【名师堂】2015-2016学年高中数学 1.2.2 同角的三角函数的基本关系教案 新人教A版必修4
高中人教版数学必修4学案：1.2.2 同角三角函数的基本关系 【含解析】
1.2.2同角三角函数的基本关系考试标准课标要点学考要求高考要求同角三角函数的基本关系b b同角三角函数关系的应用b b知识导图学法指导1.充分理解同角三角函数的基本关系式，掌握公式成立的条件、形式及公式的变形，在尝试证明的基础上去理解记忆．2．理解并记忆相应的求值、化简以及证明的模型，领会解题常用的方法技巧，熟练掌握公式及其变形的应用.同角三角函数的基本关系式状元随笔(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23α＝1等．(2)注意公式成立的条件．(3)注意公式的变形，特别是公式的逆用．(4)在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin 2π3＋cos 2π4＝1.( ) (2)sin α2＋cos α2＝1.( )(3)对于任意角α都有sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．若α为第二象限角，且sin α＝23，则cos α＝( )A ．－53 B.13C.53 D ．－13 解析：∵α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－53.答案：A3．已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin α的值是( )A ．－55 B.55 C.255 D ．－255解析：∵α∈(π，3π2)，∴sin α<0.由tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－55. 答案：A4．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1.答案：C所以cos x ＋sin x ＝－355.(2)由⎩⎨⎧cos x ＋sin x ＝－355，cos x －sin x ＝55，解得cos x ＝－55，sin x ＝－255，所以2sin 2x －sin x cos x ＋cos 2x ＝2×45－25＋15＝75.(1)把cos x －sin x ＝55平方 (2)注意x 的范围(3)分别求出sin x 、cos x 1.2.2[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列四个命题中可能成立的一个是( )A ．sin α＝12且cos α＝12 B ．sin α＝0且cos α＝－1 C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．tan α＝－sin αcos α(α在第二象限)解析：由同角三角函数基本关系式，知A ，C ，D 不可能成立，B 可能成立．答案：B2．已知α是第二象限角，且cos α＝－1213，则tan α的值是( ) A.1213 B ．－1213。
高中数学必修四1：1.2.2 同角三角函数的基本关系
记 r OP x2 y2
sin
MP OP
y =r
P(x, y)
cos
OM
x =
OP r
tan MP
OM
y =x
P(x, y)
OM
A(1,0)
x
探究点1 任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
y 那么：
（1）y叫做α的正弦（sine），记作sinα，
即sinα＝y
S1 画角 在直角坐标系中，作转角 ；
S2 找点 在角的终边上任找一点P，使 OP ＝1， 并量出该点的纵坐标和横坐标；
S3 求值 根据三角函数定义，求出角 的三角函数值．
探究点3
三角函数在各象限的符号如下图所示：
y
++
-o - x
sin
y
-+ -o + x
cos
y
-+ +o - x
tan
3
5
cos 2 cos 4
3
5
S2 S1
B
P2 P1
A M2 M1 o
T2
T1
课堂练习
2.已知角β的终边过点 P( 2 , 2 )，求角β的三个三 22
角函数值。
7
3.求角 6 的三个三角函数值。
4. 求角 19的三个三角函数值。
6
课堂练习
5.已知角α的终边经过点 P(4a,3a)(a 0),求2sinα cosα的值.
A 邻边C
对边 tan A 邻边
新课引入
• 直角三角中的锐角三角函数 • 象限角中的锐角三角函数 • 单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数 • 单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数 • 任意角终边上任一点坐标定义三角函数
2016高中数学1.2.2同角三角函数的基本关系(2)课件解读
填一填·知识要点、记下疑难点
1．同角三角函数的基本关系
本 课 时 栏 目 开 关
2 2 2 2 sin α ＋ cos α cos α (1)平方关系： ＝1.变形：1－sin α＝
2 sin α . 1－cos α＝
；
2
sin α cos α (2)商数关系：tan α＝ .变形：sin α＝ tan α· cos α sin α cos α＝ tan α . 2．(sin α＋cos α)2＝ 1＋2sin αcos α ； (sin α－cos α)2＝ 1－2sin αcos α .
时 sin2α1＋cos2α－sin4α 栏 2 4 6 目 ＝ 2 sin α 1 ＋ cos α ＋ cos α － sin α 开 关 2 2
1＋cos α－sin α ＝ 1＋cos2α＋cos4α－sin4α 2cos2α ＝ 1＋cos2α＋cos2α＋sin2αcos2α－sin2α
时 栏 目 开 关
sin x－cos x2 ＝ sin x－cos xsin x＋cos x
sin x－cos x tan x－1 ＝ ＝ ＝右边． sin x＋cos x tan x＋1
∴原式成立．
方法二 sin x cos x－1 sin x－cos x ∵右边＝ sin x ＝ ； sin x＋cos x ＋ 1 cos x
；
填一填·知识要点、记下疑难点
t2－1 3．若设 sin α＋cos α＝t，则 sin αcos α＝ 2
本 课 时 栏 目 开 关
；
1－t2 若设 sin α－cos α＝t，则 sin αcos α＝ 2 . 3t－t3 4．若设 sin α＋cos α＝t，则 sin3α＋cos3α＝ 2
1.2.2 同角三角函数的基本关系
2 2
y ， x r . y
sec tan 1 ；
2 2
csc cot 1 ；
2 2
知识探究（一）：同角三角函数公式
1. 同角三角函数公式：
y x (1)三角函数定义： sin ， cos ， tan r r x r cot ， sec ， csc y x
sin cos (2)商数关系： tan ； cot . cos sin
y ， x r . y
知识探究（二）：利用三角公式求值步骤
2. 利用同角三角函数公式 求值的步骤： 第一步：定号：由角所 在象限来确定； 第二步：换名：
同名：弦化弦；切化切 ；割化割； 正化余；余化正； 异名：切割化弦，弦化 切割；
5 例1. 已知是第二象限角，且sin . 13 (3)求 cot的值.
问题探究（一）：利用同角三角公式求值
4 例2. 已知 cos ，求 sin ， tan ， cot 的值. 5
问题探究（一）：利用同角三角公式求值
例3. 已知2 sin cos . cos 3 sin (1)求 的值； cos 4 sin
8. 求证： sin 4 cos4 sin 2 cos2 .
问题探究（四）：用公式证明三角恒等式
例9. 求证： sin 4 sin 2 cos2 cos2 1.
作业安排：
1. 预习内容：三角函数的诱导 公式及教材上的练习；
y ， x r . y
(2)倒数关系： sin csc 1 ； cos sec 1 ； tan cot 1 ；
1.2.2 同角三角函数的基本关系
y
P P
O
x
基本变形
当
根据三角函数定义,sinα ，cosα ，
tanα 满足什么关系？
基本变形
同角三角函数的基本关系: 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于这个角的正切.
“同角”二层含义:一是“角相同”,
二是“任意”一个角.
是否存在同时满足下列三个条件的角
?
不存在
同角三角函数的基本关系式的灵活应用
=AT
有向线段MP、OM、AT,分别叫做角
的正弦线、
余弦线、正切线，统称为三角函数线.
同角三角函数的基本关系
如图，设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P， 那么，正弦线MP和余弦线OM的长度有什么内在联系？
由此能得到什么结论？
y P
1
M
O
x
上述关系反映了角α 的正弦和余弦之间的内在联系， 根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α 的终边 在坐标轴上时，上述关系成立吗？
1.求值
例1 已知
解:因为 所以
,求 ,
的值.
是第三或第四象限角.
由
得
如果
是第三象限角,那么
从而
如果 是第四象限角,那么
2.证明三角恒等式 例2 求证：
所以原式成立.
所以原式成立.
பைடு நூலகம் A
D
1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的. 2.利用平方关系求值时要根据角所在的象限确定三角函 数值符号． 3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问题.
1.2.2
同角三角函数的基本关系
1.掌握同角三角函数的基本关系式;
2.会用基本关系式证明有关问题;
1.2.2同角三角函数的基本关系
(cos x − sin x ) 2 = (cos x − sin x )(cos x + sin x ) cos x − sin x = cos x + sin x 左边 中间 证法二： 证法二：
(1 − tan (1 + tan cos x − = cos x +
x ) ⋅ cos x x ) ⋅ cos x sin x sin x
同步训练题： 同步训练题：
8 1、已知cos α = − ，且α是第 17 二象限角，求sin α， α的值． tan
1 2、已知 tan α = ，求 cos α 2 和 sin α值．
9
8 Q 1、解： sin α + cos α = 1, cos α = − 17 2 2 ∴ sin α = 1 − cos α 8 2 15 2 = 1 − (− ) = ( ) , 17 17 Q α是第二象限角 ∴ sin α > 0
2 2
15 ∴ sin α = ， 17 sin α 15 tan α = =− ， cos α 8
10
sin α 1 2、解： tan α = Q = ∴ cos α = 2 sin α , cos α 2 Q sin 2 α + cos 2 α = 1 ∴ 5 sin 2 α = 1, 1 又 Q tan α = > 0 ∴α是第一或第三象限角 2 当α是第一象限角时， 5 2 5 sin α = , cos α = 5 5 当α是第三象限角时， 5 2 5 sin α = − , cos α = − 5 5
15
小结
1. 同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”， sin β 2 2 因此 sin α + cos β ≠ 1 tan α ≠ ， ……． cos γ
【名师堂】高中数学 1.2.2 同角的三角函数的基本关系(一)学案 新人教a版必修4
1.2.2《同角的三角函数的基本关系（1）》导学案【学习目标】⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．【重点难点】重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式. 难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.【学法指导】通过复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线，为本节所要学习的同角三角函数的基本关系式做好铺垫。
【知识链接】复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线： 。
提出疑惑：与初中学习锐角三角函数一样，我们能不能研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化呢？ 。
【学习过程】【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即 .根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有 .这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.【例题讲评】例1化简：440sin 12-例2 已知αααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简例3求证：ααααcos sin 1sin 1cos +=-例4已知方程0)13(22=++-m x x 的两根分别是θθc o s s i n ，，求的值。
1.2.2 同角三角函数的基本关系式(1)
1.2.2 同角三角函数的基本关系式（1）一、课题：同角三角函数的基本关系式（1）二、教学目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式； 2.掌握三种基本关系式之间的联系；3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
三、教学重点：三角函数基本关系式的推导、记忆及应用。
四、教学过程： （一）复习：1．任意角的三角函数定义：设角α是一个任意角，α终边上任意一点(,)P x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么：sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α=，sec rxα=，csc r y α=．（二）新课讲解：1．同角三角函数关系式：（1）倒数关系：sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅=，tan cot 1αα⋅=．（2）商数关系：sin tan cos ααα=，cos cot sin ααα=． （3）平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，221cot csc αα+=． 说明：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41αα+=等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tan cot 1(,)2k k Z πααα⋅=≠∈；③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：cos α= 22sin 1cos αα=-， sin cos tan ααα=等。
2．例题分析：例1 （1）已知12sin 13α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα． （2）已知4cos 5α=-，求sin ,tan αα．解：（1）∵22sin cos 1αα+=， ∴2222125cos 1sin 1()()1313αα=-=-=，又∵α是第二象限角，∴cos 0α<，即有5cos 13α=-，从而sin 12tan cos 5ααα==-， 15cot tan 12αα==-．（2）∵22sin cos 1αα+=， ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=，又∵4cos 05α=-<， ∴α在第二或三象限角。
高一数学教学资料 1.2.2同角三角函数的基本关系
sin2 1 cos2 cos2 1 sin2 sin 1 cos2 cos 1 sin2
(2) sin tan cos
sin tan cos
注意：1、“同角”是指公式与角的表达形式无关，
如：
sin 2 3 cos2 3 1
2、上述关系（公式2）都必须在定义域允许的范围 内成立。
3．利用同角三角函数的基本关系证明 三角等式
例6．求证： cos 1 sin 1 sin cos
【例 6】 已知 θ 是第二象限的角,且 sin θ = m 3 ,cos θ = 4 2m ,则实数 m 的
m5
m5
值是( ).
A.3<m<9 C.m=0 或 m=8
B.-5<m<Байду номын сангаас D.m=8
1.2.2 同角三角函数的基本关系
5.(能力拔高题)已知 cosα≤sinα,那么角 α 的终边落在
第一象限内的范围是( )
A.
0,
4
B.
4
,
2
C.
2k
4
,
2k
2
,k∈Z
D.
2k
,
2k
4
,k∈Z
8.函数 y= sinx lgcosx 的定义域为
.
tanx
同角三角函数关系：
例2．已知
tan 2, 求的其他三角函数值。
例3.已知 tanα=3,求值（1）4sin 2cos 5cos 3sin
（2）2sin 2 sin cos 3cos2
2．利用同角三角函数的基本关系化简三角 函数式
例4．化简： 1 sin2 440
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1.2.2同角三角函数的基本关系
一、教学目标：
1、知识与技能
(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法.
2、过程与方法
由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
3、情态与价值
通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.
二、教学重、难点
重点：公式1cos sin 22=+αα及αα
αtan cos sin =的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.
难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.
三、学法与教学用具
利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 22=+αα及
αα
αtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等. 教学用具:圆规、三角板、投影
四、教学设想
【创设情境】
与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．
【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何
性质出发,讨论一
下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.
根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+
∈时,有sin tan cos ααα=.
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.
2. 例题讲评
例6.已知3sin 5
α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.
3. 巩固练习23P 页第1,2,3题
4.例题讲评
例7.求证: cos 1sin 1sin cos x x
x
x +=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤.
5.巩固练习23P 页第4,5题
6.学习小结 （1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此1cos sin 22≠+βα，γ
βαcos sin tan ≠． （2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．
五、评价设计
(1) 作业：习题1.2A 组第10,13题.
(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.。