北理工随机信号随机过程[2]
2随机过程(上课用)
xf ( x ) dx
n
[x
i 1
i
a ] P ( xi )
2
( x a ) f ( x ) dx
2
第二章 随机过程
3、随机变量的数字特征(续)
（3）相关函数
无论是离散的还是连续的随机变量，两个随机
变量的相关函数统一定义为
R ( 1 , 2 ) E [ 1 2 ]
第二章 随机过程
一维概率分布函数和密度函数
因为随机过程在任一时刻对应1个随机变量
把随机过程在时刻
则该随机过程在时刻 F1 ( x , t 1 ) P [ ( t 1 ) x ]
t 1 对应随机变量记为
t 1的一维概率分布函数定
( t1 )
义为
其一维概率密度函数定
义为 f 1 ( x , t 1 )
(t ) 都是是连续的随机变量
xf 1 ( x , t ) dx
第二章 随机过程
2、随机过程的方差
同理，随机过程的方差也是一个关于时间 的函数，可由下式计算
( t ) D [ ( t )]
2
E {[ ( t ) a ( t )] }
2
若每个时刻对应的 则 (t )
T /2 T / 2
f
2
(t ) d t
1 T
T
li m
T /2 T / 2
f
2
(t ) d t
第二章 随机过程
二、能量谱密度和功率谱密度
能量信号f(t)的能量谱密度E(ω)
随机信号分析 第三章平稳随机过程(2)
- -
f(t1 ) X (t2 t1 ) f (t2 )dt1dt2 0 R
3.2.2平稳随机过程互相关函数的性质
性质1:R XY (0)=R YX (0),R XY (0)表随机过程在同一时刻的相关性
性质2：一般情况下，互相关 函数是非奇非偶的函数 RXY ( ) RYX ( ).
如果两个复随机过程各 自平稳且联合平稳，则 RZ1Z 2 (t , t ) RZ1Z 2 ( ) CZ1Z 2 (t , t ) CZ1Z 2 ( )
如果CZ1Z 2 (t , t ) 0, 则称Z1 (t )与Z 2 (t )为不相关过程。 如果RZ1Z 2 (t , t ) 0，则称Z1 (t )与Z 2 (t )为正交过程。
R XY ( )=E[X(t)Y(t+ )]=E[Y(t+ )X(t)]=R YX (- )
性质3 : 互相关函数幅度平方满 | RXY ( ) |2 RX (0) RY (0) 足： 互协方差函数满足： XY ( ) |2 C X (0)CY (0) 2 X 2Y |C
(2)相关时间 | X ( 0 )|=0.05,的时间为相关时间 0。
（3）互相关系数 定义X(t)和Y(t) 的互相关系数为 PXY ( ) R XY ( ) XY ( )= = 1 R X (0)R Y (0) X Y
3.6复随机过程
3.6.1复随机变量 如果X和Y分别是实随机变量，定义Z＝X＋jY 为复随机变量。 复随机变量的数学期望在一般情况下是复数： mZ=E[Z]=E[X]+j E[Y]=mX+jmY
方差则为
2 Z＝E[| ( X mX ) j (Y mY ) |2 ] D[ X ] D[Y ]
北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第4章随机变量的数字特征
北京理工大学《概率论与数理统计》分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在某些实际问题中，不需要全面考查随机变量的变化，只需知道它的随机变量的某些数字特征也就够了.评定某企业的经营能力时，只要知道该企业例如：年平均赢利水平研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及平均重量考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小.由上面的例子看到，平均盈利水平、平均粒数、平均环数、数据的波动大小等，都是与随机变量有关的某个数值，能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征，这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.另一方面，对于一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，其中的参数恰好就是某些数字特征，因此，只要知道了这些数字特征，就能完全确定其具体的分布.第四章随机变量的数字特征4.1随机变量的平均取值——数学期望4.2随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差4.3 描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数4.1 数学期望一离散型随机变量的数学期望二连续型随机变量的数学期望三常见分布的数学期望四随机变量函数的数学期望五数学期望的性质六、数学期望的应用一离散型随机变量的数学期望引例射击问题设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下命中环数Y0 1 2 3 4 5命中次数n k 2 13 15 10 20 30频率n k/n2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/90试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?解：平均命中环数这是以频率为权的加权平均命中环数Y0 1 2 3 4 5命中次数n k2 13 15 10 20 30频率n k /n 2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/900211321531042053090×+×+×+×+×+×=21315102030012345909090909090=×+×+×+×+×+×50k k n k n =⋅∑ 3.37.==射中靶的总环数射击次数平均射中环数频率随机波动随机波动“平均射中环数”的稳定值?=由频率的稳定性知：当n 很大时：频率n k /n 稳定于概率p k 稳定于50k k n k n =⋅∑50k k k p =⋅∑50k k n k n =⋅∑“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加定义1 设X 是离散型随机变量，它的概率分布是:P {X =x k }=p k , k =1,2,…如果绝对收敛,则称它为X 的数学期望或均值.记为E (X ), 即如果发散，则称X 的数学期望不存在.1k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑1||k k k x p∞=∑注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量.注1：随机变量X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求绝对收敛1k k k xp ∞=<+∞∑11111(1)1ln 2234212n n−+−++−→− 1111111(2)1ln 22436852−−+−−+→注2.E (X )是一个实数，而非随机变量，它是一种以概率为权的加权平均，与一般的算术平均值不同，它从本质上体现了随机变量X 取可能值的真正的平均值，也称均值.当随机变量X 取各个可能值是等概率分布时，X 的期望值与算术平均值相等.假设X 1P80 85 90 1/4 1/4 1/21()800.25850.25+900.586.25E X =×+××=X 2P80 85 901/3 1/3 1/32()85.E X =注3.数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布确定，若X服从某一分布，也称E(X)是这一分布的数学期望.乙射手甲射手例1.甲、乙两个射击手，他们射击的分布律如下表所示，问：甲和乙谁的技术更好?击中环数8 9 10概率0.3 0.1 0.6击中环数8 9 10概率0.2 0.5 0.3单从分布列看不出好坏，解：设甲，乙两个射击手击中的环数分别为X 1，X 2E (X 1)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3（环）E (X 2)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1（环）例2.1654年职业赌徒德.梅尔向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局.他们约定，谁先赢三局，则得到全部100法郎的赌本.当甲赢了2局，乙赢了1局时，因故要中止赌博.现问这100法郎如何分才算公平？解：假如比赛继续进行下去，直到结束为止. 则需要2局.这时，可能的结果为：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙即：甲赢得赌局的概率为3/4，而乙赢的概率为1/4.设：X、Y分别表示甲和乙得到的赌金数. 则分布律分别为：X0 100 P1/4 3/4Y0 100 P3/4 1/4这时，可能的结果为：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙即：甲赢得赌局的概率为3/4，而乙赢的概率为1/4.E(X)=0×1/4+100×3/4=75E(Y)=0×3/4+100×1/4=25即甲、乙应该按照3：1的比例分配全部的赌本.例3.确定投资决策方向?某人有10万元现金,想投资于某项目,预估成功的机会为30%,可得利润8万元,失败的机会为70%,将损失2万元.若存入银行,同期间的利率为5%,问是否做此项投资?解：设X 为此项投资的利润，则存入银行的利息：故应该选择该项投资.(注：投资有风险，投资须谨慎)X 8 −2P0.3 0.7此项投资的平均利润为：E (X )=8×0.3+(−2)×0.7=1(万元)10×0.05=0.5(万元)设X 是连续型随机变量，密度函数为f (x ).问题：如何寻找一个体现随机变量平均值的量.将X 离散化.二、连续型随机变量的数学期望在数轴上取等分点：…x −2<x −1<x 0<x 1<x 2<…x k +1−x k =∆x ，k =0,±1,….，并设x k 都是f (x )的连续点.则小区间[x i ,x i+1)阴影面积近似为f (x i )∆x i1()i x x f x dx+=∫()i f x x≈∆P {x i <X ≤x i +1}定义一个离散型随机变量X *如下：其数学期望存在，且绝对收敛时，P {X *=x i }=P {x i ≤X <x i +1} ≈f (x i )∆x对于X *，当当分点越来越密，即∆x →0时，可以认为X *=x i 当且仅当x i ≤X <x i +1(*)i i ix P X x =∑(*){*}i i iE X x P X x ==∑()i i ix f x x ≈∆∑0=lim ()i i x ix f x x ∆→∆∑则其分布律为E (X *) →E (X ) *0=lim x EX EX ∆→即有：+()xf x dx∞−∞=∫定义2：设X 是连续型随机变量，其密度函数为f (x )，如果绝对收敛，则称的值为X 的数学期望，如果积分发散，则称随机变量X 的数学期望不存在.+()xf x dx ∞−∞∫+||()x f x dx∞−∞∫即+()()E X xf x dx∞−∞=∫+()xf x dx ∞−∞∫记为E (X ).注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量.三、常见分布的数学期望1.0−1分布设随机变量X服从参数为p的0−1分布，求EX.解：X的分布律为X0 1P1−p p则：E(X)=0×P{X=0}+1×P{X=1}=P{X=1}=p概率是数学期望的特例(第五章)2.二项分布X 的分布律为P {X =k }=C n k p k (1−p )n−k ,k =0,1,…,n .解：设随机变量X ~b (n ,p )，求EX .0{}nk EX kP X k ==∑0(1)n k k n k n k kC p p −=−∑1!(1)!()!n k n kk n k p p k n k −=−−∑1(1)(1)1(1)!(1)(1)!()!nk n k k n np p p k n k −−−−=−−−−∑11(1)1(1)n l k l ln ln l np Cp p −=−−−−=−∑1[(1)]n np p p −=+−np=抛掷一枚均匀硬币100次，能期望得到多少次正面3.泊松分布则解：X 的分布律为设随机变量X ~π(λ)，求EX .{},0,1,2,!kP X k e k k λλ−=== 00(){}!k k k e E X kP X k k k λλ−∞∞=====∑∑11(1)!k k ek λλλ−∞−==−∑1!ii k i e i λλλ∞=−−=∑=e e λλλλ−=1!k k e k k λλ−∞==∑泊松分布的参数是λ4.几何分布解：X 的分布律为P {X =k }=q k −1p ,k =1,2,….p+q =1设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，求EX .111(){}k k k E X kP Xk k pq∞∞−=====⋅∑∑11k k p k q∞−=⋅∑1=()kk p q ∞=′∑1=()k k p q ∞=′∑()1q p q′=−211(1)p q p=−重复掷一颗骰子平均掷多少次才能第一次出现6点设X ~U (a , b )，求E (X ).解：X 的概率密度为：X 的数学期望为：数学期望位于区间(a ,b )的中点.5.均匀分布1()0a xb f x b a<<=− 其它()()2bax a b E X xf x dx dx b a +∞−∞+===−∫∫设X 服从指数分布，求E (X ).分部积分法6.指数分布当概率密度表示为：对应的数学期望为θ.,0()0,x e x f x x λλ− >=≤ 0xxedx λλ+∞−=∫()()E X xf x dx +∞−∞=∫1λ=1,0()0,0xe xf x x θθ− > = ≤解：X 的概率密度为：设X ~N (μ,σ2)，求E (X ).解：X 的概率密度为被积函数为奇函数，故此项积分为0.7.正态分布22()21()2x f x eµσπσ−−=()()E X xf x dx +∞−∞=∫22()212x xedxµσπσ−+∞−−∞=∫221()2x t t t edtµσσµπ−=+∞−−∞+∫ 2222122t t tedt edt σµππ+∞+∞−−−∞−∞+∫∫µ=N (0,1)的密度函数积分为1.注意：不是所有的随机变量都有数学期望例如：Cauchy 分布的密度函数为但发散故其数学期望不存在.21(),(1)f x x x π=−∞<<+∞+2||||()(1)x x f x dx dx x π+∞+∞−∞−∞=+∫∫四随机变量函数的数学期望设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.例4.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记该种电器的使用寿命为X (以年计)，规定：X ≤1,一台付款1500元；1<X ≤2，一台付款2000元2<X ≤3，一台付款2500元；X >3，一台付款3000元设X 服从指数分布，且平均寿命为10年，求该商店一台电器的平均收费.解：设该商店一台电器的收费为Y .要求E (Y )X 的分布函数为：1101,()0,0x e x F x x − −>=≤设该商店一台电器的收费为YX ≤1，一台付款1500元1 <X ≤2，一台付款2000元2 <X ≤3，一台付款2500元X >3，一台付款3000元1101,0()0,0x ex F x x − −>=≤P {Y =1500}=P {X ≤1}=F (1)=1−e −0.1=0.0952P {Y =2000}=P {1<X ≤2}=F (2)−F (1)=0.0861P {Y =2500}=P {2<X ≤3}=F (3)−F (2)=0.0779P {Y =3000}=P {X >3}=1−F (3)=0.7408设X 服从指数分布，且平均寿命为10年.Y 的分布律为所以该商店一台电器的平均收费，即Y 的数学期望为Y 1500 2000 2500 3000P0.0952 0.0861 0.0779 0.7408()15000.095220000.086125000.0779 30000.74082732.15E Y =×+×+×+×=使用上述方法必须先求出g(X)的分布，有时这一步骤是比较复杂的.那么是否可以不先求g(X)的分布，而只根据X的分布求E[g(X)]呢？例5.设离散型随机变量X 的概率分布如下表所示,求:Z=X 2的期望.X−11P214141E (Z )= g (0)×0.5+g (-1)×0.25+g (1)×0.25解:=0.5注:这里的.)(2x x g =(1)当X 为离散型随机变量时，分布律为P {X = x k }=p k ，k =1,2,⋯(2)当X 为连续型随机变量时，概率密度函数为f (x ).定理：设Y 是随机变量X 的函数，Y =g (X )(g 是连续函数)若级数绝对收敛，则有若积分绝对收敛，则有1()[()]()kkk E Y E g X g x p∞===∑()[()]()()E Y E g X g x f x dx+∞==∫1()k k k g x p ∞=∑()()g x f x dx+∞−∞∫该公式的重要性在于：当求E [g (X )]时，不必知道g (X )的分布，而只需知道X 的分布就可以了，这给求随机变量函数的期望带来很大方便.k k k g x p X E Y E g X g x f x dx X 1(),()[()]()(),∞=+∞−∞== ∑∫离散型连续型例6.设随机变量X~b(n, p)，Y=e aX，求E(Y).解：因为X的分布律为所以有{}(1), 0,1,...,k k n knP X k C p p k n−==−= ()E Y=(1)nak k k n knke C p p−=−∑()(1)nk a k n knkC e p p−=−∑[(1)]a npe p=+−={}nakke P X k==∑例7.设X ~U [0,π]，Y=sinX ，求E (Y ).解：因为X 的概率密度为所以有1,0()0,x f x ππ≤≤ =其他()sin ()E Y xf x dx +∞−∞=∫01sin x dx ππ⋅∫2π=定理：设Z 是随机变量X 和Y 的函数，Z =g (X,Y )(g 是连续函数),Z 是一维随机变量(1)若(X,Y )是二维离散型随机变量，概率分布为(2)若(X,Y )是二维连续型随机变量，概率密度为f (x, y )，则有这里假定上两式右边的积分或级数都绝对收敛11()[(,)](,)ijijj i E Z E g X Y g x y p∞∞====∑∑()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞==∫∫{,},,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====则有几个常用的公式()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞==∫∫(,)EX xf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫(,)EY yf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫22()(,)E Y y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫22()(,)E X x f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫()(,)E XY xyf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫例8.设二维随机变量(X ,Y )的密度函数为求E (X ),E (Y ),E (X +Y ),E (XY ).解：21(13),02,01,(,)40,x y x y f x y +<<<< =其它()(,)E X xf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫212001(13)4x xdx y dy =⋅+∫∫43=()(,)E Y yf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫212001(13)4xdx y y dy +∫∫58=数学期望的性质注意：X ,Y 相互独立()()(,)E X Y x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞+=+∫∫(,)(,)xf x y dxdy yf x y dxdy+∞+∞+∞+∞−∞−∞−∞−∞+∫∫∫∫()()E X E Y +45473824=+=()(,)E XY xyf x y dxdy +∞+∞−∞−∞=∫∫2120011(13)22x xdx y y dy=⋅⋅+∫∫455386=⋅=()()E X E Y ⋅设X =(X 1,…, X n )为离散型随机向量，概率分布为≥ 1nnj j j j n P X =x ,,x =p ,j ,,j .11{()}1Z = g (X 1,…, X n ),若级数绝对收敛，则.<∞∑ nnnj j j j j j g x ,,x p 111()=∑ nnnn j j j jj j E Z =E g X ,,X g x ,,x p 1111()(())()设X =(X 1,…, X n )为连续型随机向量，联合密度函数为 n f x x 1(,,)Z = g (X 1,…, X n ),若积分绝对收敛，则+∞+∞−∞−∞∫∫n n ng x x f x x x x 111(,,)(,,)d d n E Z E g X X 1()=((,,))+∞+∞−∞−∞=∫∫n n ng x x f x x x x 111(,,)(,,)d d五数学期望的性质1.设C 是常数，则E (C )=C 4.设X 、Y 相互独立，则E (XY )=E (X )E (Y );2.若k 是常数，则E (kX )=kE (X )3.E (X +Y )=E (X )+E (Y )注意:由E (XY )=E (X )E (Y )不一定能推出X ,Y 独立推广(诸X i 相互独立时)推广11[]()nni i i i i i E C X C E X ===∑∑11[]()n ni i i i E X E X ===∏∏性质4 的逆命题不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定相互独立.反例XY p ij -1 0 1-10181818181818181810p • j838382p i•838382X Y P-1 0 1828284EX EY ==0;E XY ()=0;=E XY EX EY ()但P X Y 1{=-1,=-1}=8≠=P X P Y 23{=-1}{=-1}8××=30+2103-3+5=92X XY Y X XY Y E(3+2-+5)=3E()+2E()-E()+E(5)性质2和3×××EX EY =310+2-3+5性质4例9.设X ～N (10,4)，Y ～U [1,5]，且X 与Y 相互独立，求E (3X ＋2XY －Y ＋5).解：由已知，有E (X )＝10, E (Y )＝3.例10: 设X 1 , X 2…,X n 相互独立且都服从B (1, p ),求Z = X 1 + X 2+…+X n 的数学期望E (Z ).解:注: 由二项分布的可加性易知Z = X 1 + X 2+…+X n ～B (n, p ).EZ = E (X 1 + X 2+…+X n )= E (X 1 ) +E ( X 2)+…+E (X n )= p +p +…+p =n p求二项分布的数学期望的又一种方法.例11.（超几何分布的数学期望）设一批同类型的产品共有N 件，其中次品有M 件.今从中任取n (假定n ≤N −M )件，记这n 件中所含的次品数为X ，求E (X ).则有所以解: 引入X ＝X 1+X 2+…+X n且易知抽签模型，概率与试验次数无关例10和例11：将X 分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的期望等于期望的和这一性质，此方法具有一定的意义.1,,1,2,,0,i i X i n i ==第件是次品第件不是次品iMP X N{1}==1()ni i EX E X ==∑ni i P X 1{1}==∑1ni M N ==∑nM N =为普查某种疾病，N 个人需验血.有如下两种验血方案：（1）分别化验每个人的血，共需化验N 次；（2）分组化验.每k 个人分为1组，k 个人的血混在一起化验，若结果为阴性，则只需化验一次；若为阳性，则对k 个人的血逐个化验，找出有病者，此时k 个人的血需化验k+1次.设每个人血液化验呈阳性的概率为p ，且每个人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.验血方案的选择例13.六、数学期望的应用解：只需计算方案(2)所需化验次数X 的期望.。
随机信号分析_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
随机信号分析_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.从随机过程的第二种定义出发，可以将随机过程看成（）。
参考答案:随机变量族2.从随机过程的第一种定义出发，可以将随机过程看成（）。
参考答案:样本函数族3.（）是随机试验中的基本事件参考答案:随机试验的每一种可能结果4.若随机过程X（t），它的n维概率密度 (或n维分布函数)皆为正态分布则称之为高斯过程参考答案:正确5.正态随机过程的广义平稳与严平稳等价参考答案:正确6.平稳随机过程的相关时间，描述了平稳随机过程从完全相关到不相关所需要的时间，对吗？参考答案:正确7.两个平稳随机过程的互相关函数是偶函数，对吗？参考答案:错误8.平稳随机过程的自相关函数是一个奇函数，对吗？参考答案:错误9.对于一个遍历的噪声，可以通过均方值计算其总能量参考答案:错误10.偶函数的希尔伯特变换为参考答案:奇函数11.窄带高斯随机过程包络平方的一维概率密度为：参考答案:高斯函数12.白色随机过程中的“白色”，描述的是随机过程的（）特征参考答案:频谱13.对于具有零均值的窄带高斯随机过程，以下哪个说法正确？参考答案:相位的一维概率密度为均匀分布_包络的一维概率密度为瑞利分布_包络和相位的一位概率密度是相互独立的14.一个实值函数的希尔伯特变换是将其与【图片】的卷积参考答案:正确15.对一个信号的希尔伯特变换，再做一次希尔伯特变换可以得到原信号本身。
参考答案:错误16.连续型随机变量X的概率密度函数fX(x)的最大取值是1?参考答案:错误17.随机变量数学期望值是随机变量取值的中值。
参考答案:错误18.问题：①客观世界中可以设计出理想带通滤波器，②理想白噪声也是存在的。
以上说参考答案:①②均错误19.具有平稳性和遍历性的双侧随机过程经过连续时不变线性系统后，输出随机过程参考答案:平稳、遍历20.正态随机过程具有以下那些性质？参考答案:若正态过程X(t)是宽平稳的，则它也是严平稳的_正态随机过程经过线性系统后其输出仍为正态随机过程。
第二章 随机信号与随机过程
2.2 随机信号的统计描述
随机信号是样本和时间的函数。当t固定时，随机信号 简化为随机变量。
分布函数
F[ X (t j ), t j ] p{x(t j ) x j}
分布密度
f
[ x(t j ), t j ]
F x
t tj
选择N个时刻的值，则有联合分布函数
Fn[x(t1), t1; x(t2 ), t2; x(tn ), tn ]
（3）功率谱函数的性质
Sx (w) 0
Sx (w) Sx (w) 对于实平稳随机过程
Rx (0)
1
2
Sx (w)dw
E[x2 ]
(1)随机常数 （2）随机斜坡
2.7 常用的随机信号
.
x(t) 0
.
x(t) a, a为随机常数
（3）随机正弦 x(t) Asin(wt ), A，w, 中至少有两个随机变量
如果x(t)有一个周期性的分量，则Rn ( )也有一个周期性分量，且周期相同。 即x(t) x(t ),则Rx (t) Rx (t )
（2）互相关函数的性质
Rxy (0) Ryx(0)
Rxy ( ) Ryx ( )
1
Rxy (0) Rx (0)Ry (0) 2
设x.y相互独立 Rxy ( ) Ryx ( ) mxmy
总集：DX (t) E[ X (t) E(X )]2
1T
2
时间：E[(x
x)]t
lim
T
2T
(x
T
x)
dt
（4）自相关函数（在不同时刻的相关性）
Rx (t1,t2 ) E[x(t1), x(t2 )] dx1 x(t1)x(t2 ) f [x(t1),t1; x(t2 ),t2 ]dx2
北理工随机信号随机过程_第二章作业
第二章作业：2.1 用掷币实验产生信号。
进行投币实验并规定正面对应250Hz 的余弦波，反面对应250Hz 的正弦波。
可见实验有两种波形：1x (t)cos(500t)=π与2x (t)sin(500t)=π，该随机信号可记为：X(t,r)cos(500t I(r)/2)=π−π，I(r)是取值为0、1的等概随机变量。
试求：（1）t = 1ms 时随机信号的概率密度与均值；（2）任意t 时刻随机信号的概率密度与均值。
解：（1）在t = 1ms 时刻，随机信号退化为随机变量，其形式为：t 0.001X(t,r)|cos(5000.001I(r)/2)sin(I(r)/2)==π−π=π其取值有两种可能，即sin(0/2)0π=和sin(/2)1π=，且是等概率的，所以P[X(0.001)0]P[X(0.001)1]0.5====其概率密度为X f (0.001)0.5(x)0.5(x 1)=δ+δ−，均值为X E[X(0.001)]xf (0.001)dx x0.5(x)dx x0.5(x 1)dx 0.5∞∞∞−∞−∞−∞==δ+δ−=∫∫∫ （2）任意t 时刻随机信号退化为下面的随机变量：X(t,r)cos(500t I(r)/2)=π−π，它取值只可能为X(t,r)cos(500t /2)sin(500t)=π−π=π和X(t,r)cos(500t)=π，且是等概率的，所以此时概率密度为：X f (t)0.5(x sin(500t))0.5(x cos(500t))=δ−π+δ−π，均值为：X E[X(t)]xf (t)dx x0.5(x sin(500t))dx x0.5(x cos(500t))dx 0.5sin(500t)0.5cos(500t)∞∞∞−∞−∞−∞==δ−π+δ−π=π+π∫∫∫显然：X f (0.001)0.5(x sin(5000.001))0.5(x cos(5000.001))0.5(x 1)0.5(x)=δ−π+δ−π=δ−+δE[X(0.001)]0.5sin(5000.001)0.5cos(5000.001)0.5=π+π=2.2 令0X(t)Qsin(t)=ω为某单位电阻两端测得的随机电压，其中0ω为信号载频，Q 为标准正态随机变量，试求电阻电压的瞬时统计平均值（X(t)的数学期望）、消耗在电阻上的瞬时功率的统计平均值（X(t)的均方值），消耗在电阻上的瞬时交流功率平均值（方差）？2.3 已知随机信号2X(t)A t =，其中A 为[1,1]−上均匀分布的随机变量，求t 1s =时信号的一维概率密度函数X f (x;1)以及此时刻的均值（自行阅读教材第36 ~ 46页第1.5节内容完成此题）。
北京理工大学《通信原理》第3章-随机信号分析
1
2
d
A sin 0 t
2
sin
1
d
0
2
0
■ R t1 , t2 E Acos 0t1 Acos 0t2
A2 A2
2
E
1 2
cos0
cos 0
t2 t1
t2
0
t1
cos 0
周期信号和非周期信号 能量信号和功率信号 基带信号和频带信号 模拟信号和数字信号
随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述
通信过程中要发送的信号是不可预知的，因此具有随 机性，是随机信号，但信号的统计特性具有规律性。
噪声和干扰是随机的信号； 无线信道特性（可理解为系统传递函数）也是随机变
]dt
A2 2
cos c
结论：随机相位余弦波是遍历的。
2019/11/21
20
3 高斯过程(1)
定义：任意 n 维概率密度是正态分布式
fn x1 , x2 , xn; t1 , t2 , tn
1
2 n 2 1 2
n
1
B
1
2
exp
0 P 0
()e
jt
d
■
R0 1
2
P
d
1
2
0 G
d
2019/11/21
0 G
2
f
df
17
图：功率信号与截断函数
2019/11/21
北京理工大学选课攻略
推荐课程【传统文化杂说】【电视剧精品赏析】【中国戏曲赏析】【新材料技术】【西方古典音乐欣赏】【电影欣赏】【姜楠的名著佳片赏析】【性健康教育】【影视人类学】【电影音乐欣赏】【世界著名大学欣赏】【金庸小说漫谈】【影视台词语朗诵】：这个课不准逃课，但是质量很高推荐老师【贾金莉】【王颖】【嵩天】【刘晓蕾】【姜楠】课程详细情况【欧洲文化】平时分30，上课都是各种故事，圣经啦，莎士比亚啦，普及一下西方的基本文化，只要上课听课，收获还是不小的（反正这学期的美女很多，下学期就不知道了）上周刚刚考完，最快的一个人35分钟交卷，70分的卷子有33分是连线题，还有7分是告诉你范围的名词解释，例如帕朵拉的魔盒啊之类的，还有单选什么的，全部是课上内容，没有语法题。
只要听课，肯定高分【美国文化与教育】.一学期下来点了三次名（两次全点，一次签名），期中交一份电影观后感，期末交一份论文，给分情况......成绩还没出来，我就不知道了。
基本上学不到什么东西.【电视剧精品赏析】只有一个问题，就是每节课都最好必须写点什么交了。
不会让你挂，你不来也不点名（交东西就当点名了）。
但是如果你每节课都写观后感的话，90+【中国戏曲艺术赏析】这门课是传说中北理第一美女老师余凤霞教的北理猥琐男必选上课要记得偷拍~~主要是戏曲艺术的赏析。
平时第一节课介绍今天要看的戏曲，后两节关灯看视频，期间无课间，可悄悄自由上卫生间。
（对！关灯。
想写作业的话就别选这种关灯的课了。
）期末交一篇论文，上课期间从未见过点名，有过一次平时小作业（字数不限，小几百就够了），会提前通知要交这作业，占期末30%（貌似）。
【影视台词朗诵与欣赏】也是于凤霞老师的课哈~~这课相当给力，不点名，但名额比较少，然后每节课老师带着各种玩，最后的考试是办台晚会，每个人或组合来个节目~~等等，很棒！！不过经常翘的就别浪费名额了~【性健康教育】这个课很有价值，没选上的也可以去听一下。
建议听前五节，后面的就讲养生了，没什么意思。
北京理工大学随机信号分析实验报告
北京理工大学随机信号分析实验报告本科实验报告实验名称：随机信号分析实验实验一随机序列的产生及数字特征估计一、实验目的1、学习和掌握随机数的产生方法。
2、实现随机序列的数字特征估计。
二、实验原理1、随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。
进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。
伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。
伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。
(0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。
(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即 U(0，1)。
实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：)(m od ,110N ky y y n n -=Ny x n n /=序列{}nx 为产生的(0，1)均匀分布随机数。
下面给出了上式的3组常用参数： 1、10N 10,k 7==，周期7510≈⨯；2、（IBM 随机数发生器）3116N 2,k 23,==+周期8510≈⨯；3、（ran0）315N 21,k 7,=-=周期9210≈⨯；由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。
定理 1.1 若随机变量 X 具有连续分布函数F X (x)，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有)(1R F X x -=由这一定理可知，分布函数为F X (x)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。
2、MATLAB 中产生随机序列的函数（1）(0，1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m,n)功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。
随机过程 北京理工课件
π
2 2
2
3 2 2
P
π F (x; ) = 4
1 3
0, 1 , 3 2 , 3 1,
1 3
x < 2 2
1 3
∴
2 ≤ x < 2 2 ≤ x < x ≥ 3 2 2 3
2 2 2
X(
π
2
) = A cos π
∴
0, π F ( x, ) = 2 1,
4
随机过程 的有限维分布族
对任意固定的t∈ ， 是一维随机变量, 对任意固定的 ∈T，X(t)是一维随机变量 其分 是一维随机变量 布函数是P{X(t)≤x}, 记为 记为F(x; t), 即 布函数是 F(x; t)= P{X(t)≤x}, 为随机过程X(t)的一维分布函数。 的一维分布函数。 称F(x; t)为随机过程 为随机过程 的一维分布函数 如对任意两个固定t 是二个随 如对任意两个固定 1 , t2∈T , X(t1) , X(t2)是二个随 机变量， 机变量，称 F(x1, x2 ; t1, t2) = P{X(t1)≤x1, X(t2) ≤x2} 为随机过程X(t) 的二维分布函数; 的二维分布函数; 为随机过程 一般地，对任意固定的t 一般地，对任意固定的 1, t2, … , tn∈T。X(t1), 。 个随机变量， X(t2) , … , X(tn)是n个随机变量，称 是 个随机变量 F(x1, …, xn ; t1, …, tn) = P{X(t1)≤x1, …, X(tn)≤xn} 5 为随机过程X(t) 的n 维分布函数 维分布函数. 为随机过程
= 0 取值仅一个0，且知 P ( X ( ) = 0) = 1 取值仅一个0 2 2
北理工随机信号分析实验报告
本科实验报告实验名称：随机信号分析实验实验一 随机序列的产生及数字特征估计一、实验目的1、学习和掌握随机数的产生方法。
2、实现随机序列的数字特征估计。
二、实验原理1、随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。
进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。
伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。
伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。
(0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。
(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即 U(0，1)。
实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：)(m od ,110N ky y y n n -=N y x n n /=序列{}n x 为产生的(0，1)均匀分布随机数。
下面给出了上式的3组常用参数： 1、10N 10,k 7==，周期7510≈⨯；2、（IBM 随机数发生器）3116N 2,k 23,==+周期8510≈⨯； 3、（ran0）315N 21,k 7,=-=周期9210≈⨯；由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。
定理 1.1 若随机变量 X 具有连续分布函数F X (x)，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有)(1R F X x -=由这一定理可知，分布函数为F X (x)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。
2、MATLAB 中产生随机序列的函数（1）(0，1)均匀分布的随机序列 函数：rand 用法：x = rand(m,n)功能：产生m ×n 的均匀分布随机数矩阵。
（2）正态分布的随机序列 函数：randn 用法：x = randn(m,n)功能：产生m ×n 的标准正态分布随机数矩阵。
2015年北京理工大学826信号处理导论考研大纲,考研参考书,考试形式
北京理工大学826信号处理导论考研大纲826信号处理导论一、考试内容1、信号与系统部分信号与系统以确定性信号经过线性时不变（LTI）系统的传输与处理为主线，构建起一套基本概念和基本分析与处理方法，从时域到变换域，从连续到离散，从输入输出描述到状态空间描述。
考生应掌握如下基本概念、理论和方法:(1)信号、系统的基本概念：信号描述及波形运算，基本典型信号。
系统模型、互联及主要特性；(2)LTI系统的时域分析：卷积积分、卷积和、卷积性质与计算。
用微分/差分方程描述的因果系统的经典解法。
零输入/零状态响应；(3)确定信号的频谱分析：周期信号的傅立叶级数及傅立叶变换。
非周期信号的傅立叶变换及其性质，典型信号的傅立叶变换及其频谱表示。
抽样定理；(4)LTI系统的频域分析：系统频率响应，系统的傅立叶分析法。
系统模与相位表示、波特图。
无失真传输条件，理想滤波器；(5)LTI系统的复频域分析：拉氏变换，Z变换。
典型信号的变换对。
用单边拉氏变换和Z变换求解微分/差分方程。
系统函数。
系统方框图；(6)系统状态空间分析：状态方程与输出方程的建立。
掌握状态方程的一种解法。
多输入－多输出系统稳定性判别。
2、数字信号处理部分数字信号处理在全面掌握信号与系统知识的基础上，针对确定性离散信号构建起一套从连续到离散，从时域到变换域的基本概念和基本分析与处理方法。
考生应掌握如下基本概念、理论和方法:(1)全面掌握信号与系统的基础知识；(2)离散傅立叶变换（DFT）：DFT定义、性质；频率取样；用DFT对连续时间信号逼近；加权技术与窗函数；(3)快速傅立叶变换（FFT）：基－2按时间/按频率抽取的FFT算法；N为复合数的FFT算法；分裂基FFT算法；实序列的FFT算法；快速FFT的应用；(4)数字滤波器（DF）：IIR/FIR DF的基本结构；IIR DF的设计（原理、常用模拟低通滤波器的特性、从模拟滤波器设计数字滤波器的方法）；FIR DF的设计（原理、线性相位FIR DF的特点、窗函数设计法和频率取样设计法）；IIR和FIR DF的比较。
随机信号-1随机过程(2)解析
X j mX t j
平稳正态随机过程
若正态过程X(t)满足：
mi
mX
,
2 X
RX (ti , tk ) RX ( ki )
ki tk ti , i, k 1, 2, , n
则称其为宽平稳正态随机过程；
此时，协方差矩阵为：
KX (0)
K
KX (t1 tn )
KX (tn t1)
随机信号分析
通信工程学院 张南
nzhang@
正态随机过程
一维正态r.v.
X
N
(mX
,
2 X
)
fX (x)
1
2 X
exp
(x
mX
2
2 X
)2
CX ()
exp
jmX
1 2
2
2 X
二维正态r.v.
(X1, X2)
X1
N
(mX1
,
2 X1
),
X
2
N
(mX2
,
X
(k 2
)
...X
( n
k
)
T
为n维正态随机变量序列，
若X(k)均方收敛于X=[X1,X2┄Xn]T，即对每个i=1,2,…n有
lim
k
E
X (k) i
Xi
2
0,
1i n
则X为正态分布的随机变量
性质5：若正态随机过程{X(t), t∈T}在T上是均方可微的，则
•
其导数过程{X t ,t T} 也是正态过程
对正态过程来说，宽平稳与严平稳等价，其n维概率密度函数 可写作：
fX (x1, x2,
, xn;t1,t2 ,
随机过程第1章概论课件
随机过程讲义陈庆虎武汉大学电子信息学院参考书：1．随机信号分析基础。
王永德王军编著，电子工业出版社。
2．随机信号分析。
朱华等编著，北京理工大学出版社。
3．随机过程及其应用。
陆大絟编著，清华大学出版社。
第一章 随机信号概论1.1 确定性信号与随机信号工程中的数字信号主要指被量化的各种物理量，按特性可分为：长度、热学、力学、电磁、无线电、放射性、光学、声学、化学、生物、医学等类型。
按可预测性和可再现性原则，信号可分为确定性信号与随机信号两类。
按确定性规律变化的信号称为确定性信号。
确定性信号可以用数学解析式表达，或用确定性曲线准确地描述。
在相同的条件下，确定性信号可以重复、再现，确定性信号可用函数()s t 或(,)s t θ来表达，其中θ是待定参数或参数向量，t 是时间或空间自变量。
例1 正弦信号0()sin(2)s t A t πωφ=+A 、0ω、φ分别是信号的振幅、频率、相位，可以是确定的数值，也可以是待定参数。
不遵循任何确定性规律变化的信号称为随机信号。
随机信号具有不重复、不可预测的特点，在完全相同的条件下，不能保证信号能完全重现，对信号的未来值不能完全准确地预测。
随机信号产生的原因是信号在产生、发射、传输、接收、测量、采样、计算等处理过程中受到各种噪声的干扰。
随机信号常用随机函数()X t 表示，它与确定性信号(,)s t θ往往有如下关系：()(,)()X t s t t θε=+()(,)()X t s t t θε=∙()t ε是噪声干扰。
信号的确定性是相对的。
在理想的环境、理想的条件下，信号是确定的；或者在精度要求不高的情况下，在某些噪声和干扰忽略不计的前提下，信号是确定的。
由于噪声和干扰无处不在、无时不在，工程应用中的信号往往都具有随机性。
处理随机信号的主要方法是信号统计处理方法，其中信号估计与信号检测是信号统计处理方法的核心内容。
理论上，随机信号()X t 是时间连续的，即时间t 的取值是连续的。
北理工信号与系统实验(3)汇总
实验3 信号的频域分析一、 实验目的1. 深入理解信号频谱的概念，掌握信号的频域分析方法。
2. 观察典型周期信号和非周期信号的频谱，掌握其频谱特性。
二、 实验原理1. 连续周期信号的频谱分析如果周期信号满足Dirichlet 条件，就可以展开为傅里叶级数的形式，即0()jk tkk x t c eω+∞=-∞=∑ ， 001()e jk t k T c x t dt T ω-=⎰式中，0T 表示基波周期，002/T ωπ=为基波周期，0()T ⎰表示任一个基波周期内的积分。
上述两式定义为周期信号复指数形式的傅里叶级数，系数Ck 称为(t)x 的傅里叶级数。
周期信号的傅里叶级数还可以由三角函数的线性组合来表示，即其中第一式中同频率的正弦项和余弦项可以合并，从而得到三角函数形式的傅里叶级数，即其中可见，任何满足Dirichlet 条件的周期信号都可以表示成一组谐波关系的复指数函数或三角函数的叠加。
一般来说周期信号表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原信号，但是在实际应用中经常采用有限项级数来替代，所选项数越多就越逼近原信号。
2. 连续非周期信号的频谱分析对于非周期连续时间信号，信号的傅里叶变换和傅里叶逆变换定义为,上述两式把信号的时域特性和频域特性联系起来，确定了非周期信号(t)x 和频谱()X ω之间的关系。
采用MATLAB 可以方便的求取非周期连续时间信号的傅里叶变换。
1）符号运算法MATLAB 的符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换和反变换的函数，fourier 函数和ifourier 函数，基本调用格式为，默认的时域变量为t ，频域变量为ω。
2）数值积分法除了采用符号运算的方法外，我们还可以利用MATLAB 的quad 函数，采用数值积分的方法来进行连续信号的频谱分析。
quad 函数是一个用来计算数值积分的函数。
利用quad 函数可以计算非周期连续时间信号的频谱。
quad 函数的一般调用格式为：y = quad(fun,a,b)，y = quad(fun,a,b,TOL,TRACE,p 1,p2,…)其中fun 是指定被积函数，可以采用inline 命令来创建，也可以通过传递函数句柄的形式来制定，a 、b 表示定积分的下限和上限，TOL 表示允许的相对或绝对积分误差，TRACE 表示以被积函数的点绘图形式来跟踪该函数的返回值，如果TOL 和TRACE 为空矩阵，则使用缺省值，“p1，p2，…”标识被积函数除时间t 之外所需的其他额外输入参数。
北京理工大学数信实验报告
实验1 利用DFT 分析信号频谱一、实验目的1、加深对DFT 原理的理解。
2、应用DFT 分析信号的频谱。
3、深刻理解利用DFT 分析信号频谱的原理，分析实现过程中出现的现象及解决方法。
二、实验设备与环境计算机、MATLAB 软件环境。
三、实验基础理论1.DFT 与DTFT 的关系：有限长序列的离散时间傅里叶变换(e )j X ω 在频率区间(02)ωπ≤≤ 的N 个等间隔分布的点2(0k N 1)kk N πω=≤≤-上的N 个取样值可以有下式表示：2120(e )|(n)e(k)(0k N 1)N jkn j Nkk NX x X πωπω--====≤≤-∑由上式可知，序列(n)x 的N 点DFT (k)X ,实际上就是(n)x 序列的DTFT 在N 个等间隔频率点2(0k N 1)kk N πω=≤≤-上样本(k)X 。
2.利用DFT 求DTFT方法1：由(k)X 恢复出(e )j X ω的方法如下：由流程知：11(e )(n)e[(k)W]e N j j nkn j nNn n k X x X Nωωω∞∞----=-∞=-∞===∑∑∑继续整理可得到：12()(k)()Ni k kx e X N ωπφω==-∑其中(x)φ为内插函数：sin()2()sin()2N N ωφωω=方法2：实际在MATLAB 计算中，上述插值运算不见得是最好的办法。
由于DFT 是DTFT 的取样值，其相邻两个频率样本点的间距为2N π，所以如果我们增加数据的长度N ，使得到的DFT 谱线就更加精细，其包络就越接近DTFT 的结果，这样就可以利用DFT 计算DTFT 。
如果没有更多的数据，可以通过补零来增加数据长度。
3.利用DFT 分析连续信号的频谱采用计算机分析连续时间信号的频谱，第一步就是把连续信号离散化，这里需要进行两个操作：一是采样，二是截断。
对于连续时间非周期信号(t)a x ,按采样间隔T 进行采样，阶段长度M ，那么：1(j )(t)e(nT)e M j tj nTa a a n X x dt T x -∞-Ω-Ω-∞=Ω==∑⎰对(j )a X Ω 进行N 点频域采样，得到：2120(j )|(nT)e(k)M jkn Na a M kn NTX T x TX ππ--Ω==Ω==∑采用上述方法计算信号(t)a x 的频谱需要注意如下三个问题：（1）频谱混叠；（2）栅栏效应和频谱分辨率； （3）频谱泄露。
北京理工大学信号和系统实验报告材料
本科实验报告实验名称：信号与系统实验实验一信号的时域描述与运算一、实验目的①掌握信号的MATLAB表示及其可视化方法。
②掌握信号基本时域运算的MATLAB实现方法。
③利用MATLAB分析常用信号，加深对信号时域特性的理解。
二、实验原理与方法1. 连续时间信号的MATLAB表示连续时间信号指的是在连续时间范围内有定义的信号，即除了若干个不连续点外，在任何时刻信号都有定义。
在MATLAB中连续时间信号可以用两种方法来表示，即向量表示法和符号对象表示法。
从严格意义上来说，MATLAB并不能处理连续时间信号，在MATLAB中连续时间信号是用等时间间隔采样后的采样值来近似表示的，当采样间隔足够小时，这些采样值就可以很好地近似表示出连续时间信号，这种表示方法称为向量表示法。
表示一个连续时间信号需要使用两个向量，其中一个向量用于表示信号的时间范围，另一个向量表示连续时间信号在该时间范围内的采样值。
例如一个正弦信号可以表示如下：>> t=0:0.01:10; >> x=sin(t);利用plot(t,x)命令可以绘制上述信号的时域波形，如图1所示。
如果连续时间信号可以用表达式来描述，则还可以采用符号表达式來表示信号。
例如对于上述正弦信号，可以用符号对象表示如下：>> x=sin(t); >> ezplot(X);利用ezplot(x)命令可以绘制上述信号的时域波形常用的信号产生函数-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Time(seconds)图1 利用向量表示连续时间信号2.连续时间信号的时域运算对连续时间信号的运算包括两信号相加、相乘、微分、积分，以及位移、反转、尺度变换（尺度伸缩）等。
1）相加和相乘信号相加和相乘指两信号对应时刻的值相加和相乘，对于两个采用向量表示的可以直接使用算术运算的运算符“+”和“*”来计算，此时要求表示两信号的向量时间范围和采样间隔相同。
随机过程第二章复习题及其解答基本概念
第二章1、随机过程若按状态空间与参数集分类可分为离散参数链，连续参数链，随机序列，随机过程四类.2、若｛X(t), teT｝是零均值的二阶矩过程，若对任意的tKtWtKs 则X(t)为正交增量过程的充分条件是E[X⑷-x fi][x(t4)-x(t3)J = 03、设随机过程X(t)=Y+Zt, t>0,其中Y, Z是相互独立的N (0,1) 随机变量，求｛ X(t), t>0｝的一维和二维概率密度族.解：由于X与Z是相互独立的正态随机变量，故其线性组合仍为正态随机变量，要计算｛X(t), t〉0｝的一、二维随机概率密度，只要计算数字特征叫(/)、D x (?)和Px (s, t)即可.iDx(t)=E (Y+Zt)=EY+tEZ=0, Dx (t)=D(Y+Zt)二DY+t'DZ 二1+F,B x(s, t)=EX(s)X(t)- m x(s) m3£(t)=E(Y+Zs) (Y+Zt)=l+st,t) _ 1 十st(PxG丿’瓦⑤叵貢血十旳(屮2)，故随机过程｛X(t), t>0｝的一、二维概率密度分别为I Y2ft(x)=7^?W xp｛-绪d'X* 2兀如旳二片讦 -eXP(令 [ 昙—2p j(】+：；；；+t2)+悬]｝，s,t>0,其中p = Px(s,t)4、设｛X(t), tMO｝是实正交增量过程，X(0)=0, V是标准正态随机变量，若对任意的tMO, X(t)与V相互独立，令Y(t)=X(t)+V,求随机过程(Y(t), tMO｝的协方差函数.解：依题意知EX(t)=O, EV=O, DV=1,所以EY (t) =E [X (t)+V] =EX (t) +EV=O,12)=E(X(ti)+V) (X(t2)+V)=E [X (tD X (t2)) ]+EV2= O \(min (t b t2)) +1.5、试证明维纳过程是正态过程。
随机过程 课件
fY
y
f
X
0
h
y
h
'
y , y
其它情况
，
h(y)是g(x)的反函数， min g x ， max g x 。
1.2 二维随机变量及其概率分布
1.2.1 分布函数
定义1：二维分布函数
设X，Y为定义在同一概率空间 S,, P 上的两个随机变量，
则（X，Y）称为二维随机变量，对任意 x, y R ，令
，则n维向量 Y Y1,,Yn 的概率密度函数为
fY
y
fX hy
h
y
h1
h
y
y1
hn
y1
hn yn
hn yn
1.4 随机变量的数字特征
1.4.1数字期望（expected value, probabilistic average, mean） 1、一维随机变量的数学期望
E
X
x xpX
xf
则
P n1
An
n1
P
An
则称P(A)为事件A出现的概率，称(S, Ω, P)为一个概率空间。
定义2：随机变量
设已知一个概率空间 S,, P ，对于 s S ， X(s)是一个取实数值的单值函数，若对于任意实数x，s : X s x 是一个随机事件，也就是 s : X s x ，则称X(s)为随机变量。
1.3.2 边沿分布
F xk F ,, xk ,,
1.3.3 独立性
定义2：如果 P X1 x1,, X n xn P X1 x1 P Xn xn
，则 X1,, X n 是相互独立得。
离散型：
P X1 x1,, X n xn P X1 x1 P X n xn
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Ex. 2.5、已知随机信号为X(t) = A 2t ，其中A 为[-1,1]上均匀分布的随机变量，求f X (x;1) 和E[X(1)].解：注意到2X(1)=A B =，其本质为一个随机变量B ，X f (x;1)即为该随机变量的概率密度函数，它可以由A 的概率密度函数求得 （1） 首先，因为1a 1-≤≤，所以0b 1≤≤，于是当b [0,1]∉时，B f (b)0=；当b [0,1]∈时，12P[B b]P[A a b]P[A a b]====-+==，由此有B A 1A 212B A A f (b)|db |f (a b)|da |f (a b)|da ||da ||da |f (b)f (a b)f (a b)|db ||db |==-+=⇒==-+=而12|da ||da |1|db ||db |2b ==，A 1A 2f (a )f (a )0.5==，所以当b [0,1]∈时，B 1f (b)2b=。
综上，有X B b x 0,x [0,1]f (x;1)f (b)|1/2x,x [0,1]=∉⎧==⎨∈⎩ b-b0.5-11A f (a)abb-b2b h(a)a ==a-11（2）有两种方法：i、1X1 E[X(1)]xf(x;1)dx3==⎰ii、122A11 E[X(1)]E(A)a f(a)da3-===⎰2.1.5、随机过程的特征函数nX nC (u;t)nn u u 0E[X (t)](j)∂∂==-1111ju X(t )ju x X 11X 111C (u ;t )E[e ]e f (x ;t )dx ∞-∞==⎰X(t)trandom processt 1X(t 1)一、一维特征函数X 11f (x ;t )FT确定函数研究高斯随机过程两边同时对u 取n 阶偏导Ex. 2.6. 已知X(t)的一维概率密度函数（PDF ）为22(x m)2X 1f (x;t)e2--σ=πσ又X(t)Y(t)be =，其中b 0>。
求（1）Y f (y;t)；（2）E[Y(t)]；（3）2E[Y (t)]解：（1）当y 0<时，Y f (y;t)0=；当y 0≥时，Y X f (y;t)f (x ln(b/y);t)|dx /dy |==（2）X(t)juX(t)u j X u j E[Y(t)]E[be]bE[e]|bC (u;t)|=-=-===，又，22jum u /2X C (u;t)ee -σ=所以2(m /2)E[Y(t)]be+σ=（3）2222X(t)22(m )E[Y (t)]b E[e]b e+σ==X(t)trandom processt 1X(t 1)t 2X(t 2)2X 12121212C (u ,u ;t ,t )X 12u u u u 0R (t ,t )∂∂∂===-11221122j[u X(t )u X(t )]X 1212j(u x u x )X 121212C (u ,u ;t ,t )E[e]ef (x ,x ;t ,t )dx dx +∞+-∞==⎰二、二维特征函数X 1212f (x ,x ;t ,t )2D FT确定函数X(t)trandom processt 1X(t 1)t 2X(t 2)t nX(t n )11n n 11n n j[u X(t )u X(t )]X 1n 1n j(u x u x )X 1n 1n 1nC (u ,,u ;t ,,t )E[e]ef (x ,,x ;t ,,t )dx dx ++∞++-∞==⎰⎰ 三、n 维特征函数X 1n 1n f (x ,,x ;t ,,t )nD FT确定函数Ex. 2.7：微分器（教材2.2节）限幅器微分器包络检波器斜率检测器型调频解调器x(t)y(t) = dx(t)/dt X(t)Y(t) = dx(t)/dt连续连续？2.2.1、随机连续性：均方连续2t 0lim E{[X(t t)X(t)]}0∆→+∆-=t 0X(l t t)X t)i m (∆→+∆=⋅⋅若则称X(t +∆t)均方收敛于X(t)，记作或m.s.X(t t)X(t)+∆→“E ”和“l ·i ·m ”次序可换★t 0t 022E[(X(t T)X(t))]0E [X(t T)X(t)]0E[X(t T)]E[X(t)]∆→∆→+∆-=⇒+∆-=⇒+∆=Y X(t t)X(t)=+∆-22222YE[Y ]E [Y]E[Y ]E [Y]σ=-⇒≥22E[(X(t T)X(t))]E [X(t T)X(t)]⇒+∆-≥+∆-t 0t 0[X(t t)]E[X(t lim l i E )][X(t t)E ]m ∆→∆→+∆==+∆⋅⋅均方连续->均值连续2.2.2、R.P.的微分及其矩2X 12E[X(t)]\E[X (t)]\R (t ,t )X(t)dX(t)/dt = 微分器X(t)t 0X(t t)X(t)X(t)l i m t∆→+∆-=⋅⋅∆ Def.212X E[X(t)]\E[X (t)]\R (t ,t )12XX R (t ,t )12XX R (t ,t )t 0X X X t 0t 0X(t t)X(t)E[X(t)]E l i m t m (t t)m (t)E[X(t t)]E[X(t)]l i m lim m(t)t t∆→∆→∆→+∆-⎡⎤=⋅⋅⎢⎥∆⎣⎦+∆-+∆-=⋅⋅==∆∆ “E ”和“d(·)/dt ”次序可交换2212121XX t 01212t 01212t 0X 12X 12X 12t 02X(t t)X(t )R (t ,t )E[X(t )X(t )]E X(t )l i m T X(t )X(t t)X(t )X(t )E l i m T E[X(t )X(t t)]E[X(t )X(t )]lim TR (t ,t t)R (t ,t )R (t ,t )lim T t ∆→∆→∆→∆→+∆-⎡⎤==⋅⋅⎢⎥∆⎣⎦+∆-⎡⎤=⋅⋅⎢⎥∆⎣⎦+∆-=∆+∆-∂==∆∂ 12121212XX t 0X 12X 12X 12t 01X(t t)X(t )X(t )X(t )R (t ,t )E[X(t )X(t )]E l i m T R (t t,t )R (t ,t )R (t ,t )lim T t ∆→∆→+∆-⎡⎤==⋅⋅⎢⎥∆⎣⎦+∆-∂==∆∂2212121X t 01212t 01212t 01212XX XX t 012XX X(t t)X(t )R (t ,t )E[X(t )X(t )]E X(t )l i m T X(t )X(t t)X(t )X(t )E l i m T E[X(t )X(t t)]E[X(t )X(t )]lim TR (t ,t t)R (t ,t )lim T R (t ,t ∆→∆→∆→∆→+∆-⎡⎤==⋅⋅⎢⎥∆⎣⎦⎡⎤+∆-=⋅⋅⎢⎥∆⎣⎦+∆-=∆+∆-=∆∂= 2X 12212)R (t ,t )t t t ∂=∂∂∂1222X 1212t ttE[X (t)]R (t ,t )t t ==∂=∂∂Ex. 2.8：积分器（教材2.2节）m bm mmau 0x(t)dt limx(t )t ∆→≈∆∑⎰积分器噪声平滑（smoothing ）tX(t)tY(t)h(t)-TTt1/2T t T12Tt TY(t)X(t)h(t)X(u)du+-=*=⎰mt ∆m bm mm au 0X(t)dt l i m X(t )t ∆→≈⋅⋅∆∑⎰RV: 随机变量和的均方极限x(t) = X(t,r)t2.2.3、随机过程的积分及其矩m m b m m m a u 0b bm m x maau 0E X(t)dt E l i m X(t )u limE[X(t )]u E[X(t)]dt m (t)dt∆→∆→⎡⎤⎡⎤=⋅⋅∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=∆==∑⎰∑⎰⎰“E ”与均方积分次序可换变上限积分taY(t)X(s)ds=⎰t tX a aE[Y(t)]E X(s)ds m (s)ds ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()ttY 12aa t t t ta a a attXaaR (t ,t )E X(u)duX(v)dv E X(v)X(u)dvdu E[X(v)X(u)]dvdu R(v,u)dvdu⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰XY 12R (t ,t )?=Thinking about ……•Time dependence of statistics?•Ensemble averaging?X(t)tX(t)tIs it practical?Is it necessary?stationarity 平稳性ergodicity 遍历性Ex. 2.9:Sine wave with random phase0210202A 002X 12122010*******(1)mean :E[X(t)]E[A]E[cos(t )]A cos(t )d sin(t )|0(2)Auto-correlation :R (t ,t )E[X(t )X(t )]E[A ]E[cos(t )cos(t )]A E cos A,:constan X(t)A cos t;:U(0,2)(t )[ππππ=ω+Θ=ω+ϕϕ=ω+ϕ=ωω===ω++ϕω+ϕ=ΘΘπω⎰[]12012210122(t t )2]cos[(t t )]A cos[(t t )]++ϕ+ω-=ω-自相关函数相同t 1-t 2R X (t 1-t 2)t 1weak2a 2220a 2A 0X 1022212:constant;:U(0,2)E[A]e,a 0A :Rayleigh: f (a)var[A](2)(1)mean: E[X(t)]E[A]E 0,a 0A,:independ [cos(t )]0(2)Auto-correlation:R (t ,t )E[X(t )X(t)Aco e s nt (t (t )X σ-πσπωΘπ⎧⎧=σ⎪⎪≥=⇒⎨⎨=-σ⎪=ω+Θ=⎪<⎩==Θω⎩+Θ2010220122012)]E[A ]E[cos(t )cos(t )](var(A)E [A])cos[(t t )]cos[(t t )]=ω+ϕω+ϕ=-ω-=σω-122a 22212112212111X X 1012202a2A X X 122A A (3)1st & 2rd PDFLet X X(t ),X X(t ),t t HenceX g (A,)Acos(t )X g (A,)Acos(t )A,:f (x ,x )|J |f independent e ,a 0f (a,)0,a 0f (x ,x )f (a,)|J (a,)|σ-πσΘΘΘ-==≠=Θ=ω+Θ⎧⎨=Θ=ω+Θ⎩Θ⇒⎧⎪≥ϕ=⎨⎪<⎩==⇔ϕϕ121X X 12A f (x ,x )|J |f (a,)-Θ=ϕ雅可比方法可以不求逆函数11122g g a J g g a -∂∂∂∂ϕ=∂∂∂∂ϕ22121010********a /(2)2X X 1201222212120122012cos(t )a sin(t )J cos(t )a sin(t )1a sin[(t t )]e,a 0f (x ,x )2|sin[(t t )]|0,a 0x x 2x x cos[(t t )]a sin [(t t )]--σω+ϕ-ω+ϕ=ω+ϕ-ω+ϕ=ω-⎧≥⎪⇒=πσω-⎨⎪<⎩+-ω-=ω-〉12221212X X 12122222221212012222012012x x 2x x 1f (x ,x ;t ,t )exp 2(1)21x x 2x x cos[(t t )]1exp 2|sin[(t t )]|2sin [(t t )]⎡⎤+-ρ=-⎢⎥σ-ρπσ-ρ⎣⎦⎡⎤+-ω-=-⎢⎥πσω-σω-⎣⎦（1）高斯分布（2）信号的一维概率密度函数与时间无关（3）信号的二维概率密度函数仅与时间差有关，而和时间起点无关（4）高阶分布同样具有时间平移不变性结论strict stationarity2x 22X 1f (x;t)e2σ-=πσSine wave with random Amp. & Ph.f x (x 1,x 2;T)x 1x 2xtf X (x;t)Normal distribution2.3、平稳随机过程和遍历性过程一、严平稳随机过程Strict-Sense Stationary ：SSSX 12n 12n X 12n 112n X 12n 12n X 12n 12n 2n 12n F (x ,x ,,x ;t ,t ,,t )F (x ,x ,,x ,x ,,x R;t ,t ,,x ;t ,t ,,t )f (x ,x ,,x ;t ,t ,,t )f (x ,x ,,x ;t ,t ,,t )t T;n :integer;∙=+τ∀+τ+τ∙=+τ+τ+τ∈∈τ （1）SSS 一维分布、密度函数和均值都与时间无关（2）SSS 二维分布、密度函数和自相关函数都与两个时刻的绝对值无关，而仅与两者之差有关remarks2.3.1、平稳随机过程一、严平稳随机过程的低阶矩X X222X X22X X XX 12X 1212X 2X 12X X X 22X XX XE[X(t)]xf (x)dx m E[X (t)]x f (x)dx D[X(t)](x m )f (x)dx R (t,t )x x f (x ,x ;)dx dx R ()K (t ,t )K ()R ()m K (0)R (0)m∞-∞∞-∞∞-∞∞∞-∞-∞====ψ=-=σ+τ=τ=τ=τ=τ-=σ=-⎰⎰⎰⎰⎰二、Wide-sense stationary process二、宽平稳随机过程Wide-Sense Stationary ：WSSX X X X 2(1)E[X(t)]m (t)m :constant (2)R (t,t )R ():t,(3)E[X (t)]==+τ≡τ∀τ<∞补充: 循环平稳随机过程CycloStationarity: CSX X X X X (1)E[X(t)]m (t)m (t kT),k :integer |periodic (2)R (t,t )R (t,)R (t kT,)|periodic==++τ≡τ=+τ辛钦:KhinchineEx. 2.10: 幅度调制信号: AMAM0Y 00X 0X 0Y 001X 00200m (t)E[Y(t)]E[X(t)cos(t)]E[X(t)]cos(t)m cos(t)m cos[]R (t,t )E[Y(t)*Y(t )]E[X(t)x(t )]cos(t)cos[(t )]WSS:X(t)Y(t)X(t)cos(t)|:co R ()[cos (nstant (2t )c t 2k )*o /==ω=ω=ω=ω+τ=+τ=+πω+τωω+τ=τω+ωτ→ω+=ω01000X 02(t k /s()]R ()[cos[2]cos()])+πωωτ=τω+ωτ+ωτ循环平稳信号2.3.3、平稳随机过程相关函数的性质一、propertiesX X X X X X X X X j X 222X X XX X2X X X(P1)R (t,t )R ()R ()(P2)|R ()|R (0)(P3)T 0R (T)R (0)R ()R (kT),k :integer(P5)R ()ed 0(P6)K ()R ()m ,R (0)m(P7)for Aperiodic RP :lim K ()0,lim R ()m∞-Ωτ-∞τ→∞τ→∞+τ=τ=-ττ≤∃≠→=⇒τ=τ+ττ≥τ=τ-σ=-τ=τ=⎰(P4) 若自相关函数在原点处连续，则它处处连续22221212X(P2):|E[X(t )X(t )]|E[|Gauchy Schwar X(t )|]E[|X(t z )|]R (0)Inequality ⇒≤=-⋅X X 2222X X X X X R (0)R (T)2X X X X (P3):X(t T)X(t )&X(t)|E([X(t T)X(t )]X(t))|E[(X(t T)X(t ))]E[X (t)]|R (T)R ()|2[R (0)R (T)]R (0)|R (T)R ()|0R Gauchy Schwarz Inequ (T ali )R )ty (=+τ+-+τ⇒+τ+-+τ≤+τ+-+τ⋅⇒τ+-τ≤-⋅⇒τ+-τ≤⇒τ+=τ-2X X X X X X X X X X X X X X X t 0X X t 0(P4):Replace T by t |R (t)R ()|2[R (0)R (t)]R (0)2[R (0)R (t)]R (0)R (t)R ()2[R (0)R (t)]R (0)lim R (0)R (t)0lim R (t)R ()0∆→∆→∆⇒τ+∆-τ≤-∆⋅⇒--∆⋅≤τ+∆-τ≤-∆⋅-∆=⇒τ+∆-τ=Ex. 2.11: Possible correlation functions?XR()ττXR()ττXR()ττXR()ττXR()ττ2.3.3、平稳随机过程相关函数的性质二、相关系数& 相关时间2X X XX X 2X XK ()R ()m r ()0|r ()|1K (0)ττ-τ==≤τ≤σ0X 0r ()d ∞τ=ττ⎰X 0r ()0.05'τ≤X |r ()|τ0.05'τ1τ1τX |r ()|ττ相关系数相关时间Ex. 2.12: Randomness, Correlation5001000150020002500300035004000-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1speech signalwhite noise123456-3-2-1123X(t 1)X(t 2)x 1x 2-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020.020.040.060.080.1-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1x 1x 2-4-3-2-101234-4-3-2-101234x 1x 2Is Ensemble Averaging practically feasible?Khinchine前苏联数学家,1894-1959取统计平均所需要的试验工作量巨大，处理方法复杂，很多实际应用中并不可行辛钦证明：在具备一定的补充条件下，对平稳随机过程的一个样本函数取时间均值（观察时间足够长），就从概率意义上趋近于此过程的统计平均值1、随机过程的时间平均：2、严遍历性过程的定义：随机过程的各种时间平均值，在平均时间足够长的条件下都依概率1收敛于相应的集合平均一、遍历性过程的定义TTT TX TT 1A X(t)X(t)l i m X(t)dt 2T 1(t,t )X(t)X(t )l i m X(t)X(t )dt 2T -→∞-→∞==⋅⋅+τ=+τ=⋅⋅+τ⎰⎰R 时间平均3、宽遍历性过程的定义：设随机过程X(t)广义平稳则称X(t)的均值具有遍历性则称X(t)的自相关函数具有遍历性若(1)和(2)同时满足，X(t)称为(宽)遍历随机过程一、遍历性过程的定义a.s.(almost sure)XX (1)A X(t)X(t)E[X(t)]i.e.,P[X m m (t)]1=====a.s.X X (2)()X(t)X(t )E[X(t)X(t )]R ()τ=+τ=+τ=τREx. 2.13: on ergodicitysin(t )ω+Φm sin(t )ω+Φm cos(t )ω+ϕ比较集总域和时间域状态的平均值21X 1x f (x;t)π-=*millions of trials**a realization*1、由于遍历性随机过程的时间平均(随机变量)趋近于确定量，不同样本函数的同一时间平均值几乎相，同，所以，统计平均值可以用任一样本函数的时间平均值估计2、遍历过程的一、二阶矩具有明确的物理含义二、遍历性的实际意义TTT TX T T 1E[X(t)]lim x(t)dt 2T 1R ()lim x(t)x(t )dt 2T -→∞-→∞=τ=+τ⎰⎰1、(宽)遍历过程必须是(宽)平稳的：必要非充分2、随机过程均值遍历的充要条件：三、随机过程具备遍历性的条件2T 2X X 0T 1lim 1R ()m d 0T 2T →∞τ⎛⎫⎡⎤-τ-τ= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰X(t)t虽然均值平稳但均值不遍历3、随机过程自相关函数遍历的充要条件4、零均值正态平稳随机过程，自相关函数连续，其遍历的充要条件：5、假设、验证三、随机过程具备遍历性的条件X 0|R ()|d ∞ττ<∞⎰2T 211X 10T 1111lim 1B()R ()d 0T 2T B()E[X(t )X(t )X(t )X(t)]→∞τ⎛⎫⎡⎤-τ-ττ= ⎪⎣⎦⎝⎭τ=+τ+τ+τ+τ⎰。