定积分计算用原函数(不定积分)-PPT课件

I(f )Qf ( ) Af x i ( i)
i 0
n
误差 T(f ) - Q(f )
2. Newton-Cotes公式
插值型求积公式: P(x)是f(x)的一个插值函数 (linear, Lagrange, Hermite, spline等)
) x ()x f(xd Pxd
a a b b
n为奇数时，n阶Newton-Cotes公式的代数精度为 n； n为偶数时，n阶Newton-Cotes公式的代数精度为 n+1。
用代数精度构造插值公式
例题 求A1, A2及x2，使求积公式
x ) dx A f ( 0 ) A f ( x ) f(
0 1 2 2 1
代数精度尽量高． 解： f (x) 1 1 A 1A 1
Cotes公式 (n=4)
b a 3 a b a b a 3 b I ( f )( C f ) 7 f ( af ) 3 2 ( ) 1 2 f ( ) 3 2 f ( ) 7 f ( b ) 9 0 4 2 4
数值稳定性: n<8时，Cotes系数非负且和为1
Newton-Cotes公式: 采用等距节点Lagrange 插值 h b a xi aih i0 , 1 , ,n
n n b If () () d x () x d x A (i) n ifx fx L
b a a i 0
n i n x x n ( 1 ) j A lx ( ) d x d x ( b a ) ( t j ) d t i i a a 0 xx n in ! ( i ) ! ji ji i j b n b j 0 j 0
§5.1 数值积分公式
机械求积 Newton-Cotes公式 代数精度 Gauss求积公式
1. 机械求积
原理：定积分——曲边梯形的面积 理论基础：积分中值定理
I(f ) f (x ) dx
a b
f( )=?
I ( f ) ( b a ) f ( )
矩形公式与梯形公式
左矩形 I ( f ) G ( f ) ( b a ) f ( a ) a 右矩形 I ( f ) G ( f ) ( b a ) f ( b ) b
i 0
的待定参数达2n+2个，从而可期望代数精度达到2n+1， 称此类高精度的求积公式为Gauss公式，而对应节 点称为Gauss点。
一点Gauss (n=0) (中矩形公式) [-1,1]上的两点Gauss公式
1
a b I ( f) G ( f) ( b af )( ) c 2
1 1 f( x ) dx f( ) f( ) 1 3 3
Q ( f ) ( ba ) m a x f ( x ) i
0 i n
3 代数精度
Qf ( ) 对所有 定义： 若机械求积公式 I(f) 幂函数f(x)=1,x,x2…xm准确，则称它具有m次 代数精度。 性质：具有m次代数精度对所有次数不超 过m次的多项式准确。 代数精度：梯形公式 (n=1)1次， Simpson公 式 (n=2)3次，Cotes公式 (n=4)5次。
1 2
f (x) x 1/wenku.baidu.comA 0Ax 1 2 2 f (x) x 1/3 A 0 Ax 1
2 2 2 2 2
得
A1=1/4, A2 =3/4，x2 =2/3
4 Gauss求积公式
考虑将节点也视为待定参数，此时机械求积公式 n
I(f )Qf ( ) Af x i ( i)
代数精度 1 3 5
5 38 5 3 三 点 G a u s s fx ( ) d x f ( ) f ( 0 ) f ( ) 1 9 59 9 5
Matlab命令quadl使用Lobatto积分
Lobatto积分公式为Gauss公式的修正，总将 上下端点作为节点，n阶Lobatto积分公式的 代数精度达到2n-1, 比Gauss公式略低.
a b 中矩形 I ( f) G ( f) ( b af )( ) c 2
梯形
b a I ( f ) T ( f ) [ f ( a ) f ( b )] 2
机械求积一般公式
问题
I(f ) f (x )dx
a
b
, x , , x [ a , b ]和求积系数 适当取求积节点 x 0 1 n A0, …, An，计算函数值 f(x0),…, f(xn), 近似解
n 1 2 f ( x ) dx [ f ( 1 ) f ( 1 )] A f ( x ) k k 1 n ( n 1 ) k 1 1
引子
定积分计算：用原函数(不定积分)
)x F ( b ) F ( a ) , f(xd
a b
F ( x ) f( x )
无法找到原函数F(x)
1 f ( x) ln x
sin x x
e
x2
怎么办？
第五章 数值微积分
§5.1 数值积分公式 §5.2 数值积分的余项 §5.3 复化求积法与步长的选取 §5.4 数值微分法
[-1,1]上的Gauss点
n次Legendre多项式
d 2 n [(x 1) ] n dx 定理5.1 [-1,1]上n-1阶Gauss点恰为n次 Legendre多项式的根。
阶 0 1 2 Gauss点 0
1/3, 1/3
n
3/5 ,0 , 3/5
1
求积系数 2 1， 1 5/9，8/9，5/9
Cotes系数Ci (仅依赖于 n, i)
变量代换x=a+th
低阶Newton-Cotes公式
梯形公式 (n=1) Simpson公式 (n=2)
b a I ( f ) T ( f ) [ f ( a ) f ( b )] 2
b a a b If () S () f fa ( )4 f ( ) fb ( ) 6 2