分段函数分段点可导性的一个定理及应用_姜海勤

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分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。

即“分段函数——分段看” 一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。

如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。

4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。

否则是断开的。

例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。

再比如 ()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。

（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。

例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。

分段函数在分段点可导性的判别法

ｒ１＋ ‘ ＜１ ≥１
例２设，（）＝｛Ｉ
时出错，尤其是在分段函数在分界点处不可导，但在分界点
处左导数、右导数存在性的讨论问题中更容易出错．通过多年的教学，总结以下的简单判别法，这种方法可以简化计算过程，学生比较容易接受．
＊鞯穗
解题技巧与方法
蒜前茹每乎薅赫卿卿睁
。
● 。＿－Ｉ ≥
豢
分艨苏恭分艨萎导幞判ｌ别浚
◎ 汪爱红（甘肃民族师范学院数学系，甘肃合作７４７０００）
ｂ．１ｉｍｈ（） ≠ ｌｉｍｇ（），则，（）在。不可导（２）当ｌｉａｒｈ（），ｌｉｍｇ（）中至少有一个不存在，用导数定义来判断．
二、应用举例
别函数在分界点处的连续性，否则容易出错．
【参考文献】
（１）赵华文．可导性判定的新定理．济源职业技术学院
学，２０１４，１３（３）．
设厂（）：，则，（）在点：１
ｒ１＋ ‘ ＜１ ≥１
、
判别方法
１．若，（）在。不连续，则ｆ（）在 ‰ 不可导．（连续是
例３设，（）＝｛１
解显然函数
３ｘ一１
，求厂（１）．

分段函数分段点处可导性的讨论

分段函数分段点处可导性的讨论作者：时文俊来源：《科技创新导报》2013年第15期摘要：分段函数是高等数学中一种重要的函数，该文讨论了分段函数分段点处的可导性，并给出了求分段函数分段点处导数的几种方法。

关键词：分段函数分段点可导中图分类号：O172. 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）05（C）-0168-02函数是高等数学的研究对象，分段函数也不例外。

分段函数一般而言不是初等函数，但在教学过程中经常涉及到。

而导数是研究函数性态的重要工具，因此分段函数分段点处的连续性与可导性问题是高等数学教学中一重点，同时也是难点，讨论分段函数分段点处的连续性与可导性的题目也是各级各类考试中的常见题型。

1 分段函数分段点处的可导性根据函数在一点处的导数的定义——函数增量与自变量增量的比值当自变量增量趋于零时的极限，知一点处的导数指的是函数在该点处的变化率问题，不是孤立的，与附近的函数关系有关。

分段函数是在自变量的不同取值范围内函数的表达式不同，因此在分段函数分段点的两侧函数表达式不同，这时要考虑分段点处的导数是就需求导数定义式的左、右极限，即左、右导数。

由于左、右导数存在且相等是导数存在的充分必要条件，因此若左、右导数存在且相等则函数在分段点处可导，若左、右导数至少一个不存在，则函数在分段点处不可导。

下面我们结合一些例子来讨论分段函数分段点处的导数的计算方法。

2 分段函数分段点处的导数计算2.1 用定义求分段函数分段点处的导数例1[1]设函数，求错解1：当时，，故错解2：当时，，故分析：出现上述两种错解的原因是学生没有理解导数概念的本质含义。

导数是运动的、变化的、相互联系的量，不是孤立的，不只与一点处的函数值有关，因此解法一错。

函数在一点处的导数，反映了函数相对于自变量的变化率，这个变化率是由函数与自变量的依赖关系（对应法则）决定的。

对于初等函数，这种依赖关系是一个数学式子给出的，所以求导数可按照初等函数的求导公式和求导法则来求，而分段函数的分段点处附近表示函数与自变量依赖关系得数学式子不是一个，不能应用导数公式、法则来求分段点处的导数，应考虑该点左右两侧的情况，因此要用导数的定义及左、右导数来确定分段函数在分段点处的导数是否存在。

分段函数分界点处的可导性问题

分段函数分界点处的可导性问题分段函数分界点处的可导性问题分段函数是一种在定义域上有一定的段落的函数，每个段落上的函数都是连续的，这个函数也可以称之为“分段连续函数”。

在分段函数中，分界点（也称之为终点）是一个重要的概念，它标识着每个段落的开始和结束。

分界点处的可导性问题是一个研究分段函数的重要方面，也是本文要讨论的话题。

一、分段函数的定义在数学中，分段函数是一种有限个连续函数组成的函数，它可以用一个参数来描述。

它的表达式可以写成f(x)=f1(x) if x∈[a,b]，f2(x) if x∈[b,c]...fn(x) if x∈[n-1, n]，其中f1(x),f2(x)...fn(x)分别是定义域上的连续函数。

分段函数的参数a，b，c...n-1，n称之为分界点，分界点是分段函数的终点，也是分段函数的“节点”；这些终点之间的函数表达式是相互连续的。

二、分段函数的性质1、分段函数的定义域是有限的，它的参数可以在有限的范围内取值，这也是分段函数的一个特点。

2、在分段函数中，每个段落上的函数都是连续的，但是分界点处的函数可能不连续，而且可能不存在导数。

3、分段函数的最大特点在于它可以将一个复杂的函数拆分成多个简单的函数，从而更容易研究和理解。

三、分段函数分界点处的可导性分段函数分界点处的可导性是指在分界点处，函数是否可以求导。

一般来说，分段函数在分界点处是不可导的。

这是因为在分界点处，函数的值发生了改变，函数变得不连续，从而不能求导。

因此，分段函数分界点处的可导性问题是一个值得深入研究的重要方面，它对于研究分段函数的性质有着重要的意义。

1、分段函数分界点处的函数值要研究分段函数分界点处的可导性，首先要考虑分界点处的函数值。

一般来说，分段函数在分界点处的值是不连续的，也就是说，函数的值在分界点处发生了改变，这也是分段函数分界点处不可导的一个原因。

2、分段函数分界点处的可导性分段函数分界点处的可导性是指在分界点处，函数是否可以求导。

分段函数的性质、图象以及应用 (1)

热点分段函数的性质、图象以及应用新课标下高考数学题中以分段函数为载体，考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量 X 在不同的取值范围内对应关系不同的函数，由分段函数本身的特点，使得一个函数在各段上有不同的解析式，所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中，考查多个知识点.因而分段函数已成为高考命题的一个热点.纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上；要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握比较模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 分段函数与函数值分段函数:定义域中各段的 x 与 y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值，讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.一般将具体函数或与抽象函数结合，通过考查对数、指数的运算形成的函数求值问题．例 1【2018 届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍ft 一中、东北育才学校高三上学期期末】设e x , x ≤ 0⎡ ⎛ 1 ⎫⎤ f (x ) = { lnx , x > 0，则 f ⎢ f e ⎪⎥ = ． 1 【答案】e⎡⎛ 1 ⎫⎤⎣ ⎝ ⎭⎦ ⎛1 ⎫-11 【解析】 f ⎢ f e⎪⎥ = f ln e ⎪ = f (-1)= e = e⎣ ⎝ ⎭⎦⎝ ⎭2 分段函数与图象：分段函数的图象分段画.例 2【2017 届湖南省长沙市第一中学高考模拟卷一】已知函数 f (x ）={e x, x ≤ elnx , x > e，则函数 y =f (e - x )的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B3分段函数与方程已知函数值求自变量x或其它参数的值的问题，一般按自变量x的取值范围分类讨论，通过解方程而得到.1-x, x < 0例3【2018 届北京市东城区高三上学期期中】已知函数f (x)= { xlnx , x > 0，则关于x的方程⎡⎣f(x)⎤⎦2+f(x)+a=0(a∈R)的实根个数不可能为（）．A.2 B.3 C.4 D. 5【答案】A【解析】当x < 0时， f '(x)=-1x2∴ f (x)在(-∞, 0)上是减函数，-1 < 0，当x > 0时， f (x)= ln x = {-lnx, 0 <x < 1，lnx, x ≥ 1∴ f (x)在(0,1)上是减函数，在[1, +∞)上是增函数，作出f (x)的大致图像如图所示：2 ⎭⎝ ⎭⎝设 f (x ) = t ，则当t < 0时，方程 f (x ) = t 有一解，当t = 0时，方程 f (x ) = t 有两解，当t > 0时，方程 f (x ) = t 有三解，有 ⎡ f (x )⎤2- f (x ) + a = 0，得t 2 - t + a = 0，若方程t 2 - t + a = 0，有两解t ， t ，则t + t= 1，⎣ ⎦∴方程t 2- t + a = 0不可能有两个实数根，∴方程 ⎡⎣ f (x )⎤⎦2- f (x ) + a = 0不可能有2个解．故选A ．4 分段函数与不等式1 2 12将分段函数与不等式结合，考查函数单调性及解不等式知识，体现分类讨论思想.例 4【2018 届福建省厦门市高三上学期期末】已知函数 f (x ) = {log 2 x , 0 < x ≤ 2,log 2 (4 - x ), 2 < x < 4,f (a ) ≥ f ⎛a + 1 ⎫，则a 的取值范围是（）2 ⎪ ⎝ ⎭A. ⎛ 0, 1 ⎤ ⋃ ⎡2, 7 ⎫B. ⎛ 0, 1 ⎤ ⋃ ⎡ 7 , 7 ⎫2 ⎥⎦ ⎢⎣⎪ 2 ⎥⎦ ⎢⎣4 2 ⎪⎛ 17 -1⎤ ⎡ 7 ⎫ ⎛ 17 -1⎤ ⎡ 7 7 ⎫C. 0, 4 ⎥ ⋃ ⎢2, 2 ⎪D. 0, 4⎥ ⋃ ⎢ , ⎪ ⎝ ⎦ ⎣ ⎭ ⎝⎦ ⎣ 4 2 ⎭【答案】D【解析】画出函数 y =f (x )的图象（图中黑色部分），则函数 y =f (x )的图象向左平移 1个长度单位，得 2到函数 y = ⎛ + 1 ⎫的图象（图中红色部分），设两图象交于点 A , B ，且横坐标分别为 a , a ．由图象可得f x 2 ⎪ 1 2⎝ ⎭若-1+ 17 满足 f (a ) ≥ f ⎛a +1 ⎫的实数a 的取值范围为⎛0, a ]⋃[a ,7 ⎫．2 ⎪ 1 22 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭对于 a ，由-log a = log ⎛a + 1 ⎫，解得 1= a + 1，所以2a 2 - a - 2 = 0，解得 a = 或1 2 1 2 1 2 ⎪ a 1 2 1 1 14 a 1 =⎝ ⎭ 1（舍去）． 4⎡ ⎛ 1 ⎫⎤ 7对于a 2，由log 2a 2 = log 2 ⎢4 - a 2 + 2 ⎪⎥，解得 a 2 = 4．⎣ ⎝ ⎭⎦综上可得实数a 的取值范围为⎛ 0, -1+ 17 ]⋃[ 7 , 7 ⎫．选 D ． 4 4 2 ⎪⎝ ⎭ 5 分段函数与零点解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．x + 2, x > a 例 5【2018 届四川省成都实验中学高三上学期 1 月月考】已知函数 f(x)＝{x 2 + 5x + 2, x ≤ a函数 g(x)＝f(x)－2x 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是( )A. [－1，1)B. [0，2]C. [－2，2)D. [－1，2) 【答案】D-1- 176 分段函数与解析式分段函数是定义域中各段的 x 与 y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.因此求解析式时，也是分段求解析式的.例 6【2018 届湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）】已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数.当 x > 0时，f (x ) = x 2 - x ，则不等式 f (x ) > 0的解集用区间表示为（）A. (-1,1)B. (-∞, -1)⋃ (1, +∞)C. (-∞, -1)⋃ (0,1)D. (-1, 0)⋃ (1, +∞) 【答案】D7分段函数与周期和最值分段函数的值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大者是函数的最大值，最小值是各段最小值中的最小者，一般可借助于图像来解决.例 7【2018 届ft 西省太原十二中高三 1 月月考】已知-8 < m < n ，函数 f (x ) = {3log 8 (-x ), -8 ≤ x < m ,x 2- 2x , m ≤ x ≤ n ,若 f (x )的值域为[-1, 3]，则 n - m 的最大值与最小值之积为（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B【解析】 f (x )= {log 2 (-x ), -8 ≤ x < m x 2 - 2x , m ≤ x ≤ n，分别作出 y = log 2 (-x )和 y = x 2 - 2x 的图像， f (x )在[-8, m )是减函数且log 2 (-m ) < f (x ) ≤ 3 ，因 f (x )的值域是[-1, 3]，故 f (x )只能在[m , n ]上取最小值-1，所以1 ≤ n ≤ 3. 又-1 ≤ m ≤ -1，否则 m < -1时， f (x ) > 3， - 1< m < 0时， f (x ) < -1，22m ≥ 0时， log 2 B.(-x )在0 ≤ x ≤ m 上无意义. 故 n - m 的最小值为3，最大值为4，它们的乘积为6，选2点睛：这是一个动态变化的问题，注意到函数在区间[-8, m )有最大值3，但无最小值，故函数的最小值-1 只能在[m , n ]取得，但是 y = x 2 - 2x = (x -1)2-1 ≥ -1，因此1∈[m , n ]且 m ≤ - 1，再根据 f (x )的最大2值为 3，得到 m ≥ -1, n ≥ 3，所以 n - m 的最小值为 3，最大值为4，它们的乘积为 6.2例 8【2018 届贵州省贵阳市第一中学高三 12 月月考】已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数，满足f (x +1) = - f (x )，当 x ∈ ⎡0, 1 ⎤时， f (x ) = 4x -1，则函数 h (x ) = (x -1) f (x )-1在区间 ⎡- 3 , 3⎤上⎣⎢ 2 ⎥⎦⎣⎢2 ⎥⎦所有零点之和为（）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】A【解析】由已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数，所以 f (-x ) = - f (x )，又 f (x +1) = - f (x )，所以 f (x )的周期是 2，且 f (x +1) = f (-x )得 x = 1是其中一条对称轴，又当 x ∈ ⎡0,1 ⎤时， f (x ) = 4x-1，于是2f (x )图象如图所示，⎣⎢ 2 ⎥⎦又函数h (x)=(x -1)f (x)-1零点即为y =f (x)图象与y =1x -1的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于(1, 0)对称，所以x1 +x4 = 2, x2 +x3 = 2，所以零点之和为x1 +x2 +x3 +x4 = 4.故选 A．8 分段函数的单调性例9 已知函数f (x)= {a x , x < 0, 满足对任意x ≠x,都有 f (x1 )- f (x2 )< 0成立,则a的范(a -3)x+ 4a, x ≥ 0 1 2 x1- x2围是( )A.⎛0,1 ⎤B. (0,1)C. ⎡1 ,1⎫D. (0, 3)4 ⎥⎢4 ⎪⎝⎦⎣⎭【答案】A点睛：解分段函数单调性问题时，需要考虑两段函数都是增函数或减函数，其次考虑两段函数的分界点，如果是增函数，则左侧函数的最大值要小于等于右侧函数的最小值，反之，左侧函数的最小值要大于等于右侧函数的最大值.【反思提升】综合上面的八种类型，解决分段函数函数问题类型，涉及到很多数学思想主、方法；分段函数首先是函数，且是一个函数，不是多个函数；分段函数的处理方法:分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个解析式，这样就要分段讨论、求解，即要重视分类讨论思想在解题过程中的应用.。

基于一类分段函数在分段点的连续性及可导性的探索

基于一类分段函数在分段点的连续性及可导性的探索
【摘要】通过对分段函数在分段点性态的讨论,给出了判定函数在分段点导数是否存在的方法,并得出一般性结论.
关键词：分段函数连续性可导性
各种教材和指导书在研究分段函数在分段点的连续及可导时，都是国家函数在一点连续及可导的定义或充要条件（即在在连续；在可导，笔者在此针对一类对较特殊的分段函数给出两个结论，这个两个结论对研究这类分段函数在分段点的连续及可导有所帮助，既方便实用，又简单可行，避免了用定义的繁琐和难度。

定理1：设= ，为初等函数，定义在区间D1上，0
解：∵（=1，=1，∴=
∴在x=0处连续
x0 2-x，x>1
>1）x>1
（3）= x3 0≤x≤1
0 x1）
∴≠x3
∴在x=1不可导
又∵x3=0，0=0
（x3）/=3x2=0，（0）/=0
∴在x=0可导，
X2（x≥0）
例4：设=在点x=0处可导，求之值及导数
<0）
解：∵在x=0可导
∴x2=（
∴
且=（x2）/=0
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。

分段函数在分段点处的导数的求法

分段函数在分段点处的导数的求法摘要：分段函数又是函数中的一个难点。

利用导数定义求分段函数在分段点处的导数。

必须用导数的定义来判断该点的可导性。

分段点，分段函数在分段点处的导数的求法。

关键词：分段函数，分段点，导数高等数学研究的对象是函数，分段函数又是函数中的一个难点。

一般教科书中只是在函数的定义之后给出了分段函数的一些简单介绍，并没有对分段函数进行严格地定义。

对其特征、性质等都没有作出具体说明并且其后的有关知识对于分段函数应该如何处理，也没有明确指出。

正是由于上述原因，对分段函数及其有关性质、处理方法难以把握。

分段函数是指在自变量变化的不同区间上，它有不同的表达式，而在整个自变量的变化区间上，它是一个函数。

分段函数的分段点是指函数自变量的某一取值，函数在该点与在其它部分有不同的表达式。

分段函数有多种形式，但对每一个分段点而言，最常见的分段函数可归结为以下两种形式：，，其中为函数的分段点。

在高等数学教学中，分段函数求导是学生学习的一个难点。

对于分段函数的求导，关键在于分段点处导数的计算。

一般高等数学教材在给出导数的定义后，都会给出可导的必要条件，;;可导必连续;;，这一必要条件的另一种说法：不连续一定不可导.利用这一必要条件，往往极易判断出函数在分段点的可导性。

1．若分段函数在分段点处不连续，则在分段点处必不可导。

例1 设，讨论在处是否可导？解：，，由于，可得在处不连续，则在处不可导。

以下讨论，我们总假定分段函数在分段点处是连续的。

2．利用导数定义求分段函数在分段点处的导数。

分段函数在分段点处的导数一般通过定义来求解，即讨论在分段点处的左、右导数来获得。

在处可导的充要条件是左导数和右导数均存在且相等，即（为常数）。

例2 设，讨论在处是否可导？解：，，由，可得在处可导，且。

论文发表，分段点。

例3 设，讨论在处是否可导？解：，，因为，所以在处不可导。

3．利用导数极限定理求导例4 设，讨论在处是否可导？解法一：利用导数的定义，，。

分段函数在分段点处的可导性研究

分段函数在分段点处的可导性研究分段函数是指定义域内分段不同的函数表达式的函数。

在分段点处，由于不同函数表达式的定义和性质可能存在差异，因此分段函数在分段点处的可导性是一个重要的研究课题。

首先，我们介绍一下可导性的定义。

在数学中，函数在其中一点可导意味着它在该点处的导数存在。

导数可以理解为函数在该点处的局部变化率，或者是函数图像在该点处的切线斜率。

如果函数在其中一点处的导数存在，那么该函数在该点处是可导的；反之，如果函数在其中一点处的导数不存在，那么该函数在该点处是不可导的。

接下来，我们研究分段函数在分段点处的可导性。

为了简化讨论，我们假设分段函数是一元函数，定义域是实数集。

对于分段函数f(x)，假设其定义域中存在一个分段点a。

一种可能的情况是，分段函数f(x)在点a的左右两侧都存在导数。

这种情况下，我们需要关注点a处的左导数和右导数。

左导数指的是当自变量趋向于分段点a时，函数的局部变化率的极限值；右导数则是指当自变量从a的右侧趋向于a时，函数的局部变化率的极限值。

如果左导数和右导数都存在，并且相等，那么分段函数在点a处是可导的。

然而，当左导数和右导数不相等时，分段函数在点a处是不可导的。

这是因为左导数和右导数分别对应了函数在a的左侧和右侧的局部变化率，如果两者不相等，则表示函数在点a处的左侧和右侧的变化趋势不一致，没有一个确定的切线可以用来描述该函数在点a处的局部性质。

在这种情况下，分段函数在点a处是不可导的。

除了上述情况，还存在一些特殊的分段函数。

例如，在分段点a处，如果左导数和右导数都存在，但是它们的值不同，那么分段函数在点a处是间断可导的。

间断可导的意思是存在左右导数，但是该点处没有一个确切的切线，因为左导数和右导数的差异导致函数图像在该点处出现了间断。

另一个特殊情况是，分段函数在分段点a处的左导数或右导数不存在，但是函数在点a处的局部切线斜率存在。

这种情况下，我们称分段函数在点a处是唯一可导的。

分段函数的导函数应用

分段函数的导函数应用分段函数是高中数学课程中非常重要的概念之一，反映了现实世界很多现象的本质。

在分段函数的学习中，我们不仅要掌握它的定义、性质和图像，还要深入研究分段函数的导数和导函数。

本文将从导函数的应用着手，探讨分段函数在实际中的应用，为读者提供一些有益的启示。

一、分段函数的导数在数学中，导数是函数的一种重要性质，可以告诉我们函数变化的速率。

导数的定义是：当自变量的增量接近于零时，函数值的增量与自变量增量之比的极限，称为该函数在该点的导数。

若函数在某一点可导，则称该函数在该点可导。

而对于分段函数，我们需要注意分段点处的导数是否存在。

对于分段函数$f(x)$，其导数的计算方法如下：1. 若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上可导，其导函数为$f'(x)$。

2. 若$f(x)$在$(a,b)$上连续，但在$a$和$b$处不连续，则$f(x)$在$(a,b)$内可导，其导函数为$$f'(x)= \begin{cases} f_1'(x) & x \in (a,c) \\ f_2'(x) & x \in (c,b) \end{cases}$$其中$f_1'(x)$和$f_2'(x)$分别为$f(x)$在$(a,c)$和$(c,b)$内的导数，$c$为$f(x)$的间断点。

3. 若$f(x)$在$(a,b)$内有限多个间断点，则$f(x)$在$(a,b)$内可导，其导函数为$$f'(x)= \begin{cases} f_1'(x) & x \in (a,c_1) \\ f_2'(x) & x \in (c_1,c_2) \\ \cdots \\ f_n'(x) & x \in (c_{n-1},b) \end{cases}$$其中$f_k'(x)$为$f(x)$在$(c_{k-1},c_k)$内的导数，$c_0=a$，$c_n=b$。

分段函数的可导性定理

分段函数的可导性定理分段函数在数学中是一个重要的概念，它可以用来描述许多实际问题。

在数学分析中，对于一个分段函数，我们需要解决的一个问题就是它的可导性问题。

在这篇文章中，我们将讨论分段函数的可导性定理。

一、分段函数的定义首先，让我们来回顾一下分段函数的定义。

分段函数是指由两个或多个不同的函数在一组数的不同区间上所组成的函数，也称作“分段定义的函数”。

例如，设函数f(x)在区间[a,b]上为a1x+b1，在区间(b,c]上为a2x+b2。

则f(x)在[a,c]上的表达式为：\begin{cases}a_1x+b_1, & a\le x\le b\\a_2x+b_2, & b< x\le c\end{cases}二、可导性的定义在讨论可导性定理之前，我们需要先了解可导性的定义。

对于函数f(x)，如果在x=a处存在导数，即：\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}存在，那么我们称该函数在x=a处可导。

当然，只有在极限存在的情况下，才可以拥有导数。

三、在分段函数的研究中，我们经常需要讨论在分段函数之间转换时是否会改变其可导性。

以下是分段函数的可导性定理：若f(x)和g(x)在[a,b]和(b,c]上可导，且f(b)=g(b)，那么f(x)和g(x)在[a,c]上可导，且f'(b)=g'(b)证明：由分段函数的定义：f(x)=\begin{cases}f_1(x),&x\in [a,b]\\ f_2(x),&x\in(b,c]\end{cases}g(x)=\begin{cases}g_1(x),&x\in [a,b]\\g_2(x),&x\in(b,c]\end{cases}根据可导性的定义，我们可以得到：f'(b)=\lim_{h\to 0} \frac{f(b+h)-f(b)}{h}g'(b)=\lim_{h\to 0} \frac{g(b+h)-g(b)}{h}因为f(b)=g(b)，所以：\begin{aligned} &f'(b)+g'(b)\\ =&\lim_{h\to 0} \frac{f(b+h)-f(b)}{h}+\lim_{h\to 0} \frac{g(b+h)-g(b)}{h}\\ =&\lim_{h\to 0}\frac{f(b+h)-g(b+h)+g(b)-f(b)}{h}\\ =&\lim_{h\to 0} \frac{f_2(b+h)-g_2(b+h)+g(b)-f(b)}{h}\\ =&\lim_{h\to 0} \frac{(f_2(b+h)-g_2(b+h))}{h}+\lim_{h\to 0} \frac{g(b)-f(b)}{h}\\ =&f_2'(b)+g_2'(b)\\ \end{aligned}其中，我们使用了$f_1(b)=g_1(b)$和$f_2(b)=g_2(b)$这两个条件。

分段函数及函数的性质知识梳理

分段函数及函数的性质分段函数概念在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数．定义域分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集函数值求分段函数的函数值()0f x 时，应该首先判断0x 所属的取值范围，然后再把0x 代入到相应的解析式中进行计算．注意分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．分段函数的作图因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像．例1 设函数()221,0,,0.x x y f x x x -⎧⎪==⎨>⎪⎩…（１）求函数的定义域；（２）求()()()2,0,1f f f -的值．（3）作出函数图像．1.设函数 ()221,20,1,0 3.x x y f x x x +-<⎧⎪==⎨-<<⎪⎩…（1）求函数的定义域；（2）求()()()2,0,1f f f -的值．（3）作出函数图像．2．设函数()41,20,1,0 3.x x f x x --<⎧=⎨-<<⎩…（1）求函数的定义域；（2）求()2(0)(1)f f f -，，；（3）作出函数图像．3 .()⎩⎨⎧>-≤+=,0,2,0,12x x x x x f 若()2f f ⎡⎤⎣⎦= .4.已知⎩⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为（） A 2 B 3 C 4 D 5函数的性质 1 单调性概念函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性．1 即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <成立．这时把函数()f x叫做区间(),a b 内的增函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的增区间．2 即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x >成立．这时函数()f x 叫做区间(),a b 内的减函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的减区间．3 如果函数()f x 在区间(),a b 内是增函数（或减函数），那么，就称函数()f x 在区间(),a b 内具有单调性，区间(),a b 叫做函数()f x 的单调区间．例判断函数42y x =-的单调性1. 已知函数f ( x )=x 2+ax +b ，且对任意的实数x 都有f (1+x )=f (1－x ) 成立。

分段函数分段点处如何求导

分段函数分段点处如何求导
辛春元
【期刊名称】《中国教育技术装备》
【年(卷),期】2009(000)024
【摘要】分段函数在分段点处求导问题是数学分析中的一个重点和难点,总结分段函数在分段点处求导的2种方法.
【总页数】2页(P79,81)
【作者】辛春元
【作者单位】辽宁对外经贸学院,辽宁大连,116052
【正文语种】中文
【中图分类】G642.421
【相关文献】
1.分段函数在分段点处的求导方法刍议 [J], 王大荣;艾素梅
2.刍议分段函数在分段点处的求导方法 [J], 庄学政
3.刍议分段函数在分段点处的求导方法 [J], 庄学政
4.分段函数在分段点处求导方法初探 [J], 刘纪芹
5.试析分段函数在分段点处的求导问题 [J], 李层林
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探究分段函数的导数

分段函数的可导性问题是数学分析中的一个重点和难点,总结了判别分段函数在分段点处可导性的三种方法.
4.期刊论文赵占平.王行哲关于函数凸(凹)性问题的讨论 -天中学刊2002,17(5)
根据凸(凹)函数的定义,对凸(凹)函数的性质作了进一步研究,推出了定义在区间Ⅰ上的函数是凸(凹)函数的充要条件.
5.期刊论文崔万臣对一类不定积分定义域的讨论 -河北理工学院学报2001,23(3)
三、导函数ｆｒ（ｘ）的右极限ｌｉｍｆｒ（ｘ）等于右导数ｆ＋（硒）函数的求导方法，正确运用右（左）导数与导数的右（左）极限
一‘
的关系，而且能培养学生的科学精神，充分发挥学生的创新潜
吗？
能。
最后再例出两个Βιβλιοθήκη 考题，让学员自己检测一下是否完全求分段函数在分界点处的导数时，学员常不考虑条件，都掌握相关部分内容，并且会举一反三。
解：“ｘ）＝｛２（ｘ一１）一１ｓｘ（１
０２ｘ（ｘ—１）ｘ≥ｌ注意到“ｘ）在（一∞，＋∞）上连续，故可用上面所述命题
得，右（左）导数等于导数的右（左）极限。
在分段点ｘ＝一１处
由于ｌｉｒＩｌｆ（ｘ）：ｌｉＩＩｌ２＝２
ｒ．１＋
Ｐ—Ｉ＋
ｌｉＩＩｌｆｒ（ｘ）＝１ｉＩｎ（一４ｘ＋２）＝６故在ｘ＝一ｌ处函数不
分段函数的一般形式是区间Ｉ被分成若干个子区间Ｉ。，
（１）△ｘ＜０且△ｒ叼即△】—吣。
１２。……ｌＮ，在每个子区间上函数有不同的表达式。
（２）△ｘ＞０且△】广叼即△）ｆ＿叼＋
注：（１）分段函数虽然在不同的子区间上用不同的表达
并由此得到左、右导数的概念和重要结论
式，但不论分几段只代表一个函数。
重要结论：ｙ＝ｆ（ｘ）在】【ｏ处可导的充分必要条件是ｆ＋（殛）

分段函数可导性的判别方法

0在点 x 0 =
0处
xsin x , x ! 0
是否可导。
显然此函数满足定理的条件( 1) 和 ( 2), 而 f 1 ( x ) =
2x sin
1 x
-
cos
1 x
, 由于极限 lim f
x0
1 (x ) 不存在, 所以不能
用定理来判断此函数在点 x0 = 0 处是否可导。事实上不难
[ 摘要] 提出了分段函数在分段点可导的简便判别方法。
[ 关键词] 分段函数; 连续; 导数
[ 中图分类号] O 174
[ 文献标识码] A
[ 文章编号] 1009- 2323( 2008) 04- 0111- 01
在高等数学中, 如果函数 y = f ( x) 在点 x0 处可导, 则它在点 x0 处一定连续; 反之, 不一定成立。我们常常需要判断函数在点 x0 处是否可导。如果函数 y = f (x) 是初等函数, 要判断函数在点 x0 处是否可导比较容易; 如果函数 y = f ( x) 是分段函数, x0 是它的分段点, 要判断函数在点 x0 处是否可导一般用导数的定义来判断, 这种方法不仅繁琐效率底, 而且给初学者造成一定的困难。下面笔者提出一个判断这类问题的一个简便方法。
x x0
x
x
+ 0
f ( x ) 在点 x 0 处可导且 f '( x 0) = B
证明在点 x 0 的某个去心邻域内当 x < x 0 时, 函数
f (x ) 在区间[ x, x0] 上满足拉格朗日中值定理, 则存在一点
! ( x , x 0 ) , 使得
f

分段函数在分段点处可导性与连续性的判定方法

分段函数在分段点处可导性与连续性的判定方法姚克俭【摘要】连续性与可导性的判定是高职学院高等数学课程非常重要的一部分内容,分段函数作为一类比较常见的函数,对学生后续专业课程及岗位实践工作都有着非常重要的作用.分段函数可导性与连续性的学习是高等数学课程教学的重点,也是难点所在.通过两种类型的分段函数的连续性与可导性的讨论方法,给出高职学院学生在这部分内容的学习中应掌握的方法,连续性与可导性的应用可以解决高职学院高等数学很多相关问题,有比较高的实用价值.【期刊名称】《山东商业职业技术学院学报》【年(卷),期】2015(015)004【总页数】3页(P61-63)【关键词】分段函数;可导性;连续性【作者】姚克俭【作者单位】黑龙江建筑职业技术学院,黑龙江哈尔滨150025【正文语种】中文【中图分类】G718.5在高职学院高等数学中，分段函数指的是函数在定义域内存在若干特殊点，由这些特殊点将定义区间分成若干个子区间，每个子区间内函数解析式都各不相同。

这里我们假定每个函数解析式都为初等函数，也是连续函数。

但分段函数一般说来不是初等函数，所以分段函数的可导性与连续性的讨论是比较特殊的。

我们也可以通过分段函数的图像关系来形象地讨论可导性、连续性，但这种方法显然有很大的局限性，如何讨论分段函数在分段点处的可导性与连续性，是本文的重点。

我们主要讨论以下两种分段函数，即：定理1 对于⑴式，函数F(x)在x=x0处连续的充分必要条件为；对于(2)式，函数F(x)在x=x0处连续的充分必要条件为，即：f(x0-0)=f(x0+0)=F(x0)。

由此可以很简单地判定这两类分段函数在分段点处的连续性。

例1-1 讨论函数在x=0处的连续性。

解；；F(0)=1，F(0-0)=F(0+0)=F(0)，所以函数F(x)在x=0处连续。

定理2 若函数f(x)在定义域内为可导函数，则f(x)必为连续函数；反之不成立。

证明：假设函数f(x)在定义域内D为可导函数，则∀x0∈D，有=f′(x0)，由函数极限的性质得，由函数连续性的定义可知：函数f(x)在定义域为连续函数。

分段函数在分段点处的可导性研究

2004年9月渝西学院学报(自然科学版)Sep ,2004 第3卷第3期Journal of Wes tern Chongqing Universi ty (Nature Sciences Edition)Vol 3 No 3分段函数在分段点处的可导性研究曾昭华(重庆市经贸中专校,重庆永川 402160)[摘要]通过几个实例对分段函数在分段点处是否可导、如何求分段点处的导数进行了分类讨论,从中总结了几个结论 [关键词]分段函数;分段点;可导[中图分类号]O171 [文献标识码]A [文章编号]1671 7538(2004)03 0005 03分段函数在分段点处的导数,在一般微积分教材中是一个难点某些数学分析教材把它作为重点内容来加以讨论要彻底弄清分段函数在分段点处的导数,必须明确这样几点:分段函数的概念;分段函数的分段点;函数在某一点处的导数为此,笔者逐一讨论了这3个问题(1)分段函数是指在函数定义域内的不同部分用不同的解析式来表示的函数;(2)分段函数的分段点是指函数自变量的某一取值,函数在该点与在其它部分有不同的表达式;(3)函数在某一点处的导数定义为:设函数y =f (x )在点x 0及其某个邻域U 内有定义,当自变量x 在x 0处有改变量 x 时,相应地函数就有改变量 y =f (x 0+ x )-f (x 0)(其中x 0+ x U ) 如果极限limx !0yx=limx !0f (x 0+ x )-f (x 0)x 存在,则称函数f (x )在点x 0处可导,并称此极限值为函数y =f (x )在点x 0处的导数,记为f ∀(x 0) 如果上述极限不存在,则称函数f (x )在点x 0处不可导一个分段函数在分段点处是否可导以及在可导的情况下,如何求该点处的导数,都必须严格地从导数的定义出发,分三步进行讨论第一步,求函数在分段点处的改变量 y ;第二步,计算函数的改变量与自变量的改变量的比值 yx;第三步,取比值 y x 在 x !0时的极限lim x !0 y x以下对常见的分段函数在分段点处的导数分类做了讨论 1 函数在分段点的两侧解析式不同这种情况的分段点可能是函数的间断点,也可能是函数的连续点在此通过两个例题来说明函数在这种分段点处的可导性1 1分段点是函数的间断点图1例1 讨论函数f (x )=x +1,x <00,x =0x -1,x >0在x =0处的可导性解:此函数的分段点是x =0 因为li m x !0-f (x )=lim x !0(x +1)=1,lim x !0+f (x )=li m x !0(x -1)=-1,即lim x !0-f (x )#lim x !0+f (x ),所以lim x !0f (x )不存在故x =0是函数f (x )的间断点(如图1)根据函数在某点处的导数的定义可知,函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件故函数f (x )在分段点x =0处不可导1 2 分段点是函数的连续点5[收稿日期]2004 04 15[作者简介]曾昭华(1963 ),男,重庆合川人,讲师,主要从事高等数学研究例2 求下列分段函数在分段点处的导数(1)f (x )=x 2,x ∃0x 3,x <0 (2)f (x )=1-x 2,|x |%1x 2-1,|x |>1图2解:(1) 函数的分段点是x =0 因为li m x !0-f (x )=lim x !0x 3=0,lim x !0+f (x )=li m x !0x 2=0,所以li m x !0f (x )=0 而f (0)=02=0,所以lim x !0f (x )=f (0) 故函数f (x )在分段点x =0处连续(如图2) 又因为在x =0处,有:lim x !0- y x =lim x !0(0+ x )3-02 x =lim x !0( x )2=0,lim x !0+ y x =lim x !0(0+ x )2-02 x =lim x !0x =0,所以li mx !0 yx=0 故函数f (x )在分段点x =0处的导数存在,并且f ∀(0)=0(2) 函数的分段点是x =-1和x =1 图3因为lim x !1-f (x )=li m x !1(x 2-1)=0,lim x !1+f (x )=lim x !1(1-x 2)=0,所以lim x !-1f (x )=0又因为lim x !1-f (x )=li m x !1(1-x 2)=0,lim x !1+f (x )=lim x !1(x 2-1)=0,所以lim x !1f (x )=0 而f (-1)=1-(-1)2=0,f (1)=1-12=0,所以lim x !-1f (x )=f (-1),lim x !1f (x )=f (1)故函数f (x )在两个分段点x =-1和x =1处都连续(如图3) 又因为在x =-1处有:lim x !0- y x =lim x !0(-1+ x )2-1-[1-(-1)2]x =lim x !0(-2+ x )=-2,limx !0+y x =lim x !01-(-1+ x )2-[1-(-1)2] x =lim x !0(2- x )=2,所以 limx !0- yx不存在即函数f (x )在x =-1处不可导同理,在x =1处,有:lim x !0- y x =lim x !01-(1+ x )2-(1-12) x =lim x !0(-2- x )=-2,limx !0+ y x =lim x !0(1+ x )2-1-(1-12) x =lim x !0(2+ x )=2 所以在x =1处,lim x !0 yx 也不存在即函数f (x )在x =1处也不可导故函数f (x )在两个分段点x =-1和x =1处均不可导上述两例表明:对于分段点是函数的间断点的情况,它必然是函数的不可导点;对于分段点是函数的连续点的情况,它既可能是函数的可导点,也可能是函数的不可导点2 函数在分段点两侧的解析式相同这种情形也可以分为分段点是函数的间断点与连续点两种情况在此仍以两个具体例题来阐明函数在这种分段点处的可导性2 1 分段点是函数的间断点例3 讨论函数f (x )=x +1x ,x #00,x =0 在x =0处的可导性图4解:此函数的分段点是x =0 因为lim x !0-f (x )=lim x !0-(x +1x)=-&,li m x !0+f (x )=lim x !0+(x +1x )=+&,所以lim x !0f (x )不存在故分段点x =0是函数f (x )的间断点(如图4) 根据连续是可导的必要条件可知:x =0是函数f (x )的不可导点即函数f (x )在分段点x =0处不可导 2 2 分段点是函数的连续点例4 求下列函数在分段点处的导数6(1) f (x )=x sin1x ,x #00,x =0 (2) f (x )=x 2sin1x ,x #00,x =0解:(1)函数的分段点是x =0 因为li m x !0f (x )=lim x !0x sin 1x=0,而f (0)=0,所以lim x !0f (x )=f (0)图5故分段点x =0是函数f (x )的连续点(如图5) 又因为在x =0处,有:li m x !0 y x =lim x !0(0+ x )sin10+ x -0x =lim x !0sin 1 x此极限不存在所以函数f (x )在分段点x =0处不可导 (2)函数的分段点是x =0因为lim x !0f (x )=lim x !0x 2sin 1x =0,而f (0)=0,所以 lim x !0f (x )=f (0)图6故分段点x =0是函数f (x )的连续点(如图6) 又因为在x =0处,有:li m x !0 yx =lim x !0(0+ x )2sin10+ x-0x=lim x !0x sin1x=0,所以函数f (x )在分段点x =0处可导,并且f ∀(0)=0上述两例仍表明:若分段点是函数的间断点,则它必定是函数的不可导点;若分段点是函数的连续点,则它既可能是函数的可导点,也可能是函数的不可导点根据以上讨论,对分段函数在分段点处的导数做如下总结:(1)无论函数在分段点两侧的解析式是否相同,分段点可能是函数的间断点,也可能是函数的连续点(2)只要分段点是函数的间断点,那么函数在分段点处一定不可导;如果分段点是函数的连续点,则函数在分段点处可能可导,也可能不可导(3)分段函数在分段点的可导性与连续性的关系,与初等函数的可导性与连续性的关系是一致的,即可导必连续,但连续不一定可导(4)求分段函数在分段点处的导数,必须从导数的定义出发,分三步求解,即:求增量 y ;做比值 yx ;取极限lim x !0y x需要注意的是:当函数在分段点两侧解析式不同时,应先求其左、右导数,即分别计算极限limx !0- y x 与li m x !0+ y x ,若此二极限都存在并且相等,则函数在分段点处可导,并且导数值就等于该极限值若此二极限至少有一个不存在,或者虽然都存在但不相等,则函数在分段点处不可导当函数在分段点两侧解析式相同时,可直接根据函数解析式计算函数在分段点处的改变量比值的极限lim x !0 yx若此极限存在,则函数在分段点处可导,其导数就等于该极限值;若此极限不存在,则函数在分段点处就不可导[参考文献][1]华东师范大学数学系数学分析[M] 北京:人民教育出版社,1980[2]陈荩民,牛实为,陈以一高等数学基础[M] 北京:人民教育出版社,1978On Derivative Existing of Segment Function at Deviding PointZE NG Zhao-hua(Chongqing Technical School of Busines s and Trade ,Yongchua n C ho ngqing 402160,Chi na )Abstract :This article presents a classified discussion with some exa mples on the derivative existing of segment function at dividing point and the way to find out the derivative .It also states several important conclusions dra wn from the research.Key words :segment function;dividing point of segment;derivative exiting7。

关于分段函数在分界点的连续性和可导性的探讨

关于分段函数在分界点的连续性和可导性的探讨分段函数在数学领域占据着重要的地位，有着广泛的应用。

分段函数表示在特定范围内决定不同函数的运行行为。

其中，分段函数的分界点非常重要，它们有着对每一段连续性和可导性的重要影响。

在本文中，我们将探讨分段函数中的分界点的连续性和可导性，以及它们在数学学科中的意义和应用。

首先，让我们先来看看什么是分段函数。

分段函数是把一个函数分割成若干子函数，每个子函数都是连续的。

也就是说，对每个连续的函数段，定义域上的值是由某一关系决定的。

和分段函数一起，分段函数定义域上总存在一个点，我们称之为分界点。

它是分段函数分割的两个连续函数段的分界点。

在每个独立的分段函数中，分界点的连续性和可导性是很重要的。

从概念上讲，连续性是指函数在分界点区域没有任何间断，即函数的值在此处以某种方式顺序连接起来。

另一方面，可导性意味着函数可以在连续点处取得极限，从而引出该函数的导数，确保函数满足连续性。

因此，连续性和可导性是分段函数中分界点的重要性质。

分段函数分界点的连续性和可导性在数学学科中有着非常重要的意义。

在微积分学中，它们被用来求解和分析复杂类型的函数，例如各种微分等。

除此之外，它们还可以用来解决经典的微积分问题，如定积分求积分等。

此外，分段函数的连续性和可导性还可以用来求解函数本身及其分段函数的极限问题等。

另外，连续性和可导性也可以用来解决分段函数及其分段函数的重要属性，例如无穷多性，等价性等。

从另一方面讲，连续性和可导性也可以用来研究函数定义域和值域上的特性，这对于解决函数极值问题非常有用。

总的来说，分段函数在分界点的连续性和可导性非常重要。

它们不仅可以帮助我们求解复杂的函数，更重要的是，它们还能帮助我们研究函数定义域和值域上的特性，从而解决函数极值问题。

因此，分段函数中的分界点的连续性和可导性是数学领域不可缺少的重要特性，并且在实际应用中也有着重要作用。

分段函数的可导性应用

分段函数的可导性应用分段函数在数学中极为常见，在解析几何、微积分、高等代数等各个领域都有广泛的应用。

而在分段函数中，其可导性则是其中一个十分重要的概念。

在本文中，我们将会深入探讨分段函数的可导性及其在实际中的应用。

一、分段函数的概念及定义分段函数是指在一个区间内，根据函数的定义域的不同取值，在不同的区间内采用不同的函数表达式。

比如说，我们可以定义一个函数f(x)如下：$$f(x)=\left\{\begin{aligned}x^2,x\leq 0 \\\sqrt{x},x>0\end{aligned}\right.$$在这里，我们可以看到，当x小于等于0时，f(x)采取的函数表达式是x^2，而当x大于0时，f(x)采取的函数表达式是根号x。

这就是一种典型的分段函数。

二、分段函数的可导性那么，对于一个分段函数来说，其可导性则十分重要。

对于一个函数而言，其可导性是指该函数在某一点处的导数是否存在。

对于分段函数而言，它在某一点可导的条件十分严格。

对于分段函数f(x)，在某一点x处可导的条件是：1. x点前后两侧函数的导数存在且相等2. x点处的函数值连续也就是说，对于上述的f(x)函数，如果想要证明其在某一点x可导，需要证明在x点前后两侧的函数x^2和根号x的导数都存在且相等，同时x点处的函数值也需要连续。

如果这两个条件都满足，那么我们就可以判断该分段函数在x点处可导。

三、分段函数可导性在实际中的应用分段函数的可导性在实际中应用广泛，比如在物理学中，我们可以用分段函数的可导性来描述速度和加速度之间的关系。

在金融学中，我们也可以用其来描述市场变化的趋势。

以物理学为例，我们可以定义一个分段速度函数v(t)如下：$$v(t)=\left\{\begin{aligned}3t,t\leq 0 \\6t,t>0\end{aligned}\right.$$在这里，我们可以将t点前后两侧的速度函数分别设为v1(t)和v2(t)，并分别求出其导数：$$v_1(t)=3t \ \ \ \ v_2(t)=6t \ \ \ \ v'_1(t)=3 \ \ \ \ v'_2(t)=6$$可以看到，在t=0这个点处，v1(t)和v2(t)的导数是不相等的，因此v(t)在t=0处不可导，也就是说，在这个点的速度是不存在的。

基于一类分段函数在分段点的连续性及可导性的探索

基于一类分段函数在分段点的连续性及可导性的探索
基于一类分段函数在分段点的连续性及可导性的探索
【摘要】通过对分段函数在分段点性态的讨论,给出了判定函数在分段点导数是否存在的方法,并得出一般性结论.
关键词：分段函数连续性可导性
各种教材和指导书在研究分段函数在分段点的连续及可导时，都是国家函数在一点连续及可导的定义或充要条件（即在在连续；在可导，笔者在此针对一类对较特殊的分段函数给出两个结论，这个两个结论对研究这类分段函数在分段点的连续及可导有所帮助，既方便实用，又简单可行，避免了用定义的繁琐和难度。

定理1：设= ，为初等函数，定义在区间D1上，0
解：∵（=1，=1，∴=
∴在x=0处连续
x0 2-x，x>1
>1）x>1
（3）= x3 0≤x≤1
0 x1）
∴≠x3
∴在x=1不可导
又∵x3=0，0=0
（x3）/=3x2=0，（0）/=0
∴在x=0可导，
X2（x≥0）
例4：设=在点x=0处可导，求之值及导数。