2014—2015高二上学期理科数学期末试题

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贵州省贵阳市高二数学上学期期末试卷理(含解析)

贵州省贵阳市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样2．（4分）“xy=0”是“x2+y2=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（4分）把二进制1011（2）化为十进制数，则此数为（）A．8 B．10 C．11 D．164．（4分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题5．（4分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1 D．6．（4分）如图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg）数据的茎叶图，设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为s1和s2，那么（）（注：标准差s=，其中为x1，x2，…，x n的平均数）A．＞，s1＞s2B．＞，s1＜s2C．＜，s1＞s2D．＜，s1＜s27．（4分）已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．8．（4分）已知回归直线通过样本点的中心，若x与y之间的一组数据：x 0 1 2 3y 1.1 3.1 4.9 6.9则y与x的线性回归方程=x+所表示的直线必过点（）A．（，4）B．（1，2）C．（2，2）D．（，0）9．（4分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．162 B．200 C．242 D．28810．（4分）已知曲线C的方程是（x﹣）2+（y﹣）2=8，若点P，Q在曲线C上，则|PQ|的最大值是（）A．6B．8C．8 D．6二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）双曲线的离心率为．12．（4分）已知抛物线y2=ax过点，那么点A到此抛物线的焦点的距离为．13．（4分）下列四个结论，其中正确的有．①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等；②如果一组数据中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变；③一个样本的方差是s2=[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x20﹣3）2]，则这组样本数据的总和等于60；④数据a1，a2，a3，…，a n的方差为δ2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2a n的方差为4δ2．14．（4分）已知椭圆的焦点为F1、F2，P为椭圆上一点∠F1PF2=90°，则△PF1F2的面积是．15．（4分）地面上有两个同心圆（如图），其半径分别为3、2，1若向图中最大内投点且点投到图中阴影区域内的概率为，则两直线所夹锐角的弧度数为．三、解答题（本题共5小题，共40分）16．（8分）某校在自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，被抽取学生的成绩均不低于160分，且低于185分，如图是按成绩分组得到的频率分布图的一部分（每一组均包括左端点数据），且第三组、第四组、第五组的频数之比一次为3：2：1．（1）请完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩较高的第三组、第四组、第五组中用分层抽样方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．17．（8分）甲袋中有1只白球，2只红球，3只黑球；乙袋中有2只白球，3只红球，1只黑球．现从两袋中各取一个球．（1）求取得一个白球一个红球的概率；（2）求取得两球颜色相同的概率．18．（8分）如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且AC⊥AB，BD⊥AB，已知AB=4，AC=6，BD=8．（1）用向量、、表示；（2）求||的值．19．（8分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值．20．（8分）椭圆+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，3），离心率e=．（1）求椭圆方程；（2）若直线l：y=kx﹣3与椭圆交于不同的两点M，N．若满足|AM|=|AN|，求直线l的方程．贵州省贵阳市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样考点：分层抽样方法．专题：阅读型．分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．解答：解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．点评：本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．2．（4分）“xy=0”是“x2+y2=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：因为x2+y2=0，可得x，y=0，再根据充要条件的定义进行判断；解答：解：∵xy=0，或者x=0，或y=0或x=y=0；∵x2+y2=0，可得x=y=0，∵“x2+y2=0”⇒“xy=0”；∴“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件，故选B；点评：此题主要考查充分条件和必要条件的定义，是一道基础题，考查的知识点比较单一．3．（4分）把二进制1011（2）化为十进制数，则此数为（）A．8 B．10 C．11 D．16考点：循环结构．专题：计算题．分析：将二进制数转化为十进制数，可以用每个数位上的数字乘以对应的权重，累加后，即可得到答案．解答：解：将二进制数1100化为十进制数为：1100（2）=1×23+1×2+1=11．故选C．点评：本题考查的知识点是不同进制之间的转换，其中其它进制转为十进制方法均为累加数字×权重，十进制转换为其它进制均采用除K求余法．4．（4分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：由题设条件，先判断出命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx是真命题，命题q：∀x∈R，x2＞0是假命题，再判断复合命题的真假．解答：解：当x=10时，10﹣2=8＞lg10=1，故命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx是真命题；当x=0时，x2=0，故命题q：∀x∈R，x2＞0是假命题，∴题pVq是真命题，命题p∧q是假命题，命题pV（￢q）是真命题，命题p∧（￢q）是真命题，故选D．点评：本题考查复合命题真假的判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．（4分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1 D．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±x，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．解答：解：∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，化成一般式得：．因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==故选：B点评：本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．6．（4分）如图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg）数据的茎叶图，设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为s1和s2，那么（）（注：标准差s=，其中为x1，x2，…，x n的平均数）A．＞，s1＞s2B．＞，s1＜s2C．＜，s1＞s2D．＜，s1＜s2考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，求出两组的平均数与标准差即可．解答：解：根据茎叶图中的数据，得；1组的平均数是=（53+56+57+58+61+70+72）=61，方差是=[（53﹣61）2+（56﹣61）2+（57﹣61）2+（58﹣61）2+（61﹣61）2+（70﹣61）2+（72﹣61）2]=，标准差是s1=；2组的平均数是=（54+56+58+60+61+72+73）=62，方差是=[（54﹣62）2+（56﹣62）2+（58﹣62）2+（60﹣62）2+（61﹣62）2+（72﹣62）2+（73﹣62）2]=，标准差是s2=；∴＜，s1＜s2．故选：D．点评：本题考查了利用茎叶图中的数据，求平均数与方差、标准差的应用问题，是基础题目．7．（4分）已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．考点：椭圆的定义．专题：计算题．分析：根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，得到2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，得到点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，已知a，c的值，做出b的值，写出椭圆的方程．解答：解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴|F1F2|=2，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a=4，a=2c=1∴b2=3，∴椭圆的方程是故选C．点评：本题考查椭圆的方程，解题的关键是看清点所满足的条件，本题是用定义法来求得轨迹，还有直接法和相关点法可以应用．8．（4分）已知回归直线通过样本点的中心，若x与y之间的一组数据：x 0 1 2 3y 1.1 3.1 4.9 6.9则y与x的线性回归方程=x+所表示的直线必过点（）A．（，4）B．（1，2）C．（2，2）D．（，0）考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：求出x、y的平均值，回归直线方程一定过样本的中心点（，），代入可得答案．解答：解：回归直线方程一定过样本的中心点（，），==，==4，∴样本中心点是（，4），则y与x的线性回归方程y=bx+a必过点（，4），故选：A．点评：本题考查平均值的计算方法，回归直线的性质：回归直线方程一定过样本的中心点（，）．9．（4分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．162 B．200 C．242 D．288考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦满足条件就退出循环，输出结果．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0S=2，k=3不满足条件k≥20，S=8，k=5不满足条件k≥20，S=18，k=7不满足条件k≥20，S=32，k=9不满足条件k≥20，S=50，k=11不满足条件k≥20，S=72，k=13不满足条件k≥20，S=98，k=15不满足条件k≥20，S=128，k=17不满足条件k≥20，S=162，k=19不满足条件k≥20，S=200，k=21满足条件k≥20，退出循环，输出S的值为200．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构，是直到型循环，先执行循环，直到满足条件退出循环，属于基础题．10．（4分）已知曲线C的方程是（x﹣）2+（y﹣）2=8，若点P，Q在曲线C上，则|PQ|的最大值是（）A．6B．8C．8 D．6考点：曲线与方程；两点间距离公式的应用．专题：计算题；直线与圆．分析：先分类讨论化简方程，再根据方程对应的曲线，即可得到结论．解答：解：当x＞0，y＞0时，方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=8；当 x＞0，y＜0 时，方程是（x﹣1）2+（y+1）2=8；当 x＜0，y＞0 时，方程是（x+1）2+（y﹣1）2=8；当 x＜0，y＜0 时，方程是（x+1）2+（y+1）2=8曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称中心为（0，0），对称轴为x，y轴，点P，Q在曲线C上，当且仅当P，Q与圆弧所在圆心共线时取得最大值，|PQ|的最大值是圆心距加两个半径，即6，故选：A．点评：本题考查曲线与方程的概念，体现分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据事务性的方程可得a，b，c的数值，进而求出双曲线的离心率．解答：解：因为双曲线的方程为，所以a2=4，a=2，b2=5，所以c2=9，c=3，所以离心率e=．故答案为．点评：本题主要考查双曲线的有关数值之间的关系，以及离心率的公式．12．（4分）已知抛物线y2=ax过点，那么点A到此抛物线的焦点的距离为．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先确定抛物线的标准方程，求出抛物线的焦点坐标，利用两点间的距离公式，即可得到结论．解答：解：∵抛物线y2=ax过点，∴1=∴a=4∴抛物线方程为y2=4x，焦点为（1，0）∴点A到此抛物线的焦点的距离为=故答案为：点评：本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的性质，考查距离公式的运用，属于中档题．13．（4分）下列四个结论，其中正确的有①②③④．①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等；②如果一组数据中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变；③一个样本的方差是s2=[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x20﹣3）2]，则这组样本数据的总和等于60；④数据a1，a2，a3，…，a n的方差为δ2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2a n的方差为4δ2．考点：极差、方差与标准差；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图中平均数、中位数以及样本的平均数与方差的关系，对每一个命题进行分析判断即可．解答：解：对于①，频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，都等于，∴①正确；对于②，一组数据中每个数减去同一个非零常数a，这一组数的平均数变为﹣a，方差s2不改变，∴②正确；对于③，一个样本的方差是s2=[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x20﹣3）2]，∴这组样本数据的平均数是3，数据总和为3×20=60，∴③正确；对于④，数据a1，a2，a3，…，a n的方差为δ2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2a n的方差为（2δ）2=4δ2，∴④正确；综上，正确的命题序号是①②③④．故答案为：①②③④．（填对一个给一分）．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了中位数、平均数与方差的应用问题，是基础题目．14．（4分）已知椭圆的焦点为F1、F2，P为椭圆上一点∠F1PF2=90°，则△PF1F2的面积是9．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：根据椭圆的方程求得c，得到|F1F2|，设出|PF1|=t1，|PF2|=t2，利用勾股定理以及椭圆的定义，可求得t1t2的值，即可求出三角形面积．解答：解：∵椭圆的a=5，b=3；∴c=4，设|PF1|=t1，|PF2|=t2，则根据椭圆的定义得t1+t2=10，∵∠F1PF2=90°，根据勾股定理得①t12+t22=82②，由①2﹣②得t1t2=18，∴．故答案为：9．点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质．解答的关键是通过勾股定理解三角形，考查计算能力、数形结合思想．15．（4分）地面上有两个同心圆（如图），其半径分别为3、2，1若向图中最大内投点且点投到图中阴影区域内的概率为，则两直线所夹锐角的弧度数为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出：“两直线所夹锐角”对应图形的面积，及整个图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．解答：解：设两直线所夹锐角弧度为α，则有：，解得：α=．故答案为：．点评：本题考查的知识点是几何概型的意义，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．三、解答题（本题共5小题，共40分）16．（8分）某校在自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，被抽取学生的成绩均不低于160分，且低于185分，如图是按成绩分组得到的频率分布图的一部分（每一组均包括左端点数据），且第三组、第四组、第五组的频数之比一次为3：2：1．（1）请完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩较高的第三组、第四组、第五组中用分层抽样方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．考点：分层抽样方法；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）求出对应的频数和频率，即可请完成频率分布直方图；（2）根据分层抽样的定义建立比例关系即可．解答：解：（1）由题意值第1，2组的频数分别为100×0.01×5=5，100×0.07×5=35，故第3，4，5组的频数之和为100﹣5﹣35=60，从而可得其频数分别为30，20，10，其频率依次是0.3，0.2，0.1，其频率分布直方图如图：；（2）由第3，4，5组共60人，用分层抽样抽取6人，故第3，4，5组中抽取的学生人数依次是第3组：，第4组：，第5组：．点评：本题主要考查抽样和统计的知识，比较基础．17．（8分）甲袋中有1只白球，2只红球，3只黑球；乙袋中有2只白球，3只红球，1只黑球．现从两袋中各取一个球．（1）求取得一个白球一个红球的概率；（2）求取得两球颜色相同的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）先求出取出两球的种数，再根据分类和分步计数原理求出一个白球一个红球的种数，根据概率公式计算即可．（2）分为同是红色，白色，黑色，根据分类和分步计数原理即可求出取得两球颜色相同的种数，根据概率公式计算即可．解答：解：（1）两袋中各取一个球，共有6×6=36种取法，其中一个白球一个红球，分为甲袋区取的为白球乙袋红球，甲袋红球乙袋白球，故有1×3+2×2=7种，故取得一个白球一个红球的概率P=；（2）取得两球颜色相同有1×2+2×3+3×1=11种，故取得两球颜色相同的概率P=．点评：本题考查了类和分步计数原理及其概率的求法，关键是求出满足条件的种数，是基础题．18．（8分）如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且AC⊥AB，BD⊥AB，已知AB=4，AC=6，BD=8．（1）用向量、、表示；（2）求||的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用向量的多边形法则即可得出；（2）由AC⊥AB，BD⊥A B，可得==0，利用数量积的运算性质展开可得==++代入即可得出．解答：解：（1）=++；（2）∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴==0，∴==++=62+42+82+2×6×8×cos（180°﹣60°）=36+16+64﹣48=68．∴=．点评：本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系、二面角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（8分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）四棱锥S﹣ABCD的体积=；（2）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面SCD的法向量，利用向量的夹角公式求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值．解答：解：（1）∵底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=，∴四棱锥S﹣ABCD的体积==；（2）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（0.5，0，0，），S（0，0，1），则=（1，1，﹣1），=（0.5，0，﹣1）．设平面SCD的法向量是=（x，y，z），则令z=1，则x=2，y=﹣1．于是=（2，﹣1，1）．设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，∵=（0.5，0，0），∴|cosα|==∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为．点评：本题考查四棱锥S﹣ABCD的体积、平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值，考查学生的计算能力，正确求平面SCD的法向量是关键．20．（8分）椭圆+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，3），离心率e=．（1）求椭圆方程；（2）若直线l：y=kx﹣3与椭圆交于不同的两点M，N．若满足|AM|=|AN|，求直线l的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a=5，b=3，即可得到椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，求得线段MN的中点P的坐标，再由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，运用直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得到k，进而得到直线方程．解答：解：（1）由一个顶点为A（0，3），离心率e=，可得b=3，=，a2﹣b2=c2，解得a=5，c=4，即有椭圆方程为+=1；（2）由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，由，消去y得（9+25k2）x2﹣150kx=0，由k≠0，得方程的△=（﹣150k）2＞0，即方程有两个不相等的实数根．设M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0），则x1+x2=，∴x0==，∴y0=kx0﹣3=﹣，即P（，﹣），∵k≠0，∴直线AP的斜率为k1=﹣=﹣，由AP⊥MN，得﹣=﹣，∴25k2=7，解得：k=±，即有直线l的方程为y=±x﹣3．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的运用和方程的运用．联立直线方程，运用韦达定理，同时考查直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于中档题．。

2014-2015年河北省邯郸市高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2014-2015学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．（3分）在等比数列{a n}中，a2=2，a4=8，则a6=（）A．64B．32C．28D．142．（3分）已知命题p：当0＜x＜2时x2＜4，命题q：当b＜a＜0时b2＜a2，则（）A．p∧（￢q）为真B．p∧q为真C．（￢p）∨q为真D．（￢p）∧q为真3．（3分）下列双曲线中，渐近线方程是y=±x的是（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=14．（3分）已知命题p：2＜x＜3，q：x2﹣5x+4＜0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）已知△ABC的三条边长分别为8，10，15，则该三角形为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定6．（3分）已知曲线y=﹣3lnx的一条切线的斜率为﹣2，则该切线的方程为（）A．y=﹣2x﹣﹣3ln3B．y=﹣2x+C．y=﹣2x+﹣3ln3D．y=﹣2x+7．（3分）已知变量x，y，满足约束条件，则z=3x+y的取值范围为（）A．[﹣12，3]B．[3，12]C．[﹣12，]D．[﹣，3] 8．（3分）已知正数a，b满足a+2b=1，则+的最小值为（）A．8B．8+4C．8+2D．209．（3分）已知抛物线y=x2的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合，则m=（）A．B．C．D．10．（3分）若非零实数a，b，c成等差数列，则函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交点的个数为（）A．0B．1C．2D．1或2 11．（3分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），F 1，F2分别为其左右焦点，A1，A2分别为其左右顶点，若在该双曲线的右支上存在一点P，使得PF1与以线段A1A2为直径的圆相切于点M，且点M为线段PF1的中点，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．12．（3分）已知函数f（x）=2x3﹣3ax2+8，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪[2，+∞）C．[0，2]D．（﹣∞，2）二、填空题13．（3分）命题“∃x0∈R，使sinx0=lgx0”的否定是．14．（3分）过抛物线y2=4x的焦点且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB|=．15．（3分）如图是函数y=f（x）的导函数图象，给出下面四个判断：①f（x）在区间[﹣2，1]上是增函数；②x=﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在区间[﹣1，2]上是增函数，在区间[2，4]上是减函数；④x=1是f（x）的极大值点．其中，判断正确的是．（写出所有正确的编号）16．（3分）已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣2=0垂直，若数列{}的前n项和为S n，则S9=．三、解答题17．已知数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1=2，S3=12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n+4n，求数列{b n}的前n项和T n．18．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角B；=，求b的值．（2）若a+c=3，S△ABC19．某商厦欲在春节期间对某新上市商品开展促销活动，经测算该商品的销售量s万件与促销费用x万元满足s=4﹣．已知s万件该商品的进价成本为20+3s 万元，商品的销售价格定为5+元/件．（1）将该商品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？20．如图所示，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，CE=2AF=2．（1）求证：AE⊥平面BDF；（2）求二面角D﹣EF﹣B的余弦值．21．已知函数f（x）=12lnx+3x2﹣18x+8a．（1）若a=2，求f（x）的极大值和极小值；（2）若对任意的x∈（0，4]，f（x）＜4a恒成立，求a的取值范围．22．已知点A，B的坐标分别为（0，﹣3），（0，3）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣3．（1）求点M的轨迹方程；（2）斜率为k的直线l过点E（0，1），且与点M的轨迹交于C，D两点，k AC，k AD分别为直线AC，AD的斜率，探索对任意的实数k，k AC•k AD是否为定值，若是，则求出该值，若不是，请说明理由．2014-2015学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）在等比数列{a n}中，a2=2，a4=8，则a6=（）A．64B．32C．28D．14【解答】解：由等比数列的性质可得a2a6=a42，∴2a6=a42=64，解得a6=32故选：B．2．（3分）已知命题p：当0＜x＜2时x2＜4，命题q：当b＜a＜0时b2＜a2，则（）A．p∧（￢q）为真B．p∧q为真C．（￢p）∨q为真D．（￢p）∧q为真【解答】解：命题p：当0＜x＜2时，x2＜4，是真命题；命题q：当b＜a＜0时，b2＜a2，是假命题，∴￢q是真命题．∴p∧（￢q）是真命题．故选：A．3．（3分）下列双曲线中，渐近线方程是y=±x的是（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【解答】解：对于A.﹣=1的渐近线方程为y=x；对于B.﹣=1的渐近线方程为y=x；对于C.=1的渐近线方程为y=x；对于D.=1的渐近线方程为y=x．故选：B．4．（3分）已知命题p：2＜x＜3，q：x2﹣5x+4＜0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2﹣5x+4＜0得1＜x＜4，则p是q的充分不必要条件，故选：A．5．（3分）已知△ABC的三条边长分别为8，10，15，则该三角形为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【解答】解：设边15所对的角为θ，则cosθ=＜0，因此角θ为钝角，∴该三角形为钝角三角形．故选：A．6．（3分）已知曲线y=﹣3lnx的一条切线的斜率为﹣2，则该切线的方程为（）A．y=﹣2x﹣﹣3ln3B．y=﹣2x+C．y=﹣2x+﹣3ln3D．y=﹣2x+【解答】解：由y=﹣3lnx，得，再由，得x0=﹣3（舍）或x0=1，∴，则切线方程为y﹣（x﹣1），即．故选：D．7．（3分）已知变量x，y，满足约束条件，则z=3x+y的取值范围为（）A．[﹣12，3]B．[3，12]C．[﹣12，]D．[﹣，3]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（，3），此时z max=3×+3=，当直线y=﹣3x+z，经过点B时，直线的截距最小，此时z最小．由，解得，即B（﹣5，3），此时z min=3×（﹣5）+3=﹣12，故﹣12≤z≤，故选：C．8．（3分）已知正数a，b满足a+2b=1，则+的最小值为（）A．8B．8+4C．8+2D．20【解答】解：∵正数a，b满足a+2b=1，∴+=（+）（a+2b）=8++≥8+2=8+4当且仅当=时取等号，故选：B．9．（3分）已知抛物线y=x2的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合，则m=（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线y=x2的焦点为（0，），∴m﹣2=，∴m=+2=，故选：C．10．（3分）若非零实数a，b，c成等差数列，则函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交点的个数为（）A．0B．1C．2D．1或2【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∴4△=4b2﹣4ac=（a+c）2﹣4ac=（a﹣c）2≥0，∴二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴的交点的个数为1或2个，故选：D．11．（3分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为其左右焦点，A1，A2分别为其左右顶点，若在该双曲线的右支上存在一点P，使得PF1与以线段A1A2为直径的圆相切于点M，且点M为线段PF1的中点，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：由于O为F1F2的中点，M为线段PF1的中点，则由中位线定理可得OM∥PF2，|OM|=|PF2|，由PF1与以线段A1A2为直径的圆相切于点M，则|OM|=a，|PF2|=2a，由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，即有|PF1|=4a，由OM⊥PF1，由勾股定理可得a2+（2a）2=c2，即c2=5a2，e==．故选：A．12．（3分）已知函数f（x）=2x3﹣3ax2+8，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪[2，+∞）C．[0，2]D．（﹣∞，2）【解答】解：∵f（x）=2x3﹣3ax2+8，∴f′（x）=6x2﹣6ax=6x（x﹣a），当a=0时，f（x）存在唯一的零点x0=﹣；故排除A、B；当a＜0时，f′（x）=6x（x﹣a），故当x＜a或x＞0时，f′（x）＞0；当a＜x＜0时，f′（x）＜0；故f（x）在（﹣∞，a）上是增函数，在（a，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；又∵f（0）=8＞0；故f（x）存在唯一的零点x0，故排除C；故选：D．二、填空题13．（3分）命题“∃x0∈R，使sinx0=lgx0”的否定是∀x∈R，使sinx≠lgx．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，使sinx0=lgx0”的否定是∀x∈R，使sinx≠lgx．故答案为：∀x∈R，使sinx≠lgx．14．（3分）过抛物线y2=4x的焦点且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB|=8．【解答】解：抛物线焦点为（1，0），且斜率为1，则直线方程为y=x﹣1，代入抛物线方程y2=4x得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2=6根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+=x1+x2+p=6+2=8，故答案为：8．15．（3分）如图是函数y=f（x）的导函数图象，给出下面四个判断：①f（x）在区间[﹣2，1]上是增函数；②x=﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在区间[﹣1，2]上是增函数，在区间[2，4]上是减函数；④x=1是f（x）的极大值点．其中，判断正确的是②③．（写出所有正确的编号）【解答】解：①x∈[﹣2，﹣1）时，f′（x）＜0；∴f（x）在[﹣2，﹣1）上是减函数；∴该判断错误；②x∈[﹣2，﹣1）时，f′（x）＜0；x∈（﹣1，1]时，f′（x）＞0；∴x=﹣1是f（x）的极小值点；∴该判断正确；③x∈[﹣1，2]时，f′（x）≥0；x∈[2，4]时，f′（x）≤0；∴f（x）在区间[﹣1，2]上是增函数，在区间[2，4]上是减函数；∴该判断正确；④f′（1）＞0，所以x=1不是f（x）的极大值点；∴该判断错误；∴判断正确的是：②③．故答案为：②③．16．（3分）已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣2=0垂直，若数列{}的前n项和为S n，则S9=．【解答】解：函数的导数f′（x）=2x+b，则f′（1）=2+b，∵切线l与直线x+3y﹣2=0垂直，∴切线斜率k=f′（1）=2+b=3，解得b=1，即f（x）=x2+x，则==﹣，则S9==1﹣=，故答案为：三、解答题17．已知数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1=2，S3=12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n+4n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1=2，S3=12，∴，解得d=2，∴a n=2+（n﹣1）×2=2n．（2）∵b n=a n+4n=2n+4n，∴T n=2（1+2+3+…+n）+（4+42+43+…+4n）=2×+=．18．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角B；=，求b的值．（2）若a+c=3，S△ABC【解答】解：（1）∵，由正弦定理可得，化为sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosB，∴sin（A+B）=sinC=2sinCcosB，∵sinC≠0，∴cosB=，∵B∈（0，π），∴B=．===，∴ac=6，（2）∵S△ABC又a+c=3，∴b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2ac=﹣3×6=9，解得b=3．19．某商厦欲在春节期间对某新上市商品开展促销活动，经测算该商品的销售量s万件与促销费用x万元满足s=4﹣．已知s万件该商品的进价成本为20+3s 万元，商品的销售价格定为5+元/件．（1）将该商品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？【解答】解：（1）由题意知，y=（5+）s﹣x﹣（20+3s）=2s+10﹣x将s=4﹣代入化简得：y=18﹣﹣x；（2）y=18﹣﹣x=20﹣[+（x+2]∵+（x+2）≥2，当且仅当=x+2，即x=﹣2时，取等号，∴x=﹣2时，商家的利润最大，最大利润为20﹣2．20．如图所示，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，CE=2AF=2．（1）求证：AE⊥平面BDF；（2）求二面角D﹣EF﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）∵正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，∴CE⊥平面ABCD，以C为坐标原点，以CD，CB，CE分别为x，y，z轴建立坐标系如图：∵AB=，CE=2AF=2．∴C（0，0，0），D（，0，0），B（0，，0），A（，，0），F（，，1），E（0，0，2），则=（﹣，﹣，2），=（，﹣，0），=（，0，﹣1），则•=（﹣，﹣，2）•（，﹣，0）=﹣2+2+0=0，•=（，﹣，2）•（，0，﹣1）=2﹣0﹣2=0，即AE⊥BD，AE⊥BF，∵BD∩BF=B，∴AE⊥平面BDF；（2）设平面DEF的法向量为=（x，y，z）=（﹣，0，2），=（0，，1），则，得，令z=，则y=﹣1，x=2，即=（2，﹣1，），设平面EFB的法向量=（x，y，z），=（，，﹣1），），=（，0，﹣1），则，即，令z=，则x=1，y=0，即=（1，0，），则cos＜，＞====，即二面角D﹣EF﹣B的余弦值为=．21．已知函数f（x）=12lnx+3x2﹣18x+8a．（1）若a=2，求f（x）的极大值和极小值；（2）若对任意的x∈（0，4]，f（x）＜4a恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=12lnx+3x2﹣18x+8a的导数为f′（x）=+6x﹣18=，当x＞2或0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1），（2，+∞）递增；当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）在（1，2）递减．即有f（x）在x=1处取得极大值，且为1，在x=2处取得极小值，且为12ln2﹣8；（2）对任意的x∈（0，4]，f（x）＜4a恒成立，即为对任意的x∈（0，4]，f（x）max＜4a．由f（x）在（0，1），（2，4）递增，在（1，2）递减，又f（1）=8a﹣15，f（2）=12ln2﹣24+8a，f（4）=12ln4﹣24+8a，即有f（4）为最大值，则4a＞12ln4﹣24+8a，解得a＜6﹣3ln4．则a的取值范围是（﹣∞，6﹣3ln4）．22．已知点A，B的坐标分别为（0，﹣3），（0，3）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣3．（1）求点M的轨迹方程；（2）斜率为k的直线l过点E（0，1），且与点M的轨迹交于C，D两点，k AC，k AD分别为直线AC，AD的斜率，探索对任意的实数k，k AC•k AD是否为定值，若是，则求出该值，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）设M（x，y），∵k AM•k BM=﹣3，∴=﹣3，（x≠0）．化为=1，∴点M的轨迹方程为=1，（x≠0）．（2）k AC•k AD为定值﹣6．设C（x1，y1），D（x2，y2）．直线l的方程为：y=kx+1．联立，化为（3+k2）x2+2kx﹣8=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．∴（y1+3）（y2+3）=y1y2+3（y1+y2）+9=（kx 1+1）（kx 2+1）+3（kx 1+kx 2+2）+9 =k 2x 1x 2+4k （x 1+x 2）+16=﹣+16=．∴k AC •k AD =•==﹣6为定值．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为yxo减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2014-2015年河北省石家庄市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案答案

2014-2015学年河北省石家庄市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2＜0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2≤0B．不存在x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜02．（5分）为了了解某年级500名学生某次测试的体育成绩，从中抽取了30名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中“30”是指（）A．总体的个数B．个体C．样本容量D．从总体中抽取的一个样本3．（5分）设a，b∈R，则“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）与双曲线x2﹣2y2=2有相同渐近线，且过点M（2，﹣2）的双曲线的标准方程（）A．﹣=1B．﹣=1或﹣=1C．﹣=1D．﹣=15．（5分）为了预测某射手的射击水平，设计了如下的模拟实验，通过实验产生了20组随机数：6830 3018 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754如果一组随机数中恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示四次射击中恰有三次击中目标的概率约为（）A．25%B．20%C．30%D．50%6．（5分）在区间（0，2]里任取两个数x、y，分别作为点P的横、纵坐标，则点P到点A（﹣1，1）的距离小于的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）下列命题中正确的是（）①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m＞0，则x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题；④在实数范围内，“若x﹣是有理数，则x是无理数”的否命题．A．①②③④B．①③C．②③D．①④8．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x为9．（5分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）过直线x+y+2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，∠APB=60°，则点P的坐标是（）A．（0，﹣2）或（﹣2，0）B．（0，2）或（﹣2，0）C．（﹣2，0）D．（0，﹣2）11．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，A1A=2，则直线BC1到平面D1AC的距离为（）A．B．1C．D．12．（5分）双曲线C：﹣=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是（，1），那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为．14．（5分）已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），若向量与+k垂直，则实数k的值为．15．（5分）已知定点M（0，4），动点P在圆x2+y2=4上，则•的取值范围是．16．（5分）已知直线y=a交抛物线x2=4y于A，B两点，若该抛物线上存在点C 使得∠ACB为直角，则a的取值范围为．三、解答题（本题共7小题，共70分）17．（10分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示．（1）求图中x的值；（2）试估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）18．（12分）某娱乐栏目有两名选手进行最后决赛，在赛前为调查甲、乙两位选手的受欢迎程度，随机地从现场选择了15位观众对两位选手进行评分，根据评分（评分越高表明越受观众欢迎），绘制茎叶图如下：（1）求观众对甲、乙两选手评分的中位数；（2）试根据茎叶图分析甲、乙两选手的受欢迎程度．19．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）（1）若m=0，求直线被圆C截得的弦长；（2）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点．20．（12分）某地近几年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程=x+；（2）利用（1）中所求出的直线方程预测该地2015年的粮食需求量．21．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若点M在线段AP的延长线上且P为MA的中点，PA=1，AD=2，求二面角B﹣ED﹣M的余弦值．22．（12分）椭圆M：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8，圆N：x2+（y﹣1）2=1在椭圆M内部，且与其相切．（1）求椭圆M的方程；（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求•的取值范围．23．已知函数f（x）=x3+ax2+bx图象与直线x﹣y﹣4=0相切于（1，f（1））（1）求实数a，b的值；（2）若方程f（x）=m﹣7x有三个解，求实数m的取值范围．2014-2015学年河北省石家庄市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2＜0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2≤0B．不存在x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意x∈R，都有x2＜0”的否定为：存在x0∈R，使得x02≥0．故选：C．2．（5分）为了了解某年级500名学生某次测试的体育成绩，从中抽取了30名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中“30”是指（）A．总体的个数B．个体C．样本容量D．从总体中抽取的一个样本【解答】解：根据题意可得，在这个问题中，30名学生的成绩是从总体中抽取的一个样本容量．故选：C．3．（5分）设a，b∈R，则“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a=0，b=1，满足a＜b，但（a﹣b）a2＜0不成立，若“（a﹣b）a2＜0，则a＜b且a≠0，则a＜b成立，故“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）与双曲线x2﹣2y2=2有相同渐近线，且过点M（2，﹣2）的双曲线的标准方程（）A．﹣=1B．﹣=1或﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【解答】解：双曲线x2﹣2y2=2，即﹣y2=1，它的渐近线方程为y=±x．由于所求双曲线与双曲线x2﹣2y2=2有相同渐近线，故可设要求的双曲线方程为﹣y2=k．再根据要求的双曲线经过点M（2，﹣2），可得2﹣4=k，求得k=﹣2，故要求的双曲线方程为﹣y2=﹣2，即﹣=1，故选：D．5．（5分）为了预测某射手的射击水平，设计了如下的模拟实验，通过实验产生了20组随机数：6830 3018 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754如果一组随机数中恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示四次射击中恰有三次击中目标的概率约为（）A．25%B．20%C．30%D．50%【解答】解：四次射击中恰有三次击中目标的随机数有2604，5725，6576，6754，所以四次射击中恰有三次击中目标的概率约为=20%．故选：B．6．（5分）在区间（0，2]里任取两个数x、y，分别作为点P的横、纵坐标，则点P到点A（﹣1，1）的距离小于的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设P（x，y），由|PA|得，即（x+1）2+（y﹣1）2＜2，对应的区域为以A为圆心半径为的圆及其内部，作出对应的图象如图：则弓形区域的面积S==，则对应的概率P==，故选：D．7．（5分）下列命题中正确的是（）①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m＞0，则x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题；④在实数范围内，“若x﹣是有理数，则x是无理数”的否命题．A．①②③④B．①③C．②③D．①④【解答】解：对于①，“若x2+y2≠0，则x，y不全为零，故①是真命题；对于②，“正三角形都相似”的逆命题为“相似的三角形都是正三角形”为假命题；对于③，若m＞0，则x2+x﹣m=0的△=1+4m＞0，此时方程有实根，故原命题为真命题，故它的逆否命题也为真命题；对于④，“若x﹣是有理数，则x是无理数”的否命题为“若x﹣不是有理数，则x不是无理数”为假命题．故命题中正确的是①③．故选：B．8．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x为12【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=1满足条件x是奇数，x=2不满足条件x是奇数，x=4，不满足条件x＞8，x=5满足条件x是奇数，x=6，不满足条件x＞8，x=7满足条件x是奇数，x=8，不满足条件x＞8，x=9满足条件x是奇数，x=10，不满足条件x是奇数，x=12，满足条件x＞8，退出循环，输出x的值为12．9．（5分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故选：B．10．（5分）过直线x+y+2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，∠APB=60°，则点P的坐标是（）A．（0，﹣2）或（﹣2，0）B．（0，2）或（﹣2，0）C．（﹣2，0）D．（0，﹣2）【解答】解：连接OP，则OP平分∠APB，连接OA，则OA⊥AP，在直角三角形APO中，∠APO=30°，|OA|=1，则|OP|=2，设P（m，n），则m2+n2=4，又P在直线x+y+2=0上，即有m+n+2=0，解得m=0，n=﹣2或m=﹣2，n=0．即P（﹣2，0），或（0，﹣2）．故选：A．11．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，A1A=2，则直线BC1到平面D1AC的距离为（）A．B．1C．D．【解答】解：∵几何体为长方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴AB∥C1D1，AB=C1D1，∴AD1∥BC1，∵AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1，∴直线BC1∥平面ACD1；直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为h，考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得V==，而D 1AC中，AC=D1C=，D1A=，故=．∴，∴h=，即直线BC1到平面D1AC的距离为．故选：C．12．（5分）双曲线C：﹣=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是（，1），那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为A1（﹣2，0）、A2（2，0），设点P（a，b）（a≠±2），则﹣=1…①，=，=；则=•=，由①式可得=，代入得=，∵∈（，1），∴∈（，）．故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为160．【解答】解：∵有男生560人，女生420人，∴年级共有560+420=980∵用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，∴每个个体被抽到的概率是=，∴要从男生中抽取560×=160，故答案为：16014．（5分）已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），若向量与+k垂直，则实数k的值为2．【解答】解：=（1，1，0），=（﹣1，0，2），若向量+k=（1﹣k，1，2k）．向量与+k垂直，可得1﹣k+1=0，解得k=2．故答案为：2．15．（5分）已知定点M（0，4），动点P在圆x2+y2=4上，则•的取值范围是[﹣4，12] ．【解答】解：由题意可设P（2cosθ，2sinθ），则=（2cosθ，2sinθ﹣4），=（2cosθ，2sinθ）•=4cos2θ+4sin2θ﹣8sinθ=4﹣8sinθ∈[﹣4，12]．故答案为：[﹣4，12]．16．（5分）已知直线y=a交抛物线x2=4y于A，B两点，若该抛物线上存在点C 使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[4，+∞）．【解答】解：如图所示，可知A（﹣2，a），B（2，a），设C（2m，m2），则=（2m+2，m2﹣a），=（2m﹣2，m2﹣a）．∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，∴=0，即4m2﹣4a+（m2﹣a）2=0．∴m2=a﹣4≥0，解得a≥4．∴a的取值范围为[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．三、解答题（本题共7小题，共70分）17．（10分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示．（1）求图中x的值；（2）试估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）【解答】解：（1）由频率分布直方图可定（0.006×3+0.01+0.054+x）×10=1，解得x=0.018．（2）=45×0.06+55×0.06+65×0.1+75×0.54+85×0.18+95×0.06=74，故这50名学生的平均成绩为74．18．（12分）某娱乐栏目有两名选手进行最后决赛，在赛前为调查甲、乙两位选手的受欢迎程度，随机地从现场选择了15位观众对两位选手进行评分，根据评分（评分越高表明越受观众欢迎），绘制茎叶图如下：（1）求观众对甲、乙两选手评分的中位数；（2）试根据茎叶图分析甲、乙两选手的受欢迎程度．【解答】解：（1）由茎叶图知，15位观众对甲选手的评分由小到大排序，排在8位的是88，故样本中位数为88，故观众对甲选手评分的中位数估计值是88．15位观众对乙选手的评分由小到大排列，排在第8位的是84，故样本中位数为84，故观众对甲选手评分的中位数估计值是84．（2）由所给茎叶图知，对甲选手的评分的中位数高于对乙选手的评分的中位数，而且由茎叶图可以可以大致看出对甲选手的评分的标准差要小于对乙选手的评分的标准差，说明甲选手的受欢迎程度较高．19．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）（1）若m=0，求直线被圆C截得的弦长；（2）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点．【解答】解：（1）若m=0，则直线l：x+y﹣4=0，求得弦心距d==，而半径r=3，故弦长为2=2．（2）直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，即x+y﹣4+m（2x+y﹣7）=0，由，求得，可得直线l经过定点M（3，1）．而点M（3，1）到圆心C（1，1）的距离为2，小于半径3，故点M在圆C的内部，故直线l与圆恒交于两点．20．（12分）某地近几年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程=x+；（2）利用（1）中所求出的直线方程预测该地2015年的粮食需求量．【解答】解：由数据可得=（2006+2008+2010+2012+2014）=2010，=（257+276+286+298+318）=287，===7.2，==287﹣7.2×2010=﹣14185；故回归直线方程=x+=7.2x﹣14185．（2）∵回归直线方程=x+=7.2x﹣14185．∴当x=2015时，=7.2×2015﹣14185=323．故预测该地2015年的粮食需求量为323（万吨）．21．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若点M在线段AP的延长线上且P为MA的中点，PA=1，AD=2，求二面角B﹣ED﹣M的余弦值．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥BD，又PA∩PC=P，∴BD⊥平面PAC，（2）解：由（1）可知BD⊥平面PAC，而AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC，而ABCD为矩形，∴ABCD为正方形，∴AB=AD=2，以A点为原点，AB、AD、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A﹣BDP，如图示：则M（0，0，2）、D（0，2，0）、C（2，2，0），平面BED的一个法向量为==（2，2，﹣1），=（0，2，﹣2），设=λ，=+λ=（2﹣2λ，﹣2λ，λ），•=0，λ=，=（，﹣，），设平面MDE的一个法向量为={x，y，z}，则，∴，令z=5，∴=（2，5，5），∴cos＜，＞===，∴二面角B﹣ED﹣M的余弦值为：﹣．22．（12分）椭圆M：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8，圆N：x2+（y﹣1）2=1在椭圆M内部，且与其相切．（1）求椭圆M的方程；（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求•的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=4a=8，∴，∵圆N：x2+（y﹣1）2=1在椭圆M内部，且与其相切，∴b=2；∴椭圆M的方程为：．（2）由题意可得N（0，1）设P（x，y），则即x2=8﹣2y2，=x2+（y﹣1）2=8﹣2y2+（y﹣1）2=﹣y2﹣2y+9=﹣（y+1）2+10==，===﹣（y+1）2+9（*）∵y∈[﹣2，2]，当y=﹣1时，（*）取得最大值9，当y=2时，（*）取得最小值0，∴0≤•≤9．23．已知函数f（x）=x3+ax2+bx图象与直线x﹣y﹣4=0相切于（1，f（1））（1）求实数a，b的值；（2）若方程f（x）=m﹣7x有三个解，求实数m的取值范围．【解答】附加题：解：（1）x=1代入直线方程可得f（1）=﹣3，函数f（x）=x3+ax2+bx，求导可得f′（x）=3x2+2ax+b，…（2分）根据题意可得，…（4分）解得；…（6分）（2）由（1）可得f（x）=x3+2x2﹣6x，所以方程等价于x3+2x2﹣6x=m﹣7x，即x3+2x2+x=m，令h（x）=x3+2x2+x，∴h′（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1），…（8分）令h′（x）=0，解得x=﹣或x=﹣1．当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：…（10分）要使x3+2x2+x=m有三个解，需要，所以m的取值范围是…（12分）。

2014-2015年四川省绵阳市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

2014-2015学年四川省绵阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）刘徽是我国古代最伟大的数学家之一，他的（）是极限思想的开始，他计算体积的思想是积分学的萌芽．A．割圆术B．勾股定理C．大衍求一术D．辗转相除法2．（4分）在极坐标系中，极坐标方程ρ=4sinθ表示的曲线是（）A．圆B．直线C．椭圆D．抛物线3．（4分）直线l的方程为x+3y﹣1=0，则直线l的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．（4分）下列关于统计的说法正确的是（）A．一组数据只能有一个众数B．一组数据可以有两个中位数C．一组数据的方差一定是非负数D．一组数据中的每一个数据都加上同一非零常数后，平均数不会发生变化5．（4分）有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1件次品与至多有1件正品B．至少有1件次品与都是正品C．至少有1件次品与至少有1件正品D．恰有1件次品与恰有2件正品6．（4分）某市要对辖区内的中学教师的年龄进行调查，现从中随机抽出200名教师，已知抽到的教师年龄都在[25，50）岁之间，根据调查结果得出教师的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市辖区内中学教师的年龄的中位数大约是（）A．37.1岁B．38.1岁C．38.7岁D．43.1岁7．（4分）执行如图的程序框图，任意输入一次x（x∈Z，﹣2≤x≤2）与y（y ∈Z，﹣2≤y≤2），则能输出数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．8．（4分）已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若△POF的面积为6，则|PF|=（）A．B．C．D．9．（4分）若方程=2x+m有实数解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，0}）∪[2，+∞）B．[﹣，0）∪（0，]C．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）10．（4分）已知点P是椭圆（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是以线段PF1为直径的圆上一点，且M到∠F1PF2两边的距离相等，则的取值范围是（）A．（0，）B．（0，2）C．[，）D．（3，2）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）设A（3，2，1），B（1，0，5），则AB的中点M的坐标为．12．（4分）如图算法最后输出的结果是．13．（4分）质检部门对某超市甲、乙、丙三种商品共750件进行分层抽样检查，抽检员制作了如下的统计表格：表格中甲、丙商品的有关数据已被污染看不清楚（分别用x1，x2，x3，x4表示），若甲商品的样本容量比丙商品的样本容量多6，则根据以上信息可求得丙商品数量x2的值为．14．（4分）已知F1是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，以线段F1O为边作正三角形F1OM，若顶点M在双曲线上，则双曲线的离心率是．15．（4分）已知椭圆（a＞b＞0）及内部面积为S=πab，A1，A2是长轴的两个顶点，B1，B2是短轴的两个顶点，在椭圆上或椭圆内部随机取一点P，给出下列命题：①△PA1A2为钝角三角形的概率为1；②△PB1B2为钝角三角形的概率为；③△PA1A2为钝角三角形的概率为；④△PB1B2为锐角三角形的概率为．其中正确的命题有．（填上你认为所有正确的命题序号）三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（10分）直线l经过两直线2x﹣y+4=0与x﹣y+5=0的交点，且与直线l1：x+y ﹣6=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离与直线l1到直线l的距离相等，求实数a的值．17．（10分）甲、乙两个竞赛队都参加了10场比赛，比赛得分情况记录如下（单位：分）：甲队：57，41，51，40，49，39，52，43，45，53乙队：30，50，67，47，66，34，46，30，64，66（1）根据得分情况记录，请将茎叶图补充完整，并求乙队得分的中位数；（2）如果从甲、乙两队的10场得分中，各随机抽取一场不小于50分的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．18．（10分）已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求过点P（1，3）且与圆C相切的直线方程；（2）问是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直线的圆经过原点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由．19．（10分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），O为坐标原点，点G（1，）在椭圆上，过点F的直线l交椭圆于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程；（3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，P为x轴上一点，若PA、PB是菱形的两条邻边，求点P横坐标的取值范围．2014-2015学年四川省绵阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）刘徽是我国古代最伟大的数学家之一，他的（）是极限思想的开始，他计算体积的思想是积分学的萌芽．A．割圆术B．勾股定理C．大衍求一术D．辗转相除法【解答】解：刘徽是我国古代最伟大的数学家之一，他的“割圆术”是极限思想的开始，他计算体积的思想是积分学的萌芽．故选：A．2．（4分）在极坐标系中，极坐标方程ρ=4sinθ表示的曲线是（）A．圆B．直线C．椭圆D．抛物线【解答】解：由ρ=4sinθ，得x2+y2=4y，∴x2+（y﹣2）2=4，它表示一个以（0，2）为圆心，以2为半径的圆，故选：A．3．（4分）直线l的方程为x+3y﹣1=0，则直线l的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：由直线l的方程为x+3y﹣1=0，可得直线的斜率为k=﹣，设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=，∴α=150°．故选：D．4．（4分）下列关于统计的说法正确的是（）A．一组数据只能有一个众数B．一组数据可以有两个中位数C．一组数据的方差一定是非负数D．一组数据中的每一个数据都加上同一非零常数后，平均数不会发生变化【解答】解：一组数据可能有多个众数，A错误，一组数据只能有一个中位数，B错误，一组数据的方差一定是非负数，C正确，一组数据中的每一个数据都加上同一非零常数后，平均数发生变化，D错误，故选：C．5．（4分）有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1件次品与至多有1件正品B．至少有1件次品与都是正品C．至少有1件次品与至少有1件正品D．恰有1件次品与恰有2件正品【解答】解：A、至少有1件次品与至多有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件．B、至少有1件次品与都是正品是对立事件，故不满足条件．C、至少有1件次品与至少有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件．D、恰有1件次品与恰有2件正是互斥事件，但不是对立事件，因为除此之外还有“两件都是次品”的情况，故满足条件．故选：D．6．（4分）某市要对辖区内的中学教师的年龄进行调查，现从中随机抽出200名教师，已知抽到的教师年龄都在[25，50）岁之间，根据调查结果得出教师的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市辖区内中学教师的年龄的中位数大约是（）A．37.1岁B．38.1岁C．38.7岁D．43.1岁【解答】解：根据频率和等于1，得；年龄在[30，35）岁之间的频率为1﹣（0.01+0.08+0.05+0.02）×5=0.2∵0.01×5+0.2=0.25＜0.5，0.25+0.08×5=0.65＞0.5，∴令0.25+0.08×x=0.5，解得x=3.125；∴该市辖区内中学教师的年龄的中位数大约35+3.125≈38.1岁．故选：B．7．（4分）执行如图的程序框图，任意输入一次x（x∈Z，﹣2≤x≤2）与y（y ∈Z，﹣2≤y≤2），则能输出数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：估计题意，得；所有的基本事件Ω={（x，y）|}={（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，﹣2），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），（1，﹣2），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，0），（2，1），（2，2）}共25个；设能输出数对（x，y）为事件A，则A={（x，y）|}={（1，1），（2，1），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，2），（1，﹣2），（0，﹣1），（2，﹣1）}共9个；∴所求概率为P（A）=，故选：C．8．（4分）已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若△POF的面积为6，则|PF|=（）A．B．C．D．【解答】解：O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若△POF的面积为6，可得抛物线的焦点坐标为：（，0），∴，可得y P=6，x P=3，则|PF|==．故选：C．9．（4分）若方程=2x+m有实数解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，0}）∪[2，+∞）B．[﹣，0）∪（0，]C．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：方程=2x+m可化为m=﹣2x；作函数m=﹣2x的图象如下，结合选项可得，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）；故选：C．10．（4分）已知点P是椭圆（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是以线段PF1为直径的圆上一点，且M到∠F1PF2两边的距离相等，则的取值范围是（）A．（0，）B．（0，2）C．[，）D．（3，2）【解答】解：由题意得c===2，当P在椭圆的短轴顶点处时，M与O重合，|OM|取得最小值等于0．当P在椭圆的长轴顶点处时，M与F1重合，|OM|取得最大值等于c=2．由于xy≠0，故|OM|的取值范围是（0，2），故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）设A（3，2，1），B（1，0，5），则AB的中点M的坐标为（2，1，3）．【解答】解：∵A（3，2，1），B（1，0，5），∴设AB中点M坐标为（x，y，z），可得x=（3+1）=2，y=（2+0）=1，z=（1+5）=3，即得M坐标为（2，1，3）故答案为：（2，1，3）12．（4分）如图算法最后输出的结果是18．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=2满足条件i＜5，i=3，S=8满足条件i＜5，i=5，S=18不满足条件i＜5，退出循环，输出S的值为18．故答案为：18．13．（4分）质检部门对某超市甲、乙、丙三种商品共750件进行分层抽样检查，抽检员制作了如下的统计表格：表格中甲、丙商品的有关数据已被污染看不清楚（分别用x1，x2，x3，x4表示），若甲商品的样本容量比丙商品的样本容量多6，则根据以上信息可求得丙商品数量x2的值为180．【解答】解：根据题意，三种商品的抽样比例是相等的，为=，∴样本容量为=50；又∵x3﹣x4=6…①，x3+x4+20=50…②，∴由①、②组成方程组，解得x3=18，x4=12；∴x2=12×15=180．故答案为：180．14．（4分）已知F1是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，以线段F1O为边作正三角形F1OM，若顶点M在双曲线上，则双曲线的离心率是．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F1为（﹣c，0），以线段F1O为边作正三角形F1OM，则可设M（﹣，c），由M在双曲线上，则﹣=1，由e=，b2=c2﹣a2，则e2﹣=1，则e4﹣8e2+4=0，解得，e2=4，即有e=+1或﹣1（舍去）．故答案为：．15．（4分）已知椭圆（a＞b＞0）及内部面积为S=πab，A1，A2是长轴的两个顶点，B1，B2是短轴的两个顶点，在椭圆上或椭圆内部随机取一点P，给出下列命题：①△PA1A2为钝角三角形的概率为1；②△PB1B2为钝角三角形的概率为；③△PA1A2为钝角三角形的概率为；④△PB1B2为锐角三角形的概率为．其中正确的命题有①②④．（填上你认为所有正确的命题序号）【解答】解：如图，以短轴两个顶点为直径的两个端点作圆O，则圆O的面积为：πb2．易得当点P位于圆O内（含边界）时，△PB1B2为钝角三角形，∴△PB1B2为钝角三角形的概率为：=，当点P位于圆O外、椭圆内（含边界）时，△PB1B2为锐角三角形，∴△PB1B2为锐角三角形的概率为：1﹣=1﹣=，以长轴两个顶点为直径的两个端点作圆O′，则在椭圆上或椭圆内部随机取一点P，△PA1A2为钝角三角形，∴△PA1A2为钝角三角形的概率为1，故答案为：①②④．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（10分）直线l经过两直线2x﹣y+4=0与x﹣y+5=0的交点，且与直线l1：x+y ﹣6=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离与直线l1到直线l的距离相等，求实数a的值．【解答】解：（1）由，解得．即两直线的交点为（1，6），∵直线l1：x+y﹣6=0的斜率为﹣1，∴直线l的斜率为﹣1，∴直线l的方程为y﹣6=﹣（x﹣1），即x+y﹣7=0；（2）由题意知，，整理得：|a﹣6|=1．解得：a=7或a=5．17．（10分）甲、乙两个竞赛队都参加了10场比赛，比赛得分情况记录如下（单位：分）：甲队：57，41，51，40，49，39，52，43，45，53乙队：30，50，67，47，66，34，46，30，64，66（1）根据得分情况记录，请将茎叶图补充完整，并求乙队得分的中位数；（2）如果从甲、乙两队的10场得分中，各随机抽取一场不小于50分的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．【解答】解：（1）补全的茎叶图如图．乙队的中位数为（47+50）÷2=48．（2）甲队中得分不小于50（分）的有4场，乙队中得分不小于50（分）的有5场，∴各从中抽取一场进行比较，共有20种情况．其中，甲的得分大于乙的得分仅有取到乙的得分为50的情况，共4种情况．∴所求的概率为．18．（10分）已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求过点P（1，3）且与圆C相切的直线方程；（2）问是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直线的圆经过原点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）圆C的方程可化为（x+1）2+y2=4，即圆心为（﹣1，0），半径为r=2．若过点P的直线斜率不存在，即x=1，与圆C相切，满足条件；…（1分）若过点P的切线斜率存在，设为k，则切线的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+3=0，∴，解得k=．∴切线方程为5x﹣12y+31=0．综上，所求的切线方程为x=1或5x﹣12y+31=0．…（4分）（2）假设直线存在，设方程为y=x+b，设A（x1，y1），B（x2，y2），若以l被圆C截得的弦AB为直线的圆经过原点，则OA⊥OB，即，即x1x2+y1y2=0，联立消去y得2x2+（2b+2）x+b2﹣3=0，则判别式△=（2b+2）2﹣4×2×（b2﹣3）=﹣4b2+8b+28＞0，得1﹣2＜b＜1+2，则x1+x2=b﹣1，x1x2=，则y1y2=（x1+b）（x2+b）=x1x2+b（x1+x2）+b2=+b（﹣b﹣1）=，由+=0得b2﹣b﹣3=0，解得b=或b=，检验都满足条件，故直线方程为y=x+或y=x﹣19．（10分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），O为坐标原点，点G（1，）在椭圆上，过点F的直线l交椭圆于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程；（3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，P为x轴上一点，若PA、PB是菱形的两条邻边，求点P横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题意有a2﹣b2=1，且=1，解得a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．…（2分）（2）设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则x=，y=当x1=x2时，M点的坐标为（﹣1，0）．当x1≠x2时，∵2=1，2=1，两式相减得，∴．又AB过F点，于是AB的斜率为，∴=﹣，整理得x2+2y2+x=0．∵（﹣1，0）也满足上式，∴M的轨迹方程为x2+2y2+x=0．…（6分）（3）设P（m，0），AB的中点M（a，b），由（2）知，a2+2b2+a=0．①∵|PA|=|PB|，∴PM⊥AB．∴k AB•k MP=﹣1，即=﹣1，整理得b2=﹣a2﹣a+am+m，②将②代入①中，得a2+a﹣2am﹣2m=0，化为（a+1）（a﹣2m）=0，∵a≠﹣1，∴m=．由2b2=﹣a2﹣a＞0（当b=0时，AB与x轴垂直，不合题意，舍去），得﹣1＜a＜0，于是﹣＜m＜0，即P点的横坐标的取值范围为（﹣，0）．…（10分）。

陕西省西安市第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试理科数学试题

陕西省西安市第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试理科数学试题一．选择题 (本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α ≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π42．抛物线y=-2x 2的焦点坐标为( )A. (21-,0) B. (0, 21-) C. (81-,0) D. (0, 81-)3．下列运算正确的是( )A ．(ax 2－bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (－x )′ B. (cos x ·sin x )′＝(sin x )′·cos x ＋(cos x )′·cos x C ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2)′(x 2)′ D ．[(3＋x 2)(2－x 3)]′＝2x (2－x 3)＋3x 2(3＋x 2)4．下列说法中，正确的是（）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02≤-x x ”C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件5．若△ABC 顶点B , C 的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC , AB 边上的中线长之30则△ABC 的重心G 的轨迹方程为( )A ．221(0)10036x y y +=≠ B ． 221(0)10084x y y +=≠ C ．221(0)10036x y x +=≠ D ．221(0)10084x y x +=≠ 6 6. 直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 相切于点P (1,4)，则b 的值为( )A ．3B ．1C ．－1D ．－37．已知命题p ：对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则非p 是( )A ．存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0B ．对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0D ．对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<08.已知π04θ<<,则双曲线1C 22221sin cos x y θθ-=与2C 22221cos sin y x θθ-=的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等9．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+10.“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11.已知点P 在曲线y=41x e +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是（）A.[0,4π)B.[,)42ππC. 3(,]24ππD. 3[,)4ππ12．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|等于( ) A ．9B ．6C ．4D ．3二．填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13.已知命题:p 存在02,2≤++∈a ax x R x ．若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是．14. 过点(1,0)作曲线y ＝e x 的切线，则切线方程为________．15如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等比数列，则离心率e 为 .16.已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n +1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )， f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 014(x )＝________.17. 设F 为圆锥曲线的焦点，P 是圆锥曲线上任意一点，则定义PF 为圆锥曲线的焦半径下列几个命题①．平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆 ②．平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线.③．平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线 ④．以椭圆的焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆相切 ⑤．以抛物线的焦半径为直径的圆和y 轴相切⑥．以双曲线的焦半径为直径的圆和以实轴为直径的圆相切其中正确命题的序号是 .三．解答题(本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(10分)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．19.（10分）已知函数,ln )(,)(x a x g x x f ==R a ∈。

2014-2015年河北省唐山市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

2014-2015学年河北省唐山市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线x﹣y+3=0的斜率是（）A．B．C．﹣D．﹣2．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣3x+2≥0”的否定是（）A．∃x0∈R，x02﹣3x0+2＜0B．∃x0∈R，x02﹣3x0+2≥0C．∃x 0∉R，x02﹣3x0+2＜0D．∀x0∈R，x02﹣3x0+2＜03．（5分）已知直线l1：ax+3y+1=0和直线l2：2x+（a+5）y+1=0平行，则a=（）A．1B．﹣6C．1或﹣6D．﹣34．（5分）已知m，n是两条相交直线，m∥平面α，则n与α的位置关系为（）A．平行B．相交C．n在α内D．平行或相交5．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，=x+2y+3z，则x+y+z=（）A．B．C．D．6．（5分）若直线y=k（x+4）与曲线x=有交点，则k的取值范围是（）A．[﹣，]B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积胃（）A．1+B．3+C．D．38．（5分）圆x2+y2=4上与直线l：4x﹣3y+12=0距离最小的点的坐标是（）A．（，）B．（，﹣）C．（﹣，）D．（﹣，﹣）9．（5分）三棱锥S﹣ABC的顶点都在同一球面上，且SA=AC=SB=BC=，SC=2，则该球的体积为（）A．B．C．2πD．8π10．（5分）点P在抛物线y2=8x上，点Q在圆（x﹣6）2+y2=1上，则|PQ|的最小值为（）A．5B．6C．4D．4﹣1 11．（5分）已知点P（m，n）在椭圆+=1上，则直线mx+ny+1=0与椭圆x2+y2=的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切12．（5分）已知O是棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线的交点，平面α经过点O，正方体的8个顶点到α的距离组成集合A，则A中的元素个数最多有（）A．3B．4C．5D．6二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）抛物线y=4x2的准线方程为．14．（5分）直线x﹣+1=0被圆x2+y2﹣2x﹣3=0所截得的弦长为．15．（5分）正四面体ABCD中，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值等于．16．（5分）已知F双曲线﹣=1的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若E在以AB为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知p：∀x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）已知圆C过点O（0，0），A（﹣1，﹣7）和B（8，﹣4）（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）求与AB垂直且被圆C截得弦长等于|AB|的直线l的方程．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点，点F在棱PD上，且FD=PD．（Ⅰ）求证：PB∥平面EAC；（Ⅱ）求三棱锥F﹣ADC与四棱锥P﹣ABCD的体积比．20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C交于A、B两点，O为坐标原点，以OA，OB为边，平行四边形OAPB，求点P的轨迹方程．21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BC=，AB=BB1=2，∠BCC1=，点E在棱BB1上．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）若BE=λBB1，试确定λ的值，使得二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为．22．（12分）如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，点B在C上，△OBA为等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；（Ⅱ）若圆x2+y2=1经过C上顶点，与x2+y2=1相切的直线l与C交于不同的两点M，N，求弦|MN|的最大值．2014-2015学年河北省唐山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线x﹣y+3=0的斜率是（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：由x﹣y+3=0，得，即．∴直线x﹣y+3=0的斜率是．故选：A．2．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣3x+2≥0”的否定是（）A．∃x0∈R，x02﹣3x0+2＜0B．∃x0∈R，x02﹣3x0+2≥0C．∃x0∉R，x02﹣3x0+2＜0D．∀x0∈R，x02﹣3x0+2＜0【解答】解：提问全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2﹣3x+2≥0”的否定是：∃x0∈R，x02﹣3x0+2＜0．故选：A．3．（5分）已知直线l1：ax+3y+1=0和直线l2：2x+（a+5）y+1=0平行，则a=（）A．1B．﹣6C．1或﹣6D．﹣3【解答】解：∵直线l1：ax+3y+1=0和直线l2：2x+（a+5）y+1=0平行，∴，解得：a=1或a=﹣6．故选：C．4．（5分）已知m，n是两条相交直线，m∥平面α，则n与α的位置关系为（）A．平行B．相交C．n在α内D．平行或相交【解答】解：由题意画出图形，如当m，n所在平面与平面α平行时，n与平面α平行，当m，n所在平面与平面α相交时，n与平面α相交，故选：D．5．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，=x+2y+3z，则x+y+z=（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，得；=+=（+）+=++；又∵=x+2y+3z，∴x=1，y=，z=；∴x+y+z=1++=．故选：A．6．（5分）若直线y=k（x+4）与曲线x=有交点，则k的取值范围是（）A．[﹣，]B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【解答】解：直线y=k（x+4）恒过定点（﹣4，0），曲线x=即为右半圆x2+y2=4，当直线过点（0，﹣2）可得﹣2=4k，解得k=﹣，当直线过点（0，2）可得2=4k，解得k=．由图象可得当﹣≤k≤时，直线和曲线有交点．故选：A．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积胃（）A．1+B．3+C．D．3【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱．其中棱柱的高为1．底面直角梯形的上底为1，下底为2，梯形的高为1．所以四棱柱的体积为V==．故选：C．8．（5分）圆x2+y2=4上与直线l：4x﹣3y+12=0距离最小的点的坐标是（）A．（，）B．（，﹣）C．（﹣，）D．（﹣，﹣）【解答】解：圆的圆心（0，0），过圆心与直线4x﹣3y+12=0垂直的直线方程：3x+4y=0，3x+4y=0与x2+y2=4联立可得x2=，所以它与x2+y2=4的交点坐标是（﹣，），（，﹣）又圆与直线4x﹣3y+12=0的距离最小，所以所求的点的坐标（﹣，），故选：C．9．（5分）三棱锥S﹣ABC的顶点都在同一球面上，且SA=AC=SB=BC=，SC=2，则该球的体积为（）A．B．C．2πD．8π【解答】解：由于SA=AC=SB=BC=，SC=2，则SA2+AC2=SC2，SB2+BC2=SC2，即有SA⊥AC，SB⊥BC，取SC的中点O，连接OA，OB，则由直角三角形的斜边上的中线即为斜边的一半，可得OA=OB=OC=OS=1，即有球的半径r为1，则球的体积为=．故选：B．10．（5分）点P在抛物线y2=8x上，点Q在圆（x﹣6）2+y2=1上，则|PQ|的最小值为（）A．5B．6C．4D．4﹣1【解答】解：设点P（x，y），则y2=8x，圆（x﹣6）2+y2=1的圆心C（6，0），半径r=1，由圆的对称性可得，|PQ|=|CP|﹣|CQ|=﹣1=﹣1=﹣1≥4﹣1．∴|PQ|最小值为4﹣1．故选：D．11．（5分）已知点P（m，n）在椭圆+=1上，则直线mx+ny+1=0与椭圆x2+y2=的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切【解答】解：∵P（m，n）在椭圆+=1上，∴，，圆x2+y2=的圆心O（0，0）到直线mx+ny+1=0的距离：d==，∴直线mx+ny+1=0与椭圆x2+y2=的位置关系为相交或相切．故选：D．12．（5分）已知O是棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线的交点，平面α经过点O，正方体的8个顶点到α的距离组成集合A，则A中的元素个数最多有（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：根据题意，如图，点O为正方体对角线的交点，则O是线段A1C 的中点，过点O作任一平面α，设A1C与α所成的角为θ，分析可得点A1与C到平面α的距离相等，均为，同理B与D1到平面α的距离相等，A与C1到平面α的距离相等，D与B1到平面α的距离相等，则集合A中的元素个数最多为4个；故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）抛物线y=4x2的准线方程为．【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．14．（5分）直线x﹣+1=0被圆x2+y2﹣2x﹣3=0所截得的弦长为2．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣3=0，即（x﹣1）2+y2=4，表示以C（1，0）为圆心，半径等于2的圆．由于圆心到直线x﹣+1=0的距离为d==1，故弦长为2=2．故答案为：2．15．（5分）正四面体ABCD中，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值等于．【解答】解：如图所示，取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，设正四面体ABCD的棱长为2a，（a＞0），则EF=AB=a，CE=CF=2a•sin60°=a，在△CEF中，cos∠CEF===．故答案为：．16．（5分）已知F双曲线﹣=1的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若E在以AB为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是（1，2）．【解答】解：由题意，直线AB方程为：x=﹣c，其中c=，因此，设A（﹣c，y0）（y0＞0），B（﹣c，﹣y0），∴﹣=1，解得y0=，得|AF|=，∵双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外部，∴|EF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0，两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2，由于e＞1，则有1＜e＜2．故答案为：（1，2）．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知p：∀x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：∵p：∀x∈R，不等式恒成立，∴（x﹣）2+，即，解得：；q：椭圆的焦点在x轴上，∴m﹣1＞3﹣m＞0，解得：2＜m＜3，由p∧q为真知，p，q皆为真，解得．18．（12分）已知圆C过点O（0，0），A（﹣1，﹣7）和B（8，﹣4）（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）求与AB垂直且被圆C截得弦长等于|AB|的直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．因为O，A，B三点都在圆C上，所以它们的坐标都是圆C方程的解，故解此方程组，得D=﹣6，E=8，F=0．故所求圆C的方程为x2+y2﹣6x+8y=0．（Ⅱ）直线AB的方程为x﹣3y﹣20=0，故设直线l的方程为3x+y+m=0．由题意，圆心C（3，﹣4）到直线AB与直线l的距离相等，故有=，解得m=0或m=﹣10．所以直线l的方程为3x+y=0或3x+y﹣10=0．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点，点F在棱PD上，且FD=PD．（Ⅰ）求证：PB∥平面EAC；（Ⅱ）求三棱锥F﹣ADC与四棱锥P﹣ABCD的体积比．【解答】（I）证明：如图所示，连接BD，设BD∩AC=O，易知O为DB的中点．又E为PD的中点，在△PDB中，∴PB∥OE．又OE⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，故PB∥平面EAC．（Ⅱ）解：∵FD=PD，∴点F到平面ACD（也是平面ABCD）的距离与点P到平面ABCD的距离比为1：3，又易知△ACD的面积等于四边形ABCD面积的一半，∴三棱锥F﹣ADC与四棱锥P﹣ABCD的体积比为1：6．20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C交于A、B两点，O为坐标原点，以OA，OB为边，平行四边形OAPB，求点P的轨迹方程．【解答】解：（1）因为点M（1，m）到焦点F的距离为2，所以由抛物线的定义得：1+=2，解得p=2，则抛物线的方程是y2=4x；（2）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）可得F（1，0），设直线l的方程是x=my+1，由得，y2﹣4my﹣4=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，且△＞0，设AB的中点为C，且C（x0，y0），则y0==2m，代入x=my+1得，x0=my0+1=2m2+1，因为平行四边形OAPB的对角线互相平分，所以AB的中点为C也是OP的中点，则，消去m可得，y2=4（x﹣2），则点P的轨迹方程是y2=4（x﹣2）．21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BC=，AB=BB1=2，∠BCC1=，点E在棱BB1上．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）若BE=λBB1，试确定λ的值，使得二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为．【解答】（Ⅰ）证明：∵BC=，CC1=BB1=2，∠BCC1=，在△BCC1中，由余弦定理，可求得C1B=，∴C1B2+BC2=，即C1B⊥BC．又AB⊥侧面BCC1B1，故AB⊥BC1，又CB∩AB=B，所以C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC、BA、BC1两两垂直，以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（，0，0），C1（0，0，），B1（﹣，0，），∴=（0，2，﹣），=+λ=（0，0，﹣）+λ（﹣，0，）=（﹣λ，0，﹣+λ），设平面AC1E的一个法向量为=（x，y，z），由，得，令z=，取=（，1，），又平面C1EC的一个法向量为=（0，1，0），所以cos＜，＞===，解得λ=．所以当λ=时，二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为．22．（12分）如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，点B在C上，△OBA为等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；（Ⅱ）若圆x2+y2=1经过C上顶点，与x2+y2=1相切的直线l与C交于不同的两点M，N，求弦|MN|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，有B（，），将点B的坐标代入+=1，得a2=3b2，即a2=3（a2﹣c2），3c2=2a2，故椭圆C的离心率e==．…（5分）（Ⅱ）由题意，得b2=1，a2=3．当直线l的斜率不存在时，不妨设l的方程为x=1，代入+y2=1，得M（1，），N（1，﹣），|MN|=．…（7分）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，由题意，有=1，即m2=k2+1．将y=kx+m代入+y2=1，得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，所以|MN|=|x1﹣x2|=≤=（当且仅当k2=1时取“=”）．因为＞，所以|MN|的最大值为．…（12分）。

北京市西城区2014-2015学年度高二上学期期末考试数学试题(理科)

北京市西城区2014 —2015学年度第一学期期末试卷高二数学2015.1（理科）试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.角角60角二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.11. 命题“2,20x x x ∃∈-<R ”的否定是_______________.12. 空间向量(1,1,2)=--a ，(1,2,1)=--b ，(,,2)x y =-n ，且//n b . 则⋅a n =_______.13. 右图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为_______. 14. 已知F 为双曲线22:13xC y -=的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_______.15. 由直线y x =上一点向圆22(4)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 . 16 .已知点(3,0)M 和点(3,0)N -，直线PM ，PN 的斜率乘积为常数a （0a ≠），设点P 的轨迹为C .给出以下几个命题：①存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离之和为定值； ②存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离之和为定值； ③不存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离差的绝对值为定值； ④不存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离差的绝对值为定值. 其中正确的命题是________.（填出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，90AEB ∠=o ， F 为CE 上的点.（Ⅰ）求证：//AD 平面BCE ；（Ⅱ）求证：AE ⊥BF ．正（主）视图侧（左）视图俯视图AEBCDF18.（本小题满分13分）已知三个点(0,0)A ，(4,0)B ，(3,1)C ，圆M 为△ABC 的外接圆. （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =-与圆M 交于,P Q两点，且PQ =k 的值.19.（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，2PA AD ==，1AB BC ==，Q 为PD 中点.（Ⅰ）求证：PD BQ ⊥；（Ⅱ）求直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值.20.（本小题满分14分）已知椭圆22:14x W y +=，直线l 过点(0,2)-与椭圆W 交于两点,A B ，O 为坐标原点.（Ⅰ）设C 为AB 的中点，当直线l 的斜率为32时，求线段OC 的长；（Ⅱ）当△OAB 面积等于1时，求直线l 的斜率.PAB CDQ21.（本小题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，24AB BC ==,四边形CDEF 是等腰梯形，//EF DC ，2EF =，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，AF CF ⊥. （Ⅰ）过BD 与AF 平行的平面与CF 交于点G . 求证：G 为CF 的中点；（Ⅱ）求二面角B AF D --的余弦值.22.（本小题满分13分）如图，曲线E 是由抛物线弧1E :x y 42=(203x ≤≤)与椭圆弧2E :12222=+by a x (a x ≤≤32)所围成的封闭曲线，且1E 与2E 有相同的焦点.（Ⅰ）求椭圆弧2E 的方程；（Ⅱ）设过点(1,0)F 的直线与曲线E 交于,A B 两点，1||r FA =,2||r FB =，且α=∠AFx (0α≤≤π)，试用αcos 表示1r ；并求21r r的取值范围.ABCDE F G北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.A2.D3.C4. D5. A6. B7.A8. C9.C 10. A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. 2,20x x x ∀∈-≥R 12. 2- 13.38 14. 116. ②④ 注:16题，仅选出②或④得3分；错选得0分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17. （本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 为矩形，所以//AD BC . ………………2分又因为BC ⊂平面BCE ，AD ⊄平面BCE ，………………4分所以//AD 平面BCE . ………………5分（Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面ABE ，BC AD //，所以BC ⊥平面ABE ，则BC AE ⊥ . ………………7分又因为90AEB ∠=o，所以AE BE ⊥. ………………9分所以AE ⊥平面BCE . ………………11分又BF ⊂平面BCE ,所以AE BF ⊥. ………………13分 18. （本小题满分13分）（Ⅰ）设圆M 的方程为 220x y Dx Ey F ++++=, ………………1分因为点(0,0)A ，(4,0)B ，(3,1)C 在圆M 上，则2220,440,3130.F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩………………4分解得4D =-，2E =，0F =. ………………6分所以ABC ∆外接圆的方程为22420x y x y +-+=. ………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）圆M 的圆心为(2,1)-AEBCDF又PQ =所以圆M 的圆心到直线1y kx =-的距离为2.………………9分所以=………………11分解得215k =. k =. ………………13分19. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥PA AD ⊥，又AD AB ⊥，如图，建立以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴的空间直角坐标系. ………………2分由已知，2PA AD ==，1AB BC ==，//AD BC所以，(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ,(0,0,2)P ………………4分又Q 为PD 中点，所以(0,1,1)Q . 所以(0,2,2)PD =-，(1,1,1)BQ =-，所以0PD BQ ⋅=， ………………6分所以PD BQ ⊥. ………………7分（注：若第一问不用空间向量，则第一问4分）（Ⅱ）解：设平面PCD 的法向量为(,,)a b c =n ，则0PD ⋅=n ,0CD ⋅=n .又(1,1,0)CD =-，所以220b c a b -=⎧⎨-+=⎩， ………………9分令1c =，得1a b ==，所以(1,1,1)=n . ………………11分因此cos ,3BQ BQ BQ ⋅1〈〉===n n n， ………………13分所以直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值为31. ………………14分 20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当直线l 的斜率为32时，直线l 的方程为22y x 3=-. ………………1分由222,214y x x y 3⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得251260x x -+=， ………………2分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)C x y .则12125x x +=， ………………3分所以点C 的坐标065x =，0031225y x =-=-， ………………4分所以OC ==. ………………5分（Ⅱ）设直线:2l y kx =-，由221,42x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22(14)16120k x kx +-+=， ………………6分所以222(16)48(14)16(43)k k k ∆=-+=- ………………7分1221614k x x k +=+，1221214x x k =+. ………………8分AB ===. ………………10分原点O 到直线l的距离d =. ………………11分所以△OAB 面积为1122AB d ==. 因为△OAB 面积等于1，1=， ………………12分解得k=， ………………13分带入判别式检验，符合题意，所以2k =±. ………………14分21. （本小题满分13分）（Ⅰ）证明：连接AC 交BD 于点H ，ABCD 为矩形，则H 为AC 中点，连接GH . ………………1分因为//AF 平面BDG ，平面ACF平面BDG GH =， ………………2分所以//AF HG . ………………3分所以G 为CF 的中点. ………………4分（Ⅱ）解：在平面CDEF 上作FO CD ⊥，垂足为O ，由于平面CDEF 为等腰梯形，所以1OC =，因为且平面ABCD ⊥平面DCFE ，所以FO ⊥平面ABCD ， ………………5分在平面ABCD 中，作OM CD ⊥，交AB 于M ，所以FO OM ⊥，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -. ………………6分则(2,3,0)A -，(2,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,3,0)D -. 设(0,0,)F h （0h >）. 因为AF CF ⊥，所以0AF CF ⋅=，即(2,3,)(0,1,)0h h -⋅-=，所以2030h -+=，解得h =………………7分设平面ABF 的法向量为(,,)a b c =n ，而(AF =-，(0,4,0)AB =，由0,0AF AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得230,40.a b b ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩令2c =，解得a =0b =.所以(3,0,2)=n . (9)分由于(2,0,0)AD =-,(0,1CF =-, 所以0AD CF ⋅=，CF AD ⊥，又CF AF ⊥，所以CF ⊥平面ADF ，所以CF 为平面ADF 的法向量， ………………11分cos ,CF 〈〉===n . ………………12分由图知，二面角的平面角为钝角，所以二面角B AF D --的余弦值为7-. ………………13分22. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）抛物线弧1E :x y 42=的焦点为(1,0)，且23x =时，283y =，所以2(3为椭圆上一点，又椭圆的焦点为(1,0),-(1,0)， ………………2分所以752433a ==+=. ………………3分所以2a =，2213b a =-=， ………………4分所以椭圆2E 的方程为22143x y +=（223x ≤≤）. ………………5分（Ⅱ）曲线E 由两部分曲线1E 和2E 组成，所以按A 在抛物线弧1E 或椭圆弧2E 上加以分类，由曲线E 的对称性,不妨设A 在x 轴上方(或x 轴上).当32=x 时，362±=y ，此时35=r ,51cos -=α；当1cos 51≤≤-α时，A 在椭圆弧2E 上，由题设知)sin ,cos 1(11ααr r A +，将A 点坐标代入13422=+y x 得，012)sin (4)cos 1(32121=-++ααr r ，整理得09cos 6)cos 4(1212=-+-ααr r ，解得αcos 231+=r 或2cos 31-=αr (舍去). ………………6分当51cos 1-≤≤-α时，A 在抛物线弧1E 上，由抛物线定义可得αcos 211r r +=，所以αcos 121-=r ， ………………7分综上，当51c o s 1-≤≤-α时，αcos 121-=r ；当1c o s 51≤≤-α时，αcos 231+=r .相应地，22(1cos(),sin())B r r αα++π+π，当1cos 15α≤≤时，B 在抛物线弧1E 上，所以222cos()r r α=++π，221cos r α=+， ………………8分当11cos 5α-≤≤时，B 在椭圆弧2E 上，根据图形的对称性，232cos r α=-. ………………9分所以，当51cos 1-≤≤-α时A 在抛物线弧1E 上,B 在椭圆弧2E 上，]911,1[)cos 111(323cos 2cos 1221∈-+=-⋅-=αααr r ； ………………10分当1cos 51≤≤α时A 在椭圆弧2E 上,B 在抛物线弧1E 上，]1,119[)cos 211(232cos 1cos 2321∈+-=+⋅+=αααr r ； ………………11分当51cos 51<<-α时A 、B 在椭圆弧2E 上，)911,119(cos 2cos 23cos 2cos 2321∈+-=-⋅+=ααααr r ； ………………12分综上，21r r 的取值范围是]911,119[. ………………13分。

2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题_Word版含答案

2016级高二期末考试试卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．i 为虚数单位，则2013i = （）A ．i -B ．1-C ．iD ．1 2．若()e x f x x =，则(1)f '＝( )A ．0B ．eC ．2eD ．2e3．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点坐标是()5,0,则双曲线的渐近线方程是（）A ．34y x =±B ．43y x =±C．y x = D．y x = 4．下列叙述：①若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；②若两个向量均为同一个平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行； ③若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直，则该直线与这个平面平行. 其中正确的个数是（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．学校体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，西侧有2个大门，某学生到该体育场训练，但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有( )A ．7个B ．12个C ．24个D ．35个 6．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{}n a 的前n 项和为n S .由21n a n =-，求出2221231,2,3,S S S ===，…，推断：2n S n =B ．由()cos f x x x =满足()()f x f x -=-对∀x ∈R 都成立，推断：()cos f x x x =为奇函数C ．由圆222x y r +=的面积2S r π=，推断：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积S ab π=D ．由()()()222123112,212,312,+>+>+>…，推断：对一切n ∈N *，()212n n +>7．已知函数32()393f x x x x =--+，若函数()()g x f x m =-在[]2,5x ∈-上有3个零点，则m 的取值范围为( ) A ．(－24,8)B ．(－24,1]C ．[1,8]D ．[1,8)8．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足90AFB ∠=.过弦AB的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为ABC ．1D二、 75分，共35分．9．204sin xdx π=⎰10．已知01a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1,则复数z 对应的点Z 到原点距离的取值范围是 11．曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线方程是 . 12．棱长均为3的三棱锥S ABC -，若空间一点P 满足(1)SP xSA ySB zSC x y z =++++=，则SP 的最小值为 .13．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是 .14．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12A A 、，点P 在椭圆C 上，记直线2PA 的斜率为2k ，直线1PA 的斜率为1k ，则 1k ·2k = . 15．函数2()ln(1)f x x a x =++有两个不同的极值点12,x x ，且12x x <，则实数a 的范围是三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）设p :实数x 满足22430x ax a -+<, :q 实数x 满足31x -<. (1)若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若其中0a >且p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 17．（本小题满分12分）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒，12AC BC CC ===. （1）求证:11AB BC ⊥；（2）求二面角111C AB A －－的大小.18．（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）. 19．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S (即123n n S a a a a =++++)，且方程20n n x a x a --=有一根为n S －1，n ＝1,2,3…….（1）求12,a a ；（2）猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法给出严格的证明．20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分13分）已知),1ln()(+=x x f bx ax x g +=221)( （1）若0=a ，1=b 时，求证：0)()(≤-x g x f 对于),1(+∞-∈x 恒成立；（2）若2=b ，且)()1()(x g x f x h --=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）利用（1）的结论证明：若y x <<0，则2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+．CCBBDADA 9．4 10．()1,2 11．1y x =- 12．6 13．24 14．－34 15．10,2⎛⎫⎪⎝⎭16．解:（1）. 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<当1a =时，13x <<,即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.……………2分由31x -<, 得131x -<-<, 得24x <<即q 为真时实数x 的取值范围是24x <<,……4分若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<.……6分(2) 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --< p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p ⌝⇒q ⌝,且q ⌝⇒/p ⌝, ……………8分设A ={|}x p ⌝,B ={|}x q ⌝,则AB ,又A ={|}x p ⌝={|3}x x a x a ≤≥或, B ={|}x q ⌝={x|x≥4或x≤2}，……………10分则02a <≤,且34a ≥所以实数a 的取值范围是423a ≤≤12分 17．解：：方法一：（1）∵11,AC BC AC CC BCCC C ⊥⊥=且∴11AC C CBB ⊥平面，又111BC C CBB ⊂平面∴1111,,AC BC B C BC AC B C C ⊥⊥=且 ∴1111BC AB C AB AB C ⊥⊂平面，又平面 ∴11AB BC ⊥（2）取11A B 的中点为H ，在平面11A ABB 内过H 作1HQ AB ⊥于点Q ，连接1C Q 则111C H A ABB ⊥平面，∴11C H AB ⊥，而1C H HQ H =∴1111AB C HQ AB C Q ⊥∴⊥平面，∴1C QH ∠是二面角111C AB A －－的平面角，又1162C H A AB HQ ==，在内，解得∴111tan 3,60C HC QH C QH HQ∠==∠=︒∴二面角111C AB A －－为60°.18．解：（1）因为4x =时，21y =，代入关系式()2462m y x x =+--，得16212m +=，解得10m =.……………………4分（2）由（1）可知，套题每日的销售量()210462y x x =+--，……………5分所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦……………………8分从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<.令()'0f x =，得103x =,且在102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减， ……………………10分所以103x =是函数)(x f 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，所以当103.33x =≈时，函数)(x f 取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. …………………12分19．解：(1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.……………3分当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16.……5分 (2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3…. ……………7分下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．……………8分(ⅱ)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k，……………10分即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．……………12分综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．……………13分1CA BC1A1B20．解：（1）设椭圆的焦距为2c，则由题设可知2221a c ca a cb ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解此方程组得a =1b =. 所以椭圆C 的方程是2212x y +=. ……………………5分（2）解法一：假设存在点T （u, v ）. 若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-，将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=．设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--及112211,,33y kx y kx =-=-所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+ …………………9分当且仅当0TA TB =恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以2222618180,0,33250.u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）. …………………11分当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件. …………………13分解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是22 1.x y +=若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116().39x y ++=……………7分由22221,116().39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得01x y =⎧⎨=⎩.由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）. ………………8分事实上点T （0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点T （0，1）；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--= 设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…………………10分因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++222216161632160.189k k k k ---++==+所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件. …………………13分 21．解：（1）设x x x g x f x -+=-=)1ln()()()(ϕ，则.1111)('+-=-+=x x x x ϕ………………….2分当时，)(x 有最大值0 ∴0)(≤x 恒成立。

河北省邢台市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

邢台市2014-2015学年度第一学期期末考试高二理科数学试题参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y n x ybx x xn x ====---⋅⋅==--⋅∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． ()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -K =++++，其中n a b c d =+++．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、抛物线22y x =-的准线方程是（）A ．18y =-B ．18y =C ．12x =-D ．12x =2、把18化为二进制数为（）A ．()210010B ．()210110C ．()211010D ．()210011 3、已知正方体1111CD C D AB -A B 中，点1O 为上底面11C A 的中心，若11D x y AO =AA +AB+A ，则x ，y 的值是（） A ．12x =，1y = B ．1x =，12y = C ．12x =，12y = D ．1x =，1y = 4、甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，则甲、乙相邻的概率为（）A ．13B ．12C ．23D ．165、假设某设备的使用年限x （年）和所支出的维修费用y （元）呈线性相关关系，且有如下的统计资料：则x 和y 之间的线性回归方程为（）A ．ˆ 2.040.57yx =- B ．ˆ2 1.8y x =- C ．ˆ 1.5y x =+ D ．ˆ 1.230.08y x =+6、下列命题的说法错误的是（）A ．命题“若2430x x --=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2430x x --≠”B ．已知a ，b ，c 是C ∆AB 的三条边，C ∆A B是等边三角形的充要条件是222a b c ab ac bc ++=++C ．命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆命题为“若tan 1α=，则4πα=”D ．若命题:p 0b =，命题:q 函数()2f x ax bx c =++是偶函数，则p 是q 的充分不必要条件7、某篮球运动员甲参加了10场比赛，他每场比赛得分的茎叶图如图所示，则数据落在区间[)22,30内的概率为（）A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.38、若R k ∈，则“33k -<<”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9、下面说法：①如果一组数据的众数是5，那么这组数据中出现次数最多的数是5； ②如果一组数据的平均数是0，那么这组数据的中位数为0； ③如果一组数据1，2，x ，5的中位数是3，那么4x =； ④如果一组数据的平均数是正数，那么这组数据都是正数．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．410、已知椭圆C :2219y x +=，直线:l 950x y +-=与椭圆C 相交于A 、B 两点，点P 为弦AB 的中点，则点P 的坐标为（）A ．11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．119,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,4-D ．()1,14-11、如图所示，程序框图输出的值为（） A ．12 B ．13 C ．14 D ．1612、过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l ，依次分别交抛物线的准线、y 轴、抛物线于A 、B 、C 三点．若2C AB =B ，则直线l 的斜率是（）A ．B ．2-或2C ．-D ．4-或4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为2:2:3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为70的样本，则应从高二年级抽取名学生．14、执行如图所示的程序框图，若输出的值是13，则判断框内应为．15、已知命题:p 若x y >，则x y -<-，命题:q 若x y <，则22x y >；在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中，真命题的序号为．16、设1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212F FF P =，且点2F 到直线1F P 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分10分）给出如下程序框图，令输出的()y f x =．若命题:p 0x ∃，()0f x m ≤为假命题，求m 的取值范围．18、（本小题满分12分）某校100名学生期末考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．()I 求图中a 的值，并根据频率分布直方图，估计这100名学生数学成绩的平均分；()II 若这100名学生数学成绩在某些分数段的人数（x ）与语文成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求语文成绩在[)50,90之外的人数． 19、（本小题满分12分）()I 已知关于x 的一次函数ay x b =，其中{}2,1,2,3a ∈--，{}2,2,3b ∈-，求函数ay x b=在R 上是减函数的概率；()II 已知关于x 的一次函数y kx b =+，实数k ，b 满足条件101111k b k b +-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，求函数y kx b =+的图象经过一、三、四象限的概率（边界及坐标轴的面积忽略不计）．20、（本小题满分12分）已知四棱锥CD S -AB 的底面CD AB 是正方形，S A ⊥底面CD AB ，D 2S A =AB =A =，E 是C S 的中点．()I 求异面直线D E 与C A 所成角；()II 求二面角C D S B --的大小．21、（本小题满分12分）随着生活水平的提高，人们患肝病的越来越多．为了解中年人患肝病与经常饮酒是否有关，现对30名中年人进行了问卷调查得到如下列联表：已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肝病患者的概率为415．()I 请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关？说明你的理由；()II 现从常饮酒且患肝病的中年人（恰有2名女性）中，抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：22、（本小题满分12分）已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的离心率e =12⎫P ⎪⎭在椭圆C 上．()I 求椭圆C 的方程；()II 过点()Q 2,0，作两条互相垂直的动直线Q A 、Q B ，分别交椭圆C 于A 、B 两点，求证：直线AB 必过定点，并求出该定点坐标．邢台市2014-2015学年度第一学期期末考试高二理科数学试题参考答案一．选择题 BACBD DCDBA AC二、填空题 13. 20 14.6?k <或5?k ≤（不写问号不得分） 15.②③ 16.35 三、解答题17. 解：程序框图表示的分段函数为22log ,2()1,2x x y f x x x >⎧==⎨-≤⎩……………………………..4分因为命题00:,()p x f x m ∃≤为假命题,所以命题:,()q x f x m ∀>为真命题,……………6分即,()x f x m ∀>恒成立, 即()f x 的最小值大于m ,又()y f x =的最小值为1-, ……………………..8分所以1m <-. ……………………..10分 18. 解：（Ⅰ）依题意得,10(20.0050.020.04)1a ⨯+++=,解得0.03a = …….4分这100名学生的数学平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分） …………6分（Ⅱ）语文成绩在[50,60）的人数为：41000.0545⨯⨯=（人） …………7分语文成绩在[60,70）的人数为：1000.440⨯=（人） …………8分语文成绩在[70,80）的人数为：51000.3503⨯⨯=（人） …………9分语文成绩在[80, 90）的人数为：11000.245⨯⨯=（人） …………10分所以语文成绩在[50,90）之外的人数为：1004504042----=（人） ……12分 19. 解：（Ⅰ） a 和b 的组合有：(2,2),(2,2),(2,3),(1,2),(1,2),(1,3),--------(2,2),(2,2),(2,3),(3,2),(3,2),(3,3)--,其中符合题意的有9个基本事件．……………2分设使函数ay x b=在R 上是减函数的事件为A ,则A 包含的基本事件(2,2),(2,3),(1,2),(1,3),----(2,2),(3,2)--共有6个, ……4分所以,62(A)93P ==. ……………6分（Ⅱ）实数,k b 满足条件101111k b k b +-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩的区域如图所示,……………8分要使函数的图象过一、三、四象限,则0,0k b ><,故使函数图象过一、三、四象限的(,)k b 的区域为第四象限的阴影部分, ……………10分 ∴所求事件的概率为27p =. ……………12分 20. 解：（Ⅰ）SA ⊥底面ABCD ,所以,SA AD SA AB ⊥⊥ 底面ABCD 是正方形,所以AB AD ⊥ ……………2分以点A 为坐标原点,AS AD AB ,,所在的直线分别为z y x ,,轴,建立空间直角坐标系,则(0,0,0)A ,(2,0,0)B ,(0,0,2)S ,(2,2,0)C ,(0,2,0)D ,(1,1,1)E ……………4分所以(1,1,1)DE =-,(2,2,0)AC =,0DE AC ⋅=所以异面直线DE 与AC 所成角为90︒. ……………6分（Ⅱ）由题意可知，(2,0,2)SB =-,(2,2,2)SC =- 设平面BSC 的法向量为),,(1111z y x n =,则11111110n SC x y z n SB x z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,令11=z ,则)1,0,1(1=n , ……………8分 (0,2,2)DS =-,(2,0,0)DC =设平面SCD 的法向量为),,(2222z y x n =,则222220n DC x n DS z y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩,令12=y ,则)1,1,0(2=n ……………10分设二面角D SC B --的平面角为α,则21221cos =⨯. 显然二面角D SC B --的平面角为α为钝角,所以120=α 即二面角B SC D --的大小为120︒. ……………12分 21. （Ⅰ）设常饮酒的人有x 人,24,63015x x +== ……………2分 ……4分由已知数据可求得：2230(61824)8.5237.8791020822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.因此有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关． ……………………6分（Ⅱ）设常饮酒且患肝病的男生为A 、B 、C 、D,女生为E 、F,则任取两人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种. ………8分其中一男一女有AE,AF,BE,BF,CE,CF, DE,DF,共8种. ………10分故抽出一男一女的概率是815p =. ………12分说明：用排列组合求解，参照上述解法给分.22. （Ⅰ）由题意得c a =2221()321a b += 222=a b c +解得=21a b =，所以椭圆的标准方程为2214x y +=. ………4分（Ⅱ）法一：设直线QA 的方程为(2)(0)y k x k =-≠,则直线QB 的方程为1(2)y x k=--. …………5分将直线QA 的方程为(2)(0)y k x k =-≠代入椭圆方程整理可得()222214161640k xk x k +-+-=2222(16)4(14)(164)10k k k ∆=-⋅+⋅-=> …………6分设A 点坐标为(,)A A x y ,B 点坐标为(,)B B x y ,则22164214A k x k-=+ 所以228214A k x k -=+ 24(2)14A Aky k x k -=-=+ …………7分同理可得222824,44B B k kx y k k-==++ 所以25=4(1)A B AB A B y y kk x x k -=-- 故直线AB 的方程为：22224582()144(1)14k k k y x k k k -+=-+-+ , …………8分 22222455(82)144(1)4(1)(14)k kx k k y k k k k -+=-+--+222224(14)(1)16(1)5(14)5(82)k k y k k k k x k k +-+-=+-- 22224(14)(1)5(14)6(14)k k y k k x k k +-=+-+ 24(1)(56)k y k x -=-显然当65x =时,0y =, …………10分当0k =时,直线QA 为x 轴,点A 为椭圆的左顶点；直线QB 垂直于x 轴,点B 和点Q 重合,直线AB 即为x 轴,过定点6(,0)5.所以无论k 取何值,直线AB 必过定点6(,0)5. …………12分法二：令直线QA的斜率分别为1和,则直线QB的斜率分别为1-…………5分得到直线AB 的方程为66)55x y x ==-和 …………6分两直线的交点为6(,0)5P 由法一得222222824824(,).(,)141444k k k k A B k k k k ---++++ …………8分计算可得2255,4(1)4(1)PA PB k k k k k k ==-- 所以PA PB k k =,即A 、B 、P 三点共线,因此直线AB 过定点6(,0)5…………10分当0k =时,直线QA 为x 轴,点A 为椭圆的左顶点；直线QB 垂直于x 轴,点B 和点Q 重合,直线AB 即为x 轴,过定点6(,0)5.所以无论k 取何值,直线AB 必过定点6(,0)5. …………12分。

【数学】湖北省部分重点中学2014-2015学年高二上学期期末考试(理).docx

湖北省部分重点中学2014—2015 学年度上学期高二期末考试理科数学试卷一．选择题 :本大题共10 小题，每题 5 分，共 50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.命题p：对任意x R ，2x10 的否定是()A ．p ：对任意x R ，2x10B．p ：不存在x0R ,2x010C．p ：存在x0R D．p ：存在x0R ,2x010 ,2x0102．某工厂生产某种产品的产量x(吨 )与相应的生产能耗y( 吨标准煤 )有如下几组样本数据：x3456y 2.534 4.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为 0.7，则这组样本数据的回归直线方程是()^^A. y＝ 0.7x＋ 0.35B. y＝ 0.7x＋ 0.4^^C.y＝ 0.7x＋ 0.45D. y＝ 0.7x＋0.53．通过随机询问110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由 K 2n(ad bc) 2算得： k 27.8(a b)(c d )(a c)(b d )P(K 2≥ k )0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参照附表，得到的正确结论是()A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”4. 若 x0 , y 0，则“ x 2y 21 ”是“ x y 1”的 ()A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件225.设 F 1、 F 2 是椭圆 x2 y 1(a 5) 的两个焦点，且 F 1F 28 ，弦 AB 过点 F 1 ，则a25ABF 2 的周长为（）A.10B.20C.2 41D.4 416.下列结论中，错误的是 ( )．．A ．命题“若 x 23x 20 ，则 x 1 ”的逆否命题为“若x1，则 x 2 3x 2 0 ”B ．命题 “若 a b ，则 am 2 bm 2”的否命题是真命题n y i )22( y i21i 1来刻画回归效果，若 RC ．用 Rn y)2 越大，则说明模型的拟合效果越好.( y ii 11(x 1) 2D ．若随机变量 X 的概率分布密度函数是 f (x)8, x ( ,) ,则e2 2E(2 X 1), D (2 X +1) 的值分别是 3,8.7. 某射手射击 1 次，击中目标的概率是 0.9 ．他连续射击 4 次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第 3 次击中目标的概率是0.9 ；②他恰好击中目标3 次的概率是 0.93 0.1；③他至少击中目标1 次的概率是 1 0.14 .其中正确结论的序号是（）A ．①③B ．①②C ．②③D ．①②③8.在某市2014 年 6 月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98,100) ．已知参加本次考试的全市理科学生约9 450 人．某学生在这次考试中的数学成绩是 108 分，那么他的数学成绩大约排在全市第 ()名？(参考数值： P(X) 0.6826 ; P(2X2 ) 0.9544 ，P(3 X3 )0.9974 )A ． 1 500B ． 1 700C ． 4 500D ． 8 0009. 在椭圆 x 2 y 2b 0) 中， F 1 , F 2 分别是其a 2b 2 1(a左右焦点，若椭圆上存在一点 P使得PF 12 PF 2 ，则该椭圆离心率的取值范围是()1 ,1 B ． 1 ,1 C ． 0,11A ．D ． 0,333 310．在右图中， “创建文明城市，筑美好家园 ”，从上往下读 (上行与下行前后相邻，不能跳读) ，共有 ()种不同的读法 .A ． 225B ． 240C ． 252D ． 300二．填空题：本大题共 5 小题，每小题5 分，共 25 分，把答案填在答题卡的相应位置.11. 某班从 6 名班干部 (其中男生 4 人，女生 2 人 )中选三人参加学校组织的课外活动 . 若“男生甲被选中 ”为事件 A ,“女生乙被选中 ”为事件 B ,则 P B|A =.12．一口袋中装有5 个白球和 3 个红球，这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了次球，则P( 12).(用式子作答 )13. 已知直线 yxx 2 y 2 1(a b0) 相交于 A, B 两点，且线段AB 的中1 与椭圆 b 2a 2点在直线 x 2 y 0 上，则此椭圆的离心率为_______14.已知 (1x) (1 x) 2(1 x) 3(1 x)na 0 a 1 x a 2 x 2a n x n ，且a 0a 1 a 2 a n 126 ，那么 (3x1)n 的展开式中的常数项为x(用数字作答 ). (1,5) ，函数 g( x)15．设 p :x log 2 (tx 22x 2) 恒有意义，若p 为假命题，则 t 的2取值范围为．三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本小题满分 12 分）已知命题 p : “x R,2x 2( m 1) x1 0 ”，命题：“曲线x 2 y 2表2 q C 1:m 22m8 1示焦点在 x 轴上的椭圆” . 若 " pq" 为真命题， " pq" 为假命题，求实数 m 的取值范围 .17.（本小题满分 12 分用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的数，问：（ 1）能够组成多少个六位奇数？（ 2）能够组成多少个大于 201345 的正整数？已知 ( x1) n的展开式中前三项的系数成等差数列．24x（1）求展开式中所有的有理项；（2）求展开式中二项式系数最大的项．19.（本小题满分12 分）某公司计划在2015 年春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1， 2，3，, ， 10 的十个小球。

2014-2015年四川省雅安市高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2014-2015学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题1．（5分）如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题2．（5分）如图所示，是一个空间几何体的三视图，则这个空间几何体是（）A．长方体B．球C．圆锥D．圆柱3．（5分）与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（））A．B．C．D．4．（5分）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值5．（5分）A、B是直二面角α﹣l﹣β的棱l上的两点，分别在α，β内作垂直于棱l的线段AC，BD，已知AB=AC=BD=1，那么CD的长为（）A．1B．2C．D．6．（5分）命题：“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x+1＞0B．∀x∈R，x2﹣x+1≤0C．∃x∈R，x2﹣x+1＞0D．∃x∈R，x2﹣x+1≥07．（5分）与圆都相切的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条8．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=2x﹣y的最小值为（）A．6B．﹣6C．D．﹣79．（5分）已知对k∈R，直线y﹣kx﹣1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，5）C．[1，5）∪（5，+∞）D．[1，5）10．（5分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB 为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π二．填空题11．（5分）原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”．在原命题以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有个．12．（5分）抛物线y=x2的焦点坐标是．13．（5分）一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是π，则这个三棱柱的体积为．14．（5分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则．”15．（5分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为．三．解答题16．（12分）已知直线l过点P（3，2）．（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l的方程．17．（12分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4与直线l：x+y﹣3=0，且直线l被圆C截得的弦长为2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当a＞0时，求过点（3，5）且与圆C相切的直线方程．18．（12分）已知函数：f（x）=ax2+x﹣a﹣1，a∈R，g（x）=﹣2x2﹣3x﹣2a （1）当a=2时，解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）＞g（x）对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．19．（12分）如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（1）证明EM⊥BF；（2）请在图中作出平面ABC与平面BEF的交线（不要求证明）（3）求平面BEF和平面ABC所成的锐二面角的正切值．20．（13分）甲乙两地相距s千米，一船由甲地逆水行驶至乙地，水速为常量p （单位：千米/小时）船在静水中的最大速度为q千米/小时（q＞p），已知轮船每小时的燃料费用（单位：元）与船在静水中的速度v （单位：千米/小时）的平方成正比，比例系数为k．（1）把全程燃料费用y（单位：元）表示为船在静水中的速度v的函数，并求出这个函数的定义域；（2）为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度为多少？21．（14分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．2014-2015学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题1．（5分）如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题【解答】解：¬（p或q）为假命题，则p或q为真命题所以p，q至少有一个为真命题．故选：C．2．（5分）如图所示，是一个空间几何体的三视图，则这个空间几何体是（）A．长方体B．球C．圆锥D．圆柱【解答】解：根据几何体的三视图中，主视图与侧视图相同，都是相等的矩形，俯视图是圆，得出该几何体是竖立的圆柱．故选：D．3．（5分）与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（））A．B．C．D．【解答】解：由题设知：焦点为a=，c=，b=1∴与椭圆共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是故选：B．4．（5分）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选：B．5．（5分）A、B是直二面角α﹣l﹣β的棱l上的两点，分别在α，β内作垂直于棱l的线段AC，BD，已知AB=AC=BD=1，那么CD的长为（）A．1B．2C．D．【解答】解：如图，由于此题的二面角是直角，且线段AC，BD分别在α，β内垂直于棱l，AB=AC=BD=1，作出以线段AB，BD，AC为棱的正方体，CD即为正方体的对角线，由正方体的性质知，CD==故选：D．6．（5分）命题：“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x+1＞0B．∀x∈R，x2﹣x+1≤0C．∃x∈R，x2﹣x+1＞0D．∃x∈R，x2﹣x+1≥0【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题得命题：“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，故选：A．7．（5分）与圆都相切的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【解答】解：圆C1即（x+1）2+（y﹣3）2=36，表示以C1（﹣1，3）为圆心，半径等于6的圆．C2（x﹣2）2+（y+1）2=1，表示以C2（2，﹣1）为圆心，半径等于1的圆．显然，|C1C2|==5，正好等于半径之差，故两个圆相内切，故和两个圆都相切的直线只有一条，故选：A．8．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=2x﹣y的最小值为（）A．6B．﹣6C．D．﹣7【解答】解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z取得最小值，由，解得，即C（1，8）．将C（1，8）的坐标代入z=2x﹣y，得z=2﹣8=﹣6，即目标函数z=2x﹣y的最小值为﹣6．故选：B．9．（5分）已知对k∈R，直线y﹣kx﹣1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，5）C．[1，5）∪（5，+∞）D．[1，5）【解答】解：直线y﹣kx﹣1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点，而点（0，1）在y轴上，所以，≤1且m＞0，得m≥1，而根据椭圆的方程中有m≠5，故m的范围是[1，5）∪（5，+∞），故选：C．10．（5分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB 为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4=0的距离为：d==，此时r=∴圆C的面积的最小值为：S min=π×（）2=．故选：A．二．填空题11．（5分）原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”．在原命题以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有2个．【解答】解：原命题中，c=0时不成立，故为假命题；逆命题为：“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”真命题，由原命题和其逆否命题同真假，故真命题个数为2答案：212．（5分）抛物线y=x2的焦点坐标是．【解答】解：∵抛物线y=x2，即x2=y，∴p=，=，∴焦点坐标是（0，），故答案为：（0，）．13．（5分）一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是π，则这个三棱柱的体积为 6 ．【解答】解：由πR 3=π，得R=1． ∴正三棱柱的高h=2．设其底面边长为a ，则a=1． ∴a=2．∴V=（2）2•2=6．故答案为：6．14．（5分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A ﹣BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则 S △ABC 2+S △ACD 2+S △ADB 2=S △BCD 2 ．”【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S △ABC 2+S △ACD 2+S△ADB2=S △BCD 2．故答案为：S △ABC 2+S △ACD 2+S △ADB 2=S △BCD 2． 15．（5分）设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2+=1（0＜b ＜1）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若|AF 1|=3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为 x 2+=1 ．【解答】解：由题意，F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），AF 2⊥x 轴，∴|AF 2|=b 2， ∴A 点坐标为（c ，b 2），设B （x ，y ），∵|AF 1|=3|F 1B |，∴=3，∴（﹣c ﹣c ，﹣b 2）=3（x +c ，y ），∴B （﹣c ，﹣b 2），代入椭圆方程可得，∵1=b2+c2，∴b2=，c2=，∴x2+=1．故答案为：x2+=1．三．解答题16．（12分）已知直线l过点P（3，2）．（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l的方程．【解答】解：（1）当直线经过原点时，可得直线方程为y=x．当直线不经过原点时，可设直线方程为x+y=a，把点（3，2）代入可得3+2=a，可得a=5．∴直线方程为x+y=5．综上可得直线方程为：y=x，x+y=5．（2）设直线的方程=1，把点P（3，2）代入可得．∴，化为ab≥24，当且仅当=，即a=6，b=4时取等号．∴△ABO的面积的最小值为=12，此时直线l的方程为=1．17．（12分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4与直线l：x+y﹣3=0，且直线l被圆C截得的弦长为2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当a＞0时，求过点（3，5）且与圆C相切的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得圆C的圆心为（a，2），半径为2，则圆心到直线的距离为，由勾股定理d2+2=4，解得a=3或a=﹣1（Ⅱ）当a=3时，圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=4．设切线的方程为y﹣5=k（x﹣3），由，解得所以所求切线方程为18．（12分）已知函数：f（x）=ax2+x﹣a﹣1，a∈R，g（x）=﹣2x2﹣3x﹣2a （1）当a=2时，解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）＞g（x）对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=2x2+x﹣3，由f（x）＞0，即（x﹣1）（2x+3）＞0，解得x＞1或x＜﹣．则解集为{x|x＞1或x＜﹣}；（2）若f（x）＞g（x）对一切x∈R恒成立，即有（a+2）x2+4x+a﹣1＞0，则当a=﹣2时，4x﹣3＞0，不恒成立；当a＞﹣2，则△=16﹣4（a+2）（a﹣1）＜0，解得a＞2或a＜﹣3．则a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）．19．（12分）如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（1）证明EM⊥BF；（2）请在图中作出平面ABC与平面BEF的交线（不要求证明）（3）求平面BEF和平面ABC所成的锐二面角的正切值．【解答】解：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM．又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，而EM⊂平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．又∵∠BAC=30°，AC=4，∴AB=2，BC=2，AM=3，CM=1．∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，=，∴FC⊥平面ABC．∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF，∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．而BF⊂平面MBF，∴EM⊥BF．（2）延长EF交AC于G，连BG，则BG即为平面ABC与平面BEF的交线．（3）过C作CH⊥BG，连接FH．由（1）知FC⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴FC⊥BG．而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH⊂平面FCH，∴FH⊥BG，∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，∴BM=AB•sin30°=，由==，得GC=2．∵BG==2，又∵△GCH∽△GBM，∴=，则CH===1．∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°，∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为．20．（13分）甲乙两地相距s千米，一船由甲地逆水行驶至乙地，水速为常量p （单位：千米/小时）船在静水中的最大速度为q千米/小时（q＞p），已知轮船每小时的燃料费用（单位：元）与船在静水中的速度v （单位：千米/小时）的平方成正比，比例系数为k．（1）把全程燃料费用y（单位：元）表示为船在静水中的速度v的函数，并求出这个函数的定义域；（2）为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度为多少？【解答】解：（1）由于船每小时航行的燃料费用是kv2，全程航行时间为，于是全程燃料费用y=kv2•，故所求函数是y=ks•（p＜v≤q），定义域是（p，q]．（2）y=ks•=ks[（v+p）+]=ks[v﹣p++2p]≥4ksp．其中取“=”的充要条件是v﹣p=，即v=2p．①当v=2p∈（p，q]，即2p≤q时，y min=f（2p）=4ksp．②当2p （p，q]，即2p＞q．任取v1，v2∈（p，q]且v1＜v2，则y1﹣y2=ks[（v1﹣v2）+（﹣）]=[p2﹣（v1﹣p）（v2﹣p）]．而p2﹣（v1﹣p）（v2﹣p）＞p2﹣（q﹣p）（q﹣p）=q（2p﹣q）＞0．∴y1﹣y2＞0．故函数y在区间（p，q]内递减，此时y（v）≥y（q）．即y min=y（q）=ks•．此时，船的前进速度等于q﹣p．故为使全程燃料费用最小，当2p≤q时，船的实际前进速度应为2p﹣p=p（千米/小时）；当2p＞q时，船的实际前进速度为q﹣p（千米/小时）．21．（14分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．【解答】解：（1）设椭圆方程为则，解得∴椭圆方程（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又∴l的方程为：由，∴x2+2mx+2m2﹣4=0∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，∴△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可设由x2+2mx+2m2﹣4=0可得x 1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4而====∴k1+k2=0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2014-2015学年第一学期高二年级期末考试数学理科试卷

2014-2015学年第一学期高二年级期末考试数学理科试卷（满分：150分,考试时间：120分钟）一、选择题，共12小题，每题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知()3sin3f x x x =，则()'1f = A. 3sin 33cos3+ B. 3sin 33cos3- C. 3sin 3cos3+ D. 3sin 3cos3-2. “()2,6m ∈”是“方程22126x y m m+=--为椭圆方程”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 命题：“若220x y +=，则0x =且0y =”的否定是A. 若220x y +=，则,x y 都不为零B. 若220x y +=，则,x y 至少有一个不为零C. 若220x y +≠，则,x y 都不为零D. 若220x y +≠，则,x y 至少有一个不为零4. 命题2:,10p x R x x ∃∈++<，命题:0,,sin 2q x x x π⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭，则下列命题正确的是 A. p q ∧ B. ()p q ⌝∨ C. ()()p q ⌝⌝∧ D. ()p q ⌝∧5. 若抛物线2y mx =的焦点与双曲线2213x y -=的左焦点重合，则这条抛物线的方程为A. 24y x =B. 24y x =-C. 2y =-D. 28y x =- 6. 双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的离心率为2，则其渐近线方程为A. y x =±B. y =C. y x =D. 3y x =±7. 已知四边形ABCD 为空间四边形，O 为空间中任意一点，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为线段BC 中点，则MN = A. 121232a b c -+ B. 211322a b c -++C. 111222a b c +-D. 221332a b c +- 8. 若椭圆221369x y +=的一条弦被点()4,2平分，则这条弦的方程是 A. 20x y -= B. 2100x y +-= C. 3100x y +-= D. 280x y +-=9. 曲线()ln 215y x =--上的点到直线230x y -+=的最短距离为A. B. C. D. 010. 过点()3,3A 与双曲线22:194x y C -=C 有且仅有一个交点的直线有 A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条11. 若A 点坐标为()1,1，1F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是椭圆上的动点，则1PA PF +的最小值为A. 2B. 5C. 6D. 612. 函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意x R ∈，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为A. (),1-∞-B. ()1,-+∞C. (),1-∞D. ()1,+∞二、填空题，共4小题，每题5分，共20分。

2014-2015第一学期高二期末考试理科数学试题

2015学年度第一学期高二年级期末教学质量检测理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在答题卷上。

2、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．非零实数b a ,,若b a >，则下列不等式正确的是 A 22b a > B ||||c b c a > Cb a a b > D ba ab 2211> 4．在ABC ∆中，角B A ,的对边分别为b a ,，若A b a sin 23=，则B 等于 A30 B60 C30或150 D60或120 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 6．.数列1，211+，3211++，43211+++，…，n+++ 211的前2015项的和A20152014 B 20154028 C 20152016 D 201640307．已知椭圆2215x y m +=的离心率e =，则m 的值为 A ．3 BCD ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为 A． BCD ．9．若数列}{n a 是等比数列，21a =，其前n 项和为n S ，则3S 的取值范围是A ]1,(-∞B ),1()0,(+∞-∞C ),3[+∞D ),3[]1,(+∞--∞10．如图，21F F 、是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，O 为坐标原点，P 是椭圆上的一点，且满足||2||21OP F F =，若21125F PF F PF ∠=∠，则椭圆的离心率为A 32B 63C 22二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分11．双曲线的一个焦点是)2 , 0(2F ，离心率2=e ，则双曲线的标准方程是．12．若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-01202022y y x y x ，则y x z +=2的最大值为 .13．已知数列}{n a 满足11-+=n n a a )1(>n ，其中5a ,8a ,10a 三项构成等比数列，则这个A 1C8题图等比数列的公比为 .14．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则|AB |＝______.15. 把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设,i j a （i 、j ∈*N ）是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如4,2a ＝8．若,i j a ＝2008，则i 、j 的值分别为________ ，__________三、解答题:本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2014-2015年山东省德州市高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2014-2015学年山东省德州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上．1．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞2”是“a＞1且b＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件2．（5分）如果a＞b，则下列各式正确的是（）A．a•2x＞b•2x B．ax2＞bx2C．a2＞b2D．a•lgx＞b•lgx3．（5分）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形4．（5分）设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值5．（5分）已知x、y满足约束条件，则z=2x+4y+5的最小值为（）A．﹣10B．﹣15C．﹣20D．﹣256．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，CA=CB=CC1=1，则直线A1B 与平面BB1C1C所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知双曲线=1的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线的右支于两点A、B，且有|AF1|+|BF1|=2|AB|，若△ABF1的周长为12，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．28．（5分）若正数x，y满足x+3y=xy，则3x+4y的最小值为（）A．24B．25C．28D．309．（5分）已知空间四边形OABC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在MN上，且，=，=，=，=x+y+z，则x的值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知a∈R，函数f（x）=﹣x2+（4a+2）x﹣a（a+2）lnx在（0，1）内有极值，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣2，0）∪（0，1）C．（﹣2，﹣）∪（﹣，1）D．（﹣2，1）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸的相应位置．11．（5分）计算dx=．12．（5分）在△ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，则cosB=．13．（5分）求和：=．14．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+ax+1＜0”的否定是真命题，则实数a的取值范围是．15．（5分）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足．如果直线AF的斜率为﹣，那么|PF|=．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）锐角△ABC中，边a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A，B满足sinAcosB+cosAsinB=，求：（Ⅰ）角C的大小；（Ⅱ）边c的长度及△ABC的面积．17．（12分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3=a5=9，等比数列{b n}满足0＜b n+1＜b n，b1+b2+b3=，b1b2b3=（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，试求数列{c n}的前n项和S n．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，0是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，直线SA和AO所成角的大小是45°．（Ⅰ）求证：直线SA∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角D﹣SB﹣C的余弦值．19．（12分）某公司因业务发展需要，准备印制如图所示的宣传彩页，宣传彩页有三幅大小相同的三个画面组成，每个画面的面积都是200cm2，这三个画面中都要绘制半径为5cm的圆形图案，为美观起见，每两个画面之间要留1cm 的空白，三幅画周围要留2cm页边距，如图，设一边长x，所选用的彩页纸张面积为S（Ⅰ）试写出所选用彩页纸张面积S关于x的函数解析式及其定义域（Ⅱ）为节约纸张，即使所选用的纸张面积最小，应选用长宽分别为多少的纸张？20．（13分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点是P（0，﹣1），且离心率为．圆C2：x2+y2=4，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中直线l1交圆C2于A，B两点，直线l2与椭圆C1的另一交点为D．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）求△ABD面积的最大值及取得最大值时直线l1的方程．21．（14分）已知函数f（x）=（x2+ax+2a﹣3）e2﹣x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）若曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线平行于x轴，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若a=2，g（x）=﹣x+m，且f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．2014-2015学年山东省德州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上．1．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞2”是“a＞1且b＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：若a＞1且b＞1时，a+b＞2成立．若a=0，b=3，满足a+b＞2，但a＞1且b＞1不成立，∴“a+b＞2”是“a＞1且b＞1”的必要不充分条件．故选：B．2．（5分）如果a＞b，则下列各式正确的是（）A．a•2x＞b•2x B．ax2＞bx2C．a2＞b2D．a•lgx＞b•lgx【解答】解：对于A．∵a＞b，2x＞0，∴a•2x＞b•2x，因此A正确．对于B．x=0时不成立；对于C．取0＞a＞b，不成立；对于D．取x=1，D不成立．故选：A．3．（5分）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰或直角三角形．故选：D．4．（5分）设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C选项是错误的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选：C．5．（5分）已知x、y满足约束条件，则z=2x+4y+5的最小值为（）A．﹣10B．﹣15C．﹣20D．﹣25【解答】解：根据约束条件画出可行域，b=2x+4y化为：y=﹣，要求z的最小值，就是y=﹣，在y轴上的截距最小值，由图得当b=2x+4y过点A（﹣，﹣）时，2x+4y取最小值﹣15．则z=2x+4y+5的最小值为：﹣10．故选：A．6．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，CA=CB=CC1=1，则直线A1B 与平面BB1C1C所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°∴A1C1⊥CC1，A1C1⊥B1C1，∵CC1∩B1C1，∴A1C1⊥面BCC1，∴直线A1B与平面BB1C1C所成角为∠A1BC1，∵CA=CB=CC1=1，AB=∴Rt△A1C1B中A1C1=1，A1B=，∴sin∠A1BC1==，故选：C7．（5分）已知双曲线=1的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线的右支于两点A、B，且有|AF1|+|BF1|=2|AB|，若△ABF1的周长为12，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=|BF1|﹣|BF2|=2a，可设|AF2|=m，|BF2|=n，则|AF1|=2a+m，|BF1|=2a+n，|AB|=|AF2|+|BF2|=m+n，由于|AF1|+|BF1|=2|AB|，即有4a+|AB|=2|AB|，则|AB|=4a，由△ABF1的周长为12，则有|AF1|+|BF1|+|AB|=12，3|AB|=12，即12a=12，解得a=1．则c===2，则e==2．故选：D．8．（5分）若正数x，y满足x+3y=xy，则3x+4y的最小值为（）A．24B．25C．28D．30【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=xy，∴．则3x+4y=（3x+4y）=13+≥13+2=25，当且仅当x=2y=5时取等号．∴3x+4y的最小值为25．故选：B．9．（5分）已知空间四边形OABC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在MN上，且，=，=，=，=x+y+z，则x的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，，=，，，，∴=，=，与=x+y+z比较，则x=．故选：C．10．（5分）已知a∈R，函数f（x）=﹣x2+（4a+2）x﹣a（a+2）lnx在（0，1）内有极值，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣2，0）∪（0，1）C．（﹣2，﹣）∪（﹣，1）D．（﹣2，1）【解答】解：函数f（x）=﹣x2+（4a+2）x﹣a（a+2）lnx的导数为f′（x）=﹣3x+（4a+2）﹣=，令g（x）=﹣3x2+（4a+2）x﹣a（a+2），由题意可得，g（x）=0在（0，1）内有解．若g（x）=0只有一解，则有g（0）g（1）＜0，即﹣a（a+2）（﹣a2+2a﹣1）＜0，解得﹣2＜a＜0；若g（x）=0有两解，则即有，解得0＜a＜1．当a=0时，f（x）=﹣x2+2x在x=处取得极大值，成立．综上可得a的取值范围是（﹣2，1）．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸的相应位置．11．（5分）计算dx=1．【解答】解：dx=lnx=lne﹣ln1=1．故答案为：1．12．（5分）在△ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，则cosB=．【解答】解：∵6sinA=4sinB=3sinC，∴由正弦定理可得6a=4b=3c∴b=，c=2a，由余弦定理可得cosB====．故答案为：．13．（5分）求和：=．【解答】解：，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=2（）=2×=2（1﹣）=．故答案：．14．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+ax+1＜0”的否定是真命题，则实数a的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：命题“∃x∈R，使x2+ax+1＜0”的否定是真命题，即命题“∀x∈R，使x2+ax+1≥0”是真命题，则判别式△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，故答案为：[﹣2，2]15．（5分）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足．如果直线AF的斜率为﹣，那么|PF|=8．【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，∴焦点F（2，0），准线l方程为x=﹣2，∵直线AF的斜率为﹣，直线AF的方程为y=﹣（x﹣2），由可得A点坐标为（﹣2，4）∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为4，代入抛物线方程，得P点坐标为（6，4），∴|PF|=|PA|=6﹣（﹣2）=8故答案为8三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）锐角△ABC中，边a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A，B满足sinAcosB+cosAsinB=，求：（Ⅰ）角C的大小；（Ⅱ）边c的长度及△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由sinAcosB+cosAsinB=，得sin（A+B）=…2分∵△ABC为锐角三角形，∴A+B=120°，∴∠C=60°…5分（Ⅱ）∵a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，∴a+b=2，ab=2…7分∴c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab=12﹣6=6…9分∴c=…10分=absinC==…12分∴S△ABC17．（12分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3=a5=9，等比数列{b n}满足0＜b n+1＜b n，b1+b2+b3=，b1b2b3=（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，试求数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}满足a1+a2+a3=a5=9，∴a2=3，==2，a1=3﹣2=1，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．＜b n，b1+b2+b3=，b1b2b3=，∵等比数列{b n}满足0＜b n+1∴0＜q＜1，b2=，∴，即3q2﹣10q+3=0，由0＜q＜1，解得q=，∴b1=1，b3=，∴b n=1×=（）n﹣1．（Ⅱ）∵c n=a n•b n=（2n﹣1）•（）n﹣1，∴S n=1•（）0+3•+5•（）2+…+（2n﹣1）•（）n﹣1，①S n=1•+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣1）•（）n，②①﹣②，得S n=1+2•[+（）2+（）3+…+（）n﹣1）=1+2×=1+1﹣，∴S n=3﹣．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，0是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，直线SA和AO所成角的大小是45°．（Ⅰ）求证：直线SA∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角D﹣SB﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接OE，∵四边形ABCD是正方形，∴OC=OA，又E是侧棱SC的中点，∴OE∥SA．又SA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴直线SA∥平面BDE；（II）解：建立如图所示的空间直角坐标系，∵∠SAO=45°．∴D，B，S，C．=，=，=．设平面SBC的法向量=（x，y，1），则，∴，取=（﹣1，1，1）．取平面SBD的法向量为=．===．∴二面角D﹣SB﹣C的余弦值为．19．（12分）某公司因业务发展需要，准备印制如图所示的宣传彩页，宣传彩页有三幅大小相同的三个画面组成，每个画面的面积都是200cm2，这三个画面中都要绘制半径为5cm的圆形图案，为美观起见，每两个画面之间要留1cm 的空白，三幅画周围要留2cm页边距，如图，设一边长x，所选用的彩页纸张面积为S（Ⅰ）试写出所选用彩页纸张面积S关于x的函数解析式及其定义域（Ⅱ）为节约纸张，即使所选用的纸张面积最小，应选用长宽分别为多少的纸张？【解答】解：（Ⅰ）设一边长xcm，则另一边长cm，∵这三个画面中都要绘制半径为5cm的圆形图案，∴，∴10≤x≤20，所选用彩页纸张面积S=（3x+6）（+4）=624+6（2x+）（10≤x≤20）；（Ⅱ）S=624+6（2x+）≥624+6×2=864，当且仅当2x=，即x=10时取等号，∴x=10时，所选用的纸张面积最小，此时，应选用长宽分别为36cm，24cm．20．（13分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点是P（0，﹣1），且离心率为．圆C2：x2+y2=4，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中直线l1交圆C2于A，B两点，直线l2与椭圆C1的另一交点为D．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）求△ABD面积的最大值及取得最大值时直线l1的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得b=1，e==，a2﹣c2=1，解得a=2，∴椭圆C1的方程为+y2=1；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．又圆C2：x2+y2=4的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|=2=2，又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得x0=﹣，∴|PD|=．=|AB|•|PD|=，∴三角形ABD的面积S△令4+k2=t＞4，则k2=t﹣4，f（t）===≤，∴S≤，当且仅当t=，即k2=，当k=±时取等号，△故△ABD面积的最大值为，此时直线l1的方程为y=±x﹣1．21．（14分）已知函数f（x）=（x2+ax+2a﹣3）e2﹣x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）若曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线平行于x轴，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若a=2，g（x）=﹣x+m，且f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（x2+ax+2a﹣3）e2﹣x，∴f′（x）=[﹣x2+（2﹣a）x+3﹣a]e2﹣x=（﹣x﹣1）（x+a﹣3）e2﹣x，∵曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线平行于x轴，∴曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为k=f′（2）=（﹣2﹣1）（2+a﹣3）e2﹣2=0，∴a=1，（Ⅱ）令f′（x）=0，得x1=﹣1，x2=3﹣a，①若a＜4，当x＜﹣1，或x＞3﹣a时，f′（x）＜0，当﹣1＜x＜3﹣a时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1]，[3﹣a，+∞），单调递增区间为[﹣1，3﹣a]，②若a=4，f′（x）=﹣（x+1）e2﹣x≤0，且仅当x=﹣1时，f′（﹣1）=0，∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞），③若a＞4时，当x＜3﹣a，或x＞﹣1时，f′（x）＜0，当3﹣a＜x＜﹣1时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，3﹣a]，[﹣1，+∞），单调递增区间为[3﹣a，﹣1]，（Ⅲ）当a=2时，f（x）=（x2+2x+1）e2﹣x，由（Ⅱ）可知，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞），单调递增区间为[﹣1，1]，∴f（x）在x=﹣1处取得极小值f（﹣1）=0，在x=1处取得极大值f（1）=4e，∵g（x）=﹣x+m，∴g′（x）=x2﹣1．当x＜﹣1或x＞1时，g′（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，g′（x）＜0．∴g（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增，在[﹣1，1]单调递减，在[1，+∞）上单调递增，∴g（x）在x=0处取得极大值g（﹣1）=m+，在x=1处取得极小值g（1）=m ﹣．∵函数f（x）与函数g（x）的图象有3个不同的交点，∴，∴﹣＜m ＜4e +，赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义yxo①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题

2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若A={x|错误！未找到引用源。

}，则（）A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.3∈A2.函数的定义域是（） A. B. C. D.3.不等式错误！未找到引用源。

的解集是（）A.错误！未找到引用源。

B 错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.{x|x≥4}4．对于直线a ,b ,l ,以及平面α，下列说法中正确的是（）A.如果a ∥b , a ∥α，则b ∥αB. 如果a ⊥l , b ⊥l ，则a ∥bC. 如果a ∥α, b ⊥a ，则b ⊥αD. 如果a ⊥α,b ⊥α，则a ∥b5.已知平面向量)1,3(=a ，)3,(-=x b ，且b a ⊥，则x 的值为（）A.－3B.-1C.1D.36.若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示,体积是（）A.32cmB.34cmC.36cmD.312cm 7.已知()3cos 5πα-=-，则cos 2a =( ) A ．1625 B ．1625- C ．725 D ．725- 8.已知数列{}n a ，满足,3,321=-=-a a a n n 错误！未找到引用源。

则9a = ( )A ．18 B.24 C.错误！未找到引用源。

18 D.错误！未找到引用源。

219.将函数)32sin(π+=x y 的图象先向右平移6π个单位长度，然后将所得图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（）A ．x y cos -= B.x y 4sin = C. x y sin = D. )6sin(π-=x y正视图侧视图俯视图(第6题)10.已知x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则y x 24+的最小值为（）A.5B.-5C.12D.-1211.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为（）A. B.8πC. D.4π12.函数x x x f sin )(-=的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2014-2015年河南省周口市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

2014-2015学年河南省周口市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x＞0}，B={x|x2＜2}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．∃x0＞0，x02+x0＞0B．∃x0＞0，x02+x0≤0C．∀x＞0，x2+x≤0D．∀x≤0，x2+x＞03．（5分）已知实数1，m，9成等比数列，则圆锥曲线=1的离心率为（）A．B．2C．或2D．或4．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞5．（5分）已知△ABC的三个内角分别是A、B、C，那么“sinA＞cosB”是△ABC为锐角△的（）A．必要而不充分条件B．充要条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）在等差数列{a n}中，若a2+a3=4，a4+a5=6，则a9+a10=（）A．9B．10C．11D．127．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=x，抛物线y2=24x的准线经过双曲线C的一个焦点，则双曲线C的离心率为（）A．2B．3C．2D．8．（5分）已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）9．（5分）已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且⊥面ABC，则=（）A．（，﹣，﹣4）B．（，﹣，﹣3）C．（，﹣，4）D．（，﹣，﹣3）10．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=2.2a+b=8，则的最大值为（）A．2B．3C．4D．log2311．（5分）在直角坐标系xOy中，一个质点从A（a 1，a2）出发沿图中路线依次经过B（a3，a4），C（a5，a6），D（a7，a8），…，按此规律一直运动下去，则a2013+a2014+a2015=（）A．1006B．1007C．1008D．100912．（5分）在△ABC中，tanA=，cosB=．若最长边为1，则最短边的长为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）抛物线y=2x2的焦点坐标是．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1．若a1=1，且对任意的n∈N+都有a n+2+a n+1﹣2a n=0，则S5=．15．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m．16．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R”，使“x2+2ax+2﹣a=0”，若命题P且q是假命题，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边依次为a，b，c，已知α=bcosC+csinB．（1）求角B；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F2（1，0）的直线l交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M、Q不重合），求证：直线MQ过x轴上一个定点．21．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，点E 是SC上任意一点．（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面SAC；（Ⅱ）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；（Ⅲ）当的值为多少时，二面角B﹣SC﹣D的大小为120°．22．（12分）如图所示，椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；（ⅱ）求△AMN面积的最大值．2014-2015学年河南省周口市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x＞0}，B={x|x2＜2}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：∵集合A={x|x2﹣x＞0}={x|x＞1或x＜0}，B={x|x2＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴A∪B=R．故选：B．2．（5分）命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．∃x0＞0，x02+x0＞0B．∃x0＞0，x02+x0≤0C．∀x＞0，x2+x≤0D．∀x≤0，x2+x＞0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定为：∃x0＞0，x02+x0≤0．故选：B．3．（5分）已知实数1，m，9成等比数列，则圆锥曲线=1的离心率为（）A．B．2C．或2D．或【解答】解：∵1，m，9构成一个等比数列，∴m2=1×9，则m=±3．当m=3时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，它的离心率是=；当m=﹣3时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，它的离心率是=2．则离心率为或2．故选：C．4．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞【解答】解：A．c=0时不成立；B．∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，正确；C．取a=﹣1，b=﹣2时，=﹣1，=﹣，则＞不成立；D．若a＞b＞0，则＜，因此不正确．故选：B．5．（5分）已知△ABC的三个内角分别是A、B、C，那么“sinA＞cosB”是△ABC为锐角△的（）A．必要而不充分条件B．充要条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当A=，B=时，满足sinA＞cosB，但此时△ABC是直角角三角形，∴△ABC是锐角三角形不成立．当△ABC为锐角三角形时，A+B＞，A＞，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，故sinA＞cosB成立．∴“sinA＞cosB”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，故选：A．6．（5分）在等差数列{a n}中，若a2+a3=4，a4+a5=6，则a9+a10=（）A．9B．10C．11D．12【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a3=（a1+d）+（a1+2d）=2a1+3d=4①，a4+a5=（a1+3d）+（a1+4d）=2a1+7d=6②，∴②﹣①得：4d=2，解得：d=，把d=代入①，解得：a1=，则a9+a10=（a1+8d）+（a1+9d）=2a1+17d=2×+17×=11．故选：C．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=x，抛物线y2=24x的准线经过双曲线C的一个焦点，则双曲线C的离心率为（）A．2B．3C．2D．【解答】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6，所以由题意知，点F（﹣6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，①又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以=，②由①②解得a2=9，b2=27，所以双曲线的离心率为==2．故选：A．8．（5分）已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）【解答】解：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a，则a，故选：C．9．（5分）已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且⊥面ABC，则=（）A．（，﹣，﹣4）B．（，﹣，﹣3）C．（，﹣，4）D．（，﹣，﹣3）【解答】解：∵=（1，5，﹣2），=（3，1，z），⊥，∴3+5﹣2z=0，解得z=4，∴=（3，1，4），∵=（x﹣1，y，﹣3），且⊥面ABC，∴，解得x﹣1=，y=﹣，∴=（，﹣，﹣3）．故选：D．10．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=2.2a+b=8，则的最大值为（）A．2B．3C．4D．log23【解答】解：∵a x=b y=2，∴x=log a2，y=log b2∴，∴=log2a+log2b=log2ab，∵2a+b=8≥，∴ab≤8（当且仅当2a=b时，取等号），∴≤log28=3，即的最大值为3．故选：B．11．（5分）在直角坐标系xOy中，一个质点从A（a1，a2）出发沿图中路线依次经过B（a3，a4），C（a5，a6），D（a7，a8），…，按此规律一直运动下去，则a2013+a2014+a2015=（）A．1006B．1007C．1008D．1009【解答】解：由直角坐标系可知A（1，1），B（﹣1，2），C（2，3），D（﹣2，4），E（3，5），F（﹣3，6），即a1=1，a2=1，a3=﹣1，a4=2，a5=2，a6=3，a7=﹣2，a8=4，…，由此可知，所有数列偶数个都是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的个数除以2，则a2014=1007，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第1奇数和第2个奇数是互为相反数，且从﹣1开始逐渐递减的，则2014÷4=503余2，则a2013=504，a2015=﹣504，a2013+a2014+a2015=504+1007﹣504=1007．故选：B．12．（5分）在△ABC中，tanA=，cosB=．若最长边为1，则最短边的长为（）A．B．C．D．【解答】解：由条件知A．B都是小于，所以角C最大，又tanB=，B最小，由得，，所以最短边长为．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）抛物线y=2x2的焦点坐标是（0，）．【解答】解：抛物线y=2x2的方程即x2=y，∴p=，故焦点坐标为（0，），故答案为：（0，）．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1．若a1=1，且对任意的n∈N+都有a n+2+a n+1﹣2a n=0，则S5=11．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且对任意的n∈N+都有a n+2+a n+1﹣2a n=0，∴a n q2+a n q=2a n ，即q2+q=2，解得q=﹣2，或q=1（舍去）．∴S5==11，故答案为11．15．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=150m．【解答】解：△ABC中，∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=100，∴AC==100．△AMC中，∵∠MAC=75°，∠MCA=60°，∴∠AMC=45°，由正弦定理可得，解得AM=100．Rt△AMN中，MN=AM•sin∠MAN=100×sin60°=150（m），故答案为：150．16．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R”，使“x2+2ax+2﹣a=0”，若命题P且q是假命题，则实数a的取值范围是{a|a＞﹣2且a≠1}．．【解答】解：命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，a≤1；命题q：“∃x∈R”，使“x2+2ax+2﹣a=0”，所以△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，所以a≥1或a≤﹣2；命题P且q是假命题，两个至少一个是假命题，当两个命题都是真命题时，，解得{a|a≤﹣2或a=1}．所以所求a的范围是{a|a＞﹣2且a≠1}．故答案为：{a|a＞﹣2且a≠1}．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．…（2分）由，得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．…（4分）若p∧q为真，则p真且q真，…（5分）所以实数x的取值范围是2＜x＜3．…（7分）（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．…（14分）18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）在2S n=a n+1﹣2n+l+1中，令n=1得：2S1=，即a2=2a1+3 ①令n=2得：，即a3=6a1+13 ②又2（a2+5）=a1+a3 ③联立①②③得：a1=1；（2）由2S n=a n+1﹣2n+l+1，得：，两式作差得，又a1=1，a2=5满足，∴对n∈N*成立．∴．∴．则．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边依次为a，b，c，已知α=bcosC+csinB．（1）求角B；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵a=bcosC+csinB，由正弦定理可得sinA=sinBcosC+sinCsinB，∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB，∴cosBsinC=sinCsinB，∵sinC≠0，∴tanB=，∵B∈（0，π），∴．（2）∵22=b2=a2+c2﹣2accosB≥2ac﹣2ac×=ac，∴ac≤4，当且仅当a=c=b=2时取等号．∴△ABC面积==，即面积的最大值为．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F2（1，0）的直线l交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M、Q不重合），求证：直线MQ过x轴上一个定点．【解答】（本题满分（12分），第（1）问（3分），第（2）问9分）解：（1），所以椭圆的方程为；…（3分）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x2，﹣y2），l：y=k（x﹣1），代入整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由韦达定理可得：，，…（6分）MQ的方程为令y=0，得代入，，x===2．得x=2，所以直线过定点（2，0）…（12分）21．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，点E 是SC上任意一点．（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面SAC；（Ⅱ）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；（Ⅲ）当的值为多少时，二面角B﹣SC﹣D的大小为120°．【解答】解：证明（Ⅰ）∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵SA⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴SA⊥BD，∵SA∩AC=A，∴BD⊥面SAC，又∵BDÌ面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC；（4分）解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BD⊥面SAC，又∵BD⊂面SBD，∴平面SBD⊥平面SAC，设AC∩BD=O，则平面SBD∩平面SAC=SO，过A作AF⊥SO交SO于点F，则AF⊥面SBD，所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离．∵ABCD是正方形，AB=2，∴AO=，又∵SA=4，△SAO是Rt△，∴SO=，∵SO×AF=SA×AO，∴AF=，∴点A到平面SBD的距离为；（9分）解：（Ⅲ）作BM⊥SC于M，连接DM，∵SA⊥底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，∴∠BMD是二面角B﹣SC﹣D的平面角，BM=DM．（11分）要使∠BMD=120°，只须，即BM2=，而BD2=2AB2，∴BM2=AB2，∵BM×SC=SB×BC，SC2=SB2+BC2，∴BM2×SC2=SB2×BC2，∴AB2（SB2+BC2）=SB2×BC2，∵AB=BC，∴2SB2+2AB2=3SB2，∴SB2=2AB2，又∵AB2=SB2﹣SA2，∴AB2=SA2，∴，故当时，二面角B﹣SC﹣D的大小为120°．（14分）22．（12分）如图所示，椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；（ⅱ）求△AMN面积的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），∴c=1，又∵椭圆C：过点∴，解得b2=3，a2=4，所以椭圆C的方程为…（3分）（2）（i）证明：由题意得F（1，0）、N（4，0）．设A（m，n），则B（m，﹣n）（n≠0），AF与BN的方程分别为：n（x﹣1）﹣（m﹣1）y=0，n（x﹣4）+（m﹣4）y=0．设M（x0，y0），则有n（x0﹣1）﹣（m﹣1）y0=0，且n（x0﹣4）+（m﹣4）y0=0．由上得x0=，y0=…（6分）由于=+===1所以点M恒在椭圆C上．…（8分）（ⅱ）解：设AM的方程为x=ty+1，代入，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0设A（x1，y1）、M（x2，y2），则有y1+y2=，y1•y2=，．|y1﹣y2|==．…（10分）令=λ（λ≥1），则|y1﹣y2|==因为函数y=3λ+在[1，+∞）为增函数，所以当λ=1即t=0时，函数y=3λ+有最小值4．即t=0时，|y1﹣y2|有最大值3，△AMN的面积S△AMN=|NF|•|y1﹣y2|有最大值．…（13分）。

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X
Y
C
B
A 东阿实验高中2015-2016学年高二上学期期末【理科】数学试题（一）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.
一、选择题（每小题只有一个正确选项；每小题5分，共50分） 1．数列0，-1，0，1，0，-1，0，1，…的一个通项公式是( )
A.2
1
)1(+-n B.cos 2
πn
C.cos
2)1(π+n D.cos 2
)2(π
+n 2. 抛物线2
4y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的横坐标是（）
A.
1716 B. 1516 C. 7
8
D. 0 3. 设a R ∈，则1a >是1
1a
< 的（）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4. 已知向量a =（x,-2,5）和b =(1,y ，-3)平行，则xy 为 ( )
A ．1
B . -2
C .3
D . 4 5．在ABC ∆中,8,60,75a B C ︒
︒
===,则b =( ) A ．42 B ．43 C ．46 D ．
323
6．在等比数列11
29
119753,243,}{a a a a a a a a n 则若中=的值为（）
A ．9
B ．1
C ．2
D ．3 7．给出平面区域如图所示，其中A （1，1），B （2，5），C （4，3），若使目标函数
(0)Z ax y a =->取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 ( )
A ．
32
B ． 1
C ． 4
D ． 2
3 8．在ABC ∆中,若cos 4
cos 3
A b
B a ==,则AB
C ∆是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰或直角三角形
D ．钝角三角形
9．四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为矩形，AB ＝1，AD ＝2，13AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒，
则1AC 的长为( )
A ． 42
B ． 23
C ．23
D ．32
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（把答案写在答题卡的横线上；每小题5分，共25分）
11．三角形两条边长分别为 3 cm,5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2
-7x-6=0的根，则此三角形的面积是___________. 12．数列{}n a 的通项公式为249n a n =-，n s 达到最小时，n 等于_______________.
13．若点P 到点)0,4(F 的距离比它到直线05=+x 的距离少1，则动点P 的轨迹方程是_______________. 14. 已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是_______________.
三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分）
给定两个命题, P ：对任意实数x 都有012
>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程02
=+-a x x 有
实数根.如果P ∨Q 为真命题，P ∧Q 为假命题，求实数a 的取值范围．
17．（本小题满分12分）
18．(本小题满分12分)
如图，直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，
13AC AA ==，∠ABC =600.
(Ⅰ)证明：1AB A C ⊥；（Ⅱ）求二面角A —1A C —B 的余弦值。

19. （本小题满分12分）
某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最佳使用年限是多少年？（年平均费用最低时为最佳使用年限），并求出年平均费用的最小值 C B
A
C 1
B 1
A 1
20．（本小题满分13分）
(Ⅱ)设n
n n
b c a =
，求数列{}n c 的前n 项和n T .
21．（本小题满分14分）
已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率2
2
=
e ，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为.2 （I ）求椭圆的标准方程；
（II ）已知直线l 与椭圆相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ .试探究点O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由。