2015初中数学基础知识讲义—有理数
初一有理数的知识点归纳总结
初一有理数的知识点归纳总结有理数是数学中一种重要的数类，是整数和分数的统称。
在初中数学中，有理数的概念常常会出现，学好有理数的相关知识点对于后续数学学习的顺利进行至关重要。
下面对初一学习的有理数相关知识点进行归纳总结。
一、有理数的定义及表示法1. 有理数是整数和分数的统称，可以表示为p/q的形式，其中p、q为整数且q≠0。
2. 有理数可以用数轴上的点表示，数轴上的0表示0，正方向表示正有理数，负方向表示负有理数。
二、有理数的大小比较1. 相反数：对于有理数a，存在一个有理数-b，使得a+b=0，称-b为a的相反数。
相反数具有相等的绝对值，但符号相反。
2. 绝对值：对于有理数a，如果a≥0，则a的绝对值为a；如果a<0，则a的绝对值为-a，记作|a|。
三、有理数的四则运算1. 加法和减法：- 同号数相加减：同号数相加减，绝对值不变，符号不变。
- 异号数相加减：异号数相加减，绝对值减小，结果的符号由绝对值大的数的符号决定。
2. 乘法和除法：- 同号数相乘除：同号数相乘除，结果为正数。
- 异号数相乘除：异号数相乘除，结果为负数。
- 0的乘法：任何数与0相乘，结果都为0，0除以任何非零数结果为0。
四、有理数的化简与还原1. 化简是指将一个有理数的分子和分母的公因数约分，从而得到一个和原有数等值的简化分数。
2. 还原是指将一个有理数的分子和分母经过运算，得到一个相对较大的数。
五、有理数的实际应用1. 有理数在数轴上的表示可以帮助我们了解数值的大小关系和相对位置关系。
2. 有理数在生活中的应用包括温度计的读数、海拔高度的标定等。
3. 有理数在数学问题中的应用包括解方程、分数的运算等。
六、有理数的乘方与开方1. 乘方：对于有理数a和正整数n，我们定义a的n次方为an，其中an=a*a*...*a(n个a的积)。
2. 平方根：对于非负有理数a，我们称b为a的平方根，当b*b=a 时。
3. 立方根：对于任意有理数a，我们称b为a的立方根，当b*b*b=a 时。
有理数详细讲义
- 1 -有理数一、正数与负数：1.正数：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。
为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。
2.负数：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。
而负数前面的“－”号不能省略。
3.零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。
注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
例如－a 不一定是负数，因为字母a 代表任何一个有理数，当a 是0时，－a 是0，当a 是负数时，－a 是正数；能用正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言有理数。
二、有理数及其分类：有理数：整数与分数统称为有理数。
整数包括三类：正整数、零、负整数。
分数包括两类：正分数和负分数。
注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除π和与π有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。
按整数、分数的关系分类： 按正数、负数、零的关系分类：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数 三、数轴：1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。
七年级数学 有理数知识点
七年级数学有理数知识点七年级数学--有理数知识点有理数是指带分数、正整数、负整数和0四种数的统称。
在学习有理数的概念、性质、运算等知识点中，初中数学的七年级是基础阶段，下面我们来逐一了解。
一、有理数定义有理数定义是指一些可以表示为分数形式的数，这些数皆可以用整数表示，在它们组成的集合中，0和平方不大于0的整数属于这个集合。
二、绝对值数轴被分为两段，以0为分界点，左侧全是负数，右侧全是正数；对于同一数轴上的任何两个点a，b，它们的距离就是|a-b|，也就是它们所代表的有理数的绝对值。
三、有理数的比较有理数可以使用大小关系符号进行比较。
对于两个不同的有理数a、b，如果a<b，我们说a小于b，同理，如果a>b，我们说a 大于b，a和b的大小关系有三种可能情况：a=b、a<b、a>b。
对于相等关系的判定，我们使用等于号“=”，对于大小关系的判定，只需看括号内的符号，如a<b，则a小于b。
四、有理数的负数- 一个正整数的相反数是用相反符号表示的数；- 零的相反数仍然是零；- 一个负整数的相反数是用相反符号表示的正整数。
五、有理数的加减法有理数的加减法运算是根据同号异号进行分类讨论，基本法则可以总结为：1. 同号相加，取相同符号，结果取绝对值之和；2. 异号相加，取较大数的符号，结果取较大数的绝对值减去较小数的绝对值；3. 同号相减，取相反符号，结果取绝对值之差；4. 异号相减，取前一个数的符号，结果取前一个数的绝对值加上后一个数的绝对值。
六、有理数的乘除法有理数的乘除法同样是根据同号异号进行分类讨论，基本法则可以归结为：1. 同号相乘，结果为正；异号相乘，结果为负；2. 分子分母同色，约掉后需保留符号；异色无需再约分，最终结果直接相乘即可。
七、有理数的混合运算有理数可以进行混合运算，包括加减乘除四种基本运算方法。
在实际应用中，混合运算更常见，需要注意转换运算法则为逐步化简，先乘除后加减。
七年级有理数知识点总结
七年级有理数知识点总结
1. 有理数的定义
有理数是整数和分数的统称，可以表示为分子和分母都是整数的分数形式。
2. 有理数的分类
有理数可以分为正有理数、负有理数和零。
3. 有理数的比较
对于两个有理数的大小比较，可以通过比较其大小关系，如大于、小于、等于。
4. 有理数的运算
4.1 加法和减法
对于有理数的加法和减法运算，可以采用分数的通分法来进行计算，并将分子部分进行加减运算，保持分母不变。
4.2 乘法和除法
对于有理数的乘法和除法运算，可以将分数进行约分后，分别
计算分子和分母的乘除运算。
5. 有理数的应用
有理数在实际生活中有广泛的应用，例如计算货币、温度等。
6. 有理数的绝对值
有理数的绝对值就是去掉其符号，保留其数值部分。
7. 有理数的倒数
有理数的倒数就是将其分子和分母交换位置后得到的新有理数。
8. 有理数的表示与运算规律
有理数可以通过分数形式或小数形式来表示，并且在运算时遵
守数字的运算规律。
以上是对七年级有理数知识点的简要总结。
有理数的应用广泛
且实用，掌握了这些知识点，可以更好地理解和运用有理数概念。
七年级数学上册知识讲义-1.有理数的概念、分类、数轴及相反数-人教版
精讲精练知识精讲1. 有理数的概念及分类正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。
整数和分数统称为有理数。
即：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0，或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.（1）数轴三要素：原点、正方向、单位长度；（2）0是正数和负数的分界点，原点是数轴的“基准点”，负数都在原点的左侧，正数都在原点的右侧；（3）设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点到原点的距离是a 个单位长度；表示数－a 的点到原点的距离是a 个单位长度。
注意：（1）画数轴时，三要素缺一不可，原点可以在直线上任意选取，但必须有原点；（2）数轴是一条直线，不要画成线段或射线，一般规定向右为正方向，画上箭头，而反方向为负方向，一定不能画箭头；（3）单位长度的确定，可以根据实际需要灵活选取.在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一。
3. 相反数（1）只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；（2）设a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，分别在原点的左右两侧，这两点关于原点对称，它们互为相反数。
（3）求一个数、字母或式子的相反数的方法改变数前面的符号，如：3的相反数是－3；字母前面添加“－”号，如：a 的相反数是－a ；式子前面添加“－”号，并给算式加括号，如：a －2的相反数是－（a －2）。
（4）互为相反数的两个数和为零，如：如果a 与b 互为相反数，则a+b=0。
高频考题例题1 下列说法中，错误的有（ ）①－274是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥3.14不是有理数A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个思路分析：①②正确；③错误，非负有理数包括0和正有理数；④错误，整数和分数统称为有理数，整数包括正整数、负整数和0；⑤错误，0不是最小的有理数，负数都小于0，没有最小的有理数；⑥错误，3.14是有理数，但π不是有理数。
初中数学基础知识讲义—有理数1
一．正数和负数具有相反意义的量，一个规定为____数，另一个就是_____数。
在一个数前加一个_____（也可以不加）,这个数叫_______；在一个数前加一个______，这个数叫________。
★0既不是_______，也不是________写出一些正负数：正数__________________________负数______________________二、有理数的概念（一）有理数的定义与分类（1）整数和分数统称为有理数。
目前学过的数，除了______________________________外，都是有理数。
①无限不循环小数的类型1：:π和包含π的算式，例如：3π，π+2②无限不循环小数的类型2：2.010010001……，0.415115111511115……1.有理数的分类：第一种分法：先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”的属性分，第二种分法：先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”的属性分，想一想：①“0”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？②“―2”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？③自然数就是整数吗？是正数吗？是有理数吗？2.把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。
例如：①所有正数组成的集合，叫做正数集合； ②所有负数组成的集合叫做负数集合；还记得吗？完成下面知识点的问题：初中数学基础知识讲义—有理数③所有整数组成的集合叫整数集合； ④所有分数组成的集合叫分数集合；⑤所有有理数组成的集合叫有理数集合； ⑥所有正整数和零组成的集合叫做自然数集。
⑦非正数， ⑧非负数， ⑨非正整数， ⑩非负整数（2）数轴1.____________________________________________叫数轴。
★数轴的方向通常习惯指向_________方或上方。
2.整数与数轴（1）任何一个整数都可以用________表示。
① 0用_______表示。
初一数学有理数全章讲义教学内容
D．3.14 是小数，也是分数
6、下列说法正确的的是（ ）
A.有理数是指整数、分数、正有理数、0、负有理数 B.一个有理数不是整数就是负数
C.一个有理数不是整数就是分数 7、 44 , ,0, 0.3。四个数中，有理数的个数为（ ）
7
D.以上说法都正确
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
典型例题
1、下列说法不正确的是（ ）
A．0 不是正数，也不是负数 B．负数是带有“-”的数，正数是带有“+”的数
C．非负数是正数或 0 D．0 是一个特殊的整数，它并不只是表示“没有”
2、水位上升-0.5cm 的意义是（ ）
A．水位上升 0.5cm B．水位下降 0.5cm C．水位没有变化 D．水位下降了 5cm
注：（1）正整数、0、负整数统称为整数。
（2）正分数和负分数统称为分数。
（3）对于小数，只有能化成分数的小数才是有理数。
（4）我们把有限小数和无限循环小数都看做分数，因此有限小数和无限循环小数是有理
数。
（5）无限循环小数不能化成分数，因此它不是分数，也不是整数，所以就不是有理数。
二、有理数的分类（重点）
8.有理数中，是整数而不是正数的是（ ），是分数而不是正分数的是（
）。
9、有理数中，最小的自然数是（ ）,最小的正整数是（ ）。
10、整数与分数统称为（ ），整数包括（
），分数包括
（
）。
11、通常把（
）和（
）统称为非负整数，把（ ）和（ ）统称为非正整
数；把（
）和（
）统称为非负数，把（
）和（
）统称为非正数。
4、下列说法不正确的是（ ） A.-0.5 是分数 B.0 不是正数也不是负数 C.整数和分数统称为有理数 D.0 是最小的正数
七年级第一章有理数知识点总结
一、有理数概念及性质
1.什么是有理数
有理数是形式上存在分数表示，或者可以等价转化为分数表示的自然数，整数，分数及其各自的正负数的数的总称。
2.有理数的性质
(1)有理数的封闭性：有理数组成的集合，是一个封闭的集合，它满足交换律，结合律，分配律，有界律以及加减乘除定律。
(2)有理数的可比较性：有理数可以相互比较大小。
(3)有理数的可折叠性：有理数可以折叠为一个更小的数，而且当两个有理数可以折叠时，它们可以折叠到一个相同的因数上。
二、有理数的加减法
(1)有理数的加法
有理数的加法只要把两个加数的分母约到相同，然后将相同的分母下的分子相加即可。
(2)有理数的减法
有理数的减法只要把两个减数的分母约到相同，然后将相同的分母下的分子相减即可。
三、有理数的乘法
有理数的乘法是把两个乘数的分子相乘，分母也相乘，得到的结果是两个乘数的乘积。
四、有理数的除法
有理数的除法是把被除数的分母乘以除数的分子，分子乘以除数的分母，得到的结果是两个数的商。
五、有理数的最简形式
有理数的最简形式，即最简分数，是指把一个分数的分子和分母都约分到最简形式，使得同时存在它们的最大公约数。
六、有理数的基本运算。
初中数学基础知识点总结之有理数
初中数学基础知识点总结之有理数有理数是数学中的一个重要概念，它是整数和分数的统称。
有理数包括正整数、负整数、零及正分数、负分数。
有理数的定义：整数与分数统称为有理数。
一个数如果可以表示成两整数之比的形式，就称为有理数。
1、整数：正整数、负整数。
正整数是比零大的整数，用正整数1、2、3、4、5……表示。
负整数是比零小的整数，用负整数-1、-2、-3、-4、-5……表示。
2、分数：分子和分母都是整数的数（分子可以为零，分母不为零）。
分数表示的是一个数相对于1的比例关系。
3、有理数的性质：①有理数可以进行四则运算，即加减乘除。
②有理数的加法、减法、乘法满足交换律、结合律和分配率。
③有理数的除法要注意分母不为零，零除以任何数等于零。
④有理数的加法运算：同号相加：两个正有理数相加，保留符号，数的绝对值相加；两个负有理数相加，结果也为负数，数的绝对值相加；异号相加：两个数的绝对值相减，结果的符号与绝对值大的数相同。
减去一个数，相当于加上这个数的相反数。
⑥有理数的乘法运算：同号相乘，结果为正数，数的绝对值相乘；异号相乘，结果为负数，数的绝对值相乘。
⑦有理数的除法运算：除以一个数，相当于乘以这个数的倒数，除数不为零。
4、绝对值和相反数：①绝对值是一个数到零的距离，没有方向的概念。
正数的绝对值等于这个正数本身，负数的绝对值是去掉负号的数。
②相反数是绝对值相等，符号相反的两个数。
同是有理数，相反数互为相反数，即a的相反数是-b，b的相反数是a。
5、有理数的比较大小：①同号数比较大小，绝对值大的数大，绝对值小的数小；②异号数比较大小，正数大于负数；③任何一个正整数都大于任何一个负整数。
6、有理数的化简：①约分：一个分数的分子和分母除以相同的非零整数，所得的比值仍然相等。
②通分：两个分数的分母相同时，可直接比较大小。
若分母不同时，需要进行通分再进行比较。
求两个分数的公共倍数，让分子同步。
①加法：（1）同号相加，结果的符号与加数的符号相同，绝对值等于加数的绝对值之和；（2）异号相加，取两数绝对值之差，结果的符号与绝对值大的那个加数的符号相同；（3）加0，任何数加0都等于这个数本身。
初中数学知识点――有理数
初中数学知识点――有理数1、有理数（1）凡能写成（a、b都是整数且a≠0）形式的数，都是有理数。
正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。
（注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数）（2）有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性。
（3）自然数是指0和正整数；a＞0，则a是正数；a＜0，则a是负数；a≥0，则a是正数或0（即a是非负数）；a≤0，则a是负数或0（即a是非正数）。
2、数轴数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3、相反数（1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0。
（2）注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；（3）相反数的`和为0时，则a+b=0；即a、b互为相反数。
4、绝对值（1）正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。
（注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离）。
（2）绝对值可表示为|a|。
（3）|a|是重要的非负数，即|a|≥0。
（注意：|a|・|b|=|a・b|）。
5、有理数比大小（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0。
6、互为倒数乘积为1的两个数互为倒数。
（注意：0没有倒数；若a、b≠0，那么的倒数是；倒数是本身的数是±1；若ab=1，则a、b互为倒数；若ab=-1，则a、b互为负倒数。
7、有理数加减法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
七年级有理数学习要点
七年级有理数学习要点有理数是七年级数学中的重要概念，也是后续数学学习的基础。
对于刚进入初中的同学们来说，掌握有理数的相关知识至关重要。
接下来，让我们一起深入了解七年级有理数的学习要点。
一、有理数的定义与分类有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
按照定义，有理数可以分为整数和分数。
整数包括正整数、0 和负整数；分数包括正分数和负分数。
按照性质符号，有理数又可以分为正有理数、0 和负有理数。
正有理数包括正整数和正分数；负有理数包括负整数和负分数。
理解有理数的分类有助于我们在后续的计算和应用中准确判断和处理各种数。
二、有理数的数轴表示数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。
任何一个有理数都可以在数轴上找到对应的点。
例如，正数在原点的右边，负数在原点的左边，0 在原点处。
通过数轴，我们可以直观地比较有理数的大小。
数轴上右边的数总比左边的数大。
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
例如，5 和-5 互为相反数，0 的相反数是 0。
求一个数的相反数，只需在这个数的前面加上“”号。
相反数的性质：若 a、b 互为相反数，则 a ＋ b ＝ 0。
四、有理数的绝对值绝对值的几何定义：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|。
绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。
即：当 a ＞ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＝ 0 时，｜a| ＝ 0；当 a ＜ 0时，｜a| ＝ a。
绝对值具有非负性，即|a| ≥ 0。
五、有理数的大小比较1、正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。
2、两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
例如，比较-3 和-5 的大小。
因为|－3| ＝ 3，｜－5| ＝ 5，而 3 ＜ 5，所以-3 ＞－5。
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
例如，2 ＋ 3 ＝ 5，－2 ＋（－3) ＝－5。
2、异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
初中需要掌握的数学知识点
初中需要掌握的数学知识点一、知识概述《有理数》①基本定义：有理数就是整数（像-3、-2、-1、0、1、2、3这样的数）和分数（比如1/2、3/4这样的数）的统称。
简单说，能写成两个整数之比的数就是有理数。
②重要程度：有理数在初中数学里是特别基础的概念，基本上后面好多知识都会用到，像解方程、算函数之类的。
③前置知识：要先知道整数的概念，然后对简单的分数运算有点了解。
④应用价值：在生活里，比如算账，商品打个八折，就是按原价的4/5算，这里的4/5就是有理数。
《一元一次方程》①基本定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫一元一次方程，像3x+5 = 14这样的。
②重要程度：这是初中代数里相当重要的一块，是解更复杂方程的基础。
③前置知识：知道有理数的运算，还有基本的等式性质。
④应用价值：比如说去买东西，知道单价和总价，求买的数量，就可能用到一元一次方程。
《三角形的内角和》①基本定义：三角形的内角和就是三角形三个内角的度数加起来的和，是180度。
②重要程度：三角形相关知识的基石，在几何证明和计算里到处都用。
③前置知识：知道角的概念，度数的概念。
④应用价值：生活里做个三角形状的架子，就用到这个原理来保证结构稳定。
二、知识体系①知识图谱：有理数属于数与代数领域的基础部分，一元一次方程也在代数体系里，三角形的内角和在几何部分的三角形知识板块里。
②关联知识：有理数和一元一次方程有关系，方程里的系数很多都是有理数。
三角形内角和跟三角形的边、角的其他性质相互关联。
③重难点分析：- 对于有理数，难点在于有理数运算中符号的处理。
说实话我以前经常搞混正数和负数乘除时的符号。
- 一元一次方程的重点就是理解怎么去求解，移项变号这地方挺容易错的。
- 三角形内角和简单概念好懂，难的是在复杂的几何图形里找出包含内角和的三角形去证明或者计算。
④考点分析：- 有理数在考试里可能就单独出些运算的题，或者是作为综合题里数值的一部分。
有理数讲义
【中考命题趋势】本章在各地中考题中主要是对有理数有关概念的理解及运算能力的考察，大多数以填空题、选择题的形式命题，有时出现个别判断题型，虽然试题内容相对简单，一般不会出现高难度题，属于中考的送分题，但考察的分值和比例并不多。
【知识点归纳】一、有理数的基本概念考点1．负数⑴ 用正负数表示相反意义的量（增加，减少；零上，零下；向前，向后。
） ⑵定义：在正数前面加“—”（读负）的数，（-5，-2.8，3 (4)-） ⑶a -不一定是负数，关键看a 是正数、负数还是0⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩负数，有理数数轴相反数概念绝对值有理数的大小比较倒数加法减法乘法有理数运算除法乘方混合运算科学记数法近似数和有效数字例1：设向东行驶为正，则向东行驶30m 记做 ，向西行驶20m 记做 ，原地不动记做 ，—5m 表示向 行驶5m ，+16m 表示向 行驶16m.。
例2：收入—2000元，表示 。
考点2．有理数⑴定义：整数： 正整数、零和负整数统称为整数。
()...2,1,0,1,2....--自然数：正整数和零。
()0,1,2,3....分数：正分数和负分数统称为分数。
40.3,0.31,......5••⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数有限小数和无限循环小数与分数可以相互转化。
【注】π，以及π的倍数都不是分数。
有理数：整数和分数统称为有理数。
⑵ 有理数分类① 按有理数的定义分类 ②按正负分类正整数 正整数 整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数分数 负有理数 负分数 负分数⑶ 习惯上将“正有理数和零”称作非负有理数 （即非负数）⑷ 数集：把一些数放在一起就组成了一个数集，简称数集。
有理数集，整数集，非负整数集等等。
⑸ 【注】0既不是正数也不是负数，0是整数，0是自然数，0是非负数，0是非正数。
初中数学—有理数
３ 1、正数：像 2 2 、 1 0 8 、 3 . 6 、 等这样
的数（以前学过的除0以外的数）叫做正数，
正数都比0大。
４
2、负数：前面带有“－”（负）号的数 ３ 1 2 、 3 8 、 3 .5 、 1 叫负数，如 等。 ４
例1. 某乳品有限公司2005年第一季度比 2004年第一季度多生产牛奶10万箱，二 季度比2004年同期少生产牛奶20万箱， 三季度与2004年同期持平。请你写出 2005年一、二、三季度同2004年比的增 产量。 解：第一季度的增产量为+10万箱； 第二季度的增产量为－20万箱； 第三季度的增产量为0。
解：（1）结合数轴和B点在A点左边，所以只有当 乌龟向右爬行，小白兔向左运动它们的距离就会越 来越远。
最远时，乌龟所在的位置对应的数是4，小白兔所 在的位置所对应的数是。
（2）当它们都向右运动3s时才相距最近。最近时 乌龟和小白兔所在的位置对应的数分别是4和7。
四、相反数与绝对值
1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反 数， 0的相反数是0。 （1）代数特点：仅仅符号不同，其余都相同。 （2）几何特点：从数轴上看，位于原点两侧且 到原点距离相等的两个点对应的数互为相反数。 （3）相反数的表示：在一个数前面加上“－”， 就得到此数的相反数，如a的相反数就是－a。 （4）正数的相反数是负数；负数的相反数是 正数；0的相反数是0本身。
初中数学
第二讲
主要内容：
有理数
1、正数和负数的意义；
2、有理数和数轴； 3、相反数和绝对值概念。
Hale Waihona Puke 一、正数和负数正数与负数的产生是由于生产、 生活的需要，我们用正数和负数来表 示现实生活中具有“相反意义的量”。
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一、正数和负数的定义0的数叫做正数。
根据需要有时在正数前面加上正号“+”，但是正数前面的正号“+”，一般省略不写。
-”的数叫做负数。
负数前面的负号“-”不能省略。
eg ：-a 不一定是负数，因为字母a 可以表示任何数，当a 是正数时，-a 是负数；当a 表示负数时，-a 则是一个正数，而不是负数；当a 表示0时，-a 就是在0前面加上一个负号，仍是0,0不分正负。
(2)具有相反意义的量正数和负数表示具有相反意义的量。
若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。
常见的表示相反意义的量：零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、升高和下降。
(3)0的意义（重点理解）0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。
0的意义已经不仅是表示“没有”。
1、(2013山东德州)－1, 0， 0.2，71， 3 中正数一共有 个2、（2013广西玉林市）既不是正数也不是负数的数是3、（2013浙江丽水）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（ ） A .－3℃ B .－2℃ C .+3℃ D .+2℃4、（2014浙江宁波）杨梅开始采摘啦！每框杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这4框杨梅的总质量是（ ）(1)正整数、0 注：（1）正整数、0 （2 （3）对于小数，只有能化成分数的小数才是有理数。
初中数学基础知识讲义—有理数按数的种类分 按有理数的性质分有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数0 有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数0注：（1）有理数的分类必须按同一标准，不漏、不重。
（2）0 （3）0（4）0 （5）01、下列个数中：1330.70125---，，，，，中负分数有 个；负整数有 个；自然数有 个2、（宁波）下列各数是正整数的是（ ） A ．－1 B ．2 C ．0．5D ．133、（上海）如下列分数中，能化为有限小数的是（ ） (A) 13 (B) 15； (C) 17； (D)194、（东阳县）73是（ ） A．负整数 B ．有理数 C ．整数D ．负数三、数轴的概念(1)规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
(2)数轴的画法（重点）画数轴时，关键要体现数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。
(3)数轴上的点与有理数的关系（重点、难点）一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个长度单位；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a 个长度单位。
(4)利用数轴比较大小（重点、难点）1、数轴上的数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大2、有理数大小比较法则：（1）正数都大于0（2）负数都小于0 （3）正数大于负数1、如下图所示，数轴中正确的是（ ）2、（重庆潼南）如图，数轴上A ，B 两点分别对应实数a 、b ， a 、b 的大小关系为3、（2013江苏泰州市）如图，数轴上的点P 表示的数是－1，将点P 向右移动3个单位长度得B －10 1A CDbA B四、相反数(1)相反数的概念：在数轴上与原点的距离相等，且只有_______的两个数，我们称它们互为______。
规定：零的相反数是_______。
概念的理解：（1）互为相反数的两个数分别在原点的______，且到原点的_____相等， （2）一般地，数a 的相反数是 ______，（3）在一个数的前面添上“—”号，就表示这个数的相反数。
(2)多重符号的化简：化简双重符号的规律可简述为：同号得“ ”，异号得“ ”。
例如：化简：—（+10）= （2） - 0 = （3）—（—20）= （4）+（+3）= （5）+（—0.15）=1、（2014云南昆明）21的相反数是（ ） A. 21B. 21-C. 2D. 2-2、（2013福州）3的相反数是（ ） A ．－3 B .13 C .3 D . 13- 3、（本溪中考)如果a 与1互为相反数，则a+2等于（ ） A ．2 B ．2- C ．1D ．1-五、绝对值：(1)数轴上，表示____________________________叫做这个数的绝对值。
－5的绝对值记作：|－5|；a a 的绝对值记作： (2)绝对值法则：① 正数的绝对值是___________； ② 0的绝对值是____； ③ 负数的绝对值是_________________。
想一想：=12 =6.0－ =⨯92423－ （3）含有字母的绝对值的化简求值（重点、难点）化简绝对值要分两步走，即“先判后去”——先判断这个数是正数、零还是负数，再由绝对值的意义确定去掉绝对值的符号的结果是等于它本身还是等于它本身的相反数或零。
1、（2014云南省）|﹣|=（ ） A ．﹣B ．C ．﹣7D ．72、（2014舟山）﹣3的绝对值是（ ）A ．﹣3 B ．3 C ．D ．133、（2014四川泸州）已知实数x 、y 满足130x y -++=，则x +y 的值为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣4 D ．44、已知||3a =，则a 的值为（ ） A.3 B. 3- C 3±. D. 以上答案均不正确六、有理数的大小比较★在数轴上，越在右方的数________ (1) 负数小于____，0小于______，负数小于_____数；(2) 两个正数，应用已有的方法比较（绝对值大数大）； (3) 两个负数，绝对值大的___________.1、（2014广东）在1，0，2，﹣3这四个数中，最大的数是（ ）A ．1 B ．0 C ．2D ．-32、（2014武汉）在实数﹣2，0，2，3中，最小的实数是（ ）A ．-2 B ．0 C ．2 D ．33、（2014菏泽）比﹣1大的数是（ ）A ．﹣3 B ．﹣ C ．0D ．﹣1（1）有理数的加法1、把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法。
2、两个有理数相加，有以下几种情况：①两数都是正数；②两数都是负数；③两数异号，即一个是正数，一个是负数； ④一个是正数，一个是0；⑤一个是负数，一个是0；⑥两个数都是0. （2）有理数的加法法则 1、有理数的加法法则共有4条：★一个数同0相加，仍得这个数 总结：有理数加法的运算步骤 ①先判断属于法则中的哪种类型； ②再依法则判断和的符号； ③判断利用绝对值的和还是绝对值的差进行计算． 上述步骤可以概括为：“一定二求三加减”1、（2014武汉）计算：﹣2+（﹣3）=2、（2014遵义）﹣3+（﹣5）的结果是（ ） A ．-2 B ．-8 C ．8D ．23、（2013安徽）下面的数中，与－3的和为0的是 （ ） A .3 B .－3 C .31 D .31- （3）有理数的减法1、有理数的减法，就是已知两个有理数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。
2 3、任意两个数都可以进行减法运算。
4、几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分构成：（1）性质符号；（2）数字即数的绝对值。
5、有理数的减法法则b a 、表示任意有理数。
1、（2013黔东南）计算－1－2等于（ ） A 、1 B 、3 C 、－1 D 、－32、（2013山西）计算：﹣2﹣5的结果是（ ） A ．﹣7 B ． ﹣3 C ．3 D ．73、（2013珠海）计算11-＝ .★有理数乘法法则：① 同号两数相乘得正，并把绝对值相乘。
（两个负数相乘简称：负负得正） ② 异号两数相乘得负，并把绝对值相乘。
③ 0乘以任何数还得0。
★多个有理数连乘，① 如果奇数个负数，积得负； ② 如果偶数个负数，积得正。
（4）有理数的除法 因为：除以一个数等于乘以这个数的倒数，所以有理数除法的商的符号确定的方法和乘法一样。
（5）有理数的乘方2a a a ⋅=，读作a 的平方（或二次方）． 3a a a a ⋅⋅=，读作a 的立方（或三次方）．4a a a a a ⋅⋅⋅=，读作a 的四次方．一般地，n 个相同的因数a 相乘：记作：nn a a a aa a ⋅⋅⋅=n a 读作a 的n 次方，或者读作a 的n 次幂．求n 个相同因数的积的运算叫做乘方；乘方的结果叫做幂．★一个数可以表示成这个数本身的一次方，例如，155=（指数1通常省略不写） ★负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ★正数的任何次幂都是正数． 练一练(3)11= 12= 13= 14= 1n= 0n=()=-21 ()=-31 ()41-= ()51-= ()20121-= ()20131-=★()=-偶数1 ★()=-奇数1（6）有理数的混合运算到目前为止，对有理数来说，我们学过的运算有：加、减、乘、除、乘方； 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减。
如果右括号，先算括号里面的。
1、（2014安徽省）计算（－2）×3的结果是（ ） A .－6 B .6 C .－5 D .52、(2014年天津市)计算（﹣6）×（﹣1）的结果等于（ ） A ．6 B ．﹣6C ．1D ．﹣13、（三明中考）如果□,1)3(=-⨯则□内应填的实数是（ ） A ．3-B ．2-C ．3D ．2（7）近似数与有效数字 1.准确数：完全符合实际的数。
近似数：和准确数非常接近的数，近似数和准确数接近的程度叫做精确度。
2所有的数字都叫做这个数的有效数字。
3.近似数的精确度有两种形式：1）精确到哪一位，2）保留几个有效数字。
4. 近似数和有效数字的确定方法①对一般数字的近似数有两个原则：一是非零数字都是有效数字；二是前面的“0”都不是有效数字，夹在非零数字中间的“0”和后面的“0”都是有效数字。
②对带有计数单位的近似数，方法同上，如1.2万，同有两个有效数字1、2，而不是5个有效数字1、2、0、0、0。
（8）科学记数法1、科学计数法：把一个绝对值大于10的数写成，这种计数的方法就是科学计数法。
2、用科学计数法计数时应注意：①不能改变数的大小；③为正整数且n a ,10|| 1<≤； ④负数也可以用科学计数法表示，“-”照写，其他与正数一样。
1、（2013贵州铜仁）从权威部门获悉，中国海洋面积是299.7万平方公里，约为陆地面积的三分之一, 299.7万平方公里用科学计数法表示为（ ）平方公里（保留两位有效数字）A ．6103⨯B ．7103.0⨯C ．6100.3⨯D ．61099.2⨯2、（2013四川资阳市）为了保护人类居住环境，我国的火电企业积极做好节能环保工作．2011年，我国火电企业的平均煤耗继续降低，仅为330000毫克/千瓦时，用科学记数法表示并保留三个有效数字为 毫克/千瓦时．3、（2014贵州黔西南州）20140000用科学记数法表示（保留3个有效数字）为 ．4、（2014衡阳）环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题。