2011中考热点 阅读理解型

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1. (2011江苏南京，28，11分) 问题情境

已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 数学模型

设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为2()(0)a y x x x

=+＞．

探索研究

⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1(0)y x x x

=+＞的图象性质．

① 填写下表，画出函数的图象：

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；

③在求二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数1y x x

=+(x ＞0)的最小值．

解决问题

⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案． 【答案】解：⑴①

174

，

103

，

52

，2，

52

，

103

，

174

．

函数1y x x

=+

(0)x >的图象如图．

②本题答案不唯一，下列解法供参考．

当01x <<时，y 随x 增大而减小；当1x >时,y 随x 增大而增大；当1x =时函数

1y x x

=+

(0)x >的最小值为2． ③1y x x

=+

=2

2

+

=2

2

+-

=2

2-

+

=0，即1x =时，函数1y x x

=+

(0)x >的最小值为2．

⑵ 2. （2011江苏南通，27，12分）（本小题满分12分）

已知A (1，0)， B (0,－1)，C (－1，2)，D (2，－1)，E (4，2)五个点，抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0），经过其中三个点. （1） 求证：C ，E 两点不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上； （2） 点A 在抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上吗？为什么？ （3）

求a 和k 的 值.

【答案】（1）证明：将C ，E 两点的坐标代入y ＝a (x －1)2

＋k （a ＞0）得， 4292

a k a k +=⎧⎨

+=⎩，解得a ＝0，这与条件a ＞0不符，

∴C ，E 两点不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2

＋k （a ＞0）上. （2）【法一】∵A 、C 、D 三点共线（如下图），

∴A 、C 、D 三点也不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2

＋k （a ＞0）上. ∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能： ①A 、B 、C ； ②A 、B 、E ； ③A 、B 、D ； ④A 、D 、E ； ⑤B 、C 、D ； ⑥B 、D 、E .

将①、②、③、④四种情况（都含A 点）的三点坐标分别代入y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0），解得：①无解；②无解；③a ＝－1，与条件不符，舍去；④无解. 所以A 点不可能在抛物线y ＝a (x －1)2

＋k （a ＞0）上. 【法二】∵抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）的顶点为（1，k ）

假设抛物线过A (1，0)，则点A 必为抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A 、B 、C 、D 、E 中的三点，所以必过x 轴上方的另外两点C 、E ，这与（1）矛盾，所以A 点不可能在抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上. （3）Ⅰ.当抛物线经过（2）中⑤B 、C 、D 三点时，则

142a k a k +=-⎧⎨+=⎩，解得1

2a k =⎧⎨

=-⎩

Ⅱ. 当抛物线经过（2）中⑥B 、D 、E 三点时，同法可求：38

118a k ⎧

=⎪⎪⎨

⎪=-⎪⎩

.

∴12a k =⎧⎨=-⎩或38

11

8a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

.

3. （2011四川凉山州，28，12分）如图，抛物线与x 轴交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，且12x x <，与y 轴交于点()0,4C -，其中12x x ，是方程24120x x --=的两个根。 （1）求抛物线的解析式；

（2）点M 是线段A B 上的一个动点，过点M 作M N ∥B C ，交A C 于点N ，连接C M ，当C M N △的面积最大时，求点M 的坐标；

（3）点()4,D k 在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点F ，使以A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由。

【答案】

（1）∵2

4120x x --=，∴12x =-，26x =。

∴(2,0)A -，(6,0)B 。

又∵抛物线过点A 、B 、C ，故设抛物线的解析式为(2)(6)y a x x =+-，将点C 的坐标代入，求得13

a =

。

∴抛物线的解析式为2

14433

y x x =

-

-。

（2）设点M 的坐标为（m ，0），过点N 作N H x ⊥轴于点H （如图（1））。 ∵点A 的坐标为（2-，0），点B 的坐标为（6，0），

28题图