OA ⋅SB =15π，得SB =5，Rt △SOB 中，SO =√SB 2−OB 2=4，即圆锥的高为4， ∴ 圆锥体的体积为V =13π×32×4=12π； (2)取OB 中点H ，连接PH ，AH ，如图，∵ △POB 中，PH 为中位线， ∴ PH // SO ，PH =12SO =2，故∠APH （或其补角）即为直线SO 与PA 所成角， ∵ SO ⊥平面AOB ，PH // SO ，∴ PH ⊥平面AOB ，可得PH ⊥AH ， ∵ △AOH 中，AO ⊥BO ，HO =12BO =32， ∴ AH =√AO 2+HO 2=3√52， ∴ Rt △PAH 中，tan∠APH =AHPH =3√54，得∠APH =arctan3√54， ∴ 异面直线SO 与PA 所成角的大小为arctan 3√54． 21. 解：（1）由正弦定理有：BCsinx =1sin2π3=ABsin(π3−x)BC =1sin 2π3sinx ，AB =sin(π3−x)sin 2π3∴ f(x)=AB →⋅BC →=43sinx ⋅sin(π3−x)⋅12=23(√32cosx −12sinx)sinx =13sin(2x +π6)−16(0<x <π3)（2）g(x)=6mf(x)+1=2msin(2x +π6)−m +1(0<x <π3)假设存在实数m 符合题意，∵ x ∈(0,π3)，∴ π6<2x +π6<5π6，则sin(2x +π6)∈(12,1]．因为m >0时，g(x)=2msin(2x +π6)−m +1的值域为(1, m +1]． 又g(x)的值域为(1,32]，解得m =12；∴ 存在实数m =12，使函数f(x)的值域恰为(1,32]．22. 解：（1）由a 1=2，a n−1=pa n +2n ， 得a 2=2p +2，a 3=2p 2+2p +4， ∵ 存在常数p ，使得数列a n 为等比数列，∴ a 22=a 1a 3，即(2p +2)2=2(2p 2+2p =4)， ∴ p =1．故数列{a n }为首项是1，公比为2的等比数列，即a n =2n ， 此时，a n+1=2n +2n =2n+1也满足，则所求常数p 的值为1，且a n =2n (n ∈N ∗)． （2）由等比数列的性质得：(I)当n =2k(k ∈N ∗)时，b n =a 3k =23k ；(II)当n =2k −1(k ∈N ∗)时，b n =a 3k−1=23k−1， ∴ b n ={23n+12，n =2k −123n 2，n =2k，(k ∈N ∗)．（3）∵ {b 2n−1}是首项为b 1=4，公式q =8的等比数列， {b 2n }是首项b 2=8，公比q =8的等比数列，则 (I)当n =2k(k ∈N ∗)时，T n =T 2k =(b 1+b 3+...+b 2k−1)+(b 2+b 4+...+b 2k ) =4(8k −1)8−1+8(8k −1)8−1=12⋅8k −127=12⋅8n2−127．(II)当n =2k −1(k ∈N ∗)时， T n =T 2k−1=T 2k −b 2k =12⋅8k −127−8k=5⋅8k −127=5⋅8n+12−127．即T n ={5⋅8n+12−127，n =2k −112⋅8n2−127，n =2k．假设存在正整数n 满足条件，则T n+1T n=T n +b n+1T n=1+b n+1T n=113，∴b n+1T n=83．则(I)当n =2k(k ∈N ∗)时，b n+1T n=b 2k+1T 2k=23k+212⋅8k −127=83，解得8k =8，k =1．即当n =2时，满足条件． (II)当n =2k −1(k ∈N ∗)时，b n+1T n=b 2k T n=8k5⋅8k −127=7⋅8k5⋅8k −12=83，解得8k =9619，∵ k ∈N ∗，∴ 此时无满足条件的正整数n ． 综上所述，当且仅当n =2时，T n+1T n =113．23. 解：（1）抛物线l 的焦点为F(p2, 0)，设P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2)，P 3(x 3, y 3)， 分别过P 1、P 2、P 3作抛物线的准线l 的垂线，垂足分别为Q 1、Q 2、Q 3， ∴ |FP 1→|+|FP 2→|+|FP 3→|=(x 1+p2)+(x 2+p2)+(x 3+p2)=x 1+x 2+x 3+3p 2=6∵ p =2，∴ x 1+x 2+x 3=3故可取P 1(12,√2)，P 2(1, 2)，P 3(32, √6)满足条件；（2）设P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2)，P 3(x 3, y 3)，…，P n (x n , y n )，分别过P 1、P 2、P 3，…，P n 作抛物线的准线l 的垂线，垂足分别为Q 1、Q 2、Q 3，…，Q n∴ |FP 1→|+|FP 2→|+⋯+|FP n →|=(x 1+p2)+(x 2+p2)+(x 3+p2)+...+(x n +p2)=x 1+x 2+x 3+...+x n +np 2∵ FP 1→+FP 2→+⋯+FP n →=0→∴ x 1+x 2+x 3+...+x n =np 2∴ |FP 1→|+|FP 2→|+⋯+|FP n →|=np 2+np 2=np（3）①取n =4时，抛物线l 的焦点为F(p2, 0)，设P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2)，P 3(x 3, y 3)，P 4(x 4, y 4)，分别过P 1、P 2、P 3，P 4作抛物线的准线l 的垂线，垂足分别为Q 1、Q 2、Q 3，Q 4， ∴ |FP 1→|+|FP 2→|+⋯+|FP 4→|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p =4p ∴ x 1+x 2+x 3+x 4=2p 不妨取P 1(p 4,√2p 2)，P 2(p 2,p)，P 3(p 2,−p)，P 4(3p 4,√6p2)，则FP 1→+FP 2→+⋯+FP 4→≠0→故P 1(p 4,√2p 2)，P 2(p 2,p)，P 3(p 2,−p)，P 4(3p 4,√6p 2)是一个当n =4时，该逆命题的一个反例；②设P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2)，P 3(x 3, y 3)，…，P n (x n , y n )，分别过P 1、P 2、P 3，…，P n 作抛物线的准线l 的垂线，垂足分别为Q 1、Q 2、Q 3，…，Q n ∵ |FP 1→|+|FP 2→|+⋯+|FP n →|=np ，∴ x 1+x 2+x 3+...+x n +np 2=np ，∴ x 1+x 2+x 3+...+x n =np 2因为上述表达式与点的纵坐标无关，所以将这n 点都取在x 轴的上方，则它们的纵坐标都大于0，则FP 1→+FP 2→+⋯+FP n →=(0, y 1+y 2+...+y n )≠0→③补充条件：点P i 的纵坐标满足y 1+y 2+...+y n =0，即当n >3时，|FP 1→|+|FP 2→|+⋯+|FP n →|=np ，点P i 的纵坐标满足y 1+y 2+...+y n =0，则FP 1→+FP 2→+⋯+FP n →=0→由②知，命题为真．。
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2012年上海市数学高考模拟试卷（一）一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 ．2．若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则=m ． 3．函数1)(-=x x x f 的反函数=-)(1x f．4．方程 96370x x -∙-=的解是 ．5．若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ∙的最大值是 ．6．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T ． 7．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．8．以双曲线15422=-yx的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是． 9．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+；③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ． 10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个 相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异 面直线的充分条件：． 11．已知P 为圆1)1(22=-+y x 上任意 一点（原点O 除外），直线OP的倾斜角为θ弧度，记||OP d =． 在右侧的坐标系中，画出以()d θ， 为坐标的点的轨迹的大致图形为二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知a b ∈R ，，且i ,i 2++b a （i 是虚数单位）是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，那么p q ，的值分别是（ ） Ａ．45p q =-=， Ｂ．43p q =-=， Ｃ．45p q ==，Ｄ．43p q ==，13．设a b ，是非零实数，若b a <，则下列不等式成立的是（ ） Ａ．22b a < Ｂ．b a ab 22< Ｃ．ba ab2211<Ｄ．ba ab <14．直角坐标系xOy 中，i j，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形 A B C 中，若j k i AC j i AB+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．415．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推 出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｂ．若(5)25f ≥成立，则当5k≤时，均有2()f k k ≥成立Ｃ．若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立 Ｄ．若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立CB1C 1B1AA三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（本题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱111C B A ABC -中，1,90===∠BC AC ACB ．求直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（本题满分14分）在ABC △中，a bc ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数0()(2≠+=x xa x x f ，常数)a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值范围．小题满分9分．如果有穷数列123n a a a a ，，，，（n 为正整数）满足条件n a a =1，12-=n a a ，…，1a a n =，即1+-=i n i a a （12i n = ，，，），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列01mm m m C C C ，，，就是“对称数列”． （1）设{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ， 114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是项数为12-k (正整数1>k )的“对称数列”，其中121k k kc c c +- ，，，是首项为50，公差为4-的等差数列．记{}n c 各项的和为12-k S ．当k 为何值时，12-k S 取得最大值？并求出12-k S 的最大值；（3）对于确定的正整数1>m ，写出所有项数不超过m 2的“对称数列”，使得211222m - ，，，，依次是该数列中连续的项；当m 1500>时，求其中一个“对称数列”前2008项的和2008S ．小题满分8分．我们把由半椭圆12222=+by ax (0)x ≥与半椭圆12222=+cx by (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 分别是“果圆”与x ，y轴的交点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求 “果圆”的方程；（2）当21A A >21B B 时，求ab 的取值范围；（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆” 的弦．试研究：是否存在实数k ，使斜率为k 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由．y1BO 1A2B 2A. .1F 0F 2F x.2012年上海市数学高考模拟试卷（一）答案一、填空题（第1题至第11题） 1． {}34≠<x x x且2． 32-3．）（11≠-x x x4．7log 3 5．161 6． π 7． 3.08． )3(122+=x y9．②④10． 21//s s ，并且1t 与2t 相交（//1t 2t ，并且1s 与2s 相交）11．二、选择题（第12题至第15题）题 号 1213 1415答 案ACB D三、解答题（第16题至第21题） 16．解法一： 由题意，可得体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ==== △，∴ 211==CC AA ．连接1BC ． 1111111A C B C A C CC ⊥⊥ ，， ⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角．52211=+=BCCC BC ， 51t a n 11111==∠∴BC C A BC A ，则 11BC A ∠＝55arctan．即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为55arctan．CB1B1A A1C龙文教育 教师一对一 南丹路校区C1A A1C1BB x yz解法二： 由题意，可得体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ∆==== ，21=∴CC ，如图，建立空间直角坐标系． 得点(010)B ，，，1(002)C ，，，1(102)A ，，． 则1(112)A B =--，，， 平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，．设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，B A 1与n 的夹角为ϕ，则116cos 6A B n A B nϕ==-， 66arcsin,66|cos |sin ===∴θϕθ，即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为66arcsin ．17．解： 由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ，10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯= ．18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 %36，%38，%40，%42．则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)． （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥．解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61．19．解：（1）当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞ ，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)a f x x a x x=+≠≠，，取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，，(1)(1)(1)f f ff ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设122x x <≤， 22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121，要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立． 121204x x x x -<> ，，即)(2121x x x x a +<恒成立． 又421>+x x ，16)(2121>+∴x x x x ．a ∴的取值范围是(16]-∞，．解法二：当0=a 时，2)(x x f =，显然在[2)+∞，为增函数．当0<a 时，反比例函数xa 在[2)+∞，为增函数，xa x x f +=∴2)(在[2)+∞，为增函数．当0>a 时，同解法一．20．解：（1）设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．（2）12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ，50134)13(42212-⨯+--=-k S k ，∴当13=k 时，12-k S 取得最大值．12-k S 的最大值为626． （3）所有可能的“对称数列”是：① 22122122222221m m m --- ，，，，，，，，，，； ② 2211221222222221m m m m ---- ，，，，，，，，，，，； ③ 122221222212222m m m m ---- ，，，，，，，，，，；④ 1222212222112222m m m m ---- ，，，，，，，，，，，． 对于①，当2008m ≥时，1222212008200722008-=++++= S ． 当15002007m <≤时，200922122008222221----+++++++=m m m m S 2009212212---+-=m m m 1222200921--+=--m m m ． 对于②，当2008m ≥时，1220082008-=S ． 当15002007m <≤时，2008S 122200821--=-+m m ． 对于③，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ． 当15002007m <≤时，2008S 3222009-+=-m m ． 对于④，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ． 当15002007m <≤时，2008S 2222008-+=-m m ．21． 解：（1） ()()2222012(0)00F c F b c F bc---，，，，，，()222220212121F F bccb F F bc ∴=-+===-=，， 于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）由题意，得 b c a 2>+，即a b b a ->-222．2222)2(a c b b =+> ，222)2(a b ba ->-∴，得54<ab ．又21,222222>∴-=>ab b ac b ． 2425ba ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭，． （3）设“果圆”C 的方程为22221(0)x y x ab+=≥，22221(0)y x x bc+=≤．记平行弦的斜率为k ．当0=k 时，直线()y t b t b =-≤≤与半椭圆22221(0)x y x ab+=≥的交点是P 221t a t b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，与半椭圆22221(0)y xx b c +=≤的交点是Q 221tc t b ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，．龙文教育 教师一对一 南丹路校区龙文教育上海高中数学教研组 教研分析试卷∴ P Q ，的中点M ()x y ，满足 221,2a c tx b y t ⎧-⎪=-⎨⎪=⎩ ，得122222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-by c a x．b a 2<，∴ 22220222a c a c b a c b b ----+⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭． 综上所述，当0=k 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上． 当0>k 时，以k 为斜率过1B 的直线l 与半椭圆22221(0)x y x ab+=≥的交点是22232222222ka b k a b b k a b k a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，． 由此，在直线l 右侧，以k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线x kaby 22-=上，即不在某一椭圆上． 当0<k 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．。