平面向量的数量积习题2
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向量数量积习题
1．(2009年高考全国卷Ⅰ)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )
A ．150°
B ．120°
C ．60°
D ．30°
3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，
则a 与c 的夹角为( )
A ．30°或150°
B ．60°或120°
C ．120°
D ．150°
4．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －(a ·a a ·b
)b ，则向量a 与c 的夹角为( )
A ．0 B.π6
C.π3
D.π2
5.设A (a,1)，B (2，b )，C (4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA
→与OB →在OC →方向上的投影相等，则a 与b 满足的关系式为( ) A ．4a －5b ＝3 B ．5a －4b ＝3
C ．4a ＋5b ＝14
D ．5a ＋4b ＝14
6．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC
→＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
7．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP →·BP
→有最小值，则P 点的坐标是________．
8．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：
①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0
②|a |－|b |<|a －b |；
③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；
④非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°.
其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
9．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．
10．已知|a |＝3，|b |＝2.
(1)若a 与b 的夹角为150°，求|a ＋2b |；
(2)若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角大小．
11.(2009年高考湖北卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)．
(1)求向量b ＋c 的长度的最大值；
(2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．
12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知m ＝(cos 3A 2，sin 3A 2)，n ＝(cos A 2，sin A 2)，且满足|m ＋n |＝ 3.
(1)求角A 的大小；
(2)若|AC
→|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状．
向量数量积习题
1．(2009年高考全国卷Ⅰ)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )
A ．150°
B ．120°
C ．60°
D ．30°
解析：选B.∵a ＋b ＝c ，
∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.
又|a |＝|b |＝|c |，
∴2a ·b ＝－b 2，
即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.
∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.
3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，
则a 与c 的夹角为( )
A ．30°或150°
B ．60°或120°
C ．120°
D ．150°
解析：选C.由题意容易得出向量a 、b 共线，且向量a 与向量a ＋b 的夹角为π，可设向量a ＋b 与向量c 的夹角为α，则(a ＋b )·c ＝|a
＋b |·|c |·cos α＝5cos α＝52，所以cos α＝12，α＝60°，则向量a 与向量c
所夹的角应为120°.答案为C.
4．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －(a ·a a ·b
)b ，则向量a 与c 的夹角为( )
A ．0 B.π6
C.π3
D.π2
解析：选D.∵a ·c ＝a ·[a －(a ·a a ·b )b ]＝a ·a －(a ·a a ·b
)(a ·b )＝0. ∴a ⊥c ，故选D.
5.设A (a,1)，B (2，b )，C (4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA
→与OB →在OC →方向上的投影相等，则a 与b 满足的关系式为( ) A ．4a －5b ＝3 B ．5a －4b ＝3
C ．4a ＋5b ＝14
D ．5a ＋4b ＝14
解析：选A.由投影计算公式可得：OA →·OC →|OC →|＝OB →·OC →|OC →|
， 即：4a ＋5＝8＋5b ，即4a －5b ＝3，故选A.
6．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC
→＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC
→＝|AC →|2， 得AC →·(BC
→＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(BC
→＋BA →＋CA →)＝0， ∴AC →·2BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴∠A ＝90°.
7．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP →·BP
→有最小值，则P 点的坐标是________．
解析：设P (x,0)，则AP
→＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． 因此，AP →·BP
→＝(x －4)(x －2)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. ∴当x ＝3时，AP →·BP
→取得最小值1，此时P (3,0)． 答案：(3,0)
8．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：
①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0
②|a |－|b |<|a －b |；
③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；
④非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
解析：平面向量的数量积不满足结合律，故①假；由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，而三角形的两边之差小于第三边，故②是真命题．因为[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )a ·c －(c ·a )b ·c ＝0，所以垂直，故③假．
由|a |＝|b |＝|a －b |，再结合平行四边形法则可得a 与a ＋b 的夹角为30°，命题④错误．
答案：②