_教与数学对应_原理的实践_对_函数单调性_教学设计的思考_涂荣豹

第13卷第4期 数 学 教 育 学 报 V ol.13, No.4

2004年11月

JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION

Nov., 2004

收稿日期：2004–10–06

作者简介：涂荣豹（1947—），男，江苏南京人，教授，博士生导师，全国高师数学教育研究会副理事长，江苏省数学教育研究会理事长，南京数学学会秘书长，主要从事数学教育研究．

“教与数学对应”原理的实践

——对“函数单调性”教学设计的思考

涂荣豹

（南京师范大学 数学与计算机科学学院，江苏 南京 210097）

摘要：教育理论的意义在于应用，按照“教与学对应”和“教与数学对应”的原理（详见文[1]），对中学数学“函数单调性”内容进行教学设计和评析是十分有意义的．在教学过程中应采用概念形成的7阶段模式，情境设计应以突出本质特征来引导学生实现对函数单调性意义的建构，引导学生循序渐进地用数学形式化语言完成对动态数学对象进行刻画．对教育理论的议论应该适可而止，把理论融入教育实践是当务之急．

关键词：函数单调性；本质特征；概念形成；教学情境；行动研究

中图分类号：G424.1 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2004）04–0005–05 “函数单调性”既是一个重要的数学概念，又是函数的一个重要的性质，在中学数学内容里占有十分重要的地位．目前中学对这个内容普遍采用照字面意义讲解定义的方法，以教师讲解为主，虽然也有启发引导，但总体上缺少学生的主动活动，特别是缺少学生自己的思维构造，本质上是缺少一个“建构”的过程．这种方法的教学，不排除一部分学生能够实现有意义学习，但对大多数学生来说，只能进行机械学习——记住意义和模仿式运用．其实，对于如何用探究的方法“函数单调性”进行建构学习，让学生经历思维构造的过程，一些中学教师很关注，向往解决，乃至尝试，但不尽人意，感觉较难处理，有待突破．

怎么解决？在对这个课题进行专门的案例研究的基础上，本文拟就该课题的解决方案提出一个设计的构想．（由于同一地区教学进度同步，因此此案例研究持续3年，在不同层次中学、对不同层次教师听课超过10次，部分课录像．）

1 对函数单调性教学的基本认识

在这个内容之前，已经教学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的变量定义和映射定义，以及函数的表示．对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，也已经形成初步认识．接踵而来的任务是对函数应该继续研究什么．在数学研究中，建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征，即共同属性或不变属性．对各种函数模型而言，就是研究它们所描述的运动关系的变化规律，也就是这些运动关系在变化之中的共同属性或不变属性，即“变中不变”的性质．按照这种科学研究的思维方式，使得当前来讨论函数的一些性质，就成为顺理成章的、必要的和有意义的数学活动．至于在多种函数性质中，选择这个时机来讨论函数的单调性而不是其它性质，是因为函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质．

这样就形成了课题提出的契机．作为教学活动的第一环节，课题的提出应该是自然的，学生容易产生共鸣的，当然由学生自己发现并提出学习的课题更是再好不过．由以上的

分析来看，这是能够办到的．

一般说，对函数单调性的建构有两个重要过程：一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述．对函数单调性的意义，学生通过对若干函数图像的观察并不难认识，因此前一过程的建构学习相对比较容易进行．后一过程的进行则有相当的难度，其难就难在用数学的语言来描述函数单调性的定义时，如何才能最大限度地通过学生自己的思维活动来完成．这其中有两个难点：

（1）“x 增大”如何用符号表示；同样“ f (x )增大”如何用符号表示．

（2）“‘随着’x 增大，函数f (x )‘也’增大”，如何用符号表示．

用数学符号描述这两种数学意义的最大要害之处，在于要用数学的符号来描述动态的数学对象．

在初中数学中，除了学习函数的初级概念，用y=f (x )表示函数y 随着自变量x 的变化而变化时，接触到很少一点动态数学对象的数学符号表示以外，绝大多数都是用数学符号表示静态的数学对象．因此，从用静态的数学符号描述静态数学对象，到用静态的符号语言刻画动态数学对象，在思维能力层次上存在重大差异，对刚刚由初中进入高中学习的学生而言，无疑是一个很大的挑战．这也是这个教学难点难以突破的根本原因之所在．

因此，在“函数单调性”教学时，这些疑难之处就成为创设情境要重点解决的对象．

2 “函数单调性”的教学设计

这里采用“概念形成”的概念学习方式来设计函数单调性的教学，一方面是体现现代教育理论对数学教学的指导作用，一方面是始终围绕解决“函数单调性”这个真正数学问题的教与学这个中心，是对“教与学对应”及“教与数学对应”数学教育研究二重原理运用的一个积极尝试．

下文简述设计内容，并作扼要评述．

6 数 学 教 育 学 报 第13卷

基本思想：教学设计以现代教育理论为指导，按照概念形成的概念教学方式，对函数单调性的内容进行教学设计．设计致力于以思维建构知识的意义、认识科学研究方法和发展学生思维为目标，展示知识的形成过程，强调教师创造性地设置教学情境，突出学生主动学习过程和再创造数学的活动．

课题提出：为的是让学生明白为什么要学习函数的单调性．（前文对此已进行了阐述）

在每一个数学内容教学之始，首先应该问一问学生：“今天应该研究什么问题？”也就是解决“为什么要学习这个内容”“怎么会想到要研究这个内容”的问题．但是现实的数学教学中，教师注意力一般都放在“具体内容是什么”上[2]．这就容易造成学生只知道吸纳知识，而不知道为什么要吸纳这个知识，实际是不知道提出问题．突出课题的提出，实际是重视科学研究思想和方法的蕴涵和渗透，任何科学研究都是从问题开始的，因此首先要想到问题、提出问题，没有问题就没有问题的解决．这也是数学由来的重要方面．

创设情境：用多媒体技术设计函数动态变化的态势，让学生对图像的各种变化以及相关联的方面得到充分感知．情境中包括若干个函数的图像：一次函数、简单二次函数，某地某日全天气温变化图，及上述图像按特定需要的动态变化．其中有：图像上升或下降的运动，x 轴上运动中两点及其对应函数图形位置变化的比较，某单调区间内x 与f (x )对应数值表等．所展示的函数图像中各种变化尽量体现函数单调性各种本质特征，并潜藏着能够排除非本质属性干扰的各种情况，使学生能够通过对生动情境的感知，获得丰富的表象和信息，产生众多的联想．

就数学内容本身的教学而言，学习和掌握这个数学内容的本质是第一位的．因此教学情境的创设，关键是要能揭示数学本质．创设教学情境可以有不同方法，对于与运动变化有关的数学对象，利用多媒体技术来创设相关的情境，其优势在于能够生动直观地展示数学对象运动的过程，揭示对象各种变化的特征，这利于学生在情境中获取学习对象丰富的表象，把握数学对象的本质属性．情境的创设还需要重视与实际问题的联系．

刺激阶段：向学生展示函数图像动态变化过程（如图1~4所示），让学生充分观察各个函数图像的变化，并组织学生讨论，图形演示次数可多一些，语言解释可尽量少一些，尤其是那些需要学生自己发现的特点一定要留给学生，让学生自己观察思考．这样做不仅是体现数学建构主义学习的主要特征，而且可以培养观察、联想、比较、分析、综合、抽象、概括的一般思维方法，体验和感悟数学思维方法的精神．

图1 某地某天气温变化 图2 y =

x +2

图3 y = x 2 图4 y=x 2在(0, +

∞)取值 辨析阶段：在观察以上几个函数图像动态变化的基础上，对它们进行多视角的比较，进而分析每个图像各自的特点，从中寻找它们的相同点和不同点．

认知心理学的研究表明，一个人是通过外部线索（刺激或某些特点）与内部的中介过程（含义、思想或观念）之间的联结而形成知觉和概念的

[3]．在创设函数单调性教学的情境里，知觉中不同“函数图像”和“函数图像的变化态势”都是外部刺激，图像的动态变化把这些需要学生认识的特点突出出来，从而使这些外部刺激及其所引起的相应的“一段区间上‘上升’或‘下降’”的含义、概念，通过知觉的内部神经过程或脑过程而联结起来，一步一步向着情境设计的目标接近，最终达到所期望的目标．

分化阶段：让学生充分观察讨论，提出自己的意见，相互争鸣，分化出这些图形相对共同的某种性质或特征．

提出结论:图1函数定义域为0~20以内的数；在(0, 12)上图像上升；在(12, 16)上图像下降；在(16, 18)上图像上升；(18, 20)上图像下降．

图2 x ∈R ，函数y=x +2图像始终是上升的，即函数图像在整个定义域(－∞, +∞)上都是上升的．

图3 x ∈R ，y ≥0，函数y=x 2图像左半支(－∞, 0)上下降；函数图像右半支(0, +∞)上上升．

图4函数y=x 2在(0, +∞)上，x 取值增大，对应函数值也增大．

很多学生对于用数学语言表述“左、右半支”的含义存在不同程度的困难．因为在初中类似的学习很少或者不明显，因而不能适应这种用数学符号对直观图形的表示．学生在抽取性质时，表述常常不很到位，其中有的是语言组织不当，有的是理解存在缺陷．这时学生之间的讨论、补充、修正很重要，需要耐心地通过学生自身的合作交流达成相对准确的表述．

讨论问题：针对讨论中“上升”“下降”“增大”“减小”的不一说法．引导学生讨论一个生活中问题：学校和鼓楼之间的坡路是上坡还是下坡？（有的学生说是上坡，有的学生说下坡）

让学生根据所出现的不同说法，来提出和思考自己的问题——“为什么说法不同？”从而认识到：究竟上升还是下降要看方向，所以需要首先在方向上取得同一思想．

让学生探讨一系列的问题是必要的．问题最好由学生自己提，或者教师引导、启发学生提出，不排除教师提出．根本的前提是教师决不要代替学生，即使问题由教师提出，也要等到学生在教师的启发下有问想问而不知怎么问的时候．其正所谓“不启不发”，“启”到一定的火候，“发”也

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