平面向量的几何表示法

F
E
B
課本頁次：151
b
D
C
例6 已知 D, E , F 分別為△ABC 三邊 BC, CA, AB
的中點,令 BF a , BD b ,
試用 a 與 b 表示下列各向量： (2) BE
解： BE BF BD
a b
A F
a
a b
E
B
課本頁次：151
b
D
C
例6 已知 D, E , F 分別為△ABC 三邊 BC, CA, AB
的中點,令 BF a , BD b ,
試用 a 與 b 表示下列各向量： (1) AD 2 a b
(3) AD 2 BE 解： AD 2 BE ( 2 a b ) 2( a b )
2 a b 2 a 2 b
3 b
課本頁次：151
(2) BE a b
a c
c
b
A
a c
a
課本頁次：144
向量加法性質
(1) 交換律
a b AB BC AC ,
D
C
a b
b
B
b
A
課本頁次：145
a
向量加法性質
(1) 交換律： a b b a
a b AB BC AC ,
b a AD DC AC .
D
a
C
b
c a . c
a
課本頁次：148
隨4 已知 ABCD 為四邊形,令 a AB, b AD,
c AC , 試將下列各向量以 a , b 和 c 表示：
(3) CD 解： (3) CD AD AC
b c .
b c
課本頁次：148
丙、向量的係數積
（一）向量的係數積
A, B, C 是共線的三點, a AB BC
C
AB
課本頁次：147
A
B
向量加法性質
向量的拆解
設 A, B, C 為任意三點.向量 AB 可作拆解如下：
(1) AB AC CB
C
(2) AB CB CA .
C
A
課本頁次：147
B
A
B
例3 已知 ABCD 為四邊形,化簡下列各式：
(1) AB BC CD DA .
(2) 若 a 0
,則 r a 0
課本頁次：149
丙、向量的係數積
例如：
a
1 a 2
2 a
課本頁次：149
例5 下圖中的網格為二組兩兩平行的直線組合,
且每一小格都是菱形.試以 A點為始點畫出
1 a 3 b 2
A
b a
1 a 2
3 b
1 a 3 b 2
課本頁次：150
隨5 下圖中的網格為二組兩兩平行的直線組合,
這些性質待下一節將向量用坐標表示後再證明， 在此暫時略過。
課本頁次：150
例6 已知 D, E , F 分別為△ABC 三邊 BC, CA, AB
的中點,令 BF a , BD b ,
試用 a 與 b 表示下列各向量： (1) AD
解： AD AB BD
2 a b
A
∴
2 a
試證：四邊形PQRS為平行四邊形. 證： 作 AC SR 1 AC 2 1 PQ AC 2 A D S P
R
C
Q B
SR / / PQ 且 SR PQ
∴ 四邊形PQRS為平行四邊形
課本頁次：153
丙、向量的係數積
a b
A
課本頁次：145
源自文库
a
B
向量加法性質
(2) 結合律：
( a b ) c ( AB BC ) CD AC CD AD,
D
( a b ) c
c
C
a b
A
課本頁次：145
b
a
B
向量加法性質
(2) 結合律： ( a b ) c a ( b c )
例如：
CD 與 EF 是兩個相等的向量, 記作 CD EF
記作 0 零向量： 始點與終點重合的向量, (大小為0,方向為任意方向) 例如： AA, BB
課本頁次：142
甲、向量的幾何表示法
向量是由其大小與方向決定,而不在意它的位置.
常以單一文字如 a , b 來表示向量,
而不指明向量的始點與終點.
a b
a b
B A
課本頁次：144
C
b
a
乙、向量的加法與減法
（一）向量的加法
AC 表示： 從 A 移動到 C 的位移.
AC AB BC ,其中 AB a , BC b
a b
a b
A
課本頁次：144
B
b
C
a
乙、向量的加法與減法
（一）向量的加法
AC 表示： 從 A 移動到 C 的位移.
解：
(1) AB BC CD DA
0.
課本頁次：147
例3 已知 ABCD 為四邊形,化簡下列各式：
(2) AB AD BC .
解：
(2) AB AD BC
DB BC
DC .
課本頁次：147
隨3 已知 ABCDE 為五邊形,化簡下列各式：
(1) AC CE EB .
AC AB AD ,其中 AB a , AD b
a b b
A
課本頁次：144
D
C
a b
B
a
隨堂 下圖為二組兩兩平行的直線組合,
且每一小格都是菱形.試以A點為始點畫出
a b
c
a b
b
A
a
課本頁次：144
隨堂 下圖為二組兩兩平行的直線組合,
且每一小格都是菱形.試以A點為始點畫出
解：
(1) AC CE EB
AB .
課本頁次：148
隨3 已知 ABCDE 為五邊形,化簡下列各式：
(2) AC AD CE .
解：
(2) AC AD CE
DC CE
DE .
課本頁次：148
例4 已知 ABCD 為四邊形,令 a AB, b AD,
(4) a ( a ) 0
AB BA AA 0
AB BA
a
A
a
B
(方向相反,大小相等的向量)
課本頁次：146
例2 如圖，已知 ABCDEF 為圓 O 的內接正六邊形，
求 OA OC OE .
解： E F D C
O
A
B
∴ OA OC OE 0
課本頁次：146
隨2 設 A, B, C 為平面上三點, 求 AB BC CA .
解： C
A
B
∴ AB BC CA AA 0
課本頁次：146
乙、向量的加法與減法
（二）向量的減法 (1) a b a ( b ) (2) CB CA CB ( CA)
CB AC AC CB
隨6 已知 ABCDEF 是正六邊形， AB a , BC b ,
試用 a 與 b 表示下列各向量： (1) AE E a F A
解： (1) AE AD DE
2 b ( a )
a 2 b
D
2 b
O
a
C
b
B
課本頁次：151
隨6 已知 ABCDEF 是正六邊形， AB a , BC b ,
試用 a 與 b 表示下列各向量： (2) EC
解： (2) EC EF FC
b 2 a
E
b
D C
b
F A
O 2 a
a
2 a b
B
課本頁次：151
丙、向量的係數積
（二）向量的平行 向量平行的定義 兩非零向量 a 與 b 中有一個可以寫成另一個
的係數積時,稱 a 與 b 平行,記作 a // b 說明： (1) 規定 0 與任一向量 a 都平行.
AC AB BC a a 2 a
2 a ： 方向與 a 方向相同.
大小為 a 大小的2倍 .
a
A
課本頁次：149
B
C
丙、向量的係數積
(1) 若 a 0 ,則 r > 0, r a 方向與 a 方向相同, 其大小為 r | a |.
r < 0, r a 方向與 a 方向相反, 其大小為 r | a |. r = 0, r a 為零向量, 即 r a 0
a c . c
a
課本頁次：148
例4 已知 ABCD 為四邊形,令 a AB, b AD,
c BC , 試將下列各向量以 a , b 和 c 表示：
(3) CD 解： (3) CD CB BA AD
c a b .
b a
c
課本頁次：148
隨4 已知 ABCD 為四邊形,令 a AB, b AD,
( a b ) c ( AB BC ) CD AC CD AD, a ( b c ) AB ( BC CD) AB BD AD . D c a ( b c ) C
b c
A
課本頁次：145
b
a
B
向量加法性質
(3) a 0 0 a a .
課本頁次：142
甲、向量的幾何表示法
A點到B點的有向線段, 記作 AB . 簡稱為向量 AB 其中A點為始點, B點為終點, A 始點 B 終點
線段AB的長度稱為向量 AB 的長度,以 | AB | 表示, 代表向量的大小. 相等向量： 方向相同, 大小相等, 的向量.
課本頁次：142
甲、向量的幾何表示法
c AC , 試將下列各向量以 a , b 和 c 表示：
(1) BD 解： (1) BD AD AB
b a .
b a
課本頁次：148
隨4 已知 ABCD 為四邊形,令 a AB, b AD,
c AC , 試將下列各向量以 a , b 和 c 表示：
(2) BC 解： (2) BC AC AB
D
O
a
E
F
隨1 如圖﹐已知 △ABC 為正三角形﹐P, Q, R 是三邊
的中點,選出與向量 PQ 相等的選項﹒ (1) PR (2) PA (3) RA (4) RC (5) QR
解： PQ 1 AC 且 PQ // AC 2
PQ RC AR ∴ 選 (4)
課本頁次：143
乙、向量的加法與減法
c BC , 試將下列各向量以 a , b 和 c 表示：
(1) BD 解： (1) BD AD AB
b a .
b a
課本頁次：148
例4 已知 ABCD 為四邊形,令 a AB, b AD,
c BC , 試將下列各向量以 a , b 和 c 表示：
(2) AC 解： (2) AC AB BC
Ch3 平面向量
3-1 平面向量的幾何表示法
製作老師：趙益男/基隆女中教師 發行公司：龍騰文化事業股份有限公司
純量與向量
純量： 有大小而沒有方向的量. 例如：長度、質量、體積等,這種量 都可以用一個數再附上適當的單位來描述. 向量： 須同時由大小與方向來描述的量. 例如：汽車正以時速50公里的速度向東北方移動.
且每一小格都是菱形.試以 A點為始點畫出
2 2 a b 3
2 2 a b 3
b
A
a
2 a
2 b 3
課本頁次：150
向量係數積的基本性質
設 r , s 為實數, a , b 為任意向量.
(1) (r s) a r a s a . (2) r ( s a ) (rs) a . (3) r ( a b ) r a r b .
（一）向量的加法
AC 表示： 從 A 移動到 C 的位移.
AC AB BC ,其中 AB a , BC b
a b
a b
A
C
b a
B
課本頁次：143
乙、向量的加法與減法
（一）向量的加法
AC 表示： 從 A 移動到 C 的位移.
AC AB BC ,其中 AB a , BC b
課本頁次：152
丙、向量的係數積
（二）向量的平行 向量平行的定義 兩非零向量 a 與 b 中有一個可以寫成另一個
的係數積時,稱 a 與 b 平行,記作 a // b 說明： a / / b / / c (2) 若兩非零向量平行, 則兩向量必同方向或反方向.
課本頁次：152
a
b
c
例7 已知 D , E 分別為△ABC 兩邊 AB, AC 的中點,
1 試證： DE / / BC 且 DE BC . 2
證： DE DA AE
1 1 BA AC 2 2 1 ( BA AC ) 2
A E
D
B
C
1 BC 2
課本頁次：152
∴
1 DE / / BC 且 DE BC 2
隨7 已知 P, Q, R, S 分別為四邊形ABCD的中點,
課本頁次：143
例1 如圖，已知 O 為正六邊形 ABCDEF 的中心，
令 OA a , OB b ，選出正確的選項：
(× ) (1)
a b
(× ) (2) BC a (○) (3) DO a (○) (4) FA b (○) (5) DC b
課本頁次：143
C
b
B A