统计3

第七章二项分布
7.1二项分布的概念
1.二项分布/Bernoulli 试验的应用条件？（简答）①每次试验结果，只能是两个互斥的结果之一
②每次试验的条件不变。

即每次试验中，结果A 发生的概率不变，均为π。

③各次试验独立。

即一次试验出现什么样的结果与前面已出现的结果无关（反例：传染病）。

2.例：设小白鼠接受一定剂量某种毒物时，其死亡率为40%，对于每只小白鼠来说其死亡概率为0.4，生存概率为0.6.若以甲、乙、丙3只小白鼠逐只实验，则3只小白鼠中的死亡数X 服从二项分布。

下面就小白鼠的死亡情况进行分析：死亡数X 取值概率k
-3k 3-1)(π）
（πk C k X P ==03003-1)0(π）（πC X P ==12113-1)1(π）（πC X P ==21223-1)2(π）（πC X P ==3
0333-1)3(π）
（πC X P ==⑴其中k=0,1,2,...，n。

由于k
n k n C -k -1π）（π是二项式[π+（1-π）]n
展开式中的各项，故
称此分布为二项分布。

⑵显然对于不同的n，不同的π有不同的二项分布。

n、π是二项分布的两个参数。

⑶若一个随机变量X ，它的可能取值是0,1，...，n ，且相应的取值概率为：
k
n k n C k X P -k -1)(π）
（π==，则称此变量X 以n，π为参数的二项分布，记为X~B(n,π)。

7.2二项分布的性质
（一）二项分布的均数与方差若X~B（n,π），则⑴X 的均数π⋅=n X µ（记住）⑵X 的方差)-(12
ππn X =σ（不要求）⑶X 的标准差)-(1ππn X =
σ（不要求）
（二）二项分布的正态近似
1.（选择）可以发现二项分布图的形状取决于n，π的取值。

当π=0.5时，图形对称；当π≠0.5时，图形呈偏态，但随n 的增大，图形逐渐对称。

2.（选择）当n 较大，π不接近0也不接近1时，二项分布B（n,π）近似正态分布N（nπ，nπ（1-π））。

（三）样本率的正态近似
阳性数X 服从二项分布B（n,π），X 有概率分布：
阳性数X 取值0
1
...n
概率P（X）
n 00-1π）
（πn C 1
-n 11-1π）
（πn C ...
n -1π）
（πn n C 从而样本阳性率P 有概率分布：样本率P 的取值0/n
1/n
...n/n
概率P
n
00-1π）
（πn C 1
-n 11-1π）
（πn C ...
n -1π）
（πn n C 样本率P 的总体均数ππ===
)(1
1n n
n X p µµ样本率P 的总体标准差/标准误n
)
-(11ππ=
=
X P n σσ（计算必须会）率的标准误的估计n
)
-(1p p S P =
（参照P80例7-5）
（一）总体率的区间估计1.查表法
2.(小计算)正态近似法：当n>50，且np 与n(1-p)均大于5时，总体率的1-α可信区间为：
][2/,2/p p S u p S u p αα+−（参照第四章第五节P42例4-7）
（二）样本率与总体率的比较(参照P80例7-6)基本思想:二项分布的累计概率
（1）结果A 最多有K 次发生的概率:k
-n 00)
-(1k)(X )(ππk
K
k k n
K k C P K x P ∑∑=====
≤（"低于"）
（2）结果A 最少有K 次发生的概率:k
-n 0
)
-(1k)(X )(ππk
K
k k n
n
K
k C P K x P ∑∑=====≥（"高于"）
（三）两样本率的比较（不要求计算）思考与练习：
选择题4，计算题1,2为重点题型。