高中数学极坐标21页PPT
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高中数学极坐标课件
以红旗大道为X轴 以长征大道为Y轴...
请问： 去国光怎么走？
以红旗大道为X轴 以长征大道为Y轴...
精神病！
以红旗大道为X轴 以长征大道为Y轴...
精神病！
从这向南 2000米。
请问： 谢谢! 去国光怎么走？
请分析上面这句话，告诉了人家什么？ 从 这 向 南 走 2 0 0 0 米 ！
出发点
四、极坐标系下点与它的极坐标的 P 对应情况 M [1]给定（,）,就可以在 (ρ,θ)… 极坐标平面内确定唯一 O X 的一点M。
[2]给定平面上一点M，但却有无数个 极坐标与之对应。 原因在于： 极径有正有负；极角有无数个。
题组三 1. 在极坐标系中，与点(－3, )重合 6 的点是( C )
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有:
2k 或 ，(2k 1) ，
[4]如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或-π< θ≤π,那么除极点 外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
方向
距离
在生活中我们经常用距离和方向来表示 一点的位置。用距离和方向表示平面上 一点的位置，就是极坐标。
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角 度正方向（通常取逆时针 方向）。
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
题组一：说出下图中各点的极坐标
4
C E D O1 B A X
2
5 6
4 3
F
G
5 3
题组二：1 在极坐标系里描出下列各点 A(3, 0) B(6, 2 ) C (3, ) 2 4 5 D(5, ) E (3, ) F (4, ) 3 6 5 G (6, ) 3 2 书上P10 1(1)
请问： 去国光怎么走？
以红旗大道为X轴 以长征大道为Y轴...
精神病！
以红旗大道为X轴 以长征大道为Y轴...
精神病！
从这向南 2000米。
请问： 谢谢! 去国光怎么走？
请分析上面这句话，告诉了人家什么？ 从 这 向 南 走 2 0 0 0 米 ！
出发点
四、极坐标系下点与它的极坐标的 P 对应情况 M [1]给定（,）,就可以在 (ρ,θ)… 极坐标平面内确定唯一 O X 的一点M。
[2]给定平面上一点M，但却有无数个 极坐标与之对应。 原因在于： 极径有正有负；极角有无数个。
题组三 1. 在极坐标系中，与点(－3, )重合 6 的点是( C )
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有:
2k 或 ，(2k 1) ，
[4]如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或-π< θ≤π,那么除极点 外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
方向
距离
在生活中我们经常用距离和方向来表示 一点的位置。用距离和方向表示平面上 一点的位置，就是极坐标。
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角 度正方向（通常取逆时针 方向）。
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
题组一：说出下图中各点的极坐标
4
C E D O1 B A X
2
5 6
4 3
F
G
5 3
题组二：1 在极坐标系里描出下列各点 A(3, 0) B(6, 2 ) C (3, ) 2 4 5 D(5, ) E (3, ) F (4, ) 3 6 5 G (6, ) 3 2 书上P10 1(1)
极坐标PPT优秀课件
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角 度正方向（通常取逆时针 方向）。
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M， 用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的 角度， 叫做M的极径， 叫做点M的极角，有序 数对（，）就叫做M的 O 极坐标。
P
O
X
四、2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M （-3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 P = /4
[2]在OP的反向延长 线上取一点M，使 OM= 3
O
M
X
练习：10页1(3)A点和B点
负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 。 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用 来表示“反向”
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究 请说出点M的极坐标的其他 表达式（四个人回答） O 思：极径都是一样的；不同的是极角。但是，X 极角和极角之间有什么关系？ 启：极角的始边变没有？极角的终边动没有？
如图：OM的长度为4， 4
M
2k 点M的极坐标统一表达式： 4 ， 4
4
)
F (4, )
2
5 6
4
4 3
E F O
C A B X
D
G
5 3
一 个 极 坐 标 只 能 画 出 一 个 点
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
再选定一个长度单位和角 度正方向（通常取逆时针 方向）。
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M， 用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的 角度， 叫做M的极径， 叫做点M的极角，有序 数对（，）就叫做M的 O 极坐标。
P
O
X
四、2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M （-3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 P = /4
[2]在OP的反向延长 线上取一点M，使 OM= 3
O
M
X
练习：10页1(3)A点和B点
负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 。 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用 来表示“反向”
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究 请说出点M的极坐标的其他 表达式（四个人回答） O 思：极径都是一样的；不同的是极角。但是，X 极角和极角之间有什么关系？ 启：极角的始边变没有？极角的终边动没有？
如图：OM的长度为4， 4
M
2k 点M的极坐标统一表达式： 4 ， 4
4
)
F (4, )
2
5 6
4
4 3
E F O
C A B X
D
G
5 3
一 个 极 坐 标 只 能 画 出 一 个 点
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
高中数学极坐标 ppt课件
角，有序数对（，）就
叫做M的极坐标。
O
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到
极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即
以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
ppt课件
5
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F
G 5
3
ppt课件
3
6
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
12 （ 3）2 2 tan 3 3
ppt课件
1
13
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
ppt课件
14
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
对应了.
ppt课件
11
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
ppt课件
12
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
M (1, 3)
θ
B (2, )
C (1, )
6
2
2
D (3, )
24
E (2, 3 )
4
ppt课件
高中数学课件《极坐标系》
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条 射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的
极径，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的 极角 ， 记为 θ.有序数对 (ρ，θ) 叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ) ．一般地，不作 特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数 ．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标 系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长 度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角 θ 的正弦值 和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
[小组合作型] 将点的极坐标化为直角坐标
写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限．
(1)2，43π；(2)2，23π；(3)2，－π3；(4)(2，－2)．
【思路探究】
点的极坐标(ρ，θ)―→xy＝ ＝ρρcsions
θ θ
―→点的直角坐标(x，y)―→
极坐标系
1．理解极坐标系的概念． 2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐 标系中刻画点的位置的区别．(难点) 3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互 化．(重点、易错点)
[基础·初探] 教材整理 1 极坐标系 阅读教材 P8～P10，完成下列问题． 1．极坐标系的概念
(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y＝ρsin θ＝πsin π＝0， ∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．
(2)极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的
极径，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的 极角 ， 记为 θ.有序数对 (ρ，θ) 叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ) ．一般地，不作 特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数 ．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标 系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长 度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角 θ 的正弦值 和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
[小组合作型] 将点的极坐标化为直角坐标
写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限．
(1)2，43π；(2)2，23π；(3)2，－π3；(4)(2，－2)．
【思路探究】
点的极坐标(ρ，θ)―→xy＝ ＝ρρcsions
θ θ
―→点的直角坐标(x，y)―→
极坐标系
1．理解极坐标系的概念． 2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐 标系中刻画点的位置的区别．(难点) 3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互 化．(重点、易错点)
[基础·初探] 教材整理 1 极坐标系 阅读教材 P8～P10，完成下列问题． 1．极坐标系的概念
(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y＝ρsin θ＝πsin π＝0， ∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．
极坐标的概念 课件
引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位及 它的正方向（通常取逆时针方向）
O
这样就建立了一个极坐标系
X
二、极坐标的表示方法
对于极坐标平面上任意一点M:
用表示线段OM的长 表示从OX到OM的角
度 叫做点M的极径
度，
叫做点M的极角，
，有序数对（，）就叫做M的极坐标。
特别强调：表示线段OM的长度，
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0)
D(5, 4 )
3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) E(3, 5 )
6
C(3, )
2
F (4, )
2
4
5
6
C E
F
A O
B X
4
D
3
G 5
3
体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置,建立适当
的极坐标系，写出各点的极坐标。
实验楼 D
C 图书馆
解：如图,以点A为极点，AB所在的射线为
极轴（单位长度为1m），建立极坐标系.
60 3m
120m
办公楼 E 45
50m 60
则点A、B、C、D的极坐标分别
A 60m B 体育馆 教学楼
为
D
C
0,
0 , 60,
a x
但不是唯一的一种坐标系.
有时用别的坐标系比较方
便.
还有什么坐标系呢？ 我们先看下面的问
题.
距离40 km
方向：π
4
O
x
D实验楼
C图书馆
办
公
楼
120m
E 45°
50m 60°
A 60m B
O
这样就建立了一个极坐标系
X
二、极坐标的表示方法
对于极坐标平面上任意一点M:
用表示线段OM的长 表示从OX到OM的角
度 叫做点M的极径
度，
叫做点M的极角，
，有序数对（，）就叫做M的极坐标。
特别强调：表示线段OM的长度，
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0)
D(5, 4 )
3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) E(3, 5 )
6
C(3, )
2
F (4, )
2
4
5
6
C E
F
A O
B X
4
D
3
G 5
3
体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置,建立适当
的极坐标系，写出各点的极坐标。
实验楼 D
C 图书馆
解：如图,以点A为极点，AB所在的射线为
极轴（单位长度为1m），建立极坐标系.
60 3m
120m
办公楼 E 45
50m 60
则点A、B、C、D的极坐标分别
A 60m B 体育馆 教学楼
为
D
C
0,
0 , 60,
a x
但不是唯一的一种坐标系.
有时用别的坐标系比较方
便.
还有什么坐标系呢？ 我们先看下面的问
题.
距离40 km
方向：π
4
O
x
D实验楼
C图书馆
办
公
楼
120m
E 45°
50m 60°
A 60m B
高中数学课件-第二节 极坐标系1
B．2，－76π
C．2，－116π
D．2，136π
考点二 极坐标与直角坐标的互化
y
0
x
M y
Nx
O
.M(ρ,θ）
x
极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos，y sin y
2 x2 y2，tan y (x 0)
x
0
x
M y
Nx
标是Leabharlann ( )．A.2，116π
B.－2，7π 6
C.2，－π6
D.－2，－116π
2．点 P(2，3π)关于极轴的对称点的极坐标为(
)
A．(－2，π3)
B．(2，23π)
C．(2，43π)
D．(2，53π)
【变式 1】 (2016·江苏高三月考)与极坐标2，π6不表示同一个点的极坐标是(
)
A．2，256π
选修4-4 极坐标与参数方程 §1.2.1 极坐标系
高二文科数学组
一、极坐标系的建立：
(1)在平面内取一个定点O，叫做极点；
(2)引一条射线Ox，叫做极轴； (3)选定1个长度单位、1个角度单位（常取弧度）；
(4)规定角度的正方向(通常取逆时针方向).
这样建立的坐标系叫做极坐标系.
O
.M(ρ,θ）
x
说明1、 对于平面内任意一点M，用 表示极点与点M的 距离，叫做点M的极径（几何意义）, 表示以Ox为始 边,OM为终边的角，叫做点M的极角,有序数对（，）
就叫做M的极坐标.
说明2、当 M 在极点时，它的极径=0，极角可以取任意值.如：
极坐标(0,π)，(0,-30º ), (0，0)，…等都是表示极点.
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
极坐标ppt课件
在极坐标系中，圆心在( 2，π)且过极点 的圆的方程为________．
解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB＝2 2＝sinθ－ρ 90°，化简得 ρ＝－2 2cosθ.
答案：ρ＝－2 2cosθ
⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ， ρ＝－4sinθ. (1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
(2)求解与极坐标有关的问题，应注意先化为直角坐标后 解决较为方便．
在极坐பைடு நூலகம்系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线 3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．
解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方 程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线的方程为3x ＋4y＋a＝0.
由题设，知圆心(1,0)到直线的距离为1，即有
【分析】 依条件利用公式x＝ρcosθ，y ＝ρsinθ化为直角坐标方程后求解．
【解】 (1)由 ρcosθ－π3＝1 得 ρ12cosθ＋ 23sinθ＝1.
从而 C 的直角坐标方程为12x＋ 23y＝1， 即 x＋ 3y＝2. 当 θ＝0 时，ρ＝2，所以 M(2,0)． 当 θ＝π2时，ρ＝233， 所以 N233，π2.
解法二：将极坐标化为直角坐标，点 A1，π2的直角坐标为 A(0,1)，直线 l 的直角坐标方程为 x＋y＝0，
若线段 AB 最短，则 AB⊥l，且 B 为垂足．
过 A 与 l 垂直的直线方程为 y－1＝x，
联立方程xx＋－yy＝＋01＝0
，得 B 点坐标为－12，12，
再化为极坐标为 22，34π.
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程
高中数学《极坐标的概念》课件
两个距离
极坐标系
距离和角度
点的形式 x, yx, y R
与平面内点 一一对应 的关系
数学本质
两直线相交确定点的位 置
， 0， R
不是一一对应
圆与射线相交确定点的 位置
极坐标系
12
探究
极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
① 平面上一点的极坐标是否唯一？ ② 若不唯一，那有多少种表示方法？ ③ 坐标不唯一是由谁引起的？ ④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表 达式？
解决一些与三角形边长和面积有关的问题。
极坐标系
15
知识延伸
• 一般地，对于极坐标内不与极点重合的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则
P1P2 ? SOP1P 2 ?
请同学们自己推导。
极坐标系
16
这节课我们学到了什么？
1.极坐标系的建立
四 要
素
极点 极轴 单位长度 角度的正方向
2.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
极坐标系
13
极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
(1)给定（,）,在极坐标平面内可确定唯一的一点M； (2)给定平面上一点 M ，但却有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个 一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则 (ρ,θ+2kπ)都可以作为它的极坐标. 如果限定ρ＞ 0, 0≤θ＜2π，那么除极点外,平面
O
a x
2
如图，某校园的平面示意图.假设某同学在教学 楼A处，请回答下列问题：
（1）他向东偏北600方向走120m后到达什么位置？ 该位置惟一确定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他 应如何描述？
抽象概括，形成概念
极坐标系
距离和角度
点的形式 x, yx, y R
与平面内点 一一对应 的关系
数学本质
两直线相交确定点的位 置
， 0， R
不是一一对应
圆与射线相交确定点的 位置
极坐标系
12
探究
极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
① 平面上一点的极坐标是否唯一？ ② 若不唯一，那有多少种表示方法？ ③ 坐标不唯一是由谁引起的？ ④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表 达式？
解决一些与三角形边长和面积有关的问题。
极坐标系
15
知识延伸
• 一般地，对于极坐标内不与极点重合的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则
P1P2 ? SOP1P 2 ?
请同学们自己推导。
极坐标系
16
这节课我们学到了什么？
1.极坐标系的建立
四 要
素
极点 极轴 单位长度 角度的正方向
2.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
极坐标系
13
极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
(1)给定（,）,在极坐标平面内可确定唯一的一点M； (2)给定平面上一点 M ，但却有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个 一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则 (ρ,θ+2kπ)都可以作为它的极坐标. 如果限定ρ＞ 0, 0≤θ＜2π，那么除极点外,平面
O
a x
2
如图，某校园的平面示意图.假设某同学在教学 楼A处，请回答下列问题：
（1）他向东偏北600方向走120m后到达什么位置？ 该位置惟一确定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他 应如何描述？
抽象概括，形成概念