【四维备课】高中数学 1.3.1 第1课时函数的单调性课件新人教A版必修1

人教A版高中数学必修一第一章：函数的单调性课件

例3 、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)上是减函数,求实数a的取值范围。
扩展作业：
已知函数f(x)在定义域(-1，1)上是增函数，且f(m+1)-f(-m)＞0，求实数m的取值范围。
m ( 1 ,0) 2
三、例题讲解 [例1]下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象,根据图象说出y＝f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上, y＝ f(x)是增函数还是减函数.
y3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-1
-2
• 书写单调区间时，注意区间端点的写法。
对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点。
着x的增大而 ________ ．
思考2：函数
的单调区间是什么？
取数:任取，且；
例3 、若函数f(x)=x +2(a-1)x+2在区间利用定义确定或证明函数在给定的
连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，
2
(-∞,4)上是减函数,求实数a的取值范围。 4.
思考2：函数
的单调区间是什么？
单调性.
练习：课本P32第4题
练习：
证明函数f (x) x 1在（1，+∞）
上为增函数。
x
作业布置：课本P39 A组第1、2、3题课本P44，A组第9题。
补充例题：
作差: ；例1、讨论函数 f(x)x22ax3
连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，
在(-2,2)内的单调性思考2：函数
的单调区间是什么？

1.3-1.3.1第1课时函数的单调性秋学期高中数学必修1(人教A版)PPT课件

类型 3 函数单调性的应用
[典例 3] 已知 y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，
且 f(1－a)<f(2a－1)，求 a 的取值范围．
解：由题意可知－－11<<12－a－a<1<1，1，解得 0<a<1. ① 因为 f(x)在(－1，1)上是减函数，且 f(1－a)<f(2a－1)，
[迁移探究 2] (变换条件)将典例 2 中的函数“f(x)＝

x＋4x”变为“f(x)＝ x＋4”，试判断此函数的单调性并证明．
解：函数 f(x)＝ x＋4为增函数．
证明：由题意知函数 f(x)的定义域为[－4，＋∞)，
任取 x1，x2∈[－4，＋∞)，且 x1<x2.
则 f(x1)－f(x2)＝
[变式训练] 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|. (2)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. 解：(1)因为 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝－3，2x－＋11<，x≤x≤2，－1， 2x－1，x>2，作出函数图象如图①所示．由图象可知，函数的单调递减区间是(－∞，－1)，单调递增区间是(2，＋∞)，在区间(－1，2)上是常函数．
则 2a－1<0，即 a<12.
答案：D
3．给出下列四个函数：①f(x)＝x＋1；②f(x)＝1x；③
f(x)＝2x2；④f(x)＝－x.其中在(0，＋∞)上是增函数的有
() A．0 个
B．1 个
C．2 个 D．3 个
解析：在(0，＋∞)上是增函数的为①③.
答案：C
4 ．函数 y ＝ f(x) 的图象如图所示，其增区间是 ________．

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解：若f(x)的单调递减区间为(－∞，4]，则1－a＝4，∴a＝－3；若f(x)在[4，＋∞)是增函数，则1－a≤4，∴a≥－3，即a的取值范围为[－3，＋∞)．
误区：应用函数的单调性时，由于忽略函数的定义域而导致错误
【典例】已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜ f(1－x)，求x的取值范围．
(2) 一个函数出现两个或两个以上单调区间时，不能用 “∪”而应该用“和”来表示．
(3)求函数的单调区间不能忽视定义域，单调区间是定义域的子集．
2．求下列函数的单调区间． (1)y＝5x；(2)y＝x2－2x－3；(3)y＝3|x|．
解：(1)函数的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)． (2)由于函数 y＝x2－2x－3 的对称轴方程是 x＝1，并且开口向上，所以其单调减区间是(－∞，1]，单调增区间是(1，＋∞)． (3)f(x)＝3|x|＝3－x，3x，x≥x0＜，0. 由一次函数的单调性可得，f(x)的单调减区间是(－∞，0)，单调增区间是[0，＋∞)．
(4)分子有理化．当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化．如 f(x)＝ x＋1．
1．证明 f(x)＝1＋xx在(0,1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
证明：设 x1＜x2，则 x2－x1＞0， f(x2)－f(x1)＝1＋xx2 2－1＋xx11 ＝ x2－ x1 x1x2－1
【题后总结】已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想，采用逆向思维．利用已知函数研究函数单调性问题，像一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数的单调性不必用定义研究，直接判断即可．
在本例中，若将“函数f(x)在(－∞，4]上是减函数”改为 “函数f(x)的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？若改为 “函数f(x)在[4，＋∞)上是增函数”呢？

高中数学必修一数学人教A版最新课件：第一章1.3 1.3.1 第1课时函数的单调性

A．(－∞，0] C．[1，＋∞)
(2)求 f(x)＝|x2＋2x－3|的单调区间．
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解析：(1) x2，x>1， g(x)＝0，x＝1，－x2，x<1. 如图所示，其递减区间是[0,1)．故选 B.
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(2)令 g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4. 先作出 g(x)的图象，保留其在 x 轴及 x 轴上方部分，把它在 x 轴下方的图象翻到 x 轴上方就得到 f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．
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探究三抽象函数的单调性 [典例 3] 已知函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且 f(x)<f(2x－3)，求 x 的取值范围．
[解析] ∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且 f(x)<f(2x－3)， x>0， 3 2 x － 3>0 ， ∴ 解得 <x<3. 2 x>2x－3，
答案：C
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2．设 f(x)＝(2a－1)x＋b 在 R 上是减函数，则有( 1 A．a≥ 2 1 C．a>－ 2 1 B．a≤ 2 1 D．a< 2
)
答案：D
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3．函数 f(x)＝2x2－mx＋3，当 x∈[－2，＋∞)时，f(x)为增函数，当 x∈(－∞，－2]时，函数 f(x)为减函数，则 m 等于( A．－4 C．8 B．－8 D．无法确定 )
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一般来说，求函数单调区间可以根据函数的图象．在某区间内，由左至右图象是上升的，该区间就是函数的单调增区间；某区间内，由左到右图象是下降的，该区间就是函数的单调减区间．

高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第一章 1.3.1 第1课时函数的单调性

第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时函数的单调性
学习目标
1.理解单调区间、单调性等概念； 2.会划分函数的单调区间，判断单调性； 3.会用定义证明函数的单调性.
问题导学
题型探究
达标检测
知识点一函数单调性
一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应区间称为减区间.
f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 或
fx1－fx2 x1－x2 <0.
3.熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等. 4.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空) 上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，
知识点二函数的单调区间
一般地，有下列常识： (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.
规律与方法
1.若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有 f(x)在A∪B上单调递减. 2.对增函数的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 或fxx11－－fx2x2>0.对减函数的判断，当 x1<x2 时，都有
设函数f(x)的定义域为I： (1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 . (2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 .

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变式训练2 已知函数f(x)＝3|x|，求f(x)的单调区间．
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解 f(x)＝3|x|＝3－x3xx≥x0<0，. 如下图所示：
由图象可知，f(x)的递增区间为[0，＋∞)，减区间为(－ ∞，0].
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三函数单调性的应用
【例3】已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，在下列条件下，分别求实数a的取值范围．
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(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 当a>0时，在－∞，－2ba上是减函数，在－2ba，＋∞上是增函数；当a<0时，在－∞，－2ba上是增函数，在－2ba，＋∞上是减函数．
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4．判断函数单调性的常用方法 (1)定义法：这是证明或判断函数单调性的常用方法． (2)图象法：根据函数图象的升、降情况进行判断． (3)在解答选择题或填空题时，也可用以下结论： ①函数y＝f(x)与y＝－f(x)单调性相反； ②若函数f(x)恒正或恒负时，函数y＝f(x)与y＝f1x单调性相反；
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4．f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)<f(－ 2x＋8)的解集是________．
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变式训练3 若函数f(x)＝x2－2mx＋3在(－∞，2)上是减函
数，则实数m的取值范围是( )
A．m>2
B．m<2
C．m≥2
D．m≤2
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解析函数f(x)的图象是开口向上的抛物线，要使在(－ ∞，2)上是减函数，只要对称轴x＝m≥2.

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你能据此得出增（减）函数的形式化定义吗？
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用函数单调性的定义证明的单调性的基本步骤：
设元作差
变形
定号
结论
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-1
-4
-4
函数图象从左往右呈上升趋势
1、新课引入
y
4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 O1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4
y 4 3 2 1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x -1
如何用准确的数学语言描述这种性质呢
单调性：函数图象的“上升”“下降”所反映的函数的一个基本性质
当函数的图象在某区间上上升时，称函数在该区间上单调递增；当函数的图象在某区间上下降时，称函数在该区间上单调递减
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4、巩固提升
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高中数学 1.3.1.1 第1课时单调性课件新人教A版必修1

第三十七页，共48页。
如果函数f(x)＝x2＋bx＋c，对任意实数x都有f(2 ＋x)＝f(2－x)．试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小．
第三十八页，共48页。
[解题过程] ∵对任意x∈R，有f(2＋x)＝f(2－x)， ∴(2＋x)2＋b(2＋x)＋c＝(2－x)2＋b(2－x)＋c. ∴4x＋bx＝－4x－bx. ∴8x＋2bx＝0，即(8＋2b)x＝0对任意实数x都成立(chénglì)． ∴8＋2b＝0，b＝－4. ∴f(x)＝x2－4x＋c＝(x－2)2＋c－4. 即f(x)图象的对称轴为x＝2. ∴函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数．又∵f(1)＝f(2－1)＝f(2＋1)＝f(3)，且2＜3＜4， ∴f(2)＜f(3)＜f(4)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．
第三页，共48页。
1．一次函数y＝x的图象(tú xiànɡ)特征是：自左向右，图象(tú xiànɡ)逐渐____，y随x的增大而____；二次 y＝函x2数的图上 (s象h升à(ntúg xiànɡ)特征是：增 (z自ē大n左ɡ 向右，在(－∞， 0上 _]__，__图；象在(sth(ú0ē，nxgi下à)n降ɡ)上逐升渐_____，dày)随x减的小增大增大而＋∞)上，图象(tú xiànɡ)逐渐_____，y随x的增大而 _____．
第三十二页，共48页。
函数单调性的简单应用已知函数 f(x)＝x2－2(a－1)x＋3 在区间 (－∞，4]上是减函数，求实数 a 的取值范围．
第三十三页，共48页。
[解题过程] f(x)＝x2－2(a－1)x＋3 ＝[x－(a－1)]2－(a－1)2＋3， ∴此二次函数(hánshù)的对称轴为x＝a－1. ∴f(x)的单调减区间为(－∞，a－1]． ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数(hánshù)， ∴对称轴x＝a－1必须在直线x＝4的右侧或与其重合． ∴a－1≥4，解得a≥5.

高中数学第一章 §1.3.1第1课时函数的单调性课件新人教A版必修1

问题 1 判断函数单调性的方法有哪些？证明函数单调性的方
法有哪些？答定义法，图象法．证明函数单调性有定义法．问题 2 根据增函数或减函数的定义，你认为证明函数 f(x)在区间 D 上单调性的一般步骤有哪些？答 (1)取值：任取 x1，x2∈D，且 x1<x2； (2)作差：f(x1)－f(x2)； (3)变形：通常通过因式分解、配方与通分等途径将结果化为积或商的形式； (4)定号：判断差 f(x1)－f(x2)的正负； (5)小结：指出函数 f(x)在给定区间 D 上的单调性．
函数 f(x)＝x 的图象由左到右是上升的；函数 f(x)＝x2 在 y 轴左侧是下降的，在 y 轴右侧是上升的．
第六页，共22页。
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问题 2 如何利用函数解析式 f(x)＝x2 来描述随着自变量 x 值的变化，函数值 f(x)的变化情况？答在(－∞，0]上，随着自变量 x 值的增大，函数值 f(x)逐渐减小；在(0，＋∞)上，随着自变量 x 值的增大，函数值 f(x)逐渐增大．
第二十一页，共22页。
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3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反
比例函数等．
4．若 f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的
交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增， ②－f(x)单调递减，③f1x单调递减(f(x)≠0)．
那么
(A )
A．f(3)<f(1)<f(6)
B．f(1)<f(3)<f(6)
C．f(3)<f(6)<f(1)
D．f(6)<f(3)<f(1)

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求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0，2]上的最大值和最小值． [巧思] 先求出函数的对称轴x＝a，分四种情况a<0，0≤a<1， 1≤a<2，a≥2时，讨论函数f(x)在区间[0，2]上的单调性，再结合图形，可分别求出相应的最小值和最大值．
[妙解] ∵f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为直线x＝a， ①当a<0时，由图1可知 f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a. ②当0≤a<1时，由图2可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
（x≥0），（x＜0），
函数图像如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．
[悟一法]
(1)对于初等函数(y＝kx＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝kx)单调区间的确定，常借助于函数图像去探求，而且这些函数的单调区间作为常识性的内容，可以直接使用．
③当1≤a<2时，由图3可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(0)＝－1； ④当a≥2时，由图4可知， f(x)min＝f(2)＝3－4a， f(x)max＝f(0)＝－1.
“若函数单调增区间为[2，＋∞)，则a为何值？” 解：∵f(x)开口向上，且函数单调增区间为[2，＋∞)， ∴对称轴x＝a＝2，即a＝2.
[悟一法] (1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．
(2)常见函数的单调性列表如下：

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人教A版高中数学必修一第一章：函数的单调性课件

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