二阶常微分方程初值问题C 0有限元的超收敛
二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法
二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法2009-8-31数理方程所解决的问题与高等数学（微积分）教科书中的常微分方程有很大区别，其中最显著的特点是多数微分方程的条件是边值问题，即知道未知函数在自变量变化区域的边界上的取值。
这就是所谓的边值问题。
最简单的是二阶常微分方程的两点边值问题。
二阶常微分方程的解是一个一元函数，关于这个一元函数的信息，知道的不多，除了微分方程本身提供的之外，还有未知函数在一个区间的两个端点处的值。
微积分所教给我们的技巧是先求出常微分方程的通解，再根据两个条件确定通解中的两个任意常数。
进入这门课之初，先回顾初值问题，再思考边值问题。
在边值问题中，数理方程课程内容中出现了一个历史上非常著名的函数，即格林函数。
对力的分析中普遍使用一个方程：F=ma 。
这是著名的牛顿第二定律，其中，F 表示力，m 表示物体的质量，而a 表示物体运动的加速度。
由于加速度的物理意义可解释为物体运动时位移变量对时间的二阶导数，再结合使用虎克定律，就得出简单的振动所满足的二阶常微分方程02=+''y y ω如果考虑外力作用，该方程化为更一般的情况⎩⎨⎧='==+''βαω)0(,)0()(2y y x f y y 两个初始条件可解释为已经知道初始位移和初始速度。
求解上面方程需要用常数变易法。
先回顾一阶常微分方程求解的方法，然后再讨论二阶常微分方程的常数变易法。
一、一阶常微分方程初值问题的常数变易法一阶常微分方程常数变易法，用于解源函数不为零的常微分方程问题⎩⎨⎧=>=+'α)0(0),()()(y x x f x ry x y 先求解简化的（源函数为零）的方程：0)()(=+'x ry x y由分离变量：ry dxdy-=，→ rdx y dy -= 积分：c rx y +-=ln ，→ )exp()(rx C x y -=应用常数变易法，假设简化前的方程的解具有与简化后方程的解有相同形式，将常数替换为待定的函数，即)exp()()(rx x u x y -=求导数，得)exp()()exp()()(rx x u r rx x u x y ---'=')()exp()(x ry rx x u --'=将其代入化简前的方程，得等式)()exp()(x f rx x u =-'，→ )()exp()(x f rx x u ='积分，得C d f r x u x+=⎰)()ex p()(ξξξ代入表达式)exp()()(rx x u x y -=，得)ex p(])()ex p([)(0rx C d f r x y x-+=⎰ξξξ应用初始条件，得解函数⎰--+-=xd f x r rx x y 0)()](ex p[)ex p()(ξξξα从两部分解读解函数的意义。
常微分方程初值问题的解法
常微分方程初值问题的解法随着科技的不断进步和人类社会的不断发展，工程技术和科学技术的发展已经成为推动社会进步的重要力量，而数学则是工程技术和科学技术的基础和支撑，常微分方程作为数学分支的重要组成部分，对于理论研究和实际应用都有着深远的影响。
在实际工程中，解决常微分方程初值问题是数学理论在抽象式运算与工程实践之间的重要桥梁。
本文将介绍常微分方程初值问题的概念、求解方法以及实际应用。
一、常微分方程初值问题的概念常微分方程是指未知函数一阶或高阶微商与自变量和常数的关系式，常微分方程初值问题是指在初值u(x0)=u0已知的情况下，确定函数u(x)的解的问题。
在初值问题中，自变量是独立变量，取值范围可以是任意实数，因变量是函数值，是依赖自变量而实现的数值，常数是影响函数变化的一些固定参数。
常微分方程模型经常出现在工程技术模型中，一些实际应用场景可以通过建立数学模型来进行求解。
二、常微分方程初值问题的解法常微分方程初值问题的解法大致可以分为两种，一种是解析解法，即直接利用微积分学知识对方程进行求解；另一种是数值解法，即采用数值方法对方程进行数值计算求解。
下面将分别介绍这两种方法的解法原理。
1. 解析解法解析解法是指通过数学工具对函数解析表达式进行研究，以求出常微分方程的解。
该方法的先决条件是对方程具有严格的内部结构和特殊的形式，只有在特殊情况下才能找到一些特解。
这种方法的难点在于方程方程形式和初始条件可能存在巨大的数学难度，解析解的求解需要求解一些解析式的积分、微分和级数。
往往只有在一些特殊情况下，解析解法才能一般性的解决问题，因此该方法的适用场景相对较少。
2. 数值解法数值解法是指通过数值计算的方法，通过有限个代数运算和计算机模拟的方法得出方程的解。
数值解法的优点是具有广泛的适用性，可以有效地求解各种类型的常微分方程初值问题，使得无法通过解析方法求解的问题也可以得到解答。
数值解法可分为无条件稳定和条件稳定两种情况，前者是指方法不会出现不稳定结果的情况，而后者则保证了方法收敛性的同时，存在一定的条件限制。
08 二阶线性常微分方程的级数解法
理学院 邓胜华
08:19:21
第 8 章 二阶常微分方程级数解法
(2l )! 通常约定：用适当的常数乘多项式，使最高羃次项系数 al l 2 (l !) 2 (k 2)(k 1) 反用系数递推公式 ak ak 2 可得 (k l )(k l 1) (2l 2k )! al 2 k (1) k l 2 k !(l k )!(l 2k )!
11/2/2015
DENG S.H
5/26
理学院 邓胜华
08:19:21
第 8 章 二阶常微分方程级数解法
2k 2 k 1 y a x a x 通解： 2k 2k 1 a0 y0 ( x) a1 y1 ( x)
其中特解：
y0 b2 k x ,
2k k 0
(2k 2 l ) ( l )( l 1) ( l 2k 1) b2 k (2k )! (2k 1 l ) (1 l )( l 2) ( l 2k ) , b2 k 1 (2k 1)!
y1 b2 k 1 x
k 0
2 k 1
性质：
( 1)
k
1 2k 2
k 0
( 1)
k
k !(2k 1)(2k 1)
1 5 31 π 2
k
2
x
1 2k 2
2x ( 1)k y1 J1 2 ( x ) k 0 2k (2k 2) 4 2 (2k 1)(2k 1) π
y k 0 ak x s k
令各幂次项系数为零，并取 a0≠0，则得
k 0 ( s 2 2 )a0 0 判定方程：s 2 2 0， s k 1 [( s 1)2 2 ]a1 0 a1 0
二阶常微分方程边值问题
(2.25)
从而可以的到
(2.26a)
或者
(2.26b)
其中， .
可得一阶导数 的差分近似表达式为
(2.27)
由此可知，(2.16)差商逼近微商 的精度为二阶，即为 。
有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。
二、二阶常微分方程
二阶常微分方程一般可表示成如下的形式：
， (2.1)
边值条件有如下三类[9]：
第一类边值条件
， (2.2)
第二类边值条件
， (2.3)
第三类边值条件[19]
， (2.4)
其中 ， ， ， 。
在对边值问题用数值方法求解之前，应该从理论上分析该边值问题的解是否存在，若问题的解不存在，用数值方法计算出来的数据没有任何意义。下面的定理给出了边值问题存在唯一解的充分条件。
许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关。描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质；若初始时刻t=t0的解已给定，则t>t0时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件。利用差分法解这类问题，就是从初始值出发，通过差分格式沿时间增加的方向，逐步求出微分方程的近似解。
ylabel('$$y$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);
实验结果与分析：
差分法结果如下：
从图上我们可以看到，可以得到函数图像确实十分接近理论上的解答，差分二阶导数比起差分一阶导数来说，更加接近原函数。差分二阶导数在后面几乎能跟原函数重合，是非常好的求边值问题的方法。
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(K12教育文档)
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧郑燕，王俊霞太原师范学院数学系，山西晋中，030619摘要:本文总结介绍了三类二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧,分别是:特征根法;常数变易法;比较系数法.同时结合例题进行具体讲解.虽然当今社会关于二阶常微分方程初等解法求解技巧的研究已经获得了很大的成就，但它的已有理论仍然得不到求知者的满足，需要大家进一步发展,使之更加完善。
关键词：二阶常系数齐次线性微分方程；特征根法;常数变易法；比较系数法;二阶常系数非齐次线性微分方程.1。
预备知识（1.1）其中以及f(t）都是连续函数并且区间是a t b。
如果,则方程（1）就变成了（1.2）我们形如方程（1.2）的方程叫做二阶齐次线性微分方程,把方程(1。
1)叫做二阶非齐次线性微分方程.并且把方程（1.1)叫做方程（1.2）对应的齐次线性微分方程。
2.求解方法技巧2.1常数变易法常数变易法是将常数看作是的待定函数，然后求出非齐次线性方程的通解。
求解过程如下：设，是方程(1.2)的基本解组，则(2.1.1）是方程（1。
2）的通解。
将常数看作是t的待定函数，那么方程（2。
二阶常微分方程的解
二阶常微分方程的解二阶常微分方程是数学中常见且重要的一类方程，可以描述许多自然现象和物理问题。
解二阶常微分方程需要一定的数学知识和技巧，但掌握了解的性质和求解方法，我们就能更好地理解和应用它们。
首先，我们来研究二阶常微分方程的解的性质。
对于形如f''(x) + p(x)f'(x) + q(x)f(x) = 0的二阶常微分方程，其中p(x)和q(x)是已知函数，f(x)是未知函数，我们可以得到以下结论：1. 零解：如果f(x) ≡ 0是方程的解，那么它被称为零解。
2. 常数解：如果f(x) ≡ C是方程的解，其中C是常数，那么它被称为常数解。
3. 特征根法：对于二阶齐次线性常微分方程，我们可以通过求解特征方程来得到通解。
特征方程是通过将方程中的f(x)替换为e^(rx)，然后解得的关于r的二次方程。
特征方程的根决定了通解的形式。
4. 叠加原理：对于二阶齐次线性常微分方程，如果f1(x)和f2(x)分别是该方程的解，那么它们的线性组合C1f1(x) + C2f2(x)也是该方程的解，其中C1和C2是任意常数。
其次，我们来探讨二阶常微分方程的求解方法。
除了特征根法外，还有几种常用的方法：1. 变量分离法：将二阶常微分方程转化为两个一阶常微分方程，通过变量分离和积分求解。
2. 微分算子法：使用微分算子D = d/dx，将二阶常微分方程转化为代数方程。
3. 幂级数法：假设解可以表示为幂级数的形式，然后通过求导和代入方程来确定系数。
4. 矩阵法：将二阶常微分方程转化为矩阵形式，然后求解矩阵的特征值和特征向量。
最后，我们来看一些二阶常微分方程在实际问题中的应用。
例如，振动系统、电路和传热问题等都可以建模为二阶常微分方程。
通过求解方程，我们可以获得系统的振动频率、电流变化和温度分布等重要信息，从而对实际问题进行分析和优化。
总结起来，二阶常微分方程的解具有多样性和丰富性，我们可以通过掌握解的性质和求解方法来更好地理解和应用它们。
抛物问题时间连续全离散有限元超收敛性
湖南师范大学硕士学位论文中文摘要本文在Ｄｅｌｆｏｕｒ提出的常微分方程的有限元思想的基础上，利用对偶论证和单元上的正交展开方法，简明论证了一阶常微分初值问题的ｍ次连续有限元和间断有限元在节点及内部特征点的超收敛性。
利用张量积分解将常微分方程的连续有限元的超收敛性推广到抛物型方程，证明了抛物型的全离散有限元在节点和内部的特征点的超收敛型。
并用连续有限元计算了非线性ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程，验证了能量的守恒性。
主要结果如下（１）利用两类单元正交展开，结合对偶论证思想，较简明的论证了一阶线性常微分方程的连续有限元和间断有限元解在单元节点和内部特征点的超收敛性。
并采用一种简化连续性方法将连续有限元超收敛结果推广到非线性问题。
（２）在Ｔｈｏｍｅｅ提出的抛物问题的有限元思想的基础上，采用Ｄｏｕ—ｇｌａｓ等人对椭圆闻题提出的张量积思想应用到抛物型方程的时空变量，证明了线性抛物问题时空全离散连续有限元解矽∈妒ｓ珊在单元Ｌ＝（ｔ，一白）内部ｍ十１阶Ｌｏｂａｔｔｏ特征点。
州上有超收敛性：（∑ｌ（ｕ—ｕ）（ｔ一，工）１２＾２）１／２＝ｏ（＾２＋“＋％２＋”），ｍ、ｎ三２ｉ∈矗其中铲是时间的ｍ次有限元空间，醋空间方向的ｎ次有限元空间．磊为ｎ上的ｎ＋ｌ阶Ｌｏｂａｔｔｏ点集（３）对非线性ｓｃｈｒｏｄｉⅡｇｅｒ常微分和偏微分方程的两种情形．用连续有限元求解，验证了其能量积分保持守恒．而动量近似守恒，误差为高阶精度．并在数值计算上探讨了守恒性和近似程度：结果与理论相吻合．湖南师范大学硕士学位论文·２性。
关键词连续有限元，抛物问题，超收敛，非线性ｓｃｌｌｒｏｄ，ｎｇｅｒ方程，守恒湖南师范大学硕士学位论文，３．ＡｂｓｔｒａｃｔＢａｓｅｄｏｎｃｈｅｈｎｉｔｅｅｌｅｍｅｒｌｔｉｄｅａｌｆｏｒｏｒｄｉｎａｒｙｄｌ丘ｂｒｅｎｔｉａｌｅｑｌｌａｔｉｏｎｃ｝１ａｔ【）Ｌ（）ｐ（）ｓｅ（ｊｂｙＤｅｌｆｏｕｒ，ｗｅｔａｋｅａｄＶａｎｔａｇｅ。
有限元法的收敛条件 -回复
有限元法的收敛条件-回复有限元法是一种常用于求解偏微分方程数值解的数值方法。
它将求解区域划分为多个小单元，通过在每个小单元上建立近似函数，将原问题转化为求解近似函数的系数。
收敛性是评价数值方法好坏的重要指标之一，它决定了解的精度和稳定性。
本文将详细介绍有限元法的收敛条件，帮助读者更好地理解和应用这一数值方法。
首先，我们需要了解有限元法的基本思想。
有限元法将原问题的解空间进行离散化，通过在每个小单元上建立近似函数来描述解的行为。
这些小单元通常是简单的几何体，如线段、三角形或四边形。
通过将整个求解区域划分为许多这样的小单元，我们可以利用局部性质来获得整体解。
因此，有限元法的核心是在每个小单元上建立适当的近似函数。
接下来，我们来讨论有限元法的收敛条件。
有限元法的收敛性要求近似函数在划分更细的网格上逼近真实解，即当网格尺寸趋向于零时，近似函数能趋向于真实解。
有限元法的收敛条件包括以下几个方面：1. 近似函数的连续性：近似函数必须在每个小单元内是连续的，这样才能保证在求解域上近似函数的整体连续性。
因此，近似函数在每个小单元上的形式必须满足一定的连续性要求，比如连续可微或连续可导。
2. 近似函数的精度：近似函数必须满足一定的精度要求，即在每个小单元上的误差应当趋近于零。
一般来说，我们采用多项式函数作为近似函数，因为多项式函数具有良好的逼近性质。
近似函数的精度可以通过选择合适的多项式次数进行控制，通常情况下，多项式次数越高，近似函数的精度越高。
3. 刚度矩阵的正定性：有限元法的核心是建立刚度矩阵，它描述了每个小单元上的微分方程。
刚度矩阵必须是正定的，这是为了保证解的唯一性和稳定性。
正定性可以保证解的存在性和唯一性，并且能够避免数值求解过程中的奇异问题。
总结起来，有限元法的收敛条件包括近似函数的连续性、精度和刚度矩阵的正定性。
这些条件保证了有限元法在划分更细的网格上的解趋近于真实解。
通过满足这些条件，我们可以获得较高的求解精度和稳定性。
常微分方程的初值问题与解析解
常微分方程的初值问题与解析解常微分方程是数学中的重要分支之一，涉及到自然科学中的众多问题，因此在科研中有着广泛的应用。
而其中的初值问题是解决这些方程的关键所在。
所谓常微分方程，是指只涉及单个变量及其导数的微分方程。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两种类型。
其中初值问题是指在t=0 时刻，给定某一时刻的函数值及导数值，解出该函数在全局上的解析解。
初值问题的解法通常可以分为两种方法：解析解和数值解。
解析解是指通过数学方法求解出的解析式，可以直接得到函数在全局的解析表达式，这种方法求解出的解具有较高的精度和快速性。
而数值解则是通过计算机等工具，通过迭代一定次数获得数值近似解。
数值解的方法可以分为 Euler 方法、Runge-Kutta 方法、Adams 方法等。
解析解的求解方法通常可以分为四类：分离变量法、齐次化法、常数变易法和特殊函数法。
分离变量法是常微分方程求解中最常用的方法之一，在求解 t 偏微分方程时，一般是将其写成一个 t 项的函数+一个不含t 的项，再分离变量，通过积分解出函数表达式。
齐次化法是指当微分方程中含未知函数的导数时，进行变量替换，使其不含未知函数的导数，变成一个齐次方程，从而解出解析式。
常数变易法是指当方程中含有δ (初值条件t=0时的函数值) 时，通过变量替换，将该常数变为未知函数的形式，达到求解解析解的目的。
特殊函数法则是指通过特殊函数如Bessel 函数、拉格朗日函数、伽玛函数等求解，这种方法主要是针对一些特殊的常微分方程，对于一般的常微分方程无法使用。
常微分方程求解中的初始值条件是影响解析解精度的重要因素之一。
正确的初始值条件可以保证解析解的准确性，否则可能会造成解析解数值偏差。
因此，在求解常微分方程时，清晰的问题理解、合适的解法选择以及准确的初始条件选择可以保证解析解的精确性，并且进一步应用到实际问题研究中。
总之，常微分方程的初值问题求解是数学中的重要分支之一，解析解具有精度高、求解速度快等优点，是科学研究中解决问题的有力工具之一。
第九章二阶线性常微分方程级数解法
a1
得到l 阶勒让德方程解：
y
a2k x2k
a x2k1 2k 1
a0y0 ( x) Nhomakorabeaa1 y1( x)
y0
(x)
1
(l)(l 1) 2!
x2
(2
l)(l)(l 1)(l 4!
3)
x4
...
(2k 2 l)(2k 4 l)
(l)(l 1)(l 3) (2k )！
程在点 z0的邻域 z z0 R 内的解可以表示成泰勒级数的
形式:
w(z) an (z z0 )n，
n0
a0 , a1 , …ak , … 待定系数
级数展开式中的待定系数由边界条件或初始条件确定。
初始条件： w(z0 ) C0, w '(z0 ) C1.（C0 , C1为任意复常数）
d
d
d 2
得到两个常微分方程：
d 2
d 2
0
sin d (sin d) [l(l 1)sin2 ] 0
d
d
解常微分方程：
d 2
d 2
0
自然周期边界条件： ( 2 ) ()
得其通解为： () Am cos m Bm sin m
sin
sin2 2
球函数方程
径向函数所满足的方程为欧拉形方程：
d (r2 dR ) l(l 1)R 0, dr dr
r2
d 2R dr2
2r
dR dr
l(l
1) R
二阶双曲型问题C0有限元的构造及其超收敛
湖南师范大学硕士学位论文二阶双曲型问题C<'0>有限元的构造及其超收敛姓名：肖春霞申请学位级别：硕士专业：计算数学指导教师：***20020401摘要’本文为二阶常微分方程及二阶双曲型问题的时问方向构造了Ｃ。
有限元，在节点及单元内部的一些特征Ｊ氧上获得Ｊ’超收敛结果。
全文分为三部分：第一部分：我们考虑以下二阶常微分方程ｆ“。
＋（口“）’＋ｂｕ＝ｆ【Ｈ（ｏ）＝“ｏ，“（ｏ）＝“ｏ其中ａ，ｂ，ｇ足够光滑。
我们构造了一个超逼近函数‰，证明了在节点处Ｃ。
有限元解“．有如下超收敛估计似一“．）（ｆ』）＝Ｏ（ｈ２“）０一Ｈ．），（０－０）＝Ｏ（ｈ２“）并且已证明了在单元内部的一些特征点ｋｕ．，“：有超收敛结果。
第二部分：我们考虑以下二阶双曲型问题ＩＵ。
＋Ａｕ＝ｆ在Ｑ＝（ｏ，，】×Ｑ中Ｕ＝０在ｒ＝（ｏ，ｒ】×ａＱ上【ｕ（ｘ，ｏ）＝矿。
．“，（ｘ，ｏ）＝ｙ。
在Ｑ中算子Ａ一致椭圆算子且与ｔ无关。
我们采用了张量积并在时间方向应用Ｃｏ有限元，令０＝ｆ。
＜ｔ．＜ｆ：＜Ａｔ。
＝Ｔ是【Ｏ，Ｔ】的一个剖分，令甜∈础（Ｑ）是Ｑ上的二次有限元空间．ｈ为网格参数．令ｚ．为空间上的剖分节点．则Ｃｏ全离散有限元解ｕ在点积Ｚ．ｏ｛ｔｊ｝上有如下超收敛估计厂、ＫＩ∑ｌ（ｕ一“）（，』，ｘ４２＾２Ｉ＝Ｄ（＾４＋ｋ３）ｌ∑Ｉ（ｕ一”），（ｆ』一Ｏ，ｘ）１２＾２ｌ－Ｄ（＾３＋女３）＼舵乙，并且在单元，，：（ｆ『，ｆ州）内部的一些特征点上，Ｄ，ｕ有超收敛结果．第三部分我们提供了两个算例来验证前两部分的结果．实验结果与理论相吻合，关键词：Ｃｏ有限元，超收敛，二阶常微分方程，二阶双曲型问题ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔＣｏｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｓｆｏｒｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒｏｒｄｉｎａｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｓｅｃｏｎｄ·ｏｒｄｅｒｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｔｉｍｅ，ａｎｄａｔｔｈｅｎｏｄｅｓａｎｄｓｏｍｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｐｏｉｎｔｓｓｅｖｅｒａｌｎｅｗｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｄｅｒｉｖｅｄ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｓｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｈｒｅｅｐａｒｔｓ．Ｐａｒｔ１Ｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒｏｒｄｉｎａｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎＩ“’＋（ａＩｔ）’＋ｂｕ＝ｆ卜（ｏ）＝Ｉ／Ｏｇ／，Ｉ’（ｏ）＝“ｊｗｉｔｈａ，ｂ，ｆｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｌｙｓｍｏｏｔｈ．ＷｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔａｓｕｐｅｍｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎⅣ。
二阶常微分方程解的存在问题分析毕业论文
二阶常微分方程解的存在问题分析毕业论文目 录§1 引言 (1)§2 常系数线性微分方程的解法 (1)2.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法——特征方程法 (1)2.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 (3)2.2.1类型Ⅰ：x n e x P x f λ)()(= (3)2.2.2类型Ⅱ：x n m e x x P x x P x f λωω)sin )(cos )(()(+= (6)§3 二阶微分方程的降阶和幂级数解法 (7)3.1 可将阶的一些方程类型 (7)3.2 二阶线性微分方程的幂级数解法 (10)3.3 二阶变系数线性微分方程的常系数化 (12)3.3.1 欧拉方程 (12)3.3.2 二阶线性微分方程的常系数化 (13)§4 拉普拉斯变换 (14)§5 二阶微分方程的存在唯一性 (16)5.1 存在唯一性定理 (16)5.2 应用举例 (21)5.2.1 关于二阶线性齐次方程解的零点 (21)5.2.2 二阶线性非齐次方程的边值问题 (21)致 谢 (24)参考文献 (25)§1 引言二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。
这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚，而且还因为它是研究非线性微分方程的基础，在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。
本文将主要介绍几种不同类型的二阶线性微分方程的解法，及二阶微分方程的初值问题的存在唯一性定理。
§2 常系数线性微分方程的解法2.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法——特征方程法若21,y y 是二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y ，其中q p ,均为常数 （2.1）的两个线性无关的解，那么（2.1）的通解就可表示成2211y C y C y +=（21,C C 为任意常数）由此可知，只要找到方程（2.1）的两个线性无关的解，就能求出（2.1）的通解。
常微分方程中的初值问题及解析解的求解
常微分方程中的初值问题及解析解的求解常微分方程是数学中重要的一个分支，它研究的是一类关于未知函数及其派生函数的方程。
其中，初值问题是求解常微分方程的一种基本方法，通过给定初始条件，计算出函数在这个初始点上的值，并逐步推算出函数在逐渐逼近所求解点上的值。
解析解是指能够通过代数或函数的方式得到的函数表达式或公式，它在常微分方程中起着重要的作用。
本文将通过详细的论述，探讨常微分方程中的初值问题及解析解的求解方法。
一、初值问题1.什么是初值问题初值问题是指，给定一个常微分方程及其初始条件，求该方程在初始点上的解，即求解函数在一个点的值。
通常，初值问题可以表示为：y' = f(x, y), y(x0) = y0其中，y'表示关于x的导数，f(x,y)表示一般的函数表达式，y(x0)表示在x0这一点上，函数y的值为y0。
2.求解初值问题的方法为了求解常微分方程的初值问题，我们需要利用数值方法和解析方法两种基本的求解方法。
数值方法是通过数值计算得出函数的数值近似解，它可以在一定程度上解决一些复杂的常微分方程。
具体来看，数值方法通常采用数值迭代等一系列计算方法，将x值串联起来，以近似解代替函数的实际值。
解析方法是指利用已知的数学方法求解常微分方程的解析解。
解析方法适合于求解简单的常微分方程。
解析解的求解通常渐近地得到表达式，这些表达式能够明确地刻画出注重解析的科学问题。
二、解析解的求解1. 一阶微分方程的求解对于一阶线性微分方程，可以采用分离变量的方法求解。
常见的分离变量方法表示为：dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)，g(y)都是与x 和y有关的函数，两边同时积分，就得到：∫1/g(y)dy = ∫f(x)dx有时，可以将一阶微分方程变形为某种特定的方程，从而得到解析解。
2. 二阶微分方程的求解二阶微分方程最常见的形式为y'' + p(x)y' + q(x)y = 0。
同伦摄动—再生核法求解二阶常微分方程初值问题
哈尔滨工业大学理学硕士学位论文摘要现代学科中的许多研究课题都可以通过求解非线性方程的初值问题来解决。
因此，求解非线性方程的初值问题是许多专家与学者所关注的热点问题，具有很重要的现实意义。
在解决非线性方程的初值问题的发展过程中，许多数值解法被广大学者所提出，如Runge-Kutta方法、线性多步法、变分迭代法、牛顿法、欧拉法、同伦摄动法等。
何吉欢提出的同伦摄动法是结合传统的摄动理论和同伦技术的方法，克服了原有的传统摄动理论的不足，将许多复杂的非线性问题转化为更容易求解的线性问题，使问题得到解决。
该方法所求得的级数解能够快速收敛到真解，且取级数解的有限项就能快速地逼近方程的真解。
基于上述优点，该方法被广大学者应用到各领域中。
再生核方法是一种利用初始条件构造线性算子，通过求解简单的线性算子方程而求得原来复杂的非线性方程的一项分析技术。
但是同伦摄动法也有许多不足之处：（1）对于一些强非线性问题，该方法只在局部收敛；（2）由于算子是否为压缩算子难以验证，所以对于该方法的收敛性问题没有严格的证明。
基于以上两点，本文采用改进的同伦摄动法：对方程进行分段求解。
克服了传统的同伦摄动法的不足，同时本文还给出了严格的收敛性证明。
本文主要研究应用改进的同伦摄动法求解非线性Volterra积分—微分方程初值问题，同时结合再生核方法求解非线性二阶常微分方程初值问题。
并且对改进的同伦摄动法的收敛性给出严格的证明。
每章中数值算例部分的数值结果，充分说明改进的同伦摄动法在求解非线性问题时很有效。
关键词：同伦摄动法（HPM）；改进的同伦摄动法（MHPM）；再生核方法（RKM）；非线性Volterra积分—微分方程；非线性二阶常微分方程；初值问题哈尔滨工业大学理学硕士学位论文AbstractThe initial value problem of nonlinear equations can be used to solve many problems from modern subjects.It is the hot topic concerned by many experts and scholars,since it has an important practical significance.In the development process of solving the initial value problems of nonlinear equation,many numerical methods proposed by experts and scholars,such as Runge-Kutta method,Linear multi-step method,Variational iteration method,Newton method,Euler method,Homotopy perturbation method and so on.Homotopy perturbation method was first proposed by J.H.He in1998,this method combines the traditional perturbation method with homotopy technique,overcoming the shortcoming of perturbation theory,deforming a difficult problem into simple solving ing this method,the series solution can quickly converge to the true solution.A few several terms of the series solution can be used for approximation to the exact solution.Based on the above advantages,this method has been applied to various fields.Reproducing kernel method is an analytical technique,using the initial conditions of the equation to construct a linear operator,then we can solve the simple linear operator equation instead of the original complex one.However,there are disadvantages of the homotopy perturbation method:(1)For strongly nonlinear problems,this method only local converges;(2)Since the compression operator is difficult to verify,there is no strict convergence proof.Based on the above two points,the traditional homotopy perturbation method is modified,which means the interval is divided.This new method overcomes the shortcoming of traditional homotopy perturbation method,strict convergence proof is also given.The purpose of this paper is to apply the modified homotopy perturbation method to nonlinear second-order Volterra integro-differential equations,combining Reproducing kernel method to solve strongly nonlinear second-order ordinary differential equations with initial value problem.The convergence proof of the new method is given.Numerical results of every chapter show that the modified homotopy perturbation method is a fast and simple method.Keywords:homotopy perturbation method(HPM)，modified homotopy perturbation method(MHPM)，reproducing kernel method(RKM)，nonlinearsecond-order V olterra integro-differential equations，strongly nonlinearsecond-order ordinary differential equation，initial value problem哈尔滨工业大学理学硕士学位论文目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第1章绪论 (1)1.1课题来源及背景 (1)1.2常微分方程初值问题的研究现状 (3)1.3本文主要研究内容 (3)第2章用改进的同伦摄动法求解非线性二阶Volterra积分—微分方程及其收敛性分析 (5)2.1同伦摄动法的介绍 (5)2.2改进的同伦摄动法求解非线性二阶Volterra积分—微分方程 (6)2.3方程的收敛性证明 (7)2.4具体的计算过程 (13)2.5一些结论 (13)2.5.1N的选取 (13)2.5.2‘step’的选取 (13)2.5.3 的选取 (13)2.6数值算例 (14)2.7本章小结 (16)第3章同伦摄动—再生核法求解二阶常微分方程初值问题 (17)3.1引言 (17)3.2预备知识 (17)3.2.1同伦摄动法分析 (17)3.2.2再生核方法分析 (17)3.2.3方程的解 (18)3.3方程的解及其收敛性分析 (19)3.3.1改进的同伦摄动法求解方程 (19)3.3.2用再生核方法求解方程 (20)3.4方程的收敛性证明 (21)3.5数值算例 (25)3.6本章小结 (29)结论 (30)参考文献 (31)哈尔滨工业大学学位论文原创性声明和使用权限 (36)致谢 (37)哈尔滨工业大学理学硕士学位论文第1章绪论1.1课题来源及背景在当今的社会生活中，很多问题都与非线性问题相关。
二阶有限元问题
二阶有限元问题
二阶有限元问题是指将连续介质变成有限数量的元素，将所研究的问题转化为有限自由度的计算问题。
通常，二阶有限元问题可以总结为以下三个步骤：
1. 离散化：将连续介质划分成有限数量的互相连接、无共点且不间断的单元，每个单元内部是连续的，单元之间的形状可以是各种各样的。
在二阶有限元中，每个单元通常包括节点和单元自由度，其中节点是单元的顶点，自由度描述了单元内的相关属性，如位移、应变等。
2. 基函数的选择：在每个单元内部，选择能够在单元内任意一点上均匀、满足连续性和平滑性的基函数。
基函数常用的有线性函数、二次函数、三次函数等，线性函数的自由度比较少，但模拟力学现象的精度较低，而高阶函数则需要更多的自由度，计算成本也会增加。
3. 元素矩阵的计算：通过选择合适的基函数，能够确定单元刚度矩阵和力分配矩阵，并通过组合或单元单独求解的方法，计算出完整的系统矩阵，并利用矩阵求解方法计算节点上的物理属性，如位移、应变等。
二阶有限元问题通常应用于计算实际工程问题，如结构力学、热力学、流体力学等领域。
对于这些实际问题，因为其复杂性和非线性性，通常需要先根据物理规律建立数学模型，再经过离散化、基函数选择和元素矩阵的计算，最终得到有限元模型。
有限元模型的计算结果通常与实际结果具有较高的吻合度，可用于工程设计的分析、仿真和优化。
二阶常微分方程初值问题数值方法的研究综述
二阶常微分方程初值问题数值方法的研究综述摘要：二阶常微分方程周期初值问题数值方法近些年来倍受人们的关注。
我们将对近些年来二阶常微分方程周期初值问题数值解的研究做一个简要的综述, 并提出进一步研究的设想。
关键词：周期初值问题；数值方法；代数精度；周期性区间；P 一稳定性；相延迟阶1 、引言考虑二阶常微分方程初值问题里假设有足够的滑性，且不含Y的一阶导数项，并假设这一问有周期解或振荡解。
这一问题的数值方法近些来备受人们的关注，因为在科学与工程的许多域中都能碰到，比如天体力学，量子力学【 1 ， 2 】论物理与化学，电子学以及偏微分方程的半离等等。
例如，考虑一维S c h r ~ d i n g e r 方程其中l 是一个非负整数，W( x )是势能函数，E是常数。
这一方程的数值解近二十年来引起人广泛的兴趣，出现了许许多多的数值方法[ 3 ] 。
易见，这是二阶周期问题数值解的一个特款。
本文我们将对近些年来二阶常微分方程周期初值问题数值解的研究做一个简要的综述，共分以下几个部分。
在第二节中，我们给出这一问题的一些基本概念与基本理论；在第三节中，我们将结合自己的研究工作对解这一问题的数值方法进行一些综述；最后在评论中，我们提出进一步研究的设想。
2 、基本理论考虑有周期解或振荡解的二阶常微分方程初值问题( 1 )。
在设计数值方法时，方法的代数精度通常是考虑的首要因素，这是因为代数精度愈高，我们得到的数值解就愈精确。
定义1 .[ 4 ] 考虑解问题( 1 )的线性l 步方法其中是系数且作为的近似值，如果方法( 2 ) 对充分可微函数有下式满足则称方法( 2 ) 有q阶代数精度。
下面考虑单步方法的代数精度。
将( 1 )化成与其等价的一阶系统定义 2. [ 5 ] 考虑解问题( 1 )的单步方法，如果对充分可微函数有下式满足其中) 为精确解，为数值解，则称此单步方法有r 阶代数精度。
同时，由于问题的精确解是周期的或振荡的，故我们希望数值解也应有类似的性质，这样就产生了数值方法的稳定性问题。
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摘 要 基 于在一十单元上 的改进的单元正变展 开 ． 到二阶 常微 分方程 ｃ 有 限元 “ 得 。 的误差表 示式 以厘 节点和单元 内部一些特征点上的超收敛结 果． 关ｔ 词 二 阶常 微 分 方 程 Ｃ 有 限元 超 收 敛 。
ｎｏ ｓａ ｄｅ ｎｄ ， ｅ ｃ ａｒ ｃ ｅ ｉｔｃ ｐｏｎｔ ｅ ｄｅ ｉｅｄ ￣ ｏｍ ｈ ａ ｔ ｒｓ ｉ ｉ ｓａｒ ｒｖ
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元 都已被研 究 （ 文献 ）本文 将利 用文 ：］提 出的新 想法 ， 见 ， １ 对二 阶常 微分 初值 问题 ， 利用 Ｃ 间 。 断有 限元 ， 在一般 情况 下导 出深 刻 的超收敛 估计 ， 并将 它 推广到 一般 变系数 方程． 设有二 阶常微 分方 程初值 问题
Ａｂ ｔａ ｔ Ｂ ｓ ｄ ｏ ｎ ｉ ｒ ｖ ｄ ｏ ｔ ｏ ｏ ａ ｅ ｐ ｎ ｉ ｎ ｉ ｎ ｅｅ ｎ ， ｎ ｅ ｒ Ｆｅ ｐ ｅ ｓｏ ｆＣ ｉ ｉ ｌｍｅ ｔ ｓｒ ｃ ａ ｅ ｎ ａ ｍｐ ｏ ｅ ｒｈ ｇ ｎ ｌ ｘ ａ ｓ ｎ ａ ｌ ｍｅ ｔ ａ ｒ ｏ ｘ ｒ ｓ ｉｎ ｏ ｆ ｔ ｅｅ ｎ ｏ ｎ ｅ Ｕ ｏ ｅ ｏ ｄ ｏ ｄ ｒ ｏ ｄ ｎ ｉｆｒ ｎ ｉ［ｅ ｕ ｔ ｎ ｉ ｏ ｔ ｉｅ ａ ｅ ｅ ａ ｅ ｓ ｐ ｒ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｅ ｕ ｔ ｔｔ ｅ ｈｆ ｒｓ ｃ ｎ — ｒ ｅ ｒ ｉ ａ ｙ ｄｆｅ ｅ ｔ ｒ ａ ｑ ａ ｉ ｂ ａｎ ｄ． ｎ ｓ ｖ ｒ ［ｎ ｗ ｕ ｅ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｒ ｓ ｌｓａ ｈ ｏ ｓ
用 间 断 有 限 无 的思 想 ， 用 Ｃ 有 限 元 证 明 其 在 节 点 处 有 更 高 阶 的 超 收 敛 估 计 ． 导 出 其 在单 利 并 元 内部 的 一 些 特 殊 点 上 的 超 收 敛 性 ．
现在 定义 ｃ 间断 有 限元 ， ｄ＝ Ｅ ．１ 。 设 ｏ７］已作拟 一致剖 分 ｄ ； ＝ ０＜ ｆ＜ ＜ ＜ … ＜
Ｓ ＵＰＥＲＣｏ ＮＶＥＲＧＥＮＣＥ ｏＦ Ｎ Ｉ Ｃｏ ＦＩ ＴＥ ＥＬＥＭ ＥＮＴ
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“ ＋ （ ｕ） ａ ＋ ｂ ｆ， 。）一 “ ， 。 ｕ “（ 。 “ （ ）一 “ 。 ， （） １ 其 中 ４， ， 皆适 当 光 滑 ． 经 证 明 ， ｂｆ 已 对 ≥ ３次 Ｃ 有 限 元 “ ， 节 点 处 有 如 下 最 佳 阶 超 收 敛 估 在 计： “一 ＝ Ｏ（ ＿ ） 毋 （ 一 “ ）＝ ０（ ｈ ， ） 且 在单 元 的 一 些 特 殊 点 上 超 收 敛 性 ． 文 将 采 ， 本
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第２ ２卷第 ｌ期 ２０ ０ ２年 ３月
数 学 理 论 与 应 用
Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＡＬ Ⅲ Ｅ ＲＹ ＮＤ Ｏ Ａ ＡＰＰＬＩ ＣＡＴ１ ０ＮＳ
Ｖ ０ ２ ｏ １ １ ２Ｎ ．
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二 阶常微 分方 程初 值 问题 Ｃ 有 限元的超收 敛 ‘ 。
Ｘｉ ｏ Ｃｈｕ ｉ Ｃｈ ｎ Ｃｈｕ ｎ ｉｏ ａ ｎｘ ａ ｅ ａｍ ａ
（ ｎ ｔｔ ｔ ｆ ｍｐ ｔ ｔ ｎ． ｎ ｎ Ｎｏ ｍａ ｎｖ ｒ ｉ Ｃｈ ｎ ｓ ａ ４ ０ ８ ） Ｉ ｓ ｉｕ ｅ ｏ Ｃｏ ｕ ａ ｉ Ｈｕ ａ ｒ ｌ ｏ Ｕ ｉｅ ｓ ｔ ｙ． ａ ｇ ｈ ． １ ０ Ｉ
“ ＝ Ｔ， 此 基 础 上 定 义 间 断 有 限 元 空 问 Ｓ 如 下 ： 在 设 ∈ 在 每 个单 元 Ｊ 一 （ ， ） ｆ 是 ３扶 多 项 式 ， 每 个 节 点 上 是 连 续 的 ， 在 每 个 单 元 的 右 节 点 的 一 阶 导 数 是 左 连 续 的 ． 义 在 且 定
２６
数 学 理 论与 应 用
第 ２ １奄
是 左连续 的 ， 故在每 个单 元 Ｊ 上有 一个 自由度 ， Ｃ 比 有限元多 一个 自由度． 用 ∈ Ｌ 乘 （ ） 并在 Ｊ 上积分 得等 式 １式 ，
・
国 家重 点 基 础 研 究项 目于课 题 （ ￣０ ２ ０ ） 国 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （９ ３ Ｏ １ Ｇ１ ９ ３ ８ ４ ， １ ； １３ １ Ｚ ） 榇 太 教 授 推荐 收 稿 日期 ｛Ｏ １ １ Ｚ Ｏ 年 ０月 ２ ８日
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