【课件】常微分方程31可降阶的高阶微分方程ppt

3.1 可降阶的高阶方程
一 、 可降阶的高阶方程
n阶微分方程的一般形式是:
F (t, x, x' x(n) ) 0 当 n 2 时, 统称为高阶微分方程. 1、不显含未知函数 x 的方程
不显含未知函数x 或不显含未知函数及其
直到 k 1(k 1) 阶导数的方程是
F (t, x(k ) , x(k1) , , x(n) ) 0
方程化为:
1 x
d2x dt 2

1 x2
( dx )2 dt

0)
d (1 . dx ) x dt dt

0
故有
1 x
dx dt

c1
解得
x c2ec1t (c2 0)
显然 x 0也是原方程的解.
故原方程的解为 x c2ec1t
dx
dx dt

y ( dy )2 dx

y2
d2y dx2

由数学归纳法知,x ( k )
可用
y,
dy dx
,,
d k 1 y dxk 1
(k

n)
来表达,将这些表达式代入 (3.1.3) 可得
F
(
x,
y,
y
dy dx
,
y(dy dx
)2

y2
d2y dx2
,,
)

0
即有新方程: G(x, y, dy , dx
即
x(k) (t, c1, c2 ,cnk )
对上式进行k 次积分,可求出方程(3.1.2)的解.
例 求解方程 y e3x cos x.
解 将方程积分三次,
y

1e3x
3

sin
x

C1
y

1e3x
9

cos
x

C1 x

C2
通解：y

1 e3x sin x
27
C1x2
，……，d n dtΒιβλιοθήκη xn)
d dt
(t,
x,
dx dt
,
……，d n dt
1x
n1
)
称(3.1.4)为全微分方程，显然有

(t
,
x,
dx dt
,……，ddtnn1x1
)

c1
(3.1.5)
F
(t
,
x,
dx dt
，……，d n dt
x
n
)

0
(3.1.4)

(t
,
x,
dx dt
,……，ddtnn1x1
y c1x
代入原变量得:
dx dt

c1x
故原方程的解为: x c2ec1t
3、 全微分方程和积分因子
若方程
F
(t,
x,
dx dt
，……，d n dt
x
n
)

0
的左端是某个n-1阶微分表达式
(3.1.4)

(t,
x,
dx dt
,……，ddtnn1x1
)
对t 的全导数，即
F (t,
x,
dx dt
C2x
C3
例、求解方程
d5x dt 5
1 t
d4x dt 4

0
解:
令
d4x dt 4

y
则方程可化为:
dy 1 y 0 dt t
它是一个一阶方程,通解是: y ct
即
d4x dt 4

ct
积分四次,得原方程的通解为:
x c1t 5 c2t 3 c3t 2 c4t c5
y C1(1 x3 )， y x0 4 C1 4，
y 4(1 x3 )，y x4 4x C2，
y x0 1 C2 1， y x4 4x 1.
2 、不显含自变量T 的方程
方程的一般形式为: F (x, x,, x(n) ) 0 (3.1.3)
(3.1.2)
F (t, x(k ) , x(k1) , , x(n) ) 0 (3.1.2) 求解方法: 令 x(k) y 就可把(3.1.2)化为关于 y 的 n k 阶方程:
F (t, y,, y(nk) ) 0
若能求得其通解为:
y (t, c1, c2 ,cnk )
例 求解方程
x d 2 x ( dx )2 0 dt2 dt
解：原方程可以写成 d (xx') 0
dt 故有 xx c1
即
xdx c1dt
积分后得通解为 x2 c1t c2
例
求解方程
x
d2x dt 2

(
dx dt
)2
0
解: 方程两边乘以因子 1 (x
x2
)

c1
(3.1.5)
若求得（3.1.5）的全部解: x (t, c1, c2 ,cn )
则它也一定是(3.1.4)的解.
积分因子: 有时方程(3.1.4) 本身不是全微分方程,
但乘以一个合适的因子
(t
,
x,
dx dt
,
d n1x dt n1
)
后就成为全微分方程. 称其为方程(3.1.4)的积分 因子.
例 解方程

y
3x2 y 1 x3
y x0 1, y x0 4
解 令 y p, y p, 代入原方程,
p

3x2 p ， 1 x3
dp p

3x2 1 x3
dx，
ln p ln(1 x3 ) lnC1， p C1(1 x3 )，
第三章 二阶及高阶微分方程
3.1 可降阶的高阶方程 3.2 线性微分方程的基本理论 3.3 线性齐次常系数方程 3.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法 3.5 高阶微分方程的应用
前一章介绍了一些一阶微分方程的解法, 在实际的应用中，还会遇到高阶的微分方程， 在这一章，我们讨论二阶及二阶以上的微分方程, 即高阶微分方程的求解方法和理论.
求解方法:用 y x' 作为新未知函数,
而把 x 作为 新的自变量, 因为
dx y, dt
d2x dt 2

dy dt

dy dx
dx dt

y
dy , dx
F (x, x,, x(n) ) 0
(3.1.3)
dx y, dt
d 3x dt 3

d ( y dy) dx
dt

d ( y dy) dx
C1 y 1，
dy dx C1 y 1
2 C1
C1 y 1 x C2
例
求解方程
x d2x dt 2


dx dt
2


0
取 dx y, 作为新未知变量, 于是原方程化为: dt
xy dy y2 0 dx
从而可得
y0
及
dy dx yx
所以
d n1 y dxn1
)

0
它比原来的方程降低了一阶.
例 求方程 y 1 y2 的通解. 2y
解 设 y p, 则 y p dp ,
dy 代入原方程 p dp 1 p2
dy 2 y
可分离变量方程
1 p2 C1 y， p C1 y 1，
dy dx