陕西省咸阳市实验中学2021届高三上学期开学考试(摸底) 数学(理)试题
2021届陕西省咸阳市高三上学期高考模拟检测(一)数学(理)试题(解析版)
2021届陕西省咸阳市高三上学期高考模拟检测（一）数学（理）试题一、单选题1．若集合{}2230{0,1,2,3,4}A xx x B =--<=∣，，则A B =（ ）A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．{3,4}D ．{0,2,3}【答案】B【分析】先求集合B ，再求AB .【详解】2230x x --<，解得：13x，{}13A x x ∴=-<<，{}0,1,2,3,4B =， {}0,1,2A B ∴⋂=.故选：B 2．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论.【详解】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--，因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C.3．据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶（各台阶高度相同．．．．．．．）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年……第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为（ ）A．86.2米B．83.6米C．84.8米D．85.8米【答案】A【分析】由题可知各台阶高度相同，所以所求答案为17.69108526÷⨯【详解】解：由题意可知所求高度为17.6910852686.2÷⨯≈，所以乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为86.2米，故选：A4．已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的体积为（）．A．23πB．43πC．83πD．23π【答案】C【分析】根据题意，求得圆锥的高和底面圆的半径，代入公式，即可求得答案. 【详解】如图所示：ABC为边长为4的正三角形，所以AB=AC=BC=4，取BC中点为O，则224223AO-=所以圆锥的体积218322333Vππ=⨯⨯⨯=. 故选：C5．已知函数2()121xf x =-+，且()41(3)x f f ->，则实数x 的取值范围是（ ）． A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞【答案】D【分析】用导数判断函数()f x 的单调性，再解不等式即可. 【详解】因为()()22ln 2021x xf x -=<+'，所以函数2()121x f x =-+在R 上单调递减， 由于()41(3)xf f ->所以413x -<，得1x < 故选：D【点睛】关键点点晴：判断函数()f x 的单调性是解题的关键.6．中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字．汉字是书法艺术的精髓．汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选两种进行研习，且甲乙选书体互相独立，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为（ ）．A ．425B ．825C ．925D ．1825【答案】C【分析】甲选两种书体共有5420⨯=种方法，乙选两种书体共有5420⨯=种方法，所以一共有400种方法，然后求出甲不选隶书体，乙不选草书体的方法数，再利用古典概型的概率公式求解即可【详解】解：甲选两种书体共有5420⨯=种方法，乙选两种书体共有5420⨯=种方法，所以一共有2020400⨯=种方法，而甲不选隶书体有4312⨯=种方法，乙不选草书体有4312⨯=种方法，所以共有1212144⨯=种方法，所以甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选两种进行研习，且甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为144940025=， 故选：C7．已知M 经过坐标原点，半径r =2y x =+相切，则M 的方程为（ ）．A ．22(1)(1)2x y +++=或22(1)(1)2x y -+-= B ．22(1)(1)2x y ++-=或22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -++=或22(2x y +=D ．22(1)(1)2x y -++=或22(2x y += 【答案】A【分析】设圆心坐标为(,)a b ，利用圆M 过坐标原点，且与直线2y x =+相切，求出,a b ，即可求出圆M 的方程.【详解】设圆心坐标为(,)a b ，半径r =因为圆M 过坐标原点，且与直线2y x =+相切，==所以1a b ==±，即圆心为()1,1或()1,1--，圆M 的方程为：22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++=， 故选：A.【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 8．若将函数3sin 2y x =的图像向右平移6π个单位长度，平移后图像的一条对称轴为（ ）． A ．56x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．23x π=【答案】B【分析】利用三角函数图像变换规律求出平移后的函数关系式，再求其对称轴即可 【详解】解：将函数3sin 2y x =的图像向右平移6π个单位长度，所得的函数为 3sin 2()3sin(2)63y x x ππ=-=-，由2,32x k k Z πππ-=+∈，得5,122k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，512x π=，故选：B9．渭河某处南北两岸平行，如图所示.某艘游船从南岸码头A 出发北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为110km /h v =，东水流速度的大小为26km /h v =.设速度1v 与速度2v 的夹角为120︒，北岸的点A '在码头A 的正北方向.那么该游船航行到达北岸的位置应（ ）A ．在A '东侧B ．在A '西侧C ．恰好与A '重合D ．无法确定【答案】A【分析】建立如图如示的坐标系，则12(5,53),(6,0)v v =-=，从而可求出12v v +的值，进而可得游船的位置【详解】解：建立如图如示的坐标系， 由题意可得12(5,53),(6,0)v v =-=， 所以12(1,53)v v +=，说明船有x 轴正方向的速度，即向东的速度， 所以该游船航行到达北岸的位置应在A '东侧， 故选：A10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上存在两点A ，B 关于直线6y x =-对称，且线段AB 的中点坐标为(2,4)M -，则双曲线C 的离心率为（ ）． A 2 B 3C ．2D 5【答案】B【分析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据线段AB 的中点坐标为(2,4)M -，且A ，B 关于直线6y x =-对称，A ，B 在双曲线上，整理可得222b a=，进而可得到离心率.【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 且线段AB 的中点坐标为(2,4)M -， 则12124,8x x y y +=+=-， 又A ，B 关于直线6y x =-对称，所以121211y y x x -⨯=--， 且A ，B 在双曲线上，2211221x y a b -=，2222221x y a b-=， 相减可得2222121222x x y y a b ---=，即1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+--=， 故22480a b -=，即222b a=， 离心率为2213b e a=+=故选：B.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．11．在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB BC ==，2ABC π∠=，若该直三棱柱的外接球表面积为16π，则此直三棱柱的高为（ ）． A ．4 B ．3C ．42D ．22【答案】D【分析】由题意将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，利用直三棱柱的外接球表面积为16π，可求出外接球的半径，从而可求得直三棱柱的高 【详解】解：因为2ABC π∠=，所以将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体1111ABCD A B C D -，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，设球的半径为R ，则2416R ππ=，解得2R =，设直三棱柱的高为h ，则2222422R h =++，即2168h =+， 解得22h =，所以直三棱柱的高为22， 故选：D12．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，函数()e 2x f x x =+，若关于x 的函数2()[()](2)()2F x f x a f x a =+--恰有2个零点，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．1,2e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．112,22,2e e ⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．112,2ee ⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】C【分析】由()0F x =得()2f x =或()f x a =-，而0x <时，()2f x =无解，需满足()f x a =-有两个解．利用导数求得()f x 在0x <时的性质，由奇函数得0x >时的性质，然后可确定出a 的范围．【详解】[][]()()2()0F x f x f x a =-+=，()2f x =或()f x a =-， 0x <时，()22x f x xe =+<，()(1)x f x x e '=+，1x <-时，()0f x '<，()f x 递减；10x -<<时，()0f x '>，()f x 递增，∴()f x 的极小值为1(1)2f e-=-，又()2f x ，因此()2f x =无解．此时()f x a =-要有两解，则122a e-<-<， 又()f x 是奇函数，∴0x >时，()2f x =仍然无解，()f x a =-要有两解，则122a e-<-<-．综上有112,22,2a ee ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与函数的零点，考查导数的应用．首先方程化为()2f x =或()f x a =-，然后用导数研究0x <时()f x 的性质，同理由奇函数性质得出0x >时()f x 的性质，从而得出()2f x =无解，()f x a =-有两解时a 范围．二、填空题13．若,x y 满足约束条件20202.x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，，则3z x y =+的最大值为__________．【答案】14【分析】由线性约束条件作出可行域，作直线由3z x y =+可得133zy x =-+，作直线01:3l y x =-沿可行域方向平移，由z 的几何意义即可求解. 【详解】由线性约束条件作出可行域如图，由3z x y =+可得133z y x =-+，作直线01:3l y x =-，沿可行域的方向平移可知过点A时，3z x y =+取得最大值，由202x y x -+=⎧⎨=⎩可得24x y =⎧⎨=⎩，所以()2,4A ，所以max 23414z =+⨯=，故答案为：14.【点睛】方法点睛：线性规划求最值的常见类型（1）线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；（2）分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率问题，结合图形求解；（3）平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解.14．()3231x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为________． 【答案】3-【分析】利用二项展开式通项公式直接求解.【详解】()()()3332231311x x x x x ⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭， 展开式中常数项为03121332311363C C x x⋅⋅-⋅⋅⋅=-=-， 故答案为：3-.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知3cos 3b C a c =-，且 A C =，则sin A =________．【分析】根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，整理可得cos B 的值，结合题意，利用二倍角公式，即可求得答案.【详解】因为3cos 3b C a c =-，利用正弦定理边化角可得3sin cos 3sin sin B C A C =-，又=A B C π++，所以=()A B C π-+，即[]sin sin ()sin()A B C B C π=-+=+=sin cos cos sin B C B C +，所以3sin cos 3(sin cos cos sin )sin B C B C B C C =+-， 所以3cos sin sin B C C =， 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠， 所以1cos 3B =，又 A C =， 所以21cos cos(2)cos 22sin 13B A A A π=-=-=-=， 因为(0,)A π∈，所以sin 0A >所以sin A ==.16．已知函数()sin(cos )cos(cos )f x x x =+，现有以下命题：①()f x 是偶函数； ②()f x 是以2π为周期的周期函数；③()f x 的图像关于2x π=对称； ④()f x其中真命题有________． 【答案】①②④【分析】根据三角函数图象性质逐一进行判断：①根据()f x 写出()f x -，并判断与()f x 关系即可；②写出(2)f x π+，判断与()f x 是否相等；③判断()f x π-与()f x 的关系；④设cos ,[1,1]t x t =∈-，所以sin cos )4y t t t π=+=+，根据t 的取值范围确定最值并判断．【详解】①函数()sin(cos )cos(cos )f x x x =+定义域为R ，关于原点对称，()sin[cos()]cos[cos()]sin(cos )cos(cos )()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 是偶函数；所以①正确；②(2)sin[cos(2)]cos[cos(2)]sin(cos )cos(cos )()f x x x x x f x πππ+=+++=+=， 所以()f x 是以2π为周期的周期函数；所以②正确；③()sin[cos()]cos[cos()]sin(cos )cos(cos )()f x x x x x f x πππ-=-+-=-+≠， 所以()f x 的图像不关于2x π=对称；所以③错误；④令cos ,[1,1]t x t =∈-，所以sin cos )4y t t t π=+=+，因为[1,1]444t πππ+∈-++，所以42t ππ+=，即4t π=时，max y =()f x 的最；所以 ④正确； 所以真命题为①②④， 故答案为：①②④.【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．三、解答题17．如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PC AC ⊥，BC AC ⊥，2AC PC ==，4CB =，M 是PA 的中点．（Ⅰ）求证：PA ⊥平面MBC ；（Ⅱ）设点N 是PB 的中点，求二面角N MC B --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）223． 【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面PAC ，根据线面垂直的性质定理，可得BC PA ⊥，根据等腰三角形中线的性质，可得CM PA ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可得证；（Ⅱ）根据面面垂直的性质定理可得PC ⊥平面ABC ，结合题意，如图建系，可得各点坐标，进而可得CM ，CN ，PA 的坐标，即可求得两个平面的法向量，利用二面角的向量求法，即可求得答案.【详解】解：（Ⅰ）平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC =AC ，BC ⊂平面ABC ，BC AC ⊥，∴BC ⊥平面PAC ， ∵PA ⊂平面PAC ， ∴BC PA ⊥，∵AC PC =，M 是PA 的中点， ∴CM PA ⊥， ∵CMBC C =，,CM BC ⊂平面MBC ，∴PA ⊥平面MBC ．（Ⅱ）∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC =AC ，PC ⊂平面PAC ，PC AC ⊥∴PC ⊥平面ABC ， ∵BC ⊂平面ABC ， ∴PC BC ⊥，以C 为原点，CA ，CB ，CP 为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，(2,0,0)A ，(0,4,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,2)P ，(1,0,1)M ，(0,2,1)N ，则(1,0,1)CM =，(0,2,1)CN =，(2,0,2)PA =-， 由（Ⅰ）知(2,0,2)PA =-是平面MBC 的一个法向量， 设(,,)n x y z =是平面MNC 的法向量，则有00CM n CN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则2z =-，2x =， ∴(2,1,2)n =-，设二面角N MC B --所成角为θ，由图可得θ为锐角， 则22012(2)22cos cos ,3||||89PA n PA n PA n θ⋅⨯+⨯-⨯-=<>===⋅．【点睛】解题的关键是熟练掌握面面垂直的性质定理，线面垂直的判定和性质定理，并灵活应用，处理二面角或点到平面距离时，常用向量法求解，建立适当的坐标系，求得所需点的坐标及向量坐标，求得法向量坐标，代入夹角或距离公式，即可求得答案.18．设数列{}n a 是公差大于零的等差数列，已知13a =，22424a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足sin ()cos ()n n n a n b a n ππ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求122021b b b ++⋅⋅⋅+.【答案】（1）3n a n =；（2）1010.【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由13a =，22424a a =+，即可求得答案；（2）因为sin ()cos ()n n n a n b a n ππ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求出当n 为奇数时，0n b =，当n 为偶数时，1n b =，可得{}n b 是以2为周期的周期数列，即可求得答案. 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，22424a a =+∴()()211324a d a d +=++，又13a =，∴()()233324d d +=++解得6d =-或3d =，0d >，∴3d =，∴33(1)3n a n n =+-=.（2）sin ()cos ()n n n a n b a n ππ⎧=⎨⎩为奇数为偶数∴当n 为奇数时，sin 3sin 0n b n ππ===， ∴当n 为偶数时，cos3cos01n b n π===，故{}n b 是以2为周期的周期数列，且121b b +=，∴()1220211211010101001010b b b b b b ++⋅⋅⋅+=++=+=.19．某公司招聘员工，分初试和面试两个阶段，初试通过方可进入面试．受新冠疫情影响，初试采取线上考核的形式，共考核A 、B 、C 三项技能，其中A 必须过关，B 、C 至少有一项过关才能进入面试．现有甲、乙、丙三位应聘者报名并参加初试，三人能否通过初试互不影响，每个人三项考核的过关率均相同，各项技能过关率如下表，且每一项考核能否过关相互独立．（Ⅰ）求甲应聘者能进入面试的概率；（Ⅱ）用X 表示三位应聘者中能进面试的人数，求X 的分布列及期望EX ． 【答案】（Ⅰ）12；（Ⅱ）答案见解析. 【分析】（Ⅰ）将事件分成三类,,ABC ABC ABC ，即可求取概率； （Ⅱ）由（Ⅰ）知每人过关率均为12，随机变量X 服从二项分布，即可解相关问题. 【详解】解：（Ⅰ）甲应聘者这三项考核分别记为事件A ，B ，C ，且事件A ，B ，C 相互独立，则甲应聘者能进入面试的概率2112112111()()()3223223222P ABC P ABC P ABC ++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=． （Ⅱ）由题知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，且1~3,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．30311(0)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；213113(1)228P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 223113(2)228P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3033111(3)228P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 分布列为：∵1~3,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13322EX =⋅=． 【点晴】第二问关键在于判断X 服从二项分布，再由其性质解题.20．设O 为坐标原点，抛物线2:4C y x =与过点(4,0)T 的直线相交于P ，Q 两个点． （Ⅰ）求证：OP OQ ⊥；（Ⅱ）试判断在x 轴上是否存在点M ，使得直线PM 和直线QM 关于x 轴对称．若存在，求出点M 的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，(4,0)M -．【分析】（Ⅰ）由题意设直线:4PQ x ny =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，与抛物线联立，根据韦达定理，可得12y y +，12y y 的值，利用12120OP OQ x x y y ⋅=+=，即可得证；（Ⅱ）假设存在这样的点M ，设(,0)M t ，根据题意，可得0MP MQ k k +=，根据P ，Q ，T 坐标，表示出MP MQ k k ，，化简整理，即可得答案.【详解】解：（Ⅰ）由题意得，过点T 的直线不与x 轴平行，故设直线:4PQ x ny =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ， 联立244x ny y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得24160y ny --=， ∴124y y n +=，1216y y =-．∴2221212(16)164416y y x x -=⋅==，∴12120x x y y +=，∴12120OP OQ x x y y ⋅=+=，即OP OQ ⊥． （Ⅱ）假设存在这样的点M ，设(,0)M t ， 由（Ⅰ）知，124y y n +=，1216y y =-，由PM 和QM 关于x 轴对称知，0MP MQ k k +=， 又1212121244MP MQ y y y y k k x t x t ny t ny t+=+=+--+-+- ()()()()1221124444y ny t y ny t ny t ny t +-++-=+-+-()()()2212122(4)44ny y t y y ny t ny t +-+=+-+-()()1232(4)444n t n ny t ny t -+-⋅=+-+-()()1216444n ntny t ny t --=+-+-0=．解得4t =-，即存在这样的点(4,0)M -．【点睛】解题的关键是将两直线关于x 轴对称，等价为0MP MQ k k +=，根据斜率关系，结合韦达定理，即可求解，考查计算化简的能力，属中档题. 21．已知函数(21)()ln ()1a x f x x a x -=-∈+R 有两个极值点1x 和2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）把222112x x x x +表示为关于a 的函数()g a ，求()g a 的值域． 【答案】（1）4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）(2,)+∞． 【分析】（1）由于函数的定义域为(0,)+∞，则当函数()f x 有两个极值点1x 和2x 时，方程'()0f x =有两个正根，由此可得2(23)10x a x +-+=有两个正根，则0∆>，且12320x x a +=->，从而可求出实数a 的取值范围；（2）由（1）可知1212321x x a x x +=-⎧⎨=⎩，从而有()()2223322112121212123(32)(32)3x x x x x x x x x x a a x x ⎡⎤⎡⎤+=+=++-=---⎣⎦⎣⎦，则324()27542723g a a a a a ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，再利用导数判断单调性，从而可得其值域【详解】解：（1）易知()f x 的定义域为(0,)+∞，22(23)1()(1)x a x f x x x +-+'=+．设2()(23)1h x x a x =+-+，其中2912a a ∆=-， 当0∆>时，即43a >或0a <． 此时()0h x =有两个根，则有1212321x x a x x +=-⎧⎨=⎩，∴1x ，2x 同号，∵()f x 的定义域为(0,)+∞，∴1>0x ，20x >， ∴12320x x a +=->，∴23a >，∴43a >，∴)1,212(32)2a x x x -±=<，∴()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增． 综上可知，()f x 有两个极值点， ∴实数a 的取值范围为4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭．（2）由（1）知，当43a >时，()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且1212321x x a x x +=-⎧⎨=⎩，()()2223322112121212123(32)(32)3x x x x x x x x x x a a x x ⎡⎤⎡⎤+=+=++-=---⎣⎦⎣⎦， 32427542723a a a a ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭设324()27542723g a a a a a ⎛⎫=-+->⎪⎝⎭， 则()22()81108272734127(31)(1)0g a a a a a a a '=-+=-+=-->， ∴()g a 在4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭上是单调递增的，∴4()23g a g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭．∴()(2,)g a ∈+∞，即()g a 的值域为(2,)+∞．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，利用导数求函数的极值，考查计算能力，解题的关键是将函数()f x 有两个极值点1x 和2x ，转化为方程'()0f x =有两个正根，进而得方程2(23)10x a x +-+=有两个正根，然后利用一元二次方程根的分布进行求解即可，属于中档题22．直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的参数方程为13x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）求直线l 的普通方程，说明C 是哪一种曲线； （2）设,M N 分别为l 和C 上的动点，求||MN 的最小值． 【答案】（1）:4l x y +=，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；（2）【分析】（1）消参得到直线l 的普通方程和曲线C 的方程，即得解； （2）设(3cos ,sin )N αα，求出||MN =.【详解】（1）由题得直线:4l x y +=，曲线22:13x C y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2219x y +=， 所以曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆．（2）设(3cos ,sin )N αα，则||MN 就是点N 到直线l 的距离，||MN==ϕ的终边在第一象限且tan3ϕ=）当sin()1αϕ+=时，min||MN==．【点睛】方法点睛：参数方程里求直线上的点到曲线上的点的最值，一般先利用曲线的参数方程设点，再利用点到直线的距离求出距离的函数表达式，再利用三角函数的图象和性质求解.23．已知函数()|2||1|,f x x x x=+-∈R．（Ⅰ）求()2f x的解集；（Ⅱ）若()f x kx=有2个不同的实数根，求实数k的取值范围．【答案】（Ⅰ）{1x x∣或13x-}；（Ⅱ）23k<<．【分析】（1）利用零点分段法，解不等式；（2）问题转化为()y f x=与y kx=有两个交点，利用数形结合，求实数k的取值范围.【详解】（I）31,0()1,0131,1x xf x x xx x-+⎧⎪=+<<⎨⎪-⎩，312xx≤⎧⎨-+≥⎩或0112xx<<⎧⎨+≥⎩或1312xx≥⎧⎨-≥⎩，解得：{1x x≥或1}3x≤-()2f x的解集是{1x x≥或1}3x≤-（Ⅱ）问题转化为()y f x=与y kx=有两个交点，由图易知：202,310OA OB ACk k k-====-，Ao OBk k k∴<<，即23k<<．【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.。
陕西省咸阳市届高三模拟考试三模数学理试题含答案
2021年咸阳市高考模拟考试试题〔三〕理科数学第一卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合Ax|1x3，Bx|y1AB〔〕，那么x1A．1,3B．1,3C．(1,3]D．(1,3]2.复数z2，那么〔〕1iA．z的虚部为1B．z的实部为1C．|z|2D．z的共轭复数为1i3.在区间,上随机选取一个实数x，那么事件“sinx3〕〞发生的概率为〔222A．1B．1C．1D．14364.双曲线C的方程为y2x21，那么以下说法正确的选项是〔〕49A．焦点在x轴上B．虚轴长为4C．渐近线方程为2x3y0D．离心率为13 35.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x0时f(x)xlog3(a6)a3，那么f(a)〔〕A．9B．6C．3D．1如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积是〔〕A．120B．60C．24D．207.的半径1，A，B，C，D上四个点，且AB AC AD，ABC面的最大〔〕A．1B．2C．3D．28.三棱PABC中，PA平面ABC，ABBC，假设AB2，BC3，PA4，三棱的外接球的外表〔〕A．13B．20C．25D．29秦九昭算法是南宋期数学家，秦九昭提出的一种多式化算法，即使在代，它依然是利用算机解决多式的最算法，其算法框如所示，假设入的a0，a1，a2，⋯，a n分0，1,2，⋯，n，假设n4，根据算法算当x 1多式的，出的果是〔〕A ．3B ．6C ．10D ．15x y 1,10.实数x ，y 满足4xy 9,给x ，y 中间插入5个数，这7个数构成以x 为首项，y3,y 为末项的等差数列，那么这7个数和的最大值为〔〕A ．49B ．63C ．21D ．4942211.函数f(x)Acos(x )〔A0，0，| |〕的局部图象如下图，那么f(x) 的图象向右平移2个单位后，得到g(x)的图象，那么g(x)的解析式为〔〕A ．g(x)2 3sinx B ．8C ．g(x)2 3cosxD ．8xg(x) 2 3sin8xg(x) 2 3cos8lnx ,x 2,f(x)m 恰有一个零点，那么实数m 的取值范12.函数f(x)x函数g(x)x 2,x2,围为〔 〕A ．(0,ln2) (1,4] B ．2eC ．(,0]1D ． (,4] e1(,0) (,4)1( ,4]e第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13.在ABC中，sinA:sinB:sinC 2:3:4，那么cosC．名党员干局部配到3个贫困户家去精准扶贫，每户至少去一名，共有种不同的分配方式〔用数字作答〕．15.设抛物线y22px(p0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于4A，B两点，假设以AB为直径的圆过点(p,2)，那么该抛物线的方程为．216.甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏，现有标号为1到12的卡片共12张，每人摸4张．甲说：我摸到卡片的标号是10和12；乙说：我摸到卡片的标号是6和11；丙说：我们三人各自摸到卡片的标号之和相等．据此可判断丙摸到的编号中必有的两个是．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B60，三边a，b，c成等比数列，且面积为43，在等比数列a b．n中，a14，公差为〔1〕求数列a n的通项公式；〔2〕数列c n满足c n16，设T n为数列c n的前n项和，求T n．anan118.如图，四边形ABCD是直角梯形，AB//DC，AB AD，且PA AB，PAD是等边三角形，AB AD2DC2，M为PB的中点．〔1〕求证：CM平面PAB；〔2〕求二面角 D PB A的余弦值．19.某校为调查高一、高二学生周日在家学习用时情况，随机抽取了高一、高二各20人，对他们的学习时间进行了统计，分别得到了高一学生学习时间〔单位：小时〕的频数分布表和高二学生学习时间的频率分布直方图．高一学生学习时间的频数分布表〔学习时间均在区间0,6内〕：学习时[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)5,6间频数318422高二学生学习时间的频率分布直方图：〔1〕根据高二学生学习时间的频率分布直方图估计该校高二学生学习时间的中位数；〔2〕利用分层抽样的方法，从高一学生学习时间在[2,3)，[3,4)的两组里随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求学习时间在[3,4)这一组中至少有1人被抽中的概率；〔3〕假设周日学习时间不少于4小时为学习投入时间较多，否那么为学习投入时间较少，依据上述样本研究学习投入时间与学生所在年级是否有关，完成22列联表，并判断是否有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．年级学习投入时间较多学习投入时间较少合计高一高二合计K2n(ad bc)2，其中na bcd．(ab)(cd)(a c)(b d)P(K2k0)k020.圆(x2)2y216的圆心为M，点P是圆M上的动点，点N(2,0)，线段PN的垂直平分线交PM于G点．1〕求点G的轨迹C的方程；2〕过点T(4,0)作斜率不为0的直线l与〔1〕中的轨迹C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D，连接BD交x轴于点Q，求|QT|．21.函数f(x)xlnx，g(x)a(x2x)．21f(x)g(x)对x(1,)恒成立，求a的取值范围；〔〕假设12⋯1ne对于正整数n恒成立〔其〔2〕证明：不等式11(n1)2(n1)2(n1)2中e⋯为自然对数的底数〕．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为1，x2cos,曲线C2的参数方程为〔为参数〕．y sin〔1〕求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；〔2〕直线l：y x与曲线C1交于A，B两点，P是曲线C2上的动点，求PAB的面积的最大值．选修4-5：不等式选讲〔1〕a，b R，且|a|1，|b|1，求证：a2b21a2b2．2x的不等式|x1|2|x2|m有解，求实数m的取值范围．〔〕假设关于2021年咸阳市高考模拟考试试题〔三〕理科数学答案一、选择题1-5:CADCB6-10:BADCD11、12：BC二、填空题13.114.3615.y24x和94三、解答题17.解：〔1〕由a，b，c成等比数列得b2ac，因为S ABC431acsinB，所以b4，2所以 a n是以4为首项，以4为公差的等差数列，解得a n4n．〔2〕由〔1〕可得c n111n(n1)n ，n1T n(11)(11)⋯(11)11．223n n1n1〔1〕证明：取PA的中点为E，连接EM，ED，由题意知EM//1AB//DC，可得四边形CDEM为平行四边形，所以CM//DE．2由题可知，BA DA，BA PA，且PA ADA，AD平面PAD，PA面PAD，所以BA平面PAD，又∵DE平面PAD，∴BADE，∵PAD为正三角形，∴DE PA，又∵PA AB A，AB平面PAB，AP平面PAB，DE 平面PAB ，又DE//CM ，CM 平面PAB ．〔2〕解：由〔1〕可知BA 平面PAD ，又BA 平面ABCD ，那么平面PAD 平面ABCD ，PAD 为正三角形，因此取AD 的中点O 为坐标原点，以OD 为x 轴，在底面内过O 作AD的垂线为y 轴，OP 为z 轴，建立空间坐标系，∵ABAD 2CD 2，∴A( 1,0,0)，B(1,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,3)，M(1,1,3)，22那么MC(3,0, 3)，PB ( 1,2,3)，PD (1,0,3)，22设平面PBD 的法向量为n (x,y,z)，n PB0,x2y3z0,3,3,1)，那么即可取n( n PD 0, x 3z 0,cos n,MCn MC73 7，|n| |MC|37设二面角D PB A 的大小为7．，那么cos719.解：〔1〕由图可知，学生学习时间在区间0,3内的频率为 ，设中位数为 x ，那么(，解得x，即该校高二学生学习时间的中位数为．〔2〕根据分层抽样，从高一学生学习时间在[2,3)中抽取4人，从高一学生学习时间在[3,4)中抽取2人，设在[3,4)1人被抽中的事件为A，那么P(A)1C23这一组中至少有P(A)14．C625〔3〕年级学习投入时间较多学习投入时间较少合计高一41620高二91120合计132740K240(411169)2，20201327所以没有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．20.解：〔1〕由题意知，线段PN的垂直平分线交PM于G点，所以|GN||GP|，∴|GM||GN||GM||GP||MP|422|MN|，∴点G在以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆上，2a4，2c22，b2a2c22，∴点G的轨迹C的方程为x2y21．42〔2〕依题意可设直线l方程为x myx2y2，4，将直线方程代入142化简得(m22)y28my120，设直线l与椭圆C的两交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，由64m2412(m22)0，得m26，①且y1y28m，y1y212，②m2m222因为点A关于x轴的对称点为D，那么D(x1,y1)，可设Q(x0,0)，y2y1y1y2，所以k BDx1m(y2y1)x2所以BD所在直方程y y2y1y2(xmy24)，m(y2y1)令y0，得x02my1y24(y1y2)，③y1y2把②代入③，得x01，Q点的坐(1,0)，|QT|3．21.解：〔1〕f(x)a(x2x)0，即xa(x1)，g(x)等价于xlnx lnx022h(x)lnx a(x1)xh(x)0，h'(x)1a2ax，，即x22x 2当a0，h'(x)0，h(x)在x(1,)增，又h(1)0，所以h(x)h(1)0，所以xh(x)0，即f(x)g(x)不成立；当0a2，21，x(1,2)，h'(x)0，h(x)增，a a所以h(x)h(1)0，所以xh(x)0，f(x)g(x)不成立；当a2，x(1,)，2ax0，h'(x)0，h(x)在x(1,)减，所以h(x)h(1)0，所以xh(x)0，f(x)g(x)恒成立．上所述，当f(x)g(x)x(1,)恒成立a[2,)．〔2〕由〔1〕知当a2x(1,)有lnxx1恒成立．令x1k，k1,2,3,⋯,n,有ln(1k2)k成立，(n2n)(n21)(11)ln(11)22)ln(1n2) (n2ln(1⋯1)1)(n1)(nln (11 2⋯(1n2)(1(n 2)(n 2)(n 1)1)1)(n 1 2 ⋯(n n n(n1) n 1，1)2 (n1)21)2 2(n 1)2 2(n1)2所以(1122)⋯(1n 2)e ．(n2)(1(n 1)1)(n1)22.解：〔1〕因为曲线C 1的极坐标方程为1 ，那么直角坐标方程为 x 2 y 21；x 2cos ,x 2y 2曲线C 21的参数方程为y sin〔为参数〕，那么普通方程为．4〔2〕由题意知|AB| 2，设P(2cos ,sin )，点P 到直线yx 的距离为|2cossin |，2所以S PAB1|AB|d 1 2 |2cos sin |10|sin()|10 ．22 2 2223.〔1〕证明：∵a 2b 2 1a 2b 2 a 2(b 21)(1b 2)(b 21)(a 2 1)，又a ，bR ，且|a|1，|b|1，∴a 2 1 0，b 210，∴(b 21)(a 2 1)0，即a 2b 2 1a 2b 2．〔2〕解：|x1| 2|x2| m 有解等价于m(|x 1| 2|x2|)min ，5 3x,x 1,|x1|2|x2| 3 x,1 x 2,由单调性知:|x1| 2|x2| 1，3x 5,x 2,所以m 1．陕西省咸阳市届高三模拟考试三模数学理试题含答案。
2021年陕西省咸阳市市秦都中学高三数学理模拟试卷含解析
2021年陕西省咸阳市市秦都中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知倾斜角为α的直线l与直线x﹣2y+2=0平行，则tan2α的值为( )A．B．C．D．参考答案：C考点：二倍角的正切；直线的倾斜角．专题：计算题．分析：由题意可得tanα=，代入二倍角公式tan2α=可求解答：解：由题意可得tanα=∴tan2α===故选C点评：本题主要考查了直线的倾斜角与斜率的关系，两直线平行的条件及二倍角正切公式的应用，计算虽简单，但应用的知识较多2. 已知函数的图象与y轴的交点为(0,1)，且关于直线对称，若对于任意的，都有，则实数m的取值范围为（）A. B. [1,2] C. D.参考答案：B3. 已知集合，，，则中元素个数是（）A．B．C．D．参考答案：B略4. 已知向量则的值为（）A. 0B. 2C. 4 或－4D. 2或－2参考答案：D5. 已知变量x，y满足：，则z=（）2x+y的最大值为（）A．B．2C．2 D．4参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设m=2x+y，利用线性规划的知识求出m的最大值即可求出z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设m=2x+y得y=﹣2x+m，平移直线y=﹣2x+m，由图象可知当直线y=﹣2x+m经过点A时，直线y=﹣2x+m的截距最大，此时m最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数m=2x+y得z=2×1+2=4．即目标函数z=（）2x+y的最大值为z=（）4=4．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，数形结合的数学思想是解决此类问题的基本思想．6. 设全( )A. B. C. D.参考答案：D7. 已知命题p:则A. B.C. D.参考答案：C略8. 复数z=2+ai（a∈R）的共轭复数为，若z?=5，则a=（）A. ±1B. ±3C. 1或3D. －1或－3参考答案：A【分析】由已知结合列式求解．【详解】∵z=2+ai，即a=±1．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．9. 在Rt△ABC中，点D为斜边BC的中点，，，，则（）A．－14 B. －9 C. 9 D. 14参考答案：C10. 若如图2所示的程序框图输出的S是30，则在判断框中M表示的“条件”应该是A．B．C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在平面BCD上的射影，则异面直线BM与OA所成角的余弦值为_______．参考答案：【分析】设点在平面上的射影为，得、、三点共线，且是的中点，得异面直线与所成角等于异面直线与所成角，即.在中求解即可【详解】设点在平面上的射影为，则、、三点共线，且是的中点，则异面直线与所成角等于异面直线与所成角，即.设正四面体的棱长为2，则，，，所以中，.故答案为【点睛】本题考查异面直线所成的角及正四面体的基本性质，准确计算是解题关键，是基础题12. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，B=2A，则c的取值范围是．参考答案：（，）【考点】正弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】由条件求得即＜A＜，再根据正弦定理求得c==4cosA﹣，显然c在（，）上是减函数，由此求得c的范围．【解答】解：锐角△ABC中，∵B=2A＜，∴A＜．再根据C=π﹣3A＜，可得A＞，即＜A＜，再根据正弦定理可得===，求得c====4cosA﹣在（，）上是减函数，故c∈（，），故答案为：（，）．【点评】本题主要考查三角形的内角和公式、正弦定理，函数的单调性的应用，属于中档题．13. 已知四棱锥P﹣ABCD的外接球为球O，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=2，AB=4，则球O的表面积为．参考答案：【考点】球的体积和表面积．【分析】设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=BD=，设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+（）2=22+（﹣d）2，求出R，即可求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积．【解答】解：取AD的中点E，连接PE，△PAD中，PA=PD=AD=2，∴PE=，设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=BD=，设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+（）2=22+（﹣d）2，∴d=，R2=，球O的表面积为s=．故答案为：．【点评】本题考查四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四棱锥P﹣ABCD 的外接球的半径是关键．14. 若则5.参考答案：15. 已知x 、y 满足约束条件，使取得最小的最优解有无数个，则a的值为________.参考答案：116.在平面上有如下命题：“为直线外的一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数满足，且”，我们把它称为平面中三点共线定理，请尝试类比此命题，给出空间中四点共面定理，应描述为：参考答案：为平面外一点，则点在平面内的充要条件是：存在实数满足且略14、设，，则的值是____________。
2021届陕西省咸阳市高三上学期高考一模考试数学(文)试卷及答案
2021届陕西省咸阳市高三上学期高考一模考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(含答案)注意事项：1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟；2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3．第I 卷选择题必须使用2B 铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}2230{0,1,2,3,4}A x x x B =--<=∣，，则A B ⋂=（ ）A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．{3,4}D ．{0,2,3}2．设复数11i z i-=+，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶（各台阶高度相同．．．．．．．）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年……第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为（ ）A ．86.2米B ．83.6米C ．84.8米D ．85.8米4．已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的侧面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π5．中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习，则他恰好不选草书体的概率为（ ）A ．35B ．25C ．45D ．156．设1320201ln log ,22021a b c ===，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．c a b >>7．已知向量a b ，满足||4(3,6)a b ==，，且(2)(3)a b a b +⊥-．则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 8．函数ln ||||x y x =的图像大致为（ ）。
陕西省咸阳市高三数学上学期摸底考试理试题北师大版
陕西省咸阳市高三数学上学期摸底考试理试题北师大版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
题 号一二三总 分1617 18 19 20 21 得 分第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（ ）A.3B.6C.8D.102. 设α是第二象限角,(),4P x 为其终边上的一点,且1cos 5xα=,则tan α=（ ）A.43B.34C.34-D.43-3. 在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝（ ） A.58 B.88 C.143 D.1764. 下列判断错误的是（ ）A. “22am bm <”是”a b <”的充分不必要条件B.命题“2,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是“ 2000,10x x x ∃∈-->R ”C.若,p q 均为假命题，则p q ∧为假命题D.若()~4,0.25B ξ，则1D ξ=5. 在△ABC 中，若2···AB AB AC BA BC CACB =++，则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形6.412x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A.24- B.6- C.6 D.24 7 7. 圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为（ ）A.内切B.相交C.外切D.相离8．已知()(),1,1,1a m b n ==-（其中,m n 为正数）,若a*b=0,则11m n +的最小值是（ ）A.2B.22C.4D.89. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（ ） A. 23π B. 8π3 C.43 D. 16π310. 若实数x ，y 满足10,0,0x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则z=3x+2y的最小值是( )A.0B. 1C.3D. 9第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填在答题卷相应位置上.）11.不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为 ．12. 已知点F 、A 分别为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点、右顶点，点B （0，b ）满足0=⋅AB FB ，则双曲线的离心率为 ． .13. 已知()10210123111x a a x a x a x +=++++.若数列123,,,,ka a a a(1≤K ≤11, K ∈Z)是一个单调递增数列，则k 的最大值是 ． .14. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 个. 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A ．（不等式选做题）不等式130x x +--≥的解集是 .B ．(几何证明选做题) 如图，⊙O 的直径AB =6cm ，P 是 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连结AC ，若︒=∠30CAP ，则PC = ． .C.(极坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，已知曲线θρcos 2=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，则实数a 的值为________． ．三、解答题（本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，点),(b a 在直线C c B y B A x sin sin )sin (sin =+-上，（1）求角C 的值；（2）若18)(622-+=+b a b a ，求ABC ∆的面积. 17.（本小题满分12分）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击. （1）求该射手恰好命中一次的概率；（2）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX. 18.（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD.（1）证明：DC 1⊥BC ；（2）求二面角A 1－BD －C 1的大小.19.（本小题满分13分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，公差0d，5346S a ，且139,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和公式.20．（本小题满分13分）已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为2，2）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．21.（本小题满分13分)已知函数21()ln2f x x x=+.（Ⅰ）求函数()f x在[1,e]上的最大值、最小值；（Ⅱ）求证：在区间[1,)+∞上，函数()f x的图象在函数32()3g x x=图象的下方；数学（理科）参考答案一、选择题：1. D【解析】要使Ayx∈-,当5=x时，y可是1，2，3，4;当4=x时，y可是1，2，3;当3=x时，y可是1，2;当2=x时，y可是1，综上, B中所含元素共有10个.选D.2. D【解析】因为α是第二象限角,所以0x<.由三角函数的定义,有1cos5xα==,解得()30x x=-<.所以44tan33α==--.3. B【解析】由等差数列性质可知，a4＋a8＝a1＋a11＝16，S11＝2)11111aa+⨯（＝88.4. D【解析】A项中，22am bm a b<⇒<；但a b<不能推出22am bm<,例如：当0m=时，22am bm=，故A正确；B项显然正确；C项中,,p q均为假可以推出p q∧为假，正确；D 项中，()40.2510.250.75D ξ=⨯⨯-=，故错误.5. D 【解析】由2···AB AB AC BA BC CACB =++，得()()··AB AB AC BC BA CA-=-，得·AB CB =·BC BC ，得()·0BC BC AB +=，得·0BC AC =,故BC AC ⊥.故△ABC 是直角三角形.6. D 【解析】展开式中的通项为()()44421441C 212C rrr rr r r r T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令420r -=，得2r =.所以展开式中的常数项为()2223412C 24T =-=7. B 【解析】因为两圆的圆心距为22(22)(10)++-＝17，又因为3－2<17<3＋2，所以两圆相交.8. C 【解析】因为·0=a b ,所以()1110m n ⨯+⨯-=,即1m n +=.又,m n 为正数,所以()1111m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2224n m n m m n m n =++≥+⋅=,当且仅当n m m n =,即12m n ==时等号成立.故11m n +的最小值是4.9. D 【解析】该几何体是个如下图所示的三棱锥D-ABC ，外接球的球心为点E ，F 为AC 的中点，设,EF r DE EA EC EB ====,则231r r -=+，解得3r =.所以外接球的半径为233R r =-=，表面积为216π4π3R =.10. B 【解析】作出不等式组10,0,0x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的可行域（如下图），令'2z x y =+，可知当直线'2z x y =+经过点()0,0O 时，'2z x y =+取得最小值0，故此时23x yz +=取得最小值1.11. {x|2≤x≤3}【解析】解不等式得 (x －2)(x －3)≤0，即2≤x≤3，所以不等式的解集是{x|2≤x≤3}．12.152e +=【解析】由()(),,0FB AB c b a b ⋅=⋅-=，得20ac b -+=，所以220ac c a -+-=，即210e e -+-=，解得15e +=或15e -=（舍去）.13.6【解析】由二项式定理,得1098765110210310410510610C ,C ,C ,C ,C ,C ,a a a a a a ======4710C ,a =…,1010101110C ,C a a ==,因为1234567a a a a a a a <<<<<>,且数列123,,,,ka a a a …是一个单调递增数列,所以k 的最大值是6.14. 40【解析】六个数中任取3个数共有36C 20=种情况，每一种情况下将最大的一个数放在中间，又可以组成两个不同的三位数，所以符合“伞数”的情况共有20240⨯=种. 15.A. }1|{≥x x B. 33 C. 2或8- 16. （本小题满分12分)解：（1）由题得()sin sin sin sin a A B b B c C-+=，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得()22a ab bc -+=，即222a b c ab +-=.…………3分由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==， 结合0C π<<,得3C π=.………………6分（2）由226()18a b a b +=+-，得22(3)(3)0a b -+-=， 从而3a b ==.………………9分所以ABC ∆的面积211sin 3sin 2234S ab C π==⨯⨯=. ………………12分17. （本小题满分12分)解：（1）记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知 P(B)＝34，P(C)＝P(D)＝23，由于A ＝B C －D －＋B －C D －＋B －C －D ， 根据事件的独立性和互斥性得P(A)＝P(B C －D －＋B －C D －＋B －C －D)＝P(B C －D －)＋P(B －C D －)＋P(B －C －D) ＝P(B)P(C －)P(D －)＋P(B －)P(C)P(D －)＋P(B －)P(C －)P(D) ＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736 ………………6分（2）根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得P(X ＝0)＝P(B －C －D －)＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136，P(X ＝1)＝P(B C －D －)＝P(B)P(C －)P(D －)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝112，P(X ＝2)＝P(B －C D －＋B －C －D)＝P(B －C D －)＋P(B －C －D)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝19， P(X ＝3)＝P(BC D －＋B C －D)＝P(BC D －)＋P(B C －D)＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝13，P(X ＝4)＝P(B －CD)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19，P(X ＝5)＝P(BCD)＝34×23×23＝13.故X 的分布列为所以EX ＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112. ………………12分18. （本小题满分12分) 解：（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形. 由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1. 又AC ＝12AA 1，可得DC 12＋DC 2＝CC 12，所以DC 1⊥DC.而DC 1⊥BD ，DC∩BD＝D ，所以DC 1⊥平面BCD.BC ⊂平面BCD ，故DC 1⊥BC. ……………………………………5分（2）由（1）知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1，所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直. 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴的正方向，|CA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz.由题意知A 1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C 1(0,0,2).则A 1＝(0,0，－1)，BD →＝(1，－1,1)，1C D ＝(－1,0,1). 设n ＝(x ，y ，z)是平面A 1B 1BD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·A1D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，z ＝0.可取n ＝(1,1,0).同理，设m 是平面C 1BD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·DC1→＝0.可得m ＝(1,2,1).从而cos 〈n ，m 〉＝n·m |n|·|m|＝32.故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°. ……………………………………12分19. （本小题满分13分) 解:（1）因为5346S a ，所以115454(2)62d a a d . ①……………………………………3分因为139,,a a a 成等比数列，所以2111(8)(2)a a d a d . ② ……………………………………5分由①②及0d，可得12,2a d .……………………………………6分 所以2na n. ……………………………………7分（2）由2na n，可知2(22)2nn n S n n.……………………………………9分所以 1111(1)1nS n n n n ， ……………………………………11分 所以1211111nnS S S S 11111111122311n n nn ……13分20．（本小题满分13分)解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为 22221x y ab += （a ＞b ＞0），则222211,2c a a b =+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 故 2,1a b ==⎧⎨⎩， 所以，椭圆方程为 2214x y +=． ……………5分（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0， 故可设直线l 的方程为 y ＝kx ＋m （m≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由22,440,y kx m x y =++-=⎧⎨⎩ 消去y 得（1＋4k 2）x 2＋8kmx ＋4（m 2－1）＝0，则△＝64 k 2b 2－16（1＋4k 2b 2）（b 2－1）＝16（4k 2－m 2＋1）＞0，且122814km x x k -+=+，21224(1)14m x x k -=+．故 y 1 y 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）＝k 2x 1x 2＋km （x 1＋x 2）＋m 2． 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以，1212y y x x ⋅＝22121212()k x x km x x m x x +++＝k 2，即222814k m k-+＋m 2＝0，又m≠0，所以 k 2＝14，即 k ＝12±．由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且△＞0，得0＜m 2＜2 且 m 2≠1．设d 为点O 到直线l 的距离，则 S△OPQ＝12d | PQ |＝12| x 1－x 2 | | m |所以 S△OPQ 的取值范围为 （0，1）． ……………… 13分21. （本小题满分13分)（I ）∵f ' (x)=1x x +∴当x ∈[1,e]时，f ' (x)>0，∴()f x 在[1,e]上是增函数,故min 1()(1)2f x f ==，2max 1()(e)e 12f x f ==+. ------6分（II ）设2312()ln 23F x x x x=+-，则221(1)(12)()2x x x F x x x x x -++'=+-=， ∵1x >时，∴()0F x '<，故()F x 在[1,)+∞上是减函数.又1(1)06F=-<，故在[1,)+∞上，()0F x<，即2312ln23x x x+<，∴函数()f x的图象在函数32()3g x x=的图象的下方. ---------13分11。
2023届陕西省咸阳市实验中学高三年级上册学期第四次模拟考试理科数学试题【含答案】
陕西省实验中学高2023届高三第四次模拟考试 理科数学一、单项选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知i 是虚数单位，复数2i 12i z =+，则复数z 的虚部为（ ）A ．2i 5B ．25C ．1i 5-D ．15-2．已知集合{}|ln A x y x ==，{}|e 1xB y y ==-，则A B ⋃=（ ）A ．RB ．[)0,∞+C ．()1,-+∞D ．∅3．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．804．已知()0,0O ，()3,0A ，动点(),P x y 满足2PAPO=，则动点P 的轨迹与圆()2221x y -+=的位置关系是（ ）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离5．若tan 3α=，则sin 2cos2αα-=（ ）A ．15-B ．14C ．12D ．756．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱1B B ，11B C 的中点，点G 是棱1C C 的中点，则过线段AG 且平行于平面1A EF 的截而图形为（）A ．等腰梯形B ．三角形C ．正方形D ．矩形7．函数()f x =的图象大致是（ ）A．B．C．D．8．某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为：0ektM M-=（其中M，k是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤60%的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：lg20.3010=）A．3h B．4h C．5h D．6h9．在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A．79B．2332C．932D．2910．某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为（）A．24B．36C．60D．24011．已知双曲线C:22221x ya b-=，过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，l与C的另一条渐近线交于点B，若3AB AF=，则C的离心率为（）A．2B C D12．已知0.21,ln1.2,tan0.2ea b c=-==，其中e 2.71828= 为自然对数的底数，则（）A．c a b>>B．a c b>>C．b a c>>D．a b c>>二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．若sin2x x=，则cos2x=__________．14．若直线y kx b=+是曲线e1xy=-和1e xy-=的公切线，则实数k的值是______.15．已知抛物线2:2C x y=上有两动点P，Q，线段PQ的中点E到x轴距离的是2，则线段PQ长度的最大值为______.16．中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为_________，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为________．三、解答题（本题共6道小题，共70分，写出必要的文字说明与演算步骤）17．某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了60名男生和60名女生，通过调查得到如下数据：60名女生中有10人课间经常进行体育活动，60名男生中有20人课间经常进行体育活动.(1)请补全22⨯列联表，试根据小概率值0.05α=的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动合计男女合计(2)以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为X ，求X 的分布列、数学期望和方差.附表：α0. 10. 050. 010. 0050. 001x α2. 7063. 8416. 6357. 87910. 828附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.18．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =目()12n n nS n S +=+，n *∈N (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()24141nnn a b nn *=-∈-N ，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB BD BP ===PA PD ==90APD ∠=︒，E 是棱PA 的中点，且BE 平面PCD(1)证明：CD ⊥平面PAD ；(2)若1CD =，求二面角A PB C --的正弦值.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>12(,0),(,0),(0,)A a A a B b -，12A BA ∆的面积为2.(I)求椭圆C 的方程；(II)设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M与直线2A B 交于点Q .求证:△BPQ 为等腰三角形.21．已知函数()()e xf x x p =-的极值为1-．(1)求p 的值，并求()f x 的单调区间；(2)若()()()f a f b a b =≠，证明：e e 2a ba b +++<．选做题（22题，23题选做一题，多做或做错，按照第一题计分）22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为1cos tan x y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩（α为参数）．(1)写出曲线C 的普通方程；(2)设P 为曲线C 上的一点，将OP绕原点O 逆时针旋转4π得到OQ ．当P 运动时，求Q 的轨迹．23．已知函数 ()()124lg R 3x x af x a ++=∈.(1)若2a =-，求函数()f x 的定义域；(2)若01a <<，求证:()()22f x f x >.1．B 【分析】根据复数运算法则即可得到答案.【详解】因为1(12i)12i 12i (12i)(12i)55z ---===-+++-,所以复数z 的虚部为25.故选：B.2．C 【分析】根据集合的表示求得集合,A B ，按照集合的并集运算即可.【详解】解：由已知有{}()|ln 0,A x y x ∞===+，{}()|e 11,x B y y ∞==-=-+所以()1,A B =-+∞ .故选：C.3．C 【详解】分析：写出103152r r rr T C x -+=⋅⋅，然后可得结果详解：由题可得()5210315522rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅令103r 4-=,则r 2=所以22552240r r C C ⋅⋅==故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．4．B 【分析】由题意求出动点P 的轨迹方程,再由两圆圆心距与半径的关系判断.【详解】设(,)P x y ,由题意可知,()222222||4||,(3)4PA PO x y x y =∴-+=+整理得,点P 的轨迹方程为22(1)4x y ++=,其图形是以(1,0)-为圆心，以2为半径的圆，而圆22(2)1x y -+=的圆心坐标为(2,0),半径为1,可得两圆的圆心距为3,等于213+=,则动点P 的轨迹与圆22(2)1x y -+=的位置关系是外切.故选：B.5．D 【分析】通过化弦为切得222tan 1tan sin 2cos 2tan 1ααααα-+-=+，代入数据即可.【详解】由已知可得tan 3α=,则cos 0α≠则sin 2cos 2αα-22222sin cos cos sin sin cos αααααα-+=+222tan 1tan 6197tan 1915ααα-+-+===++故选：D.6．A 【分析】利用平行作出截面图形，即可判断形状.【详解】取BC 中点H ，连接AH ，GH ，1AD ，1D G .如下图所示：由题意得//GH EF ，1//AH A F .又GH ⊄平面1A EF ，EF ⊂平面1A EF ，//GH ∴平面1A EF ，同理//AH 平面1A EF .又GH AH H = ，,GH AH ⊂平面1AHGD ，∴平面1//AHGD 平面1A EF ，故过线段AG 且与平面1A EF 平行的截面为四边形1AHGD ，显然四边形1AHGD 为等腰梯形.故选：A 7．A 【分析】根据函数的奇偶性以及特殊点的函数值求得正确答案.【详解】x x x x >+=+≥，所以()f x 的定义域为R ，()f x ⎡⎤-==()f x ===-，所以()fx 是奇函数，图象关于原点对称，排除BD 选项.()10f =>，排除C 选项，所以A 选项正确.故选：A 8．B 【分析】由题意可得()0.40.8t=，进而利用指数与对数的关系可得0.8log 0.4t =，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可【详解】由题意可知()00120%e k M M --=，所以e 0.8k -=，设过滤60%的污染物需要的时间为t ，则()00160%e kt M M --=，所以()()0.4e e 0.8ttkt k--===，所以0.82lglg 0.4lg 2lg 55log 0.44lg 0.82lg 2lg 5lg 5t -====-()()lg 21lg 22lg 2120.301010.398 4.1032lg 21lg 23lg 2130.301010.097---⨯--====≈---⨯--，比较接近4.9．B 【分析】设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，分别求出,A Ω对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，其面积为111S Ω=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其面积为133********A S =-⨯⨯=，所以()2332A S P A S Ω==．故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件,A Ω对应的区域面积，即可顺利解出．10．C 【分析】分两种情况分类计算，一种是A 基地只有甲同学在，另外一种是A 基地有甲同学还有另外一个同学也在，两种情况相加即可.当A 基地只有甲同学在时，那么总的排法是2343C A 36=种；当A 基地有甲同学还有另外一个同学也在时，那么总的排法是1343C A 24=种；则甲同学被安排到A 基地的排法总数为362460+=种.故选：C 11．C 【分析】结合点到直线的距离公式、角平分线的性质求得22b a ，进而求得离心率.【详解】右焦点(),0F c ，一条渐近线为0bx ay -=，F 到0bx ay -=的距离为bc bc =，即,,AF b OF c OA a===，由于3AB AF =，所以2BF b =，由于FOA FOB ∠=∠，由正弦定理得,sin sin sin sin AF OA BF OBFOA OFA FOB OFB ==∠∠∠∠，而sin sin OFA OFB ∠=∠，122b b ==，所以221,3b e a =====故选：C12．B观察0.21,ln1.2,tan 0.2ea b c =-==，发现都含有0.2，把0.2换成x ，自变量在(0,1)或其子集范围内构造函数，利用导数证明其单调性，比较,,a b c 的大小.【详解】令cos cos sin ()1tan cos e e x xx x x f x x x --=--=，04x π<<，令()cos cos sin e x g x x x x =--，()(sin cos )sin cos (1)(cos sin )e e x xg x x x x x x x '=-++-=-⋅-，当04x π<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，又(0)110g =-=，所以()0g x >，又cos 0x >，所以()0f x >，在(0,)4π成立，所以(0.2)0f >即a c >，令()ln(1)h x x x =+-，1()111xh x x x -=-=++'，()h x 在(0,2x π∈为减函数，所以()(0)0h x h <=，即ln(1)x x +<，令()tan m x x x =-，21()1cos m x x '=-，()m x 在(0,2x π∈为减函数，所以()(0)0m x m <=，即tan x x <，所以ln(1)tan x x x +<<，(0,)2x π∈成立，令0.2x =，则上式变为ln(0.21)0.2tan 0.2+<<，所以0.2b c <<所以b c <，所以b<c<a .故答案为：B.【点睛】比较大小题目，是高考的热点，也是难点，通过观察和构造函数是基本的解题要求，难点在于构造后的证明，需要平时多积累常见的结论，达到深入理解，举一反三，融会贯通.13．12##0.5【分析】利用辅助角公式得πsin 13x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可求出π2π,6x k k =+∈Z 即可求解cos 2x .【详解】因为πsin 2sin 23x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以ππ2π,32x k +=+ 即π2π,6x k k =+∈Z ，所以π24π,3x k k =+∈Z ，所以ππ1cos 2cos 4πcos 332x k ⎛⎫=+==⎪⎝⎭故答案为: 12.14．1【分析】设直线y kx b =+与曲线1,e 1e xx y y -=-=分别相切于点()()12112,,e 1,e x x A x B x --,利用导数求出曲线e1xy =-在点A 处的切线方程,以及曲线1e x y -=在点B 处的切线方程,可得出关于12,x x 的方程组,解出这两个量的值,即可求得k 的值.【详解】设直线y kx b =+与曲线1,e 1exx y y -=-=分别相切于点()()12112,,e 1,e x x A x B x --,对函数e 1x y =-求导得e x y '=,则1e x k =，曲线e 1xy =-在点A 处的切线方程为()111e 1e x x y x x -+=-,即()111e 1e 1x x y x x =+--,对函数1e x y -=求导得1e x y -'=,则21e x k -=,曲线1e x y -=在点B 处的切线方程为()22112ee x x y x x ---=-,即()22112e 1e x x y x x --=+-,所以()()12121112e e 1e 11e x x x x k b x x --⎧==⎪⎨=--=-⎪⎩，化简可得120110x x k b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故答案为：1.15．5【分析】根据椭圆定义及三角形三边关系得11||||||PQ PF QF PP QQ ≤+=+，再结合梯形中位线性质即可得到最值.【详解】设抛物线C 的焦点为F ,点P 在抛物线的准线12y =-上的投影为1P ,点Q 在直线12y =-上的投影为1Q ,线段PQ 的中点为E ,点E 到x 轴的距离为2,则1111||||||222522E PQ PF QF PP QQ y ⎛⎫⎛⎫≤+=+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当||||||PF QF PQ +=,即P 、F 、Q 三点共线时等号成立，所以PQ的最大值为5.故答案为：5.16． 4π【分析】因为内切球的球心到几何体每个面的距离相等，利用半径，几何体表面面积，几何体体积之间的关系，可以求出半径；建立空间直角坐标系，由第一空可得内切球球心坐标，将几何体补全成长方体可得外接球球心坐标，计算两点间距离.【详解】如图，ABCD 为正方形，设PD 垂直于平面ABCD ，由题4PD =，3AB =，因为PD AB ⊥，AD AB ⊥，所以AB ⊥平面ADP ，所以AB AP ⊥，ABP 为直角三角形，由题，5AP =，四棱锥表面积33343536S =⨯+⨯+⨯=，体积2134123V =⨯⨯=，设内切球半径为r ，则13Sr V =，得31V r S ==，内切球表面积为244r ππ=；以DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系，因为内切球半径1r =，所以内切球球心()11,1,1O ，因为该四棱锥可以补全为棱长分别为3，3，4的长方体，所以外接球球心233,,222O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，两点间距离1O =故答案为：4π17．(1)表格见解析，有关联(2)分布列见解析，数学期望为1，方差为34【分析】（1）计算卡方，根据独立性检验方法求解即可；（2）根据二项分布的分布列与数学期望和方差公式求解即可【详解】（1）零假设为0H ：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，依题意，列出22⨯列联表如下：课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动合计男402060女501060合计9030120220.05120(40102050)40 4.444 3.841606090309x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯，根据小概率值0.05α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0. 05（2）由题意得，经常进行体育活动者的频率为3011204=，所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为14，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，由题意得14,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以4411()C 1,0,1,2,3,444kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，4041181(0)C 144256P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13141127(1)C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22241127(2)C 144128P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3134113(3)C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4044111(4)C 144256P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，X 的分布列为：X1234P812562764271283641256X 的数学期望为1()414E X np ==⨯=，X 的方差为113()(1)41444D X np p ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.18．(1)n a n =，n *∈N .(2)11221112121n n k n T n k n ⎧-+=⎪⎪+=⎨⎪--=-⎪-⎩，，其中k *∈N .【分析】对于（1），先由()12n n nS n S +=+可得n S 表达式，再由1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，，，其中n *∈N .可得{}n a 的通项公式；对于（2），由（1）可得n a n =，则()()()22411414111412121nn n n n a b n n n n n ⎛⎫=+ ⎪-=-=----+⎝⎭，据此可得数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）由题111S a ==，又由()12n nnS n S +=+，n *∈N .可得12n nS n S n ++=，n *∈N .故()312112211341112212n n n n n n n S S S S n n S S S S S S n n ---++=⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-- .则当2n ≥，n *∈N 时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=.又1n =时，11a =，故数列{}n a 的通项公式是n a n =，n *∈N .（2）由（1）可知n a n =，n *∈N ，则()()()22411414111412121nn n n n a b n n n n n ⎛⎫=+ ⎪-=-=----+⎝⎭.则当n 为偶数时，12321n n n nT b b b b b b --=++++++ 11111111111133557252323212121n n n n n n =--++--+++--++-----+ 1121n =-++.当n 为奇数时，1111111123212321n n n T T b n n n n ++=-=-+--=--++++.综上：11221112121n n k n T n k n ⎧-+=⎪⎪+=⎨⎪--=-⎪-⎩，，其中N k *∈.19．(1)证明见解析【分析】（1）取AD 中点Q ，连接QE ，QB ，PQ ，证明故BQ ⊥面ADP ，//BQ CD ，得到答案.（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，得到平面APB 法向量和平面PBC 法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1）取AD 中点Q ，连接QE ，QB ，PQ ，EQ PD ∥，EQ ⊄面PCD ，PD ⊂面PCD ，故EQ 面PCD ，//BE 面PCD ，BE EQ E ⋂=，面//BEQ 面PCD ，平面ABCD ⋂平面PBQ BQ =，平面ABCD ⋂平面PCD CD =，故BQ CD ∥.2AD =，1PQ =，2BQ ==，222BQ PQ BP +=，故PQ BQ ⊥，AB BD =，Q 是AD 中点，故AD BQ ⊥，PQ AD Q = ，,PQ AD ⊂平面ADP ，故BQ ⊥面ADP ，//BQ CD ，故CD ⊥面PAD .（2）如图所示以,,QB QD QP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0)Q ，(0,1,0)A -，(0,0,1)P ，(2,0,0)B ，(1,1,0)C ，，设平面APB 法向量为(),,n x y z =，200n PB x z n AP y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取=1x -，(1,2,2)n =-- ，设平面PBC 法向量为(),,m a b c = ，200m PB a c m PC a b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取1a =，()1,1,2m =，cos ,m n <>=设二面角A PB C --的平面角为θ，sin θ==20．(I)2214x y +=；(II)证明见解析【解析】(I)运用椭圆离心率公式和三角形面积公式，结合,,a b c 的关系，解方程可得2,1a b ==，从而得到椭圆方程(II) 设(),M m n ，直线2A M 的直线方程为()22n y x m =--直线1A B 的直线方程为112y x =+，联解求出P 点坐标，同理求出Q 坐标，22225(1)4p p p BP x y x =+-=,22225(1)4Q Q Q BQ x y x =+-=，只需证明22=P Q x x ,利用作差法可证明.【详解】(I)由题意得2221222c a ab b c a⎧=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得2,1,a b c ===2214x y +=.(II)由题意得()()()122,0,2,0,0,1A A B -,设点(),M m n ，则有2244m n +=，又直线2A M 的直线方程为()22n y x m =--，直线1A B 的直线方程为112y x =+，()22112n y x m y x ⎧=-⎪⎪-∴⎨⎪=+⎪⎩，解得24422422m n x n m n y n m +-⎧=⎪⎪-+⎨⎪=⎪-+⎩，P ∴点的坐标为2444,2222m n n n m n m +-⎛⎫⎪-+-+⎝⎭.又直线1A M的直线方程为()22n y x m =++，直线2A B 的直线方程为112y x =-+.()22112n y x m y x ⎧=+⎪⎪+∴⎨⎪=-+⎪⎩，解得24422422m n x n m n y n m -+⎧=⎪⎪++⎨⎪=⎪++⎩，Q ∴点的坐标为2444,2222m n n n m n m -+⎛⎫⎪++++⎝⎭.22225(1)4p p p BP x y x ∴=+-=，22225(1)4Q Q Q BQ x y x ∴=+-=.2222244244()()2222P Q m n m n x x n m n m +--+-=--+++()()()()()()22222242222422222222m n n m m n n m n m n m +-++--+-+=-+++()()222264(44)02222mn m n n m n m +-==-+++，22=BP BQ ∴，BP BQ ∴=，∴△BPQ 为等腰三角形.【点睛】圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等. 通常利用代数方法，即把要求证的等式或不等式用坐标形式表示出来，然后进行化简计算等进行证明21．(1)1p =；单调减区间为(),0∞-，单调增区间为()0,∞+；(2)证明见解析.【分析】（1）根据极值点处导数为零，以及函数的极值，列出方程求得参数；再利用导数判断函数单调性即可；（2）构造函数()()e 1ln 1x g x x =-+-，根据其单调性，通过证明e 1b a <-，e 1ab <-即可证明结果.【详解】（1）设()f x 的极值点为0x ，()()1e xf x x p =+-'，则()()00001e 0e 1x x x p x p ⎧+-=⎪⎨-=-⎪⎩，解得00x =，1p =，经检验，1p =时满足题意．所以()()1e xf x x =-，()e xf x x '=，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>，所以()f x 的单调减区间为(),0∞-，单调增区间为()0,∞+．（2）不妨设a b <，因为()()()1e 0a f a f b a ==-<，由（1）知，01a b <<<，()()01f x f ≥=-．设函数()()e 1ln 1x g x x =-+-，1x <，则()()1e 11e 011x xx g x x x ⎡⎤--'+⎣⎦=-=≤--，所以()g x 在(),1-∞上单调递减，所以()()00g a g >=，即()ln 11e aa -->-，所以()()()ln 1ln 11e 1e a a a a -⎡⎤--⋅>-⎣⎦，即()()()()ln 1f a f a f b ->=．又()ln 10a ->，0b >，所以()ln 1a b->，即e 1ba <-．由()()f a f b =，得e e 111a bb a =<--，又1b <，所以e 1a b<-所以e e 2a b a b +<--，即e e 2a ba b +++<，得证．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数由函数极值求参数，以及利用导数求函数单调性和证明不等式；第二问处理的关键是如何逆向思考，得到构造()()e 1ln 1x g x x =-+-的思路，属综合困难题.22．(1)221x y -=(2)12xy =【分析】(1)由参数方程消去参数方程可得其普通方程；(2) 设(),Q ρθ，则,4P πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将P 的直角坐标代入对应的直角坐标方程可得其极坐标，再将其化为直角坐标方程可得.【详解】（1）∵2222221sin 1sin 1cos cos cos x y ααααα-⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴曲线C 的普通方程为221x y -=；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设(),Q ρθ，则,4P πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点P 的直角坐标为cos sin 44ππρθρθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，∴22cos sin 144ππρθρθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴22cos sin 1ρθθ=，∴1cos sin 2ρθρθ⋅=，即12xy =，∴点Q 的轨迹方程为12xy =．23．(1)()0-∞，(2)证明见解析【分析】(1) 若2a =-，则函数1224()lg3x xf x +-⨯=，要使函数有意义，则对数的真数大于零，解不等式即可求解；(2先利用柯西不等式和实数a 的取值范围得到()()2223124124x x x x a a++>++，然后整理变形，再根据对数的单调性即可证明.【详解】（1）若2a =-，则函数1224()lg3x xf x +-⨯=，要使函数有意义，则有122403x x+-⨯>，即 24210x x⨯--<，所以()()121210xx +-+<，所以 21x<， 得0x <，所以函数()f x 的定义域为()0-∞，.（2）由柯西不等式， 得()()22223124124x x x x a a++++ 由 01a <<， 得2a a >， 所以()()2223124124x x x x a a++>++，所以22212412433x x x x a a ⎛⎫++++> ⎪⎝⎭，所以 22124124lg 2lg 33x x x x a a ++++>， 即()()22f x f x >.。
高考模拟练习—陕西省咸阳市2021-2022学年高三上学期期末数学试题(含答案解析)
陕西省咸阳市2021-2022学年高三上学期期末数学试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知实数集R ，集合2{|430}A x x x =-+<，集合{|B x y ==，则A B =（ ） A ．{}|12x x <≤B ．{}|2x x ≤<3C ．{}|23x x <<D ．{}3|1x x <<2．设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．53-B ．13-C ．13D ．533．下列叙述中正确的是（ ） A ．若*x N ∀∈，则()210x ->B ．若“x y <，则22x y <”的逆否命题是真命题C ．“2x x >”是“1x >”的必要不充分条件D ．“0x ∀>，都有230x x --<”的否定是“0x ∃<，使得230x x --≥”4．已知向量,a b 满足3||2||3a b ==，若|2|14 a b +=，则,a b 夹角的余弦值为（ ） A ．12B ．13C ．23D ．565．函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（ ）……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………A ． B ．C ．D ．6．《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（ ）个．A ．12 B ．24C ．36D ．487．某几何体的三视图如图所示，则该几何的体积为A ．16+8πB ．8+8πC ．16+16πD ．8+16π8．若直线l ：()200,0ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………21a b+的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．2 D ．229．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC 的面积为( )A ．23B ．33C ．233D ．22310．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则1124f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．－111．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 是C 的渐近线上一点，122F F MF =，12120F F M ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5B 7C ．32D 312．已知函数()2ln ,01,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，若函数()()g x f x k =-有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<<B ．11k e-<<C ．e 0k -<<D ．10ek -<<第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题 13．已知a 为正实数，若函数322()32f x x ax a =-+的极小值为0，则a 的值为_____ 14．已知抛物线2:4C y x =，过焦点F 且倾斜角为3π的直线交C 于A ，B 两点，则弦AB 的中点到准线的距离为__________.15．已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为_______.……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………16．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______. 评卷人 得分三、解答题 17．已知数列{}n a 是前n 项和为122n n S +=- (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．在①2cos cos cos 0a A b C c B --=，②sin sin sin sin sin sin a B Cb Bc C a A A+=+，③锐角A 满足2tan sin cos 323A A A ππ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这三个条件中任一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：ABC 的三个角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，23a =，ABC 面积为534，且____． （1）求角A ； （2）求ABC 的周长．19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，122AA AC CB AB ===.（1）证明：1//BC 平面1A CD ； （2）求二面角1D A C E --的正弦值．20．已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.21．已知函数()22()24ln f x x ax x x =-+．(1)若函数()f x 在[1,)+∞上的最小值为1，求实数a 的取值范围； (2)若1ea >，讨论函数()f x 在[1,)+∞上的零点个数.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点，||AB =求l 的斜率．23．已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.参考答案：1．B 【解析】先求得集合{|13}A x x =<<，集合{|2}B x x =≥，再结合集合的交集运算，即可求解. 【详解】由集合2{|430}A x x x =-+<{|13}x x =<<，集合{|B x y =={|2}x x =≥， 所以{|23}A B x x ==≤<. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合,A B ，再结合集合的交集的运算进行求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】由题意可得：522213333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而21111133333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键. 3．C 【解析】 【分析】取特殊值可判断A ，根据原命题与逆否命题等价判断B ，解不等式后根据集合的包含关系可判断C ，由含量词命题的否定判断D.【详解】1x =时，()210x -=，故A 错；“若x y <，则22x y <”是假命题，故其逆否命题是假命题，故B 错；2x x >的解集是{|0x x <或1}x >，由{|1}x x > 真包含于{|0x x <或1}x > 可知“2x x >”是“1x >”的必要不充分条件，故C 对；“0x ∀>，都有230x x --<”的否定是“0x ∃>，使得230x x --≥”，故D 错. 故选：C 4．C 【解析】 【分析】根据给定条件求出a b ⋅，再借助向量夹角公式计算即得. 【详解】依题意，||1a =，3||2b =，由|2|14 a b +=两边平方得：224414a a b b +⋅+=，即223144()142a b +⋅+⨯=，解得1a b ⋅=，于是得12cos ,33||||12a b a b a b ⋅〈〉===⨯，所以,a b 夹角的余弦值为23.故选：C 5．B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解. 【详解】 设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， 又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.故选：B.6．D 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，根据题意，由()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩求解. 【详解】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >， 由题意得：123123453493a a a a a a a a ⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，即()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩， 解得132a q =⎧⎨=⎩，所以45148a a q ==，故选：D 7．A 【解析】 【详解】试题分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体， 半圆柱的底面半径为2，故半圆柱的底面积212=22S ππ=⨯⨯，半圆柱的高4h =．故半圆柱的体积为8π，长方体的长宽高分别为422，，，故长方体的体积为42216⨯⨯=， 故该几何体的体积为168+π，选A………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………考点：三视图，几何体的体积 8．B 【解析】 【分析】求出圆的圆心与半径，可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上，推出22a b +=，利用基本不等式转化求解21a b+取最小值．【详解】解：圆222410x y x y ++-+=，即22(1)(2)4x y ++-=， 表示以2()1,M -为圆心，以2为半径的圆，由题意可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上， 故220a b --+=，即22a b +=，∴22122221122422a ba bb a b a a b a b a b a b+++=+=++++⋅， 当且仅当22b aa b=，即2a b =时，等号成立， 故选：B ． 【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 9．C 【解析】 【分析】根据已知条件sin sin 4sin sin b C c B a B C +=结合正弦定理边化角可得sin A ，结合2228b c a +-=和余弦定理可得cos A 和bc ，根据三角形面积公式1sin 2bc A 可得面积.【详解】∵sin sin 4sin sin ,sin sin 0b C c B a B C B C +=>，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，∵2228b c a +-=， 结合余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2cos 8bc A =， ∴A 为锐角，且cos A =bc = ∴ABC 的面积为111sin 222S bc A ===故选：C. 10．D 【解析】根据图像，先求出A ，再求出ω，然后得到77()1212f ππϕ=⨯+=进而求出3πϕ=，最后，直接求函数值即可 【详解】 有图得，A =741234T πππ=-=，2T ππω∴==，得2ω=，所以， ())f x x ϕ=+，利用77())1212f ππϕ=⨯+= 得出72,62k k z ππϕπ+=-+∈，由||2ϕπ<得，3πϕ=，则有())3f x x π+，所以，11115)1241234f ππππ⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】关键点睛：解题关键在于，根据图像得到())3f x x π=+，最后求出函数值，难度属于基础题 11．B 【解析】 【分析】根据题意，表示出()2M c ，代入直线by x a=，得到a 、b 、c 的齐次式，消去b ，即可求出离心率. 【详解】设(),M m n ，()1,0F c -，()2,0F c ，由对称性不妨设点M 在第一象限，可知点M 在直线by x a=上，因为122F F MF =，12120F F M ∠=︒，所以2m c =，n =，将()2M c 代入b y x a =，得b a =线C 的离心率e =. 故选：B. 12．D 【解析】 【分析】将问题转化为()y f x =与y k =有三个交点，利用导数研究()f x 在0x >上的性质，进而画出()f x 的图象，应用数形结合的方法求参数k 的范围. 【详解】当0x >时，()ln f x x x =，∴()ln 1f x x '=+， 令()0f x '=得，1=x e，∴当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，又()1111ln 10f f e e ee ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，，画出函数()f x 的图像，如图所示，………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………∵函数()()g x f x k =-有三个零点，即方程()0f x k -=有三个不等实根，∴函数()y f x =与y k =有三个交点，由图像可知，10-<<k e ，故选：D. 13．12．【解析】求导数，确定极小值，由极小值为0求得a ． 【详解】由题意2()363(2)f x x ax x x a '=-=-，∵0a >，∴0x <或2x a >时，()0f x '>，02x a <<时，()0f x '<， ∴()f x 在(,0)-∞和(2,)a +∞上递增，在(0,2)a 上递减，()f x 的极小值是332(2)81220f a a a a =-+=，解得12a =（0a =舍去）． 故答案为：12 14．83【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，求出直线AB 的方程与抛物线联立，利用韦达定理，转化求解坐标关系，即可得到结果． 【详解】由题意，抛物线2:4C y x =，可得焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 0y -=， 联立方程组24y y x -==⎪⎩，整理得231030x x -+=， 则12103x x +=，所以弦AB 的中点的横坐标为53，则弦AB 的中点到准线的距离为58133+=．故答案为：83.15【解析】 【分析】作出直观图，根据几何关系求出球心到平面ABC 的距离即可求解. 【详解】∵,1AC BC AC BC ⊥==，∴ABC 为等腰直角三角形，∴AB =， 则ABC 外接圆圆心是AB 中点1O ，半径为1O B =又球的半径为OB ＝1，设O 到平面ABC 的距离为d ＝1OO ，则d =， ∴11111332O ABC ABCV Sd -=⋅=⨯⨯⨯=………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………16．[)0,+∞ 【解析】 【分析】 先根据2x π=时22f a ππ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得0a ≥，再对函数()f x 求导，研究导函数的单调性、最值等，进而研究函数()f x 单调性，即可解决. 【详解】 解：22f a ππ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，0a ∴≥. 由题意得()()2sin sin cos 1sin cos 1f x x x x x x x x '=-++-=-+-⎡⎤⎣⎦， 令()sin cos 1g x x x x =-+-，则()sin g x x x '=-. 当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()0g x '<，()g x 单调递减；当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴的最小值为()1g ππ=--. 又22g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，302g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3,22x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()0g x ≤，即()0f x '≤，()f x ∴在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数.02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()0f x ≤.又当0a ≥，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0ax ≥，故()f x ax ≤恒成立，因此a 的取值范围是[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞ 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分析与解决问题的能力，是中档题. 17．(1)2n n a = (2)21222n n n +++-【解析】 【分析】（1）减项作差即可，注意对首项单独讨论；（2）先求出{}n b 的通项公式，再分组求和. (1)∵122n n S +=-当2n ≥时，1122(22)n nn n n a S S +-=-=---2n =当1n =时，12a =满足上式， 所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =. (2)由（1）得，()22log 22n n nn b n =+=+，则23(21)(22)(23)(2)n n T n =++++++++23(2222)(123)n n =+++++++++2(12)(1)122n n n -+=+- 21222n n n ++=+-.18．选择见解析；（1）3A π=；（2）【解析】【分析】（1）选①：利用正弦定理、两角和的正弦公式可求得cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；选②：利用正弦定理和余弦定理求出cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；选③：利用三角恒等变换思想可得出sin 23A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得bc 的值，利用余弦定理可求得b c +的值，进而可求得ABC 的周长.【详解】（1）选①：由于2cos cos cos 0a A b C c B --=，利用正弦定理：sin cos cos sin 2sin cos B C B C A A +=，整理得sin 2sin cos A A A =， 由于()0,A π∈，所1cos 2A =，解得3A π=； 选②：sin sin sin sin sin sin aB Cb Bc C a A A+=+，利用正弦定理：222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==， 由于()0,A π∈，所1cos 2A =，解得3A π=； 选③：锐角A 满足2tan sin cos 23A A A ππ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12tan cos cos 2sin cos 2sin cos 332A A A A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ )211sin cos sin 21cos 2sin 2222A A A A A A A =+=-=sin 23A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得：sin 23A π⎛⎫- ⎪⎝⎭由于A 为锐角，即02A π<<，则22333A πππ-<-<，故233A ππ-=，所以3A π=；（2）由于ABC ，故1sin 2bc A =5bc =．由于2222cos a b c bc A =+-，由于a =所以()223a b c bc +-=，解得b c += 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 19．（Ⅰ）见解析（Ⅱ 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理可得1//DF BC ，由线面平行的判定定理可得结果；（Ⅱ）由1AA AC CB AB ===，可设：AB=2a ，可得 AC BC ⊥，以点C 为坐标原点，分别以直线1,,CA CB CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图，利用向量垂直数量积为零列方程分别求出平面1A CD 的法向量、平面1A CE 的一个法向量，再由空间向量夹角余弦公式可得结果. 【详解】（Ⅰ）如图，连结1AC ，交1A C 于点F ，连结DF ，………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○因为D 是AB 的中点，所以在1ABC 中， DF 是中位线， 所以1DF / / BC ，因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ， 所以1//BC 平面1A CD ； （Ⅱ）因为2AC CB AB ==， 所以90ACB ︒∠=，即AC BC ⊥，则以C 为坐标原点，分别以1,,CA CB CC 为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○设1AA =AC=CB=2，则1(0,0,0),(1,1,0),(0,2,1),(2,0,2)C D E A ，则1(1,1,0),(0,2,1),(2,0,2)CD CE CA ===， 设()111,,m x y z =是平面1DA C 的一个法向量，则，即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩，取11x =，则111,1y z =-=-, 则(1,1,1)n =--同理可得平面1EA C 的一个法向量， 则(2,1,2)n =-， 所以，13cos ,111414m n ⨯〈〉==++⨯++， 所以6sin ,3m n 〈〉=， 即二面角D AC E --的正弦值为6【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】 【详解】试题分析：设出F ，由直线AF 求得c ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF ，()0,2A -所以2c =c = 又222c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k +==++. 所以PQ ==点O 到直线l 的距离d =所以12OPQ S d PQ ∆== 0t =>，则2243k t =+， 244144OPQ t S t t t ∆==≤=++， 当且仅当2t =2=， 解得k =时取等号， 满足234k > 所以OPQ ∆的面积最大时直线l 的方程为：2y =-或2y =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的. 21．(1)(,1]-∞； (2)答案见解析. 【解析】 【分析】 (1)求导数，分情况判断导数正负，从而判断单调性和最小值即可； (2)根据(1)中单调性判断f (x )极值，根据极值即可判断零点个数. (1) ()(44)ln 2424()(ln 1),[1,)f x x a x x a x x a x x =-+-+-+∈'=+∞， 当1a ≤时，()0f x '≥，∴()f x 为单调递增函数，min ()(1)1f x f ==，符合题意；当1a >时，在[1,)a 上，()0,()f x f x '<单调递减， 在(,)a +∞上，()0,()f x f x '>单调递增，∴min ()()f x f a =， ∵(1)1f =，故()(1)1f a f <=，与()f x 的最小值为1矛盾． 故实数a 的取值范围为(,1]-∞． (2)由(1)可知，当11e a <≤时，在[1,)+∞上，()f x 为单调递增函数，min ()1f x =， 此时函数()f x 的零点个数为0； 当1a >时，22min ()()2ln f x f a a a a ==-+，令22()2ln ,(1,)g x x x x x =-+∈+∞， 则()4ln 224ln 0g x x x x x ax x '=--+=-<，函数()g x 单调递减， 令22()2ln 0g x x x x =-+=，解得12e x =， ∴当121,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0>g x ，e x =，()0g x =，12e ,x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0<g x ， ∴当121,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，min ()0f x >，此时函数()f x 在[1,)+∞上的零点个数为0； 当12e a =时，min ()0f x =，此时函数()f x 在[1,)+∞上的零点个数为1； 12e ,a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，min ()0f x <，又(1)10f =>，故()f x 在(1,)a 存在一个零点， 2(2)40f a a =>，故()f x 在(,2)a a 存在一个零点， 此时函数()f x 在[1,)+∞上的零点个数为2． 综上，可得121,e e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 在[1,)+∞上的零点个数为0； 12e a =时，函数()f x 在[1,)+∞上的零点个数为1； 12e ,a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，函数()f x 在()0f x '>上的零点个数为2． 【点睛】 本题关键考察利用导数讨论函数的零点个数，关键是求出函数的单调性，根据单调性求出函数的最小值，再构造函数讨论最小值的正负，以此判断原函数零点的个数.………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 22．（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）153±. 【解析】 【详解】 试题分析：（Ⅰ）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=化简即可求解；（Ⅱ）先将直线l 化成极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解. 试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为2212110x y x +++=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=. （Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 设A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=. 于是1212cos ρρα+=-，1211ρρ=. ()221212124144cos 44AB ρρρρρρα=-=+-=-. 由10AB =得23cos 8α=，15tan 3α=±. 所以l 的斜率为153或153-. 23．（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞． 【解析】 【详解】 试题分析：（1）当2a =时⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤；（2）由 ()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥等价于 |1|3a a -+≥，解之得2a ≥. 试题解析： （1）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. 因此，()6f x ≤的解集为. （2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ①当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. 考点：不等式选讲.。
陕西省咸阳市2021-2022学年高三上学期开学摸底考试文科数学试题(wd无答案)
陕西省咸阳市2021-2022学年高三上学期开学摸底考试文科数学试题一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知，则（）A．B．C．D．(★★) 3. 已知，则（）A．B．C．D．(★★) 4. 设，，，则（）A．B．C．D．(★★) 5. 若 x， y满足约束条件则的最小值为（）A．3B．1C．D．(★★) 6. 函数的大致图象是（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知定义在 R上的函数的图象关于点对称，，且函数在上单调递增，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．4B．8C．D．(★★★) 9. 若函数的最小正周期为，且其图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则的图象（）A．关于直线对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于点对称(★★) 10. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧 AB的中点，则异面直线 PA与 BC所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°(★★★★) 11. 已知椭圆为 C的左､右焦点，为 C上一点，且的内心，若的面积为2 b，则 n的值为（）A．B．C．D．3(★★★) 12. 已知函数是定义在 R上的奇函数，其导函数为，且对任意实数 x都有，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13. 已知向量，且，则实数 ___________ .(★★) 14. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则的离心率为 ____ .(★★★) 15. 在中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c.已知三角形的面积是，且，则的面积是 ___________ .(★★★) 16. 已知在三棱锥中，且二面角的大小为，是边长为的等边三角形，则三棱锥外接球的半径长为 ___________ .三、解答题(★★★) 17. 已知数列为等比数列，设其前 n 项和为，公比，且，.（1）求数列 的通项公式；（2）记数列的前 n 项和为 ，求数列的前 n 项和.(★★) 18. 某研究机构为了研究华为公司由于技术创新对订单产生的影响，调查了技术创新前､后华为及其它公司在欧洲的订单情况，结果如下：华为在欧洲的订单数其他公司在欧洲的订单数 技术创新前 20 60 技术创新后 30 40（1）是否有95%的把握认为华为公司技术创新影响了华为在欧洲的订单？ （2）现从技术创新前､后华为在欧洲的订单数中，采用分层抽样的方法抽取5个进行调查，若从抽得的5个订单中随机抽取2个进行调查结果的比较，求这2个订单中恰好有一个是技术创新后的订单的概率.附： ，其中 .0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(★★★) 19. 如图，在四棱锥中，底面 ABCD 是矩形，平面，分别是 PB ､ CD 的中点.（1）证明：平面 PAD；（2）若平面 AEF，求四棱锥的体积.(★★★) 20. 已知抛物线的焦点为是抛物线上一点且三角形MOF的面积为（其中 O为坐标原点），不过点 M的直线 l与抛物线 C交于 P， Q两点，且以 PQ为直径的圆经过点 M，过点 M作交 PQ于点 N.（1）求抛物线 C的方程；（2）求证直线 PQ恒过定点，并求出点 N的轨迹方程.(★★★★) 21. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）讨论方程的实根个数.(★★★) 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点 O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点，曲线与曲线的交点为（异于点 O）两点，求的值. (★★) 23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求 a的取值范围.。
2021届陕西省咸阳市高三上学期高考模拟检测(一)数学(文)试题(解析版)
2021届陕西省咸阳市高三上学期高考模拟检测（一）数学（文）试题一、单选题1．若集合{}2230{0,1,2,3,4}A xx x B =--<=∣，，则A B =（ ）A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．{3,4}D ．{0,2,3}【答案】B【分析】先求集合B ，再求AB .【详解】2230x x --<，解得：13x，{}13A x x ∴=-<<，{}0,1,2,3,4B =， {}0,1,2A B ∴⋂=.故选：B 2．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解.【详解】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限. 故选：C3．据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶（各台阶高度相同．．．．．．．）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年……第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为（ ）A．86.2米B．83.6米C．84.8米D．85.8米【答案】A【分析】由题可知各台阶高度相同，所以所求答案为17.69108526÷⨯【详解】解：由题意可知所求高度为17.6910852686.2÷⨯≈，所以乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为86.2米，故选：A4．已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的侧面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【答案】B【分析】求出底面圆的半径，再利用圆锥侧面积的公式求解.【详解】由题得底面圆的半径为2，所以圆锥的侧面积为1224=82ππ⨯⋅⨯.故选：B5．中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习，则他恰好不选草书体的概率为（）A ．35B ．25C ．45D ．15【答案】A【分析】分析从从五种书体中任意选两种和不选草书体的基本事件的种数，再利用古典概型代入计算概率.【详解】从五种书体中任意选两种进行研习，共有2510C =种，则不选草书体共有246C =种，则不选草书体的概率为63105P ==. 故选：A.6．设13202012,log ,22021a b c ===，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】D【分析】利用对数函数和指数函数和性质分别比较与0，1的大小即可 【详解】解：因为ln y x =在(0,)+∞上单调递增，且12e <<，所以ln12ln e <<，即021<，所以01a <<， 因为2020log y x =在(0,)+∞上单调递增，且112021<， 所以202020201log log 102021<=，即0b <， 因为2xy =在R 上为增函数，且103>，所以103221>=，即1c >，所以c a b >>， 故选：D7．已知向量a b ，满足||4(3,6)a b ==，，且(2)(3)a b a b +⊥-．则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【分析】先求出||3b =，再根据a b 求a 与b 的夹角. 【详解】(3,6)||3b b =∴=，.22(2)(3),3620a b a b a a b a b b +⊥-∴-⋅+⋅-=，2234543cos 230θ∴⨯+⨯⨯-⨯=， 1cos 2θ∴=-[]20,,3πθπθ∈∴=即向量a 与向量b 的夹角是23π. 故选：C【点睛】知识点睛：求向量夹角通常用夹角公式：cos ,||||a ba b a b =⨯，还要注意角的范围[],0,a b π∈. 8．函数ln ||||x y x =的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】可得函数为偶函数，当x →+∞时，0y →，或取特值验证再结合选项分析可得答案.【详解】由题意可得函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，设()ln ||||x y f x x ==， ∴()()ln ||ln ||||||x x f x f x x x --===-，即函数()ln ||||x f x x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，故排除B 、C 选项， 当x →+∞时，有0y →，故排除A 选项.（取210100123,,x e x e x e ===，则2122ln 2e y e e ==，1021010ln 10e y e e ==，1003100100ln 100e y e e==，因210100123x e x e x e =<=<=，而123y y y >>，故A 选项不符合题意）.综上所得D 选项符合题意. 故选：D.【点睛】本题考查函数的图象，由函数的性质入手是解决问题的关键，属于基础题.9．已知O 的圆心是坐标原点O ，且被直线0x -+=截得的弦长为3，则O的方程为（ ） A ．221x y += B ．222x y +=C ．223x y +=D ．224x y +=【答案】C【分析】首先计算圆心到直线的距离d ，利用几何法求弦长的公式代入求解2r .【详解】由题意，圆心到直线的距离2==d ，由几何法可知，3==l ，代入数据可得23944-=r ，所以23r =，所以圆的标准方程为223x y +=.故选：C.10．设函数()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间是（ ）A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】求出函数()f x 的减区间，再与0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦求交集妈阿中得．【详解】由已知()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 2223k x k ππππ≤-≤+，2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴减区间为,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故选：D ．11．已知双曲线221222:1(0,0)x y C a b F F a b-=>>，，分别是双曲线C 的左右焦点，且122F F =．过点2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若2OPF 的面积取最大值时，双曲线C 的离心率为（ ） A ．3 BC ．2D【答案】D【分析】先求焦点到渐近线的距离，再表示2OPF 的面积212OPF Sab =，再利用基本不等式求最值，以及最值取得的条件，同时求双曲线的离心率. 【详解】设其中一条渐近线方程by x a=，焦点()2,0F c到渐近线的距离d b ==，2OPF 是直角三角形，且2OF c =，2PF b =，OP a ∴==，212OPF Sab ∴=，122F F =，1c ∴=，即221a b +=，22122a b ab +=≤，当a b =时等号成立，ab ∴的最大值是12，即2OPF 的面积的最大值是14，此时a b=，双曲线是等轴双曲线，离心率e =故选：D【点睛】关键点点睛：本题的一个关键公式是，焦点到渐近线的距离d b =，小题时，可以直接用这个条件.12．已知函数2,0()0x x f x x +<⎧⎪=，若函数()()(1)g x f x m x =-+有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】函数()()(1)g x f x m x =-+有三个零点，等价于()f x 的图像与(1)y m x =+的图像有3个交点，画出函数的图像，而(1)y m x =+的图像恒过点(1,0)-，所以只要直线(1)y m x =+与()(0)f x x x =≥有2 个交点即可，求出直线(1)y m x =+与()(0)f x x x =≥相切时的m 的值，即可得到结果【详解】解：函数()()(1)g x f x m x =-+有三个零点，等价于()f x 的图像与(1)y m x =+的图像有3个交点，两函数的图像如图所示，因为(1)y m x =+的图像恒过点(1,0)-， 所以要有3个交点，即左边1个，右边2个， 设直线(1)y m x =+与()(0)f x x x =≥相切于点00(,)x y ，'()2f x x=，则000(1)2m x x m x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得0112x m =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以当102m <<时，两函数图像有3 个交点，所以实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是将函数()()(1)g x f x m x =-+有三个零点，转化为()f x 的图像与(1)y m x =+的图像有3个交点，然后画出函数的图像，利用图像求解即可，属于中档题二、填空题13．若,x y 满足约束条件20202.x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，，则3z x y =+的最大值为__________．【答案】14【分析】由线性约束条件作出可行域，作直线由3z x y =+可得133zy x =-+，作直线01:3l y x =-沿可行域方向平移，由z 的几何意义即可求解. 【详解】由线性约束条件作出可行域如图，由3z x y =+可得133z y x =-+，作直线01:3l y x =-，沿可行域的方向平移可知过点A时，3z x y =+取得最大值，由202x y x -+=⎧⎨=⎩可得24x y =⎧⎨=⎩，所以()2,4A ，所以max 23414z =+⨯=， 故答案为：14.【点睛】方法点睛：线性规划求最值的常见类型（1）线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；（2）分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率问题，结合图形求解；（3）平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解.14．若偶函数()f x 满足(4)()(1)1f x f x f +=-=-，，则(2021)f =____________． 【答案】-1【分析】先判断函数的周期，再利用周期和偶函数的性质求值. 【详解】()()4f x f x +=，()f x ∴是周期函数，周期4T=，且函数是偶函数，()()()()202150541111f f f f =⨯+==-=-，故答案为：1-15．已知有大小相同的三个正方形并排摆放，如图所示，其中,αβ均为锐角，则sin =4παβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭_____________．【答案】1【分析】先求出51025310sin αβαβ====2sin()αβ+=4παβ+=，进而可求出sin 4παβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值【详解】解：由图可知51025310sin ,sin ,cos 510510αβαβ====， 因为51sin ,sin ,05622ππαα==<< 所以6πα<，因为βα<，所以6πβ<，sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+3502502==，因为6πα<，6πβ<，所以3παβ+<，所以4παβ+=，所以42ππαβ++=，所以sin()14παβ++=故答案为：116．已知,αβ是两个平面，,m n 是两条直线．有下列命题：①如果//,m n n α⊂，那么//m α； ②如果//,,.m m n αβαβ⊂⋂=，那么//m n ； ③如果//,m αβα⊂，那么//m β； ④如果,,n m n αβαβ⊥⋂=⊥，那么m β⊥． 其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【分析】利用线面平行的判断定理，性质定理，以及面面平行和面面垂直的性质定理判断.【详解】①如果//,m n n α⊂，那么//m α或m α⊂，故①不正确；②如果//,,.m m n αβαβ⊂⋂=，那么//m n ，这就是线面平行推得线线平行的性质定理，故②正确；③如果//,m αβα⊂，那么//m β，这就是利用面面平行推线面平行的性质定理，故③正确；④缺少m α⊂这个条件，故④不正确. 故答案为：②③三、解答题17．设数列{}n a 是等差数列，已知133,9a a ==． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，求122021b b b +++．【答案】（I ）3n a n =；（Ⅱ）20216066. 【分析】（1）利用等差数列通项公式求公差，再求通项公式；（2）由（1）可知3133(1)3(1)n b n n n n ==⋅+⋅+，再利用裂项相消法求和.【详解】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意有312a a d =+，3132a a d -==， 33(1)3n a n n ∴=+-=．（Ⅱ）3111133(1)3(1)31n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪⋅+⋅++⎝⎭123202111111111202111322320212022320226066b b b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．18．如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面,,,2,4,ABC PC AC BC AC AC PC CB M ⊥⊥===是PA 的中点．（1）求证：PA ⊥平面MBC ；（2）设点N 是PB 的中点，求三棱锥N MBC -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）由平面PAC ⊥平面ABC ，可得BC ⊥平面PAC ，从而得BC PA ⊥，再由等腰三角形三线合一的性质可得CM PA ⊥，则由线面垂直的判定定理可证得结论；（2）由已知条件可得N 到平面MBC 的距离是1222442PA ==，再求出MBC △的面积，可求出三棱锥N MBC -的体积【详解】（1）∵平面PAC ⊥平面,ABC BC AC ⊥，BC ∴⊥平面PAC ，PA 平面PAC ，,BC PA AC PC M ∴⊥=，是PA 的中点，CM PA CM BC C ∴⊥⋂=，，PA ∴⊥平面MBC（2）由（1）知PA ⊥平面MBC ，N 是PB 的中点，N ∴到平面MBC 的距离是1442PA ==， ,,BC AC BC PC BC ⊥⊥∴⊥平面,PAC BC MC ∴⊥，12MC PA ==111124343223N MBC MBCV SPA -∴=⨯⨯=⨯⨯=． 19．随着互联网的飞速发展，我国智能手机用户不断增加，手机在人们日常生活中也占据着越来越重要的地位．某机构做了一项调查，对某市使用智能手机人群的年龄、日使用时长情况做了统计，将18~40岁的人群称为“青年人”（引用青年联合会对青年人的界定），其余人群称为“非青年人”．根据调查发现“青年人”使用智能手机占比为60%，“非青年人”使用智能手机占比为40%；日均使用时长情况如下表：将日均使用时长在2小时以上称为“频繁使用人群”，使用时长在2小时以内称为“非频繁使用人群”．已知“频繁使用人群”中有34是“青年人”． 现对该市“日均使用智能手机时长与年龄的关系”进行调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据上面提供的数据． （Ⅰ）补全下列22⨯列联表；（Ⅱ）根据列联表的独立性检验，判断有多大把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．以参考数据：独立性检验界值表0K【答案】（Ⅰ）列联表见解析；（Ⅱ）有99%的把握认为“日均使用智能于机时长与年龄有关”．【分析】（Ⅰ）根据已知条件可计算青年人数、非青年人数、出频繁使用人数，中青年人频繁使用人数，将22⨯列联表补充完整即可； （Ⅱ）利用公式计算2K 的观测值与临界值比较即可求解.【详解】（Ⅰ）200人中青年人有2000.6120⨯=人，非青年人有2000.480⨯=人， 频繁使用人群有2000.6120⨯=人，频繁使用人群中青年人有3120904⨯=人， 22⨯列联表为：（Ⅱ）22200(90503030)28.125 6.6351208012080K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”．20．设O 为坐标原点，抛物线2:4C y x =与过点(4,0)T 的直线相交于,P Q 两个点． （1）求证：OP OQ ⊥； （2）求OPQ △面积的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）16.【分析】（1）设直线:4PQ x ny =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，联立直线和抛物线方程得到韦达定理，证明0OP OQ →→⋅=即得证；（2）当直线PQ 存在斜率时，设:(4)PQ y k x =-，代入24y x =，得到韦达定理，求出16OPQS=>，当k 不存在时，16OPQS =，即得解.【详解】（1）设直线:4PQ x ny =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，联立244x ny y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，24160y ny --=，12124,16y y n y y ∴+==-．22212121212(16)16,04416y y x x x x y y -∴=⋅==∴+=，12120OP OQ x x y y →→∴⋅=+=，即OP OQ ⊥．（2）设:(4)PQ y k x =-，代入24y x =，得22(4)4k x x -=，化简得()222284160k x k x k -++=，2122128416k x x k x x ⎧++=⎪∴⎨⎪=⎩，2||PQ k ∴====，又O 到直线PQ的距离为：d =，2118162||OPQSk k ∴==⋅=>， 当k 不存在时，直线:4PQ x =，则易知(4,4)P ，184162OPQS∴=⋅⋅=． 综上可知，OPQS的最小值为16．【点睛】方法点睛：圆锥曲线的最值范围问题常用的解法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 21．设函数2()()e ,()xx f x f x x g x x -=⋅=， （I ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设对于任意12,[1,e]x x ∈，且12x x <，都有()()121212g x g x mx x x x -<-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（I ）()f x 的单调递减区间是(,1)-∞-，单调递增区间是(1,)-+∞；（Ⅱ）[1,)-+∞．【分析】（I ）对函数()f x 求导，然后计算()0f x '>与()0f x '<，即可得单调区间；（Ⅱ）将()()121212g x g x mx x x x -<-转化为()()1212m m g x g x x x +>+，然后根据题意，设()()ϕ=+mx g x x，可知函数()ϕx 在[1,]e 上单调递减，即得()0x ϕ'≤成立，然后参变分离求解.【详解】（I ）易知()f x 的定义域为R ，()(1)x f x x e '=+，当1x >-时，()0,()f x f x '>∴在(1,)-+∞上单调递增，当1x <-时，()0,()f x f x '<∴在(,1)-∞-上单调递减．()f x ∴的单调递减区间是(,1)-∞-，单调递增区间是(1,)-+∞．（Ⅱ）当12,[1,e]x x ∈，12x x <时，()()121212g x g x mx x x x -<-恒成立，即()()1212m m g x g x x x +>+恒成立，设11()()x x m e m m e x g x x x x xϕ-+-=+=+=，由题意可知，()ϕx 在[1,]e 上单调递减，即22(1)(1)(1)()0ϕ⎡⎤-⋅-+---+⎣⎦'==≤x xx e x m e x e m x x x在[1,]e 上恒成立； (1)(1)0,1(1)∴--+≤∴+≥-x x x e m m x e ，设()(1)xh x x e =-，则()e 0,()xh x x h x '=-<∴在[1,]e 上单调递减，max ()(1)0,10∴==∴+≥h x h m ，即1m ≥-【点睛】（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．（2）若可导函数()f x 在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥ （或()0f x '≤）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．22．直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的参数方程为13x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）求直线l 的普通方程，说明C 是哪一种曲线； （2）设,M N 分别为l 和C 上的动点，求||MN 的最小值．【答案】（1）:4l x y +=，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；（2）【分析】（1）消参得到直线l 的普通方程和曲线C 的方程，即得解；（2）设(3cos ,sin )N αα，求出||MN =.【详解】（1）由题得直线:4l x y +=，曲线22:13x C y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2219x y +=， 所以曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆．（2）设(3cos ,sin )N αα，则||MN 就是点N 到直线l 的距离，||MN ==ϕ的终边在第一象限且tan 3ϕ=）当sin()1αϕ+=时，min ||MN ==． 【点睛】方法点睛：参数方程里求直线上的点到曲线上的点的最值，一般先利用曲线的参数方程设点，再利用点到直线的距离求出距离的函数表达式，再利用三角函数的图象和性质求解.23．已知函数()|2||1|,f x x x x =+-∈R ． （Ⅰ）求()2f x 的解集；（Ⅱ）若()f x kx =有2个不同的实数根，求实数k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）{1x x ∣或13x -}；（Ⅱ）23k <<．【分析】（1）利用零点分段法，解不等式；（2）问题转化为()y f x =与y kx =有两个交点，利用数形结合，求实数k 的取值范围.【详解】（I ）31,0()1,0131,1x x f x x x x x -+⎧⎪=+<<⎨⎪-⎩，312x x ≤⎧⎨-+≥⎩或0112x x <<⎧⎨+≥⎩ 或1312x x ≥⎧⎨-≥⎩， 解得：{1x x ≥或1}3x ≤-()2f x 的解集是{1x x ≥或1}3x ≤-（Ⅱ）问题转化为()y f x =与y kx =有两个交点，由图易知：202,310OA OB AC k k k -====-， A o OB k k k ∴<<，即23k <<．【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.。
陕西省咸阳市普通高中2021届高三毕业班上学期高考模拟检测(一)数学(文)试题及答案
绝密★启用前陕西省咸阳市普通高中2021届高三毕业班上学期高考模拟检测(一)数学(文)试题2021年1月注意事项：1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟；2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3．第I 卷选择题必须使用2B 铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}2230{0,1,2,3,4}A x x x B =--<=∣，，则A B ⋂=（ ）A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．{3,4}D ．{0,2,3}2．设复数11i z i-=+，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶（各台．．阶高度相同．．．．．）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年,第二道平台的21级台阶,象征武则天执政21年……第九道平台的108级台阶,象征有108个“吉祥”现已知这108级台阶落差高度为17.69米,那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为（ ）A ．86.2米B ．83.6米C ．84.8米D ．85.8米4．已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形,则它的侧面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π5．中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术,以文字为载体,不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术,就离不开汉字,汉字是书法艺术的精髓,汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性,使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体,如图：以“国”字为例,现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习,则他恰好不选草书体的概率为（ ）A ．35B ．25C ．45D ．156．设1320201ln log ,22021a b c ===,则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．c a b >>7．已知向量a b ，满足||4(3,6)a b ==，,且(2)(3)a b a b +⊥-．则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π 8．函数ln ||||x y x =的图像大致为（ ）。
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（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz．
不妨设AC=4，则A1（0，0，2 ），B（ ，1，0）， ， ，C(0，2，0)．
咸阳市实验中学2021届高三上学期开学考试
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
23.（10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数
（I）当 时，求不等式 的解集；
（II）设函数 .当 时， ，求 的取值范围。
参考答案
一、选择题：（60分）
1．C 2．C 3．D 4、B 5、A 6．B 7.A 8.C 9．D
10.B 11. C 12.C
二、填空题(20分)
13、 14. . 15－1 16. ,
A．3B．2或4C．4D．2
7.在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 ( )
A． B． C． D．
8.名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种B．90种C．60种D．30种
9．若直线 与曲线 有公共点，则 的取值范围是（）
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．
又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．所以BC⊥平面A1EF．因此EF⊥BC．
（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．
22.（10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （α为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为 ，直线l的极坐标方程为 ．
（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；
（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值．
21.（12分）)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－2(e为自然对数的底数，a∈R)．
(1)判断曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)的公共点个数；
(2)当 时，若函数y＝f(x)－g(x)有两个零点，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
2．已知复 ，则复数的共轭复数（）
A． B． C． D．
3．若 ， ，则 （）
A． B． C． D．
4、函数 的零点所在的一个区间是( )
A．（-2，-1）B．（-1,0）C．（0,1）D．（1,2）
5. ( )
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为 ， ，直线 交抛物线于 ， 两点，且 为 的中点，则 的值为（）
22（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
（1）因为直线l的极坐标方程为 ，
即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0．将曲线C的参数方程 ，消去参数a，
得曲线C的普通方程为 ．
（2）设N（ ，sinα），α∈[0，2π）．
点M的极坐标（ ， ），化为直角坐标为（－2，2）．
由（1）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．
连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）．
不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2 ，EG= .
由于O为A1G的中点，故 ，
所以 ．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 ．
三、解答题：（70分）
17.(12分)解：设的公差为d，的公比为q，则,.由得
d+q=3.①
（1）由得②
联立①和②解得（舍去），因此的通项公式
（2）由得.解得
当时，由①得，则.
当时，由①得，则.
18．(12分)【解析】方法一：
（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，
，
因此有 的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
（2） 可能取值为65，70，75，80，且 .
， ，
， ，
所以 的分布列为
65
70பைடு நூலகம்
75
80
.
20．（12分）【解析】（1）由题得， ，解得 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）由题可知，直线 与直线 关于 轴对称，所以 ．
由（1）知，椭圆 的方程为 ，
三、解答题：共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：(共60分)
17.（12分）已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ， .
（1）若 ，求 的通项公式；
（2）若 ，求 .
18．（12分）如图，已知三棱柱 ，平面 平面ABC, ，
所以 的取值范围是 . ………………10分
因此， ， ．
由 得 ．
（2）设直线EF与平面A1BC所成角为θ．
由（1）可得 ．
设平面A1BC的法向量为n ，
由 ，得 ，
取n ，故 ，
因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为 ．
19.(12分)【解析】（1） 列联表如下：
不少于60元
少于60元
合计
男
12
40
52
女
18
20
38
合计
30
60
90
A． B． C． D．1
二填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分
13.曲线 在点 处的切线方程为____________．
14．焦点在 轴上的双曲线的渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为______．
15．已知 的展开式中 的系数为5，则 ＝______
16.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
A． B． C． D．
10.设 是同一个半径为4的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为( )
A. B. C. D.
11.设抛物线 的焦点为 ,点 在 上, ,若以 为直径的圆过点 ,则 的方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
12.已知函数 有唯一零点，则 =( )
由 ⇒x2＋(1－a)x＋1＝0.
由Δ＝(1－a)2－4＝a2－2a－3＝(a＋1)(a－3)可知：
当Δ＞0时，即a＜－1或a＞3时，有两个公共点；
当Δ＝0时，即a＝－1或a＝3时，有一个公共点；
当Δ＜0时，即－1＜a＜3时，没有公共点．
(2)y＝f(x)－g(x)＝x2－ax＋2＋xln x，
由y＝0，得a＝x＋ ＋ln x.
令h(x)＝x＋ ＋ln x，则h′(x)＝ .
当x∈ 时，由h′(x)＝0，得x＝1.
所以，h(x)在 上单调递减，在[1，e]上单调递增，
因此，hmin(x)＝h(1)＝3.
由h ＝ ＋2e－1，h(e)＝e＋ ＋1比较可知h ＞h(e)，所以，结合函数图象可得，当3＜a≤e＋ ＋1时，函数y＝f(x)－g(x)有两个零点．
附：参考公式和数据： ， .
附表：
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
20．（12分）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，
离心率为 ，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆的下顶点为 ，过右焦点 作与直线 关于 轴对称的直线 ，且直线 与椭圆分别交于点 ， ， 为坐标原点，求 的面积．
（1）证明： ；
（2）求直线EF与平面 所成角的余弦值
19.（12分）某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.
购买金额（元）
人数
10
15
20
15
20
10
（1）根据以上数据完成 列联表，并判断是否有 的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
则 ．
所以点P到直线l的距离 ，
所以当 时，点M到直线l的距离的最大值为 ．
23.（10分）选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）当 时， .
解不等式 ，得 .
因此， 的解集为 . ………………5分
（Ⅱ）当 时，
，
当 时等号成立，
所以当 时， 等价于 .①……7分
当 时，①等价于 ，无解.
当 时，①等价于 ，解得 .
所以 ， ，所以 ，从而 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
联立方程 ，解得 或 ．
设 ， ，不妨取 ， ，
所以当 ， ；当 ， ，