高三开学考试数学试题(理)

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河北省2024年高三秋季开学考试数学试题与答案

河北省2024年高三秋季开学考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2,A x x B x x a =∈≤=≤Z∣∣，若A B ⋂中有3个元素，则a 的取值范围是（）A ．[]0,1B ．[)0,1C ．()0,1D ．[]1,22．已知复数i(1i)z =-，则||z =（）A ．2BC ．5D3．若向量(2,3)a = ，(1,1)b =- ，则b 在a上的投影向量的坐标是（）A ．23,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．23,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．23,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭4．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2a =，3b =，()1cos 3A B +=，则c =（）AB ．4CD ．35．已知正方体的棱长为2，则该正方体的内切球的体积为（）A ．B ．π3C ．π3D ．4π36．已知变量x 与变量y 线性相关，x 与y 的样本相关系数为0.8-，且由观测数据算得样本平均数5x =，6y =，则由该观测数据算得经验回归方程可能是（）A ． 0.82y x =+B ．1y x =+$C ． 0.89y x =-+D ． 11y x =-+7．已知函数()()22e xf x x ax a =++，若()f x 在2x =-处取得极小值，则a 的取值范围是（）A ．()4,+∞B ．[)4,+∞C ．[)2,+∞D ．()2,+∞8．在平面直角坐标系xOy 中，直线:1l ax by +=上有且仅有一点P ，使2OP =，则直线l 被圆22:16C x y +=截得的弦长为（）A ．2B ．C ．4D ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若814S S =，则下列结论中正确的有（）A ．1212a d =B ．220S =C ．当0d >时，7170a a +>D ．当0d <时，717a a >10．平面内到两个定点,A B 的距离比值为一定值()1λλ≠的点P 的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点()()()1,0,4,0,0,0A B O ，动点P 满足12PA PB=，记点P 的轨迹为τ，则下列命题正确的是（）A ．点P 的轨迹τ的方程是224x y +=B ．过点()1,1N的直线被点P 的轨迹τ所截得的弦的长度的最小值是C ．直线40x y -+=与点P 的轨迹τ相离D ．已知点M 是直线:40L x y -+=上的动点，过点M 作点P 的轨迹τ的两条切线，切点为,C D ，则四边形OCMD 面积的最小值是411．已知()()()0.3,0.7,0.1P A P B P AB ===，则关于事件A 与事件B ，下列说法正确的有（）A ．事件A 与B 可能相互独立B ．事件A 与B 一定不互斥C ．()0.9P A B ⋃=D ．()()P A P B =三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．()52x y +的展开式中32x y 的系数是.（用数字作答）13．已知函数()31f x ax x a =-++，若()2f x ≤对任意[]1,0x ∈-恒成立，则实数a 的取值范围为.14．已知AB 是圆22:3O x y +=的直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=，则()2OM ON AB +⋅的最小值为.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(13分)如图，在ABC 中，AB =π4B ∠=，D 是BC 边上一点，且23ADC ∠=π，(1)求AD 的长；(2)若10CD =，求sin DAC ∠.16．(15分)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点，A ，B 分别是E 的左顶点和下顶点，F 是E 右焦点，π3AFB ∠=.(1)求E 的方程；(2)过点F 的直线与椭圆E 交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 分别与直线4x =交于不同的两点M ，N .设直线FM ，FN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.17．(15分)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，,M N 分别是,AB PC 的中点.(1)求证：//MN 平面PAD ；(2)求证：MN CD ⊥；(3)若PD 与平面ABCD 所成的角为45︒，求证：MN ⊥平面PCD .18．(17分)已知函数()31e 2xf x x x =⋅-.(1)求()f x 在()()0,0f 处的切线方程；(2)当1x ≥时，若()2f x kx x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围.19．(17分)某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有()*n n ∈N 份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验n 次；方式二：混合检验，将其中()*2k k k ∈≥N 且份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k 份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为()1k +次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为()01p p <<．(1)现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；(2)现取其中()*2k k k ∈≥N 且份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ．①若()()12E E ξξ=，求P 关于k 的函数关系式()p f k =；②已知181e p -=-，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？参考数据：ln 20.693=，ln 25 3.219=，ln 26 3.258=，ln 27 3.296=，ln 28 3.332=．河北省2024年高三秋季开学考试数学试题答案1．B 【分析】求出{}2,1,0,1,2A =--，再利用交集含义即可得到01a ≤<.【详解】{}{}22,1,0,1,2A x x =∈≤=--Z∣，要使A B ⋂中有3个元素，只需{}2,1,0A B =-- ，所以01a ≤<，2．B 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再利用复数的模长公式即可求解.【详解】因为2i(1i)i i 1i z =-=-=+，所以||z ==3．B【分析】根据向量的坐标运算可得1a a b =⋅=，再结合投影向量的定义运算求解.【详解】因为(2,3)a = ，(1,1)b =-，则231a a b =⋅=-+= ，所以b 在a上的投影向量2123,131313a b a a a ⎛⎫⋅⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4．A 【分析】由已知利用三角形内角和定理，诱导公式可求cos C 的值，进而利用余弦定理即可求解c 的值．【详解】解：因为2a =，3b =，1cos()cos(π)cos 3A B C C +==-=-，所以1cos 3=-C ，则由余弦定理可得c =5．D 【分析】根据正方体内切球特点即可得到球的半径，再利用球的体积公式即可.【详解】由正方体内切球的直径是正方体的棱长，所以22R =，即1R =，则球的体积344ππ33V R ==，6．D 【分析】根据相关系数的性质以及经验回归方程过样本中心点()5,6逐项分析判断.【详解】因为x 与y 的样本相关系数为0.80-<，可知x 与y 为负相关，故A ，B 错误；又因为经验回归方程过样本中心点()5,6，对于 0.89y x =-+，则0.85956-⨯+=≠，故C 错误；对于 11y x =-+，则5116-+=，故D 正确．7．A 【分析】利用求导得到导函数的零点2a-和2-，就参数a 分类讨论，判断函数()f x 的单调性，即可分析判断，确定参数a 的范围.【详解】由题意得，()()()()()()222e 4e 242e 22e x x x xf x x ax a x a x a x a x a x ⎡⎤=++++=+++=++⎣⎦'，由()0f x '=可得，2ax =-或2x =-，①若22a -=-，即4a =时，()()222e 0x f x x =+≥'，显然不合题意；②若22a -<-，即4a >时，当2a x <-或2x >-时，()0f x '>，即()f x 在(,)2a-∞-和(2,)-+∞上单调递增；当22ax -<<-，()0f x '<，()f x 在(,2)2a --上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极小值，符合题意；③若22a ->-，即4a <时，当<2x -或2x a >-时，()0f x '>，即()f x 在(,2)-∞-和(,)2a-+∞上单调递增；当22a x -<<-，()0f x '<，()f x 在(2,)2a--上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极大值，不符题意.综上所述，当4a >时，()f x 在2x =-处取得极小值，故a 的取值范围是()4,∞+.8．D 【分析】运用点到直线的距离公式，结合弦长公式求解即可.【详解】:1l ax by +=，化为一般式，即:10l ax by +-=，直线:1l ax by +=上有且仅有一点P ，使2OP =，则圆心到直线的距离2d OP ==,即2d ==22:16C x y +=圆心(0,0),4r =.l ===弦9．BC 【分析】对于A ，由等差数列求和公式结合已知即可验算；对于B ，由等差数列求和公式结合1212a d =-即可验算；对于CD ，由等差数列性质即可验算.【详解】对于A ，因为81114871413814220S a d a d S d ⨯⨯⎧=+=+=⎪⎨⎪≠⎩，所以1212a d =-，故A 错误；对于B ，221222122212221220222S a d d d ⨯⨯⨯=+=-+=，故B 正确；对于C ，当0d >时，71710212222222a d d a d a d ⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭+>，故C 正确；对于D ，当0d <时，()()22222271711212161661622a a a d a d d d d d ⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22291110022d d d ⎛⎫⎛⎫=--=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即717a a <，故D 错误.10．ACD 【分析】对于A ：设点(),P x y ，结合题意分析求解即可；对于B ：分析可知点()1,1N 在圆O 内，结合圆的性质分析求解；对于C ：求圆心到直线的距离，即可判断；对于D ：分析可知当OM L ⊥时，OM 取到最小值，四边形OCMD 面积取最小值，运算求解即可.【详解】对于选项A ：设点(),P x y ，因为12PAPB==，整理可得224x y +=，故A 正确；对于选项B ：因点P 的轨迹方程是224x y +=，圆心是O ，半径是2r=，且2ON =<，可知点()1,1N 在圆O 内，过点()1,1N的直线被圆O 所截得的弦最短时，点()1,1N 是弦的中点，根据垂径定理得弦的最小值是=B 错误；对于选项C ：圆心到直线:40L x y-+=的距离2d r ==>=，所以直线与圆相离，故C正确；对于选项D ：因为四边形OCMD 面积12222OCM S S CM ==⨯⨯=，由数形分析可知：当OM L ⊥时，OM 取到最小值d =所以四边形OCMD 面积取最小值4=，故D 正确；【点睛】方法点睛：对于BD ：先判断点、线与圆的位置关系，进而结合圆的性质分析最值.11．BCD 【分析】根据独立事件概率乘积公式判断A 选项，根据互斥事件定义判断B 选项，根据和的概率公式求解即可判断C 选项，应用对立事件概率和为1判断D 选项.【详解】由()()()0.21P A P B P AB ⋅=≠，可知事件A 与B 不是相互独立事件，故A 不正确；由()0.1P AB =，可知事件A 与B 一定不互斥，故B 正确；()()()()0.9P A B P A P B P AB ⋃=+-=，故C 正确；()1()0.7()P A P A P B =-==，故D 正确.12．【分析】利用通项中,x y 的指数确定r ，然后可得.【详解】因为()52x y +展开式的通项()55155C 22C rr r r r r r r T x y x y --+==，所以含32x y 的项为第3项，即2r =，所以32x y 的系数是2252C 40=.故答案为：4013．【分析】运用绝对值不等式解法求解，然后参变分离，结合导数和二次函数求最值即可.【详解】函数()31f x ax x a =-++，若()2f x ≤对任意[]1,0x ∈-恒成立，即321ax x a -+≤+对任意[]1,0x ∈-恒成立，即3221ax x a -++≤≤-对任意[]1,0x ∈-恒成立，即331ax x a -+≤≤-对任意[]1,0x ∈-恒成立，即3)31(1a x x --≤≤+对任意[]1,0x ∈-恒成立，即331(1)x a x x -+≤≤+对任意[]1,0x ∈-恒成立．当=1x -时，400-≤≤，显然成立；当(1,0]x ∈-时，331(1)x a x x -+≤≤+化为331311x a x x x +≤-++≤恒成立.令3()13x g x x -=+，则332232323221(291(92)1()3))(1)(1)1(3)(x x x x x x g x x x x x +---++-+'===+++,由于(1,0]x ∈-，则()0g x '>，则()g x 在(1,0]-上单调递增，则max ()(0)3g x g ==-.令32221111()131(1)(1)1()24h x x x x x x x x x x =++-++=-+-=++=，则(1,0]x ∈-时，()h x 单调递增，则min 1()(1)3h x h >-=.因此331311x a x x x +≤-++≤对于任意[1,0]x ∈-时恒成立，则133a -≤≤.故答案为：13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.14．【分析】设23OM ON OE +=uuu r uuu r uu u r，分析可知点E 为线段MN 靠近N 的三等分点，1OE =，再结合数量积的定义分析求解.【详解】由题意可知：圆O设MN 的中点为C ，因为120MON ∠= ，OM ON =，则OC MN ⊥，33sin302OC =o 23303MN NC ===o ，设23OM ON OE +=uuu r uuu r uu u r ，则()2OM OE OE ON -=- ，即2EM NE =uuu r uu u r，可知点E 为线段MN 靠近N 的三等分点，则1162CE MN ==，221OE OC CE +，设向量OE 与AB的夹角为()0πθθ≤≤，可得()233cos 63cos OM ON AB OE AB OE AB θθ+⋅=⋅==，且[]cos 1,1θ∈-，所以()OM ON AB +⋅的最小值为63-.故答案为：3-15．【分析】（1）在ABD △中，利用正弦定理即可得解；（2）在ACD 中，先利用余弦定理求得AC ，再利用正弦定理即可得解.【详解】（1）在ABC 中，23ADC ∠=π，则3ADB π∠=，在ABD △中，sin sin AB AD ADB B=∠，即36sin sin 34AD =ππ，得6AD =.（2）因为在ACD 中，26,10,3AD CD ADC π==∠=，所以22212cos 3610026101962AC AD CD AD CD ADC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，则14AC =，又sin sin CD AC DAC ADC =∠∠，即10142πsin sin 3DAC =∠，解得53sin 14DAC ∠=所以3sin 14DAC ∠=.16．【分析】（1）根据给定条件，求出,,a b c 即可得E 的方程.（2）设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立，由直线,AP AQ 求出,M N 的坐标，利用韦达定理结合斜率的坐标表示计算即得.【详解】（1）由椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，得b ，由π3AFB ∠=，得椭圆半焦距1c =，则长半轴长2a ==，所以E 的方程为22143x y +=.（2）显然直线PQ 不垂直于y 轴，设直线PQ 的方程为1x my =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，由2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得22(34)690m y my ++-=，显然0∆>，12122269,3434m y y y y m m --+==++，直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得点M 的纵坐标11116623M y y y x my ==++，同理点N 的纵坐标2263N y y my =+，因此12121221212124433(3)(3)3()9N M y y y y y y k k my my m y y m y y =⋅==+++++22229434196393434m mm m m m -⋅+==---⋅+⋅+++为定值，所以12k k 为定值.17．【分析】（1）取PD 中点E ，连接AE ，NE ，由线面平行的判定定理即可得证；（2）先由线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面PAD ，得到CD AE ⊥，再由（1）即可得证；（3）先由题意得到45PAD ∠=︒，AE PD ⊥，由线面垂直的判定定理证明⊥AE 平面PCD ，从而得证.【详解】（1）取PD 中点E ，连接AE ，NE ，N 为PC 的中点，∴//NE CD ，12NE CD =， M 是AB 的中点，底面ABCD 是矩形，∴//AM CD ，12AM CD =，∴//AM NE 且AM NE =，∴四边形AMNE 为平行四边形，所以//MN AE ，又 AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴//MN 平面PAD .（2） PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA CD ⊥，又底面ABCD 是矩形，∴CD AD ⊥，又 ,,AD PA A AD PA =⊂ 平面PAD ，∴CD ⊥平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，∴CD AE ⊥，由（1）可知//MN AE ，∴MN CD ⊥.（3） PA ⊥平面ABCD ，所以PDA ∠为PD 与平面ABCD 所成的角，∴45PDA ∠=︒，又PA AD ⊥，∴PA AD =，即PAD 为等腰三角形，E 为PD 中点，∴AE PD ⊥，又由（2）可得AE CD ⊥，,,CD PD D CD PD ⋂=⊂平面PCD ，∴⊥AE 平面PCD ，由（1）可知：//MN AE ，∴MN ⊥平面PCD .18．【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意将问题转仳为21e 12x x k x --≤在[)1,+∞恒成立，构造函数()21e 12x x g x x--=，利用导数求出其最小值即可.【详解】（1）由()31e 2x f x x x =⋅-，得()00f =，对()f x 求导得()()231e 2xf x x x '=+-，()01f ∴'=，()f x \在()()0,0f 处的切线方程为y x =；（2）当1x ≥时，()2f x kx x ≥+恒成立，即1x ≥时，321e 2x x x kx x ⋅-≥+恒成立，21e 12x x k x--∴≤在[)1,+∞恒成立，令()21e 12x x g x x --=，则()()2211e 12x x x g x x --+='，令()()211e 12x m x x x =--+，则()()e 1x m x x =-'，()1,0x m x ≥∴'> 恒成立∴当1x ≥时，()()211e 12x m x x =--+单调递增，()()1102m x m ∴≥=>，∴当1x ≥时，()()2211e 120x x x g x x '--+=>.∴当1x ≥时，()21e 12x x g x x--=单调递增，()()31e 2g x g ∴≥=-，∴3e 2k ≤-.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查导数的几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是分离参数，然后构造函数，将问题转化为利用导数求函数的最值，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题.19．【分析】（1）根据题意确定3次检验的事件，利用有序排列，利用样本空间法，即可求解；（2）①根据1ξ和2ξ的取值，求两个随机变量的期望，利用期望相等，求解()p f k =；②根据①的结果，比较()1E ξ和()2E ξ的大小，通过构造函数()ln 2R 8x f x x x x =-≥∈（，），利用导数判断单调性，比较大小，从而得到结论.【详解】（1）设恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件A ，事件A 分为两种情况，一种是前两次检验中，其中一次检验出抗体，第三次检验出抗体，二是前三次均无抗体，所以，()1123322335C C A A 3A 10P A +==所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为310；（2）①由已知得()1E k ξ=，2ξ的所有可能取值为1，1k +，所以()()211k P p ξ==-，()()2111k P k p ξ=+=--，所以()()()()()2111111k k k E p k p k k p ξ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦，若()()12E E ξξ=，则()11k k k k p =+--，所以()11k k p -=，()11k p k-=，所以111k p k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得111k p k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以P 关于k 的函数关系式111k p f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭（）（2k ≥且*N k ∈）；②由①知()1E k ξ=，()821ek E k k ξ-=+-，若()()12E E ξξ>，则81e k k k k ->+-，所以81e 0k k --<，得8e 1k k ->，所以ln 08k k ->（2k ≥且*N k ∈）令()ln 2R 8x f x x x x =-≥∈（，），则()1182R 88x f x x x x x-=-=≥'∈（，），当28x ≤<时，()0f x '>，当8x >时，()0f x '<所以()f x 在[28，）上单调递增，在8+∞（，）上单调递减，因为()22ln 20.6930.2508f =-≈->，()2626ln 26 3.258 3.2508f =-≈->，()2727ln 27 3.296 3.37508f =-≈-<，所以不等式()()12E E ξξ>的解是[]226k ∈，且*k ∈N ，所以[]226k ∈，且*k ∈N 时，()()12E E ξξ>，采用方案二混合检验方式好，[27k ∈+∞，）且*k ∈N 时，()()12E E ξξ<，采用方案一逐份检验方式好，【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求()1E ξ和()2E ξ，从而才可以建立等量关系或是不等式，为后面构造函数打下基础.。

江苏南通市海安市2024-2025学年高三上学期开学数学试题(解析版)

2025届高三期初学业质量监测试卷数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}22,2,0,1,3A x x x B =>=−，则A B = （）A. {}2,0,3−B. {}2,3−C. {}0,3D. {}3【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A ，然后由交集运算可得. 【详解】解不等式220x x −>，得()(),02,A ∞∞=−∪+，所以{}2,3A B ∩=−. 故选：B2 已知命题:0,31x p x ∃>>，则p ¬：（） A. 0,31x x ∃>≤ B. 0,31x x ∃≤>C. 0,31x x ∀>≤D. 0,31x x ∀>>【答案】C 【解析】【分析】利用存在题词命题的否定是全称量词命题，直接写出结论. 【详解】命题:0,31x p x ∃>>是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以p ¬：0,31x x ∀>≤. 故选：C.3. 函数e ,e ln ln ,e ln x x xxy x x−−− ≥= < 在区间()0,+∞上（） A. 单调递增 B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.【详解】e ,e ln ln ,e ln x x x x y x x−−− ≥= < ，即{}maxe ,ln xy x −=，设()e ln xf x x −=−，则()f x 单调递减，且()1,10ef −>=()3ln 3e 0,3f −<=−故存在唯一一个()01,3x ∈使()00,f x = 故在()00,x 上，()eln 0xf x x −=−>，此时{}maxe ,ln e xx y x −−=单调递减；在()0,x +∞上，()eln 0xf x x −=−<，此时{}maxe ,l l n n xyx x −=单调递增；故e ,e ln ln ,e ln x x xx y x x −−− ≥= <在区间()0,+∞上先减后增. 故选：D4. 已知函数()()211f x x =−−，则（） A. ()()11f x f x −=− B. ()()11f x f x −=+C. ()()11f x f x +=−D. ()()11f x f x +=−− 【答案】C 【解析】【分析】根据解析式代入验证即可. 【详解】因()()()2212111f x x f x x −−−≠−−，而()()2111f x f x x +=+=−，所以ff (1+xx )=ff (1−xx ). 故选：C5. 已知235m n==，则4mn =（）A.B. 6C. 8D. 9为【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用对数的运算法则，求得2log 3mn=，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解. 【详解】由235m n ==，可得23log 5,log 5m n ==，则222232log 5log 5log 3log 5log 5log 3m n===，则222lo g 3g 23lo 4422log 99mn====. 故选：D6. 设,b c ∈R ，函数()f x x c =++，则“关于x 的不等式20x bx c ++>的解集为R ”是“()0f x >恒成立”的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充分必要D. 不充分不必要【答案】A 【解析】【分析】由二次函数的性质确定不等式和函数成立的条件，再由充分必要条件得出结果即可；【详解】因为关于x 的不等式20x bx c ++>的解集为R ，则240b c =−< ，可得()20f x x c c =+=++>恒成立，故充分性成立；取3,2b c ==，满足()0f x >恒成立，但2320x x ++>的解集为()(),21,−∞−∪−+∞，故必要性不成立；所以“关于x 的不等式20x bx c ++>的解集为R ”是“()0f x >恒成立”的充分不必要条件. 故选：A.7. 已知直线y ax b =+与曲线1y x x=+相切，则2a b +的最大值为（） A.12B. 2C.52D. 5【答案】C 【解析】【分析】设切点切点横坐标为()0m m ≠，由题意列出,,a b m 的关系，进而得到2a b +，再由二次函数求最值即可..【详解】设切点横坐标为()0m m ≠，求导：1y x x =+得'211y x=−，由题意可得2111a m am b m m=−+=+解得：2112a m b m =− = ，所以222211522222a b m m m +=−++=−−+ ，所以2m =时，2a b +的最大值为52. 故选:C8. 若函数()1f x x x a =−−的3个零点由小到大排列成等差数列，则a =（） A. 2B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】将问题转化为y x a =−和()10yx x=>的交点，结合函数图象以及一元二次方程的根可得3x =，12x x . 【详解】令()10f x x x a =−−=可得()10x a x x−=>，在同一直角坐系中作出yx a =−和()10yx x=>的图象如下：要使()1f x x x a =−−有3个零点，则0a >，由图可知：1x a x =−有一个零点3x ，1x a x=−+有2个零点12,x x ，且12x x <，即210x ax −−=有一个零点3x ，210x ax −+=有2个零点12,x x ，且12x x <故3x =，12x x ，由于1322x x x +=2，，平方解得a =±，由于0a >，故a =，故选：D【点睛】方法点睛：判断函数yy =ff (xx )零点个数的常用方法：(1) 直接法：令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个数；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()·0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列曲线平移后可得到曲线2x y =的是（） A. 32x y += B. 23xy =−C. 32xy =D. 23xy =【答案】ABD 【解析】【分析】根据图像的平移变换可判断ABD ，根据图像的伸缩变换可判断C.详解】对于A ，曲线32x y +=向右平移3个单位可得到曲线2x y =，故A 正确；对于B ，曲线23x y =−向上平移3个单位可得到曲线2x y =，故B 正确；对于C ，曲线32x y =横坐标伸长为原来的3倍可得到曲线2x y =，故C 错误；【对于D ，曲线22log 3log 322232x x x y −===，向左平移2log 3个单位可得到曲线2x y =，故D 正确；故选：ABD10. 一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（）A. 若教室的窗户面积与地面面积之和为2200m ，则窗户面积至少应该为230mB. 若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变C. 若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好D. 若窗户面积第一次增加了m %，第二次增加了%n ,地面面积两次都增加了%2m n+，则教室的通风效果变差【答案】BC 【解析】【分析】设该公寓窗户面积为x ，依题意列出不等式组求解可判断A ；记窗户面积为a 和地板面积为b ，同时根据B ，C ，D 设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B ，C ，D. 【详解】对于A ，设该公寓窗户面积为x ，则地板面积为200x −，依题意有15%200200xxx x≥− <−100x ≤<，所以，这所公寓的窗户面积至少为2600m 23，故A 错误；对于B ，记窗户面积为a 和地板面积为b ，同时窗户增加的面积为10%a ⋅，同时地板增加的面积为10%b ⋅，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为()()110%10%,10%110%a a a a a b b b b b++⋅==+⋅+，所以公寓采光效果不变，故B 正确；对于C ，记窗户面积为a 和地板面积为b ，同时增加的面积为c .由题可知，0,0a b c <<>，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为,a a c b b c++，因为()()()()()b ac a b c c b a a c a b c b b b c b b c +−+−+−==+++，且0,0,0a b c b a <<>−>，所以0a c ab c b+−>+，即a c abc b +>+,所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了，故C 正确；对于D ，记窗户面积为a 和地板面积为b ，则窗户增加后的面积为()()1%1%n m a ++⋅,地板增加后的面积为21%2m n b + +⋅，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为()()21%1%,1%2n m aa b m n b ++⋅++⋅，因为()()()()221%1%1%%%%1%1%%%22n m n m m n m n m n n m +++++=++++++，又因为0,0,2m n m n +>>≥2%%%2m n m n + ≥，因为()()()()221%1%1%%%%11%1%%%22n m n m m n m n m n n m +++++=≤++++++，所以()()21%1%1%2n m a ab m n b ++⋅≤+ +⋅ , 当m n =时()()21%1%1%2n m a ab m n b ++⋅=++⋅，采光效果不变，所以无法判断公寓的采光效果是否变差了，故D 错误. 故选：BC.11. 设函数()f x 的定义域关于原点对称，且()f x 不恒为0，下列结论正确的是（） A. 若()f x 具有奇偶性，则满足()()()f x p x q x =+的奇函数()p x 与偶函数()q x 中恰有一个为常函数，其函数值为0B. 若()f x 不具有奇偶性，则满足()()()f x p x q x =+奇函数()p x 与偶函数()q x 不存在C. 若()f x 为奇函数，则满足()()()f x p x q x =奇函数()p x 与偶函数()q x 存在无数对D. 若()f x 为偶函数，则满足()()()f x q p x =的奇函数()p x 与偶函数()q x 存在无数对【答案】ACD 【解析】【分析】利用奇偶性的定义即可判断A 选项；通过举例()2f x x x =+，即可判断B 选项；通过构造的()()11p x f x n =+，()1,q x n =+即可判断C 选项；通过构造()121n p x x +=()()21,n q x f x +=即可判断D 选项.【详解】对于A ，()()()f x p x q x =+，则()()()()()f x p x q x p x q x −=−+−=−+，当()f x 为奇函数时，则()()()20f x f x q x +−==，即()0q x =；当()f x 为偶函数时，则()()()20f x f x p x −−==，即()0p x =，即满足()()()f x p x q x =+的奇函数()p x 与偶函数()q x 中恰有一个为常函数，其函数值为0，故A 正确；对于B ，当()2f x x x =+，()2,()p x x q x x ==时，()f x 不具有奇偶性，满足()()()f x p x q x =+的奇函数()p x 与偶函数()q x 存在，故B 错误；对于C ，()f x 为奇函数时，令奇函数()()1,N 1p x f x n n =∈+，偶函数()1,N q x n n =+∈，则()()()p x q x f x =，N n ∈ ，故存在无数对奇函数()p x 与偶函数()q x ，满足()()()f x p x q x =.故C 正确；对于D ，()f x 为偶函数，令奇函数()121,N n p x xn +=∈，偶函数()()21,N n q x f x n +=∈，则()()()121n q p x q x f x +==，N n ∈ ，故存在无数对奇函数()p x 与偶函数()q x ，满足()()()f x q p x =.故D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设函数()f x 的图象上任意两点处的切线都不相同，则满足题设的一个()f x =______．【答案】2x （答案不唯一）【解析】【分析】只需要函数在不同点处的切线斜率不同即可. 【详解】设()2f x x =，则()2f x x ′=.在()2f x x =上任取一点()200,x x ，则函数在该点处的切线方程为：()2002y x x x x −=−即2002y x x x =−.只要0x 不同，切线方程就不同. 故答案为：2x （答案不唯一）13. 已知矩形()ABCD AB AD >的周长为24，将ABC 沿AC 向ADC △折叠，AB 折过去后与DC 交于点P ．设AB x =，则DP =______________（用x 表示），当ADP △的面积最大时，x =______________．【答案】 ①. 1272x x−. ②. 【解析】【分析】结合图形，折叠后易得ADP CB P ′≅ ，设DPB P y ′==，利用Rt B PC ′ ，即可求得DP 的表示式；依题意，求出ADP △的面积表示式，利用基本不等式即可求得面积最大值，从而得到此时x 的值.【详解】如图2是图1沿着AC 折叠后的图形，因AB x =，则12AD x =−，因矩形()ABCD AB AD >的周长为24，则612x <<，对折后12AD B C x ′==−,易得ADP CB P ′≅ ,设DPB P y ′==，则CP x y =−,在Rt B PC ′ 中，由勾股定理，222()(12)x y y x −=+−，整理得1272x y x −=，即DP =ADP △的面积为1127272(12)6()1082x S x x x x−=⋅−⋅=−++，因612x <<，则当且仅当72x x=时，72x x +≥此时x =时，max 6108108S =−×+=−.故答案为：1272x x−；14. 已知a 为常数，且0a >．定义在R 上的函数()f x 满足：()()()3f x a f x f x a +≤≤+，且当0x a ≤≤时，()2f x ax x =−，则a =______________．【答案】1 【解析】【分析】根据题意，先求出()300,()f f a a a ==−，再赋值得到()303a a f a −≤≤，将(3)f a 转化为()3(3)2()f a f a f a a a ≤≤=−，运用不等式传递性，得到330a a a a −≤≤−.式子恒成立.只能30a a −=.解方程即可.【详解】0x a ≤≤时，()2f x ax x =−，则()300,()f f a a a ==−. 0a >．定义在RR 上的函数()f x 满足：()()()3f x a f x f x a +≤≤+．令0x =，得到()()()03f a f f a ≤≤，即()303a a f a −≤≤.由于()()3(3)22()()f a f a a f a f a a f a a a =+≤=+≤=−，则330a a a a −≤≤−.则要使得式子恒成立，则30a a −=，解得0,a =或1,a =或者1a =−. 由于0a >.则1a =. 故答案为：1．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1B B ⊥平面1,90,1ABC ABC AB BC BB ∠=°===，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1BB 上的动点，且1AEBF B G ==．（1）求证：11A F C G ⊥；（2）若平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为13，求BF ．【答案】（1）证明过程见解析（2）12【解析】【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出110A F C G ⋅=，得到垂直关系；（2）在（1）的基础上，得到10A F EG ⋅=，故1A F EG ⊥，从而得到线面垂直，故()11,1,A F m =−− 为平面1EGC 的一个法向量，结合平面11AA B B 的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出m ，从而求出BF .【小问1详解】因为1B B ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1B B AB ⊥，1B B BC ，又90ABC ∠=°，故1,,B B AB BC 两两垂直，以B 为坐标原点，1,,BA BB BC 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为11AB BC BB ===，1AE BF B G ==，设1AE BF B G m ===，01m ≤≤，所以()()()()111,1,0,0,0,,0,1,1,0,1,0A F m C G m −，则()()()()()()110,0,1,1,01,1,,0,1,00,1,10,,1A F m m C G m m =−=−−=−−=−− ，则()()111,1,0,,10A F C G m m m m ⋅=−−⋅−−=−=，故11A F C G ⊥；【小问2详解】()1,0,0E m −，则()()()0,1,01,0,01,1,0EG m m m m =−−−=−−，则()()11,1,1,1,0110A F EG m m m m m ⋅=−−⋅−−=−+−=，则1A F EG ⊥，又1C G EG G ∩=，1,C G EG ⊂平面1EGC ，所以1A F ⊥平面1EGC ，故()11,1,A F m =−−为平面1EGC 的一个法向量，又平面11AA B B 的法向量为()0,0,1n =，则平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为1cos A F ，又平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为13， 13=，解得12m =，故12BF =. 16. 某学习小组研究得到以下两个公式：①22sin()sin()sin sin αβαβαβ+⋅−=−；②22sin()sin()cos cos αβαββα+⋅−=−．（1）请你在①和②中任选一个进行证明；（2）在ABC 中，已知4sin sin()sin sin(),cos ,25C A BB C A A BC −=−==，求ABC 的面积．【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）若选①，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；若选②，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；（2）利用两角和差的正弦公式及正弦定理可得22cos a bc A =，再利用面积公式求解. 【小问1详解】若选①，证明如下：()()sin()sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ+⋅−=+−()()22222222sin cos cos sinsin 1sin 1sin sin αβαβαβαβ−=−−− 22sin sin αβ−若选②，证明如下：()()sin()sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ+⋅−=+−()()22222222sin cos cos sin 1cos cos cos 1cos αβαβαβαβ=−=−−−22cos cos βα−【小问2详解】由已知sin sin()sin sin()C AB BC A −=−可得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A −=− 即()sin sin cos cos sin 2sin sin cos A C B C B B C A +=即()2sin sin 2sin sin cos sin 2sin sin cos A C B B C A A B C A +=⇒= 由正弦定理可得22cos a bc A =又()4cos ,2,0,5ABC a A π===∈，所以53,sin 25bc A ==，所以ABC 的面积11533sin 22254S bc A ==××=17. 分别过椭圆22:143x y C +=的左、右焦点,F F ₁₁作两条平行直线，与C 在x 轴上方的曲线分别交于点,P Q ．（1）当P 为C 的上顶点时，求直线PQ 的斜率；（2）求四边形12PF F Q 的面积的最大值．【答案】（1）（2）3 【解析】【分析】（1）结合图形，易得P ，求得1PF 的斜率，由直线2QF 与椭圆的方程联立，求得点8(5Q ，即得直线PQ 的斜率；（2）结合图形，由对称性可知，四边形PRSQ 是平行四边形，四边形12PF F Q 的面积是PRSQ 面积的一半，设直线PR 的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出||PR 和点2F 到直线:10l x my −+=的距离d ，得到四边形12PF F Q 的面积函数式，利用换元和对勾函数的单调性即可求得面积的最大值. 【小问1详解】由22:143x y C +=可知12(1,0),(1,0)F F −,椭圆上顶点为，即P ,直线1PF 2QF 的方程为：1)yx =−，将其代入22:143x y C +=整理得，2580x x -=，解得，0x =或85x =，因点Q 在x 轴上方,故得点8(5Q ，于是直线PQ的斜率为：PQ k ==；【小问2详解】如图，设过点,F F ₁₁的两条平行线分别交椭圆于点,P R 和,Q S ，利用对称性可知，四边形PRSQ 是平行四边形，且四边形12PF F Q 的面积是PRSQ 面积的一半.显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成构成四边形），可设直线PR 的方程为:1,l x my =− 代入22:143x y C +=，整理得：22(34)690m y my +−−=，显然0∆>，设1122(,),(,)P x y R x y ，则122122634934m y y m y y m+= + =−+，于是，||PR2212(1)34m m +=+，点2F 到直线:10l x my −+=的距离为d =则四边形12PF F Q的面积为221112(1)||2234m S PR d m +=⋅=×=+令t1t ≥，且221m t =−，代入得，2212121213(1)4313t t St t t t==−+++，因函数1133()3y t t t t=+=+在[1,)+∞上单调递增，故，当1t =时，13yt t =+取得最小值为4，此时max 3S =.18. 已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为23，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为11,24.现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件A ，蓝方击中红方目标为事件B .求：（1）概率()(),P A P B ；（2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差X 的概率分布及数学期望；（3）在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率．【答案】（1）1()2P A =，1()3P B = （2）分布列见解析，()16E X =（3）31162【解析】【分析】（1）根据概率的乘法公式即可求出()(),P A P B ；（2）求出X 的可能取值范围及对应的概率，求出()E X ；（3）分蓝方击中0、1和2次三种情况讨论. 【小问1详解】22()3314P A =×=，211()323P B =×=；【小问2详解】X 的可能取值为1,0,1−，因为612131)1(P X ×−===，112132321(0)2P X +=×=×=，31211)3(2P X ×===，所以分布列为：X 1− 0 1所以111()0636E X =−++=；【小问3详解】若蓝方击中0次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为422242112()C ()()32227=，若蓝方击中1次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为133********C ()()C ()()332281=，若蓝方击中2次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为222441211C ()()()33254=，所以红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为28131278154162++=. 19. （1）函数2x y =与2log y x =的图象有怎样的关系?请证明；（2）是否存在正数c ，对任意的x c >，总有222log xx x >>？若存在，求c 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）已知常数1a >，证明：当x 足够大时，总有log x a a a x x >>．【答案】（1）关于直线y x =对称，证明见解析；（2）存在，min 4c =；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）利用互为反函数的性质判断并证明.（2）由22x y x =−零点，可得min 4c =，再构造函数，利用导数证明4x >时不等式恒成立. （3）根据给定条件，等价变形不等式，构造函数，利用导数，结合零点存在性定理推理即得. 【详解】（1）函数2x y =与2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，令(,)a b 为函数2x y =图象上任意一点，即2a b =，则2log a b =，因此点(,)b a 在函数2log y x =的图象上，反之亦然，而点(,)a b 与(,)b a 关于直线y x =对称，所以函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称.（2）存在正数4c =，对任意的4x >，222log xx x >>恒成立，令()22xf x x =−，显然()()240f f ==，根据指数函数与幂函数的增长特征，在()2,4x ∈上恒有()0f x <，当4x >时，求导得()2ln 22x f x x ′=−，令()2ln 22,4x F x x x −>，求导得2()2(ln 2)2x F x ′=−，函数()F x ′在(4,)+∞上单调递增，2()(4)(4ln 2)20F x F ′′>=−>，函数()F x 在(4,)+∞上单调递增，(4)16ln 288(ln 41)0F =−=−>，函数()f x 在(4,)+∞上单调递增，因此(4,)x ∀∈+∞，()(4)0f x f >=；令22()log ,4x x x x ϕ=−>，求导得1()2ln 2x x x ϕ′=−，函数()x ϕ′在(4,)+∞上单调递增， 1()(4)804ln 2x ϕϕ′′>=−>，因此函数()ϕx 在(4,)+∞上单调递增，()(4)140x ϕϕ>=>，所以存在正数c ，对任意的x c >，总有222log x x x >>，min 4c =.（3）1a >，不妨令1x >，则不等式ln ln ln ln x ax aa x x a a x x a>⇔>⇔<，令ln ln (),1x a g x x x a=−>，求导得21ln ()xg x x −′=，当1e x <<时，()0g x ′>；当e x >，()0g x ′< 函数()g x 在(1,e)上单调递增；在(e,)+∞上单调递减，当e a ≥时，(,)x a ∀∈+∞，()()0g x g a <=，当1e a <<时，由()0g a =，得是函数()g x 的一个零点，又1ln (e)0e a g a =−>，而x 趋近于正无穷大时，ln ln x ax a−趋近于ln 0a a −<，因此存在大于e 的正数0x ，使得0()0g x =，当0x x >时，0()()0g x g x <=，所以对于1a >，存在正数0x ，使得0x x ∀>，恒有x a a x >；1a >，不妨令1x >，log 0a x t =>，不等式ln log ln 0a at a tx x a t a a t>⇔>⇔−<，令l (n )ln ta a t th −=，则函数()h t 在(0,e)上单调递增；在(e,)+∞上单调递减，max1l ()(en e)a a h t h =−=，令()ln ,1H a a a a =>，求导得()1ln 0H a a ′=+>，函数()H a 在(1,)+∞上单调递增，值域为(0,)+∞，存在01a >，使得01()e H a =，当0a a ≥，即e1ln a a ≥时，(e,)t ∀∈+∞，()0h t <恒成立，当01a a <<，即e 10ln a a <<时，函数l (n )ln ta a t th −=有两个零点1212,(1e )t t t t <<<，对于2(,)t t ∀∈+∞，()0h t <恒成立，因此对于1a >，存在正数2t ，使得2x t ∀>，log a a x x >恒成立，取02max{,}M x t =，对于任意的x M >，log x a a a x x >>成立，所以当x 足够大时，总有log x a a a x x >>.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.。

江西省九江市2024-2025学年高三上学期开学考试数学含答案

数学试卷（答案在最后）试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.96i2i i -+的虚部为（）A.7- B.6- C.7i- D.6i-2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2612a a +=，则7S =（）A.48B.42C.24D.213.已知一组数据：3,5,7,,9x 的平均数为6，则该组数据的40%分位数为（）A.4.5 B.5C.5.5D.64.定义运算：a b ad bc c d=-．已知()sin cos180sin 270cos tan60ααα=+，则tan α=（）A.2B.3C.2-D.3-5.已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计()95110P X ≤≤=（）A.532B.516C.1132 D.3166.已知函数()2122,1e ,1x x ax a x f x x x -⎧-+->=⎨--≤⎩在上单调递减，则a 的取值范围为（）A.[]2,4- B.[)4,+∞ C.(],4∞- D.0,47.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,25π，侧面积为35π，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）A.278B.274C.378D.3748.已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为1，过点F 的直线1l 与C 交于,M N 两点，过点M 作C 的切线2l 与,x y 轴分别交于,P Q 两点，则PQ ON ⋅=（）A.12B.12-C.14D.14-二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()()π3sin ,3cos 232x x f x g x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.()f x 与()g x 有相同的最小值C.直线πx =为()f x 图象的一条对称轴D.将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到()g x 的图像10.已知函数()3223f x x x =-，则（）A.1是()f x 的极小值点B.()f x 的图象关于点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()()1g x f x =+有3个零点D.当01x <<时，()()211f x f x ->-11.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，线段1,CC BC 的中点分别为,E F ，动点G 在下底面1111D C B A 内（含边界），动点H 在直线1AD 上，且1GE AA =，则（）A.三棱锥H DEF -的体积为定值B.动点G 的轨迹长度为5π2C.不存在点G ，使得EG ⊥平面DEFD.四面体DEFG 体积的最大值为1526三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()()3,2,2,a b x =-=，若()2b a a -⊥ ，则x =______.13.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集1A ，()*2,,k A A k ∈N ，且12k A A A U =U U L U ，那么称子集族{}12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分.已知集合{}2650I x x x =∈-+<N∣，则集合I 的所有划分的个数为__________.14.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN = ，则C 的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中23sin cos sin a B A b A =.（1）求A 的值；（2）若ABC V 36，求ABC V 的外接圆面积.16.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，45,,ASD ADS M N ∠∠== 分别在棱,SB SC 上，且,,,A D N M 四点共面.（1）证明：SA MN ⊥；（2）若SM BM =，且二面角S AD C --为直二面角，求平面SCD 与平面ADNM 夹角的余弦值.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，右焦点为F ，点23(,22-在C 上.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点A 在直线():0l y kx m k =+≠上，若直线l 与C 相切，且FA l ⊥，求OA 的值.18.已知函数()1ee xf x x x +=-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）记（1）中切线方程为()y F x =，比较()(),f x F x 的大小关系，并说明理由；（3）若0x >时，()()ln 2e 1f x x a x -≥---，求a 的取值范围.19.已知首项为1的数列{}n a 满足221144n n n n a a a a ++=++.（1）若20a >，在所有{}()14n a n ≤≤中随机抽取2个数列，记满足40a <的数列{}n a 的个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ；（2）若数列{}n a 满足：若存在5m a ≤-，则存在{}(1,2,,12k m m ∈-≥ 且)*m ∈N ，使得4km aa -=.（i ）若20a >，证明：数列{}n a 是等差数列，并求数列{}n a 的前n 项和n S ；（ii ）在所有满足条件的数列{}n a 中，求使得20250s a +=成立的s 的最小值.数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.96i2i i -+的虚部为（）A.7- B.6- C.7i- D.6i-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算化简得67i --，再根据虚部的定义即可求解．【详解】2296i 9i 6i 2i 2i 69i 2i 67i i i--+=+=--+=--，则所求虚部为7-.故选：A ．2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2612a a +=，则7S =（）A.48B.42C.24D.21【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列项的性质求出17a a +的值，再由等差数列的求和公式即可求得.【详解】因{}n a 为等差数列，故172612a a a a +==+，则1772)7(712422a a S +==⨯=.故选：B.3.已知一组数据：3,5,7,,9x 的平均数为6，则该组数据的40%分位数为（）A.4.5B.5C.5.5D.6【答案】C 【解析】【分析】由平均数及百分位数的定义求解即可.【详解】依题意，357965x ++++=，解得6x =，将数据从小到大排列可得：3,5,6,7,9，又50.42⨯=，则40%分位数为565.52+=.故选：C.4.定义运算：a b ad bc c d=-．已知()sin cos180sin 270cos tan60ααα=+，则tan α=（）A.2B.3C.2- D.3-【答案】D 【解析】cos cos ααα+=-，再根据同角三角函数的商数关系即可求解．cos cos ααα+=-2cos αα=-，故sin tan cos 3ααα==-.故选：D ．5.已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计()95110P X ≤≤=（）A.532B.516C.1132 D.316【答案】B 【解析】【分析】解法一，求出3(80)16P X <=，根据正态分布的对称性，即可求得答案；解法二，求出数学成绩在80分至95分的人数，由对称性，再求出数学成绩在95分至110分的人数，即可求得答案.【详解】解法一：依题意，得15003(80)800016P X <==，故()()135951108095(95)(80)21616P X P X P X P X ≤≤=≤≤=<-<=-；解法二：数学成绩在80分至95分的有400015002500-=人，由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2500人，故()2500595110800016P X ≤≤==.故选：B.6.已知函数()2122,1e ,1x x ax a x f x x x -⎧-+->=⎨--≤⎩在上单调递减，则a 的取值范围为（）A.[]2,4- B.[)4,+∞ C.(],4∞- D.0,4【答案】D 【解析】【分析】由函数在R 上单调递减，列出相应的不等式组14222a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤-⎩，即可求解.【详解】当(],1x ∞∈-时，()1ex f x x -=--，因为1e x y -=-和y x =-都是减函数，所以()f x 在−∞,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()222f x x ax ax =-+-，要使其在()1,+∞上单调递减，则14a≤，所以14222a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤-⎩，解得04a ≤≤，故D 正确.故选：D.7.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,25π，侧面积为35π，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）A.278B.274C.378D.374【答案】C 【解析】【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高即可计算；【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为12,r r ，则2212π4π,π25πr r ==，则122,5r r ==，设圆台的母线长为l ，则()12π35πr r l +=，解得5l =，则圆台的高4h ==，记外接球球心到上底面的距离为x ，则()2222245x x +=-+，解得378=x .故选：C.8.已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为1，过点F 的直线1l 与C 交于,M N 两点，过点M 作C 的切线2l 与,x y 轴分别交于,P Q 两点，则PQ ON ⋅=（）A.12B.12-C.14D.14-【答案】C 【解析】【分析】通过联立方程组的方法求得,P Q 的坐标，然后根据向量数量积运算求得PQ ON ⋅.【详解】依题意，抛物线2:2C x y =，即212y x =，则1,0,2y x F ⎛⎫= ⎪⎝⎭'，设221212,,,22x x M x N x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线11:2l y kx =+，联立22,1,2x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2210x kx --=，则121x x =-.而直线()21211:2x l y x x x -=-，即2112x y x x =-，令0y =，则12x x =，即1,02x P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令0x =，则212x y =-，故210,2x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则211,22x x PQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，故2212121244x x x x PQ ON ⋅=--=.故选：C【点睛】求解抛物线的切线方程，可以联立切线的方程和抛物线的方程，然后利用判别式来求解，也可以利用导数来进行求解.求解抛物线与直线有关问题，可以利用联立方程组的方法来求得公共点的坐标.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()()π3sin ,3cos 232x x f x g x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.()f x 与()g x 有相同的最小值C.直线πx =为()f x 图象的一条对称轴D.将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到()g x 的图像【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于B ：根据解析式可得()f x 与()g x 的最小值；对于C ：代入求()πf ，结合最值与对称性分析判断；对于D ：根据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断.【详解】因为()()π3sin ,3cos 232x x f x g x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，对于选项A ：()f x 的最小正周期2π4π12T ==，故A 正确；对于选项B ：()f x 与()g x 的最小值均为3-，故B 正确；对于选项C ：因为()5π3π3sin362f ==≠±，可知直线πx =不为()f x 图象的对称轴，故C 错误；对于选项D ：将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后，得到()ππ3sin 3cos 3222x x f x g x ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()3223f x x x =-，则（）A.1是()f x 的极小值点B.()f x 的图象关于点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()()1g x f x =+有3个零点D.当01x <<时，()()211f x f x ->-【答案】AB 【解析】【分析】利用导数求函数极值点判断选项A ；通过证明()()11f x f x +-=-得函数图象的对称点判断选项B ；利用函数单调性和零点存在定理判断选项C ；利用单调性比较函数值的大小判断选项D.【详解】对于A ，函数()3223f x x x =-，()()26661f x x x x x =='--，令()0f x '=，解得0x =或1x =，故当(),0x ∞∈-时′>0，当∈0,1时，′<0，当∈1,+∞时′>0，则()f x 在(),0∞-上单调递增，在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，故1是()f x 的极小值点，故A 正确：对于B，因为()()3232322321232(1)3(1)2326623631f x f x x x x x x x x x x x x +-=-+---=-+-+--+-=-，所以()f x 的图象关于点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，()()321231g x f x x x =+=-+，易知()(),g x f x 的单调性一致，而()10g =，故()()1g x f x =+有2个零点，故C 错误；对于D ，当01x <<时，21110x x -<-<-<，而()f x 在()1,0-上单调递增，故()()211f x f x -<-，故D 错误.故选：AB.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，线段1,CC BC 的中点分别为,E F ，动点G 在下底面1111D C B A 内（含边界），动点H 在直线1AD 上，且1GE AA =，则（）A.三棱锥H DEF -的体积为定值B.动点G 的轨迹长度为5π2C.不存在点G ，使得EG ⊥平面DEFD.四面体DEFG 体积的最大值为1526【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，由题意可证1AD ∥平面DEF ，因此点H 到平面DEF 的距离等于点A 到平面DEF 的距离，其为定值，据此判断A ；对于B ，根据题意求出正方体边长及1C G 的长，由此可知点G 的运动轨迹；对于C ，建立空间直角坐标系，求出平面DEF 的法向量，假设点G 的坐标，求出EG 的方向向量，假设EG ⊥平面DEF ，则平面DEF 的法向量和EG 的方向向量共线，进而求出点G 的坐标，再判断点G 是否满足B 中的轨迹即可；对于D ，利用空间直角坐标系求出点G 到平面DEF 的距离，求出距离的最大值即可.【详解】对于A ，如图，连接1BC 、1AD ，依题意，EF ∥1BC ∥1AD ，而1AD ⊄平面,DEF EF ⊂平面DEF ，故1AD ∥平面DEF ，所以点H 到平面DEF 的距离等于点A 到平面DEF 的距离，其为定值，所以点H 到平面DEF 的距离为定值，故三棱维H DEF -的体积为定值，故A 正确；对于B ，因为正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，故12AA =，则2GE =，而11EC =，故22113C G GE EC =-=故动点G 的轨迹为以1C 31111D C B A 内的部分，即四分之一圆弧，故所求轨迹长度为13π2π342⨯=，故B 错误；以1C 为坐标原点，11111,,C D C B C C 所在直线分别为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,0,2,0,0,1,0,1,2D E F ，故()()2,0,1,0,1,1DE EF =--=，设 =s s 为平面DEF 的法向量，则0,0,n EF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩故0,20,y z x z +=⎧⎨--=⎩令2z =，故()1,2,2n =--为平面DEF 的一个法向量，设()()0000,,00,0G x y x y ≥≥，故()00,,1EG x y =-，若EG ⊥平面DEF ，则//n EG uuu rr，则001122x y -==--，解得001,12x y ==，但22003x y +≠，所以不存在点点G ，使得EG ⊥平面DEF ，故C 正确；对于D ，因为DEF 为等腰三角形，故2211323222222DEFEF S EF DE ⎛⎫=⋅-== ⎪⎝⎭，而点G 到平面DEF 的距离0000222233EG n x y x y d n ⋅++++===，令03cos x θ=，则0π3sin ,0,2y θθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()222333d θϕθθ+++++==≤，其中1tan 2ϕ=，则四面体DEFG 体积的最大值为13223236++⨯⨯=，故D 正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()()3,2,2,a b x =-=，若()2b a a -⊥ ，则x =______.【答案】10-【解析】【分析】利用向量的线性运算并由向量垂直的坐标表示列式即可求解.【详解】依题意，()24,4b a x -=-+，故()212280b a a x -⋅=---= ，解得10x =-.故答案为：10-13.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集1A ，()*2,,k A A k ∈N ，且12k A A A U =U U L U ，那么称子集族{}12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分.已知集合{}2650I x x x =∈-+<N∣，则集合I 的所有划分的个数为__________.【答案】4【解析】【分析】解二次不等式得到集合I ，由子集族的定义对集合I 进行划分.【详解】依题意，{}{}{}2650152,3,4I x x x x x =∈-+<=∈<<=N N∣，I 的2划分为{}{}{}{2,3},{4},{2,4},{3},{3,4},{2}，共3个，I 的3划分为{}{}{}{}2,3,4，共1个，故集合I 的所有划分的个数为4.故答案为：414.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN = ，则C 的离心率为__________.【答案】2【解析】【分析】由题意可得21F M NF ⊥，由此求出1F M ，1230MF F ∠=o，即可求出N 点坐标，代入b y x a=，即可得出答案.【详解】不妨设点M 在第一象限，连接2F M ，则212,F M NF F M c ⊥=，故1F M ==，1230MF F ∠=o，设()00,N x y ，因为1F M MN =，所以M 为1NF 的中点，112NF F M ==，故0y =.0sin30,cos302x c c ==⋅-= ，将()2N c 代入b y x a =中，故32b a =，则2c e a ===.故答案为：72.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2sin cos sin B A b A =.（1）求A 的值；（2）若ABC V 6，求ABC V 的外接圆面积.【答案】（1）π3A =（2）4π3【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求得A .（2）根据三角形的面积公式、余弦定理等知识求得外接圆的半径，从而求得外接圆的面积.【小问1详解】2sin cos sin sinA B A B A=，因为sin,sin0A B≠sinA A=，则tan A=，因为()0,πA∈，故π3A=.【小问2详解】由题意13sin24ABCS bc A===，故4bc=.由余弦定理得222222cos()3(6)12a b c bc A b c bc a=+-=+-=--，解得2a=.故ABCV的外接圆半径2sinaRA==，故所求外接圆面积24ππ3S R==.16.如图，在四棱锥S ABCD-中，底面ABCD为正方形，45,,ASD ADS M N∠∠== 分别在棱,SB SC 上，且,,,A D N M四点共面.（1）证明：SA MN⊥；（2）若SM BM=，且二面角S AD C--为直二面角，求平面SCD与平面ADNM夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）先证明线面平行再应用线面平行性质定理得出MN//AD，再结合SA AD⊥，即可证明；（2）应用面面垂直建系，应用空间向量法求出面面角的余弦值.【小问1详解】因为45ASD ADS ∠∠== ，故90SAD ∠= ，则SA AD ⊥，因为AD //,BC AD ⊄平面,SBC BC ⊂平面SBC ，故AD //平面SBC ，而平面ADNM 平面,SBC MN AD =⊂平面ADNM ，故MN //AD ，则SA MN ⊥.【小问2详解】因为二面角S AD C --为直二面角，故平面SAD ⊥平面ABCD .而平面SAD ⋂平面,ABCD AD SA =⊂平面,SAD SA AD ⊥，故SA ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为正方形，所以,,SA AB SA AD AB AD ⊥⊥⊥，以点A 为坐标原点，,,AB AD AS 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，不妨设2AB =，则()()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0,1,0,1A S C D M ，故()()()()2,2,2,0,2,2,0,2,0,1,0,1SC SD AD AM =-=-==，设平面ADNM 的法向量为()111,,n x y z =，则1110,20,n AM x z n AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 令11x =，可得()1,0,1n =- .设平面SCD 的法向量为()222,,m x y z =，则22222220,2220,m SD y z m SC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令21y =，可得()0,1,1m = ，故平面SCD 与平面ADNM 夹角的余弦值1cos 2m n m n θ⋅== .17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，右焦点为F ，点23(,22-在C 上.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点A 在直线():0l y kx m k =+≠上，若直线l 与C 相切，且FA l ⊥，求OA 的值.【答案】（1）2212x y +=（2）OA =【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及,,a b c 的关系式列出方程组，解之即得；（2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由Δ0=推得2221m k =+，又由FA l ⊥，写出直线FA 的方程，与直线l 联立，求得点A 坐标，计算2||OA ，将前式代入化简即得.【小问1详解】设s 0，依题意，222222131,24c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得222,1,a b ==故C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】如图，依题意1,0，联立22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()222214220k x kmx m +++-=，依题意，需使()()2222Δ16421220k m k m =-+-=，整理得2221m k =+（*）.因为FA l ⊥，则直线FA 的斜率为1k-，则其方程为()11y x k =--，联立1(1),y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩解得221,1,1km x kk m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩即221,11km k m A k k -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭故()()()()()2222222222222222211(1)()11||1111k m km k m k m k m mOA k k k k ++-++++++====++++，将（*）代入得，22221222,11m k k k++==++故OA =18.已知函数()1ee xf x x x +=-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）记（1）中切线方程为()y F x =，比较()(),f x F x 的大小关系，并说明理由；（3）若0x >时，()()ln 2e 1f x x a x -≥---，求a 的取值范围.【答案】（1）e 1y x =--（2）()()f x F x ≥，理由见解析（3）(],0-∞【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）令()()()1e1x m x f x F x x +=-=+，求出其导数，进而求得函数最值，即可得结论；（3）将原问题变为1e ln 2x x x x ax +---≥，即()ln 1eln 11x x x x ax ++-++-≥在()0,∞+上恒成立，同构函数，利用导数判断函数单调性，结合讨论a 的范围，即可求得答案.【小问1详解】依题意，()1e 1f -=-，而()()11e e x f x x +=+-'，故()1e,f '-=-故所求切线方程为()e 1e 1y x -+=-+，即e 1y x =--.【小问2详解】由（1）知()e 1F x x =--，结论；()()f x F x ≥，下面给出证明：令()()()1e1x m x f x F x x +=-=+，则()()11e x m x x +=+'，当1x <-时，()()0,m x m x '<在(),1∞--上单调递减，当1x >-时，()()0,m x m x '>在()1,-+∞上单调递增，故()()10m x m ≥-=，即()()f x F x ≥.【小问3详解】依题意得1e ln 2x x x x ax +---≥，则()ln 1eln 11x x x x ax ++-++-≥在()0,∞+上恒成立，令()e 1xg x x =--，则()e 1xg x '=-，令()0g x '=，得0x =，故当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,x ∞∈+时，()0g x '>，故()g x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增，则()()00g x g ≥=，当0a ≤时，10,e ln 20,0x x x x x ax +∀>---≥≤，此时10,e ln 2x x x x x ax +∀>---≥；当0a >时，令()ln 1h x x x =++，显然()h x 在区间()0,∞+上单调递增，又()221110,120e eh h ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故存在021,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，则01000e ln 20x x x x +---=，而00ax >，不合题意，舍去.综上所述，a 的取值范围为(],0-∞.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③分类讨论参数.19.已知首项为1的数列{}n a 满足221144n n n n a a a a ++=++.（1）若20a >，在所有{}()14n a n ≤≤中随机抽取2个数列，记满足40a <的数列{}n a 的个数为X ，求X的分布列及数学期望EX ；（2）若数列{}n a 满足：若存在5m a ≤-，则存在{}(1,2,,12k m m ∈-≥ 且)*m ∈N ，使得4km aa -=.（i ）若20a >，证明：数列{}n a 是等差数列，并求数列{}n a 的前n 项和n S ；（ii ）在所有满足条件的数列{}n a 中，求使得20250s a +=成立的s 的最小值.【答案】（1）分布列见解析，1（2）（i ）证明见解析，22n S n n =-（ii ）1520【解析】【分析】（1）根据递推关系化简可得14n n a a +=+，或1,n n a a +=-写出数列的前四项，利用古典概型即可求出分布列及期望；（2）（i ）假设数列{}n a 中存在最小的整数()3i i ≥，使得1i i a a -=-，根据所给条件可推出存在{}1,2,,1k i ∈- ，使得41k i a a =+≤-，矛盾，即可证明；（ii ）由题意可确定1,5,9,,2017,2021,2025------ 必为数列{}n a 中的项，构成新数列{}n b ，确定其通项公式及5072025b =-，探求s a 与n b 的关系得解.【小问1详解】依题意，221144n n n n a a a a ++=++，故22114444a n n n a a a a ++-+=++，即()()22122n n a a +-=+，故14n n a a +=+，或1,n n a a +=-因为121,0a a =>，故25a =；则:1,5,9,13;:1,5,9,9;:1,5,5,5;:1,5,5,1n n n n a a a a ----，故X 的可能取值为0,1,2，故()()()21122222222444C C C C 1210,12C 6C 3C 6P X P X P X =========，故X 的分布列为X012P162316故1210121636EX =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（i ）证明：由（1）可知，当2n ≥时，1n n a a -=-或124,5n n a a a -=+=；假设此时数列{}n a 中存在最小的整数()3i i ≥，使得1i i a a -=-，则121,,,i a a a - 单调递增，即均为正数，且125i a a -≥=，所以15i i a a -=-≤-；则存在{}1,2,,1k i ∈- ，使得41k i a a =+≤-，此时与121,,,i a a a - 均为正数矛盾，所以不存在整数()3i i ≥，使得1i i a a -=-，故14n n a a -=+.所以数列{}n a 是首项为1､公差为4的等差数列，则()21422n n n S n n n -=+⋅=-.（ii ）解：由20250s a +=，可得2025s a =-，由题设条件可得1,5,9,,2017,2021,2025------ 必为数列{}n a 中的项；记该数列为{}n b ，有()431507n b n n =-+≤≤；不妨令n j b a =，则143j j a a n +=-=-或1447j j a a n +=+=-+，均不为141;n b n +=--此时243j a n +=-+或41n +或47n -或411n -+，均不为141s b n +=--.上述情况中，当1243,41j j a n a n ++=-=+时，32141j j n a a n b +++=-=--=，结合11a =，则有31n n a b -=.由5072025b =-可知，使得20250s a +=成立的s 的最小值为350711520⨯-=.【点睛】关键点点睛：第一问数列与概率结合，关键在于得出数列前四项的所有可能，即可按照概率问题求解，第二问的关键在于对于新定义数列，理解并会利用一般的抽象方法推理，反证，探求数列中项的变换规律，能力要求非常高，属于困难题目.。

江西省丰城市第九中学2023届高三上学期入学考数学(理)试题(解析版)

丰城九中高三上学期理科数学开学考试试卷一、单选题（共12题，共60分）1.已知集合{}{}2220,log 1A x x x B x x =--<=≤，则A B = （）A.{}02x x <≤B.{}02x x <<C.{}12x x -<< D.{}12x x -<≤【答案】B 【解析】【分析】分别解二次不等式和对数不等式，求得集合,A B ，进而利用交集的定义求得A B ⋂.【详解】A {}{}12,02x x B x x =-<<=<≤，则{}02A B x x ⋂=<<.故选：B2.已知命题p ：∀x ∈R ，cosx≤1，则（）A.￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0≥1B.￢p ：∀x ∈R ，cosx≥1C.￢p ：∀x ∈R ，cosx ＞1D.￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0＞1【答案】D 【解析】【分析】对于全称命题的否命题，首先要将全称量词“∀”改为特称量词“∃”，然后否定原命题的结论，据此可得答案.【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ∈R ，cosx≤1，￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0＞1．故选D．【点睛】本题考查了命题中全称量词和存在量词，解题的关键是要知晓全称命题的否定形式是特称命题.3.设122a =，133b =，3log 2c =，则A.b a c <<B.a b c <<C.c b a <<D.c<a<b【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由已知1221a =>，1331b =>，且616228a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，616339b ⎛⎫== ⎪⎝⎭,1b a ∴>>，而3log 2c =<1，所以c<a<b考点：指数的幂运算.4.已知3sin , (,)52πα=α∈π，则πcos()3α+=（）A.410- B.410+ C.410+-D.310+【答案】C 【解析】【分析】由两角和的余弦公式展开即可.【详解】 3sin ,(,)52πααπ=∈，4cos 5α∴=-，cos()cos cos sin sin333ππ∴+=-πααα4134525210+=-⨯-⨯=-故选：C5.已知命题()2000:R,110p x x a x ∃∈+-+<，若命题p 是假命题，则a 的取值范围为（）A.1≤a ≤3B.-1<a <3C.-1≤a ≤3D.0≤a ≤2【答案】C 【解析】【分析】先写出命题p 的否定，然后结合一元二次不等式恒成立列不等式，从而求得a 的取值范围.【详解】命题p 是假命题，命题p 的否定是：()2R,110x x a x ∀∈+-+≥，且为真命题，所以()()()214130a a a ∆=--=+-≤，解得13a -≤≤.故选：C 6.“04x k ππ=-+，k ∈Z ”是“函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点()0,0x 对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求出函数()f x 的对称中心，即可判断.【详解】函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象关于点()0,0x 对称042k x ππ⇔+=，k ∈Z ，即042k x ππ=-+，k ∈Z ，故“02442k x k ππππ=-+=-+，k ∈Z ”是“函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点()0,0x 对称”的充分不必要条件．故选:A7.如图，有一古塔，在A 点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D 处，塔顶C 的仰角为30°，在A 的正东方向且距D 点60m 的B 点测得塔底位于北偏西45°方向上（A ，B ，D 在同一水平面），则塔的高度CD 约为（） 2.4≈）A.38mB.44mC.40mD.48m【答案】D 【解析】【分析】转化为解三角形问题，利用正弦定理、直角三角形的性质进行求解.【详解】如图，根据题意，CD ⊥平面ABD ，30CAD ∠=︒，30BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒，60BD =.在ABD △中，因为sin sin BD AD BAD ABD =∠∠，所以60sin 30sin 45AD=︒︒，所以AD =.在Rt ACD △中，3tan 30483CD AD =⋅︒==m .故A ，B ，C 错误.8.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x =（）A.2sin 8x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B.2sin 8x π⎛⎫+⎪⎝⎭C.2sin 48x π⎛⎫-⎪⎝⎭D.2sin 48x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由最值可求得A ，根据最小正周期可求得ω，由28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得ϕ，从而得到()f x 解析式；由三角函数平移和伸缩变换原则可得()g x .【详解】由图象可知：()()max min22f x f x A -==，最小正周期3488T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，22T πω∴==，()()2sin 2f x x ϕ∴=+，2sin 284f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()242k k ππϕπ∴+=+∈Z ，解得：()24k k πϕπ=+∈Z ，又2πϕ<，4πϕ∴=，()2sin 24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；将()f x 图象向右平移316π个单位长度可得：332sin 22sin 216848f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；将316f x π⎛⎫-⎪⎝⎭横坐标变为原来的2倍得：()2sin 8g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.9.已知()21sin 42f x x x π⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】对函数()f x 求导，判断导函数的奇偶性，排除部分答案，接着将6x π=代入导函数即可解得答案.【详解】解：∵()2211sin cos 424f x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，∴()1sin 2f x x x '=-，∴()()()11sin sin 22f x x x x x '-=---=-+∴()()f x f x ''-=-∴()1sin 2f x x x '=-是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ，将6x π=代入()f x '得：106122f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，排除C ．故选：A ．10.已知定义在R 上的函数()f x 在(],3-∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（）．A.51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()5,1,3⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭C.()3,2-- D.()(),32,-∞--+∞ 【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件，可得()f x 对称轴为3x =，且在[)3,+∞上单调递减.根据函数的对称性与单调性，可得只需223x x -<-即可，解出不等式即可.【详解】由题意可得，()f x 对称轴为3x =，且在[)3,+∞上单调递减.则由()()12f x f x +>，可得出1323x x +-<-，即()()22223x x -<-，即()()23853510x x x x -+=-->，解得1x <或53x >.所以，不等式()()12f x f x +>的解集为()5,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：B.11.已知a 是()323652f x x x x =--+-的一个零点，b 是()e 1xg x x =++的一个零点，132log 5c =，则（）A.a c b <<B.a b c<<C.b<c<a D.a c b <<或c b a<<【答案】A 【解析】【分析】利用导数研究函数()f x 的单调性得()f x 仅有1个零点，且3a <-，结合函数()g x 的单调性与零点的存在性定理得21b -<<-，根据对数运算得3log 25c =-，进而32c -<<-，再根据范围得大小.【详解】解：因为()323652f x x x x =--+-，()()()2336321f x x x x x '=--+=-+-，所以()f x 在(),2-∞-上是减函数，在()2,1-上是增函数，在()1,+∞上是减函数，因为()3102f =-<，所以()f x 仅有1个零点，因为()19302f -=-<，所以3a <-，因为()e 1xg x x =++是增函数，且()110e g -=>，()21210eg -=-<，所以21b -<<-，因为1332log 5log 25c ==-，32log 253<<，所以32c -<<-，所以a c b <<.故选：A ．12.已知函数()ln f x x x =-，若()59f x m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围为（）A.1,e∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B.(],1-∞ C.(],2-∞ D.(],e ∞-【答案】C 【解析】【分析】令()0t t =>，问题转化为2e 2ln 59t t t t m --≥-，构造函数()2e 2ln tg t t t t =--，通过导数，对()g t 的单调性进行讨论，进而可以得到()min g t ，进而可求答案.()0t t =>，则2x t =，问题转化为2e 2ln 59t t t t m --≥-恒成立.令()2e 2ln tg t t t t =--，则()()()()()222e 122e 10tt t t g t t t t t t+-=+--'=>，因为0t >，所以20t t+>.令()()2e 10t h t t t =->，则()()22e 0t h t t t =+>'，所以()h t 在()0,∞+上单调递增，又()1e 10h =->，11024h ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，所以存在01,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h t =，即020e t t 10-=，所以当()00,t t ∈时，()0h t <，即()0g t '<，当()0,t t ∞∈+时，()0h t >，即()0g t '>，所以()g t 在()00,t 上单调递减，在()0,t +∞上单调递增，所以()()020000min e 2ln tg t g t t t t ==--，又020e 10t t -=，所以020e 1tt =，0201et t =，所以()0000min 11ln 11e t g t t t t =--=-+=，所以159m ≥-，解得2m ≤.故选：C二、填空题（共4题，共20分）13.已知幂函数()()213m f x m x-=-在()0,∞+内是单调递减函数，则实数m =______．【答案】2-【解析】【分析】由已知，函数()f x 为幂函数且在()0,∞+内是单调递减，可进行列式，即231m -=且10m -＜即可完成求解.【详解】由题意得，函数()f x 为幂函数且在()0,∞+内是单调递减，所以23110m m ⎧-=⎨-<⎩，解得2m =-．故答案为：2-.14.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,A C a ==，若228c +=，则ABC ∆的面积为____________．【答案】【解析】【详解】试题分析：由正弦定理，知sin sin a A c C =，即sin 22cos sin 2cos sin sin C C C C C C ===，所以3cos 2C =，所以30C =︒，所以60,90A B =︒=︒．因为a =，所以2b c =228c +=，所以2c =，所以12S ac ==．考点：正弦定理．【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，其基本步骤是：（1）确定三角形中的已知和所求，（2）根据条件和所求合理选择正弦定理与余弦定理，使边化角或角化边；（3）求解．15.命题[]:1,1p x ∃∈-，使得2x a <成立；命题():0,q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立．若命题p q ∧为假，则实数a 的取值范围为___________．【答案】[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】首先求出命题,p q 为真时a 的取值范围，再根据复合命题的真假即得.【详解】命题p :[1,1]x ∃∈-，使得2x a <成立，当[1,1]x ∈-时，1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若命题p 为真，则12a >，命题:(0,)q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立，则211x a x x x+<=+，当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =时等号成立，若命题q 为真，则2a <；当命题p q ∧为真命题时，有122a a ⎧>⎪⎨⎪<⎩，即122a <<，所以命题p q ∧为假时，12a ≤或2a ≥，所以实数a 的取值范围为[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.故答案为：[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦．16.已知sin (20)26()|ln 1(0)x x f x x x πππ⎧⎛⎫+-≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-⎩，若方程()(),0f x m m =>恰有4个不同的实数解a ，b ，c ，d ，且a b c d <<<，则cda b=+___________.【答案】2320e -【解析】【分析】画出函数的图象，利用数形结合方法判定易知112m <<，a ，b 关于直线103x =-对称，结合0c e d <<<可知|ln 1||ln 1|c d -=-，进而求得.【详解】如图，易知112m <<，a ，b 关于直线103x =-对称，所以203a b +=-，又0c e d <<<且|ln 1||ln 1|c d -=-，所以1ln ln 1c d -=-，所以ln ln ln 2cd c d =+=，所以2cd e =，从而2320cd e a b =-+.故答案为：2320e -三、解答题（共6题，共70分）17.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足πsin()cos 6⎛⎫+=- ⎪⎝⎭a A Cb A ．（1）求角A ；（2）若3,5a b c =+=，求ABC 的面积．【答案】（1）π3A =（2）433【解析】【分析】（1）由条件和正弦定理可得πsin sin sin cos 6A B B A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后结合三角函数的知识可得答案；（2）由条件结合余弦定理求出bc 的值即可.【小问1详解】由正弦定理得πsin sin sin cos 6A B B A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0πB <<，所以sin 0B >，所以πsin cos 6A A ⎛⎫=-⎪⎝⎭，化简得1sin sin 22A A A =+，所以πcos 06A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以π3A =．【小问2详解】因为π3A =，由余弦定理得2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，又3,5a b c =+=，所以2229()3b c bc b c bc =+-=+-，即9253=-bc ，解得163bc =，则ABC 的面积1116sin 22323S bc A ==⨯⨯=．18.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若函数()()g x f x k =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）πT =，增区间为πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）12k ≤<.【解析】【分析】（1）用二倍角公式以及辅助角公式化简()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据正弦函数的性质即得；（2）由题可得()f x k =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的根，然后利用数形结合即得.【小问1详解】由()2cos 2cos 1f x x x x =-+得，()π2cos 22sin 26f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎭，故最小正周期为2ππ2T ==，由πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，解得ππππ63k x k -+≤≤+，k ∈Z ，故()f x 的单调递增区间为πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；【小问2详解】令()()0g x f x k =-=，则()f x k =，故问题转化为()f x k =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的根，令π26t x =-，且π5π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则问题等价于2sin t k =在π5π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有两个根，画出函数2sin y t =的图象，由2sin y t =的图象可知：当12k ≤<时，有两个根，故实数k 的取值范围为12k ≤<．19.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos sin 90ρθθ++=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值，并求此时点P 的坐标.【答案】（1）2214x y +=，90x ++=（232⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）结合22cos sin 1αα+=消元即可得出曲线C 的普通方程；由cos ,sin x y ρθρθ==即可得出直线l 的直角坐标方程；（2）设点()2cos ,sin P αα，结合点线距离公式，讨论最大值即可【小问1详解】由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），得2214x y +=，故曲线C 的普通方程为2214x y +=.由cos sin 90ρθθ++=，得90x ++=，故直线l 的直角坐标方程为90x ++=.【小问2详解】设点()2cos ,sin P αα，则点P 到直线l 的距离π4sin 96d α⎛⎫++ ⎪==故当πsin 16α⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，点P 到直线l .此时，点P 的坐标为⎛ ⎝⎭.20.（1）设α，β为锐角，且5sin 5α=，310cos 10β=，求αβ+的值；（2）已知πsin 410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πsin 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）π4；（2）17250-.【解析】【分析】（1）根据三角恒等式求出cos α和sin β，利用两角和的余弦公式求出()cos αβ+，结合范围即可得结果；（2）通过两角和的正弦公式以及三角恒等式求出sin α，cos α，然后利用二倍角公式求出sin 2α，cos 2α的值，最后由两角差的正弦可得结果.【详解】（1）∵α为锐角，5sin 5α=，且22sin cos 1αα+=，∴cos 5α=．∵β为锐角，310cos 10β=，且22sin cos 1ββ+=，∴sin 10β=，∴()253105102cos cos cos sin sin 5105102αβαβαβ+=-=⨯-⨯=，∵()0,παβ+∈，∴π4αβ+=．（2）因为πsin 410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2sin cos cos sin 4410αα+=，即1sin cos 5αα+=．又π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin cos 1αα+=，解得：4sin 5α=，3cos 5α=-，所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，2222347cos 2cos sin 5525ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2427217225225250⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．21.已知函数()|26||36|f x x x =---．（1）求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式()||f x k x ≤恒成立，求实数k 的取值范围【答案】（1）111,5⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值后再求解不等式即可；（2）讨论0x =，当0x ≠时6623x k x ---≥，利用绝对值的三角不等式求解6623x x---的最大值即可；【小问1详解】(),22636512,23,3x x f x x x x x x x <⎧⎪=---=-+≤≤⎨⎪->⎩，当2x <时，1x >，即12x <<，当23x ≤≤时，5121x -+>，解得115x <，即1125x ≤<，当3x >时，1x ->，解得1x <-，此时无解，综上：不等式()1f x >的解集为111,5⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问2详解】0x =时上述不等式显然成立，当0x ≠时，上述不等式可化为()26362366x x f x x k xx x ---=---≥=，令()()666623231x x x f g x x xx ==---≤--+=，当且仅当02x <≤时等号成立，所以1k ≥，即实数k 的取值范围为[)1,+∞．22.已知函数()ln f x x ax =-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1x ≥时，函数()()()1ln 0k x x f x a x =++-⎡⎤⎣⎦≤恒成立，求实数a 取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，求得()1ax f x x='-，分0a ≤、0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的增区间和减区间；（2）由题意可知()2ln 10x x a x --≤对任意的1x ≥恒成立，令()()()2ln 11g x x x a x x =--≥，分0a ≤、102a <<、12a ≥三种情况讨论，利用导数分析函数()g x 在[)1,+∞上的单调性，验证()()10g x g ≥=能否恒成立，综合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=①当0a ≤时，则()0f x ¢>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；②当0a >时，则由()0f x ¢>知10x a <<，由()0f x '<知1x a>，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；综上，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【小问2详解】解：由题意知()0k x ≤恒成立，而()()()()201ln 0ln 10k x x f x a x x x a x ⇔++-⇔-⎡⎤⎣⎦-≤≤≤，由()()()2ln 11g x x x a x x =--≥，得()ln 12g x x ax '=+-，令()ln 12h x x ax =+-，则()1122ax h x a x x-'=-=.①若0a ≤，()0h x '>，则()g x '在[)1,+∞上单调递增，故()()1120g x g a ''-≥=≥，所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()10g x g ≥=，从而()2ln 10x x a x --≥，不符合题意；②若102a <<，则112a >，当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()g x '在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()()1120g x g a ''>=->，所以()g x 在11,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭在单调递增，所以()1102g g a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，不符合题意；③若12a ≥，则1012a<≤，()0h x '≤在[)1,+∞上恒成立，所以()g x '在[)1,+∞上单调递减，()()1120g x g a ≤=-'≤'，从而()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，所以()2ln 10x x a x --≤恒成立.综上所述，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，本题涉及端点效应，一般的解题思路就是对参数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，验证对应的不等式能否恒成，由此求解.第17页/共17页。

2022-2023学年高三上学期开学考试数学(理)试题含答案

（1）学生甲恰好答对两题概率是多少？
（2）求学生甲答对的题数的分布列和数学期望.
19.在四棱锥中，点是棱上一点，，，， .
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
20.已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 的内角的对边分别是，，，且 .
（1）求；
（2）若的面积为，且，求的周长.
18.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题.
【答案】
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
C.D层次的女生和E层次的男生在整个样本中频率相等

2024-2025学年上海华二附中高三上学期数学开学考试卷及答案(2024.09)

1华二附中2024学年第一学期高三年级数学开学考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知13z i =−，则z i −=________．2．已知集合251,2x A x x R x ⎧⎫+=<∈⎨⎬−⎩⎭，{}2,0,2B =−，则AB =________．3．已知1sin 23πx ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，那么cos 2x =________．4．已知二项式()5x a +的展开式中，2x 项的系数为80，则a =________．5．函数()f x =的定义域为________．6．关于排列组合的方程23n n n P C −=的解是________．7．已知函数()221x x af x =++的最小值为5，则实数a =________． 8．某种电气设备，电路开关闭合会引发红灯或绿灯的闪动，已知开关第一次闭合，闪红灯和绿灯的概率都是12，开关第二次闭合时，若第一次闪红灯，则再次闪红灯的概率是13，闪绿灯的概率是23；若第一次闪绿灯，则再次闪红灯的概率是35，闪绿灯的概率是25，那么第二次闭合后闪红灯的概率是________．9．已知函数()2sin f x x =，()2cos 1g x k x =−，若对任意5,36ππt ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在,63ππs ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，使得等式()()f t g s =成立，则实数k 的取值范围是________． 10．在△ABC 中，BC CA CA AB ⋅=⋅，2BA BC +=，233ππB ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是________．11．已知双曲线22221x y a b−=的右焦点为2(,0)F c ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay −=是线段2MF 的垂直平分线，则ca=________．212．已知首项为2、公差为d 的等差数列{}n a 满足：对任意的不相等的两个正整数i ，j ，都存在正整数k ，使得i j k a a a +=成立，则公差d 的取值构成的集合是________．二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13．在平面上，到点(1,0)A 的距离等于到直线23x y +=的距离的动点P 的轨迹是（） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线14．已知函数()y f x =，x R ∈的导数是()y f x '=，那么“函数()y f x =在R 上严格单调递增”是()0f x '≥的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件15．在棱长等于1的正方体1111ABCD A B C D −中，P 为棱1AA 上的定点，动点Q 在正方体表面上运动，满足10PQ PC ⋅=，如果动点Q 的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．以上都有可能16．已知函数2()x x f x xx ⎧=⎨⎩为无理数为有理数,则以下4个命题：①函数()y f x =是偶函数；②函数()y f x =在[)0,+∞上是单调递增函数； ③函数()y f x =的值域为R ；④存在正有理数a ，使得函数()y f x a =−恰好有两个零点．其中正确命题的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33三、解答题(共5道大题,共76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.) 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点1C 为弧11A B 的中点．（1）求异面直线OC 与11A C 所成角的大小；（2）求直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的正弦值．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 如图，矩形ABCD 是文物展览厅的俯视图，点E 在边AB 上，在梯形BCDE 内展示文物，游客只能在△ADE 区域内参观，在AE 上点P 处安放可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE 上，6AD AE ==米，2AP =米，4πMPN ∠=，记EPM ∠=θ（弧度），监控可视区域△MPN 的面积为S ．（1）用θ表示线段PM 、PN 的长度；（2）求S 与θ的函数关系式，并求S 的最小值．419.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.) 已知函数()x f x =（1）求证：函数()f x 的图像关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称；（2）设1nn i i S f n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，数列{}n a满足4n S n a =，设n T 是数列{}n b 的前n 项和，其中()()1111n n n n a b a a ++=++，若对任意*n N ∈均有n T <λ恒成立，求λ的最小值．520.（本题满分16分.共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分)已知椭圆2212:12x y C b +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为1e ；双曲线2222:12x y C b −=的左、右焦点分别为3F 、4F ，离心率为2e，12e e ⋅=过点1F 作不垂直于y 轴的直线l 交曲线1C 于点A 、B ，点M 为线段AB 的中点，直线OM 交曲线2C 于P 、Q 两点．（1）求1C 、2C 的方程；（2）若113AF F B =，求直线PQ 的方程；（3）求四边形APBQ 面积的最小值．621.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分) 已知函数()()211ln 2f x x a x a x =−++．（其中a 为常数）（1）若2a =−，求曲线()y f x =在点()2,(2)f 处的切线方程；（2）当0a <时，求函数()y f x =的最小值；（3）当01a ≤<时，试讨论函数()y f x =的零点个数，并说明理由．7参考答案一、填空题1. 2.{}0,2−; 3.79−; 4.2; 5.10,2⎛⎤⎥⎝⎦; 6.8n =; 7.9; 8.715;9.3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭; 10.22,3⎡⎤−⎢⎥⎣⎦；11. 12.2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠…11．已知双曲线22221x y a b−=的右焦点为2(,0)F c ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay −=是线段2MF 的垂直平分线，则ca=________．【解析】设直线0bx ay −=交2MF 于点Q ,连接1MF ,由题意可知22MF b ==,由双曲线的定义可得12222,MF MF a b a O Q =−=−分别为122,F F MF 的中点,则1//MF OQ 因为2OQ MF ⊥,则12MF MF ⊥, 由勾股定理可得2221212MF MF F F +=, 即()222444,,2,c b a b c b a a b a a −+=∴−==∴==故，故答案为12．已知首项为2、公差为d 的等差数列{}n a 满足：对任意的不相等的两个正整数i ，j ，都存在正整数k ，使得i j k a a a +=成立，则公差d 的取值构成的集合是________．【答案】2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠…【解析】()21,n a n d =+−由i j k a a a +=,得()()()212121,i d j d k d +−++−=+−()12,k i j d ∴−−+=8当10k i j −−+=时,()10k i j d −−+=,矛盾,10k i j ∴−−+≠,则21d k i j =−−+,,,i j k 都是正整数,1k i j ∴−−+为整数,且不等于0,对任意的不相等的两个正整数,i j ,都存在正整数k ,使得i j k a a a +=成立, 且()3,min i j +=∴当1,2i j ==时,121m k i j k =−−+=−−… ()210d m Z ,m ,m m∴=∈−≠… ∴公差d 的所有取值构成的集合是2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠…,故答案为:2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠….二、选择题13.D 14.A 15.A 16.B15．在棱长等于1的正方体1111ABCD A B C D −中，P 为棱1AA 上的定点，动点Q 在正方体表面上运动，满足10PQ PC ⋅=，如果动点Q 的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】A【解析】如图,在平面11ACC A 中过点P 作1PM PC ⊥交AC 于点M ,（当P 在1A 时M 恰为A 点，当P 在A 点时点M 也恰为A 点,满足点Q (即A)使得10PQ PC ⋅=), 在平面ABCD 中过M 作//EF BD ,连接,PE PF由正方体的性质可得1,BD AC AA ⊥⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以1AA BD ⊥, 11,,AC AA A AC AA ⋂=⊂平面11ACC A ,所以BD ⊥平面11ACC A ,1PC ⊂平面11ACC A ,所以1PC BD ⊥,所以1PC EF ⊥,,,EF PM M EF PM ⋂=⊂平面PEF ,所以1PC ⊥平面PEF ,9因为10PQ PC ⋅=,所以1PQ PC ⊥,又动点Q 在正方体表面上运动,所以Q 在PEF ∆的边上, 显然AE AF =,所以PE PF =,所以PEF ∆为等腰三角形,又90EPF ∠<,所以PEF ∆不可能为直角三角形或钝角三角形;故选:A .三．解答题17.（1）60 （218.（1）4,sin cos PM PN ==θ+θ（2）)min 835,0,;8144214S S π⎡⎤=θ∈−=⎢⎥π⎛⎫⎣⎦θ++ ⎪⎝⎭19.（1）证明略（2）21720.（本题满分16分.共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分)已知椭圆2212:12x y C b +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为1e ；双曲线2222:12x y C b −=的左、右焦点分别为3F 、4F ，离心率为2e，12e e ⋅=过点1F 作不垂直于y 轴的直线l 交曲线1C 于点A 、B ，点M 为线段AB 的中点，直线OM 交曲线2C 于P 、Q 两点．（1）求1C 、2C 的方程；（2）若113AF F B =，求直线PQ 的方程；（3）求四边形APBQ 面积的最小值．10【答案】（1）221:12x C y +=,2C :2212x y −=（2）12y x =−或12y x =;（3）2 【解析】(1)由题意可知:12e e ==所以12•e e ===解得:21b =, 故椭圆221:12x C y +=,双曲线2C :2212x y −= (2)由（1）知()110F ,−,因为直线AB 不垂直于y 轴,设直线AB 的方程为:1x my =−, 设点(1A x ,)()122,y B x ,y ,则()()1111221,1AF x ,y F B x ,y =−−−=+由113AF F B =,则123y y −=,即123y y =−,联立:22112x my x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩, 可得:()222210,m y my +−−=()()222442810,m m m ∆=++=+>由韦达定理可得1221222212m y y m y y m ⎪+⋅⎧⎪⎪⎨=−=+⎪⎩+，将123y y =−代入得:()222222132m y m y m −⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩,解得1m =±,当1m =时,弦AB 的中点2133M ,⎛⎫− ⎪⎝⎭,此时直线PQ 的方程为:12y x =−,当1m =−时,弦AB 的中点2133M ,⎛⎫−− ⎪⎝⎭,此时直线PQ 的方程为:12y x =,所以直线PQ 的方程为12y x =−或12y x =;(3)设AB 的中点()00M x ,y ,由（2）可得)21AB m ==+22m +且000222,122m y x my m m −==−=++,点22222m M ,m m −⎛⎫ ⎪++⎝⎭2PQ OM m k k ==−,直线PQ 的方程为:2my x =−11联立22212m y x x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩可得:2222224,,20,22m x y m m m ==−>−−且由双曲线的对称性，不妨取点,P Q ⎛⎫⎛⎫所以点P 到直线AB 的距离为:21d ==点Q 到直线AB 的距离为:22d ==，21222m d d ++=所以四边形APBQ 的面积为()1212S AB d d =+===因为2022m <−…,所以当222m −=,即0m =时,四边形APBQ 的面积取最小值2. 21.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分) 已知函数()()211ln 2f x x a x a x =−++．（其中a 为常数）（1）若2a =−，求曲线()y f x =在点()2,(2)f 处的切线方程；（2）当0a <时，求函数()y f x =的最小值；（3）当01a ≤<时，试讨论函数()y f x =的零点个数，并说明理由．【答案】（1）2220x y ln −−=（2）12a −−（3）当01a <…时,()f x 在()0,+∞上有一个零点【解析】(1)当2a =−时,可得()2122f x x x lnx =+−,可得12()()()212'1x x f x x x x+−=+−=, 所以()'22f =且()2422f ln =−,所以切线方程为()()42222y ln x −−=−,即2220x y ln −−=,所以曲线()y f x =在点()()22,f 处的切线方程为2220x y ln −−= (2)由函数()()2112f x x a x alnx =−++,可得函数()f x 的定义域为()0,+∞, 又由()()()1'x a x f x x−−=,令()'0f x =,解得11,1x a x ==,当0a <时,()f x 与()'f x 在区间()0,+∞的情况如下表:所以函数的极小值为()112f a =−−,也是函数()f x 的最小值, 所以当0a <时,函数()f x 的最小值为12a −−; (3)当0a =时,()212f x x x =−,令()0f x =,解得122,0x x ==(舍去) 所以函数()y f x =在()0,+∞上有一个零点；当01a <<时，()f x 与()'f x 在区间()0,+∞的情况如下表:所以函数()f x 在()0,a 单调递增,在()1a,上单调递减,此时函数()f x 的极大值为()210,2f a a a alna =−−+<所以函数()y f x =在()01,上没有零点;又由()1102f a =−−<且函数()f x 在()1,+∞上单调递增,且当x →+∞时,()f x →+∞,所以函数()f x 在()1,+∞上只有一个零点,13综上可得,当01a <…时,()f x 在()0,+∞上有一个零点.。

2023届九师联盟高三上学期开学考试数学(理)试题(解析版)

2023届九师联盟高三上学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．若集合{|ln(2)},{|(3)(1)0}A x y x B x x x ==-=-->，则A B =（） A ．(3,)+∞ B ．(2,3)C ．(1,3)D ．(2,)+∞【答案】B【分析】求出函数定义域化简集合A ，解一元二次不等式化简集合B ，再利用交集的定义求解作答.【详解】函数ln(2)y x =-有意义，有20x ->，即2x >，则()2,A =+∞，解不等式：(3)(1)0x x -->，即(3)(1)0x x --<，解得13x <<，则()1,3B =，所以()2,3A B ⋂=. 故选：B2．若复数z 满足(2i)i 54i z --=+，则z =（） A ．33i - B ．33i +C ．13i -D ．13i +【答案】C【分析】根据复数的四则运算，先求出复数z ,再求z 即可. 【详解】解：由()2i i 54i z --=+，得()()()()55i 2i 55i 515i13i 2i 2i 2i 5z ++++====+--+，所以13i z =-. 故选：C.3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3715,35a a ==，则9S =（） A ．450 B ．400C ．350D ．225【答案】D【分析】运用等差数列的通项公式与前n 项和公式运算即可.【详解】由11215,635,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得15a d ==，所以919892252S a d ⨯=+⨯=. 故选:D.4．“3log (2)1x -<”成立的一个必要不充分条件为（） A ．25x << B ．5x >C ．5x <D ．35x <<【答案】C【分析】由题可得25x <<，然后利用充分条件，必要条件的定义分析即得. 【详解】由3log (2)1x -<，得25x <<，所以选项A 是充要条件，选项B 是既不充分又不必要条件，选项D 是充分不必要条件，选项C 是必要不充分条件. 故选：C.5．已知x 、y 满足约束条件21010x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最大值为（）A ．5B ．6C ．7-D ．3-【答案】A【分析】作出可行域，平移直线3z x y =-，找出使得该直线在x 轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解. 【详解】作出可行域如下图所示：联立102x y x +-=⎧⎨=⎩可得21x y =⎧⎨=-⎩，即点()2,1C -，平移直线3z x y =-，当该直线经过可行域的顶点C 时，直线3z x y =-在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即()max 2315z =-⨯-=. 故选：A.6．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，若,AD a BC b ==，则EF =（）A ．1122a b +B ．1122a b -C ．1322a b +D ．1322a b -【答案】A【分析】根据图形，利用向量的加，减，数乘运算，即可判断选项.【详解】由题意知，EF EC CF EB BC CF =+=++，EF ED DF EA AD DF =+=++，因为E ，F 分别为AB ，CD 的中点，所以EB EA =-，DF CF =-，所以2EF AD BC =+，所以1122EF AD BC =+，即1122EF a b =+. 故选：A.7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱11C D 的中点，则异面直线AC 与DE 所成角的余弦值为（）A ．15B 5C 10D ．34【答案】C【分析】取11A D 的中点F ，连接11A C ，EF ，DF ，可得到//EF AC ，则DEF ∠或其补角为AC 与DE 所成的角，再通过余弦定理求出其余弦值，即可得到答案【详解】解：取11A D 的中点F ，连接11A C ，EF ，DF ，则11,//A C AC 因为点E ，F 分别为11C D ，11A D 的中点，所以11//EF A C ，所以//EF AC ，所以DEF ∠或其补角为AC 与DE 所成的角，设正方体的棱长为2，则2222215112DE DF EF =++，所以10cos 252DEF ∠=⨯⨯，故选：C8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与斜率为1的直线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(4,1)，则C 的离心率e =（） A 2B 10C 5D 3【答案】C【分析】中点弦问题利用点差法处理.【详解】法一：设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b-=-=，所以()()()()21212121220x x x x y y y y a b+-+--=，又AB 的中点为(4,1)，所以12128,2x x y y +=+=，所以2212214y y b x x a -=-，由题意知21211y y x x -=-，所以2241b a =，即2214b a =，则C 的离心率2251b e a =+故A ，B ，D 错误. 故选：C.法二：直线AB 过点(4,1)，斜率为1，所以其方程为14y x ，即3y x =-，代入22221x y a b -=并整理得()2222222690b a x a x a a b -+--=，因为(4,1)为线段AB 的中点，所以222624a b a-=⨯-，整理得224a b =，所以C 的离心率2251b e a =+故A ，B ，D 错误. 故选：C.9．如图，函数()()π2sin 0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像过()π,0,2π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭两点，为得到函数()()2cos g x x ωϕ=-的图像，应将()f x 的图像（）A ．向右平移7π6个单位长度 B ．向左平移7π6个单位长度 C ．向右平移5π2个单位长度 D ．向左平移5π2个单位长度【答案】D【分析】先根据周期求ω，再代入()2,2π，解得ϕ，最后根据平移变换即可判断【详解】2462T πππ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭ 22163T ππωπ∴=== ()12sin 3f x x ϕ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭代入()2,2π得22sin 23πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭即 2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 22,Z 2,Z 326k k k k πππϕπϕπ+=+∈⇒=-+∈ 2πϕ<0k ∴= 即 6πϕ=-()12sin 36f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭对于A 选项，17π17152sin 2si i 6n 2s n 93631863x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫--=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦31918111192sin 2cos 382x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故A 错误对于B 选项17π17122sin 2si i 6n 2s n 93631863x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫+-=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦151818152sin 2cos 323x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误对于C 选项15π1512sin 2sin 2sin 3263663x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12sin 3x =-，故C 错误对于D 选项，15π15122sin 2sin 2sin 32636633x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫+-=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦112sin 2cos 36236x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确故选：D10．已知()f x 是R 上的奇函数，且(2)(),(1)3f x f x f -==，则(2022)(2023)f f +=（） A ．3- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】由题意求得函数()f x 是周期为4的周期函数，得到()()()()2022202321f f f f +=+-，结合()()11f x f x -+=+，得到()()20f f =，进而求得()()1,0f f -的值，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 为R 上的奇函数，可得()(2)()f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，所以()f x 是周期为4的周期函数，所以()()()()2022202321f f f f +=+-，因为()()11f x f x -+=+，令1x =，得()()20f f =，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()00,113f f f =-=-=-，所以()()20222023033f f +=-=-. 故选：A.11．已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于,A B 两点，若||||32FA FB ⋅=，则p =（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】通过抛物线焦点坐标及点斜式即可求解出直线AB 的方程，代入C 的方程，设()()1122,,,A x y B x y ，根据根与系数关系即可得出1212,x x x x +与p 的关系，通过抛物线上的点到焦点的距离与该点到抛物线准线距离相等可知12,22p pFA x FB x =+=+，代入||||32FA FB ⋅=即可转化为关于p 的二元一次方程，即可求解.【详解】由题意知,0,2p F AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭的方程为2p y x =-，代入C 的方程，得22304p x px -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212123,4p x x p x x +==；因为12,22p p FA x FB x =+=+，且32FA FB ⋅=，所以1222p p x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭32，整理得()212123242p px x x x +++=，所以22332424p p p p +⋅+=，结合0p >，解得4p =. 故选：D.【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.12．已知定义在()3,3-上的函数()f x 满足42()e ()0,(1)e ,()x f x f x f f x '+-==为()f x 的导函数，当[0,3)x ∈时，()2()f x f x '>，则不等式24e (2)e x f x -<的解集为（） A ．(2,1)- B ．(1,5) C ．(1,)+∞ D ．(0,1)【答案】B【分析】构造函数()()2e xf xg x =，由条件判断其奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可.【详解】令()()2exf xg x =，所以()()2e xf xg x =，因为()()4e 0x f x f x +-=，所以()()242e e e 0x x x g x g x -⋅+⋅-=，化简得()()0g x g x +-=，所以()g x 是()3,3-上的奇函数；()()()()()2242e 2e 2e e x x x xf x f x f x f xg x ''--'==，因为当03x ≤<时，()()2f x f x '>，所以当[)0,3x ∈时，()0g x '>，从而()g x 在[)0,3上单调递增，又()g x 是()3,3-上的奇函数，所以()g x 在()3,3-上单调递增；考虑到()()2221e 11e ef g ===，由()24e 2e xf x -<，得()()2224e e2e x xg x --<，即()()211g x g -<=，由()g x 在()3,3-上单调递增，得323,21,x x -<-<⎧⎨-<⎩解得15x <<，所以不等式()24e 2e xf x -<的解集为()1,5，故选：B.二、填空题13．()7x a -的展开式中3x 的系数为560，则实数a 的一个值为___________. 【答案】2或2-【分析】利用二项展开式可得出关于a 的等式，即可求得实数a 的值.【详解】二项展开式的通项为()717C rrr r T x a -+=-⋅，令73r -=，得4r =，由题意知4447C 35560a a ==，解得2a =±.故答案为：2（或2-）.14．在等比数列{}n a 中，*,0n n a ∀∈<N ，且3752a a a +≥，则数列{}n a 的公比q =___________.【答案】1【分析】根据等比数列通项公式化简不等式3752a a a +≥，解不等式求出数列{}n a 的公比.【详解】由3752a a a +≥，得2641112a q a q a q +≥，由*,0n n a ∀∈<N ，得10a <，0q >，所以4212q q +≤，即()2210q -≤，所以210q -=，又0q >，所以1q =，故答案为：1.15．已知()2sin sin 22f x x f x ππ'⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则曲线()y f x =在点(,())f ππ处的切线方程为___________.【答案】2220x y π---=【分析】利用诱导公式将曲线()y f x =化简，再将x π=代入可(,())f ππ为切点，再对曲线()y f x =，用特值法即可求得在2x π=处的切线斜率，利用直线点斜式即可解得.【详解】因为()2sin sin 22f x x f x ππ'⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2cos sin 2x f x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，所以()2cos sin 22f f ππππ⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭(1)022f π⎛⎫'⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭，切点为(,2)π-.而()2sin cos 2f x x f x π⎛⎫''=-+ ⎪⎝⎭，令 2x π=，得2sin cos 2222f f ππππ⎛⎫⎛⎫''=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21022f π⎛⎫'=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭,所以 ()2sin 2cos f x x x '=--,所以曲线 ()y f x = 在点 (,2)π- 处的切线的斜率为 ()2sin 2cos f πππ'=--202(1)2=-⨯-⨯-=，所以曲线 ()y f x = 在点 (,2)π- 处的切线方程为(2)2()y x π--=-.即2220x y π---=.故答案为: 2220x y π---=.16．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面,6CBD AB BC CD AD BD =====，点M 在AC 上，2AM MC =，过点M 作三棱锥A BCD -外接球的截面，则截面圆面积的最小值为___________.【答案】12π【分析】利用等边三角形的性质以及外接球的性质，作出外接球的球心O ，再根据线段的数量关系求出线段OM ，最后即可得到截面圆的最小半径. 【详解】由题意知，ABD △和BCD △为等边三角形，如图所示：取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，由平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，故AE ⊥平面CBD ，22226333AE AD DE -=-=易知球心O 在平面BCD 的投影为BCD △的外心1O ，过O 作OH AE ⊥于H ，易得1OH O E ∥，1OO HE ∥，则在Rt OHA △中，3,23OH AH ==所以外接球半径2215R OH AH +OM ，因为2,,2AH HE OH CE AM MC ==∥，所以H ，O ，M 三点共线，所以2233MH CE ==，3OM MH OH =-=，当M 为截面圆圆心时截面面积最小，此时截面圆半径22(15)(3)23r =-=，面积为2S r =π=12π. 故答案为：12π.三、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin 2Ab a B =. (1)求角A ；(2)若6,b BC =边上的高为332，求c . 【答案】(1)π3A = (2)131c =-【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解；（2）利用三角形面积公式和余弦定理求解即可. 【详解】(1)由cossin 2A b aB =及正弦定理，得sin cos sin sin 2AB A B =，因为sin 0B ≠，所以cos sin 2AA =，所以cos2sin cos 222A A A =. 因为()0,πA ∈，所以π0,22A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 02A≠，所以1sin 22A =，所以，所以π3A =. (2)由三角形面积公式得 ∵133332ABCS ==，1π336sin 23ABCS c =⨯⨯⨯， 3333=，即2a c =，由余弦定理得22366a c c =+-，将2a c =代入可得22120c c +-=，解得131c 或131c =-（舍去），故1c=.18．2022年7月6日~14日，素有“数学界奥运会”之称的第29届国际数学家大会，受疫情影响，在线上进行，世界各地的数学家们相聚云端､共襄盛举.某学校数学爱好者协会随机调查了学校100名学生，得到如下调查结果：男生占调查人数的55%，喜欢数学的有40人，其余的人不喜欢数学；在调查的女生中，喜欢数学的有20人，其余的不喜欢数学.(1)请完成下面22⨯列联表，并根据22⨯列联表判断是否有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关？(2)采用分层抽样的方法，从不喜欢数学的学生中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X为3人中不喜欢数学的男生人数，求X的分布列和数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.临界值表：)2k0.102.706【答案】(1)列联表答案见解析，有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关(2)分布列见解析，数学期望：9 8【分析】(1)根据题意，补全列表，求出2K的值即可得答案；(2)根据分层抽样得抽取的男生有3人，女生有5人，再求出当X=0，1，2，3的概率，列出X 的分布列，即可求得X 的期望.【详解】(1)解：调查的男生人数为10055%55⨯=（人），调查的女生人数为1005545-=（人），补全22⨯列联表如下：22100(40251520)8.2497.87960405545K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关. (2)在抽取的8人中，不喜欢数学的男生人数815340⨯=人，不喜欢数学的女生人数825540⨯=人，由题意可知，X 的可能取值为0,1,2,3，()()()3122153535333888C C C C C 515150,1,2C 28C 28C 56P X P X P X =========，()3338C 13C 56P X ===, 则X 的分布列为：故()51515190123282856568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】.19．如图，在三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，E 为PB 的中点.(1)若,AB AP CB CP ==，求证：BP AC ⊥；(2)若3,150,60AB AP BAC PAC ︒︒=∠=∠=，求直线AP 与平面ACE 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 6【分析】（1）由E 为PB 的中点，证得,PB AE PB CE ⊥⊥，利用线面垂直的判定定理，证得PB ⊥平面ACE ，进而得到BP AC ⊥.（2）作PO AC ⊥，垂足为点O ，以O 为坐标原点，直线,OC OP 分别为y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AP =，求得平面ACE 的法向量和向量AP 的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】(1)证明：因为E 为PB 的中点，且,AB AP CB CP ==，所以,PB AE PB CE ⊥⊥，又因为AE CE E =，且,AE CE ⊂平面ACE ，所以PB ⊥平面ACE ，因为AC ⊂平面ACE ，所以BP AC ⊥. (2)解：作PO AC ⊥，垂足为点O ，因为平面PAC ⊥底面ABC ，平面PAC 底面,ABC AC PO =⊂平面PAC ，所以PO ⊥平面ABC .以O 为坐标原点，直线,OC OP 分别为y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，设1AP =，因为60PAC ∠=，所以313,0,,0,2,02P A B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以33E -⎝⎭，则1331310,,,,,,0,,0224242AP AE OA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设(),,m x y z =是平面ACE 的法向量，则3130424102m AE x y z m OA y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1m =-，设直线AP 与平面ACE 所成角为θ，则222222326sin cos ,41310(1)022m AP θ-===⎛⎫⎛⎫++-⨯++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以直线AP 与平面ACE 所成角的正弦值为64. 【点睛】20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且1F ，2F 与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点23P ⎝⎭在E 上. (1)求E 的方程；(2)过点2F 作互相垂直且与x 轴均不重合的两条直线分别交E 于点A ，B 和C ，D ，若M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，证明：直线MN 过定点. 【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由条件列出关于,,a b c 的方程，解方程求得a 和b 的值，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得M 和N 点坐标，求分情况求MN 方程，由此证明直线MN 过定点.；【详解】(1)设122F F c =，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，所以b c =，因为点P ⎝⎭在E 上，所以2223144a b +=，又222a b c =+，解得222,1a b ==，所以E 的方程为2212x y +=.(2)由（1）知2(1,0)F ，由题意知直线AB 和直线CD 的斜率都存在且不为0，设直线AB 方程为：1(0)x my m =+≠，与E 的方程联立221,21,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 并整理，得()222210m y my ++-=，且()224420m m ∆=++>，设()()1122,,,A x y B x y ，则12222m y y m +=-+，所以()12122422x x m y y m +=++=+，所以点M 的坐标为222,22m m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为AB CD ⊥，则直线CD 的方程为11x y m=-+，同理得2222,2121m m N m m ⎛⎫⎪++⎝⎭，当22222212m m m ≠++，即1m ≠±时，直线MN 的斜率()22222232122221212MNm mm m m k m m m m +++==--++，所以直线MN 的方程为()222322221m m y x m m m ⎛⎫+=- ⎪++-⎝⎭，所以()()()()2222222213232222212132m m m m y x x m m m m m m ⎡⎤-⎛⎫⎢⎥=--=-- ⎪+++--+⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为()()()()()()222222221621222223323232m m m m m m m -+-++===++++，所以直线MN 的方程即为()232321m y x m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，显然直线MN 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；当22222212m m m =++，即1m =±时，则2121,,,3333M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或2121,,,3333M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时直线MN 的方程为23x =，也过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，直线MN 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题第二小问解决的关键在于联立方程组求出,M N 的坐标，由此确定直线方程，并判断直线过定点. 21．已知函数()e x f x ax =-. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当1a =-时，判断曲线()y f x =与曲线4ln(2)y x =--交点的个数，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)两个交点，理由见解析【分析】(1)求函数()f x 的导函数()f x '，通过讨论a 确定不等式()0f x '>，()0f x '<的解集，由此确定()f x 的单调性；(2)设()()e 4ln 2xg x x x =++-，利用导数研究其单调性，结合零点存在性定理判断其零点的个数，由此确定曲线()y f x =与曲线4ln(2)y x =--交点的个数.【详解】(1)()f x 的定义域为R ，()e xf x a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在(),-∞+∞上为增函数；当0a >时，令()0f x '<，得ln x a <，令()0f x '>可得ln x a >，所以()f x 在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增.(2)因为1a =-，所以()e xf x x =+，设()()e 4ln 2xg x x x =++-，则其定义域为(),2-∞，()()422e e e 12221e x x x x x x g x x x x ⎡⎤++=-=-=-⎢⎥---⎢⎥⎣⎦'+，且()00g '=. 设()()21(2)2e xxm x x x +=-<-，则()220(2)e xx m x x =-≤-'，当且仅当0x =时()0m x '=，所以()m x 在(),2-∞上单调递减，所以当0x <时，()()00m x m >=；当02x <<时，()()00m x m <=，即当0x <时，()()e 0x g x m x ='>；当02x <<时，()()e 0xg x m x ='<，所以()g x 在(),0∞-上单调递增，在()0,2上单调递减，故()max ()014ln2g x g ==+，取2e 2402e ,2x +-⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭，则()22e 2e 224404ln 24ln 22e 4lne e 2x ++--⎡⎤⎛⎫-<--==--⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()()022000e 4ln 2e 2e 20x g x x x =++-<+--=，即()00g x <；()1414e 144ln16g --=-+，考虑到316e <，则ln163<，即4ln1612<，又14e 1-<，所以()140g -<，所以()g x 在()14,0-和()00,x 上各有一个零点，即()g x 有两个零点，故曲线()y f x =与曲线()4ln 2y x =--有两个交点.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为πcos 4m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 交于相异两点A ，B ，且||AB =，求m 的值.【答案】(1)22(1)4x y -+=，0x y -=(2)m =m =【分析】（1）平方消参得到1C 的普通方程，利用直角坐标和极坐标互化公式求出2C 的直角坐标方程；（2）由（1）中求出的直角坐标方程，结合垂径定理求解【详解】(1)在1C 的参数方程中消去参数α，得1C 的普通方程为22(1)4x y -+=；由πcos 4m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 22m ρθθ-=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以2C 的直角坐标方程为0x y -=. (2)由（1）知曲线1C 是以(1,0)为圆心，2为半径的圆，曲线2C 为直线，则圆心(1,0)到曲线2C 的距离d ，因为||AB =2222+=⎝⎭，解得：m =m =. 23．已知0,0,0a b c >>>，证明： (1)221188ab a b ++≥； (2)222222a b b c c a abc a b c++≥++.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）利用均值不等式可证该不等式.（2）利用均值不等式可证()22222222()a b b c c a abc a b c ++≥++，从而可证题设中的不等式. 【详解】(1)法一：因为0,0a b >>，所以222211118448ab ab ab a b a b ++=+++≥=.当且仅当22114ab a b ==，即a b ==. 法二：因为0,0a b >>，所以22121a b ab，当且仅当2211a b =，即a b =时等号成立.所以22112888ab ab a b ab ++≥+≥，当且仅当28ab ab =，即12ab =时，等号成立.综上，221188ab a b ++≥，当且仅当a b ==时，等号成立. (2)因为222222a b b c ab c +≥，当且仅当a c =时等号成立；222222b c c a abc +≥，当且仅当a b =时等号成立；222222c a a b a bc +≥，当且仅当b c =时等号成立，所以()22222222()a b b c c a abc a b c ++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立. 因为0,0,0a b c >>>，所以0a b c ++>，所以222222a b b c c a abc a b c++≥++.。

四川省成都市石室阳安中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学(理)试题含答案解析

成都石室阳安高三数学（理科）入学考试一、单选题1.设集合1{|}2S x x =>-，31{|21}x T x -=<，则S T Ç=A.∅B.1{|}2x x <- C.1{|}3x x > D.11{|}23x x -<<2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标为()2,1--，则iz=（）A.12i-- B.2i -- C.12i-+ D.2i-3.走路是最简单优良的锻炼方式，它可以增强心肺功能，血管弹性，肌肉力量等，甲、乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（）A.甲走路里程的极差等于10B.乙走路里程的中位数是26C.甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数D.甲下半年每月走路里程的标准差小于乙下半年每月走路里程的标准差4.若实数x ，y 满足约束条件10240230y x y x y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z y x =-的最大值为（）A.－12B.2C.5D.85.下列命题正确的是（）A.命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题B.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题C.若0x 使得函数()f x 的导函数()00f x '=，则0x 为函数()f x 的极值点；D.命题“0x ∃∈R ，使得20010x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++<”6.已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（）A.2y x =±B.52y x =±C.12y x =±D.y =7.把一个铁制的底面半径为4，侧面积为16π3的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为（）A.16πB.12πC.24πD.9π8.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A.25B.35C.12D.139.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足()()20f x f x ++=，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.1- B.1- C.1 D.1-10.已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A.72B.132C.D.11.设38a =，0.5log 0.2b =，4log 24c =，则（）A.a c b<< B.a b c<< C.b a c<< D.<<b c a12.过点()1,2可作三条直线与曲线3()3f x x x a =-+相切，则实数a 的取值范围为（）A.()1,2 B.()2,3 C.()3,4 D.()4,5二、填空题13.若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280+---=x y x y 的周长，则12a b+的最小值为．14.已知直线1:10l x my -+=过定点A ，直线2:30l mx y m +-+=过定点B ，1l 与2l 相交于点P ，则22PA PB +=________．15.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：cm ）服从正态分布()2100,10N ，若测量10000株水稻，株高在()80,90的约有_______．（若()2~,X N μσ，()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈）16.现有如下命题：①若()3nx n*⎛∈ ⎝N 的展开式中含有常数项，且n 的最小值为10；②1π2x -=⎰；③若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取一个，取后放回，连续取三次，设随机变量ζ表示取出白球的次数，则()2E ζ=；④若定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=-+，则()f x 的最小正周期为8．则正确论断有__________．（填写序号）三、解答题17.为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，已知所有学生的成绩均位于区间[]60,100，从中随机抽取1000名学生的竞赛成绩作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图．（1）若此次活动中获奖的学生占参赛总人数30%，试估计获奖分数线；（2）采用比例分配分层随机抽样的方法，从成绩不低于80的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，记成绩在[]90,100的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，E 为AB 的中点，,1,3,PD CE AE PD PC ⊥===（1）证明：AD ⊥平面PCD.（2）求DA 与平面PCE 所成角的正弦值.19.已知函数()22ln f x x ax b =++在1x =处取得极值1.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在1,e e -⎡⎤⎣⎦上的最大值和最小值.20.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()2,0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，5MF =．（1）求C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一定点Q ，使得_________？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．从①点N 关于x 轴的对称点N '与M ，Q 三点共线；②x 轴平分MQN ∠这两个条件中选一个，补充在题目中“__________”处并作答．注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．21.已知函数()ln x af x x x+=-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当0x >时，1ln(1)11x x x+<<+22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x C y ϕϕ=⎧⎨=-+⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）写出曲线1C 的极坐标方程，曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(2,0)M ，射线0,04πθααρ⎛⎫=-<<≥ ⎪⎝⎭与曲线1C 、2C 分别交于A 、B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求线段AB 的长．23.设()34f x x x =-+-．（1）解不等式()2f x ≤；（2）已知实数x 、y 、z 满足222236(0)x y z a a ++=>，且x y z ++的最大值是1，求a 的值．成都石室阳安高三数学（理科）入学考试一、单选题1.设集合1{|}2S x x =>-，31{|21}x T x -=<，则S T Ç=A.∅ B.1{|}2x x <- C.1{|}3x x > D.11{|}23x x -<<【答案】D 【解析】【分析】先解出集合T,然后集合T 与集合S 取交集即可.【详解】{}{}{}313101|21|22|310|3x x T x x x x x x --⎧⎫=<=<=-<=<⎨⎬⎩⎭,集合12S x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则11{|}23S T x x ⋂=-<<故选D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标为()2,1--，则iz =（）A.12i --B.2i -- C.12i-+ D.2i-【答案】C 【解析】【分析】根据复数对应点坐标得z 的值，再利用复数的除法可得结果.【详解】复数z 对应的点的坐标为()2,1--，则2i z =--，所以222i 2i i12i i i iz ----===-+.故选：C.3.走路是最简单优良的锻炼方式，它可以增强心肺功能，血管弹性，肌肉力量等，甲、乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（）A.甲走路里程的极差等于10B.乙走路里程的中位数是26C.甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数D.甲下半年每月走路里程的标准差小于乙下半年每月走路里程的标准差【答案】C【解析】【分析】根据折线图，得到甲、乙下半年的走路历程数据，根据极差、中位数、平均数以及标准差与数据稳定性之间的关系求解.【详解】对于A选项，712-月甲走路的里程为：31、25、21、24、20、30，甲走路里程的极差为312011-=公里，A错；对于B选项，712-月乙走路的里程为：29、28、26、28、25、26，由小到大排列分别为：25、26、26、28、28、29，所以，乙走路里程的中位数是2628272+=，B对；对于C选项，甲下半年每月走路里程的平均数31252124203015166 +++++=，乙下半年每月走路里程的平均数为2928262825261622766+++++==，所以，甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数，C对；对于D选项，由图可知，甲下半年走路里程数据波动性大于乙下半年走路里程数据，所以甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差，D错.故选：C.4.若实数x ，y 满足约束条件10240230y x y x y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z y x =-的最大值为（）A.－12 B.2 C.5 D.8【答案】C 【解析】【分析】作出可行域，根据目标函数的几何意义，平移目标函数即可求解.【详解】画出可行域如图所示，由230240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，设A (1,2)，则目标函数3z y x =-，经过点A (1,2)时在y 轴上的截距最大，所以在点A (1,2)处z 取得最大值最大值为3215z =⨯-=.故选：C.5.下列命题正确的是（）A.命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题B.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题C.若0x 使得函数()f x 的导函数()00f x '=，则0x 为函数()f x 的极值点；D.命题“0x ∃∈R ，使得20010x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++<”【答案】B 【解析】【分析】根据复合命题的真假判断A ，根据四种命题的关系判断B ，根据极值的定义判断C ，根据命题的否定判断D ．【详解】对于A ：命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 至少有一个假命题，故A 错误；对于B ：命题“若x y =，则sin sin x y =”显然为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，故B 正确；对于C ：若0x 使得函数()f x 的导函数()00f x '=，如果两侧的导函数的符号相反，则0x 为函数()f x 的极值点；否则，0x 不是函数()f x 的极值点，故C 错误；对于D ：命题“存在0R x ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是：“对任意R x ∀∈，均有210x x ++≥”．故D错误.故选：B ．6.已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（）A.2y x =±B.52y x =±C.12y x =±D.y =【答案】C 【解析】【分析】根据离心率求出ba，再根据双曲线的渐近线方程即可得解.【详解】设双曲线的方程为()222210,0y x a b a b -=>>，因为c a ==224b a =，则2b a =，所以渐近线方程为12a y x xb =±=±.故选：C .7.把一个铁制的底面半径为4，侧面积为16π3的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为（）A.16πB.12πC.24πD.9π【答案】A 【解析】【分析】先求出圆柱的高，由圆柱和球的体积相等即可得出球的半径，再利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】设实心圆柱的高为h ，因为实心圆柱的底面半径为4，侧面积为162π4π3h ⨯⨯=，解得23h =，则圆柱的体积为2232π4π33V =⨯⨯=，设球的半径为R ，则3432ππ33R =，解得2R =，因此，该铁球的表面积为224π4π216πR =⨯=.故选：A.8.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A.25B.35C.12D.13【答案】A 【解析】【分析】利用树图列举基本事件总数，再找出第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数，代入古典概型的公式求解.【详解】从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，故所求概率102255P ==.故选：A.9.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足()()20f x f x ++=，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则112f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A.1- B.1- C.1 D.1-【答案】C 【解析】【分析】结合已知条件()()20f x f x ++=，可以得到函数的周期性，再结合奇偶性可以将112缩小到[]0,1的区间内，从而求出函数值【详解】因为()()20f x f x ++=，所以()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()y f x =是周期为4的函数，所以11113142222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()y f x =是奇函数，所以11122f f ⎛⎫⎛⎫--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故选：C10.已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A.72B.132C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.11.设38a =，0.5log 0.2b =，4log 24c =，则（）A.a c b <<B.a b c<< C.b a c<< D.<<b c a【答案】A 【解析】【分析】利用指对互算、对数的运算性质和对数函数的单调性即可比较大小.【详解】33log 8log 92a =<=，20.52442log 5log 0.2log 5log 25log 24log 2b c ====>=，而44log 24log 162>=，则a c b <<，故选：A.12.过点()1,2可作三条直线与曲线3()3f x x x a =-+相切，则实数a 的取值范围为（）A.()1,2B.()2,3 C.()3,4 D.()4,5【答案】D 【解析】【分析】求导得到导函数，设切点为()3000,3x x x a -+，得到切线方程，代入点坐标得到3200235a x x =-+，设32()235g x x x =-+，计算函数的极值，得到答案.【详解】3()3f x x x a =-+，2()33f x x '=-，设切点为()3000,3x x x a -+，则切线方程为()())320000333(y x x a x x x --+=--，切线过点(1,2)，()()()32000023331x x a x x --+=--，整理得到3200235a x x =-+，方程有三个不等根.令32()235g x x x =-+，则2()66g x x x '=-，令()0g x '=，则0x =或1x =，当0x <或1x >时，()0g x '>，函数单调递增；当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，极大值(0)5g =，极小值4(1)g =，函数y a =与3200235y x x =-+有三个交点，则45a <<，a 的取值范围为(4,5).故选：D二、填空题13.若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280+---=x y x y 的周长，则12a b+的最小值为．【答案】【解析】【详解】由题意()1,0a b a b +=>，所以()12122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭当且仅当1,2a b ==时等号成立.14.已知直线1:10l x my -+=过定点A ，直线2:30l mx y m +-+=过定点B ，1l 与2l 相交于点P ，则22PA PB +=________．【答案】13【解析】【分析】根据题意求点,A B 的坐标，再结合垂直关系运算求解.【详解】对于直线1:10l x my -+=，即()10x my +-=，令0y =，则10x +=，则10x y =-⎧⎨=⎩，可得直线1l 过定点()1,0A -，对于直线2:30l mx y m +-+=，即()()130m x y -++=，令10x -=，则30y +=，则13x y =⎧⎨=-⎩，可得直线2l 过定点()1,3B -，因为()110m m ⨯+-⨯=，则12l l ⊥，即PA PB ⊥，所以()()22222113013PA PB AB ⎡⎤+==++--=⎣⎦.故答案为：13.15.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：cm ）服从正态分布()2100,10N ，若测量10000株水稻，株高在()80,90的约有_______．（若()2~,X N μσ，()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈）【答案】1359株【解析】【分析】由正态分布及其对称性求得(8090)P X ≤≤，即可求得结果.【详解】由题意，100,10μσ==，由正态分布的对称性可得[]10.95450.6827(8090)(1002010020)(1001010010)0.139522P X P X P X -≤≤=⋅-≤≤+--≤≤+≈=故株高在()80,90的约有10000(8090)1395P X ⋅≤≤=株.故答案为：1359株.16.现有如下命题：①若()3nx n*⎛∈ ⎝N 的展开式中含有常数项，且n 的最小值为10；②1π2x -=⎰；③若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取一个，取后放回，连续取三次，设随机变量ζ表示取出白球的次数，则()2E ζ=；④若定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=-+，则()f x 的最小正周期为8．则正确论断有__________．（填写序号）【答案】②③【解析】【分析】①根据二项式的通项公式得到通项为523rn r n r nx--C ，根据展开式中含有常数项得到52n r =，即可得到n 的最小值；②根据积分的几何意义计算即可；③根据二项分布求期望的公式计算即可；④根据()()22f x f x +=-+得到()()4f x f x +=即可得到4是()f x 的一个周期，即8不是最小正周期.【详解】①二项式3nx⎛+ ⎝的通项为()5233rr n n r r r n r n n x x---=C C ，因为展开式中含有常数项，所以502n r -=，即52n r =，所以当2r =时，n 最小，最小为5，故①错；②函数y =根据1x -⎰的几何意义可得21122x -⋅==⎰ππ，故②正确；③由题意得2~3,3B ζ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2323E ζ=⨯=，故③正确；④由()()22f x f x +=-+可得()()()()42222f x f x f x f x +=-++=-+=，所以4是()f x 的一个周期，则()f x 的最小正周期不是8，故④错.故答案为：②③.三、解答题17.为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，已知所有学生的成绩均位于区间[]60,100，从中随机抽取1000名学生的竞赛成绩作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图．（1）若此次活动中获奖的学生占参赛总人数30%，试估计获奖分数线；（2）采用比例分配分层随机抽样的方法，从成绩不低于80的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，记成绩在[]90,100的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）82（2）分布列见解析，47【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图先判断出获奖的分数线所在的区间，设为x ，则成绩在[],100x 的概率为0.3，列出方程即可得解；（2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，从而可得分布列，再根据期望的计算公式计算期望即可.【小问1详解】根据直方图可知，成绩在[]80,100的频率为()0.0250.010100.35+⨯=，大于0.3，成绩[]90,100的频率为0.1，小于0.2，因此获奖的分数线应该介于[)80,90之间，设分数线为[)80,90x ∈，使得成绩在[],100x 的概率为0.3，即()900.0250.010100.3x -⨯+⨯=，可得82x =，所以获奖分数线划定为82；【小问2详解】成绩在[)80,90的人数有0.025750.0250.010⨯=+人，成绩在[]90,100的人数为752-=人，则ξ的可能取值为0，1，2，205227C C 10(0)C 21P ξ===，115227C C 101C 21()P ξ===，025227C C 1(2)C 21P ξ===，ξ的分布列为ξ012P10211021121∴数学期望1010140122121217()E ξ=⨯+⨯+⨯=．18.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，E 为AB 的中点，,1,3,13PD CE AE PD PC ⊥===（1）证明：AD ⊥平面PCD.（2）求DA 与平面PCE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）61【解析】【分析】（1）通过证明PD AD ⊥，AD CD ⊥即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量方法求解线面角的正弦值.【详解】（1）证明：因为E 为AB 的中点，1AE =，所以2CD AB ==，所以222CD PD PC +=，从而PD CD ⊥.又PD CE ⊥，CD CE C = ，所以PD⊥底面ABCD ，所以PD AD ⊥.因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥.又CD PD D = ，所以AD ⊥平面PCD.（2）解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()2,0,0A ，()0,0,3P ，()2,1,0E ，()0,2,0C ，所以()2,1,3PE =- ，()2,1,0EC =- ，()2,0,0DA =.设平面PCE 的法向量为(),,n x y z =，则0PE n EC n ⋅=⋅= ，即23020x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令3x =，得()3,6,4n = .cos ,61||||n DA n DA n DA ⋅==，故DA 与平面PCE【点睛】此题考查证明线面垂直，求直线与平面所成角的正弦值，关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理，熟记向量法求线面角的方法.19.已知函数()22ln f x x ax b =++在1x =处取得极值1.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在1,e e -⎡⎤⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）1a =-，2b =；（2）最大值为1，最小值为24e -【解析】【分析】（1）求导后，根据()10f '=，()11f =，可得1a =-，2b =，再检验所求值即可；（2）根据当x 在1,e e -⎡⎤⎣⎦上变化时，()f x ，()f x '的变化情况表可得结果.【详解】（1）因为()22ln f x x ax b =++，所以()22f x ax x'=+.依题意得()10f '=，()11f =，即2201a a b +=⎧⎨+=⎩.解得1a =-，2b =，经检验，1a =-，2b =符合题意.所以1a =-，2b =（2）由（1）可知()22ln 2f x x x =-+，所以()()()21122x x f x x x x+-'=-=.令()0f x '=，得=1x -，1x =.当x 在1,e e -⎡⎤⎣⎦上变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表：x1e -()1,1e -1()1,e e()f x '＋0－()f x 2e --单调递增极大值1单调递减24e -又224e e --<-，所以()f x 在1,e e -⎡⎤⎣⎦上的最大值为1，最小值为24e -.【点睛】本题考查了根据函数的极值求参数，要注意检验所求参数是否符合题意，考查了利用导数求函数的最大、最小值，属于基础题.20.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()2,0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD垂直于x 轴时，5MF =．（1）求C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一定点Q ，使得_________？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．从①点N 关于x 轴的对称点N '与M ，Q 三点共线；②x 轴平分MQN ∠这两个条件中选一个，补充在题目中“__________”处并作答．注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】（1）24y x =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）当直线MD 垂直于x 轴时，点M 的横坐标为2p ，根据抛物线的定义，252pMF p =+=，则C 的方程可求；（2）若选①，设直线MN 的方程为：1x my =+，与抛物线方程联立，结合韦达定理求得直线MN '的斜率，得直线MN '的方程即可判断；若选②，设直线MN 的方程为：1x my =+，与抛物线方程联立，设(),0Q t ，由题意0MQ NQ k k +=，结合韦达定理得()410m t +=对任意的R m ∈恒成立，则1t =-，得出答案．【小问1详解】当直线MD 垂直于x 轴时，点M 的横坐标为2p 根据抛物线的定义，252pMF p =+=，2p ∴=则抛物线方程为：24y x =．【小问2详解】若选①，若直线MN y ⊥轴，则该直线与曲线C 只有一个交点，不合题意，()1,0F ，设直线MN 的方程为：1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，()22,N x y '-联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，2Δ16160m =+>恒成立得124y y m +=，124y y =-直线MN '的斜率()1212121212111444444MN y y y m m k x x x x m y y y y y '+=====---++∴直线MN '的方程为()1112144y y y x x y -=-+由2114y x =，化简得()121414y y x y =++∴直线MN '过定点()1,0-，∴存在()1,0Q -若选②，若直线MN y ⊥轴，则该直线与曲线C 只有一个交点，不合题意，()1,0F ，设直线MN 的方程为：1x my =+设()11,M x y ，()22,N x y ，设(),0Q t 联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，2Δ16160m =+>恒成立得124y y m +=，124y y =-x 轴平分MQN∠1212121211MQ NQ y y y y k k x t x t my t my t∴+=+=+--+-+-()()()()()()()122112*********(1)1111y my t y my t my y t y y my t my t my t my t +-++-+-+==+-+-+-+-()()1284(1)11m m t my t my t -+-==+-+-84(1)0m m t ∴-+-=，即()410m t +=对任意的R m ∈恒成立，则1t =-．∴存在()1,0Q -．21.已知函数()ln x af x x x+=-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当0x >时，1ln(1)11x x x+<<+【答案】（1）当0a ≥时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当a<0时，函数()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后，分类讨论a ，根据导数的符号可得结果；（2）将所证不等式等价变形后，利用（1）中的单调性可证1ln(1)1x x x+<+成立；作差构造函数，利用导数可证ln(1)1x x+<成立.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，因为221()()x x a x af x x x x-++'=-=，当0a ≥时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当a<0时，由()0f x '<得0x a <<-，由()0f x '>得x a >-，所以函数()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增.【小问2详解】①因为0x >，不等式1ln(1)1x x x +<+等价于ln(1)1x x x +>+，令1t x =+，则1x t =-，由0x >，得1t >，所以不等式ln(1)1x x x +>+（0x >）等价于：1ln t t t->，即：1ln 0t t t -->（1t >），由（1）得：函数1()ln t g t t t-=-在()1,+∞上单调递增，所以()(1)0g t g >=，即：ln(1)1xx x +>+．②因为0x >，不等式ln(1)1x x+<等价于ln(1)x x +<，令()ln(1)h x x x =+-，则1()111x h x x x -=-=++'，所以()0h x '<，所以函数()ln(1)h x x x =+-在()0,∞+上为减函数，所以()(0)0h x h <=，即ln(1)x x +<．由①②得：0x >时，1ln(1)11x x x+<<+.【点睛】关键点睛：第（2）问将所证不等式进行等价变形，再作差构造函数，利用导数证明是本题解题关键.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x C y ϕϕ=⎧⎨=-+⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）写出曲线1C 的极坐标方程，曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(2,0)M ，射线0,04πθααρ⎛⎫=-<<≥ ⎪⎝⎭与曲线1C 、2C 分别交于A 、B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求线段AB 的长．【答案】（1）2sin ρθ=-，22(1)1x y -+=（2）5【解析】【分析】（1）消去参数得1C 直角坐标方程，由公式法求解（2）联立方程得,A B 的极坐标，由极坐标的概念与几何关系求解【小问1详解】221:(1)1C x y ++=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得：1C 的极坐标方程为2sin ρθ=-曲线2C ：由2cos ρθ=得22cos ρρθ=∴222x y x+=∴曲线2C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=【小问2详解】将θα=代入曲线1C 、曲线2C 的极坐标方程可得||2sin ,||2cos A B OA OB ραρα==-==∵04πα-<<∴由题意得||||||B A AB OB OA ρρ=-=-2cos 2sin αα=+∵OM 为曲线2C 的直径∴2OBM π∠=，又4AMB π∠=，∴4BAM AMB π∠=∠=∴||||2sin 2sin()2sin AB MB BOM αα==∠=-=-∴2cos 2sin 2sin ααα+=-，即1tan 2α=-∵04πα-<<∴sin α=∴25||||2sin 5AB MB α==-=23.设()34f x x x =-+-．（1）解不等式()2f x ≤；（2）已知实数x 、y 、z 满足222236(0)x y z a a ++=>，且x y z ++的最大值是1，求a 的值．【答案】（1）{|2.5 4.5}x x ≤≤（2）1【解析】【分析】（1）分类讨论，脱掉绝对值符号，解不等式可得答案；（2）利用柯西不等式即可求得答案.【小问1详解】当3x <时，不等式即342x x -+-+≤，解得 2.5 2.53,x x ≥∴≤<；当34x ≤≤时，不等式即342x x --+≤恒成立，则34x ≤≤；当>4x 时，不等式即342x x -+-≤，解得.54 4.54,x x ∴<≤≤；综合上述，不等式的解集为{|2.5 4.5}x x ≤≤.【小问2详解】由柯西不等式可得：)))()2222222x y z ⎛⎡⎤++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦≥++ ⎢⎥⎣⎦⎝，因为()2222360x y z a a ++=>，故()2a x y z ≥++，而x y z ++的最大值是1，故1a =，当且仅当2361x y z ===时等号成立，故1a =.。

河南省2023_2024高三数学上学期开学考试试题

河南省2023-2024高三上学期开学考试理科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名．准考证号码填－在答题卡上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题；本淫共 12 小题，每小题5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I. 如果 M={l, 3, 4}, N={2, 4, 5}，那么 MnN为A.(j)B.{I, 3}C. {4}D. {2, 5} 2．已知集合M=｛呻l=i髯n eN}，其中1为虚数单位，则下列元素属千集合M的是（）A. (1-i)(l+i) B 扫C.亡D.(1-i)'3.{四元玉鉴》是一部辉煌的数学名著，是我国元朝著名数学家朱世杰的代表作，祧视为中国筹算系统发展的顶峰，有些成果比欧泭早了400多年．其中有一首诗：｀我有一壶酒，携看游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了半壶酒，借问此壶中，当原多少酒？“用程序框图表达如图所示，即最终输出的X=－，则开始输入的X值为（）7_8A15 B.-1631-32c D.63644．用系统抽样法从160名学生中抽取容噩为20的样本，将160名学生从!~160编号．按编号顺序平均分成20组(1~8号，9~16号，，153~!60号），若第16组抽出的号码为125，则第1组中按此抽签方法确定的号码是A.7B.5C.4D.35.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（、，＇二I}lI 正视图二Tk3l＼－卜－i侧视图A.I3-2B C.39-2D＄ l6.已知si n x +c o s x =—，则t an x+.,..:...= ( 2· · ·-tanx 、，＇A.-6B .-7C.-8D.-97.如图，在直三棱柱ABD -A ,B ,D ，中，AD=BD＝儿4,,L D.4B=45°,P 为B ,D ，的中点，则直线BP与A D ，所成的角余弦值为（、，＇D ,A ,,, 八、''、rl'，，， ,、，， ', : ＼， '，＇、,，,＇,` ，＇'，:D、`＇，Z'，入、、、＼',,＇｀、＇、，A'，'，、、心i B1B ,亟5AoB而54“心8.已知a＝茹，b=l o g 尸，C =(tan分，则（））至3c 立3D、，＇A.a> b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a >b9.为有效防范新冠病毒蔓延，国内将有新型冠状肺炎确诊病例地区及其周边划分为封控区管控区防范区为支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出医护人员共5人，分别派往三个区，每区至少一人，甲、乙主动申请前往封控区或管控区，且甲、乙恰好分在同一个区，则不同的安排方法有（）A .12和�B .18和�C .24和�D .30和h10.已知F 为双曲线兰－乌＝l的一个焦点，B为双曲线虚轴的一个端点，以坐标原点ab0为圆心，半焦距为直径的圆恰与直线BF相切，则双曲线的离心率为（）A顷B../2C.-../3D. 2泊5霄11.已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 一，cos 一），则角x 的最小正值为（）竺6山一6．．AC 竺3访＿3．．B D 12．已知l 为挹物线x 2=4y 的准线，挹物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为(4,1),则I MP l +d 的最小值是（）A.扣B. 4C. 2D.I＋扣二、瑜笠趴本淫共4小爰，每小爰5分，共20分13.设向量�=(1,2)，b=(m,4)，若�11i.,则Ill =14.设变滋x,y 满足约束条件『笃勹＿I,则：叶的最小值为x :;;:115.已知函数.f(x )=x ,+x+I,若对任意的x 自R,都有f(x 2-a )+fl..甸＞2,则实数a的取值范围是16.设｛动是等差数列，若a m =n ,a ,=m , m¢n,则a 舟妇．＿．三、解答题；本湮共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或溶算步寝．17.已知斗BC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b, c,且bsin2A =asinB (I )求A ;(2)若a =2，斗BC 的面积为＄，求斗BC 的周长18.某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）(/)应收集多少位男生样本数据？(I/)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：［0,2], (2,4]，（4,6], (6,8), (8,10), (10,12)，试估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率；塾0.1501．组距·.[臼|::·.·:.·.-,0. 02 50 2 4 6 8 10 12时问（小时）(m)在样本数据中，有165位男生的每周平均体育运动时间超过4个小时请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有99％的把摒认为＂该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”男生女士总计每周平均体育运动时间不超过4小时每周平均体育运动时间超过4小时总计附：K2=汛ad-比)2(a+b讹＋df.a+cXb+d)P(K2江）0.10 0.05 0.010 0.005k 2.706 3.841 6.635 7.879冗19.如图，在底面ABCD是菱形的直四棱柱ABCD-/4且q.oi中，LDAB=:;.,AB=2,3从＝2../3,E、F、G、H、N分别是棱CC,、C I D,、DD,、CD、BC的中点，点P在四边形EFGH内部（包含边界）运动c -A I勹B(I观有如下三个条件：条件(j)GE n FH=P ;条件＠PeFH ;条件＠云；＝"请从上述三个条件中选择一个条件，能使P N I／平面BB ,D ,D成立，并写出证明过程；（注：多次选择分别证明，只按第一次选择计分）(2沫平面FGN与平面ADD ,A,夹角的余弦值20.已知椭圆C ：兰＋乌＝I (a > h > 0)其左、右焦点分别为月巳，0)、反(c ,O )，且a 、a bb 、C成等比数列．(I)若椭圆C的上顶点、右顶点分别为A 、B ,求证：乙凡AB=90°;嘘P 为椭圆C上的任意一点，是否存在过点乓、P 的直线l ，使l 与Y 轴的交点R 满足莎＝－2际千？若存在，求直线l 的斜率k ;若不存在，请说明理由．21.已知函数/(x )=�I 而－2x +I+ln (x + I Xm.. l )(I 沫曲线C :y=f(x)在点P(O ,I )处的切线方程；(2沫证：函数j (x )存在单调递减区间[a ,b ]，并求出单调递减区间的长度t=b -a 的取值范围22.在平面直角坐标系叨中，曲线G 的参数方程为{x =l+c osa （动参数），以坐标原y=sma点O 为极点，X 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线G 上的动点，点B 在线段Q 4的延长线上，且满足10A I -I OB l=8,点B 的轨迹为C ,(I)求曲线c;'c ,的极坐标方程；(2)设点M 的极坐标为(2号），求t.ABM 面积的最小值．23.已知函数f(x )=x -1111,me R(1)m=l 时，求不等式f (x-2) +f (2x) >4的解集；(2)若t<O,求证：f(饮）2t/(入)+/（加）．理科数学参考答案I.C2.B计算出集合M,在利用复数的四则运算化简各选项中的复数，即可得出合适的选项当keN 时，产＝I,i ”廿＝i ,i H +l =i 2 =-1, i H +l =i " =--i ,则M ={i ,-1，一I ，l },1-i _ (1-i )'_ -2i (1-i )(l +i )=l +I =2� M,—=＝—=--i e M ,l+i (l +i )(l-i ) 2 i _ i (l+i ) _ I . I-－-·= 1-i (1-i )(l+i ) 2 2 =-�+�i�M , (!-i )'=-2i �M ,故选：B .3.C 根据循环体a 川廿＝2a ,-1,转化为a ,廿I-1=2(a ,-1)，再由输出a ,＝－求解；2由题意得：循环是已知a .廿＝2a ,-1, ， a `求，1-2＝a , 由a 凡廿＝2a 舅－l ,得a 凡廿－1=2(a 舅－1),所以数列包－l ｝是以a ,-1为首项，以2为公比的等比数列，所以a .-l =(a,-1)2戎a'I 又a ,=－，2所以a ,-I= (a, -1)2'= -:'.; 2'解得q 31＝32 故选：C4.B用系统抽样知，每段中有8人，第16段应为从121到128这8个号码，125是其中的第5个号码，所以第一段中祧确定的号码是5考点：系统抽样5.B分析三视图可知，该几何体为三棱锥，再利用体积公式求解即可解：由三视图可知该几何体为三棱锥，直观图如图，故体积为V =�x�x3x .J3 x .,/3 = � 3 2.. 2 故选：B .顷.!----------------3本题主要考查了根据三视图求解三棱锥的体积问题属千基础题型6.C＄解析：将等式sinx+cosx＝一－两边平方可求得si n x c os x的值，利用切化弦可求得2t an ”-—的值．tanx.jj =•'"'·'-........,, _,. "·'-··-··· -3 1曰l由sinx +cosx=—，可得(sin x+cos x )'=1+2sin x cos x =�，何sinxco s x = -i,24因此I sinx cosx sin 'x+cos'x I , tan x +—=—+—= =-8． tanx cosx sinx sin x cosx sinx c osx故选：C .方法点睛：应用公式时注意方程思想的应用，对千sin (l(,＋cos(l(,、sina-cos a 、sinacosa 这三个式子，利用(si n "土cos 吩'=1土2sin a cos ”可以知一求二．7.B取BD中点E,连接ED1,AE ,推导出LA D ,E 是直线PB与A D ，所成的角，利用余弦定理求出co s L A D ,E 即可．解：取BD中点E,连接ED1,AE,D IB`I \｀、｀ `I I 、E 、、｀�｀｀｀｀｀｀丈A／二，，A IB l 直三棱柱ABD-A ,B ,D ，中，A D =BD ＝从，乙D.4B =45°'P为B ,D ，的中点，.P L\II B E , PD ,=B E ，四边形B ED ,P 是平行四边形，PB I ID ,E , :. LA D ,E 是直线PB 与AD ，所成的角（或所成角的补角），令AD =BD =AA , =2,则L ABD =45°,且AD .l DE ,AE ＝三=..[5,AD ，＝扛�=2./2,殴＝J窟＋DD ,：=§,..cosLABE A矿＋D ,E '-A E '2A D , D ,E而＿）直线PB与AD ，所成的角的余弦值为--;:-·而）故选：B .8.B”“因为t an:;.<tan � =l 再根据指数函数的单调性判断54 c=(tanf r <(t an 订＝l a =3 4拉＞2°=l ，根据对数函数单调性比较b =l og ,,'.-与1的大小51\ 51.)因为正切函数y = t an x 在(o ,i )上单调递增，故t an �<tan 巴＝I,2)4 由千函数)1=2人在R 内单调递增，函数y =(tan �)在R 内单调递减，）所以a ＝拉＝2i>2°=i '“心冗。

湖北省部分学校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题(含答案)

湖北省部分学校2024-2025学年高三上学期开学考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等信息填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.择如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合，则（）A. B. C. D. 2. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（）A B. C. 24 D. 483. 的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中项的系数为（）A. 2B. 8C. D. -174. 已知，则（）A.B.C. D.5. 设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D...{}21,2Z 3M x x N x x ⎧⎫=-<≤=∈⎨⎬⎩⎭M N ⋂={}0,111,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭11,1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭11,0,,122⎧⎫-⎨⎬⎩⎭O A B '''△OAB V x 'y '26O B O D '=''='8O C ''=OABV232(2)()x n x x--3x 5-()()()1sin 2cos ,tan 2αβαβαβ-=+-=tan tan αβ-=3553456520.4a =0.4log 3b =0.34c =a b c a b c<<b a c<<c b a<<c a b<<6. 谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle ）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3．．．．．，若继续这样操作下去后得到图2024，则从图2024中挖去的白色三角形个数是（）A. B. C D.7. 已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全选对的得6分，选对但不全的得部分分，选错不得分.9. 设是非零复数，则下列说法正确是（）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则D. 若，则10. 某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A 表示“取出球的编号为奇数”，事件B 表示“取出球的编号为偶数”，事件C 表示“取出球的编号大于5”，事件D 表示“取出球的编号小于5”，则（）A. 事件A 与事件C 不互斥B. 事件A 与事件B 互为对立事件.的20233202432023312-2024312-C 22(2)x y a +-=2a >y x =C ()cos f x x =()g x ()f x 6π1(0)ωω>()g x 3(,22ππω4(0,]948[,]9948(,998(0,]9z z z R +∈z R ∈z z =z z =0z z +=i ||z z =zz z=1z =18:C. 事件B 与事件C 互斥D. 事件C 与事件D 互为对立事件11. 已知正方体的棱长为2，为的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列命题正确的有（）A. 若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为B. 若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线C. 若与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆D. 若与所成的角为，则的轨迹为双曲线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量、满足，，与的夹角为，若，则________.13. 椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为______.14. 已知函数的定义域为，且满足，，，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在中，角所对的边分别为，且满足1111ABCD A B C D -M 1DD N ABCD 2MN =MN 34πN 1BB DC N MN ABCD 3πN 1D N AB 3πN a b 5a = 4b = a b 120()()2ka b a b -⊥+ k =()222210x y a b a b+=>>12,F F 2F x ,P Q 1F PQV ()f x R ()()()421f x f x f ++=()()84f x f x -=-()01f =20251()k f k ==∑ABC V ,,A B C ,,a b c（1）求角B 的值；（2）若且，求取值范围.16. 已知双曲线与有相同的焦点，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于两点，且的中点坐标为，求直线的斜率.17. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P ，Q 分别在棱、上.（1）若P 是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.18. 已知函数.（1）当时，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（ⅱ）求证：，.（2）若在上恰有一个极值点，求的取值范围.19. 中国女排是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一，曾是世界上第一个“五连冠”得主，并十度成为世界冠军，2023年在杭州第19届亚运会上女排再度获得冠军．她们那种团结协作、顽强拼搏的精神极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在新征程上奋进提供了强大的精神力量．如今，女排精神广为传颂，家喻户晓，各行各业的人们在女排精神的激励下，为中华民族的腾飞顽强拼搏．某中学也因此的ππcos 2cos 22cos cos .66A B A A ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b =b a ≤2ca -()2222:10,0x y C a b a b-=>>22152x y +=P C l C ,A B AB ()1,2l 1111ABCD A B C D -14A A =1A A ⊥ABCD 1DD BC 1DD 1AB PQ ⊥//PQ 11ABB A P QD A --49ADPQ ()()e 1sin xf x m x m =--∈R 1m =()y f x =()()0,0f 0,2πx ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭()0f x >()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭m掀起了排球运动的热潮，在一次排球训练课上，体育老师安排4人一组进行传接球训练，其中甲、乙、丙、丁四人刚好围成一个矩形（如图），已知当某人控球时，传给其相邻同学的概率为，传给对角线上的同学的概率为，由甲开始传球．（1）求第3次传球是由乙传给甲的概率；（2）求第次传球后排球传到丙手中的概率；（3）若随机变量服从两点分布，且，，，…，，则，记前次（即从第1次到第次传球）中排球传到乙手中的次数为，求．2515n i X ()()110i i i P X P X q ==-==1i =2n 11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑n n Y ()E Y湖北省部分学校2024-2025学年高三上学期开学考试数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全选对的得6分，选对但不全的得部分分，选错不得分.【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】##【13题答案】【14题答案】【答案】2024四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）或（2）【16题答案】【答案】（1）（2）1【17题答案】【答案】（1）证明略（2）【18题答案】【答案】（1）（ⅰ）切线方程为；（ⅱ）证明略（2）【19题答案】【答案】（1）（2）（3）450.81-π32π32212y x -=83l 0y =()1,+∞812514-11132545nn⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4n +*331,325nn ⎡⎤⎛⎫--∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦N。

陕西省西安市铁一中高三下学期开学考试数学(理)试卷(含答案)

理科数学试题（满分：150分，考试时间：120分钟）第一部分（选择题共60分）一、选择题(共12个小题,每小题5分,计60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U=R ，{}ln(1x)M x y ==- ，{}(x 2)21x N x -=<，则()N U C M =A ．{x|x ≥l}B ．{x|1≤x <2}C ．{x|0≤x <l}D ．{x| O <x ≤l}2.复数1cos sin z x i x =-，2sin cos z x i x =-，则21z z • A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.如果输出的函数值在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2141，内，则输入的实数x 的取值范围是A.[]23--，B.[]12--，C.[]01，-D.[]10， 4.某长方体的三视图如右图，长度为10的体对角线在正视图中的投影长度为6，在侧视图中的投影长度为5，则该长方体的全面积为A.253+B.456+C.6D.105.已知*3()211n a n N n =∈-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使0n S >的n 的最小值为A.13B.12C.11D.106.过抛物线x y 42=焦点的条直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 横坐标之和等于5，则这样的直线A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在7.函数sin xy x=，(0)(0,)x ππ∈-，的图像可能是下列图形中的8. 6名同学安排到3个社区A 、B 、C 参加服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A 社区，乙和丙同学均不能到C 社区，则不同的安排方法种数为A ．12B ．9C ．6D ．59.已知双曲线221(00)mx ny m n -=>>、的离心率为2，则椭圆122=+ny mx 的离心率为A.33B.332 C.36D.31正视图侧视图俯视图10.已知函数f(x)＝ln(1＋9x 2－3x)＋1，则f(lg2)＋f(lg 12)＝A ．－ 1B ．0C ．1D ．211．设圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →＝3AD →，E 、F 为另一直径的两个端点，则DE →·DF →＝A ．－8B ．－6C ．－5D ．－312.定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()f x f x tanx '<成立，则A ．3()2()43f f ππ> B ．(1)2()sin16f f π>⋅C ．2()()64f f ππ>D ．3()()63f f ππ>第二部分（非选择题共90分）二、填空题(共4个小题，每小题5分，计20分)13.在平面直角坐标系中，不等式组0,40,x y x y x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩(a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为 .14.已知向量),10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===且A,B,C 三点共线，则k= . 15.在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝3，BC ＝2，AC ＝7，则sin ABD ∠等于 . 16.圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是_______cm.三、解答题（共6小题，计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和构成数列{}n b ，数列{}n b 的前n 项和构成数列{}n c ．若()2134n n b n =-+，求（Ⅰ）数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n c 的通项公式．18．（本小题满分12分）如图,已知四边形ABCD 是矩形,AB =2BC =2,三角形PAB 是正三角形,且平面ABCD ⊥平面PCD . (Ⅰ)若O 是CD 的中点,证明：BO ⊥P A ； (Ⅱ)求平面P AB 与平面P AD 夹角的余弦值． 19．（本小题满分12分）已知函数2()ln (0,R)f x ax bx x a b =+->∈ ．（Ⅰ）设1,1a b ==-，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意0,()(1)x f x f >≥恒成立．试比较ln a 与2b -的大小． 20．（本小题满分12分）食品安全是关乎到人民群众生命的大事。

福建高三上学期开学考试理科数学试卷

福建省连城高三上学期开学考试数学（理）试卷(全卷满分150分，考试时间120分钟．)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1．设i 是虚数单位，则2(1)ii--等于（）A 、0B 、4C 、2D 2.运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．由曲线12-=x y ，直线0=x ，2=x 和x 轴围成的封闭图形的面积（如图）可表示为（）A ．⎰-22)1(dx xB ．⎰-202|1|dx xC ．|)1(|22⎰-dx xD ．122201(1)(1)x dx x dx -+-⎰⎰4．已知直线l ⊥平面α，直线m β平面⊂，给出下列命题： ①α∥;l m β⇒⊥ ②l ⇒⊥βα∥m ; ③l ∥m ;αβ⇒⊥ ④α⇒⊥m l ∥;β其中正确的命题是（） A ．①②③ B．②③④ C．②④ D ．①③5.定义区间[,]a b 的长度为b a -.若,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数 ()()(0,||)f x sin x ωϕωϕπ=+><一个长度最大的单调递减区间，则( ) A ．8ω=,2πϕ=B ．8ω=,2πϕ=-C ．4ω=,2πϕ=D ．4ω=,2πϕ=-6．如图所示是一个几何体的三视图，若该几何体的体积为12，则主视图中三角形的高x 的值为 ( )A.12B.34C. 1D.327．已知A ，B ，C 三点的坐标分别是(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C αα，3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若1AC BC ⋅=-，则21tan 2sin sin 2ααα++的值为（） A ．59-B ．95-C ．2D ．38.抛物线24y x =的焦点为F ,点(,)P x y 为该抛物线上的动点,又点(1,0)A -,则||||PF PA 的最小值是（） A ．12B．2C．2D．39．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是( ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞10.设()x f 是定义在R 上的偶函数,且当0≥x 时,()xf x e =.若对任意的[,1]x a a ∈+,不等式()()2f x a f x +≥恒成立,则实数a 的最大值是(）A.32-B.23-C.34- D.2二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．已知cos ,0,4()()_____.(1)1,0.3x x f x f f x x π⎧==⎨-+>⎩≤则12. 已知O 是坐标原点，点A (1,0)，若点M (,)x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则||OA OM +的最小值是 .14．已知点P 为ABC ∆的外心，且||=4，则AP AC ∙等于． 15.对于函数()f x ，若存在区间[],M a b =，使得{}|(),y y f x x M M =∈=，则称区间M 为函数()f x 的一个“好区间”．给出下列4个函数：①()sin f x x =；②()21x f x =-；③3()3f x x x =-；④()lg 1f x x =+．其中存在“好区间”的函数是．（填入所有满足条件函数的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分13分）已知函数2()2sin cos f x x x x ωωω=+0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间；（Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象．若()y g x = 在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值． 17.（本小题满分13分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 ．(I) 求这次铅球测试成绩合格的人数；(II) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X 表示两人中成绩不合格．．．的人数，求X 的分布列及数学期望； (III) 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率18．(本题满分13分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，2=BC ，21=BC ，21=CC ，ABC ∆是以BC 为底边的等腰三角形，平面⊥ABC 平面11B BCC ，F E ,分别为棱AB 、1CC 的中点（1）求证：//EF 平面11BC A ；（2）若A 到面1BCC 的距离为整数，且EF 与平面11A ACCB AAC --1的余弦值．19．（本题满分13分）设点)0,(1c F -)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a y ax C 的左、右焦点,P 为椭圆C 上任意一点,且21PF PF ⋅的最小值为0. （I ）求椭圆C 的方程;（II ）设直线12:,:l y kx m l y kx n =+=+（直线1l 、2l 不重合）,若1l 、2l 均与椭圆C 相切，试探究在x 轴上是否存在定点Q ,使点Q 到1l 、2l 的距离之积恒1? 若存在,请求出点Q 坐标;若不存在,请说明理由.20．（本题满分14分）已知函数2()(2)ln .f x x a x a x =-++ (Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 的极小值；(Ⅱ)当1a =-时，过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，设切点为(,)P m n ，求实数m 的值；(Ⅲ)设定义在D 上的函数()y g x =在点00(,)P x y 处的切线方程为:(),l y h x = 当0x x ≠时，若()()0g x h x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y g x =的“转点”．当8a =时，试问函数()y f x =是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由．21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换如图，单位正方形区域OABC 在二阶矩阵M 的作用下变成平行四边形11OAB C 区域．（Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）求2M ，并判断2M 是否存在逆矩阵？若存在，求出它的逆矩阵．（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=，直线l 的参数方程为cos ,(1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数，πα<≤0）．（Ⅰ）化曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 经过点)0,1(，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲设不等式21|x |->的解集与关于x 的不等式20x ax b -+>的解集相同．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求函数()f x =x 的值.参考答案及评分标准一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.D2.A3.B4.D5. D6. C7. B8.B9.B 10.C 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11.3212．223 13 14. 8 15. ②③④三、解答题(本大题共6小题，共80分) 16．解：（Ⅰ）由题意得()f x =22sin cos x x x ωωω+sin 222sin(2)3x x x πωωω==-由周期为π，得1ω=. 得()2sin(2)3f x x π=-由正弦函数的单调增区间得222232k x k πππππ-≤-≤+，得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以函数)(x f 的单调增区间是5[,],Z 1212k k k ππππ-+∈ …………6分（Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到2sin 21y x =+的图象，所以()2sin 21g x x =+ 令()0g x =，得：712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈ 所以在每个周期上恰好有两个零点，若()y g x =在[0,]b 上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为115941212πππ+=…………13分 17．（I ）解：：(I)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，∴此次测试总人数为7500.14=(人). …………（2分）∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人) ………（4分）（II ）X 的可能取值为0，1，2，此次测试中成绩不合格的概率为1475025=, ∴X ～7(2,)25B . …………5分218324(0)()25625P X ===12718252(1)()()2525625P X C ===，2749(2)()25625P X ===. ………7分所求的X 的分布列为714()22525E X =⨯=18. 解（1）2,211===BC BC CC ，B CC 1∆∴是以BC 为斜边的等腰直角三角形, 取BC 的中点O ，连接O C AO 1,,设b OA =，则11,BC O C BC AO ⊥⊥面⊥ABC 面11B BCC ，且面⋂ABC 面BC B BCC =11，⊥∴AO 面11B BCC ，⊥O C 1面ABC以O 为坐标原点，以OC 、1OC 、OA 为z y x ,,轴建立空间直角坐标系)0,0,1(),,1,1(),,0,0(),0,1,0(),0,0,1(11--∴B b A b A C CxyzO)0,21,21(),2,0,21(F b E -∴)2,21,1(),,0,1(),0,1,1(111b EF b C A BC -=-==∴ 设平面11BC A 的一个法向量为)1,,(b b n -= 022=--=⋅∴bbb EF n ⊥∴，又⊄EF 面11BC A //EF ∴面11BC A …………6分（2）设平面11A ACC 的一个法向量为),,(1111z y x n = 又),0,1(),0,1,1(1b CC -=-= 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011111n C A n CC ，⎩⎨⎧=-=+-001111bz x y x ，令11=z ，则)1,,(1b b n =又)2,21,1(bEF -=EF n ><∴1,cos =324451222=++b b b 解得,1=b 或210=b ， AC 为整数 1=∴b 所以)1,1,1(1= 同理可求得平面B AA 1的一个法向量)1,1,1(2-=n ,c o s2121n n >=<∴=31又二面角B AA C --1为锐二面角，故余弦值为31…………13分 19. 【解析】（I ）设),(y x P ,则有),(1y c x F +=,),(2y c x F -=[]a a x c x aa c y x PF PF ,,11222222221-∈-+-=-+=⋅ 由21PF PF ⋅最小值为0得210122=⇒=⇒=-a c c ,∴椭圆C 的方程为1222=+y x ………（4分）（II ）把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-=∵直线1l 与椭圆C 相切,∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=,化简得2212m k =+ 同理可得:2212n k =+∴22m n =,若m n =,则12,l l 重合,不合题意, ∴m n =-,即0m n += 设在x 轴上存在点)0,(t Q ,点Q 到直线12,l l 的距离之积为1,则1=,即2222||1k t m k-=+,把2212k m+=代入并去绝对值整理, 22(3)2k t-=或者22(1)0k t-=前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k R∈恒成立则210t-=, 解得1t=±;综上所述,满足题意的定点Q存在,其坐标为(1,0)-或(1,0)………（13分）20．【解析】(I)当1=a时，()xxxxxxxxxf)12)(1(1321322'--=+-=+-=，当210<<x时，()0'>xf；当121<<x时()0'<xf；当1>x时()0'>xf.所以当1=x时，()xf取到极小值2-。

山东省德州市2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

山东省德州市2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}230A xx x =-<∣，集合{}21x B x =∣…，则A B =I （） A ．()0,3 B ．[)0,3 C ．()0,∞+ D ．[)0,+∞2．已知一组数据(),i i x y （110i ≤≤且∈i Z ）的回归直线方程为ˆ7yx a =+，若10101170,500i i i i xy ====∑∑，则a 的值为（） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．23．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，2516a a =，则2324log log a a +=（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈､摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为（） A ．48 B ．36 C ．24 D ．125．已知椭圆222:1(0)x C y a a +=>，则“3a =”是“椭圆C ”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知正三棱台111ABC A B C -的体积为1128,4,23AB A B ==，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（） A ．12B ．1C ．32D ．3 7．已知()1cos 4αβ+=，()3cos 4αβ-=，ππ0,,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则tan tan αβ+的值为（）A ．113BCD 8．已知点A 为直线3470x y +-=上一动点，点()4,0B ，且(),P x y 满足2220x y x ++-=，则3AP BP +的最小值为（）A ．65B ．75C ．135D ．215二、多选题9．复数z 在复平面内对应的点为()()1,m m ∈R ，且i z ⋅（i 为虚数单位）的实部为2，则（） A ．复数z 的虚部为2i -B ．复数z 对应的点在第一象限C ．复数z 的模长为5D ．若复数0z 满足01z =，则0z z -110．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0,0,πA ωϕ>><）的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象.则（）A ．2ω=B ．函数()g x 在区间3π,6π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()124g x g x -=，则12x x -的最小值为πD ．直线1y =与()π23π1212y f x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象所有交点的横坐标之和为8π3 11．设函数()y f x =的定义域为R ，且满足()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当[]1,1x ∈-时，()1f x x =-，则（）A ．()20250f =B ．()f x 在[]2,4上单调递增C ．()5y f x =-为奇函数D ．方程()lg f x x =仅有5个不同实数解三、填空题12．已知向量()()2,6,1,a b x =-=r r ，若a r ∥b r ，则x 的值为.13．已知三棱锥P ABC -，若,,PA PB PC 两两垂直，且24,PA PB PC ==P ABC -外接球的表面积为.14．编号为1,2,3,4的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记m 表示前两个球号码的平均数，记n 表示三个球号码的平均数，则m 与n 之差的绝对值不超过0.2的概率是.四、解答题15．在一次体育赛事的志愿者选拔面试工作中，随机抽取了200名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[)45,55，第二组[)55,65，第三组[)65,75，第四组[)75,85，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)利用该频率分布直方图，估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)从成绩在第四､五组的志愿者中，按分层抽样方法抽取10人，再从这10人中任选3人，在选出的3人来自不同组的情况下，求恰有2人来自第四组的概率.16．已知函数()()2ln 2f x x ax a x =+-+.(1)当02a <…时，讨论函数()f x 的单调性；(2)若对()0,x ∀∈+∞，都有()()0f x xf x -'…成立，求实数a 的取值范围.17．如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB ∥,CD EF ∥,224CD CD AB EF ===，AD DE AE ===(1)证明：平面ABCD ⊥平面CDEF ；(2)若M 为线段CD 上一点，且1CM =，求二面角A EM B --的余弦值.18．已知双曲线E 焦点在x 轴上，且过点)4，直线1l 与双曲线E 交于,M N 两点，1l 的斜率存在且不为0，直线2l 与双曲线E 交于,P Q 两点.(1)若MN 的中点为H ，直线,OH MN 的斜率分别为12,,k k O 为坐标原点，求12k k ⋅；(2)若直线1l 与直线2l 的交点T 在直线12x =上，且直线1l 与直线2l 的斜率和为0，证明：TPTNTM TQ =.19．若有穷数列{}n a 满足：()120,3k a a a k k <<<∈Z L 剠，若对任意的(),1i j i j k 剟?，j i a a +与j i a a -至少有一个是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为Γ数列.(1)判断数列0,2,4,8是否为Γ数列，并说明理由；(2)设数列{}n a 为Γ数列.①求证：k i a a -一定为{}n a 中的项； ②求证：()1212k k k a a a a ka -++++=L ；(3)若数列{}n a 为Γ数列，且{}n a 不是等差数列，求项数k 的所有可能取值.。

江苏省扬州市2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

2024-2025学年第一学期高三年级期初学情调研测试数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,0,1,2A =-，102x B x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B ⋂中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据集合交集的运算可得.【详解】因{}10122x B xx x x ⎧⎫+=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭，故{}{}{}1,0,1,2121,0,1A B x x ⋂=-⋂-≤<=-，故选：C2.命题“(),1x ∃∈-∞，3210x x +-<”的否定是（）A.[1,]x ∃∈+∞，3210x x +-≥B.(),1x ∃∈-∞，3210x x +-≥C.[1,]x ∀∈+∞，3210x x +-≥D.(),1x ∀∈-∞，3210x x +-≥【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“(),1x ∃∈-∞，3210x x +-<”的否定是“(),1x ∀∈-∞，3210x x +-≥”.故选：D.3.设集合{}0,3A a =，{}1,2,22B a a =-+-，若A B ⊆，则a =（）A.2B.1- C.1D.2-【答案】C 【解析】【分析】根据A B ⊆，可得20a +=或220a -=，分别确定,A B ，再进行验证.【详解】因为A B ⊆，所以0B ∈.所以20a +=或220a -=.若20a +=⇒2a =-，此时{}0,6A =-，{}1,0,6B =-，A B ⊆不成立，故2a =-不合题意；若220a -=⇒1a =，此时{}0,3A =，{}1,0,3B =-，A B ⊆成立.故1a =.故选：C4.已知a ，b ，c 为实数，下列说法正确的是（）A.若a bc c>，则a b > B.若22ac bc >，则a b >C.若a b >，则22ac bc > D.若a b <，则22a b <【答案】B 【解析】【分析】通过不等式的性质和特例可排除ACD ，根据不等式的性质判断B 的真假.【详解】对A ：当0c >时，a b c c >⇒a b >；当0c <时，a bc c>⇒a b <.故A 错误；对B ：因为22ac bc >，所以20c >，故a b >成立.故B 正确；对C ：当2c =0时，a b >⇒22ac bc =.故C 错误；对D ：若0a b <<，则22a b >.故D 错误.故选：B5.已知函数()f x 在[1,)+∞上单调递减且对任意R x ∈满足()()2f x f x =-，则不等式()()23f x f x ->的解集是（）A.()5,3,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B.5,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C.5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.()3,+∞【答案】B 【解析】【分析】由对任意R x ∈满足()()2f x f x =-得出()f x 的对称轴为直线1x =，结合函数()f x 在[1,)+∞上单调递减得出()f x 在(),1-∞上单调递增，根据对称性及单调性求解不等式即可．【详解】因为对任意R x ∈满足()()2f x f x =-，所以()f x 的对称轴为直线1x =，又函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，所以()f x 在(),1-∞上单调递增，所以()()()()22232311f x f x x x ->⇔--<-，解得5,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：B ．6.若不等式1x a +<成立的充分条件是04x <<，则实数a 的取值范围是（）A.1a ≤- B.5a ≤ C.1a ≥- D.5a ≥【答案】D 【解析】【分析】先分情况求不等式1x a +<的解集，再根据集合的包含关系求参数a 的取值范围.【详解】设不等式1x a +<的解集为A ，()0,4B =，因为不等式1x a +<成立的充分条件是04x <<，，所以B A ⊆，所以A ≠∅，所以0a >.由|1|x a +<⇒1a x a -<+<11a x a --<<-，所以()1,1A a a =---.由B A ⊆可得1014a a --≤⎧⎨-≥⎩⇒5a ≥.故选：D7.已知函数()22ln f x x x x=-+，若()10f a f b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则13b a +的最小值为（）A. B.3C.2D.【答案】A 【解析】【分析】先分析函数()f x 的单调性，结合()10f a f b ⎛⎫+=⎪⎝⎭，可得0a b =>，再结合基本不等式可求13b a+的最小值.【详解】因为()22ln f x x x x =-+（0x >），所以()2212f x x x'=++.当0x >时，′>0，所以()f x 在0,+∞上单调递增.又1212ln f x x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭22ln x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭()f x =-.由()10f a f b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⇒()()0f a f b -=，所以0a b =>.所以13b a +13a a =+≥=，当且仅当33a =时等号成立.故选：A8.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()32f x f x +-=，()f x 的导函数为()g x ，函数()121y g x =+-为奇函数，则(2024)g =（）A.1 B.3C.1- D.3-【答案】A 【解析】【分析】根据()()32f x f x +-=两边求导得()()3g x g x =-，再根据()121y g x =+-为奇函数得()()22g x g x +-=，由对称性得出()g x 是周期为2的周期函数，即可求解．【详解】由()()32f x f x +-=两边求导得，()()30g x g x --=，即()()3g x g x =-，因为()121y g x =+-为奇函数，所以()()121121g x g x --=-+-⎡⎤⎣⎦，即()()12122g x g x -++=，所以()g x 关于()1,1中心对称，所以()()121g x x g ++-=，变形得()()22g x g x +-=，且(1)1g =，由()()3g x g x =-，得()()322g x g x -+-=，变形得()()12g x g x ++=，所以()()122g x g x +++=，则()(2)g x g x =+，所以()g x 是周期为2的周期函数，则(2024)(0)2(1)1g g g ==-=，故选：A ．二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.1a b +<的一个必要不充分条件是a b<B.若集合2{|20}A x ax x =-+=中只有一个元素，则18a =C.若1[,3]2x ∃∈，使得2210x mx -+≥成立是假命题，则实数m 的取值范围为)+∞D.已知集合{1,3}M =，则满足条件M N N ⋂=的集合N 的个数为4【答案】AD 【解析】【分析】利用不等式性质及充分条件、必要条件的定义判断A ；举例说明判断B ；求出m 的范围判断C ；利用集合的包含关系判断D.【详解】对于A ，由1a a <+，1a b +<，得a b <；反之若a b <，而1a a <+，不能判断1a +与b 的大小，因此1a b +<的一个必要不充分条件是a b <，A 正确；对于B ，当0a =时，集合{|20}A x x =-+=只有一个元素，B 错误；对于C ，1[,3]2x ∃∈，使得2210x mx -+≥成立，即1[,3]2x ∃∈，12m x x≤+成立，而函数12y x x =+在12[,22上单调递减，在2,3]2上单调递增，当3x =时，max 193y =，因此193m ≤，由1[,3]2x ∃∈，使得2210x mx -+≥成立是假命题，得193m >，C 错误；对于D ，由M N N ⋂=，得N M ⊆，由{1,3}M =，得M 有4个子集，因此集合N 的个数为4，D 正确.故选：AD10.已知0a >，0b >，且22a b +=，则下列说法正确的是（）A.12ab ≥B.2≤C.244a b +≥D.12334a b a b +++【答案】BCD 【解析】【分析】由基本不等式得22212a b a b +⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即可判断A ；由基本不等式得2≤，即可判断B ；由基本不等式及指数运算即可判断C ；根据基本不等式“1”的妙用，得出()()122311343a a b a b a b a b b b a +++⎡⎤⎣⎦⎛⎫+=+ ⎪++++⎝⎭，即可判断D ．【详解】对于A ，22212a b a b +⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即12≤ab ，当且仅当2a b =，即11,2a b ==时等号成立，故A 错误；对于B 2≤，=11,2a b ==时等号成立，故B 正确；对于C ，224224a b a b +=+≥，当且仅当222a b =，即11,2a b ==时等号成立，故C 正确；对于D ，因为22a b +=，所以()()()324224a b a b a b a b +++=+=+=⎡⎤⎣⎦，所以()()122311343a a b a b a b a b b b a +++⎡⎤⎣⎦⎛⎫+=+ ⎪++++⎝⎭()22313313214444a b a b a b a b +⎛⎫++=+≥+⨯ ⎪⎝+⎭+++，当且仅当()233a b a ba b a b ++++=，即106a b =-+=-时等号成立，故D 正确；故选：BCD ．11.设函数()22,0e ,0xx ax a x f x a x ⎧---<=⎨-≥⎩，则下列说法正确的是（）A.若函数()f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是(],0-∞B.若函数()f x 有3个零点，则实数a 的取值范围是()8,∞+C.设函数()f x 的3个零点分别是1x ，2x ，3x （123x x x <<），则12313x x x +-的取值范围是(),8ln 2∞---D.任意实数a ，函数()f x 在−1,1内无最小值【答案】BCD。

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石家庄市第一中学2010级高三第一次考试数学试题(理)试卷一一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上． 1．已知全集{}4,3,2,1,0=U ，集合{}{}4,2,3,2,1==B A ，则B A C U )(（） A ．{}4,2,1 B ．{}4,3,2 C ．{}4,2,0 D ．{}4,3,2,0 2．复数=--i i113（）A ． iB ． i -C ．i -1D ．i +13．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是（）A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．(,)-∞+∞ 4．下列命题中正确的是（）A ．命题01,2>++∈∀x x R x 的否定是：01,2<++∈∃x x R xB ．命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件C ．若“22bm am ≥，则b a ≥”的否命题为真 D.若]1,0[,∈b a ，则不等式4122<+b a 成立的的概率是4π5．在1021x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项是（）A ．第6项B ．第6、7项C ．第4、6项D ．第5、7项6．如果执行右面的程序框图，那么输出的t =（）A ．96B ． 120C ．144D ． 3007．已知角α的终边上一点的坐标为55(sin,cos),66ππ则角α的最小正值为（） A ．56π B ．23π C ．53π D ． 116π8．已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点).,2(0y M 若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM = （） A ．22 B ．32 C ．4 D ．529.一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面积（单位：2cm ）为（）A ．48B ．64C ．80D ．12010．在A B C ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A = （）Ａ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒11．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（） A. 232 B. 252 C. 472 D. 48412．设函数))((R x x f ∈满足)()(x f x f =-，)2()(x f x f -=，且当]1,0[∈x时，3)(x x f =.又函数)cos()(x x x g π=，则函数)()()(x f x g x h -=在13[,]22-上的零点个数为（） A ．5B ．6C ．7D ．8试卷二二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题纸相应的空内．13．设变量x y ，满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数y x z -=3的最大值为．14．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 与抛物线x y82=有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5=PF ，则双曲线的渐进线方程为． 15．已知球的直径4SC =，,A B 是该球球面上的两点，2A B =，45A SC B SC ∠=∠=︒，则棱锥S A B C -的体积为．16．给出下列命题：①2y x =是幂函数； ②)0(lg )41lg(2>>+x x x③函数[]s i n (,)y x x ππ=∈-图象与x 轴围成的图形的面积是s i n S x d x ππ-=⎰；④若),1(~2σξN ，且(01)0.3P ξ≤≤=，则(2)0.2P ξ≥= 其中真命题的序号是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 是递增数列，且满足8158374=+=⋅a a a a ，．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）令31),2(9111=≥=-b n a a b nn n ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．(本小题满分12分)某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制)(均为整数)分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（I ）求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；（II ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40,70)记0分，在[70,1记1分，用X 表示抽取结束后的总记分，求X 的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在四面体A B O C 中，,,120OC OA OC OB AOB ⊥⊥∠=︒，且1O A O B O C ===．（Ⅰ）设为P 为A C 的中点，证明：在A B 上存在一点Q ，使PQ OA ⊥，并计算AB AQ的值；（Ⅱ）求二面角O A C B --的平面角的余弦值．ABCOP20．(本小题满分12分) 已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值．21．(本小题满分12分)已知圆22:20G x y x +--=经过椭圆12222=+by ax (0)a b >>的右焦点F 及上顶点B ．过椭圆外一点(,0)(0)m m >的倾斜角为56π的直线l 交椭圆于C 、D 两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若右焦点F 在线段C D 为直径的圆E 的内部．求实数m 的范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的直径10A B =，弦D E AB ⊥于点H ，2H B =．（Ⅰ）求D E 的长；（Ⅱ）延长E D 到P ，过P 作圆O 的切线，切点为C ，若PC =求P D 的长．Ｂ23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 6=，曲线2C 的极坐标方程为4πθ=（)ρ∈R ，曲线1C 、2C 相交于点,A B ．（Ⅰ）将曲线1C 、2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦A B 的长．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()3f x x a x =-+,其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值．石家庄市第一中学2010级高三第一次考试数学试题(理)试卷一一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上． 1．已知全集{}4,3,2,1,0=U ，集合{}{}4,2,3,2,1==B A ，则B A C U )(（ C ） A ．{}4,2,1 B ．{}4,3,2 C ．{}4,2,0 D ．{}4,3,2,0 2．复数=--i i113（ A ）A ． iB ． i -C ．i -1D ．i +13．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是（ C ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．(,)-∞+∞ 4．下列命题中正确的是（ C ）A ．命题01,2>++∈∀x x R x 的否定是：01,2<++∈∃x x R xB ．命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件C ．若“22bm am ≥，则b a ≥”的否命题为真 D.若]1,0[,∈b a ，则不等式4122<+b a 成立的的概率是4π5．在1021x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项是（ D ）A ．第6项B ．第6、7项C ．第4、6项D ．第5、7项6．如果执行右面的程序框图，那么输出的t =（ B ）A ．96B ． 120C ．144D ． 3007．已知角α的终边上一点的坐标为55(sin ,cos),66ππ则角α的最小正值为（ C ）A ．56π B ．23π C ．53π D ．116π8．已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点).,2(0y M 若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM = （ B ） A ．22 B ．32 C ．4 D ．52 9.一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面积（单位：2cm ）为（ C ）A ．48B ．64C ．80D ．12010．在A B C ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A = （ A ）Ａ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒11．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（ C ） A. 232 B. 252 C. 472 D. 48412．设函数))((R x x f ∈满足)()(x f x f =-，)2()(x f x f -=，且当]1,0[∈x时，3)(x x f =.又函数)cos()(x x x g π=，则函数)()()(x f x g x h -=在13[,]22-上的零点个数为（ B ） A ．5B ．6C ．7D ．8试卷二二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题纸相应的空内．13．设变量x y ，满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数y x z -=3的最大值为 6 ．14．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 与抛物线x y82=有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5=PF ，则双曲线的渐进线方程为x y 3±= ．15．已知球的直径4SC =，,A B 是该球球面上的两点，2A B =，45A SC B SC ∠=∠=︒，则棱锥S A B C -的体积为．316．给出下列命题：①2y x =是幂函数； ②)0(lg )41lg(2>>+x x x③函数[]s i n (,)y x x ππ=∈-图象与x 轴围成的图形的面积是s i n S x d x ππ-=⎰；④若),1(~2σξN ，且(01)0.3P ξ≤≤=，则(2)0.2P ξ≥= 其中真命题的序号是（写出所有正确命题的编号）．①④三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 是递增数列，且满足8158374=+=⋅a a a a ，．（I ）求数列{}n a 的通项公式；3132+=n a n（II ）令31),2(9111=≥=-b n a a b nn n ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．12+=n n S n18．(本小题满分12分)某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制)(均为整数)分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（I ）求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；（II ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40,70)记0分，在[70,1记1分，用X 表示抽取结束后的总记分，求X 的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图，则有（0．01＋0．015×2+0．025+0．005）×10+x=1,可得x=0．3, 所以频率分布直方图如图所示．（Ⅱ）学生成绩在[40,70)的有0．4×60=24人，在[70,100]的有0．6×60=36人，并且X 的可能取值是0，1，2，则 11224362422606023626046144(0);(1);295295105(2).295C C C P X P X C CC P X C=========所以X的分布列为19．(本小题满分12分)如图，在四面体A B O C中，,,120OC OA OC OB AOB⊥⊥∠=︒，且1O A O B O C===．（Ⅰ）设为P为A C的中点，证明：在A B上存在一点Q，使PQ OA⊥，并计算ABAQ的值；（Ⅱ）求二面角O A C B--的平面角的余弦值．ABCOP∴EX＝0×46295＋1×144295＋2×105295＝354295.解法一：（Ⅰ）在平面O A B 内作O N O A ⊥交A B 于N ，连接N C ．又O A O C ⊥， OA ONC ∴⊥平面 NC ONC ⊂ 平面，O A N C ∴⊥．取Q 为A N 的中点，则PQ NC ．PQ OA ∴⊥ 在等腰 A O B 中，120AOB ∠=，30OAB OBA ∴∠=∠=在R t A O N 中， 30O AN ∠= ，12O N A N A Q ∴==在O N B 中， 1209030NOB NBO ∠=-==∠ ， .NB ON AQ ∴== 3AB AQ∴=．（Ⅱ）连接 P N P O ，由O C O A ⊥，O C O B ⊥知：OC OAB ⊥平面．又O N O A B ⊂， O C O N ∴⊥又由O N O A ⊥，ON AOC ⊥平面． ∴O P 是N P 在平面A O C 内的射影．在等腰R t C O A 中，P 为A C 的中点，A C O P ∴⊥ 根据三垂线定理，知： A C N P ∴⊥, O P N ∴∠为二面角O A C B --的平面角．在等腰R t C O A 中，1O C O A ==，2O P ∴=在R t A O N 中，tan 303O N O A ==，Rt PON∴ 在中，6PN ==．cos 56P O O PN P N∴∠===解法二：（Ⅰ）取O 为坐标原点，分别以O A ，O C 所在的直线为x 轴，z 轴，QABC OPNQAB C O P N建立空间直角坐标系O xyz -（如图所示）,则1(1,0,0),(0,0,1),(0)22A CB -,P 为A C 中点，11(,0,)22P ∴．设 ((0,1)),AQ AB λλ=∈3(0)22AB =- ．33(1,0,0)(,0)(1,,0),2222O Q O A AQ λλ∴=+=+-=-131(,).2222PQ O Q O P λ∴=-=--,PQ OA ⊥ ,0PQ O A ∴=即13022λ-=，13λ=．所以存在点1(0)26Q 使得PQ OA ⊥ 且3AB AQ=．（Ⅱ）记平面ABC 的法向量为123(,,)n n n n =,则由n C A ⊥ ，n AB ⊥ ，且(1,0,1)C A =-，得132303022n n n n -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，故可取n =（）又平面O AC 的法向量为 (0,1,0)e =．cos ,n e ∴<>==二面角O A C B --的平面角是锐角，记为θ，则cos 5θ=20．(本小题满分12分)已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值．(20) 解：（Ⅰ）当1a =时，22()1x f x x =+，4(2)5f =，又2222222(1)2222()(1)(1)x x xxf x x x +-⋅-'==++，6(2)25f '=-．所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46(2)525y x -=--，即625320x y +-=．（Ⅱ）2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++．当0a >时，令()0f x '=，得到11x a=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，所以()f x 在区间1a ⎛⎫--⎪⎝⎭，∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数．函数()f x 在11x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫-⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，函数()f x 在2x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =．21．(本小题满分12分)已知圆22:20G x y x +--=经过椭圆12222=+by ax (0)a b >>的右焦点F 及上顶点B ．过椭圆外一点(,0)(0)m m >的倾斜角为56π的直线l 交椭圆于C 、D 两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若右焦点F 在线段C D 为直径的圆E 的内部．求实数m 的范围．解：（1）依题意有，(2,0),(0,F B，所以22,6c b a ===．∴ 椭圆的方程为22162xy+=．（2）设直线l的方程为()3y x m =--(m >，由22162()3x yy x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩消去y 得2222(6)0x m x m -+-=．由2248(6)0m m ∆=-->，得212m <，∴m -<<又m >m <<设1122(,),(,)C x y D x y ，则212126,2m x x m x x -+=⋅=，∴ 21212121()333m my y x x x x =⋅-++．∵ 1122(2,),(2,)FC x y FD x y =-=-，则11222(3)(2,)(2,)3m m FC FD x y x y -⋅=-⋅-=∵ 点F 在圆E 的内部，∴ 0F C F D ⋅< ，即2(3)03m m -<，解得03m <<． ∴3m <<．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的直径10A B =，弦D E AB ⊥于点H ，2H B =．（Ⅰ）求D E 的长；（Ⅱ）延长E D 到P ，过P 作圆O 的切线，切点为C ，若PC =求P D 的长．解：（1）A B 为圆O 的直径，D E AB ⊥，D H H E =，∵ 216DH AH BH =⋅=，∴ 4,8DH DE ==．（2）∵ P C 切圆O 于点C ，∴ 2PC PD PE =⋅，则2(5)(8)P D P D =⋅+，∴ 2P D =．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 6=，曲线2C 的极坐标方程为4πθ=（)ρ∈R ，曲线1C 、2C 相交于点,A B ．（Ⅰ）将曲线1C 、2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦A B 的长．解：（1）1C ：226x y x +=；2C y x =．（2）1C ：22(3)9x y -+=，圆心1(3,0)C ，半径3r =．圆心到直线的距离2d =，∴AB ==．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()3f x x a x =-+,其中0a >．Ｂ（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值．（24）解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥．由此可得 3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-． (Ⅱ)由()0f x ≤的 30x a x -+≤ 此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩即 4x a ax ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2x aa a ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩，因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2a x x ≤-由题设可得2a -= 1-，故2a =。