2015-2016学年高中数学 3.2.2空间向量与垂直关系课件新人教A版选修2-1

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3.2空间向量与垂直关系课件(人教A版选修2-1)

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新课标· 数学选修 2-1
教学教法分析教学方案设计课前自主导学
1 1 1 → → ∴AB1· MN＝(a＋c)· (－ a＋ b＋ c) 2 2 4 1 1 1 ＝－＋ cos 60° ＋0－0＋0＋＝0. 2 2 4 → → ∴AB1⊥MN， ∴AB1⊥MN.
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教学教法分析教学方案设计课前自主导学
→ → → 【思路探究】 (1)若选AB、AC、AA1为基向量， → → → → 你能用基向量表示AB1与MN吗？怎样证明AB1与MN垂直？ (2)若要建立空间直角坐标系，本题该怎样建立？
教学教法分析教学方案设计课前自主导学思想方法技巧当堂双基达标
面面垂直
若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v
u⊥v u· v＝ 0 ⇔ ＝(a2，b2，c2)，则 α⊥β⇔__________ ⇔_________ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 ___________________________ .
课标解读
1.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法．(重点) 2.能利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题．(重点、难点)
当堂双基达标
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新课标· 数学选修 2-1
教学教法分析教学方案设计课前自主导学思想方法技巧当堂双基达标

3.2.2空间向量与垂直关系

3.2.2空间向量与垂直关系
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注意：1.这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合。
(k∈R) 面面若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，垂直 c2)，则α⊥β ⇔ u⊥v⇔ u·v ＝0⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
1.已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为
b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则 k 等于( D )
A.5
B.4
C.－4
D.－5
2.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，
m)，若l1⊥l2，则m等于( D )
A.－2
B.2
C.6
D.10
3.若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝
(－4,0,－2)，则直线l与平面α的位置关系为( D )
A.l与α斜交 B.l⊂α
C.l∥α
D.l⊥α
4.已知AB （2，2，1），AC （4，5，3），则平面ABC的一个单位法向量为（）
A（. 1， 2， 2） B（. 1，2， 2） C（. 1，2，2） D（. 1，2，2）
333
33 3
333
333
5、如图所示，正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2， D为CC1的中点.。求证：AB1 平面A1BD.
6、如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB BC， AB BC 2，BB1 1，E为BB1的中点。证明：平面AEC1 平面AA1C1C.

人教A版高中数学必修2：空间向量与垂直关系

3.1.5空间向量与垂直关系
（第一课时）
1、直线和平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
用数学符号表示为：
l
如果 l m, l n, m n P
m , n
则 l

mP n
线线垂直线面垂直
2、平面与平面垂直的判定定理：
BD1

EB1

(1)
1 2

(1)
1 2
11

0
BD1 EB1 即BD1 EB1
y x
z
2、
y
x
课堂小结：这节课你学到了什么？
看哪组小结得最好！（20班币）
1.基本知识：
（1）向量的数量积运算公式；
（2）两个向量垂直等价于它们的数量积为0。
2.思想方法：利用向量法证明线线垂直往往转化为直线的方向向量垂直，证明它们的方向向量的数量积为0。可以先建立空间直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的坐标运算进行计算或证明。
DF
y
A
B
x
方法总结：关键是建立恰当的空间直角坐标系。
方法二：利用平面的法向量
第1题：20班币，第2题：30班币
1、如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC 90，CB 1，CA 2，AA1 6，点M是CC1的中点，求证： AM BA1。
2、
练习1、1.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，ABC=90，CB=1，
E、F分别是BB1、CD的中点，求证：z D1F AE
证明：以D为坐标原点，建立如
图所示的空间直角坐标系 Dxyz ,

空间向量与垂直关系-ppt课件

(2)A→1E＝(1,1，－2) A→C1·A→1E＝(2,2,2)·(1,1，－2) ＝2×1＋2×1＋2×(－2) ＝0 ∴A→C1⊥A→1E，∴AC1⊥A1E.
如下图，正方体 ABCD － A1B1C1D1 中， M 、 N 分别为 AB 、 B1C 的中点．试用向量法判别MN与平面A1BD的位置关系．
证法二：设AB中点为O，作OO1∥AA1. 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A －12，0，0 ，B 12，0，0 ， C0， 23，0，N0， 23，14， B112，0，1，
∵M为BC中点， ∴M14， 43，0. ∴M→N＝－14， 43，14，A→B1＝(1,0,1)， ∴M→N·A→B1＝－14＋0＋14＝0. ∴M→N⊥A→B1， ∴AB1⊥MN.
证明：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.设正方体的棱长为2，则 A(0,0,0)，
B(2,0,0)，D(0,2,0)，A1(0,0,2)，E(1，1,0)，C1(2,2,2)． (1)A→C1＝(2,2,2)，B→D＝(－2,2,0) A→C1·B→D＝(2,2,2)·(－2,2,0) ＝2×(－2)＋2×2＋2×0＝0 ∴A→C1⊥B→D，∴AC1⊥BD.
[解题过程] 证法一：如图，建立空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)， A1(0,0， 3)，C1(0,1， 3)， ∵D为BC的中点， ∴D点坐标为(1,1,0)， ∴B→C＝(－2,2,0)，A→D＝(1,1,0)， A→A1＝(0,0， 3)，
∵B→C·A→D＝－2＋2＋0＝0，B→C·A→A1＝0＋0＋0＝0， ∴B→C⊥A→D，B→C⊥A→A1，∴BC⊥AD，BC⊥AA1，又AD∩AA1＝A，∴BC⊥平面ADA1，而BC⊂平面BCC1B1. ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.

高中数学 3.2.2空间向量与垂直关系课件新人教A版选修21 (1)

【题型示范】
类型一向量法处理线线垂直问题
【典例1】
(1)(2014·天津高二检测)已知空间三点A(0,0,1),B(-1,1,1),
C(1,2,-3),若直线AB上一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标
为
.
(2)如图,△ABC中,AC=BC,D为AB边中点,PO⊥平面ABC,垂足O在 CD上,求证:AB⊥PC.
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若直线l1的方向向量为u1=(1,3,2),直线l2上有两点
A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是
.
(2)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=
(-2,0,-4),则直线l与平面α的位置关系为
.
(3)已知两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),
位置关系 l⊥m l⊥α
α⊥β
向量关系 _a_⊥__b_ _a_∥__u_
_u_⊥__v_
向量运算关系 __a_·b__=_0_
_a_=_λ__u_,_λ__∈__R_
u·v=0
坐标关系 a1b1+a2b2+a3b3=0 a1=λu1,a2=λu2, a3=λu3 u1v1+u2v2+u3v3=0
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若两直线方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.( ) (2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( ) (3)两个平面垂直则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.( )
【微思考】 (1)确定直线方向向量的两种方法是什么? 提示:一是用空间一个基底表示,二是建立空间直角坐标系,写出方向向量的坐标. (2)用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么? 提示:需要确定直线的方向向量和平面的法向量,然后把证明线、面的垂直关系转化为向量间的关系.

高中数学3.2立体几何中的向量方法第2课时空间向量与垂直关系课件新人教A版选修2_1

(2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α 与平面的法向量是平行向
量
面面垂直
对于直线l，m和平面α，β (1)若l⊥α，l⊂β，则α⊥β. (2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则 α⊥β. (3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β
证明两个平面的法向量互相垂直
当堂达标固双基
1．若直线l的方向向量a＝(8，－12，0)，平面α的法向量μ＝
(1)证明两直线所成的角为90°. 两直线的方向向量互相
(2)若直线与平面垂直，则此直垂直
线与平面内所有直线垂直
线面垂直
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)证明直线的方向向量
对于直线l，m，n和平面α 分别与平面内两条相交直
(1)若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂ 线的方向向量垂直．
α，m与n相交，则l⊥α.
(2)证明直线的方向向量
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1，4)． ∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
[解] 由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA， BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)， E0，0，12，
则A→A1＝(0，0，1)，A→C＝(－2，2，0)，A→C1＝(－2，2，1)，A→E ＝(－2，0，12)．
因为B→C·A→D＝－2＋2＋0＝0，B→C·A→A1＝0＋0＋0＝0，所以B→C⊥A→D，B→C⊥A→A1，所以BC⊥AD，BC⊥AA1，又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面ADA1，而BC⊂平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2空间向量与垂直关系课件人教A版选修2_1.ppt

利用空间向量证明线面垂直的方法有两种：一是利用判定定理，即通过证明向量数量积为 0 来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直；二是求平面的法向量，验证直线的方向向量与平面的法向量平行.
类型一利用空间向量证明线线垂直【例 1】如图，PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形， PA＝AB＝1，点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移动．求证：无论点 E 在边 BC 上的何处，都有 PE⊥AF.
【分析】只需证明直线 PE 与 AF 的方向向量互相垂直即可．
方法二：因为点 E 在边 BC 上，可设B→E＝λB→C，于是P→E·A→F＝(P→A＋A→B＋B→E)·12(A→P＋A→B) ＝12(P→A＋A→B＋λB→C)·(A→B＋A→P) ＝12(P→A·A→B＋P→A·A→P＋A→B·A→B＋A→B·A→P＋λB→C·A→B＋λB→C·A→P)＝12 (0－1＋1＋0＋0＋0)＝0，因此P→E⊥A→F. 故无论点 E 在边 BC 上的何处，都有 PE⊥AF.
将线线垂直问题转化为向量垂直问题后，可以选择基向量法也可用坐标法，熟练掌握证明线线垂直的向量方法是关键.
已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都为 1，若侧棱 C1C 的中点为 D，求证：AB1⊥A1D.
证明：设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1，以 O 为坐标原点， OB，OC，OO1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
法二：同法一得A→B1＝(0,2,2)，A→C＝(－2,2,0)， E→F＝(－1，－1,1)．设平面 B1AC 的法向量 n＝(x，y，z)，则A→B1·n＝0，A→C·n＝0，
即2－y＋2x2＋z＝2y0＝，0，取 x＝1，则 y＝1，z＝－1， ∴n＝(1,1，－1)，∵E→F＝－n， ∴E→F∥n，∴EF⊥平面 B1AC.

高中数学第三章空间向量与立体几何 3.2 第1课时空间向量与平行、垂直关系学案新人教A版选修

第1课时空间向量与平行、垂直关系1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念．2.会求平面的法向量．3．能利用直线的方向向量和平面的法向量判断并证明空间中的平行、垂直关系．1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2．空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a ＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u ＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．3．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．(2)线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝λu⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0 ⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( )(2)平面α的法向量是惟一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( ) (3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．( )(4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√若A (1，0，－1)，B (2，1，2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2，2，6) B ．(－1，1，3) C ．(3，1，1) D.(－3，0，1)答案：A若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，12，则平面β的法向量可以是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，14B ．(2，－1，0)C ．(1，2，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2答案：C若直线的方向向量为u 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43，1，平面的法向量为u 2＝(3，2，z )，则当直线与平面垂直时z ＝________．答案：32设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝__________．答案：4探究点1 求直线的方向向量与平面的法向量[学生用书P64]如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．【解】因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，B (1，0，0)，C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12， AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)．[变问法]本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量．解：如图所示，建立空间直角坐标系，则P (0，0，1)，C (1，3，0)，所以PC →＝(1，3，－1)，即为直线PC 的一个方向向量．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为(0，1，3)．待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量．1.已知A (0，y ，3)，B (－1，－2，z )，若直线l 的方向向量v ＝(2，1，3)与直线AB 的方向向量平行，则y ＋z 等于( )A ．－3B ．0C ．1D.3解析：选B.由题意，得AB →＝(－1，－2－y ，z －3)，则－12＝－2－y 1＝z －33，解得y ＝－32，z ＝32，所以y ＋z ＝0，故选B. 2．在△ABC 中，A (1，－1，2)，B (3，3，1)，C (3，1，3)，设M (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点．(1)求平面ABC 的一个法向量； (2)求x ，y ，z 满足的关系式．解：(1)设平面ABC 的法向量n ＝(a ，b ，c )．因为AB →＝(2，4，－1)，AC →＝(2，2，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝2a ＋4b －c ＝0n ·AC →＝2a ＋2b ＋c ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b a ＝－32b ，令b ＝2，则a ＝－3，c ＝2.所以平面ABC 的一个法向量为n ＝(－3，2，2)． (2)因为点M (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点，所以AM →⊥n ，所以－3(x －1)＋2(y ＋1)＋2(z －2)＝0，所以3x －2y －2z －1＝0.故x ，y ，z 满足的关系式为3x －2y －2z －1＝0. 探究点2 利用空间向量证明平行关系[学生用书P64]已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点．求证：FC 1∥平面ADE .【证明】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)，B 1(2，2，2)．FC 1→＝(0，2，1)，DA →＝(2，0，0)，AE →＝(0，2，1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1. 所以n 1＝(0，－1，2)．因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0. 所以FC 1→⊥n 1.因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .[变问法]在本例条件下，求证：平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：由本例证明知C 1B 1→＝(2，0，0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的法向量．由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2. 令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1，2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明线、面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行：①是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；②是证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示；③是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2，点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥RS .证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M (3，0，43)，N (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，23)．所以MN →＝(－3，2，23)，RS →＝(－3，2，23)，所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS →，因为M ∉RS ，所以MN ∥RS . 法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则MN →＝MB 1→＋B 1A 1→＋A 1N →＝13c －a ＋12b ，RS →＝RC →＋CD →＋DS →＝12b －a ＋13c .所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS →. 又R ∉MN ，所以MN ∥RS .探究点3 利用空间向量证明垂直关系[学生用书P65]在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AS ⊥底面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .【证明】设AS ＝AB ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则B (1，0，0)，D (0，1，0)，A (0，0，0)，S (0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.法一：如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则点O 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.易知AS →＝(0，0，1)，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以OE →＝12AS →，所以OE ∥AS .又AS ⊥底面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD . 又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD . 法二：设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )．易知BD →＝(－1，1，0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥BD →，n 1⊥BE →，即⎩⎨⎧n 1·BD →＝－x ＋y ＝0，n 1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0.令x ＝1，可得平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1，1，0)．因为AS ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为n 2＝AS →＝(0，0，1)．因为n 1·n 2＝0，所以平面BDE ⊥平面ABCD .证明线、面垂直问题的方法(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直即可．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可．如图，△ABC 中，AC ＝BC ，D 为AB 边中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 在CD上，求证：AB ⊥PC .证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，OP →＝v .由条件知，v 是平面ABC 的法向量，所以v ·a ＝0，v ·b ＝0，因为D 为AB 中点，所以CD →＝12(a ＋b )，因为O 在CD 上，所以存在实数λ，使CO →＝λCD →＝λ2(a ＋b )．因为CA ＝CB ，所以|a |＝|b |，所以AB →·CP →＝(b －a )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ2（a ＋b ）＋v ＝λ2(a ＋b )·(b －a )＋(b －a )·v＝λ2(|b |2－|a |2)＋b ·v －a ·v ＝0，所以AB →⊥CP →，所以AB ⊥PC .1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是正方形ABCD 的中心，证明：OA 1⊥AM . 证明：设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系，如图，则A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，O ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，所以OA 1→＝(1，0，1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1，AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12－(1，0，0)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12，所以OA 1→·AM →＝12×(－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×0＋1×12＝0，即OA 1⊥AM .2．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：CE ∥平面C 1E 1F .证明：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝1，则C (0，1，0)，E (1，0，1)，C 1(0，1，2)，F (1，1，1)，E 1⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2.设平面C 1E 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，因为C 1E 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0，FC 1→＝(－1，0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ，x ＝z ，取n ＝(1，2，1)．因为CE →＝(1，－1，1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0，所以CE →⊥n ，且CE ⊄平面C 1E 1F . 所以CE ∥平面C 1E 1F .[学生用书P66]知识结构深化拓展用空间向量解决立体几何的问题有三步(1)首先建立适当的空间坐标系，一般是用互相垂直的直线为x ，y ，z 轴，设出点的坐标．(2)通过向量的坐标运算，来研究点、直线、平面之间的关系，把几何问题转化为代数问题．(3)把向量的运算结果“翻译”为相应的几何意义，据几何意义求出结果.[学生用书P137(单独成册)])[A 基础达标]1．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2，52，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，x ，y 分别是直线l 1，l 2的一个方向向量．若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝3，y ＝152B ．x ＝32，y ＝154C ．x ＝3，y ＝15D.x ＝3，y ＝154解析：选D.因为l 1∥l 2，所以321＝x 2＝y 52，所以x ＝3，y ＝154，故选D.2．直线l 的一个方向向量和平面β的一个法向量分别是m ＝(－1，1，3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，19，则直线l 与平面β的位置关系是( )A ．l ∥βB ．l ⊥βC ．l ∥β或l ⊂βD.无法判断解析：选C.因为m ·n ＝－13＋0＋13＝0，所以m ⊥n .所以l ∥β或l ⊂β.3．设直线l 的方向向量u ＝(－2，2，t )，平面α的一个法向量v ＝(6，－6，12)，若直线l ⊥平面α，则实数t 等于( )A ．4B ．－4C ．2D.－2解析：选B.因为直线l ⊥平面α，所以u ∥v ，则－26＝2－6＝t12，解得t ＝－4，故选B.4．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，3，－32解析：选B.要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA →与平面α的法向量n 是否垂直，即PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，PA →＝(1，0，1)，则PA →·n ＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12·(3，1，2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.5．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D.2∶1解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a ，则B (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0，0，a )．设点F 的坐标为(0，y ，0)，则BF →＝(－1，y ，0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .因为BF ⊥PE ，所以BF →·PE →＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，所以F 为AD 的中点，所以AF ∶FD ＝1∶1.6．已知平面α的一个法向量a ＝(x ，1，－2)，平面β的一个法向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y ，12，若α⊥β，则x －y ＝________．解析：因为α⊥β，所以a ⊥b ，所以－x ＋y －1＝0，得x －y ＝－1. 答案：－17．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．解析：AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →，则AB ⊥AP .AD →·AP →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，则AP ⊥AD .又AB ∩AD ＝A ，所以AP ⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．答案：①②③8．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________．解析：因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0，所以3＋5－2z ＝0，所以z ＝4.因为BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157，故BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－39．已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明：设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，14， B 1⎝⎛⎭⎪⎫12，0，1，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，0. 所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，14，AB 1→＝(1，0，1)，所以MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.所以MN →⊥AB 1→，所以AB 1⊥MN .10．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明：设正方体的棱长为2a ，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2a ，0，0)，C (0，2a ，0)，B 1(2a ，2a ，2a )，E (2a ，2a ，a )，F (a ，a ，2a )．所以EF →＝(a ，a ，2a )－(2a ，2a ，a )＝(－a ，－a ，a )，AB 1→＝(2a ，2a ，2a )－(2a ，0，0)＝(0，2a ，2a )，AC →＝(0，2a ，0)－(2a ，0，0)＝(－2a ，2a ，0)．因为EF →·AB 1→＝(－a ，－a ，a )·(0，2a ，2a )＝(－a )×0＋(－a )×2a ＋a ×2a ＝0，EF →·AC →＝(－a ，－a ，a )·(－2a ，2a ，0)＝2a 2－2a 2＋0＝0，所以EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ，所以EF ⊥平面B 1AC .[B 能力提升]11．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是AD 1，BD 和B 1C 的中点，利用向量法证明：(1)MN ∥平面CC 1D 1D ； (2)平面MNP ∥平面CC 1D 1D .证明：(1)以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A (2，0，0)，D (0，0，0)，M (1，0，1)，N (1，1，0)，P (1，2，1)．由正方体的性质知AD ⊥平面CC 1D 1D ，所以DA →＝(2，0，0)为平面CC 1D 1D 的一个法向量．由于MN →＝(0，1，－1)，则MN →·DA →＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以MN →⊥DA →. 又MN ⊄平面CC 1D 1D ，所以MN ∥平面CC 1D 1D .(2)由于MP →＝(0，2，0)，DC →＝(0，2，0)，所以MP →∥DC →，即MP ∥DC . 由于MP ⊄平面CC 1D 1D ，所以MP ∥平面CC 1D 1D .又由(1)，知MN ∥平面CC 1D 1D ，MN ∩MP ＝M ，所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP ∥平面CC 1D 1D .12．如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为BC 的中点．(1)在B 1B 上是否存在一点P ，使D 1P ⊥平面B 1AE? (2)在平面AA 1B 1B 上是否存在一点N ，使D 1N ⊥平面B 1AE? 解：(1)如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则点A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，B 1(1，1，1)，D 1(0，0，1)，B 1A →＝(0，－1，－1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，－1.假设存在点P (1，1，z )满足题意，于是D 1P →＝(1，1，z －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧D 1P →·B 1A →＝0，D 1P →·B 1E →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧0－1－z ＋1＝0，－12＋0－z ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，z ＝12，矛盾．故在B 1B 上不存在点P 使D 1P ⊥平面B 1AE .(2)假设在平面AA 1B 1B 上存在点N ，使D 1N ⊥平面B 1AE . 设N (1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧D 1N →·B 1A →＝0，D 1N →·B 1E →＝0.因为D 1N →＝(1，y ，z －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧0－y －z ＋1＝0，－12＋0－z ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，故平面AA 1B 1B 上存在点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，12，使D 1N ⊥平面B 1AE .13．(选做题)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .证明：以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，因为PC ⊥平面ABCD ，所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，所以∠PBC ＝30°.因为PC ＝2，所以BC ＝23，PB ＝4.所以D (0，1，0)，B (23，0，0)，A (23，4，0)，P (0，0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.所以DP →＝(0，－1，2)，DA →＝(23，3，0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.(1)令n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2，1)．因为n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，所以n ⊥CM →，又CM ⊄平面PAD ，所以CM ∥平面PAD .(2)取AP 的中点E ，则E (3，2，1)，BE →＝(－3，2，1)．因为PB ＝AB ，所以BE ⊥PA .又因为BE →·DA →＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0. 所以BE →⊥DA →，所以BE ⊥DA ，又因为PA ∩DA ＝A ，所以BE ⊥平面PAD ，又因为BE ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .。

3.2.2空间向量与垂直关系.ppt

A( 1 ,0,0)，B( 1 ,0,0)，
2
2
C(0,
微课堂·微思考【思考】用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么? 提示:需要确定直线的方向向量和平面的法向量,然后把证明线、面的垂直关系转化为向量间的关系.
【自我总结】
空间垂直关系的解决策略
几何法
向量法
(1)证明两直线所成的角为
线线 90°.
两直线的方向向
垂直 (2)若直线与平面垂直,则此直量互相垂直
向量法
对于直线l,m和平面α ,β 面 (1)若l⊥α ,l⊂β ,则α ⊥β . 面 (2)若l⊥α ,m⊥β ,l⊥m,则垂 α ⊥β . 直 (3)若平面α 与β 相交所成的
二面角为直角,则α ⊥β
证明两个平面的法向量互相垂直
【自我检测】 1.若直线l的方向向量为a=(-1,0,2),平面α 的法向量为n=(-2,0,4),则 ( ) A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α 斜交
【解析】1.设M(x,y,z),又 AB =(-1,1,0), AM=(x,y,z-1),CM =(x-1,y-2,z+3), 由点M在直线AB上得 AB与AM 共线, AM AB，即x=-λ,y=λ,z-1=0,
又CM⊥AB,向量 CM与向量AB 的数量积为0,
即 CM· AB =0,得-(x-1)+(y-2)=0,
2
所以 AB CP,所以AB⊥PC.
【方法技巧】利用向量法证明线线垂直的依据和关键点
(1)依据: 转化为证明直线的方向向量垂直,即证明它们的方向向量的数量积为0.
(2)关键: 建立恰当的空间直角坐标系,正确地表示出点的坐标, 进而求直线的方向向量.

3.2立体几何中的向量方法第2课时空间向量与垂直关系课件

研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2 第2课时
例 2 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为 CC1 的中点．求证：A1O⊥平面 GBD.
证明方法一如图取 D 为坐标原点， DA、DC、DD1 所在的直线分别作 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为 2 ，则 O(1,1,0) ， A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)， → → → ∴OA1＝(1，－1,2)，OB＝(1,1,0)，BG＝(－2,0,1)， → → → → 而OA1· OB＝1－1＋0＝0，OA1· BG＝－2＋0＋2＝0. → → → → ∴OA1⊥OB，OA1⊥BG，即 OA1⊥OB，OA1⊥BG，而 OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面 GBD.
角坐标系．则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)， → → ∵AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)， → → ∴AC· BC1＝0.∴AC⊥BC1.
小结证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系 →写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．
解析 ∵(1,2,0)· (2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直．
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
3.2 第2课时
4.如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，AP＝AB＝ 2， BC＝2 2， E， F 分别是 AD， PC 的中点．证明： PC⊥平面 BEF.
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
3.2 第2课时
又 E，F 分别是 AD，PC 的中点，

3.2第2课时空间向量与垂直关系-精选文档

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线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，
面面垂直若平面α的法向量u＝ (a1，b1，c1)，平面β
c1)，平面α的法向的法向量为v＝(a2，
量u＝(a2，b2，c2)，b2，c2)，则则l⊥α ⇔ a∥u . α⊥β⇔ . u· v＝ 0
第三章空间向量与立体几何
1．若平面α、β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－ 1，－2)，并且α⊥β，则x的值为( A．10 1 C.2 )
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第三章空间向量与立体几何
1 → → ∴AE· A1D1＝0×(－1)＋1×0＋2×0＝0， 1 1 → → AE· D1F＝2－2＝0， → ⊥A→ → → ∴AE 1D1，AE⊥D1F. 即AE⊥A1D1，AE⊥D1F，又A1D1∩D1F＝D1， ∴AE⊥平面A1D1F.
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第三章空间向量与立体几何
C 0， 1 －，0，0 2
，B
1 ，0，0 2
，
3 3 1 ，0，N0，，， 2 2 4
1 B12，0，1，
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第三章空间向量与立体几何
∵M为BC中点，
1 ∴M 4， 3 ，0. 4
1 → ＝ ∴MN －4，
3 1 →1＝(1,0,1)，，AB ， 4 4
1 1 → → ∴MN· AB1＝－4＋0＋4＝0. → ⊥AB →1， ∴MN ∴AB1⊥MN.
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第三章空间向量与立体几何
[题后感悟] 用向量法证明空间两条直线相互垂直，其主要思路是证明两直线的方向向量相互垂直． ,
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第三章空间向量与立体几何
证明：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.设正方体的棱长为2，则 A(0,0,0)， B(2,0,0)，D(0,2,0)，A1(0,0,2)，E(1，1,0)，C1(2,2,2)． →1＝(2,2,2)，BD → ＝(－2,2,0) (1)AC →1· → ＝(2,2,2)· AC BD (－2,2,0) ＝2×(－2)＋2×2＋2×0＝0 →1⊥BD → ，∴AC1⊥BD. ∴AC

高中数学 3.2.2空间向量与垂直关系课件新人教A版选修2-1

例1 如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝ 1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：直线PB1⊥平面 PAC.
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证明：依题设，以 D 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系
Dxyz，则 C(1，0，0)，P(0，0，1)，A(0，1，0)，B1(1，1，2)，
于是C→A＝(－1，1，0)，C→P＝(－1，0，1)，P→B1＝(1，1，1)，
∴C→A·P→B1＝(－1，1，0)·(1，1，1)＝0，
C→P·P→B1＝(－1，0，1)·(1，1，1)＝0，
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故C→P⊥P→B1，C→A⊥P→B1，即 PB1⊥CP，PB1⊥CA，
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又 CP∩CA＝C，且 CP⊂平面 PAC，CA⊂平面 PAC.
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证明：方法一设A→B＝a，A→D＝c，A→A1＝b，则E→F＝E→B1＋B→1F＝12(B→B1＋B→1D1)＝12(A→A1＋B→D)＝ 21(A→A1＋A→D－A→B)＝12(－a＋b＋c)．因为A→B1＝A→B＋A→A1＝a＋b，所以E→F·A→B1＝21(－a＋b＋c)·(a＋b) ＝21(b2－a2＋c·a＋c·b)＝21(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0. 所以E→F⊥A→B1，即 EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C. 又 AB1∩B1C＝B1，所以 EF⊥平面 B1AC.
B121，0，1，∵M 为 BC 中点，
栏
目
∴M14， 43，0，∴M→N＝－14， 43，14，A→B1＝(1，0，1)，
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∴M→N·A→B1＝－41＋0＋41＝0，∴M→N⊥A→B1，∴AB1⊥MN.

【优化方案】高中数学 3.2第1课时空间向量与平行、垂直关系课件理新人教A版选修2-1

做一做根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面的位置关系：
(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝
(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)．
解：(1)a· b＝1× 8＋(－ 3)×2＋(－ 1)× 2＝0， ∴直线 l1，l2 垂直． 1 (2)∵ u＝－ v，∴u∥ v，即平面 α，β 平行． 3
典题例证技法归纳
题型探究
题型一例1 求平面的法向量已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0，
2,3)，C(1,1,3)，试求出平面ABC的一个法向量．
【解】设平面 ABC 的法向量为 n＝ (x， y， z)． ∵ A(2,1,0)， B(0,2,3)， C(1,1,3)， → → ∴AB＝ (－2,1,3)，BC＝ (1，－ 1,0)． → AB＝ 0， n· － 2x＋ y＋ 3z＝ 0， x＝3z，则有即解得 → x－ y＝ 0. x＝ y. n · BC ＝ 0 ，令 z＝ 1，则 x＝y＝3. 故平面 ABC 的一个平面法向量为 n＝ (3,3,1)．
题型二
利用空间向量证明平行关系
例2 已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E、 F分别是
BB1、DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F.
【证明】
如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz，则有 D(0,0,0)， A(2,0,0)， C(0,2,0)， C1(0,2,2)， E(2,2,1)， F(0,0,1)， B1(2，2,2)， → 所以FC1 ＝ (0,2,1)， → → DA＝ (2,0,0)，AE＝ (0,2,1)．

人教A版数学必修二空间垂直关系.pptx

练习
已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证B1D1 垂直于面AA1C1C
练习
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=8， AC=6，BC=10，求证：AB垂直于
A1C
A1
B1
C1
A
B
D
C
练习
已知四面体ABCD中 AC=BD，
E、F分别是AD、BC的中点，
且 EF 2 AC
2
，∠BDC=90°
直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，直线和平面的交点叫做垂足。
性质
l a
l
a
空间线面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直符号表示
b,c ,b c A, a b, a c a
关键字面内、相交、垂直
空间垂直关系
线线垂直
判定定理定义
1）求证：AD⊥PB 2）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一
点F，使平面DEF⊥面ABCD，证明你的结论
练习
已知△ABC中，∠BCD=90°BC=CD=1
AB⊥面BCD， ∠ADB=60°，E，F分别
是AC、AD上的动点且
AE AC
AF AD
(0
1)
1）求证：不论λ取何
值，都有面BEF⊥面ACB？
变题3
在正方体ABCD A1B1C1D1, G 是A1 A上一点，求证：面ACC1A1 面BDG
G
练习
判断下列说法是否正确
1.如果，l ，则l垂直于面内某条直线 2.如果，l ，则l垂直于面内无数直线
3.如果，l ，则l垂直于面内任意直线 4.如果，l ，则l
空间面面平行的性质定理1

新人教A版必修二空间中的垂直关系课件(35张)

分析：在高考中，立体几何解答题常常设置两问，第 (1)问常证明线面的位置关系，第(2)常考查与体积、距离等有关的计算．两问的条件常常是一同叙述，图形也由同一图形给出，因此，在证明第(1)问时，要根据证明的要求，对条件要进行适当的筛选．在处理后面所选的例题及变式时，也要注意这一点．
证明：在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，因为 CC1⊥平面 ABC，所以四边形 A1ACC1 为矩形．又 E，F 分别为 AC，A1C1 的中点，所以 AC⊥EF. 因为 AB＝BC，所以 AC⊥BE， EF∩BE＝E，所以 AC⊥平面 BEF.
②如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那
么这条直线垂直于这个平面；
③如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么
这条直线Байду номын сангаас直于这个平面；
④如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，
那么这条直线垂直于这个平面．
A．①② B．①③ C．②④
D．③④
解：①中两条直线一定要是两相交直线，如果是两平行直线，结论不成立；②中的无数条直线如果是平行直线，结论也不成立；只有③与④才成立．
点评：(1)证线面垂直的基本方法是利用判定定理，即证明一条直线与平面内的两条相交直线垂直．
(2)证明线线垂直时，要注意如下几个方面： ①要注意充分利用平面几何的知识，挖掘题中隐含的垂直关系，如正方形、菱形的对角线垂直；等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线垂直于底边；直径所对的圆周角为 90°等． ②利用计算的方法证明垂直，如给出线段长度，计算满足勾股定理、证明角等于 90°等． ③利用已知垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视直线与平面垂直的性质和两平面垂直的性质定理．

2015-2016学年高中数学 3.2.2空间向量与垂直关系课件 新人教A版选修2-1

3.2空间向量与垂直关系 课件(人教A版选修2-1)