那么称线段AC被点B黄金分割goldensection

合集下载

北师大版八年级下册数学各章知识要点总结

北师大版八年级下册数学各章知识要点总结北师大版八年级下册数学各章学问要点总结北师大版八年级数学下册各章学问要点总结第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2、不等式的解不唯一，把全部满意不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.3、求不等式解集的过程叫解不等式.4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组5、不等式组的解集:一元一次不等式组各个不等式的解集的公共局部。

6、等式根本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.根本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.二、不等式的根本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（注：移项要变号，但不等号不变。

）性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向转变.不等式的根本性质、若a>b,则ac>bc；、若a>b,c>0则ac>bc，若cc,则a>c四、一元一次不等式与一次函数五、一元一次不等式组※1.定义：由含有一个一样未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.※2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共局部叫做不等式组的解集.假如这些不等式的解集无公共局部，就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共局部，通常是利用数轴来确定.※3.解一元一次不等式组的步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些解集的公共局部，（3）写出这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种状况（a、b为实数，且a找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取一样的字母，字母的指数取较低的；（3）取一样的多项式，多项式的指数取较低的.（4）全部这些因式的乘积即为公因式.四、分解因式的一般步骤为:（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则依据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.五、形如a+2ab+b或a-2ab+b的式子称为完全平方式.六、分解因式的方法：1、提公因式法。

苏科版九年级数学下册_6.2黄金分割

∵ AC＝ 2，
∴ BC＝ 5 －1．
感悟新知
知1－讲
例2 [期中·扬州] 某品牌汽车为了打造更加精美的外观．特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的
位置(如图6.2-4)，若车头与倒车镜的水平距离为1.58 米，则该车车身总长约为( A )米．
A. 4.14 B. 2.56
C. 6.70 D. 3.82
第6章图形的相似
6.2 黄金分割
学习目标
1 课时讲解黄金分割
黄金矩形(了解)
2 课时流程
逐点导讲练
பைடு நூலகம்
课堂小结
作业提升
感悟新知
知识点 1 黄金分割
知1－讲
1. 定义像图6.2-1 那样，点B把线段AC分成两部分，如果 BACB=AABC ，那么称线段AC被点B黄金分割(golden section)，点B为线段AC的黄金分割点．AB与AC(或BC 与AB)的比称为黄金比，它们的比值为 5－1 ，在计 2 算时，通常取它的近似值0.618．
感悟新知
知1－讲
解：设该车车身总长为x米．
由题意，汽车倒车该镜车到车车身尾总的长水平距离=
5－1 2
=0.168.
可得汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x米，
∴ x－0.618x ＝ 1.58，解得x ≈ 4.14．
即该车车身总长约为4.14 米．
感悟新知
知识点 2 黄金矩形（了解）
定义若矩形的两条邻边的长度的比值等于黄金比
②根据黄金矩形的定义证明，证明AE：AB ＝ 5－1 . 2
课堂小结
黄金分割
黄金分割点
黄金矩形
黄金比=
5－1 2
定义黄金分割

第二节黄金分割

mCBA第四章第二节黄金分割一、课程导入日常生活中，细心的同学会发现有些成年女性穿高跟鞋，会比较美观。

那么里面有什么玄机呢？今天我们一起来了解下黄金分割。

二、必讲知识点1、黄金分割的定义：如图，点B 把线段AC 分成两条线段AC 和CB ，如果ACBC BCAB =,那么称线段AC 被点B 黄金分割，期中点B 事线段AC 的黄金分割点，AB 与BC 的比叫黄金比。

注意：①对于任意一条已知线段来说，都有两个黄金分割点②黄金比例式还可以写成AC AB BC∙=23、黄金比为215-618.0≈4、黄金矩形的概念：宽与长的比为215-的矩形叫黄金矩形。

2、黄金分割的尺规作图法三、典型例题例1、已知线段cm AB 2=，点C 是线段AB 的黄金分割点，求AC 得线段长度？例2、已知C 、D 均是线段AB 的黄金分割点，且CD 长为6，求AB 得长？例3、一个舞台长6米，当主持人站在该舞台的黄金分割点处时，音像效果才最佳，请你帮助主持人计算下他应该在舞台的什么位置？例4、美是一种感觉，当人体的下半身长（即脚底到肚脐的长度）与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感。

某女士身高为157cm ，下半身长为93cm ，为了尽可能达到美的效果，该女士穿的高跟鞋的最佳高度是多少？（精确到0.1cm ）例5、矩形ABCD 是黄金矩形，且该矩形的长为6cm ，求这个矩形的面积是多少？例6、已知M 是线段AB 的黄金分割点，且AM >BM .(1)写出线段AB 、BM 、AM 之间的比例关系？ (2)如果cm AB 8=，求BM AM 、的长？四、上课必练一、选择题1、有以下命题:①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有dc b a =②如果点C 是线段AB的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1其中正确的判断有（） A.1个 B.2 个C.3个D.4个2、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且 AP ＜PB ，则（） A 、PB AB AP ⋅=2； B 、PB AP AB ⋅=2；C 、AB AP PB ⋅=2；D 、222AB BP AP =+ 3、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（）A 、)15(5-B 、)15(5+C 、)25(10-D 、)53(5- 4、若3a=4b ，则（a ﹣b ）：（a+b ）的值是（）A 、错误！未找到引用源。

10.2黄金分割

答：主持人应走到离A点至少7.6m处是比较得体的位置.
巩固练习 6.11 1.如图,点C是AB的黄金分割点,AB=4,则AC2=________. （结果保留三个有效数字）
2. 我们知道古希腊时期的巴台农神庙（ Parthenom Temple）的正面是一个黄金矩形．若已知黄金矩形的长等于6m,则这个黄金矩形的宽等于_________.（结果 3.71 保留三个有效数字）.
3. （1）如图,若点C是AB的黄金分割点,AB=1,则 AC=_______,BC=______. 0.618 0.382 A C B （2）一条线段的黄金分割点有 2 个．
小结
通过今天的学习，请说说你的体会.
我的肺腑之言
D C
点D是线段AC的黄金分割点.
B
黄金三角形:
顶角为36°的等腰三角形称黄金三角形．
黄金三角形具有如下的性质：
BC （1） 0.618 ； AB
平分线（2）设BD是△ABC的底角的__________，则△BCD也是黄金三角形， D 且点____是线段AC的黄金分割点；（3）如再作∠C的平分线，黄金三角形交BD于点E，则△CDE也是_______， E 如此继续下去，可得到一串黄金三角形． B
B
答：AC的长约为2.47cm或1.53cm.
例题探究
例2.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20米，试计算主持人应走到离A点至少多少米处是比较得体的位置？（结果精确到0.1米）解：由题意AC<BC，如图A
C
B
BC 0.618, AB
BC 0.618AB 0.618 20 12.36m; AC 20 BC 20 12.36 7.64 7.6m.

黄金比

形体优美的动物形体，如马，骡、狮、虎、豹、犬等，凡看上去健美的，其身体部分长与宽的比例也大体上接近与黄金分割如：蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618。（如图1）蜗牛等动物的螺旋形外壳从内到外的直径之比也接近0.618, （如图2）而禽兽等高级温动物的体温介乎37-39℃，这一温度正是水的液态范围0-100℃，两个黄金点（0.618）之一，即100℃*0.328=38℃ 左右。
设想我们看到了非常引人入胜的风景，但缺少具有优美几何结构的被摄主体，这样拍出来的照片只会是一个空洞泛味的场景，那该如何处理呢？试着寻找一个与这种单调的环境形成鲜明对比的物体，并将这一被摄物置于如图中的其中一个“十”字点位置，这样照片就有了一个明显的锚点，并将观众的目光由此出发引导至整个风景。
图1
图2
经过多年的总结分析，人们发现，在人体中也包含着多种“黄金分割” 的比例因素，至少可以找出18个“黄金点”（如：脐为头顶至脚底之分割点、喉结为头顶至脐分割点、眉间点为发缘点至颏下的分割点等）、15个 “黄金矩形”（如躯干轮廓、头部轮廓、面部轮廓、口唇轮廓等）、6个 “黄金指数”（如鼻唇指数是指鼻翼宽度与口裂长之比、唇目指数是指口裂长度与两眼外眦间距之比、唇高指数是指面部中线上下唇红高度之比等）、3个“黄金三角”（如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等）。
由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。 2000多年前,古希腊雅典学派的第三大算学家欧多克斯首先提出黄金分割。他提出的计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波契数列1，1，2， 3，5，8，13，21，...后二数之比2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,...近似值。于是，欧多克斯将这种比专称为“中外比”。在数学史上，是欧多克斯首先提出的中外比。公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。

初中数学《6、2黄金分割》知识点+教案课件+习题

知识点：数学定义把一条线段分成两段，使其中较长的一段是原线段与较小一段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。

如图，C为线段AB上一点，如果有则点C叫做线段AB的黄金分割点。

设AB=1, AC=x，则解得，称之为黄金比，也叫中末比、中外比、黄金率。

我国古代称为弦分割。

黄金比的数值后人还称为黄金数。

视频教学：练习：1．(1)如图，若点C是AB的黄金分割点，AB＝1，则AC≈_______，BC≈_______．(2)－条线段的黄金分割点有_______个．2．据有关实验测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为_______℃（精确到1℃）．3．我们知道古希腊时期的巴台农神庙(Parthenom Temple)的正面是一个黄金矩形．若已知黄金矩形的长等于6，则这个黄金矩形的宽约等于_______．（精确到0.1）4．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP<pb，则 </pb，则( )A．AP2＝AB·PB B．AB2＝AP·PBC．PB2＝AP·AB D．AP2＋BP2＝AB25．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为 ( ) A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm课件：教案：一、教学目标1．了解黄金分割的概念，求作任意线段的黄金分割点；2．进一步理解线段的比，增强知识的综合运用能力．二、教学过程1.自主先学，温故知新蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感．请你量出图中线段AB、BC、AC的长度，并计算线段AB与AC的比值和线段BC与AB 的比值．上海东方明珠电视塔设计巧妙，整个塔体挺拔秀丽，现请你度量出图中线段AB、BC、AC的长度，并计算线段AB与AC的比值和线段BC与AB的比值．通过计算，你有何发现？观察习题6.1第5题“你最喜欢的矩形”的调查结果，看看多数同学喜欢哪一个矩形？你能说明喜欢的理由吗？2.组织互学，巩固提高例1.如图，点B在线段AC上，且．设AC＝1，求AB的长．说一说像上图那样，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割（golden section），点B为线段AC的黄金分割点．AB与AC（或BC 与AB）的比值称为黄金比．在计算中，通常取它的近似值0.618．3.提升研学，适度强化议一议(1)．如图：点B是线段AC的黄金分割点，线段AC还有黄金分割点吗？若有，你能找出它吗？这两个黄金分割点有何特点？注：一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的．(2)．如果把化为乘积式是怎么样的？结合图形你怎么理解它？(3)．你对多数同学选择喜欢这个矩形找到原因了吗？长与宽的比为黄金比的矩形称为黄金矩形，这种矩形给人以美感．你能举例说一说生活中有哪些黄金矩形吗？做一做1．如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，AB＝100cm，则BC＝_______________cm.2．如图，点B在线段AC上（AB＞BC）若AB＝2，BC＝a－1，则当a为何值时，点B是线段AC的黄金分割点？4.迁移再学，拓展延申例2. (1) 如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，现以点C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于点D，再以点A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于点E.求证：＝ (比值叫做AE与AB的黄金比).(2) 如果一个等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图②中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC(不写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及的点用字母进行标注).5.当堂训练，及时反馈(1). 已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则()A. AP2＝AB·PBB. AB2＝AP·PBC. PB2＝AP·ABD. AP2＋BP2＝AB2(2). 如图，C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，AB＝AE.若矩形EACD的面积为8，则正方形GCBF的周长为()A. 8B. 2C. 4D. 8(3). ①一条线段的黄金分割点有个；②如图，若B是线段AC的黄金分割点(AB＞BC)，AC＝20 cm，则AB的长为cm.(4). 据有关实验测定，当气温与人体正常体温(37 ℃)的比为黄金比时，人体感到最舒适，这个气温约为℃(精确到1 ℃).(5). 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.如图，某女士的身高为165 cm，下半身长x cm与身高l cm的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为cm(精确到1 cm).(6).如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D、E是边BC的两个黄金分割点，求△ADE的面积.6.归纳小结，颗粒归仓（1）知识层面：（2）方法层面：。

黄金分割及答案

黄金分割（一）、主要知识点： 1.黄金分割的定义在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中215-＝AB AC ≈0.618. ABC推导黄金比过程。

设AB=1，AC=x ，则BC=1-x ，所以xxx -=11，即x x -=12，用配方法解得x=215-≈0.618 . 注意：（1）一条线段有2个黄金分割点。

（2）较长线段较短线段原线段较长线段黄金比==（3）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形（4）黄金分割点把线段分成一长一短，则较长线段较短线段原线段较长线段=，即：点C 是线段AB 的黄金分割点：①若AC>BC,则ACBCAB AC = ；②若AC<BC,则BCACAB BC = . 2．如何作一条线段的黄金分割点. 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB. （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB.（3）在AB 上截取AC=AE.则点C 为线段AB 的黄金分割点.作图原理：可设AB=1,，则BD=21,则由勾股定理可知25=AD .可进一步求出AE, AC.从而解决问题。

3.比例的基本性质：如果a b cd =,那么ad=bc ，逆命题也成立。

4.合比性质：如果a b c d =，那么a b b c d d +=+；如果a b c d =，那么a b b c dd -=-。

5.等比性质：如果a b c d ==……=mn（b ＋d ＋……＋n ≠0）；那么，a c m b d n ab ++++++=（二）、典型习题：一、选择题1．等边三角形的一边与这边上的高的比是_________． A ．3∶2 B ．3∶1 C ．2∶3 D ．1∶32．下列各组中的四条线段成比例的是_________． A ．a =2，b =3，c =2，d =3 B ．a =4，b =6，c =5，d =10 C ．a =2，b =5，c =23，d =15 D ．a =2，b =3，c =4，d =13．已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是_________． A ．a ∶d =c ∶b B ．a ∶b =c ∶dC ．d ∶a =b ∶cD ．a ∶c =d ∶b4．若ac =bd ，则下列各式一定成立的是_________．A ．d c b a =B ．c c b d d a +=+C ．c d b a =22D ．dacd ab =5．已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是_________．A ．AM ∶BM =AB ∶AM B ．AM =215-AB C ．BM =215-AB D ．AM ≈0．618AB 二、填空题6．在1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是________．7．正方形ABCD 的一边与其对角线的比等于________． 8．若2x －5y =0，则y ∶x =________，xyx +=________． 9．若53=-b b a ，则b a=________． 10．若AE ACAD AB =，且AB =12，AC =3，AD =5，则AE =________．三、解答题 11．已知342=+x y x ，求y x ．12．在同一时刻物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50 m ，同时高为1．5 m 的测杆的影长为2．5 m ，那么古塔的高是多少?13．在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB =15 cm ，AC =10 cm ，且BD ∶DC =AB ∶AC ，BD －DC =2 cm ，求B C ．14．如果一个矩形ABCD (AB ＜BC )中，215-=BC AB ≈0．618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE (如图1)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．分式（一）、主要知识点： 1.分式的定义分母中含有字母的式子叫做分式，成立的条件：分母不为0 。

比例线段与黄金分割典型例题讲解与练习

⽐例线段与黄⾦分割典型例题讲解与练习个性化辅导讲义（2012 ~ 2013 学年第 1 学期）任教科⽬：数学授课题⽬：相似图形1年级：⼋年级任课教师:教导主任签名：__________⽇期：2013、4、28⼀．知识的回顾⽐例定义：表⽰两个⽐相等的式⼦叫⽐例.1、如果a与b的⽐值和c与d的⽐值相等，那么a c=b d或a∶b=c∶d,这时组成⽐例的四个数a,b,c,d叫做⽐例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a、d为外项，c、b为内项. 2、如果选⽤同⼀个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的⽐AB∶CD=m∶n，或写成AB m=CD n，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段⽐的前项和后项.3、如果把mn表⽰成⽐值k，则AB=CDk或AB=k?CD.4、四条线段a,b,c,d中，如果a与b的⽐等于c与d的⽐，即a c=b d,那么这四条线段a,b,c,d叫做成⽐例线段，简称⽐例线段.5、黄⾦分割的定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC BC那么称线段AB被点C黄⾦分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄⾦分割点，AC与AB的⽐叫做黄⾦⽐.其中AC∶AB≈0.618.6、引理：平⾏于三⾓形的⼀边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三⾓形的三边与原三⾓形三边对应成⽐例.相似三⾓形：三⾓对应相等，三边对应成⽐例的两个三⾓形叫做相似三⾓形.相似多边形：各⾓对应相等、各边对应成⽐例的两个多边形叫做相似多边形。

相似⽐：相似多边形对应边的⽐叫做相似⽐.⼆、⽐例的基本性质：1、若ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么a c=b d。

如果a c=b d（b,d都不为0），那么ad=bc.2、合⽐性质：如果a c=b d,那么a b c b=b d±±。

3、等⽐性质：如果a c m==b d n（b+d++n≠0），那么a+b+=b+d+bm an4、更⽐性质：若a c=b d，那么a b=c d。

阅读材料一话说“黄金分割”课件

欣赏美
在人的生命程序DNA分子中，它的每个双螺旋构中都是由宽21个埃与长34个埃之比非常接近黄金分割的0.618。
欣赏美
形体优美的动物形体，鹦鹉螺等动物的螺旋形外壳从内到外的直径之比也接近0.618,
欣赏美
把二胡的“千斤”放在琴弦某处，音色会无与伦比的美好。经过数学家验证，这一点恰恰是琴弦的黄金分割点0.618!
AB AC
∙ AC2=AB BC
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden section),
点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,
AC 与 AB 的比叫做黄金比.这个比值叫做黄金数.
√ AC = BC =
AB AC
5 –1 2 ≈ 0.618
探究一如图，Rt△ABD中，∠B=90°，AB=2BD ,
发现美
同一建筑物两种设计方法，哪一种更具有美感？
发现美
芭蕾舞演员做相同的动作，踮脚尖和不踮脚尖，哪个更美？
发现美
脸型相同，五官基本相同的三张脸，哪个更美？
发现美
B C
A
B B
C C
A
AHale Waihona Puke 阅读与欣赏什么是黄金分割？
A
C
B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果 AC = BC
能找几个？
1.经过点B作BD⊥AB,使
BD = 1 AB. 2
D E
2.连接AD,在AD上截
取DE=DB.
3.在AB上截取AC=AE.
A
C
B
点C即是线段AB的黄金分割点.
应用美
母亲节快到了，看到每天忙繁繁忙的妈妈，你准备给妈妈送一件礼物，你能否用数学知识把礼物包装的更加美观，大方?

线段上的黄金分割点证明方法

线段上的黄金分割点证明方法线段上的黄金分割点是优美的几何概念之一，在数学和美学之间有很强的联系。

黄金分割点不仅具有对称美和纯净度，还可以在设计、建筑、音乐等领域中得到广泛的应用。

本文将介绍一种简单的证明方法，希望对广大读者有所帮助。

首先，我们需要理解什么是黄金分割点。

把一条线段分成两段，如果它们的比例等于整条线段与前一段的比例相等，那么这个比例就是黄金分割点。

这个比例值约等于1.6180339887…，常用字母φ表示。

下面，我们来证明线段的黄金分割点存在。

步骤一：假设存在线段AB，将其按照黄金分割点C分成两段，AC 和CB。

步骤二：假设AC/CB=φ，即AC=φCB。

步骤三：因为AC+CB=AB，我们可以将其代入第二个式子中：φCB+CB=AB。

步骤四：移项得(φ+1)CB=AB，即CB/AB = 1/(φ+1)。

步骤五：根据黄金分割点的定义，AC/CB = CB/AB，即AC/AB = 1 - AC/AB。

因为AC/AB=φ/(φ+1)，所以1 - AC/AB = 1/(φ+1)。

步骤六：根据步骤五代入步骤四中的式子，得CB/AB=(φ+1)φ/(φ+1)=φ。

步骤七：由步骤六得知CB/AB=φ，则BC是一条线段的黄金分割点，证毕。

通过这个简单的证明，我们可以看到线段的黄金分割点确实存在，并且可以用比例关系来描述。

这个比例的频繁出现也是黄金分割点在自然界和人工设计中广泛应用的原因之一。

总之，线段上的黄金分割点是一个有趣的数学问题，它不仅仅是数学上的一个美学概念，还对于设计，建筑，音乐等领域都有着广泛的应用。

希望这篇文章能够让读者更好地理解这个概念，同时也希望读者在实际运用过程中能够灵活运用黄金分割点的特性，让设计变得更加完美。

6.2 黄金分割-2020-2021学年九年级数学下册同步课堂帮帮帮(苏科版)(解析版)

如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB，近似值为0.618.1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的；2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的；3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数；4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”.例：点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则线段AC的长为　．【解答】22或6﹣2【解析】①当AC＞BC时，∵点C是线段AB的黄金分割点，∴AC＝AB＝2﹣2；②当AC＜BC时，∵点C是线段AB的黄金分割点，∴BC＝AB＝2﹣2，∴AC＝AB﹣BC＝6﹣2综上所述，线段AC的长为22或6﹣2故答案为22或6﹣2一．选择题1．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10，那么AP的长是（）A．5B．5C．1D【解答】A【解析】由于P为线段AB＝10的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝―5．故选A．2．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（）A B C D 【解答】A【解析】如图，设AB＝1，∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，∴AE＝GF∴BE＝FH＝AB﹣AE∴S3：S2＝（GF•FH）：（BC•BE）：（1故选A ．3．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MGMN =GNMG =“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（）A B ．―5C D 【解答】A【解析】作AH ⊥BC 于H ，如图，∵AB ＝AC ，∴BH ＝CH =12BC ＝2，在Rt △ABH 中，AH ∵D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，∴BE ＝2―1）＝―2，∴HE ＝BE ﹣BH ＝―2﹣2＝―4，∴DE ＝2HE ＝8∴S △ADE =12×（8）=故选A ．4．21）的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【解答】B又∵2―1）＝―2，∴4＜5，∴2＜2＜3，∴21）的值在2和3之间；故选B．5．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是（）A B―1C．3―D【解答】C【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，BC2＝AC•AB（2﹣AC）2＝2ACAC2﹣6AC+4＝0解得AC＝3+3则AC长是3―故选C．6．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，且AD＞AB，AD＝2，点E是AD上一点，点G是CD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BC边上的点F处，再将△DEG沿直线EG折叠，使点D落在EF上的点H处，则FH的长为（）A1B C．3―D．4【解答】D【解析】∵矩形ABCD 是黄金矩形，且AD ＞AB ，AD ＝2，∴AB =―1，∵△ABE 沿直线BE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，∴AB ＝BF 1，∠BFE ＝∠A ＝90°，∴四边形ABFE 为正方形，∴AE ＝EF ＝AB =―1，同理可得四边形DEHG 为正方形，∴EH ＝DE ＝AD ﹣AE ―1）＝3∴HF ＝EF ﹣EH =―1﹣（34．故选D ．7．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加美感，按此比例，如果雕像的身高为3米，设雕像的上部为x 米，根据其比例关系可得其方程应为（）A ．x 2﹣9x +9＝0B ．x 2﹣3x +9＝0C ．x 2+9x ﹣9＝0D ．x 2﹣6x +9＝0【解答】A【解析】根据题意得x ：（3﹣x ）＝（3﹣x ）：3，整理得x 2﹣9x +9＝0．故选A ．8．已知，P 是线段AB 上的点，且AP 2＝BP •AB ，那么AP ：AB 的值是（）A B C D 【解答】A【解析】设AB 为1，AP 为x ，则BP 为1﹣x ，∵AP 2＝BP •AB ，∴x 2＝（1﹣x ）×1解得x 1x 2．∴AP ：AB 故选A ．9．如图，Rt △OAB 的直角边OA ＝2，AB ＝1，OA 在数轴上，在OB 上截取BC ＝BA ，以原点O 为圆心，OC 为半径画弧，交数轴于点P ，则OP 的中点D 对应的实数是（）A B C 1D 1【解答】A【解析】在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，AB ＝1，OA ＝2，由勾股定理得：OB =∵BC ＝AB ，AB ＝1，∴BC ＝1，∴OC ＝OB ﹣BC =―1，即OP =―1，∵OP 的中点是D ，∴OD =12OP =12×―1）即点D 故选A ．10．点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段，如果AP 是PB 和AB 的比例中项，那么下列式子成立的是（）A ．PBAP =B ．APPB C ．PBAB D ．APAB 【解答】D【解析】∵点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段，AP 是PB 和AB 的比例中项，∴根据线段黄金分割的定义得：APAB =故选D ．11．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及实数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c ＝a +x （b ﹣a ），这里x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得b ac a=c ab c ，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于（）A ．12B C D【解答】D【解析】∵c﹣a＝x（b﹣a），b﹣c＝（b﹣a）﹣x（b﹣a），b ac a =c ab c，∴[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，∴x2+x﹣1＝0，解得x∵0＜x＜1，∴x=故选D．12．下列说法：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；x＝﹣4或1；④数4和9的比例中项是6；⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝―5．其中正确的说法的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】C【解析】①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；正确，此时△＞0；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；正确；x＝﹣4或1；错误，x＝﹣4不符合题意，不是最简二次根式；④数4和9的比例中项是6；错误，数4和9的比例中项是±6，⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5．错误，若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5或BC＝5．故选C．二．填空题130.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐27cm，则其身高大约是 cm．（结果保留整数）【解答】185．【解析】设咽喉至肚脐的长度为xcm，肚脐至足底的长度为ycm，由题意得，27x≈0.618，解得，x≈43.7，∴人体的头顶至肚脐的长度为：27+43.7＝70.7，∴70.7y≈0.618，解得，y≈114.4，其身高＝114.4+70.7≈185（cm），故答案为185．14．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1 S2（填“＞”或“＝”或“＜”）．【解答】＝【解析】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2＝BP×AB，又∵S1＝AP2，S2＝PB×AB，∴S1＝S2．故答案为＝．15．如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为　．【解答】2+【解析】∵线段AB＝x，点C是AB黄金分割点，∴较小线段AD＝BC=，则CD＝AB﹣AD﹣BC＝x﹣2×=1，解得：x＝2+故答案为2+16．点P在线段AB上，且BPAP =APAB．设AB＝4cm，则BP＝ cm．【解答】【解析】∵BPAP =APAB．∴P点为AB的黄金分割点，∴AP4＝2，∴BP＝4﹣（2cm．．17．已知点P是线段AB上的一点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝10cm，那么BP＝ cm．【解答】（5）【解析】∵点P是线段AB上的一点∴AP＝AB﹣BP＝10﹣BP，∵BP2＝AP•AB，AB＝10cm，BP2＝（10﹣BP）×10，解得BP＝―5．故答案为（5）．18．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 cm．【解答】（5）【解析】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP10＝―5（cm），故答案为（5）19．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到0.1米）．【解答】7.6米【解析】根据黄金比得：20×（1﹣0.618）≈7.6米，∵黄金分割点有2个，∴20﹣7.6＝12.4，由于7.6＜12.4米∴主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体．故答案为7.6米．20．如图，以边长为4的等边三角形AOB的顶点O为坐标原点，边OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点B在第一象限，在边OB上有一点P为OB的黄金分割点（PO＞PB），那么点P的坐标是．【解答】（4，【解析】如图，作BD⊥OA，PE⊥OA于点D、E，∵△ABC为边长为+4的等边三角形，∴∠OBD＝∠ODE＝30°，设OE＝x，则OP＝2x，PE，则PB＝+4﹣2x，∵点P为OB的黄金分割点（PO＞PB），根据黄金分割定义，得OP2＝OB•PB4x2＝（4）（4﹣2x）解得x＝4，＝所以P点坐标为（4，．故答案为（4，．21．把长为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是 cm．【解答】5（3―【解析】由题意知，则较短线段＝10×（15（3―．故本题答案为：5（3―．三．解答题22．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长．【解答】（1）∠B的度数为36°；（2）①△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形；②3―【解析】（1）设∠B＝x，∵BD＝DC，∴∠DCB＝∠B＝x，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2x，∵AC＝DC，∴∠A＝∠ADC＝2x，∵∠ACE＝∠B+∠A，∴x+2x＝108°，解得x＝36°，即∠B的度数为36°；（2）①△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形．理由如下：∵DB＝DC，∠B＝36°，∴△DBC为黄金三角形；∵∠BCA＝180°﹣∠ACE＝72°，而∠A＝2×36°＝72°，∴∠A＝∠ACB，而∠B＝36°，∴△ABC为黄金三角形；∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝72°﹣36°＝36°，而CA＝CD，∴△CAD为黄金三角形；②∵△BAC为黄金三角形，=∴ACBC而BC＝2，∴AC=―1，∴CD＝CA1，∴BD＝CD1，∴AD＝AB﹣BD1）＝3―23ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．【解答】见解析【解析】原矩形ABCD是为黄金矩形．理由如下：设矩形BCFE的长BC为x，∵四边形BCFE为黄金矩形，∴宽FC，∵四边形AEFD是正方形，∴AB＝x，则BCAB∴原矩形ABCD是为黄金矩形．24．（1）已知ab =35，求（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，求PA、PB的长．【解答】（1）85；（2）PA―1，PB=3―【解析】（1）∵ab =35，∴可设a＝3k，则b＝5k，∴a bb =3k5k5k=85；（2）∵点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，∴PA=―1，PB＝3―25．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB．类似的，在AB上折出点M使AM＝AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．【解答】见解析【解答】证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE＝1∴AE=∵EF＝BE＝1，∴AF＝AE﹣EF=―1，∴AM＝AF1，∴AM：AB1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．26．如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC•AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．（1）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；（2）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A+3，0），B（x，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．【解答】（1）6；（2）见解析【解析】（1）∵黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，=2，∴―b2a∴b＝﹣4a，又b2＝ac∴16a2＝ac．且与y轴交于点（0，8），∴c＝8．∴a =12，b ＝﹣2．∴y =12x 2﹣2x +8=12（x ﹣2）2+6，∵12＞0，∴y 有最小值为6．答：y 的最小值为6．（2）原点是线段AB 的黄金分割点．理由如下：∵黄金抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的顶点P 为（1，3），把它向下平移后与x 轴交于A 3，0），B （x 0，0），∴x 0＝﹣1∴OA ＝3OB ＝1+AB ＝OA 2＝（32＝OB •AB ＝（1+）（∴OA 2＝OB •AB ．答：原点是线段AB 的黄金分割点．27．如图，要设计一座高为2米的人体雕像AB ，使雕像的上部AC （腰点C 以上）与下部（腰点C 以下）的高度之比等于下部BC 与全部AB （身高）的高度之比，雕像的下部BC 的长应设计为多少米？【解答】（﹣1+【解析】设下部应设计为x 米，则上部的长度为（2﹣x ）米，根据题意得，2x x =x 2，整理得，x 2+2x ﹣4＝0，解得，x 1＝﹣1+x 2＝﹣1―，所以，雕像的下部应设计为（﹣1+28．如图1，点B 在线段AC 上的黄金分割点，且AB ＞BC ．（1）设AC ＝2，①求AB 的长；填空：设AB ＝x ，则BC ＝2﹣x∵点B 在线段AC 上的黄金分割点，且AB ＞BC ，∴ ，可列方程为，解得方程的根为，于是，AB 的长为．②在线段AC （如图1）上利用三角板和圆规画出点B 的位置（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若m 、n 为正实数，t 是关于x 的方程x 2+2mx ＝n 2的一正实数根，①求证：（t +m ）2＝m 2+n 2；②若两条线段的长分别为m 、n （如图2），请画出一条长为t 的线段（保留作图痕迹，不写作法）．【解答】（1）①AB AC =BC AB ，x 2=2x x ，x 1＝﹣1x 2＝﹣1+（2）①见解析，②见解析【解析】（1）①设AB ＝x ，则BC ＝2﹣x∵点B 在线段AC 上的黄金分割点，且AB ＞BC ，∴AB AC =BC AB ，可列方程为：x 2=2x x ，解得：x 1＝﹣1+x 2＝﹣1―∴AB 的长为：﹣1故答案为AB AC =BC AB ，x 2=2x x ，x 1＝﹣1x 2＝﹣1②作图见下图1：（2）①证明：解关于x的方程x2+2mx＝n2：x2+2mx+m2＝m2+n2（x+m）2═m2+n2，∵t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一正实数根，∴（t+m）2＝m2+n2；②作图见下图。

八年级数学知识点：黄金分割数

八年级数学知识点：黄金分割数八年级数学知识点：黄金分割数数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，下面是小编整理的八年级数学知识点：黄金分割数，希望对大家有帮助!黄金分割数：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。

其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。

由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。

黄金分割:黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。

0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。

上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。

黄金分割线:黄金分割线是一种古老的数学方法。

黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条件下大胆断言：一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0.618，那么，这样比例会给人一种美感。

后来，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。

黄金分割线的神奇和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。

黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0.618和0.382，它们有如下一些特点：(1)数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。

(2)前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0.618。

(3)后一数字与前一数字之比例，趋近于1.618。

(4)1.618与0.618互为倒数，其乘积则约等于1。

(5)任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2.618;如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0.382。

理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0.618和0.382以外，尚存在下列两组神秘比值。

即：(1)0.191、0.382、0.5、0.618、0.809 (2)1、1.382、1.5、1.618、2、2.382、2.618黄金分割点:把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。

八年级数学黄金分割(2)

C
黄金分割点的作法
维纳斯的标准体型
芭蕾演员虽然身材修长，但其腰长与身高之比平均约为 0．58，只有在翩翩起舞时、踮起脚尖，方能展现0．618的魅力。
人体的黄金分割点
爱与美之神维纳斯
0.382
-----
0.618
人体的黄金分割点
例：已知线段AB=10cm,C为其黄金分割点，
黄金分割
查阅 & 欣赏
探索身边的 “黄金分割”
ห้องสมุดไป่ตู้
为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要掂起脚? 为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋?为什么她们会给人和谐、平衡、舒适与美的感觉?
黄金身材比例
探索交流
什么是黄金分割
五角星是我们常见的图形.在图 4-4中,度量点C到点A,B的距离. A C B
AC BC 与相等吗 ? AB AC
且AC>BC，
求：①AC和BC的长； ②AC：BC
③AC-BC ④AC· BC
若没有给出AC>BC的条件，该如何解此题？
建筑中的神秘数字
西腊帕提农神庙
巴黎圣母院
建筑中的神秘数字
多伦多电视塔
东方明珠电视塔
动物界的神秘数字
气温在人体正常体温的黄金分割点上23℃左右时，恰是人的身心最适度的温度；正常人的心跳在心电图上也显示出T波出现的位置恰好大约是一次心跳节拍的 “黄金分割”位置上（如图）。
健康的黄金分割率
； / 阀门厂
；
炙那张已经脱去稚气,微微有点黝黑偏瘦の面容,心里有些微微の心疼.他知道这个青年这么努力修炼の背后都是,为了能够得到足够の积分救回他家里の妹妹.这点让她很是感动,又有点微微の嫉妒. 夜轻舞却抖了抖挺直の鼻子,有些不满の说道："白重炙,你老实交代,你怎么会我爷爷の奔牛步?是不是他偷偷教你の?" "奔牛步?"花草漂亮の眼睛一翻,豁然省悟,大叫起来："哇,白重炙你刚才踩得是奔牛步?难怪如此诡异！" "回头和你解释."白重炙有些无奈の瞪了夜轻舞一眼,有些责怪他说话不分场合,这等东西能在这里说?在夜轻舞听懂话闭上了嘴巴之后,才转头眉头一挑看着花草,好不容易哄着花草帮他练功,要是泡汤就不好了,所以他决定用起激将法稳住花草："怎么你怕了?怕了你就认输,不然以后输了脸面可不好看." "哼！我会怕?今天不知道是谁被我很轻松就刺中了三剑,你这个赌局稳输无疑,你就准备请我……"花草虽然有些畏于白家这种神奇の步伐,但是在旁边两美女看着の情况下当然不会胆怯,挺了挺胸,毫不注意の说道,只是说着说着,似乎察觉后面の话题似乎不怎么和谐,连忙讪讪地闭上了嘴巴. "赌局?输了请你干什么啊?人妖,你怎么说话说一半啊,继续说,继续说！"夜轻舞精确の察觉了花草话语中の含义,秋水眸子表示出很浓の兴趣,见花草不说了,追问道. "哈哈,没什么,小舞姐,我去洗个澡迟点在和你说,这天气热得一身臭汗啊……"花草打了个哈哈,脚底抹油跑路了. "哼！说话含含糊糊,肯定打の赌不是什么好东西."夜轻舞冷哼一声,对花草の态度很是不满,转头用手指着白重炙逼问道："小寒子,你说,老实交代哦." "额,我也去洗个澡,迟点在和你说！天气还真热."白重炙见夜轻舞把目光投到了他身体上,而一旁の月倾城也含笑看着他,不禁眉头一皱.随意说道,准备逃之夭夭,却见夜轻舞气得大跳似乎准备追过来,连忙大叫起来："怎么?你们几个想和我一起洗?" 夜轻舞本想去追の脚步连忙止住,要是真去追,怕是会给人误会了,气得小脚在地上狠狠一跺指着白重炙の背影大骂起来："白重炙,你给我等着,姐迟早给你好看……" "额?"月倾城没有想到,白重炙竟然把她也说进去了,想着白重炙言语中羞人の含义,她一张出尘绝美の小脸抹上了一抹嫣红,更显得楚楚动人起来. 接来下の日子,精英小队中除了例行の蹲点外,又多了一个活动.看花草追着白重炙满山乱野の跑……第一天赌斗,白重炙在花草の手下支持了十五分钟就被刺中了三剑,输了一局.而接下来の日子随着白重炙对迷踪步の越来越熟练,被他刺中の三剑の时间也在慢慢推移了. 今日是他们赌斗の第十三天,没有轮流の精英小队阵聚集在夜十七旁边,静等着他们赌斗の开始. "快开始了,好了还有没有人下注,白重炙胜一赔十,花草胜一赔一.速度下注啊,最后一分钟."风紫闷声闷气の声音响起,让花草和白重炙以及夜十七一阵无奈. 自从赌斗第三日,被风紫知道之后.这小子就在大树下开了个外围赌局,自己坐庄,让所有没有没有轮流の小队精英再次开赌. "风公子?今天赌率怎么又掉了啊?昨日寒公子胜不是一赔二十吗?"一名花家精英苦着脸说道,前几日风紫这骗子开赌,每次都把白重炙の诡异步法说得天上没有,地上一家.众人一开始一听白重炙用得步法竟然是夜青牛成名の奔牛步时,竟然没有人敢赌他输. 结果白重炙连输十三场,输の他们差点卖裤子了.而他们现在如果还买花草胜の话,****那么低,基本上都不能扳本了,只能希望白重炙胜利了,此刻见白重炙の****掉了当然急了. "你丫の,你懂什么?这个****是借助他们日益增长の对战经验,以及天气和他们心情啊,休息情况什么の,综合之下我核算了一夜才算出来の.要买速度,不买の话只能等明天再能下注了！"风紫脸一沉,训斥道,白重炙昨日差点赢了,今天如果他还不把白重炙の****调低の话,他会把裤子都给输了. 对于白重炙进步心底却十分震惊,原先他在得知他们の赌斗情况后,他以为白重炙稳输.结果在白重炙迷踪步逐渐の熟练之后,昨日居然险些成功了,白家の圣阶秘技迷踪步他当然清楚,大成之后の威力.只是这步法不是号称要修炼最少二十年才能大成吗?白重炙怎么修炼了几个月就好像第一层快成了? "我们赌白重炙赢,一百紫晶币."就在风紫思量之时,旁边响起一个柔柔の声音.紧接着他闻到一阵淡淡の桃花香夹杂着玫瑰香水味道,诧异の抬起头,看到来人,不禁苦笑起来. "倾城女主小舞姐,我只是随便玩玩の,你们就没必要参合进来吧."看到月倾城和夜轻舞联袂而来,而且他们一出手就是一百紫晶币,他心里有些忐忑起来,一百紫晶币那可是一万晶币,如果白重炙赢了,那可是要陪十万晶币の. "怎么の?你开这个庄,不就是想让人下注吗?难倒是黑庄?"夜轻舞哼哼一声眉头微微皱起,瞪着风紫,一副就要发飙の样子. 夜轻舞一说,旁边の精英立马有了主心骨般,集体拿着鄙夷の目光看着风紫,似乎他不不接这个单,那就集体鄙视他般. "行,既然你送钱来,我就勉为其难收下吧,到时候输了可别哭！"风紫无奈只得干笑两声,接下这个押注,心里却开始祈祷起来,花草你一定要努力啊,否则这把输了,可是要陪一千紫晶币,等于是十万晶币,这怕是他全部の家当都不够赔啊. 这边赌得热闹,那边却打得热闹,白重炙似乎对这十八个步法越来越熟练了,竟然没有按照往常一样,被花草追着四处乱跑.只是不停の在草地上转着圈,每当花草の剑就要刺中他の身体时,他脚步却未卜先知般,诡异の扭动起来,险险躲开. 时间已经过去四十分钟了,可是花草竟然只是刺中了一剑.这一剑还是他设计了好久,把白重炙逼到一个地形极不平缓の乱石堆附近,利用残影分身才刺中の.现在の白重炙他感觉就像个泥鳅,每次都感觉要刺中,却都被他险险躲过,让他有种吐血の冲动. "已经过去五十分钟了哦,风公子,准备好钱吧,十万晶币,这得买多少衣服啊."旁边の夜轻舞和月倾城看得十分入迷起来,时不时为白重炙神来之笔の一次躲避喝彩一声.而在夜十七の提示下,已经过了五十分钟,夜轻舞这才笑呵呵の望着苦着脸の风紫打趣道. 旁边の精英小队の成员也,满是兴奋.虽然赌率降低了,但是如果这次赢了他们还是有机会把以前输の拿回来,不禁更大声の为白重炙喝彩加油起来. "这不还有十分钟吗?急什么?高手过招,一秒钟都可以刺出几剑,谁输还不知道那?"风紫黑这个脸,吞了口唾沫.咬牙硬撑.心里却早已把花草骂了几十遍,随着时间の推移特の心也越来越凉,越来越暗淡下来…… 当前第玖捌章零８９章再次出发玖捌章再次出发 "时间到,白重炙胜！" 最后の时间,夜十七宣布了结果.结果出来了,有人欢喜有了悲.而最先发飙の却不是别人,而是花草.他那能让很多女人羡慕撞墙の漂亮脸蛋明显一股怨气,恨恨の把木剑随手一甩,骂骂咧咧说道："不打了,算我输了,这战如果还打下去,我非得吐血不可,我认输了,我不玩了,月楼我也不去了……" "别啊,好几次你都差点成功了,明天继续努力,肯定能赢！" 白重炙慢悠悠走过来,笑呵呵说道.擦了擦脸上の汗水,神情很兴奋.迷踪步第一层终于大成了.成果很明显,速度堪比普通元帅境三重の花草竟然在一个小时内都只能刺中他一剑.可想而知, 以后随着他实力の提升,他の速度肯定会提升,那么他将会有足够の本钱,在混乱の府战中保命.然后在保命の前提下,秒杀元帅境练家子,得到大量の积分,成功救回妹妹…… "风紫,赔钱,赔钱！哇咔咔,十万晶币啊！"夜轻舞却在一旁高兴地跳了起来,两人观察了几日,估计今天白重炙赢の几率非常高,所以把身体上全部の钱都压了下来.果然一把中の,把她给乐坏了. "额,人妖你怎么那么不争气,这下我内裤都输了."风紫一脸苦瓜相,估计府

尺规作黄金分割点证明

尺规作黄金分割点证明尺规作黄金分割点是古希腊时期就已经为数学家们所知的问题。

黄金分割点是指某个线段内部分成两部分，比例为黄金比例（约为1:1.618），它有许多神秘之处，被广泛应用于艺术、建筑和自然科学中。

本文将介绍尺规作黄金分割点的证明和相关内容，旨在帮助读者更好地理解这个著名的数学问题。

首先，我们需要了解一些基本的几何概念。

在平面几何中，点、线、角和平面是最基本、最原始的几何要素。

尺规作图是利用尺和规这两个工具来构造平面几何图形的一种方法。

在这种方法中，我们只能使用直尺刻度和规矩来作图，不能使用圆规和其他工具。

接下来，我们来看一下如何用尺规作出黄金分割点。

假设有一个线段AB，要求将其黄金分割成AC和CB两部分，即AC：CB=1:φ，φ是黄金比例。

首先，我们需要在AB上取一点D，并将同时作为点A和点D的尺放在AB上，将规放在点D上，做出一条以点D为起点，方向与AD相同的线段DE。

接下来，将规放在BC上，作出一条与BC平行的线段EF，使EF交上一条通过A的直线AG，如图所示。

图1：尺规作出黄金分割点由于线段EF与BC平行，所以∠CEF=∠CBG。

又因为∠DAB=∠DBG，所以我们可以得到同旁内角相等，即∠DAB=∠CEF。

由于AB是AD与BD之和，我们可以得到如下比例式：AB/AD=AD/BD由于∠DAB=∠CEF，因此三角形DAB与三角形CEF相似，即：AB/CEF=AD/CE将等式左右两边对调并代入上式可得：CEF/AB=CE/AD，即：AB/AD=1+BD/AD=1+CE/EF在图1中，EF等于BC，CE等于DE，因此有：AB/AD=1+BD/AD=1+DE/BC将等式右边的BD表示成BC-CD，化简后得到：AB/AD=1+BC/BC-CD由于BC/AB=φ，我们可以将等式左右两边的AB替换成BC/φ，得到：BC/φAD=1+BC/(φBC-CD)将等式两边同时乘以φ和φ×AD，然后把分母中的CD用EF-DE的形式替换掉，可得：φ×BC=AD+EF-DE由于EF=BC，AD=BD，因此我们可以将等式右边的BD替换成AB-AD，并将DE替换成AD-DE，得到：φ×BC=AB-DE因此，点E就是线段AB的黄金分割点。

九年级数学下册 6.2 黄金分割教案 (新版)苏科版-(新版)苏科版初中九年级下册数学教案

6.2 黄金分割教学目标：分割、黄金矩形、黄金三角形的意义.2.会找一条线段的黄金分割点.3.提高分析问题、解决问题的能力，增强用数学的意识，提高审美意识和能力.教学重点：了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义.教学难点：会找一条线段的黄金分割点.教学过程：一、创设情景，感悟新知1.据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37o约是多少o C 呢(精确到1 o C)?2.为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要掂起脚尖? 为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋?为什么她们会给人感到和谐、平衡、舒适，美的感觉？请利用“黄金分割”的知识加以解释.二、探索规律，揭示新知黄金分割的意义:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC =，那么称线段被点C 黄金分割（golden section ），点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，AC∶AB=215-∶1≈0．681∶1. 三、尝试反馈，领悟新知例1：若线段AB=4cm ，点C 是线段AB 的一个黄金分割点，则AC 的长为多少？例2：如图的五角星中,AD=BC,且C 、D 两点都是AB 的黄金分割点,AB=1,求CD 的长.例3：科学研究表明，当人的下肢与身高比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm ，下肢长为92cm ，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约D C BAC BA 为cm （精确到）四、课堂练习，巩固新知1.如图的五角星中,AC AB 与BC AC的关系是( ) A 、相等 B 、AC AB >BC AC C 、AC AB <BC AC D 、不能确定 2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.3.一条线段的黄金分割点有个.五、学习体会：1.黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义.2.怎样找一条线段的黄金分割点.六、课堂练习：1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BC AB AC =,那么下列说法错误的是 ( )A.线段AB 被点C 黄金分割B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点C.AB 与AC 的比叫做黄金比D.AC 与AB 的比叫做黄金比2.黄金分割比是 ( )修正栏： D.3.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么AC AB 与AC BC的值分别是( ) C.12,12- D.12,124.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2=________.（结果保留根号）5.我们知道古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple ）的正面是一个黄金矩形。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2、已知AB＝10，点C是线段AB的黄金分割点，求线段AC的长（用根号表示）？
1.经过点B作BD⊥AB,使
1 BD AB . 2 E
D
2.连接AD,在AD上截取DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE.
根据上述作图回答下列问题: (1)若AB=2, 那么BD、AD、AC、BC分别等于多少？ (2)点C是线段AB的黄金分割点吗？ A C B
A C
D
B
3．如图，在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高. (1) 若AD=8，BD=2，则CD= ； (2) 若BD=4，AB=9，则BC= ； (3) 若AD=2，AB=3，则AC= ；
(4) 若CD=8，BD=4，则AD= (5) 若AB=5，AC=4，则CD=
．．
4. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB=7.8，BD=4.8，AC=6，AE=3.9，试判断 △ADE与△ABC是否相似，某同学的解答如下：解：∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8， ∴AD=7.8-4.8=3.
数学缔造完美
画家们绘画时依照黄金比例勾勒出的脸谱.
中华人民共和国
新西兰
朝鲜
新加坡
上述的国旗中有共同图案吗？
黄金身材比例
为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要掂起脚? 为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋?为什么她们会给人感到和谐、平衡、舒适、美的感觉?
下列矩形中,哪个比较匀称好看?
①
③
21×34
④
②
什么是黄金分割？
线段 AB 和 BC , 如果
BC AB = AB AC 或 AB2=BC
∙ AC
那么称线段 AC 被点 B 黄金分割(golden section), 点 B 叫做线段 AC 的黄金分割点,
AB 与 AC 的比(或BC与AB的比)叫做黄金比. √5 – 1 : 1 ≈ 0.618 : 1 BC AB = = 2 AB AC
AD AE ∵ ≠ AB AC
∴这两个三角形不相似. 你同意他的判断吗？请说明理由.
勾股定理和黄金分割是几何中的双宝, “前者好似黄金，后者堪称珠玉”。
黄金分割的魅力远不止……
BE BC ,
A
E
B
点E是AB的黄金分割点吗?矩形 ABCD的宽与长的比是黄金比吗? D
F
C
1.作顶角为36°的等腰△ABC;量出
BC 0.618 ; 底BC与腰AB的长度,计算: AB
尝试
2.作∠B的平分线,交AC于点D,量出CD的长度,
CD 0.618 . (精确到0.001) 再计算: BC A 黄金三角形
☆顶角为36°的等腰三角形底边
E B
与腰之比约为0.618; D ☆点D是线段AC的黄金分割点. ☆再作∠C的平分线,交BD于E, △CDE也是黄金三角形…… C
如图,正五边形ABCDE的5条边相等, 5个内角也相等. ⑴找找看,图中是否有黄金三角形?
B A G H E D F N
找一找
C
M
满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗？思考：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．图中有哪几对相似三角形？为什么？
实际应用 4.上海东方明珠电视塔高468m,上球体是塔身的黄金分割点,它到塔底部的距离大约是多少米(精确到0.1m)?
468m
?
468×0.618≈289.2m
开启
智慧
古希腊时期的巴台农神庙
• 如图是古希腊时期的巴台农神庙, 如果把图中虚线表示的矩形画成下图中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD,那么我们可以惊奇的发现 BC AB
观察
欣赏
世界艺术珍品——维纳斯女神，她是西元前一百多年希腊雕塑鼎盛时期的代表作，她的上半身和下半身的比值接近 0.618.
观察
欣赏
你知道芭蕾舞演员跳芭蕾舞舞时为什么要掂起脚尖吗?
芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有0.58左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近0.618了,给人以更为优美的艺术形象.
思考：
知识运用
M
1、如图,点P是线段MN的黄金分割点(MP＞NP),
MP MP ______, _____. (1)可得比例式 MN NP
P
N
(2)若MN=1,则MP≈_____,NP≈_____. (3)若MN=5,则MP≈______,NP≈______. (4)若MN=a,则MP≈______, NP≈______.