师大一中2015级3月月考数学试题

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师大一中2014-2015年八年级上期末数学试卷

师大一中2014-2015学年度（上）期末考试初2016届（初二）数学试题全卷分A 卷和B 卷，A 卷满分100分，B 卷50分；考试时间120分钟。

A 卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。

A 卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共30分）一、选择题（每小题，共30分）1、9的平方根是（）A 、3B 、3±CD 、2、若x y >，则下列式子错误的是（）A 、33x y ->-B 、33x y > C 、33x y +>+ D 、33x y ->- 3、下列等式成立的是（）A 2=±B =C =D a =4、函数2y =x 的取值范围是（）A 、0x ≥B 、2x >-C 、2x ≥-D 、2x ≤5、如图，把一块含有45°的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A 、30°B 、25°C 、20°D 、15°6、如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x 厘米和y 厘米，则依题意列方程正确的是（）A 、2753x y y x +=⎧⎨=⎩B 、2753x y x y +=⎧⎨=⎩C 、2753x y y x +=⎧⎨=⎩D 、2753x y x y+=⎧⎨=⎩7、某校有21名同学参加某比赛，预赛成绩各不同，要取前11名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这21名同学成绩的（）A 、中位数B 、平均数C 、极差D 、最高8、一次函数y ax a =-+的大致图象是（）ABCD9、下列命题中，为真命题的是（）A 、过一点有且只有一条直线与已知直线平行B 、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C 、若甲组数据的方差20.01S = ，乙组数据的方差20.05S =，则乙组数据比甲组数据更稳定 D 、若不等式(1)1a x a -<-的解集是1x >，则1a <10、如图，在平面直角坐标系xoy 中，(0,2)A ，(0,6)B ，动点C 在x y =上，若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是（）A 、2B 、3C 、4D 、5第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（每小题4分，共16分）11、点(3,4)-与其关于原点的对称点的坐标是____________.12、方程组324322x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩的解是_______________. 13、已知a ，b ，c 为平面内三条不同直线，若a b ⊥，c b ⊥，则a 与c 的位置关系是________. 14、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm ，周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为____________.三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15、（每小题6分，共12分）（1103)π-+-（2）解不等式组9587422133x x x x +≤+⎧⎪⎨+>-⎪⎩16、先化简，再求值：()()2(2)133x x x +--+-，其中()216x +=.17、（本题8分）列方程解应用题：甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价。

陕西师范大学附属中学2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试题

陕西师大附中2015-2016学年度第一学期月考高一年级数学必修1试题一、选择题（选择题共10小题，每小题5分，共50分）1．设集合{}1,0,1,2,4U =-，集合{}1,1M =-，则集合u C M 等于（）A ．{}0,2B ．{}0,4C ．{}2,4D ．{}0,2,42．下列幂函数中，定义域为实数集R 的是（）A ．2y x -=B ．13y x = C ．14y x = D ．12y x = 3．设()1f x x x =--，则12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为（） A ．12- B ．0 C ．12 D ．14．下列函数与函数y x =表示同一函数的是（）A ．2y =B ．y =C ．y =D ．2x y x= 5．已知()()222f x x a x =+-1+在(],4-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（）A ．3a -≤B ．3a -≥C ．5a ≥D ．5a ≤6．若()22f x x ax =-+与()1a g x x =+在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是（） A ．()()1,00,1-∪ B ．()1,1-C ．()0,1D ．(]0,1 7．若()f x 是奇函数，且在()0,+∞内是增函数，又()30f -=，则()0f x <的解集是（）A ．{|30x x -<<，或}3x >B ．{|3x x <-，或}3x >C ．{|3x x <-，或}03x <<D ．{|30x x -<<，或}03x <<8．已知2m <-，点()11,m y -，()2,m y ，()31,m y +都在二次函数22y x x =-的图象上则（）A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．213y y y <<D ．321y y y <<9．为了确保信心安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文,a b ，c ，d 对应密文2a b +，2b c +，23c d +，4d ．例如，明文1，2，3，4，对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（）A ．7，6，1，4B ．6，4，1，7C ．4，6，1，7D ．1，6，4，710．设函数()y f x =定义在实数集R 上，则函数()1y f x =-与()1y f x =-的图象关系（）对称．A ．直线0y =B ．直线0x =C ．直线1y =D ．直线1x = 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．函数121y x =+-的定义域是__________． 12．集合{}1,2,3A =，{}3,4B =，从A 到B 的映射满足()33f =．则这样的映射有__________个．13．若()f x 是偶函数，其定义域为R 且在[)0,+∞上是减函数，则34M f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()21N f a a a =-+∈R 的大小关系为__________．14．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人．三、解答题：（本大题5小题，共50分）15．（本小题10分）设{}|42A x x =-<<，{}|11,0B x m m m =--<->．求分别满足下列条件的取值集合．（1）A B ⊆（2）A B ≠∅∩16．（本小题共10分）已知()2243,3033,016516x x x f x x x x x x ⎧++-<⎪=-+<⎨⎪-+-⎩≤≤≤≤ （1）画出函数的图象；（2）求函数的单调区间；（3）求函数的最大值和最小值．17．（本小题共10分）如果函数()f x 是定义域为{}|0x x >上的增函数，且()()()f x y f x f y ⋅=+．（1）求证：()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）若()31f =，且()()12f a f a >-+，求a 的取值范围．18．（本小题共10分）函数()21ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求实数a ，b 的值，并确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在()1,1-上是递增的；19．（本小题共10分）通过研究学生的行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣急增；中间有一段不太长的时间，学生的学习兴趣保持较理想的状态，随后学生的学习兴趣开始分散．分析结果和实验表明，用()f x 表示学生掌握和接收概念的能力，x 表示提出和讲授概念的时间（单位：分）可以用公式：()20.1 2.643,01059,10163107,1630x x x f x x x x ⎧-++<⎪=<⎨⎪-+<⎩≤≤≤（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能坚持多长时间？（2）一个数学难题，需要的接受能力为55，教学时间至少要13分钟，教师能否及时在学生一直达到所需要接受能力的状态下讲授完这个难题？。

云南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学(理)试卷

2014-2015学年云南师大附中高三〔上〕第一次月考数学试卷〔理科〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的〕1．已知全集U和集合A，B如下图，则〔∁U A〕∩B=( )A．{5，6} B．{3，5，6} C．{3} D．{0，4，5，6，7，8}2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，z1=1+i，则z1z2=( )A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．23．已知向量，满足|﹣|=，•=1，则|+|=( )A．B．2C． D．104．曲线y=e ax+在点〔0，2〕处的切线与直线y=x+3平行，则a=( )A．1 B．2 C．3 D．45．在△ABC中，已知sinC=2sinAcosB，那么△ABC一定是( )A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形6．函数在区间上的最大值是( )A．1 B．C．D．1+7．已知实数x，y满足约束条件，则z=x+3y的取值范围是( ) A．[1，9]B．[2，9]C．[3，7]D．[3，9]8．如图，网格纸上小方格的边长为1〔表示1cm〕，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥毛坯切割得到，则毛坯外表积与切削得的零件外表积的比值为( )A．B．C．D．9．假设任取x，y∈[0，1]，则点P〔x，y〕满足y＞x2的概率为( )A．B．C．D．10．已知椭圆+=1〔a＞b＞0〕的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x 轴，直线AB交y轴于点P．假设=2，则椭圆的离心率是( )A．B．C．D．11．把边长为2的正三角形ABC沿BC边上的高AD折成直二面角，设折叠后BC中点为M，则AC与DM所成角的余弦值为( )A．B．C．D．12．函数f〔x〕=x+x3〔x∈R〕当0＜θ＜时，f〔asinθ〕+f〔1﹣a〕＞0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．〔﹣∞，1]B．〔﹣∞，1〕C．〔1，+∞〕D．〔1，+∞〕二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13．定义一种新运算“⊗”：S=a⊗b，其运算原理如图3的程序框图所示，则3⊗6﹣5⊗4=__________．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．假设a1=1，则S4=__________．15．关于sinx的二项式〔1+sinx〕n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，当x∈[0，π]时，x=__________．16．已知三次函数f〔x〕=x3+x2+cx+d〔a＜b〕在R上单调递增，则的最小值为__________．三、解答题〔共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕17．一个口袋内有5个大小相同的球，其中有3个红球和2个白球．〔1〕假设有放回的从口袋中连续的取3次球〔每次只取一个球〕，求在3次摸球中恰好取到两次红球的概率；〔2〕假设不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的分布列和数学期望E 〔ξ〕．18．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．〔1〕求证：AB1⊥A l C；〔2〕求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．19．设数列{a n}满足a1=0且a n+1=．n∈N*．〔1〕求证数列{}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；〔2〕设b n=，S n为数列{b n}的前n项和，证明：S n＜1．20．已知函数f〔x〕=ax﹣1﹣lnx〔a∈R〕．〔Ⅰ〕讨论函数f〔x〕在定义域内的极值点的个数；〔Ⅱ〕已知函数f〔x〕在x=1处取得极值，且对∀x∈〔0，+∞〕，f〔x〕≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．21．如图，已知抛物线C：y2=2px〔p＞0〕和圆M：〔x﹣4〕2+y2=1，过抛物线C上一点H 〔x0，y0〕〔y0≥1〕作两条直线与圆M相切于A，B两点，圆心M到抛物线准线的距离为．〔1〕求抛物线C的方程；〔2〕假设直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．【[选修4-1：几何证明选讲】〔共1小题，总分值10分〕22．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．〔1〕求证：直线AB是⊙O的切线；〔2〕假设tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】〔共1小题，总分值0分〕23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，在极坐标系〔与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴〕中，圆C 的方程为．〔Ⅰ〕求圆C的圆心到直线l的距离；〔Ⅱ〕设圆C与直线l交于点A、B．假设点P的坐标为〔3，〕，求|PA|+|PB|．【选修4-5：不等式选讲】〔共1小题，总分值0分〕24．已知一次函数f〔x〕=ax﹣2．〔1〕解关于x的不等式|f〔x〕|＜4；〔2〕假设不等式|f〔x〕|≤3对任意的x∈[0，1]恒成立，求实数a的范围．2014-2015学年云南师大附中高三〔上〕第一次月考数学试卷〔理科〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的〕1．已知全集U和集合A，B如下图，则〔∁U A〕∩B=( )A．{5，6} B．{3，5，6} C．{3} D．{0，4，5，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】先由文氏图求出集合U，A，B，再由集合的运算法则求出〔C U A〕∩B．【解答】解：由图可知，U={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={3，5，6}，∴〔C U A〕∩B={0，4，5，6，7，8}∩{3，5，6}={5，6}．故选A．【点评】此题考查集合的运算和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意文氏图的合理运用．2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，z1=1+i，则z1z2=( )A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】通过复数的几何意义先得出z2，再利用复数的代数运算法则进行计算．【解答】解：z1=1+i在复平面内的对应点为〔1，1〕，它关于原点对称的点为〔﹣1，﹣1〕，故z2=﹣1﹣i，∴．故选：A．【点评】此题复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．已知向量，满足|﹣|=，•=1，则|+|=( )A．B．2C． D．10【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】运用向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方和完全平方公式，计算即可得到．【解答】解：由已知得|﹣|2=〔﹣〕2=2+2﹣2•=2+2﹣2=6，即2+2=8，即有|+|2=〔+〕2=2+2+2•=8+2=10，即．故选C．【点评】此题考查向量的数量积的性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．4．曲线y=e ax+在点〔0，2〕处的切线与直线y=x+3平行，则a=( )A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．【分析】求出原函数的导函数，由曲线y=e ax+在点〔0，2〕处的切线与直线y=x+3平行可得y'|x=0=a﹣1=1，由此求得a的值．【解答】解：由y=e ax+，得，∵曲线y=e ax+在点〔0，2〕处的切线与直线y=x+3平行，∴y'|x=0=a﹣1=1，∴a=2．故选：B．【点评】此题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．5．在△ABC中，已知sinC=2sinAcosB，那么△ABC一定是( )A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；解三角形．【分析】三角形的内角和为π，利用诱导公式可知sinC=sin〔A+B〕，与已知联立，利用两角和与差的正弦即可判断△ABC的形状；【解答】解：∵在△ABC中，sinC=sin[π﹣〔A+B〕]=sin〔A+B〕，∴sinC=2sinAcosB⇔sin〔A+B〕=2sinAcosB，即sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=0，∴sin〔A﹣B〕=0，∴A=B．∴△ABC一定是等腰三角形．故选B．【点评】此题考查三角形的形状判断，考查两角和与差的正弦，利用sinC=sin〔A+B〕是关键，属于中档题．6．函数在区间上的最大值是( )A．1 B．C．D．1+【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】先将函数用二倍角公式进行降幂运算，得到f〔x〕=，然后再求其在区间上的最大值．【解答】解：由，∵，∴．故选C．【点评】此题主要考查二倍角公式的应用和三角函数的最值问题．二倍角公式一般都是反向考查，一定要会灵活运用．7．已知实数x，y满足约束条件，则z=x+3y的取值范围是( )A．[1，9]B．[2，9]C．[3，7]D．[3，9]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．【解答】解：根据线性约束条件作出可行域，如图1所示阴影部分．作出直线l：x+3y=0，将直线l向上平移至过点M〔0，3〕和N〔2，0〕位置时，z max=0+3×3=9，z min=2+3×0=2．故选：B【点评】此题主要考查线性规划的应用．此题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答是解决此题的关键．8．如图，网格纸上小方格的边长为1〔表示1cm〕，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥毛坯切割得到，则毛坯外表积与切削得的零件外表积的比值为( )A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】求出圆锥毛坯的外表积，切削得的零件外表积，即可求出毛坯外表积与切削得的零件外表积的比值．【解答】解：圆锥毛坯的底面半径为r=4cm，高为h=3cm，则母线长l=5cm，所以圆锥毛坯的外表积S圆表=πrl+πr2=π×4×5+π×42=36π，切削得的零件外表积S零件表=S圆表+2π×2×1=40π，所以所求比值为=．故选D．【点评】由三视图求几何体的外表积，关键是正确的分析原几何体的特征．9．假设任取x，y∈[0，1]，则点P〔x，y〕满足y＞x2的概率为( ) A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，假设事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答．【解答】解：该题属几何概型，由积分知识易得点P〔x，y〕满足y＞x2的面积为，所以所求的概率为．故选A．【点评】此题考查了几何概型公式的运用以及利用定积分求曲边梯形的面积；当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，假设事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答．10．已知椭圆+=1〔a＞b＞0〕的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x 轴，直线AB交y轴于点P．假设=2，则椭圆的离心率是( )A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用=2，得到a与c的关系，从而求出离心率．【解答】解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P〔0，t〕，∵=2，∴〔﹣a，t〕=2〔﹣c，﹣t〕．∴a=2c，∴e==，故选D．【点评】此题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，表达了数形结合的数学思想．11．把边长为2的正三角形ABC沿BC边上的高AD折成直二面角，设折叠后BC中点为M，则AC与DM所成角的余弦值为( )A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出AC与DM所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立如下图的空间直角坐标系D﹣xyz，则M〔，，0〕，D〔0，0，0〕，∴=〔0，1，﹣〕，=〔〕，设AC与DM所成角为θ，则cosθ=|cos＜＞|==．∴AC与DM所成角的余弦值为．故选：B．【点评】此题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12．函数f〔x〕=x+x3〔x∈R〕当0＜θ＜时，f〔asinθ〕+f〔1﹣a〕＞0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．〔﹣∞，1]B．〔﹣∞，1〕C．〔1，+∞〕D．〔1，+∞〕【考点】函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】先判断函数的奇偶性，然后再结合单调性将给的不等式化归为两个函数值的大小比较问题，从而构造出关于θ的不等式恒成立，然后别离参数求a的取值范围．【解答】解：因为f'〔x〕=1+3x2＞0，故f〔x〕=x+x3〔x∈R〕在R上单调递增，且为奇函数，所以由f〔asinθ〕+f〔1﹣a〕＞0得f〔asinθ〕＞f〔a﹣1〕，从而asinθ＞a﹣1，即当时，恒成立，所以a≤1．故选：A．【点评】此题可先利用奇函数及函数的单调性进行转化，再把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行解答．二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13．定义一种新运算“⊗”：S=a⊗b，其运算原理如图3的程序框图所示，则3⊗6﹣5⊗4=﹣3．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由框图可知算法的功能是求从而由新定义可得3⊗6﹣5⊗4的值．【解答】解：由框图可知，从而得：3⊗6﹣5⊗4=6〔3﹣1〕﹣5〔4﹣1〕=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了程序框图和算法，读懂程序框图，理解所定义的新运算，即可解答，属于基本知识的考查．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．假设a1=1，则S4=15．【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由题意知2a2﹣4a1=a3﹣2a2，即2q﹣4=q2﹣2q，由此可知q=2，a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，于是得到S41+2+4+8=15．【解答】解：∵2a2﹣4a1=a3﹣2a2，∴2q﹣4=q2﹣2q，q2﹣4q+4=0，q=2，∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，∴S4=1+2+4+8=15．答案：15【点评】此题考查数列的应用，解题时要注意公式的灵活运用．15．关于sinx的二项式〔1+sinx〕n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，当x∈[0，π]时，x=或．【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】由题意可得，求得n=6，可得，求得．结合x∈[0，π]，可得x的值．【解答】解：由题意可得，故n=6，所以第4项的系数最大，于是，所以，，即．又x∈[0，π]，所以或．故答案为：或【点评】此题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式．一般遇到二项展开式某项或某项的系数问题，通常结合展开式的通项公式进行解答属于基础题．16．已知三次函数f〔x〕=x3+x2+cx+d〔a＜b〕在R上单调递增，则的最小值为3．【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】导数的综合应用．【分析】由题意得f'〔x〕=ax2+bx+c在R上恒大于或等于0，得a＞0，△=b2﹣4ac≤0，将此代入，将式子进行放缩，以为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式的模型使问题得到解决．【解答】解：由题意f'〔x〕=ax2+bx+c≥0在R上恒成立，则a＞0，△=b2﹣4ac≤0．∴≥令，≥≥3．〔当且仅当t=4，即b=c=4a时取“=”〕故答案为：3【点评】此题考查了利用导数工具研究三次函数的单调性以及函数与方程的综合应用问题，属于中档题．三、解答题〔共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕17．一个口袋内有5个大小相同的球，其中有3个红球和2个白球．〔1〕假设有放回的从口袋中连续的取3次球〔每次只取一个球〕，求在3次摸球中恰好取到两次红球的概率；〔2〕假设不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的分布列和数学期望E 〔ξ〕．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本领件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】〔1〕利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出在3次有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率．〔2〕白球的个数ξ可取0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出取到白球的个数ξ的分布列和数学期望E〔ξ〕．【解答】解：〔1〕设在3次有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率为P，由题设知，．〔2〕白球的个数ξ可取0，1，2，．所以ξ的分布列如下表：ξ0 1 2P．【点评】此题考查相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力．求离散随机变量的分布列一般先确定随机变量的所有取值，再计算各个取值的概率，最后得分布列并计算期望．18．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．〔1〕求证：AB1⊥A l C；〔2〕求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间角．【分析】〔1〕由已知条件推导出四边形A1C1CA为菱形，从而得到A1C⊥平面AB1C1，由此能够证明AB1⊥A1C．〔Ⅱ〕设点C1到平面AA1B1的距离为d，利用等积法求出d=，由此能求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．【解答】〔1〕证明：∵AO⊥平面A1B1C1，∴AO⊥B1C1，又∵A1C1⊥B1C1，且A1C1∩AO=O，∴B1C1⊥平面A1C1CA，∴A1C⊥B1C1，又∵AA1=AC，∴四边形A1C1CA为菱形，∴A1C⊥AC1，且B1C1∩AC1=C1，∴A1C⊥平面AB1C1，∴AB1⊥A1C．〔Ⅱ〕解：设点C1到平面AA1B1的距离为d，∵=，∴=，又∵在△AA1B1中，，，∴d=，∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为．【点评】此题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．设数列{a n}满足a1=0且a n+1=．n∈N*．〔1〕求证数列{}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；〔2〕设b n=，S n为数列{b n}的前n项和，证明：S n＜1．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】〔1〕把代入，能推导出，由此能证明数列是公差为1的等差数列，从而能求出．〔2〕由，利用裂项求和法能证明S n＜1．【解答】〔1〕解：∵，∴===1，∴，∴数列是公差为1的等差数列．又，所以．〔2〕证明：由〔1〕得，．∴S n＜1．【点评】此题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查等差数列的证明，证明数列为等差数列通常利用等差数列的定义证明，遇到与数列的和有关的不等式可先考虑能否求和再证明．20．已知函数f〔x〕=ax﹣1﹣lnx〔a∈R〕．〔Ⅰ〕讨论函数f〔x〕在定义域内的极值点的个数；〔Ⅱ〕已知函数f〔x〕在x=1处取得极值，且对∀x∈〔0，+∞〕，f〔x〕≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件．【专题】计算题；综合题．【分析】〔Ⅰ〕由f〔x〕=ax﹣1﹣lnx可求得f′〔x〕=，对a分a≤0与a＞0讨论f′〔x〕的符号，从而确定f〔x〕在其定义域〔0，+∞〕单调性与极值，可得答案；〔Ⅱ〕函数f〔x〕在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f〔x〕≥bx﹣2⇔1+﹣≥b，构造函数g〔x〕=1+﹣，g〔x〕min即为所求的b的值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵f〔x〕=ax﹣1﹣lnx，∴f′〔x〕=a﹣=，当a≤0时，f'〔x〕≤0在〔0，+∞〕上恒成立，函数f〔x〕在〔0，+∞〕单调递减，∴f〔x〕在〔0，+∞〕上没有极值点；当a＞0时，f'〔x〕≤0得0＜x≤，f'〔x〕≥0得，∴f〔x〕在〔0，]上递减，在[，+∞〕上递增，即f〔x〕在处有极小值．∴当a≤0时f〔x〕在〔0，+∞〕上没有极值点，当a＞0时，f〔x〕在〔0，+∞〕上有一个极值点．〔Ⅱ〕∵函数f〔x〕在x=1处取得极值，∴a=1，∴f〔x〕≥bx﹣2⇔1+﹣≥b，令g〔x〕=1+﹣，则g′〔x〕=﹣﹣=﹣〔2﹣lnx〕，由g′〔x〕≥0得，x≥e2，由g′〔x〕≤0得，0＜x≤e2，∴g〔x〕在〔0，e2]上递减，在[e2，+∞〕上递增，∴，即b≤1﹣．【点评】此题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用，表达综合分析问题与解决问题能力，属于难题．21．如图，已知抛物线C：y2=2px〔p＞0〕和圆M：〔x﹣4〕2+y2=1，过抛物线C上一点H 〔x0，y0〕〔y0≥1〕作两条直线与圆M相切于A，B两点，圆心M到抛物线准线的距离为．〔1〕求抛物线C的方程；〔2〕假设直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】〔1〕由圆心M〔4，0〕到抛物线准线的距离为=，解出即可得出．〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，由，可得，直线HA的方程为〔4﹣x1〕x﹣y1y+4x1﹣15=0，同理可得：直线HB的方程为〔4﹣x2〕x﹣y2y+4x2﹣15=0，把H〔x0，y0〕〔y0≥1〕代入可得：直线AB的方程为，令x=0，可得，利用其单调性即可得出．【解答】解：〔1〕∵点M〔4，0〕到抛物线准线的距离为=，∴，∴抛物线C的方程为y2=x．〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，∵，∴，可得，直线HA的方程为〔4﹣x1〕x﹣y1y+4x1﹣15=0，同理可得：直线HB的方程为〔4﹣x2〕x﹣y2y+4x2﹣15=0，∴，，∴直线AB的方程为，令x=0，可得，∵t关于y0的函数在[1，+∞〕上单调递增，∴t min=﹣11．【点评】此题考查了抛物线与圆的定义标准方程及其性质、直线与圆相切问题、切线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【[选修4-1：几何证明选讲】〔共1小题，总分值10分〕22．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．〔1〕求证：直线AB是⊙O的切线；〔2〕假设tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆的位置关系；矩阵与矩阵的乘法的意义；简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．【专题】计算题；证明题．【分析】〔1〕要想证AB是⊙O的切线，只要连接OC，求证∠ACO=90°即可；〔2〕先由三角形判定定理可知，△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA的长．【解答】解：〔1〕如图，连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB．∴AB是⊙O的切线；〔2〕∵BC是圆O切线，且BE是圆O割线，∴BC2=BD•BE，∵tan∠CED=，∴．∵△BCD∽△BEC，∴，设BD=x，BC=2x．又BC2=BD•BE，∴〔2x〕2=x•〔x+6〕，解得x1=0，x2=2，∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．．【点评】此题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质，以及切割线定理的综合运用，属于基础题．【选修4-4：坐标系与参数方程】〔共1小题，总分值0分〕23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，在极坐标系〔与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴〕中，圆C 的方程为．〔Ⅰ〕求圆C的圆心到直线l的距离；〔Ⅱ〕设圆C与直线l交于点A、B．假设点P的坐标为〔3，〕，求|PA|+|PB|．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】直线与圆．【分析】〔I〕圆C的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程，最后再利用三角函数公式化成参数方程；〔Ⅱ〕将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得即，根据两交点A，B所对应的参数分别为t1，t2，利用根与系数的关系结合参数的几何意义即得．【解答】解：〔Ⅰ〕由，可得，即圆C的方程为．由可得直线l的方程为．所以，圆C的圆心到直线l的距离为．…〔Ⅱ〕将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即．由于△=．故可设t1、t2是上述方程的两个实根，所以，又直线l过点，故由上式及t的几何意义得．…【点评】此题考查学生会将极坐标方程和参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程，掌握直线参数方程中参数的几何意义，是一道中档题．【选修4-5：不等式选讲】〔共1小题，总分值0分〕24．已知一次函数f〔x〕=ax﹣2．〔1〕解关于x的不等式|f〔x〕|＜4；〔2〕假设不等式|f〔x〕|≤3对任意的x∈[0，1]恒成立，求实数a的范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】〔1〕解绝对值不等式的关键是去绝对值，可利用绝对值不等式的解集，对a讨论，分a＞0，a＜0，即可得到解集；〔2〕对于不等式恒成立求参数范围问题，通常别离参数转化为函数的最值问题进行解答．【解答】解：〔1〕|f〔x〕|＜4即为|ax﹣2|＜4，即﹣2＜ax＜6，则当a＞0时，不等式的解集为；当a＜0时，不等式的解集为．〔2〕|f〔x〕|≤3⇔|ax﹣2|≤3⇔﹣3≤ax﹣2≤3⇔﹣1≤ax≤5⇔，∵x∈[0，1]，∴当x=0时，不等式组恒成立；当x≠0时，不等式组转化为又∵，∴﹣1≤a≤5且a≠0【点评】此题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的恒成立问题转化为求最值，运用参数别离和分类讨论是解题的关键．。

山东师大附中2015-2016学年高一上学期第三次月考数学试卷含解析

2015-2016学年山东师大附中高一（上)第三次月考数学试卷一、选择题:本大题共10个小题,每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．sin=（）A．B．﹣C．D．﹣2．下列函数中,最小正周期为π的是（）A．y=cos4x B．y=sin2x C．D．3．sinx+cosx=（)A．sin(x+）B．sin（x+) C．2sin（x+) D．2sin（x+）4．下列说法正确的是（）A．若|｜=｜｜，则=B．若∥，则=C．若=,=，则=D．若∥，∥，则∥5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2 B．C．2sin1 D．sin26．已知,则=（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣37．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．8．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．若sinC+sin（B﹣A）=sin2A,则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形9．将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（)A．B．C．D．10．设ω＞0，若函数f（x）=2sinωx在[﹣，］上单调递增,则ω的取值范围是（) A．(0，］B．(1，］C．[0，]D．（0，]二、填空题：本大题共5个小题,每小题4分，共20分.11．如果sinα＞0，且cosα＜0，则α是第象限的角．=4,则b=．12．在△ABC中，已知a=3，cosC=，S△ABC13．sin77°cos47°﹣sin13°cos43°=．14．如图，在山顶C测得山下塔的塔顶A和塔底B的俯角分别为30°和60°，已知塔高AB 为20m,则山高CD为．15．在△ABC中,内角A，B，C所对的边分别a，b，c，给出下列结论：①A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC;②若==，△ABC为等边三角形；③必存在A，B,C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；④若a=40，b=20，B=25°，△ABC必有两解．其中,结论正确的编号为（写出所有正确结论的编号）．三、解答题：本大题共6小题，共60分.16．化简下列各式：（Ⅰ）++;（Ⅱ)﹣++．17．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜,（Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β．18．已知函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R．（1）函数y的最小正周期；(2)函数y的递增区间．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b，c．已知a=2c，且．(Ⅰ）求cosC的值;（Ⅱ)当b=1时，求△ABC的面积S的值．20．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为△ABC的面积，且4S=(a2+b2﹣c2）(1）求角C的大小;（2）f（x）=4sinxcos（x+）+1，当x=A时，f（x）取得最大值b,试求S的值．21．已知定义在区间［﹣，π］上的函数y=f（x)的图象关于直线x=对称，当x≥时，函数y=sinx．（1）求f（﹣)，f(﹣）的值;（2）求y=f(x）的表达式（3）若关于x的方程f（x）=a有解，那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为M a,求M a的所有可能取值及相应a的取值范围．2015-2016学年山东师大附中高一（上)第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．sin=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：sin=sin（2π+）=sin=．故选：A．2．下列函数中,最小正周期为π的是(）A．y=cos4x B．y=sin2x C．D．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】分别找出四个选项函数的λ值,代入周期公式T=中求出各自的周期，即可得到最小正周期为π的函数．【解答】解：A、y=cos4x的周期T==，本选项错误；B、y=sin2x的周期T==π，本选项正确;C、y=sin的周期为T==4π，本选项错误；D、y=cos的周期为T==8π，本选项错误，则最小正周期为π的函数为y=sin2x．故选B3．sinx+cosx=（）A．sin(x+）B．sin（x+）C．2sin（x+) D．2sin（x+）【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式即可化简得解．【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx)=2sin（x+）．故选:D．4．下列说法正确的是（）A．若｜｜=|｜，则=B．若∥，则=C．若=，=，则=D．若∥，∥,则∥【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断即可．【解答】解：对于A，因为向量是矢量，既有大小又有方向，当||=｜|，=不一定成立，故A错误；对于B，当｜｜时，与共线，=不一定成立，故B错误；对于C，当=，=，=成立,故C正确；对于D,=时，有∥，∥，不一定有∥，故D错误．故选:C．5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（)A．2 B．C．2sin1 D．sin2【考点】弧长公式．【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．【解答】解:如图：∠AOB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1,Rt△AOC中,AO==，从而弧长为α•r=，故选B．6．已知，则=（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】对所求式分子分母同时除以cosα，转化成关于tanα的关系式即可得到答案．【解答】解：∵故选C．7．函数f(x)=2sin(ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ)中参数的物理意义．【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z)，取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．【解答】解:∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=,由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ)又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2•+φ)=2，可得+φ=+2kπ(k∈Z)∵，∴取k=0，得φ=﹣故选：A．8．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，则△ABC的形状为(）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知条件结合三角函数公式化简可得2cosA（sinA﹣sinB）=0,分别可得A=，或a=b，可得结论．【解答】解：∵sinC+sin（B﹣A）=sin2A，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin2A，∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A，∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA,∴2cosA（sinA﹣sinB）=0，∴cosA=0，或sinA=sinB,∴A=，或a=b，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形故选：D．9．将函数y=sin（6x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意根据伸缩变换、平移变换求出函数的解析式，然后求出函数的一个对称中心即可．【解答】解：横坐标伸长到原来的3倍则函数变为y=sin（2x+)(x系数变为原来的），函数的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin［2（x﹣)+]=sin2x;考察选项不难发现就是函数的一个对称中心坐标．故选D10．设ω＞0,若函数f（x）=2sinωx在［﹣，]上单调递增，则ω的取值范围是（）A．(0,]B．（1，］C．［0，]D．（0，]【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得，由此求得ω的范围．【解答】解：∵ω＞0，若函数f（x）=2sinωx在[﹣，］上单调递增，∴，求得0＜ω≤,故选：D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.11．如果sinα＞0，且cosα＜0，则α是第二象限的角．【考点】三角函数值的符号．【分析】由三角函数值的符号和条件直接判断出α所在的象限即可．【解答】解：∵sinα＞0，∴α终边在一、二象限或y轴正半轴上，∵cosα＜0，∴α终边在二、三象限或x轴负半轴上，∴α终边在第二象限．故答案为：二．12．在△ABC中,已知a=3，cosC=，S=4，则b=2．△ABC【考点】余弦定理;正弦定理．【分析】由cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三矩形面积公式列出关系式，把a,sinC以及已知面积代入求出b的值即可．【解答】解：∵△ABC中，cosC=,∴sinC==，=4，∵a=3，S△ABC∴absinC=4，即×3b×=4，解得：b=2,故答案为：213．sin77°cos47°﹣sin13°cos43°=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据诱导公式和两角和与差的公式化简即可．【解答】解：根据诱导公式：sin13°=sin（90°﹣77°）=cos77°；cos43°=cos（90°﹣47°)=sin47°∴sin77°cos47°﹣sin13°cos43°=sin77°cos47°﹣sin47°cos77°=sin（77°﹣47°）=sin30°=．故答案为：14．如图,在山顶C测得山下塔的塔顶A和塔底B的俯角分别为30°和60°，已知塔高AB为20m，则山高CD为30m．【考点】正弦定理．【分析】画图，塔底B测得高楼楼顶C的仰角为60°,所以∠DBC=60°=∠BCE，在高楼楼顶C测得塔顶A俯角为30°，所以∠ECA=30°，故∠ACB=∠ABC=30°∴AC=AB=40，作AF⊥CD，解直角三角形AFC求得FC，再加上FD即得CD的长．【解答】解:∵∠DBC=∠BCE=60°，∠ACE=30°,∴∠ACB=∠BCE﹣∠ACE=30°,∠ABC=90°﹣∠DBC=30°,∴AC=AB=20m，作AF⊥CD于点F，∵∠CAF=∠ACE=30°,∴CF=AC=10m，∴CD=CF+FD=CF+AB=20m+10m=30m．故答案为：30m．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b,c，给出下列结论：①A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；②若==，△ABC为等边三角形;③必存在A，B,C,使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立;④若a=40,b=20,B=25°，△ABC必有两解．其中，结论正确的编号为①④（写出所有正确结论的编号）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①由正弦定理，将角转化为边的关系，进而判断,角的正弦值之间的关系．②由正弦定理，得出角的正弦值与余弦值之间的关系，从而求出角，A,B,C的大小．③利用两角和的正切公式，将不等式进行化简，然后进行判断．④根据边角关系,判断三角形解的个数．【解答】解：①在三角形中，A＞B＞C,得a＞b＞c．，由正弦定理可知sinA＞sinB＞sinC，所以①正确．②由正弦定理条件知，,即sinBcosC=cosBsinC，所以sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0,解得B=C．所以△ABC为等腰三角形，所以②错误．③若A、B、C有一个为直角时不成立,若A、B、C都不为直角因为A+B=π﹣C，所以tan（A+B)=tan(π﹣C）即=﹣tanC，则tanA+tanB=﹣tanC+tanAtanBtanC所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC即③错误．④因为，即asinB＜b＜a，所以,△ABC必有两解．所以④正确．故答案为:①④．三、解答题：本大题共6小题,共60分.16．化简下列各式：（Ⅰ）++;（Ⅱ）﹣++．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】根据平面向量的线性运算法则，进行化简即可．【解答】解：（Ⅰ） ++=+（+）=+=+=; …（Ⅱ)﹣++=（+）+(﹣）=+=．…17．已知cosα=，cos（α﹣β）=,且0＜β＜α＜，(Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求β．【考点】两角和与差的余弦函数;三角函数值的符号；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）欲求tan2α的值,由二倍角公式知，只须求tanα，欲求tanα，由同角公式知,只须求出sinα即可，故先由题中cosα的求出sinα即可；（2)欲求角,可通过求其三角函数值结合角的范围得到，这里将角β配成β=α﹣（α﹣β)，利用三角函数的差角公式求解．【解答】解：(Ⅰ）由,得∴，于是（Ⅱ)由0＜β＜α＜，得，又∵，∴由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos［α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=所以．18．已知函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,x∈R．(1）函数y的最小正周期；（2)函数y的递增区间．【考点】三角函数的周期性及其求法;二倍角的正弦;二倍角的余弦；正弦函数的单调性．【分析】(1）先对函数解析式整理，然后利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式和两角和公式化简整理求得函数f（x)的解析式,进而利用正弦函数的性质性质求得函数的最小正周期．（2）根据（1）中函数的解析式,利用正弦函数的单调性求得函数递增时2x+的范围，进而求得x的范围，即函数f（x)的递增区间．【解答】解：（1）y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=（sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x=1+sin2x+（1+cos2x）=sin2x+cos2x+2=，∴函数的最小正周期T==π．(2)由，得（k∈Z），∴函数的增区间为（k∈Z）．19．在△ABC中，角A,B，C的对边分别是a,b,c．已知a=2c,且．(Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）当b=1时,求△ABC的面积S的值．【考点】正弦定理；三角形的面积公式;余弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可得，sinA=2sinC,结合及同角平方关系即可求解cosC（2）由已知可得B=π﹣（A+C）=，结合（1）及二倍角公式可求sinB，然后由正弦定理，可求c，代入三角形的面积公式可得，S=可求【解答】解:（1)∵a=2c，由正弦定理可得,sinA=2sinC∵则C为锐角，cosC＞0∴sinA=sin（C+）=cosC联立可得，2sinC=cosC∵sin2C+cos2C=1∴，cosC=（2）由A=C+可得B=π﹣（A+C）=∴sinB=cos2C=2cos2C﹣1=由正弦定理可得，即∴c=由三角形的面积公式可得,S===20．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为△ABC的面积,且4S=(a2+b2﹣c2)(1)求角C的大小；（2）f（x)=4sinxcos（x+）+1，当x=A时，f（x)取得最大值b，试求S的值．【考点】余弦定理;正弦定理．【分析】（1）利用三角形的面积公式表示出S，代入已知等式后利用余弦定理化简，求出tanC 的值，即可确定出C的度数；（2)f(x）解析式利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,利用正弦函数的值域确定出f(x）取得最大值时A与b的值，再利用锐角三角函数定义求出a与c的值,即可确定出S．【解答】解:（1）∵S=absinC，∴4S=2absinC=（a2+b2﹣c2），即sinC=•=cosC，∴tanC=，则C=；（2)f（x)=4sinx(cosx﹣sinx)+1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），当2x+=2kπ+（k∈Z），即x=kπ+(k∈Z）时，f(x）max=2，∵A为三角形内角,∴A=，b=2，∴B=π﹣A﹣C=,a=bsinA=1，c=bsinC=,则S=acsinB=．21．已知定义在区间［﹣,π]上的函数y=f(x）的图象关于直线x=对称，当x≥时，函数y=sinx．（1）求f（﹣），f(﹣)的值；（2）求y=f（x）的表达式(3）若关于x的方程f（x）=a有解,那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为M a，求M a的所有可能取值及相应a的取值范围．【考点】由y=Asin(ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】(1）由题意可求f（﹣)=f（π）=sinπ=0，f(﹣)=f（）=sin=．（2）设﹣，则，由f（x）=f（）=sin（）=cosx，即可解得分段函数的解析式f(x）=．（3）作函数f（x）的图象，若f（x）=a有解,则a∈［0，1]，分情况讨论即可得解．【解答】解:（1）f(﹣）=f（π）=sinπ=0，f（﹣）=f（）=sin=…3分（2)设﹣，则，∴f（x）=f（）=sin（）=cosx，∴f（x）=…6分（3）作函数f（x）的图象如下：显然,若f（x）=a有解，则a∈［0，1］．①若0,f（x）=a有两解，M a=；②若a=,f（x）=a有三解，M a=；③若＜a＜1，f(x）=a有四解，M a=π；④若a=1,f（x）=a有两解，M a=；综上所述,当0≤a＜或a=1时，f（x）=a有两解，M a=；当a=时，f(x）=a有三解，M a=;当时,f（x)=a有四解，M a=π…12分2016年11月18日。

北京师大附中2015-2016学年度第一学期月考初三数学试题及答案

点的坐标是 2, 5 ．
（1）①点

3,1 的限变点的坐标是___________；
2 图象上某一个点的限变点， x

②在点 A 2, 1 ， B 1, 2 中有一个点是函数 y 这个点是_______________；（ 2 ）若点 P 在函数 y x 3(2≤x≤k , k 2) 点 Q 的纵坐标 b 的取值范围是 5≤b≤2 ，求 k
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北京师大附中 2015—2016 学年度第一学期月考
初三数学试卷
试卷说明：本试卷满分 120 分，考试时间为 100 分钟．一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．把抛物线 y=3x 先向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是（
A B C
限内将点的坐
（ 5 分）如图，点 E 是四边形 ABCD 对角线 BD 上一 22． ∠BAC=∠BDC=∠DAE．求证： ABE ∽ ACD
点，且
2 23．（8 分）已知二次函数的解析式是 y x 2 x 3 .
（1）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；（2）当 x 为何值时，函数值 y<0？（3）当-2<x<2 时，观察图象直接写出函数值 y 的取值的范围.
2
21 或3 b 1 4
26. （8 分)（1）如图（2）如图（3）8
27．（8 分）解：（1）① ( 3,1) ； ………………………………1 分
② 点 B． ………………………………………………2 分
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师大一中初2015级初一(上)9月考试数学

师大一中初2015级（初一上）9月考试数学试卷命题人：欧发慧审题人：谢春全卷分A 卷和B 卷，A 卷满分100分，B 卷满分50 分；考试时间120分钟。

A 卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为其它类型试题。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考室、考号等事项完整填写在答题卡的密封线内。

考试结束，监考人员只收答题卡。

2.考生领取试卷、答题卡后，请检查试卷、答题卡数量、总页数及印刷质量，若存在问题，马上更换。

A 卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共30分）一．选择题：（每个小题3分，共30分.A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入题后的括号中.） 1．4-的相反数等于（） A ．14-B ．14C ．4-D ．42．在－(－2)，－|－7|，－|＋1|，|－)511(|32+-，中，负数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．据2014年“十一”黄金周全国重点旅游城市旅游收入情况统计，预计某市2015年“十一”黄金周接待游客总数达185万人次．将数185万用科学记数法表示为（） A. 21.8510⨯ B. 418.510⨯ C. 61.8510⨯ D. 70.18510⨯ 4．计算311144-+的结果是（） A ．－1 B ． 1 C ．12 D ．12- 5．下列算式正确的是（）A ．725-=+- B ．1441=-÷-）（）（ C ．325-=---）（ D ．1682-=-）（ 6．下列各组运算中，运算后结果相等的是（）A. 32和23B. -53和()-53 C. -42和()-42D. 232⎪⎭⎫ ⎝⎛和3227．下列说法中，错误的是（）A.两个相反数的绝对值相等B.负数的立方仍是一个负数C.在数轴上，不在原点右侧的数是负数D.互为倒数的两个数一定同号 8．计算=⨯-÷⨯-3)31(31)3(（） A. 9 B. 9- C. 1 D. 1- 9．如果a 的立方等于18-，b 是绝对值最小的负整数，那么b a ÷的值是（） A.12 B. 12- C. 2 D. 2- 10．下列各式一定成立的是（）A. ()33a a =- B. ()22a a =- C. 33a a = D. 22a a -=-第Ⅱ卷（非选择题，共70分）二．填空题：（每小题4分，共16分） 11．平方等于9 的数是 ____. 12．化简：4_________.π-= 13. 若3a +的倒数是12-，则______.a = 14．计算：()36)9512743(-⨯-+-=__________. 三．解答题：（本大题共6个大题，共54分） 15. 计算：（每小题5分，共10分）（1）()()16453⎛⎫---+-+- ⎪⎝⎭（2）()()22365-⨯-÷-⨯ 16. 计算：（每小题5分，共15分）（1）()32121622⎛⎫-⨯---÷- ⎪⎝⎭（2）711144538428⎛⎫⎛⎫----+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3） 521)21(212)75(755.1÷-+⨯--⨯17.（本题6分）把下列各数填在相应的大括号里：3.5，25.0-， 0，722，－5，2， 316-. （1）整数集合： { …} （2）负分数集合： { …} （3）非负数集合： { …} 18.（本题6分）将数143-，3，53， 2.4-，5-，65在下列数轴上表示出来，并用不等号“<”把它们连接起来.-6-5-4-3-2-1654321019.（本题8分）若()23x -与7y +互为相反数.（1）求x 、y 的值；（2）求2x y xy -+-的值.20.（本题9分）某摩托车厂本周内计划每日生产200辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（与计划相比，增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数，单位：辆）：（1）本周六生产了多少辆摩托车？（2）本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？B 卷（共50分）一、填空题：（每小题4分，共20分）21. 绝对值小于4的整数分别是_______________________. 22. 已知2a =，3b =，且a b <，则ba 的值是 _______. 23．计算：()()2015201640.25_________.-⨯-=24．已知数a b c ，，在数轴上对应的点如右图所示，化简：___________a b c +-=，__________.a b c ++=25. 观察下面几组数：1，3，5，7，9，11，13，15，…… 2，5，8，11，14，17，20，23，…… ……7，15，23，31，39，47，55，63，……这三组数具有共同的特点.现在有上述特点的一组数，第3个数是11，第 5个数是19，则第9个数是__________，第n 个数是 ____．二、解答题：（本大题共3个大题，共30分）26.（本题8分）若54m +=，36n =，()m n m n -=--，求m n + 的值. 27.（本题10分）点A 从数轴的原点出发向右运动，同时点B 从数轴的原点出发向左运动，运动两秒时它们相距12个单位长度，且A 点、B 点运动的速度比是1:2. （1）求A 、B 两点运动的速度；（2）请在数轴上表示出A 、B 两点运动两秒时的位置；（3）点A 继续向右运动，同时点B 开始向右运动，经过多少时间，A 、B 两点相距10个单位长度.28.（本题12分）点A 、B 在数轴上分别对应数b a ,，A 、B 两点之间的距离表示为AB ．经研究发现无论点A 、B 在数轴上的任何位置始终都有AB =a b - 请解决下列问题：（1）数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是______，数轴上表示2和－5的两点之间的距离是_______；（2）数轴上表示x 和－2的两点A 和B 之间的距离可表示为_______，如果∣AB ∣＝3，那么x 的值为________；（3）请解释式子36x x -++的几何意义；（4）判断式子36x x -++是否有最小值？如果有，请直接写出最小值；如果没有，请说明理由.。

湖南省师大附中高三数学上学期第一次月考试卷理(含解析)

湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]2．（5分）给出下面四个命题：p1：∃x∈（0，+∞），；p2：∃x∈（0，1），，p3：∀x∈（0，+∞），；p4：∀x∈（0，），x，其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p43．（5分）在如图所示的程序框图中输入10，结果会输出（）A．10 B．11 C．512 D．1 0244．（5分）将函数f（x）=sinx+cosx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为（）A．﹣B．C．D．5．（5分）若实数x、y满足条件，则z=x+3y的最大值为（）A．9 B．11 C．12 D．166．（5分）不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下：a、b、c成等比数列，a、m、b 和b、n、c都成等差数列，则+=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．不能确定7．（5分）已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x、y的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．1 B．C．2 D．8．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．29．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）10．（5分）已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×32+a3×33}，其中a i∈{1，2，3}（i=0，1，2，3}且a3≠0，则A中所有元素之和等于（）A．3 240 B．3 120 C．2 997 D．2 889二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=．12．（5分）如图，椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为．13．（5分）若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）=．14．（5分）在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），总能使得f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2），则实数a的取值范围为．15．（5分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则a5=，若a n=145，则n=．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）设函数．（1）求f（x）的最小正周期．（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．17．（12分）某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为、、，且通过各次测试的事件相互独立．（1）若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；（2）若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望（用p1、p、p3表示）；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．18．（12分）如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE=4，BC=6，且BD=1，cos∠ADB=．（1）求证：平面AEC⊥平面BCED；（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．19．（13分）等比数列a n中的前三项a1，a2，a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．（1）求此数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=3a n﹣（﹣1）n lga n，求数列{b n}的前n项和S n．20．（13分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2经过椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求•的最大值．21．（13分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣2x﹣1（x∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；（2）求证：对任意实数a＜0，有f（x）＞．湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，根据N以及M为N的子集，确定出a的范围即可．解答：解：由M中不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即M=（0，2），∵N={x|x＜a}，且M⊆N，∴a≥2，则a的范围为[2，+∞）．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）给出下面四个命题：p1：∃x∈（0，+∞），；p2：∃x∈（0，1），，p3：∀x∈（0，+∞），；p4：∀x∈（0，），x，其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4考点：命题的真假判断与应用．专题：探究型；数形结合．分析：分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题．p1可利用两个指数函数的图象进行判断．p2可以利用对数的图象来判断．p3可以利用对数和指数函数的图象来判断．p4：利用指数函数和对数函数的图象来判断．解答：解：对应命题p1可，分别作出函数的图象如图：由图象可知：∀x∈（0，+∞），，所以命题p1错误．p2：作出对数函数的图象，由图象知：∃x∈（0，1），使命题p2正确．p3：作出函数的图象，由图象知命题p3不正确．P4：当x∈（0，）时，，所以恒有成立，所以命题P4正确．故选D．点评：本题考查了全称命题和特称命题的真假判断，解决本题可以考虑使用数形结合的思想．3．（5分）在如图所示的程序框图中输入10，结果会输出（）A．10 B．11 C．512 D．1 024考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图写出每次循环s，k的取值，即可确定输出s的值．解答：解：运行程序，有s=1；k=1第1次循环：s=2，k=2第2次循环：s=4，k=3第3次循环：s=8，k=4第4次循环：s=16，k=5第5次循环：s=32，k=6第6次循环：s=64，k=7第7次循环：s=128，k=8第8次循环：s=256，k=9第9次循环：s=512，k=10第10次循环：s=1024，k=11输出s的值为1024．故答案为：D．点评：本题主要考察框图和程序算法，属于基础题．4．（5分）将函数f（x）=sinx+cosx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为（）A．﹣B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．解答：解：由题意可得，将函数f（x）=sinx+cosx=sin（x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得函数为y=sin（x++φ）为奇函数，则φ的最小值为，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的奇偶性，属于基础题．5．（5分）若实数x、y满足条件，则z=x+3y的最大值为（）A．9 B．11 C．12 D．16考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y，得，平移直线，由图象可知当，经过点C时，直线截距最大，此时z最大．由得，即C（2，3），此时z=x+3y=2+3×3=11，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6．（5分）不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下：a、b、c成等比数列，a、m、b 和b、n、c都成等差数列，则+=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．不能确定考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得2m=a+b，2n=b+c，b2=ac，从而+====2．解答：解：由已知得2m=a+b，2n=b+c，b2=ac，∴+==[]===2．故选：C．点评：本题考查代数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．7．（5分）已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x、y的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．1 B．C．2 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1，故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAx=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ．故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴•=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，•的最大值是2，故选C．点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标，属于中档题．8．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：由三视图想象出空间几何体，代入数据求值．解答：解：如图所示，四面体为正四面体．是由边长为1的正方体的面对角线围成．其边长为，则其表面积为4×（××）=2．故选D．点评：本题考查了学生的空间想象力，属于中档题．9．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）考点：圆的一般方程；圆方程的综合应用．专题：压轴题；数形结合．分析：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y﹣mx﹣m=0要有2个交点，根据直线y﹣mx﹣m=0过定点，先求出直线与圆相切时m的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围．解答：解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，解得m=±，而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．故选B．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．本题的突破点是理解曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线．10．（5分）已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×32+a3×33}，其中a i∈{1，2，3}（i=0，1，2，3}且a3≠0，则A中所有元素之和等于（）A．3 240 B．3 120 C．2 997 D．2 889考点：计数原理的应用；数列的求和．专题：综合题；排列组合．分析：由题意可知a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，利用数列求和即可求得A中所有元素之和．解答：解：由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法（可取1，2），由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，∴当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有3×3×2=18种方法，即集合A中含有a0项的所有数的和为（0+1+2）×18；同理可得集合A中含有a1项的所有数的和为（3×0+3×1+3×2）×18；集合A中含有a2项的所有数的和为（32×0+32×1+32×2）×18；集合A中含有a3项的所有数的和为（33×1+33×2）×27；由分类计数原理得集合A中所有元素之和：S=（0+1+2）×18+（3×0+3×1+3×2）×18+（32×0+32×1+32×2）×18+（33×1+33×2）×27 =18（3+9+27）+81×27=702+2 187=2 889．故选D．点评：本题考查数列的求和，考查分类计数原理与分步计数原理的应用，考查分类讨论与转化思想的综合应用，属于难题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：由正弦定理可求得 sinB=，再由 b＜a，可得 B为锐角，cosB=，运算求得结果．解答：解：由正弦定理可得=，∴sinB=，再由 b＜a，可得 B为锐角，∴cosB==，故答案为：．点评：本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sinB=，以及B为锐角，是解题的关键．12．（5分）如图，椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为．考点：椭圆的应用；循环结构；二面角的平面角及求法．专题：综合题；压轴题．分析：确定椭圆中的几何量，确定二面角的平面角，利用点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，可求得cos∠A2OF1=，即可求得结论．解答：解：由题意，椭圆中a=4，c=，∠A2OF1为二面角的平面角∵点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点∴在直角△A2OF1中，cos∠A2OF1=∴∠A2OF1=即二面角的大小为故答案为：点评：本题考查椭圆与立体几何的综合，考查面面角，解题的关键是确定二面角的平面角．13．（5分）若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）=x﹣．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：利用待定系数法结合积分的基本运算即可得到结论．解答：解：因为f（x）dx是个常数，不妨设为m，所以f（x）=x﹣m，其原函数F（x）=x2﹣mx+C（C为常数），所以可得方程m=﹣m，解得m=．故f（x）=x﹣．故答案为：x﹣点评：本题主要考查函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．14．（5分）在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），总能使得f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2），则实数a的取值范围为a≥．考点：导数的几何意义．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，由f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2），可得≥4，即函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2）连续的斜率不小于4，即导数值不小于4，由此构造关于a的不等式，可得实数a的取值范围．解答：解：不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，∵f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2），∴≥4，∵f（x）=alnx+（x+1）2，（x＞0）∴f′（x）=+2（x+1）∴+2（x+1）≥4，∴a≥﹣2x2+2x∵﹣2x2+2x=﹣2（x﹣）2+≤∴a≥，故答案为：a≥点评：本题考查的知识点导数的几何意义，斜率公式，其中分析出f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2）的几何意义，是解答的关键．15．（5分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则a5=35，若a n=145，则n=10．考点：归纳推理．专题：图表型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：仔细观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第5个五角星的中实心点的个数及a n=145时，n的值即可．解答：解：第一个有1个实心点，第二个有1+1×3+1=5个实心点，第三个有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点，第四个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点，…第n个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3（n﹣1）+1=+n个实心点，故当n=5时，+n=+5=35个实心点．若a n=145，即+n=145，解得n=10故答案为：35，10．点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察每个图形并从中找到通项公式．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）设函数．（1）求f（x）的最小正周期．（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），根据f（x）与g（x）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f（x）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g（x）的最大值．解答：解：（1）f（x）=sin xcos﹣cos xsin=sin x﹣cos x=（sin x ﹣cos x）=sin（x﹣），∵ω=，∴f（x）的最小正周期为T==8；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x）），由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而g（x）=f（2﹣x）=sin[（2﹣x）﹣]=sin[﹣x﹣]=cos（x+），当0≤x≤时，≤x+≤，则y=g（x）在区间[0，]上的最大值为g max=cos=．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．17．（12分）某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为、、，且通过各次测试的事件相互独立．（1）若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；（2）若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望（用p1、p、p3表示）；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）先求出甲选手不能通过海选的概率，再由对立事件概率计算公式能求出甲选手能通过海选的概率．（2）依题意，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．解答：解：（1）依题意，甲选手不能通过海选的概率为：（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，故甲选手能通过海选的概率为：1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）=．若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，因为无论按什么顺序，其不能通过的概率均为（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，故无论按什么顺序，其能通过海选的概率都是．（2）依题意，ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ=1）=p1，P（ξ=2）=（1﹣p1）p2，P（ξ=3）=（1﹣p1）（1﹣p2）×1，∴ξ的分布列为：ξ 1 2 3P p1（1﹣p1）p2（1﹣p1）（1﹣p2）Eξ=p1+2（1﹣p1）p2+3（1﹣p1）（1﹣p2）p3，分别计算当甲选手按C→B→A，C→A→B，B→A→C，B→C→A，A→B→C，A→C→B的顺序参加测试时，Eξ的值几时甲选手按C→B→A的顺序参加测试时，Eξ最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手将自己的优势项目放在前面，即按C→B→A的顺序参加测试更有利用于进入正赛．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．18．（12分）如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE=4，BC=6，且BD=1，cos∠ADB=．（1）求证：平面AEC⊥平面BCED；（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得BD⊥AB，AD=，AB=10=直径，由此能证明平面AEC⊥平面BCED．（2）以C为原点，直线CA为x轴，CB为y轴，CE这z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段DE上存在点M，且时，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为．解答：（1）证明：∵BD⊥平面ABC，∴BD⊥AB，又∵BD=1，cos，∴AD=，AB=10=直径，∴AC⊥BC，又EC⊥平面ACE，BC⊂平面BCED，∴平面AEC⊥平面BCED．（2）解：存在．如图，以C为原点，直线CA为x轴，CB为y轴，CE这z轴，建立空间直角坐标系，则A（8，0，0），B（0，6，0），D（0，6，1），E（0，0，4），=（﹣8，6，1），=（0，﹣6，3），设=λ=（0，﹣6λ，3λ），0＜λ＜1，故=+=（﹣8，6﹣6λ，1+3λ），由（1）得平面ACE的法向量为=（0，6，0），设直线AM与平面CE所成角为θ，则sinθ===，解得．∴线段DE上存在点M，且时，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为．点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（13分）等比数列a n中的前三项a1，a2，a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．（1）求此数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=3a n﹣（﹣1）n lga n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得a1=3，a2=6，a3=12，公比q=2，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由，得b n=3a n﹣（﹣1）n lga n=9×2n﹣1﹣（﹣1）n[lg3+（n﹣1）lg2]，由此能求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）经检验，当a1=5或a1=4时，不可能得到符合题意的等比数列，∴a1=3，a2=6，a3=12，公比q=2，∴．（2）由，得b n=3a n﹣（﹣1）n lga n=9×2n﹣1﹣（﹣1）n[lg3+（n﹣1）lg2]，∴S n=9（1+2+…+2n﹣1）﹣[（﹣1）+（﹣1）2+…+（﹣1）n]（lg3﹣lg2），n为偶数时，S n=9×+（lg3﹣lg2）﹣（）lg2=9（2n﹣1）+．n为奇数时，=9（2n﹣1）+．∴S n=．点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．20．（13分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2经过椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求•的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）在圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，令y=0，得F（2，0），令x=0，得B（0，2），由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设点Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，则==x0+y0，又，设b=x0+y0，与联立，得：，由此能求出的最大值．解答：解：（Ⅰ）在圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，令y=0，得F（2，0），即c=2，令x=0，得B（0，2），即b=2，∴a2=b2+c2=8，∴椭圆Γ的方程为：．（Ⅱ）设点Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，则==（1，1）•（x0，y0）=x0+y0，又，设b=x0+y0，与联立，得：，令△≥0，得16b2﹣12（12b2﹣8）≥0，解得﹣2．又点Q（x0，y0）在第一象限，∴当时，取最大值2．点评：本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归转化及函数与方程等数学思想．21．（13分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣2x﹣1（x∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；（2）求证：对任意实数a＜0，有f（x）＞．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：证明题；导数的综合应用．分析：（1）求出函数f（x）的导函数f′（x），解出f′（x）＞0和f′（x）＜0，从而求出函数f（x）的单调区间；（2）构造新的函数，判断函数的单调性求出函数的最值，从而证明不等式．解答：解：（1）当a=0时，f（x）=e x﹣2x﹣1（x∈R），∵f′（x）=e x﹣2，且f′（x）的零点为x=ln2，∴当x∈（﹣∞，ln2）时，f′（x）＜0；当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0即（﹣∞，ln2）是f（x）的单调减区间，（ln2，+∞）是f（x）的单调增区间．（2）由f（x）=e x﹣ax2﹣2x﹣1（x∈R）得，f′（x）=e x﹣2ax﹣2，记g（x）=e x﹣2ax﹣2（x∈R），∵a＜0，∴g′（x）=e x﹣2a＞0，即f′（x）=g（x）是R上的单调递增函数，又f′（0）=﹣1＜0，f′（1）=e﹣2a﹣2＞0，故R上存在唯一的x0∈（0，1），使得f′（x0）=0，且当x＜x0时，f′（x）＜0；当x＞x0时，f′（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，则f（x）min=f（x0）=ex0﹣ax0﹣1，再由f′（x0）=0得ex0=2ax0+2，将其代入前式可得，f（x）min =，又令h（x0）==﹣a，由于﹣a＞0，对称轴，而x0∈（0，1），∴h（x0）＞h（1）=a﹣1，又＞0，∴h（x0）＞，故对任意实数a＜0，都在f（x ）＞．点评：本题是一道导数的综合题，考查了，利用导数求函数的单调区间，等价转化思想，不等式的证明．难度中等．- 21 -。

湖南师大附中高三数学上学期第一次月考试卷文(含解析)

湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．D．2．（5分）极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是（）A．一条直线B．一个圆C．一条抛物线D．一条双曲线3．（5分）设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是（）A．﹣1＜x≤1B．x≤1C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜14．（5分）如果函数f（x）=sin（x+θ）（0＜θ＜π）是最小正周期为T的偶函数，那么（）A．T=4π，θ=B．T=4，θ=C．T=4，θ=D．T=4π，θ=5．（5分）已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是（）A．若α∥b，β∥b，则α∥βB．若α∥a，α∥b，则a∥bC．若a⊥α，b⊥β，则α∥βD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β6．（5分）若ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，则对于函数f（x）=ax2+bx+c应有（）A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1）B．f（5）＜f（﹣1）＜f（2） C． f（﹣1）＜f（2）＜f（5）D．f（2）＜f（﹣1）＜f（5）7．（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定8．（5分）若＜＜0，则下列不等式中不正确的是（）A．ab＜b2B．a+b＜ab C．a2＞b2D．+＞29．（5分）已知a n=log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列运算：a1•a2=log23•log34=•=2；a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•log78=••…•=3；…．若a1•a2•a3•…•a k（k∈N*）为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1•a2•a3•…•a k=2 014时，“企盼数”k为（）A．22014+2 B．22014C．22014﹣2 D．22014﹣410．（5分）过点（﹣2，0）的直线l与抛物线y=相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于（）A．﹣B．﹣C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．（5分）在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取个．12．（5分）阅读框图填空：若a=0.80.3，b=0.90.3，c=log50.9，则输出的数是．13．（5分）若直线y=kx与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，则k的值是．14．（5分）函数f（x）=x（e x+1）+x2，则函数f（x）的单调增区间为．15．（5分）当n为正整数时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如：N（3）=3，N（10）=5，记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2n），则（1）S（3）=．（2）S（n）=．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sinωx•cosωx+cos2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求当x∈（0，]时f（x）的值域．17．（12分）某中学2015届高三（1）班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：组序分组频数频率第一组[180，210） 5 0.1第二组[210，240）10 0.2第三组[240，270）12 0.24第四组[270，300） a b第五组[300，330） 6 c（1）求表中的a、b、c的值；（2）某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样方法，从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，求在第二组学生中应抽取多少人？（3）已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．18．（12分）如图，已知三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，PC=BC=4，AB=2，E、F分别是PB、PA的中点．（1）求证：侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求三棱锥P﹣CEF的外接球的表面积．19．（13分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣（a+2）x+b（a，b∈R）在[﹣1，1]上是减函数．（1）求实数a的取值范围；（2）设＜a＜1，若对任意实数u、v∈[a﹣1，a]，不等式|f（u）﹣f（v）|≤恒成立，求实数a的最小值．20．（13分）如图，已知双曲线，其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B．过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足，．（1）求双曲线的离心率；（2）若a=2，过点B作直线l分别交双曲线的左支、右支于M、N两点，且△OMN的面积S△OMN=，求l的方程．21．（13分）设不等式组所表示的平面区域为D n，记D n内整点的个数为a n（横纵坐标均为整数的点称为整点）．（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记数列{a n}的前n项的和为S n，试证明：对任意n∈N*恒有++…+＜成立．湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．D．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得所给的复数为，再根据它为纯虚数，可得a﹣1=0，且a+1≠0，由此求得a的值．解答：解：a是实数，且==为纯虚数，故有a﹣1=0，且a+1≠0，解得 a=1，故选B．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是（）A．一条直线B．一个圆C．一条抛物线D．一条双曲线考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用即可把极坐标方程化为直角坐标方程，即可判断出．解答：解：极坐标方程ρcos2θ=4sinθ化为ρ2cos2θ=4ρsinθ，∴x2=4y．因此极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是一条抛物线．故选：C．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程，属于基础题．3．（5分）设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是（）A．﹣1＜x≤1B．x≤1C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；集合．分析：判断“x∈A且x∉B”成立的充要条件要分别说明必要性与充分性．解答：解：∵集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，又∵“x∈A且x∉B”，∴﹣1＜x＜1；又由﹣1＜x＜1时，满足x∈A且x∉B．故选D．点评：本题考查了充要条件的求法，要分别说明必要性与充分性．属于基础题．4．（5分）如果函数f（x）=sin（x+θ）（0＜θ＜π）是最小正周期为T的偶函数，那么（）A．T=4π，θ=B．T=4，θ=C．T=4，θ=D．T=4π，θ=考点：三角函数的周期性及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由条件根据正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，可得结论．解答：解：根据函数f（x）=sin（x+θ）（0＜θ＜π）是最小正周期为T的偶函数，可得T==4，且θ=，故选：B．点评：本题主要考查正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．5．（5分）已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是（）A．若α∥b，β∥b，则α∥βB．若α∥a，α∥b，则a∥bC．若a⊥α，b⊥β，则α∥βD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：若α∥b，β∥b，则α与β相交或平行，故A错误；若α∥a，α∥b，则a与b相交、平行或异面，故B错误；若a⊥α，b⊥β，则α与β相交或平行，故C错误；若a⊥α，a⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故D正确．故选：D．点评：本小题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间想象能力和思维能力的培养．6．（5分）若ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，则对于函数f（x）=ax2+bx+c应有（）A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1）B．f（5）＜f（﹣1）＜f（2） C． f（﹣1）＜f（2）＜f（5）D．f（2）＜f（﹣1）＜f（5）考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由于ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，可知；﹣2，4是ax2+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．得到=﹣2，=﹣8．因此函数f（x）=ax2+bx+c=a=a（x﹣1）2﹣9a．可知：a＜0，抛物线开口向下，且对称轴为x=1．当x≥1时，函数f（x）单调递减．即可得出．解答：解：∵ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，∴﹣2，4是ax2+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．∴﹣2+4=，﹣2×4=．化为=﹣2，=﹣8．∴函数f（x）=ax2+bx+c=a=a（x2﹣2x﹣8）=a（x﹣1）2﹣9a．∵a＜0，抛物线开口向下，且对称轴为x=1．∴当x≥1时，函数f（x）单调递减，∴f（5）＜f（3）＜f（2），f（3）=f（﹣1），∴f（5）＜f（﹣1）＜f（2）．故选：B．点评：本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根之间的关系、二次函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．7．（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定考点：余弦定理．专题：计算题．分析：先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．解答：解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A点评：考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力．8．（5分）若＜＜0，则下列不等式中不正确的是（）A．ab＜b2B．a+b＜ab C．a2＞b2D．+＞2考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于＜＜0，可得b＜a＜0，因此b2＞a2，即可得出．解答：解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴b2＞a2，因此C不正确．故选：C．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．9．（5分）已知a n=log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列运算：a1•a2=log23•log34=•=2；a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•log78=••…•=3；…．若a1•a2•a3•…•a k（k∈N*）为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1•a2•a3•…•a k=2 014时，“企盼数”k为（）A．22014+2 B．22014C．22014﹣2 D．22014﹣4考点：数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得lg（k+2）=lg 22014，由此能求出k．解答：解：由已知得a1•a2•a3•…•a k==2 014，lg（k+2）=lg 22014，解得k=22014﹣2．故选：C．点评：本题考查“企盼数”k的求法，是中档题，解题时要注意对数性质的合理运用．10．（5分）过点（﹣2，0）的直线l与抛物线y=相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于（）A．﹣B．﹣C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=得：x2﹣2kx﹣4k=0，由此利用根的判别式、韦达定理和直线垂直的性质能求出直线的斜率．解答：解：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=得：x2﹣2kx﹣4k=0，设两个交点是A（x1，y1），B（x2，y2），则，而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即x1x2=﹣1．∴k=且满足△＞0．故选：C．点评：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要注意抛物线性质和导数性质的合理运用．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．（5分）在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取12个．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：∵在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，∴二等品中应抽取个，故答案为：12点评：本题主要考查分层抽样的应用，建立比例关系是解决本题的关键．12．（5分）阅读框图填空：若a=0.80.3，b=0.90.3，c=log50.9，则输出的数是b（或0.90.3）．考点：选择结构．专题：算法和程序框图．分析：根据指数函数和对数函数的图象和性质比较0.80.3，0.90.3，log50.9三个数的大小，由框图即可确定输出的数．解答：解：指数函数和对数函数的图象和性质可知0.80.3＜0.90.3，且0.90.3＞log50.9，执行框图流程可知输出的数为：b（或0.90.3）故答案为：b（或0.90.3）．点评：本题主要考查流程图和算法以及指数函数、对数函数的图象和性质，属于基础题．13．（5分）若直线y=kx与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，则k的值是±．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：先根据圆的方程求出圆心和半径，再根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值．解答：解：圆x2+y2﹣4x+3=0，即（x﹣2）2+y2=1，表示以（2，0）为圆心、半径等于1的圆．根据圆心到直线的距离等于半径可得=1，求得k=±．故答案为：±．点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．14．（5分）函数f（x）=x（e x+1）+x2，则函数f（x）的单调增区间为（﹣1，+∞）（注：[﹣1，+∞）也可）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：只需在定义域内解不等式f′（x）＞0，注意定义域的书写形式．解答：解：f′（x）=e x+1+xe x+x=（e x+1）（x+1），令f′（x）＞0，得x＞﹣1，∴函数f（x）的单调增区间为（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题，求f（x）的增区间只需解f′（x）＞0，求减区间只需解f′（x）＜0，注意单调区间为定义域的子集．15．（5分）当n为正整数时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如：N（3）=3，N（10）=5，记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2n），则（1）S（3）=22．（2）S（n）=．考点：函数的值．专题：计算题；新定义．分析：（1）由题意可得，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（8），分别寻求每一项的值，然后可求（2）先根据题意求出当n=1时，S（1）=N（1）+N（2），S（2）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4），S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（8），S（4）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N （16），根据值出现的规律总结一般规律，然后可求解答：解：（1）由题意可得，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（8）=1+1+3+1+5+3+7+1=22 （2）由题意可得，当n=1时，S（1）=N（1）+N（2）=1+1=2当n=2时，S（2）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）=[N（1）+N（3）]+N（2×1）+N（4×1）=（1+3）+1+1=22+2当n=3时，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（8）=[N（1）+N（3）+N（5）+N（7）]+[N（2）+N（6）]+[N（4）+N（8）]=（1+3+5+7）+（1+3）+（1+1）=24+22+2当n=4，S（4）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（16）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（15）]+[N（2）+N（6）+N（10）+N（14）]+[N（4）+N（8）+N（12）+N（16）]=（1+3+5+7+9+11+13+15）+（1+3+5+7）+（1+1+3+1）=64+16+6=26+24+22+2n=5，S（5）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（32）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（31）]+[N（2）+N（6）+N（10）+…N（30）]+[N（4）+N（8）+…N（32）]=（1+3+5++…+31）+（1+3+5+…+15）+（1+1+3+1+5+3+7+1）=256+64+22=28+26+24+22+2∴S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2n）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（2n﹣1）]+[N（2）+N（6）+N（10）+…N（2n﹣2）]+[N（4）+N（8）+…N（2n）]=22n﹣2+22n﹣4+…+22+2==2=故答案为：22，点评：本题以新定义为载体，主要考查了函数的函数值的求解，解题的关键是根据前几项的值寻求函数值出现的规律三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sinωx•cosωx+cos2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求当x∈（0，]时f（x）的值域．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值．分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2ωx+）+，由此根据周期为π求得ω的值．（2）当x∈（0，]时，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．解答：解：（1）f（x）=sinωxcosωx++1=sin2ωx+cos2ωx+=sin（2ωx+）+．∵ω＞0，∴T==π，∴ω=2．（2）由（1）得：f（x）=sin（2ωx+）+，∵0＜x≤，∴＜2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴1≤f（x）≤，即f（x）的值域是[1，]．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．17．（12分）某中学2015届高三（1）班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：组序分组频数频率第一组[180，210） 5 0.1第二组[210，240）10 0.2第三组[240，270）12 0.24第四组[270，300） a b第五组[300，330） 6 c（1）求表中的a、b、c的值；（2）某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样方法，从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，求在第二组学生中应抽取多少人？（3）已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）由5+10+12+a+6=50得a=17，再求b、c的值；（2）先求抽取比例，根据抽取比例求在第二组学生中应抽取的人数；（3）计算从5名学生中随机抽取2人的取法种数和恰好抽到1名男生和1名女生的取法种数，利用古典概型概率公式计算．解答：解：（1）由5+10+12+a+6=50得a=17，b==0，34，c==0.12；（2）∵分层抽样的抽取比例为，∴在第二组学生中应抽取10×=4人；（3）从5名学生中随机抽取2人共有=10种取法，恰好抽到1名男生和1名女生的取法有=6种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为=．点评：本题考查了古典概型的概率计算，考查了组合数公式的应用，解题的关键是读懂频率分布表．18．（12分）如图，已知三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，PC=BC=4，AB=2，E、F分别是PB、PA的中点．（1）求证：侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求三棱锥P﹣CEF的外接球的表面积．考点：平面与平面垂直的判定；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知得AB⊥PC，AB⊥BC，从而AB⊥侧面PBC，由此能证明侧面PAB⊥侧面PBC．（2）由已知得CE⊥PB，CE⊥EF．从而EF⊥侧面PBC，故EC、EF、EP两两垂直，从而三棱锥P ﹣CEF的外接球就是以EC、EF、EP为长、宽、高的长方体的外接球，由此能求出三棱锥P﹣CEF 的外接球的表面积．解答：（1）证明：∵PC⊥平面ABC，∴AB⊥PC，又AB⊥BC，则AB⊥侧面PBC，AB⊂侧面PAB，故侧面PAB⊥侧面PBC．（6分）（2）解：∵PC=BC=4，E为PB的中点，∴CE⊥PB，而侧面PAB垂直侧面PBC于PB，∴CE⊥EF．由E、F分别是PB、PA的中点有EF∥AB，则EF⊥侧面PBC．故EC、EF、EP两两垂直，（9分）三棱锥P﹣CEF的外接球就是以EC、EF、EP为长、宽、高的长方体的外接球，由已知得EC=EP=2，EF=1，其外接球的直径是=，故所求三棱锥P﹣CEF的外接球的表面积是=17π．（12分）点评：本题考查侧面PAB⊥侧面PBC的证明，考查三棱锥P﹣CEF的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（13分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣（a+2）x+b（a，b∈R）在[﹣1，1]上是减函数．（1）求实数a的取值范围；（2）设＜a＜1，若对任意实数u、v∈[a﹣1，a]，不等式|f（u）﹣f（v）|≤恒成立，求实数a的最小值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）由已知得x∈[﹣1，1]时，f′（x）=x2+ax﹣a﹣2≤0恒成立，由此能求出a≥﹣．（2）由已知得＜a＜1，﹣＜a﹣1＜0，[a﹣1，a]⊂[﹣1，1]，f（x）在[a﹣1，a]上是减函数，从而得到f max﹣f min≤，由此能求出实数a的最小值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2﹣（a+2）x+b，∴f′（x）=x2+ax﹣a﹣2，由函数f（x）=x3+ax2﹣（a+2）x+b（a，b∈R）在[﹣1，1]上是减函数得：x∈[﹣1，1]时，f′（x）=x2+ax﹣a﹣2≤0恒成立．（3分）∴，解得a≥﹣．（6分）（2）∵＜a＜1，∴﹣＜a﹣1＜0，∴[a﹣1，a]⊂[﹣1，1]，故f（x）在[a﹣1，a]上是减函数，（7分）∴f max=f（a﹣1）=（a﹣1）3+a（a﹣1）2﹣（a+2）（a﹣1）+b，f min=f（a）=a3+a3﹣a（a+2）+b．依条件有f max﹣f min≤，∴f max﹣f min=﹣2a2+a+≤，（11分）即8a2﹣10a+3≥0，a≥或a≤，∵＜a＜1，∴a min=．（13分）点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．20．（13分）如图，已知双曲线，其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B．过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足，．（1）求双曲线的离心率；（2）若a=2，过点B作直线l分别交双曲线的左支、右支于M、N两点，且△OMN的面积S△OMN=，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．专题：综合题；转化思想．分析：（1）欲求双曲线的离心率，只需找到含a，c的齐次式，由已知，易求P点坐标，根据，可判断D点为FP的中点，再根据可找到a，b的关系，进而转化为含a，c的等式，即可求出离心率e的值．（2）当a=2时，根据（1）中所求离心率，可求出b的值，进而求出双曲线方程，根据直线MN过B点，设出直线MN的方程，与双曲线方程联立，解出x1+x2，x1x2，△OMN被y轴分成两个三角形，分别求出面积，再相加，即为△OMN的面积，让其等于题目中所给的值，可得到关于直线l的斜率k的方程，解出k即可．解答：解：（1）∵B（0，﹣b）∵，即D为线段FP的中点．，∴，即A、B、D共线．而，，∴，得a=2b，∴（2）∵a=2，而，∴b2=1，故双曲线的方程为…①∴B、的坐标为（0，﹣1）设l的方程为y=kx﹣1…②②代入①得（1﹣4k2）x2+8kx﹣8=0由题意得：得：设M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）则而==整理得24k4﹣11k2+1=0，解得：或（舍去）∴所求l的方程为点评：本题主要考查了双曲线离心率的求法，以及直线与双曲线位置关系的应用．21．（13分）设不等式组所表示的平面区域为D n，记D n内整点的个数为a n（横纵坐标均为整数的点称为整点）．（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记数列{a n}的前n项的和为S n，试证明：对任意n∈N*恒有++…+＜成立．考点：数列与不等式的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，可求a2的值；（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），即可求数列{a n}的通项公式；（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论．解答：解：（1）D2如图中阴影部分所示，∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，∴a2==25．（3分）（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），据题意有a n==10n+5．（6分）（另解：a n=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）S n=5n（n+2）．（8分）∵==•＜，∴++…+＜++…+=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜（13分）点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

河南师大附中2015-2016学年高一(下)3月月考数学试卷

2015-2016学年河南师大附中高一（下）3月月考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．cos=（）A．﹣B．C．﹣D．2．把十进制数89化成五进制数的末位数为（）A．4 B．3 C．2 D．13．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层抽样法从中抽取容量为20的样本，则应抽取三级品的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．104．圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为（）A．B．C．D．6．设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42 B．36π+18 C．D．7．若角α的终边经过点（﹣3λ，4λ），且λ≠0，则等于（）A．B．C．﹣7 D．78．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3B．2C．D．19．抛掷三枚质地均匀硬币，至少一次正面朝上的概率是（）A．B．C．D．10．函数y=的定义域是（）A．B．C．D．11．若α满足，则的值为（）A．B． C．D．12．已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10） B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知tanx=2，则sinxcosx的值为．14．某设备的使用年限x与所支出的总费用y（万元）有如下的统计资料：使用年限x 1 2 3 4总费用y 1.5 2 3 3.5由表中数据最小二乘法得线性回归方程=x+，其中=0.7，由此预测，当使用10年时，所支出的总费用约为万元．15．如图程序框的运行结果是．16．给出下列四个命题：①若f（x）是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则f（sinθ）＞f（cosθ）；②若锐角α，β满足cosα＞sinβ，则α+β＜；③已知扇形的半径为R，面积为2R2，则这个扇形的圆心角的弧度数为4；④f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=sin2x+cosx，则．其中真命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．一只口袋内装有形状、大小都相同的6只小球，其中4只白球，2只红球，从袋中随机摸出2只球．（1）求2只球都是红球的概率；（2）求至少有1只球是红球的概率．18．已知（1）化简f（α）（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．19．为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？（3）通过该统计图，可以估计该地学生跳绳次数的众数是，中位数是．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；（2）证明：AE⊥平面PCD；（3）求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．21．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（Ⅰ）求圆心C的坐标及半径r的大小；（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程；（Ⅲ）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|MP|=|OP|，求点P的轨迹方程．22．定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（﹣x）=﹣f（x）的x的值；若不是，请说明理由；（2）若f（x）=2x+m是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．（3）若f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．2015-2016学年河南师大附中高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．cos=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】诱导公式的作用．【分析】利用诱导公式即可求得答案．【解答】解：∵cos=cos（2×360°+30°）=cos30°=．故选D．2．把十进制数89化成五进制数的末位数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】进位制．【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以5，然后将商继续除以5，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：89÷5=17 (4)17÷5=3 (2)3÷5=0 (3)=324（5）故89（10）末位数字为4．故选：A．3．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层抽样法从中抽取容量为20的样本，则应抽取三级品的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．10【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样每层是按照同一比例抽取得到，得到，求出x的值．【解答】解：设应抽取三级品的个数x，据题意有，解得x=10，故选D．4．圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化圆的一般方程为标准式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，结合图形答案可求．【解答】解：由x2+y2+2x+4y﹣3=0，得（x+1）2+（y+2）2=8．∴圆的圆心坐标为（﹣1，﹣2），半径为2．∵圆心（﹣1，﹣2）到直线x+y+1=0的距离为=．如图，∴圆上满足到直线x+y+1=0的距离为3的点只有1个，是过圆心且与直线x+y+1=0垂直的直线与圆的交点A．故选：D．5．如图，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为（）A．B．C．D．【考点】概率的应用．【分析】先求出正方形的面积为22，设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知，由此能求出该阴影部分的面积．【解答】解：设阴影部分的面积为x，则，解得x=．故选B．6．设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42 B．36π+18 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，分别做出两个几何体的体积相加．【解答】解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，四棱柱的体积3×3×2=18，球的体积是，∴几何体的体积是18+，故选D．7．若角α的终边经过点（﹣3λ，4λ），且λ≠0，则等于（）A．B．C．﹣7 D．7【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣3λ，4λ），且λ≠0，∴tanα==﹣，则===，故选：B．8．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3B．2C．D．1【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体积．理，三角形的面积公式求出S△SCD【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD 因为线段SC是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30°得：AC=2，SA=2又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30°得：BC=2，SB=2则：SA=SB，AC=BC因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD===在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD===又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB•S，△SCD因为：SD=，CD=，SC=4 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD2+CD2﹣SC2）=（+﹣16）==则：sin∠SDC==由三角形面积公式得△SCD的面积S=SD•CD•sin∠SDC==3==所以：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB•S△SCD故选C9．抛掷三枚质地均匀硬币，至少一次正面朝上的概率是（）A．B．C．D．【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】抛掷三枚质地均匀硬币，先求出全都反面向上的概率，再用对立事件求出至少一次正面朝上的概率．【解答】解：抛掷三枚质地均匀硬币，全都反面向上的概率为p1=，∴至少一次正面朝上的概率为：p=1﹣=．故选：A．10．函数y=的定义域是（）A．B．C．D．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接求无理式的范围，解三角不等式即可．【解答】解：由2cosx+1≥0得，∴，k∈Z．故选D．11．若α满足，则的值为（）A．B． C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由=cos hslx3y3h﹣（）﹣（）﹣1，1﹣1，00，1﹣1，1﹣1，00，1﹣1，1﹣1，1﹣1，1，2，22，2，﹣，﹣12，+∞）有解即可保证f（x）为“局部奇函数”．…令F（t）=t2﹣2mt+2m2﹣8，1°当F（2）≤0，t2﹣2mt+2m2﹣8=0在2，+∞）有解等价于，解得1+≤m≤2．…（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m的取值范围为1﹣≤m≤2．…2016年11月7日。

【名师解析】湖南省师大附中2015届高三第一次月考数学理试题 Word版含解析

【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．已知集合M ＝{ |x x 2－2x<0}，N ＝{ |x x<a}，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，0] 【知识点】子集的运算.A1【答案解析】A 解析：因为{}2M {|x 2x 0}|02x x x <=<<＝－，N ＝{ |x x<a}，M ⊆N ，所以2a ³，故选A.【思路点拨】先化简集合M ，再利用M ⊆N 即可. 【题文】2．下列四个命题p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x< ⎝ ⎛⎭⎪⎫13xp 2：∃x ∈(0，1)，log 12x>log 13x p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x>log 12x p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x<log 13x 其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4【知识点】命题的真假判断与应用．A2x的图象如p 2：作出对数函数y 1＝12log x ，y 2＝13log x 的图象，由图象知：∃x ∈（0，1），使命题p 2正确．p 3：作出函数y 1＝12log x ，y 2＝(12)x的图象，由图象知命题p 3不正确．13x ＞1，(12)x ＜1，所以恒有13log x ＞(12)x 成立，所以命题P 4正确．故选D ．【思路点拨】分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题．p 1可利用两个指数函数的图象进行判断．p 2可以利用对数的图象来判断．p 3可以利用对数和指数函数的图象来判断．p 4：利用指数函数和对数函数的图象来判断．【题文】3．在如右图所示的程序框图中输入10，结果会输出( )A ．10B ．11C ．512D ．1 024【知识点】程序框图．L1【答案解析】D 解析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，如下； n=3，s=1，k=1，k≤n ，是，s=1×2=2； k=2，k≤n ，是，s=2×2=4= 22； k=3，k≤n ，是，s=4×2=8= 32； …k=11，k≤n ，否，输出s= 102．故选：D ．【思路点拨】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【题文】4．将函数f(x)＝sin x ＋cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为( )A ．－π4 B.π4 C.3π4 D.5π4【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4【答案解析】C 解析：化简得sin cos 4y x x x p骣琪=++琪桫，根据图象平移规律可得平移后函数4y x pf 骣琪++琪桫，又所得函数图象关于原点对称，（k ∈Z ），【思路点拨】化简得sin cos sin 4y x x x p骣琪=++琪桫，根据图象平移规律可得平移后函数4y x pf 骣琪++琪桫，又所得函数图象关于原点对称解得f 【题文】5．若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2||x －1y ≤x ＋1，则z ＝x ＋3y 的最大值为( )A ．9B ．11C ．12D ．16【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】B 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：x 13y x -＝由 211y x y x ì=-ïí=+ïî得23x y ì=ïí=ïî，即C （2，3），此时z=x+3y=2+3×3=11，故选：B ．【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用利用数形结合即可得到结论．【题文】6．不全相等的五个数a 、b 、c 、m 、n 具有关系如下：a 、b 、c 成等比数列，a 、m 、b 和b 、n 、c 都成等差数列，则a m ＋cn ＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．不能确定【知识点】等差、等边数列.D2 D3【答案解析】C 解析：不妨令1,2,4,a b c ===则3,32m n ==，代入可得2a c m n +=，故选C.【思路点拨】不妨令1,2,4,a b c ===则3,32m n ==，代入可得结果. 【题文】7．已知边长为1的正方形ABCD 位于第一象限，且顶点A 、D 分别在x 、y 的正半轴上(含原点)滑动，则OB →·OC →的最大值是( ) A ．1 B.22C ．2 D. 5 【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用．F3同理可求得C （sinθ，cosθ+sinθ），即OC →=（sinθ，cosθ+sinθ），∴OB →·OC →=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，故OB →·OC →的最大值是2，故答案是 2．【思路点拨】令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上，可得出B ，C 的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．【题文】8．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为( )A.34 B.32C. 3 D ．2 3【知识点】三视图.G2【答案解析】D 解析：如图所示，四面体为棱长为2的正四面体，214sin 602S =创?.【思路点拨】根据题意转化为正方体内的正四面体，可知其棱长再求面积即可.【题文】9．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y(y －mx －m)＝0有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎫0，33 C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－33∪⎝⎛⎭⎫33，＋∞【知识点】圆的一般方程；圆方程的综合应用．H3 H4【答案解析】B 解析：曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1，图象为圆心为(1，0)，半径为1的圆；曲线C 2：y ＝0，或者y －mx －m ＝0，直线y －mx －m ＝0恒过定点(－1，0)，即曲线C 2图象为x 轴与恒过定点(－1，0)的两条直线．作图分析：k 1＝tan 30°＝33，k 2＝－tan 30°＝－33，又直线l 1(或直线l 2)、x 轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知m ＝k ∈⎝⎛⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎫0，33. 【思路点拨】由题意可知曲线C 1：x 2+y 2-2x=0表示一个圆，曲线C 2：y （y-mx-m ）=0表示两条直线y=0和y-mx-m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y-mx-m=0要有2个交点，根据直线y-mx-m=0过定点，先求出直线与圆相切时m 的值，然后根据图象即可写出满足题意的m 的范围．【题文】10．已知集合A ＝{}x |x ＝a 0＋a 1×3＋a 2×32＋a 3×33，其中a i∈{}0，1，2()i ＝0，1，2，3且a 3≠0，则A 中所有元素之和等于( )A ．3 240B ．3 120C ．2 997D ．2 889 【知识点】数列的求和;分类计数原理.J1 D4【答案解析】D 解析：由题意可知，a 0，a 1，a 2各有3种取法(均可取0，1，2)，a 3有2种取法(可取1，2)，由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，∴当a 0取0，1，2时，a 1，a 2各有3种取法，a 3有2种取法，共有3×3×2＝18种方法，即集合A 中含有a 0项的所有数的和为(0＋1＋2)×18；同理可得集合A 中含有a 1项的所有数的和为(3×0＋3×1＋3×2)×18；集合A 中含有a 2项的所有数的和为(32×0＋32×1＋32×2)×18；集合A 中含有a 3项的所有数的和为(33×1＋33×2)×27；由分类计数原理得集合A 中所有元素之和： S ＝(0＋1＋2)×18＋(3×0＋3×1＋3×2)×18＋(32×0＋32×1＋32×2)×18＋(33×1＋33×2)×27＝18(3＋9＋27)＋81×27＝702＋2 187＝2 889.故选D. 【思路点拨】由题意可知a 0，a 1，a 2各有3种取法（均可取0，1，2），a 3有2种取法，利用数列求和即可求得A 中所有元素之和．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．【题文】11．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，∠A ＝60°，则cos B ＝____．【知识点】正弦定理.C8【答案解析】3解析：∵在△ABC 中，a=15，b=10，A=60°，由正弦定理可得01510sin60sin B =B ，故答案【思路点拨】先利用正弦定理求得sinB ，再利用平方关系解得c o s B 即可.【题文】12．如右图，椭圆x 216＋y 212＝1的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个二面角，使点A 2在平面B 1A 1B 2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为____．【知识点】椭圆的应用；与二面角有关的立体几何综合题．H5 G11【思路点拨】连接A 1 O 根据椭圆的性质可知A 1 O ⊥y 轴，A 2 O ⊥y 轴，推断出∠A 1 O A 2为所求的二面角，利用椭圆的方程求得a 和c ，即|A 1 O |和| O F|的值，进而在Rt △A 1 O A 2中利用求得cos ∠A 1 O A 2进而求得∠A 1 O A 2．【题文】13．若f(x)＋⎠⎛01f(x)dx ＝x ，则f(x)＝__ _．【知识点】定积分.B13【答案解析】x －14 解析：因为⎠⎛01f(x)dx 是个常数，不妨设为m ，所以f(x)＝x －m ，其原函数F(x)＝12x 2－mx ＋C(C 为常数)，所以可得方程m ＝12－m ，解得m ＝14.故f(x)＝x －14.【思路点拨】根据已知条件设f(x)＝x －m 代入求出m 即可.【题文】14．在函数f(x)＝aln x ＋(x ＋1)2()x>0的图象上任取两个不同的点P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)，总能使得f(x 1)－f(x 2)≥4(x 1－x 2)，则实数a 的取值范围为__．【知识点】函数的性质及应用；导数的概念及应用．B12【答案解析】⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析：由题意f′(x)≥4对任意x>0恒成立，也就是 a≥()2x （1－x ）max ＝12. 【思路点拨】由题意f ′(x)≥4对任意x>0恒成立, 由此构造关于a 的不等式，可得实数a 的取值范围．【题文】15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，图中的实心点的个数1、5、12、22、…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a 1＝1，第2个五角形数记作a 2＝5，第3个五角形数记作a 3＝12，第4个五角形数记作a 4＝22，……，若按此规律继续下去，则a 5＝____，若a n ＝145，则n ＝___.【知识点】归纳推理．M1三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．(本题满分12分) 设f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π6－2cos 2π8x ＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎡⎦⎤0，43时y ＝g(x)的最大值．【知识点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．C3 C5【答案解析】(1) 8 (2)32解析：(1)f(x)＝sin π4xcos π6－cos π4xsin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π3，故f(x)的最小正周期为T ＝2ππ4＝8. (6分)(2)法一：在y ＝g(x)的图象上任取一点(x ，g(x))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g(x))．由题设条件，点(2－x ，g(x))在y ＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝3sin ⎣⎡⎦⎤π4（2－x ）－π3 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤π2－π4x －π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π3，当0≤x≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3 ，因此y ＝g(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，43 上的最大值为y max ＝3cos π3＝32.(12分)法二：因区间⎣⎡⎦⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎡⎦⎤23，2，且y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，故y ＝g(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，43上的最大值为y ＝f(x)在区间⎣⎡⎦⎤23，2上的最大值．由(1)知f(x)＝3sin ⎝⎛⎫π4x －π3.当23≤x≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，43上的最大值为y max ＝3sin π6＝32.(12分) 【思路点拨】（1）f （x ）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f （x ）的最小正周期；（2）在y=g （x ）的图象上任取一点（x ，g （x ）），根据f （x ）与g （x ）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f （x ）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g （x ）的最大值．【题文】17．(本题满分12分)某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A 、B 、C 三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A 、B 、C 测试的概率为分别为15、13、12，且通过各次测试的事件相互独立．(1)若甲选手先测试A 项目，再测试B 项目，后测试C 项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p 1，第二项能通过的概率为p 2，第三项能通过的概率为p 3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望(用p 1、p 2、p 3表示)；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．【知识点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．K5 K6【答案解析】(1) 即无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为1115 (2) 按C→B→A 的顺序参加测试更有利于进入正赛．解析：(1)依题意，甲选手不能通过海选的概率为⎝⎛⎭⎫1－15⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫ 1－12＝415，故甲选手能通过海选的概率为1－⎝⎛⎭⎫1－15⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫ 1－12＝1115.(3分) 若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，因为无论按什么顺序，其不能通过的概率均为⎝⎛⎭⎫1－15⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫ 1－12＝415，即无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为1115.(5分)(2)依题意，ξ的所有可能取值为1、2、3.P(ξ＝1)＝p 1，P(ξ＝2)＝(1－p 1)p 2，P(ξ＝3)＝(1－p 1)(1－p 2)p 3. 故ξ的分布列为(8分)Eξ＝p 1＋2(1－p 1)p 2＋3(1－p 1)(1－p 2)p 3(10分)分别计算当甲选手按C→B→A ，C→A→B ，B→A→C ，B→C→A ，A→B→C ，A→C→B 的顺序参加测试时，Eξ的值，得甲选手按C→B→A 的顺序参加测试时，Eξ最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手选择将自己的优势项目放在前面，即按C→B→A 的顺序参加测试更有利于进入正赛．(12分)【思路点拨】（1）求出甲同学不能通过海选的概率，利用对立事件的概率公式，可求甲同学能通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概没有影响，因为无论按什么顺序，甲同学不能通过海选的概率不变；（2）ξ的可能取值为1，2，3，求出相应概率，可得分布列与期望；利用参加海选测试次数少的选手进入正赛，可得结论．【题文】18．(本题满分12分)如图，△ABC 的外接圆⊙O 的半径为5，CE 垂直于⊙O 所在的平面，BD ∥CE ，CE ＝4，BC ＝6，且BD ＝1，cos ∠ADB ＝101101. (1)求证：平面AEC ⊥平面BCED ；(2)试问线段DE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．【知识点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．G10【答案解析】(1)见解析 (2) 存在点M ，且DM →＝13DE →时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121.解析：(1)证明：∵BD ⊥平面ABC ∴BD ⊥AB ，又因为 BD ＝1，cos ∠ADB ＝101101. 故AD ＝101，AB ＝10＝直径长，(3分)∴AC ⊥BC.又因为EC ⊥平面ABC ，所以EC ⊥BC.∵AC∩EC ＝C ，∴BC ⊥平面ACE ，又BC ⊂平面BCED ， ∴平面AEC ⊥平面BCED.(6分)(2)法一：存在，如图，以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线CE 为z 轴建立空间直角坐标系，则有点的坐标，A(8，0，0)，B(0，6，0)，D(0，6，1)，E(0，0，4)．则AD →＝(－8，6，1)，DE →＝(0，－6，3)，设DM →＝λDE →＝λ(0，－6，3)＝(0，－6λ，3λ)，0<λ<1 故AM →＝AD →＋DM →＝(－8, 6－6λ，1＋3λ) 由(1)易得平面ACE 的法向量为CB →＝(0，6，0)，设直线AM 与平面ACE 所成角为θ，则sin θ＝|AM →·CB →||AM →|·|CB →|＝36－36λ64＋36（1－λ）2＋（1＋3λ）2·6＝22121，解得λ＝13.(10分) 所以存在点M ，且DM →＝13DE →时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121. (12分)法二：(几何法)如图，作MN ⊥CE 交CE 于N ，连接AN ，则MN ⊥平面AEC ，故直线AM 与平面ACE 所成的角为∠MAN ，且MN ⊥AN ，NC ⊥AC.设MN ＝2x ，由直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121，得AM ＝21x ，所以AN ＝17x.另一方面，作DK ∥MN ∥BC ，得EN ＝x ，NC ＝4－x 而AC ＝8，故Rt △ANC 中，由AN 2＝AC 2＋NC 2 得17x 2＝64＋(4－x)2，∴x ＝2，∴MN ＝4，EM ＝2 5所以存在点M ，且EM ＝25时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121. (12分)【题文】19．(本题满分13分)等比数列{a n }中的前三项a 1、a 2、a 3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．⎝⎛⎭⎪⎪⎫5436108201216 (1)求此数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝3a n －()－1nlg a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 【知识点】数列的求和；等比数列的性质．D3 D4【答案解析】(1) a n ＝3·2n－1(2) S n＝⎩⎨⎧9（2n－1）－n2lg 2，n 为偶数，9（2n－1）＋n －12lg 2＋lg 3，n 为奇数.解析：(1)经检验，当a 1＝5或4时，不可能得到符合题中要求的等比数列；故有a 1＝3，a 2＝6，a 3＝12，等比数列公比q ＝2，所以a n ＝3·2n －1.(5分)(2)由a n ＝3·2n －1得b n ＝3a n －()－1nlg a n ＝9×2n －1－(－1)n []lg 3＋（n －1）lg 2.所以S n ＝9(1＋2＋…＋2n －1)－⎣⎡⎦⎤()－1＋()－12＋…＋()－1n (lg 3－lg 2) －[]－1＋2－3＋…＋（－1）nn lg 2(9分)n 为偶数时，S n ＝9×1－2n 1－2－n 2lg 2＝9(2n －1)－n2lg 2.n 为奇数时，S n ＝9×1－2n 1－2＋(lg 3－lg 2)－⎝⎛⎭⎫n －12－n lg 2＝9(2n －1)＋n －12lg 2＋lg 3.所以， S n＝⎩⎨⎧9（2n －1）－n2lg 2，n 为偶数，9（2n－1）＋n －12lg 2＋lg 3，n 为奇数.(13分)【思路点拨】(1)先检验再利用等比数列的通项公式即可；（2）分情况讨论即可. 【题文】20．(本题满分13分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆Γ∶x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的右焦点F 和上顶点B.(1)求椭圆Γ的方程；(2)如图，过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点，求OM →·OQ →的最大值．【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题．H8 【答案解析】(1) x 28＋y 24＝1. (2) 2 3.解析：(1)在C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2中，令y ＝0得F(2，0)，即c ＝2，令x ＝0，得B(0，2)，b ＝2，由a 2＝b 2＋c 2＝8，∴椭圆Γ：x 28＋y 24＝1.(4分)(2)法一：依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x 1，kx 1)，Q(x 2，kx 2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 28＋y 24＝1得：(1＋2k 2)x 2＝8，∴x 2＝221＋2k 2.(6分) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx （x －1）2＋（y －1）2＝2得：(1＋k 2)x 2－(2＋2k)x ＝0，∴x 1＝2＋2k 1＋k 2， ∴OM →·OQ →＝⎝⎛⎭⎫x 12，kx 12·(x 2，kx 2)＝12(x 1x 2＋k 2x 1x 2)＝221＋k 1＋2k 2(k>0). (9分)＝22（1＋k ）21＋2k 2＝22k 2＋2k ＋11＋2k 2.设φ(k)＝k 2＋2k ＋11＋2k 2，φ′(k)＝－4k 2－2k ＋2（1＋2k 2）2，令φ′(k)＝－4k 2－2k ＋2（1＋2k 2）2>0，得－1<k<12. 又k>0，∴φ(k)在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减． ∴当k ＝12时，φ(k)max ＝φ⎝⎛⎭⎫12＝32，即OM →·OQ →的最大值为2 3.(13分) 法二：依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x 1，kx 1)， Q(x 2，kx 2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 28＋y 24＝1得：(1＋2k 2)x 2＝8，∴x 2＝221＋2k 2.(6分) OM →·OQ →＝(OC →＋CM →)·OQ →＝OC →·OQ →＝(1，1)·(x 2，kx 2)＝(1＋k)x 2＝221＋k1＋2k 2(k>0)(9分)＝22（1＋k ）21＋2k 2.设t ＝1＋k(t>1)，则（1＋k ）21＋2k 2＝t 22t 2－4t ＋3＝12－4⎝⎛⎭⎫1t ＋3⎝⎛⎭⎫1t 2＝13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1t －232＋23≤32.当且仅当1t ＝23时，(OM →·OQ →)max ＝2 3.(13分)【思路点拨】(1) 在圆（x-1）2+（y-1）2=2中，令y=0，得F （2，0），令x=0，得B （0，2），由此能求出椭圆方程． (2) 依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x 1，kx 1)，Q(x 2，kx 2) ，把直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系代入，再结合基本不等式即可.【题文】21．(本题满分13分)已知函数f(x)＝e x －ax 2－2x －1(x ∈R )． (1)当a ＝0时，求f(x)的单调区间； (2)求证：对任意实数a<0，有f(x)>a 2－a ＋1a.【知识点】利用导数求函数的单调区间；利用导数结合函数的单调性证明不等式.B3 B12 【答案解析】(1) (－∞，ln 2)是f(x)的单调减区间，(ln 2，＋∞)是f(x)的单调增区间． (2)见解析。

2015初三数学3月月考试题及标准答案

武汉市梅苑学校2014—2015学年度毕业年级三月月考数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．在实数-2、-1、0、2中，最小的实数是（）A ．2B ．0C ．-1D ．－22．式子1+x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ≥－1B ．x ＞－1C ．x ≠－1D ．x ≤－13．据统计，我国2014年全年完成造林面积约609000公顷.609000用科学记数法可表示为（）A ．6.09×610B.60.9×510 C ．609×410D ．6.09×5104．下列代数运算正确的是( )A. 66x x x =⋅ B .=32)x (6x C.33x 2)x 2(= D.4x )2x (22+=+5．下图是一些大小相同的小正方体组成的几何体，则其俯视图是（）6．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC ＝3∠AOB ，若∠ACB ＝20°，则∠BAC 的度数是（）A．120°B ．80°C ．60°D ．30°第6题图第7题图7．如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C(1，2)、D(2，0)，以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 坐标为(5，0)，则点A 的坐标为（）A ．(2，5)B ．(2.5，5)C ．(3，5)A ．B ．C ．D ．D ．(3, 6)8．小明想了解全校3000名同学对新闻、体育、音乐、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱况，从中抽取了一部分同学进行了一次抽样调查，利用所得数据绘制成下面的统计图：根据图中所给信息，全校喜欢娱乐类节目的学生大约有（）人A ．1080B ．900C ．600D ．420 9．如图所示，已知在△ABC 中，(00)A ，，(30)B ，，(01)C ，，在ABC △内依次作等边三角形，作出的等边三角形分别是第1个11AA B △，第2个122B A B △，第3个233B A B △，…，使B 1、B 2、B 3、…在x 轴上，A 1、A 2、A 3、…在BC 边上，则第n 个等边三角形的边长等于（） A ．3 B ．3 C ．32n D ．132n - 10．如图，P 为等边△ABC 的中线AD 上一点，AD ＝3AP ，在边AB 、AC 上分别取点M 、N ，使△PMN 为以MN 为底的等腰直角三角形，若AP ＝31+，则MN 的长为( )A. 23+6B.32+6C.22+6D.6+2第10题图二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：(- 4 ) + 9 =_________. 12．分解因式：3a 2x －3a=_________.13. 在一个不透明的袋子中装有5个完全相同的小球，在它们上面分别标上字母A ，C ，F ，I ，M ，从中随机摸出一个小球，则摸到的小球上所标字母为元音字母的概率是_________.14．甲、乙两车都从同一地点沿同一路线驶向同一目的地，甲车先行，一段时间后，乙车开始行驶，甲车到达目的地后，乙车走完了全程的49，下图反应的是从甲车开始行驶到乙车到达目的地整个过程中两车之间的距离与时间的函数关系图象，则a＝．15．如图，以原点O为顶点的等腰直角三角形ABO中，∠BAO＝90°，反比例函数kyx=过A、B两点，若点A的横坐标为2，则k＝．16．如图，已知△ABC，外心为O，BC=10，∠BAC=60°，分别以AB，AC为要腰向形外作等腰直角三角形△ABD与△ACE，连接BE，CD交于点P，则OP的最小值是．PEDCBA第14题图第15题图第16题图三、解答题（共9小题，共72分）17．（本题8分）已知直线2y x b=+经过点（3，5），求关于x的不等式bx+2≥0的解集.18.（本题8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF交AD于点E，交BC于点F. OE=OF.（1）求证：AE=CF.（2）当EF与BD满足什么位置关系时，四边形BFDE是菱形？请说明理由.OABDCE19．（本题8分）如图10，在平面直角坐标系中，△ ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（－1，1），C（－1，3）．OPACB（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出点C 1的坐标；（2）画出△ABC 绕原点O 顺时针方向旋转90°后得到的△A 2B 2C 2，并写出点C 2的坐标；，（3）将△ABC 先向上平移1个单位，接着再右平移3个单位得到△A 3B 3C 3，使点A 2的对应点是A 3，点B 2的对应点是B 3，点C 2的对应点是C 3，在坐标系中画出△A 3B 3C 3，此时我们发现△A 3B 3C 3可以由△A 2B 2C 2经过旋转变换得到．其变换过程是将△A 2B 2C 2 ． 20．（本题8分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.（1）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球.①求两次取出的小球的标号的和等于4的概率；②求第一次取出的小球标号能被第二次取出的小球标号整除的概率；（2）随机摸取一个小球然后不放回，再随机摸出一个小球，求两次取出的小球的标号的和等于4的概率是多少？请直接写出结果. 21．（本题8分）如图，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，AC 是⊙O 的直径，点B 为⊙O 上一点，满足BC ∥OP.（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）若cos ∠ACB=53，求sin ∠APB 的值.22．（本题10分）某商店购进A 型和B 型两种电脑进行销售，已知B 型电脑比A 型电脑的每台进价贵500元，若商店用3万元购进的A 型电脑与用4.5万元购进的B 型电脑的数量相等.A 型电脑每台的售价为1800元，B 型电脑每台的售价为2400元.（1）求A 、B 两种型号的电脑每台的进价各是多少元？（2）该商店计划用不超过12.5万元购进两种型号的电脑共100台，且A 型电脑的进货量不超过B 型电脑的56.① 该商店有哪几种进货方式？② 若该商店将购进的电脑全部售出，请你用所学的函数知识求出获得的最大利润. 23．（本题10分）如图，等腰R t △ABC 中，∠ACB=90°，A C BC ，D 为AC 边上一点，以BD 为边作正方形BDEF. （1）求证： AE ⊥AB ；（2）如图2，P 为正方形BDEF 的对角线的中点，直线CP 分别交BD 、EF 于M 、N 两点.①求证: △BC M ∽△PFN ；②若32=AD DC，则=FN EN. (直接写出结果,不需要过程）24．（本题12分）已知二次函数C 1：22)12(m x m x y +++=的图象与y 轴交于点C ，顶点为D .（1）若不论m 为何值，二次函数C 1图象的顶点D 均在某一函数的图象上，直接写出此函数的解析式；（2）若二次函数C 1的图象与x 轴的交点分别为M ，N ，设△MNC 的外接圆的圆心为P .试说明⊙P 与y 轴的另一个交点Q 为定点，并判断该定点Q 是否在（1）中所求函数的图象上；（3）当m =1时，将抛物线C 1向下平移n (n >0)个单位，得到抛物线C 2，直线D C 与抛物线C 2交于A ，B 两点，若AD +CB =DC ，求n 的值.图2MNPFE A B CD海量课件、教案、试题免费下载，尽在课件下载网！武汉市梅苑学校2014—2015学年度毕业年级三月月考数学试题答题卡一、选择题（每题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题（每题3分，共18分）题号 11 1213 1415 16 答案三、解答题（共72分）17、（8分）18、（8分）（1）（2）学校考号姓名班级--------------------------------------密--------------------------------------封-----------------------------------线------------------------------OPACB（1）（2）（3）20、（8分）（1）（2）21、（8分）（1）（2）图10图2M NPFEA BCD（1）（2）23、（10分）（1）（2）24、（12分）（1）（2）（3）第一课件网系列资料。

2015-2016学年北师大八年级下月考数学试卷(3月)含答案解析

2015-2016学年四川省成都七中育才学校八年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题：1下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（菖® C .⑥D 駅下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（二，二 ^B . 1，. —，.— C . 6, 7, 8 D . 2,3, 4如图，△ ABC 与厶A'B'C'关于O 成中心对称，下列结论中不成立的是（C . BC=B'C 'D . Z ABC= / AC B '无论x 取何值，下列不等式总是成立的是（）2 2x+5 > 0 B . x+5 V 0 C .-（ x+5） v 0 D . （x+5）为如图，△ ABC 中BD 、CD 平分Z ABC 、/ ACB 过D 作直线平行于 BC , F ，当Z A 的位置及大小变化时，线段 EF 和BE+CF 的大小关系是（ A . EF=BE+CF B . EF > BE+CF C . EF v BE+CF D .不能确定（x>a6.关于x 的不等式组 ...的解集为x > 1，则a 的取值范围是（）A . a > 1B . a v 1C . a 》D . aE 7. 给出四个命题：① 若 a >b , c=d ,则 ac >bd ； ② 若 ac >be ,贝U a >b ;2 2③ 若 a > b ,则 ac >be ; ④ 若 ac 2> be 2，贝V a > b . 正确的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个&某商品原价5元，如果跌价X%后，仍不低于4元，那么（）A . x €0B . x v 20C . x^20D . x > 204.A .5. E 、交AB 、 AC 于）2. A .3.9. 如图，△ ABC中，AB=AC .上A=36 ° AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E,下述结论：(1) BD 平分/ ABC ； (2) AD=BD=BC ； (3) △ BDC 的周长等于AB+BC ； (4) D 是AC中点.其中正确的是( )A .①②B .①②③C .②③④D .①②③④10. 如图，已知?ABCD中，AE丄BC于点E,以点B为中心，取旋转角等于/ ABC，把△ BAE 顺时针旋转，得到△ BA'E',连接DA 若/ ADC=60 ° / ADA '=50 °则/ DA'E 的大小为( )二、填空题：11. 不等式(a- b) x>a- b的解集是x v 1，则a与b的大小关系是____________________ .12. 将一箱苹果分给若干位小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分到了苹果但不足8个，则有小朋友___________________ 个,苹果_____________ 个.13. 一次函数丁二「亠1的图象如图所示，当-3v y v 3时，x的取值范围是\1 V 11 1 1 1 \ I Ji* -3• W.■ cK K. Hi 亠14. 如图，把正△ ABC沿AB边平移到△ ABC的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分) ，若AB=©，则此三角形移动的距离 A A是__________________15. 如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90 ° AC=1 , BC=二，点 0为 Rt △ ABC 内一点，连接 A0、 BO 、CO ,且/ AOC= / COB=BOA=120 °按下列要求画图(保留画图痕迹) ：以点B 为旋转中心，将△ AOB 绕点B 顺时针方向旋转60°得到△ A'O'B (得到A 、O 的对应点分别为点 A'、O ),则/ ABC=, OA+OB+OC=.二、计算题:(1 )求a 的取值范围. (2)化简 |4a+5|- |a -4|. 18.如图1,等边△ ABC (1) 求证：AE // BC ； (2)如图2,若点D 在AB 的延长线上，其余条件均不变，(1)中结论是否成立？请说明19•某工厂用如图所示的长方形和正方形纸板做横式、竖式两种长方体形状的无盖包装纸盒.若有长方形纸板 171张，正方形纸板82张，要做横式、竖式纸盒共 (1) 若按纸盒的生产个数来分，有哪些生产方案？(2) 已知横式纸盒的利润为每个 8元，竖式纸盒的利润为每个 10元，若仅从销售的利润考虑，以上哪种方案的利润最大？最大利润是多少元？16. (1 )解不等式 /--+3^i+l (2)解不等式组。