陕西省咸阳市实验中学2021届高三上学期开学考试(摸底) 数学(理)试题

，
因此有 的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
（2） 可能取值为65，70，75，80，且 .
， ，
， ，
所以 的分布列为
65
70
75
80
.
20．（12分）【解析】（1）由题得， ，解得 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）由题可知，直线 与直线 关于 轴对称，所以 ．
由（1）知，椭圆 的方程为 ，
22（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
（1）因为直线l的极坐标方程为 ，
即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0．将曲线C的参数方程 ，消去参数a，
得曲线C的普通方程为 ．
（2）设N（ ，sinα），α∈[0，2π）．
点M的极坐标（ ， ），化为直角坐标为（－2，2）．
不少于60元
少于60元
合计
男
40
女
18
合计
（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为 （每次抽奖互不影响，且 的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数 （元）的分布列并求其数学期望.
（1）证明： ；
（2）求直线EF与平面 所成角的余弦值
19.（12分）某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.
购买金额（元）
人数
10
15
20
15
20
10
（1）根据以上数据完成 列联表，并判断是否有 的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
三、解答题：（70分）
17.(12分)解：设的公差为d，的公比为q，则,.由得
d+q=3.①
（1）由得②
联立①和②解得（舍去），因此的通项公式
（2）由得.解得
当时，由①得，则.
当时，由①得，则.
18．(12分)【解析】方法一：
（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，
三、解答题：共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：(共60分)
17.（12分）已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ， .
（1）若 ，求 的通项公式；
（2）若 ，求 .
18．（12分）如图，已知三棱柱 ，平面 平面ABC, ，
由 ⇒x2＋(1－a)x＋1＝0.
由Δ＝(1－a)2－4＝a2－2a－3＝(a＋1)(a－3)可知：
当Δ＞0时，即a＜－1或a＞3时，有两个公共点；
当Δ＝0时，即a＝－1或a＝3时，有一个公共点；
当Δ＜0时，即－1＜a＜3时，没有公共点．
(2)y＝f(x)－g(x)＝x2－ax＋2＋xln x，
由y＝0，得a＝x＋ ＋ln x.
因此， ， ．
由 得 ．
（2）设直线EF与平面A1BC所成角为θ．
由（1）可得 ．
设平面A1BC的法向量为n ，
由 ，得 ，
取n ，故 ，
因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为 ．
19.(12分)【解析】（1） 列联表如下：
不少于60元
少于60元
合计
男
12
40
52
女
18
20
38
合计
30
60
90
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．
又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．所以BC⊥平面A1EF．因此EF⊥BC．
（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．
令h(x)＝x＋ ＋ln x，则h′(x)＝ .
当x∈ 时，由h′(x)＝0，得x＝1.
所以，h(x)在 上单调递减，在[1，e]上单调递增，
因此，hmin(x)＝h(1)＝3.
由h ＝ ＋2e－1，h(e)＝e＋ ＋1比较可知h ＞h(e)，所以，结合函数图象可得，当3＜a≤e＋ ＋1时，函数y＝f(x)－g(x)有两个零点．
A． B． C． D．
10.设 是同一个半径为4的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为( )
A. B. C. D.
11.设抛物线 的焦点为 ,点 在 上, ,若以 为直径的圆过点 ,则 的方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
12.已知函数 有唯一零点，则 =( )
所以 ， ，所以 ，从而 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
联立方程 ，解得 或 ．
设 ， ，不妨取 ， ，
所以当 ， ；当 ， ，
所以 ， ． ．
设原点 到直线 的距离为 ，则 ，
所以 ．
21.（12分）解(1)f′(x)＝ln x＋1，所以切线斜率k＝f′(1)＝1.
又f(1)＝0，∴曲线在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1.
附：参考公式和数据： ， .
附表：
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
20．（12分）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，
离心率为 ，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆的下顶点为 ，过右焦点 作与直线 关于 轴对称的直线 ，且直线 与椭圆分别交于点 ， ， 为坐标原点，求 的面积．
方法二：
（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz．
不妨设AC=4，则A1（0，0，2 ），B（ ，1，0）， ， ，C(0，2，0)．
由（1）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．
连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）．
不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2 ，EG= .
由于O为A1G的中点，故 ，
所以 ．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 ．
2．已知复 ，则复数的共轭复数（）
A． B． C． D．
3．若 ， ，则 （）
A． B． C． D．
4、函数 的零点所在的一个区间是( )
A．（-2，-1）B．（-1,0）C．（0,1）D．（1,2）
5. ( )
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为 ， ，直线 交抛物线于 ， 两点，且 为 的中点，则 的值为（）
22.（10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （α为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为 ，直线l的极坐标方程为 ．
（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；
（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值．
则 ．
所以点P到直线l的距离 ，
所以当 时，点M到直线l的距离的最大值为 ．
23.（10分）选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）当 时， .
解不等式 ，得 .
因此， 的解集为 . ………………5分
（Ⅱ）当 时，
，
当 时等号成立，
所以当 时， 等价于 .①……7分
当 时，①等价于 ，无解.
当 时，①等价于 ，解得 .
咸阳市实验中学2021届高三上学期开学考试
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
所以 的取值范围是 . ………………10分
A． B． C． D．1
二填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分
13.曲线 在点 处的切线方程为____________．
14．焦点在 轴上的双曲线的渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为______．
15．已知 的展开式中 的系数为来自百度文库，则 ＝______
16.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
21.（12分）)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－2(e为自然对数的底数，a∈R)．
(1)判断曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)的公共点个数；
(2)当 时，若函数y＝f(x)－g(x)有两个零点，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
23.（10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数
（I）当 时，求不等式 的解集；
（II）设函数 .当 时， ，求 的取值范围。
参考答案
一、选择题：（60分）
1．C 2．C 3．D 4、B 5、A 6．B 7.A 8.C 9．D
10.B 11. C 12.C
二、填空题(20分)
13、 14. . 15－1 16. ,
A．3B．2或4C．4D．2
7.在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 ( )
A． B． C． D．
8.名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种B．90种C．60种D．30种
9．若直线 与曲线 有公共点，则 的取值范围是（）