压杆失稳与Liapunov稳定性
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材料力学-第9章压杆的稳定问题
0 1 0 sinkl coskl
sinkl 0
第9章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI 由此得到临界载荷
2
kl nπ, n 1, 2 ,,
FPcr
π 2 n 2 EI l2
最小临界载荷
FPcr π 2 EI 2 l
第9章 压杆的稳定问题
FPcr
π 2 EI
l
2
这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上 正弦半波的长度，称为有效长度(effective length)； 为反映不同 支承影响的系数，称为长度系数（coefficient of 1ength），可由屈 曲后的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度 的比值确定。
d2w M ( x) - EI 2 dx
d2w 2 k w0 2 dx
k2 FP EI
第9章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
d2w 2 k w0 2 dx
k2
FP EI
微分方程的解
w =Asinkx + Bcoskx
边界条件
w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0
第9章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
对于某一压杆，当分叉载荷 FP 尚未算出时，不 能判断压杆横截面上的应力是否处于弹性范围；当 分叉载荷算出后，如果压杆横截面上的应力超过弹 性范围，则还需采用超过比例极限的分叉载荷计算 公式。这些都会给计算带来不便。 能否在计算分叉载荷之前，预先判断哪一类压 杆将发生弹性屈曲？哪一类压杆将发生超过比例极 限的非弹性屈曲？哪一类不发生屈曲而只有强度问 题？回答当然是肯定的。为了说明这一问题，需要 引进长细比（slenderness）的概念。
压杆稳定性的概念
6 I 396 10 z i 39 . 4 mm z 2 A 25 . 496 10
4 2 12 225 .6 10 15 15 .2 .748 10 2 4 4 283 .7 10 mm
2 30 2 Iy 2 I z 12 . 748 10 y1 0 2
6-2 压杆的临界力及临界应力
p
100 100 80 110
材料 低碳钢
s 235MPa b 372MPa
a,MPa 303.8 461 332 28.7
b,MPa 1.12 2,57 1.453 0.19
s
61 60
优质碳钢
s 306MPa b 471MPa
铸铁 木材
d 2 y Py 2 EI dx
d 2 y M(x) 2 EI dx p 2 令k EI
d2 y 2 k y 0 2 dx
y A sin kx B cos kx
2008.9～2009.1 第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
6-2 压杆的临界力及临界应力
x0 ,y0 ,B0 xl,y0 ,A sin kl 0
sin kl 0
kl n ( n 0 , 1 , 2 )
n P k l EI n 2 2 EI P l2
p 令k EI
2
y A sin kx B cos kx
x 0, y 0 边界条件： x l , y 0
Pcr
2 EI
l
2
欧拉公式
2008.9～2009.1
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
3、压杆的临界应力
4 2 12 225 .6 10 15 15 .2 .748 10 2 4 4 283 .7 10 mm
2 30 2 Iy 2 I z 12 . 748 10 y1 0 2
6-2 压杆的临界力及临界应力
p
100 100 80 110
材料 低碳钢
s 235MPa b 372MPa
a,MPa 303.8 461 332 28.7
b,MPa 1.12 2,57 1.453 0.19
s
61 60
优质碳钢
s 306MPa b 471MPa
铸铁 木材
d 2 y Py 2 EI dx
d 2 y M(x) 2 EI dx p 2 令k EI
d2 y 2 k y 0 2 dx
y A sin kx B cos kx
2008.9～2009.1 第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
6-2 压杆的临界力及临界应力
x0 ,y0 ,B0 xl,y0 ,A sin kl 0
sin kl 0
kl n ( n 0 , 1 , 2 )
n P k l EI n 2 2 EI P l2
p 令k EI
2
y A sin kx B cos kx
x 0, y 0 边界条件： x l , y 0
Pcr
2 EI
l
2
欧拉公式
2008.9～2009.1
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
3、压杆的临界应力
9-1压杆稳定
EIy′′ = M ( x ) = − Py + M 0
M0
P 令:k = EI
2
x
P M
x
得 : y′′ + k 2 y =
通解为 :
L
M0 EI
y M0
y M0 P
y = A sin kx + B cos kx + M 0 P
边界条件为: 边界条件为:
P
x = 0 y = 0及θ = y′ = 0 x = L y = 0及θ = y′ = 0
∴两端固定的细长压杆长度系数µ=0.5
18
压杆稳定
试导出一端固定一端自由的细长压杆临界力公式。 例9-2-2 试导出一端固定一端自由的细长压杆临界力公式。 P 解：变形如图,支座力矩为∶ 变形如图,支座力矩为∶ P δ x
M0 = Pδ
其挠曲线近似微分方程为： 其挠曲线近似微分方程为： P M y M0 P y M0 P x
EIy′′ = M ( x) = Pδ − Py
令 :k
2
P = EI
L
y′′ + k y = k δ
2 2
y = A sin kx + B cos kx + δ
边界条件为： 边界条件为：
x=0 x= L
y = 0及 θ = y ′ = 0 y=δ
19
压杆稳定
A = 0
B = −δ
kL = ( 2 n + 1 ) π / 2
L
0.5L
L
L
L C
π 2 EI
L2
C
Pcr 公式 长度 系数µ 系数µ
π 2 EI
(2L)
2
材料力学-压杆的稳定性
例题：两端铰支压杆的长度 l = 1.2m，材料为 Q235 钢，其弹性摸 量 E=200GPa，1=200MPa，2=235MPa。已知截面的面积 A=900mm2，若截面的形状分别为正方形和 d/D = 0.7的空心圆管， 试计算各杆的临界力。
11.5 压杆的稳定计算
一、安全系数法
Fcr F [F ] nst
I A
•临界柔度
s — 屈服极限
2E 1 欧拉公式 (大柔度杆) cr 2 1 2 (中柔度杆) cr a b 直线公式
•临界应力
2
(小柔度杆)
cr s
强度问题
临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。
cr
S P
许可外力 [ P ] 。
a
A
30
0
b
P B
C
D
例题：
11.6 提高压杆稳定性的措施
FPcr
2 EI ( l )2
欧拉公式
FPcr 越大越稳定
1) 减小压杆长度 l 2) 减小长度系数μ（增强约束）
3) 增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
4) 增大弹性模量 E（合理选择材料）
1) 减小压杆长度 l
（绕哪个轴转动）
对于矩形截面：
y
压杆的稳定性
y
h b z
x h z b
1 3 I z bh , 12
1 3 I y hb 12
hb
Iz Iy
所以该矩形截面压杆应在xz平面内 失稳弯曲；即，绕 y 轴转动。
11.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
对于其他支座条件下细长压杆，求临界压力有两种方法：
11.5 压杆的稳定计算
一、安全系数法
Fcr F [F ] nst
I A
•临界柔度
s — 屈服极限
2E 1 欧拉公式 (大柔度杆) cr 2 1 2 (中柔度杆) cr a b 直线公式
•临界应力
2
(小柔度杆)
cr s
强度问题
临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。
cr
S P
许可外力 [ P ] 。
a
A
30
0
b
P B
C
D
例题：
11.6 提高压杆稳定性的措施
FPcr
2 EI ( l )2
欧拉公式
FPcr 越大越稳定
1) 减小压杆长度 l 2) 减小长度系数μ（增强约束）
3) 增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
4) 增大弹性模量 E（合理选择材料）
1) 减小压杆长度 l
（绕哪个轴转动）
对于矩形截面：
y
压杆的稳定性
y
h b z
x h z b
1 3 I z bh , 12
1 3 I y hb 12
hb
Iz Iy
所以该矩形截面压杆应在xz平面内 失稳弯曲；即，绕 y 轴转动。
11.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
对于其他支座条件下细长压杆，求临界压力有两种方法：
压杆的稳定ppt
定义
01
边界条件是指压杆在支撑条件下的限制条件，如固定、自由、
简支等。
描述
02
不同的边界条件对压杆的稳定性产生不同的影响。例如，固定
边界条件下的压杆比自由边界条件下的压杆更稳定。
影响因素
03
边界条件对压杆稳定性的影响主要表现在支撑反力的分布和大
小上，从而影响压杆的临界载荷和屈曲载荷。
03
压杆稳定性问题的解决策略
合理选择材料和截面形状
选择高强度材料
如合金钢、不锈钢等，能够提高压杆的屈服强度和抗拉强度 ，增加压杆的稳定性。
选择合适的截面形状
如圆形、方形、工字形等，能够改变压杆的截面面积和惯性 矩，进而改变压杆的稳定性。
对压杆进行合理支撑和固定
增加支撑点
通过在压杆的适当位置增加支撑点，能够提高压杆的稳定性，防止其发生屈 曲变形。
船舶设计
在船舶设计中，压杆被用于船体结构的支撑和固定。特 别是在海洋环境中，压杆的稳定性对于抵御海浪冲击和 保证船舶的安全至关重要。
地下工程
在隧道、地铁等地下工程中，压杆被用于支撑和固定土 石方及结构物。其稳定性对于保障地下工程的稳定性和 安全性至关重要。
06
总结与展望
总结
压杆稳定的定义
压杆稳定的重要性
05
压杆稳定性问Leabharlann 的工程应用建筑结构中的压杆稳定性问题
建筑物的支撑结构
在建筑设计中，压杆常被用于支撑和固定建筑结构，如桥梁、高层建筑等。其稳定性直接 影响到建筑物的安全性和使用寿命。
抗风和抗震设计
在地震或强风天气中，建筑物的压杆稳定性显得尤为重要。压杆能够提供必要的支撑力， 帮助建筑物抵御自然灾害。
定义
第 11 章 压杆的稳定性问题
直线形状平衡 稳定的
第 11 章 压杆的稳定性问题 2.不稳定性
F F>Fpcr
压杆稳定性的基本概念
直线平衡平衡状态转变为弯曲平 衡状态，扰动除去后，不能够恢 复到直线平衡状态，则称原来的 直线平衡状态是不稳定的。
FP<FPcr :在扰动作用下，
直线形状平衡 不稳定的
第 11 章 压杆的稳定性问题
第 11 章 压杆的稳定性问题
P
A
(a )
三类不同压杆的判断
h
y
b
h
B
y
P 解：正视图平 面弯曲截面绕 z 轴转。 3 P
x
P
z
l
A bh 1.0
iz Iz A
bh Iz 12
h 2 3
z
l
iz
1 2300 2
60
3
132.8 P 100
σp σe σs
压杆稳定性的基本概念
三、三种类型压杆的不同临界状态
σ
σb
ε
第 11 章 压杆的稳定性问题 欧拉临界力 §11-2 细长压杆的临界载荷---欧拉临界力
一、两端铰支的细长杆
F x F x
F
l M w x w w
压杆
微弯下平衡
内力与变形
第 11 章 压杆的稳定性问题
x
欧拉临界力
M =F w EI w〞= － M =－F w
欧拉临界力
二、其他刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式
方法1： 同欧拉公式， 微分方程 + 边界条件 方法2： 相当长度法 在压杆中找出长度相当于两端铰支的 一段（即两端曲率为零或弯矩为零），该 段失稳曲线为半波正弦曲线，该段临界力 即压杆的临界力。
压杆稳定计算稳定性的概念
FPcr =
π 2 EI
l
2
π EI
2
(0.7 l ) 2
π 2 EI
( 2l ) 2
其它杆端约束下细长压杆的临界力 • 细长压杆临界力的欧拉公式 F = π 2 EI
l — 压杆的实际长度。
Pcr
( µ l )2
µ l — 压杆的相当长度，表示压杆屈曲时弹性曲线 上正弦半波的长度。 µ — 长度系数，反映不同支承的影响：
k =π /l
w ( x ) = A sin
πx
l
• 两端铰支细长压杆微弯时的挠曲线是一条半个
正弦波曲线。
14
其它杆端约束下细长压杆的临界力 • 以两端铰支的情况为依据，将其它约束压杆屈
曲的弹性曲线形状与两端铰支的情况进行比较。
2l
FPcr = FPcr =
FPcr =
15
π 2 EI
(0.5l )2
时横截面上的平均应力。
σ cr =
FPc r A
• 细长压杆的临界应力
σ cr
π 2E π 2 EI = = ( µ l )2 A µ l 2
i
（i = I 横截面的惯性半径） A
6
不 稳 定 平 衡
压杆的失稳或屈曲 • 压杆失稳（屈曲）：压杆丧失保持直线形式稳
定平衡的能力的现象。
• 由于压杆的失稳具有突发性，常给工程带来灾
难性的后果。 — 1907年北美洲魁北克的圣劳伦斯河大铁桥的 坍塌； — 1922年美国华盛顿镍克尔卜克尔剧院的倒 塌； — 1983年地处北京的中国社会科学院科研楼工 地的钢管脚手架整体失稳坍塌，等等。
[σ c ] — 由短粗试件实验所得的屈服极限或强度
压杆稳定ColumnStability
为得到压杆变形方程，回忆M与挠曲线的关系
M
EI
1
y 1 ( y)2
3/2
y
由2式得到压杆变形微分方程
y Py 0 EI
§15.2 两端铰支压杆的临界力 图示横向干扰力产生的初始变形,在轴力作用下
要保持平衡,截面必然有力矩 M
①力矩
②挠曲线近似微分方程
P x
P
y M P y EI EI
S 的杆为小柔度杆，其临界应力为屈服极限
cr
S
cr ab
③临界应力总图
P
2E
cr
2
s s a
b
P 2E
P
L
i
2.抛物线型经验公式
①P < < s 时： cr a1b12
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
c 时，由此式求临界应力
干扰力使受压杆产生横向变形后，就从柱上撤 走了，但它产生的变形还在，若这种变形：
1、还能保留，即 随遇平衡 或 不稳定平衡 2、不能保留，即 稳定平衡
y
P
x
P
y
M P
y
P
x
y x
x
P
M
P
横向干扰力产生2种初始变形,在轴力作用下 M Py 要保持平衡,截面有力矩 M ,得到同一方程 M P( y)
a ( s ps ) /( p 0 ) b ( p s 0 ps ) /( p 0 )
cr
S
cr a b
P
2E
cr
2
0
P
L
i
例 两端铰支杆长L=1.5m，由两根 56568 等边A3角
M
EI
1
y 1 ( y)2
3/2
y
由2式得到压杆变形微分方程
y Py 0 EI
§15.2 两端铰支压杆的临界力 图示横向干扰力产生的初始变形,在轴力作用下
要保持平衡,截面必然有力矩 M
①力矩
②挠曲线近似微分方程
P x
P
y M P y EI EI
S 的杆为小柔度杆，其临界应力为屈服极限
cr
S
cr ab
③临界应力总图
P
2E
cr
2
s s a
b
P 2E
P
L
i
2.抛物线型经验公式
①P < < s 时： cr a1b12
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
c 时，由此式求临界应力
干扰力使受压杆产生横向变形后，就从柱上撤 走了，但它产生的变形还在，若这种变形：
1、还能保留，即 随遇平衡 或 不稳定平衡 2、不能保留，即 稳定平衡
y
P
x
P
y
M P
y
P
x
y x
x
P
M
P
横向干扰力产生2种初始变形,在轴力作用下 M Py 要保持平衡,截面有力矩 M ,得到同一方程 M P( y)
a ( s ps ) /( p 0 ) b ( p s 0 ps ) /( p 0 )
cr
S
cr a b
P
2E
cr
2
0
P
L
i
例 两端铰支杆长L=1.5m，由两根 56568 等边A3角
压杆稳定性研究资料
二、临界力 施加一横向干扰力Q 。
PP QQ
撤除横向干扰力Q。
•当P> Pcr时，压杆过渡到曲线状态平衡。 •当P< Pcr时，压杆保持直线状态平衡；
使弹性压杆从直线状态平衡开始转变为曲线状态平衡 的轴向压力称为临界力，用Pcr表示。
§9-2 细长压杆的临界力 a
0Βιβλιοθήκη sin kl0
kl
n
y轴、z轴的惯
性半径为：
iz
Iz A
0.2 0.123 12 0.0346m 0.2 0.12
根据压杆约束情况知，压杆的柔度分别为：
y
yl
iy
1 4 0.0577
69.3
z
zl
iz
0.5 4 0.0346
57.8
Pmax
0.2 4z
y
x
Pmax
0.12 4
•当压杆的柔度不小于材料 比例极限柔度时欧拉公式 才适用，满足该条件的杆
即
cr
2E 2
P
2 E 称为大柔度杆或细长杆。 P •当σcr> σP即λ < λ P时，称
令 P 2E P
—材料比例极限柔度
为中小柔度杆，压杆横截 面上应力已超过材料的比 例极限，不能用欧拉公式
长度系数μ 1
2
0.7 0.5
§9-3 中小柔度压杆的临界应力
欧拉公式的适用范围
一、临界应力和柔度
临界应力：临界力作用下压 杆横截面上的平均应力。
—压杆柔度或细长比，无 量纲量。反映了杆端约束 情况、压杆长度、横截面
第九章压杆稳定8
2 EI Pcr 2 L
（1）弯矩以最终平衡位置
（2）I 应为压杆横截面的最小惯性矩 （3）线弹性，小变形
x Pcr
挠曲线微分方程： EIy " M( x ) Py 引用记号： k 2 P ，得：y" k 2 y 0 EI
x
该微分方程的通解为： y Asinkx Bcoskx
O
o
p 采用直线经验公式 的临界应力总图
O
c 采用抛物线经验公 式的临界应力总图
2.压杆按柔度分类：
p —细长杆(大柔度杆) p 0 —中粗杆(中柔度杆)
0
—粗短杆(小柔度杆)
临界应力计算的小结
对 1 的大柔度 杆，临界应力公式为
1 2 的中柔度杆，临界应力公式为
解： 截面惯性矩
临界力
26910 N 269kN
3
目录
讨论题： 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一 根杆能承受的压力最大， 哪一根的最小？
P P 1.3a 1.6a P
因为
又 可知
l 1
Pcr
l 2 l 3
2 EI l 2
a
Pcr1 Pcr2 Pcr3
E s cr 2
2
s cr a b
2 的小柔度压杆，临界应力公式为
P s cr A
作业
• P310页习题9.3(校核蒸汽机活塞杆的稳定性)
提示：
活塞杆的约束形式：根据受力可简化为两端铰支。
则可确定长度系数 惯性半径 i
l 确定柔度 i
I A
1.ss>scr>sp时采用经验公式：
（1）弯矩以最终平衡位置
（2）I 应为压杆横截面的最小惯性矩 （3）线弹性，小变形
x Pcr
挠曲线微分方程： EIy " M( x ) Py 引用记号： k 2 P ，得：y" k 2 y 0 EI
x
该微分方程的通解为： y Asinkx Bcoskx
O
o
p 采用直线经验公式 的临界应力总图
O
c 采用抛物线经验公 式的临界应力总图
2.压杆按柔度分类：
p —细长杆(大柔度杆) p 0 —中粗杆(中柔度杆)
0
—粗短杆(小柔度杆)
临界应力计算的小结
对 1 的大柔度 杆，临界应力公式为
1 2 的中柔度杆，临界应力公式为
解： 截面惯性矩
临界力
26910 N 269kN
3
目录
讨论题： 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一 根杆能承受的压力最大， 哪一根的最小？
P P 1.3a 1.6a P
因为
又 可知
l 1
Pcr
l 2 l 3
2 EI l 2
a
Pcr1 Pcr2 Pcr3
E s cr 2
2
s cr a b
2 的小柔度压杆，临界应力公式为
P s cr A
作业
• P310页习题9.3(校核蒸汽机活塞杆的稳定性)
提示：
活塞杆的约束形式：根据受力可简化为两端铰支。
则可确定长度系数 惯性半径 i
l 确定柔度 i
I A
1.ss>scr>sp时采用经验公式：
压杆失稳的名词解释
压杆失稳的名词解释名词解释：压杆失稳(s nim， the disintegration of column) 压杆失稳是指载荷作用于梁的各个部分引起杆件的内力在平衡位置附近改变了原来的大小和方向。
造成这种改变的主要原因是压杆的长细比超过一定值或支承压力等于或大于杆的轴力，在载荷作用点上的某一区段，将发生突然弯曲，其挠度值可以超过材料允许值而发生断裂。
出现突然失稳的区段称为压杆的危险截面，也就是在失稳发生的最危险区段。
此外，杆的截面不能做得太细，否则会产生严重的塑性变形，在压力作用点附近，产生很大的弯矩，从而使杆产生较大的应力。
当压杆出现失稳时，杆上有许多处出现应力集中，并且可能同时出现拉应力与剪应力。
如果在跨中附近的截面出现较大的弯矩，往往会产生较大的拉应力;反之，如果在支座附近的截面出现较大的拉应力，就容易发生压杆的剪切失稳。
所以，为了防止压杆的失稳，在截面的选择和材料的取用上都要避免出现这种情况。
4。
结构的整体稳定性(stability of structure)工程上结构设计的基本任务之一，是保证结构在风载、地震等动力荷载作用下的整体稳定性，其核心是合理确定结构的自振频率和阻尼比。
5、屈曲线(bending curve)所谓的屈曲线，是指为了确定在轴向压力作用下某种材料产生屈服的界限荷载。
因此，屈曲线也是一种测定压杆屈曲荷载的特殊荷载。
6、无侧移刚度(no lateral slip capability)结构的侧移可分为水平侧移和垂直侧移。
在这两种情况下，只要两个侧移的方向相反，不论它们对应的两个侧向支承间距如何，所求得的侧移刚度总是零。
9、临界状态下的失稳定性(critical condition)在极限状态下，若系统的频率远离平衡点，使得参数数值的改变只能使系统发生微小的甚至可忽略的变化，此时，该系统是不稳定的。
临界状态下的失稳通常用单位力矩进行判断，即对系统施加单位力矩，使系统频率回到平衡点。
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设此 方程 满足解 的存在 与唯 一 ｌ 件 ，且存 在 特 解 Ｙ ＝ 生条
Ｙ （），对 应 于弹 性 杆 的某 种特 定 甲衡状 态 ，称 为 弹 ｓ
性杆 的未扰 平衡 状 态．只 要弹性 杆 的中心 线上 任 一 点
ｓ＝ Ｓ Ｏ处 的状 态变 量 满足 ｙ ｓ） Ｙ （Ｏ ，此 术扰 （ｏ ＝ 。Ｓ）
状 态 就 能 在 弹 性 杆 上 具 体 实 现 ．若 ｓ＝ Ｓ Ｏ处 的 状 态 变
理 论 的实 质是利 用 弹性 杆 的平衡 微 分方程 与 刚体 定点
转 动 的 Ｅ ｌｒＰ ｉｓｎ 方 程 在 数 学 形 式 上 的 相 似 性 ， ｕ ｅ－ ｏｓｏ
量 ｙ ｓ） 离 Ｙ （Ｏ ，则弹 性杆 的 甲衡将 偏离 未扰 状 （ｏ 偏 Ｓ） 态，称 为弹性 杆 的受扰 状 态．受 扰状 态 ｙ ｓ 与 木扰 状 （） 态 Ｙ （） 同 ・ 分方程 （） 不 同边 界条 件 的解． ｓ 是 微 １但 引入 受扰状 态 与未 扰状 态 的差值 （） ｙ ｓ 一Ｙ （） ｓ ＝ （） 。ｓ
于 稳 定 性 的 严 格 定 义 基 础 上 建 起 来 的 Ｊ ｝ 论 静 ．在 ｌ 『 力 学 中 的 平衡 稳 定 性 问 题 时 ， 由 于 时 间 变 量 改 变 为
间 变 量 ， 必 须 对 Ｌｉｐ ｎ ｖ 稳 定 性 理 论 的 基 本 概 念 在 ａ ｕｏ
形式上 作 ・ 修 改． 些 研 究 弹 性 杆 的 平衡 问题 时， 可 以 利 用 杆 中 心 线 卜 任 意 点 相 对 惯 性 坐 标 系 的 笛 卡 儿 标 ｚ Ｙ ｚ或 柱 坐 标 ，， Ｐ ０ ｚ，也 可 利 用 截 面 坐 标 系 相 对 惯 性 坐 标 系 的 Ｅｕｅ ，， ｌｒ 角 ， ， 作 为 独 变 量 ．不 论 采 用 何 种 坐 标 ，确 定 杆 中 心 线 在 三 维 间 中 位 置 的独 变 量 数 均 为 ３， 包 括 坐 标 及 其 相 对 弧 坐 标 ｓ的 变 化 率 在 内 的 状 态 变 量 数 为
中 的稳定 性 问题 时， 由于 时间变 量 改变 为卒 间变 量 ， 运动 稳定性 理论 所 反映 的物理 过程 将产 牛 根本 改变．
关 键 词 压 杆 稳 定 ， Ｋｉ ｈ ｏ 理 论 ， Ｌａ ｕ ｏ 理 ｒ ｈｆ ｃ ｉｐ ｎ ｖ 论 ，相 平面 方 法
１ 引 言
材 料 力 学 中讨 论 的 压 杆 稳 定 问 题 是 指 ： 受 轴 向 压 力作 用 的弹性 直杆 当压力超 过 临界 值 时，不 能继 续维 持 直 杆 平 衡 状 态 而 产 生 屈 曲 的现 象 ． 利 用 弹 性 杆 静 力 学 的 线 性 理 论 导 出 的压 力 临 界 值 称 为 Ｅ ｌｒ载 荷 ． 超 ｕｅ 过 Ｅｕｅ ｌｒ载 荷 的轴 向压 力 可 使 压 杆 失 稳 Ｊ ．
作 为 新 的 变 量 ， 称 为 对 未 扰 状 态 的 扰 动 ， 其 在 ｓ＝ Ｓ Ｏ
将 经 典刚 体 动力 学 中 Ｌ ｇ ａ ｇ ａ ｒ ｎ ｅ情 形 刚体 定 点转 动 的
解 析 积 分 移 植 过 来 ， 用 以 解 决 弹 性 杆 的 平衡 问 题 ． 在
将 动力 学 问题转 化 为静力 学 问题 的 过程 中，必须 将 时
６ ．以
： １２ ・ ６ ， ， 一， ）表示状 态 变晕， 其数学 表 达
可 写作 以 弧坐标 ｓ为 自变 量 的 ｙ Ｊ： １ ２ ・ ６ Ｊ（ ， ，一， ）的 彤 式 为
＝
（ｌＹ ，一，６ｓ （ １２… ，） （） ｙ ，２・ ｙ ，） Ｊ＝ ，， ６ １
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５ ６ ） ｊ 学 与 ｒ 炙 践 ２ ０ 年 第 ２ 卷 ０２ ４
压 杆 失 稳 与 Ｌａ ｕ ｏ ｉｐ ｎ ｖ稳 定 性
。
蕃蘑
刘 延 柱
（ 交通大 学 １ Ｊ学 系，上海 ２ ０ ３ ） 上海 － １ ． ￣ ０ ０ ０
引入 ６维 列 阵 Ｙ＝ （Ｊ 和 Ｙ ＝ （ ） ｙ） ，将 方程 组 （） １
写作 矩 阵形式
＝
Ｙ（ ，） Ｙｓ
（） ２
结果 ，弹性 直杆 在轴 向压 力作 用下 的平衡 状 态稳 定，
而 在 轴 向 拉 力 作 用 下 的 平 衡 不 稳 定 Ｊ ．此 结 论 与 压 杆 失 稳 的 传 统 理 论 相 悖 而 令 人 不 解 ． 深 入 研 究 发 现 ， 矛 盾 的产 牛 来 源 于 对 稳 定 性 概 念 的 不 同理 解 ． Ｋｉｃ ｈ ｆ ｒｈ ｏ
弹性杆 静力学 的非线性 理论， Ｋｉ ｈ ｏ 理论 ， 即 ｒ ｈｆ ｃ
早在 １５ ８ ９年 已经 建 立 Ｊ ．近 年 来 由 于 在 分 子 生 物 学 领 域 内成 功 地 利 用 弹 性 杆 作 为 ＤＮＡ 的力 学 模 型 ， 使 这 一 理 论 得 到 进 ・ 发 展 】 据 非 线 性 理 论 的 分 析 步 ．根
间变 量改变 为 空间变 量．对 于弹 性 细杆 的 一 问题 ， 维 是 用 弧 坐 标 ｓ代 替 时 间 ｔ作 为 微 分 方 程 的 自变 量 ． 尽 管 动 力 学 范 畴 内 的 各 种 理 论 和 方 法 ， 包 括 运 动 稳 定 性 理 论 ，可 以 照 搬 到 静 力 学 ，但 由 于 自变 量 的 改 变 ，使 所 反 映 的 物 理 过 程 产 生 本 质 别 ． 这 正 是 本 文 将 要 讨 论
摘 要 根 据 Ｋｉｃ ｈ ｆ理 论 和 Ｌ ａ ｕ ｏ ｒｈ ｏ ｉｐ ｎ ｖ理 论 的 分 析 ， 压杆 的甲衡 状态 稳 定，而 拉 杆 的平衡 状 态不 稳 定．此 结 论 与 压 杆 失 稳 的 传 统 理 论 相 悖 ． 本 文 解 释 此 现 象 的 产 生 原 因 ， 并 说 明 在 应 用 Ｌ ａ ｕ ｏ 理 论 讨 论 静 力 学 ｉｐ ｎ ｖ