1.1.2 余弦定理第一课时

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1.1.2余弦定理(第1课时)

ABC
9
中，当 C 为锐角时，
a 2 b2 c 2 ; 当C 为钝角时，a 2 b2 c 2 .
3.挑战题：三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为多少？
七、归ห้องสมุดไป่ตู้小结
活动6：说一说，结一结
1.我最大的三点收获是： 2.我最大的两点反思是： 3.我最大的一点困惑是：
7
变式：如图2，A、B两地之间隔着一个水塘，先选择另一点C，测得 CA 182m, CB 126m, ACB 63 , 求AB两地之间的距离（精确到1m）
五、交流分享
活动4：用一用，展一展
8
讨论余弦定理与勾股定理之间的联系与区别
六、实践反馈
活动5：练一练，查一查
1.必做题：完成课本第8页练习1； 2.选做题：用余弦定理证明：在
1.1.2余弦定理（第一课时）
高中必修5第一章第一节
一、明确目标
问题情境
问题1：如图1:在ABC 中，已知 a 3cm, b 2, A 60. 解三角形？
2
问题2：如果把已知条件改为 a 3cm, b 2cm, C 60. 该怎么解出这个三角形吗？
一、明确目标
学习目标
1.掌握余弦定理，理解余弦定理与勾股定理之间的关系； —— 学会
3
2.能证明余弦定理；

1.1.2余弦定理(一) 公开课一等奖课件

推论：
b c a cos A 2bc
2 2
2
a c b cos B 2ac
2 2 2 2
2
a b c cos C 2ab
2
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就
可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
湖南省长沙市一中卫星远程学校
青春风采
湖南省长沙市一中卫星远程学校
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分数学145分英语141分文综255分
毕业学校：北京二中报考高校：北京大学光华管理学院北京市文科状元阳光女孩 --何旋湖南省长沙市一中卫星远程学校
2 2 2
你还有其它方法证明余弦定理吗？
两点间距离公式，三角形方法.
思考2：
a b c 2bc cos A
2 2 2
b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
2 2 2
这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。

人教版高中数学必修五课件第一章 1.1.2 余弦定理

A．大于 0
B．小于 0
C．等于 0
D．不确定
解析：由题意知，cos B＝a2＋2ca2c－b2＝cos 120°＝－12，∴a2＋c2－b2
＝－ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝－ac＋ac＝0.
答案：C
27
3．在△ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos A＝14. 若 a＝4，b＋c＝6，且 b<c，求 b，c 的值．解析：由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A，即 a2＝(b＋c)2－2bc－2bccos A，
2 6－
6－ 2· 4
2＝12，
又 b>a，∴A＝30°，B＝135°.
法二：∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝( 6－ 2)2，
∴c＝ 6－ 2，
∵cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ 23，
0°<A<180°，∴A＝30°，B＝135°.
12
已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．
10
探究一已知三角形的两边及其夹角解三角形 [典例 1] 在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2 2，C＝15°，解三角形． [解析] 法一：∵c2＝a2＋b2－2ab·cos C ＝4＋8－8 2cos 15°＝8－4 3＝( 6－ 2)2， ∴c＝ 6－ 2.

课时作业36：1.1.2　余弦定理（一）

1.1.2余弦定理(一)

学习目标 1.理解余弦定理的证明.2.初步运用余弦定理及其变形形式解三角形.

[知识链接]

1. 以下问题可以使用正弦定理求解的是________.

(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.

(2)已知两角和一边，求其他角和边.

(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角.

(4)已知一个三角形的三条边，解三角形.

答案(1)(2)

2.如图所示，在直角坐标系中，若A(0，0)，B(c，0)，C(b cos A，b sin A).利用两点间距离公式表示出|BC|，化简后会得出怎样的结论？

解a2＝|BC|2＝(b cos A－c)2＋(b sin A－0)2

＝b2(sin2A＋cos2A)－2bc cos A＋c2

＝b2＋c2－2bc cos A.

得出a2＝b2＋c2－2bc cos A.

[预习导引]

1.余弦定理

三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即

a2＝b2＋c2－2bc cos__A，

b2＝c2＋a2－2ca cos__B，

c2＝a2＋b2－2ab cos__C.

2.余弦定理的变形

cos A＝b2＋c2－a2

2bc，

cos B ＝c 2＋a 2－b 2

2ca ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .

题型一已知两边及一角解三角形

例1 已知△ABC ，根据下列条件解三角形： (1)b ＝3，c ＝33，B ＝30°； (2)a ＝3，b ＝2，B ＝45°.

解 (1)方法一由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.

人教A版高中数学必修5《一章解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理》优质课教案_14

《余弦定理》教案

一、教材分析

《余弦定理》选自人教A版高中数学必修五第一章第一节第一课时。本节课的主要教学内容是余弦定理的内容及证明，以及运用余弦定理解决“两边一夹角”“三边”的解三角形问题。

余弦定理的学习有充分的基础，初中的勾股定理、必修一中的向量知识、上一课时的正弦定理都是本节课内容学习的知识基础，同时又对本节课的学习提供了一定的方法指导。其次，余弦定理在高中解三角形问题中有着重要的地位，是解决各种解三角形问题的常用方法，余弦定理也经常运用于空间几何中，所以余弦定理是高中数学学习的一个十分重要的内容。

二、教学目标

知识与技能：1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论。

2、掌握余弦定理的推导、证明过程。

3、能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。

过程与方法：1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力。

2、通过直角三角形到一般三角形的过渡，培养学生归纳总结能力。

3、通过余弦定理推导证明的过程，培养学生运用所学知识解决实际

问题的能力。

情感态度与价值观：1、在交流合作的过程中增强合作探究、团结协作精神，体验

解决问题的成功喜悦。

2、感受数学一般规律的美感，培养数学学习的兴趣。

三、教学重难点

重点：余弦定理及其推论和余弦定理的运用。

难点：余弦定理的发现和推导过程以及多解情况的判断。

四、教学用具

普通教学工具、多媒体工具

（以上均为命题教学的准备）

五、教学过程

过程设计设计意图

情境设疑、引发思考1、温州有很多山，乘火车时会经过一个个隧

道，让学生思考隧道是如何开凿的。【多媒体

展示隧道图片】

#高中数学必修五：1.1.2-1《余弦定理》(人教A版必修5)

2ca
c2a2b22acbo CscosCa2 b2 c2
2ab
余弦定理可以解决的有关三角形的问题：
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角；
2、已知三边求三个角；
3、判断三角形的形状和边长的取值范围。
作业：习题1.1 3、4题，复习参考题A组第1题
当角C为锐角时 A
b
c
C
aD
B
当角C为钝角时
A c
b
D
Ca
B
证明：在三角形ABC中，已知 AB=c,AC=b和A
bcosA
b
作C CD⊥ Aa B2 ，C D 则2 CB DD =2bsinA,BD=c-
(b sinA )2 (c b co sA )2
a b 2 s2 iA n c 2 b 2 c2 o A 2 s bcc A o
千岛湖
情景问题
千岛湖
岛屿A
岛屿B
120°
?
岛屿C
情景问题
千岛湖
在△ABC中，已知AB=3km，BC=2km，
∠B=120o，求 AC
岛B 屿B
A岛屿A
120°
?
岛C 屿C
思考1：用刚学的正弦定理能否直接求出 AC？
1.1.2余弦定理
探究：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA

人教版2017高中数学(必修五)第一章 §1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2(一)PPT课件

第一章 §1.1
正弦定理和余弦定理
1．1.2 余弦定理(一)
学习目标
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
内容索引
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点一
余弦定理的推导
思考1
根据勾股定理，若△ABC 中， ∠C ＝ 90°，则 c2 ＝ a2 ＋ b2 ＝ a2 ＋b2－2abcos C．① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？答案当a＝b＝c时，∠C＝60°，
反思与感悟
b2＋c2－a2 已知三边求三角，可利用余弦定理的变形 cos A＝ 2bc ，cos B＝ a ＋c －b b ＋a －c ， cos C ＝求一个角，求其余角时，可用余弦定理也 2ac 2ba
2 2 2 2 2 2
可用正弦定理.
跟踪训练3
在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，判断三角形
a2＋b2－c2 由余弦定理，得 cos C＝ 2ab 72＋4 32－ 132 3 ＝＝2. 2×7×4 3
π 又∵C 为锐角，∴C＝6.
1 2 3
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为
5 A. 18
3 B. 4
3 C. 2
√

人教A版数学必修5-1.1.2 余弦定理(第一课时) 教学设计

编写时间：2021年月日2021-2022学年第一学期编写人：

形体系，确定边角边和边边边是两类可解的解三角形问题，使学生产生进一步探索解决问题的动机. （二）分析问题，确定方案

探究一

：已知两边及其夹角解三角形

问题：怎样确定解决问题的方案？

设置意图：通过学生的独立思考，畅所欲言，确定思路，让更多的学生有的放矢，明确解决问题的方向.

学生活动：小组合作，相互讨论，展示结果.

过程说明：通过确定方案，放手让学生自己探究发现证明余弦定理.必要时加以引导如：第三边可以放在直角三角形中求解吗？涉及边长和夹角，三角形是三条线段首尾相接所组成的封闭图形，可以用向量的等式来表示吗？两点之间的距离，能用坐标法求解吗？

设置意图：将原有的知识与现有的推理相联系，从多个角度联想去发现和解决问题，自主探究获得定理的证明.使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高. （三）发现定理，分析内涵

不同方法探索并证明余弦定理之后，通过观察余弦定理结构特征，层层深入，去分析余弦定理的内涵.

思考：观察C ab b a c cos 2222-+=的结构特征，谈一谈你对等式的理解.

设置意图：分析等式的外延和内涵，自然的得到余弦定理及其推论. （四）解决问题，理解定理

得到了余弦定理，继续完成已知边角边求解角的过程，和已知三边解三角形的过程.

探究二：已知三边解三角形

设置意图：通过解三角形的过程，不但发现余弦定理，还能在求解中进一步理解和应用余弦定理. （五）例题展示，巩固定理

例：在ABC ∆中，已知,30,3,32︒===A b c 解三角形.

第一章 1.1.2 余弦定理(第一课时)

返回
2，在△ABC 中，已知 b＝3，c＝3 3，B ＝30°，求 A,C,a.
法一：由余弦定理
b2＝ a2＋c2－2accos B ，
得:32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， a2－9a＋ 18＝0，∴a＝6 或 a＝3.
1 6× a sin B 当 a＝6 时，得 sin A ＝＝ 2＝1， b 3 ∴A ＝ 90°，C＝60°. 当 a＝3 时，A ＝30°，C＝120°.
b2＋c2－a2 cosA= 2bc
同理可以得到角B、C的范围的判断条件
返回
3．余弦定理及其推论的应用
应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形问题：
(1)已知两边及其夹角解三角形；
(2)已知三边解三角形．
返回
课后作业
• P82：1,2,4,6
返回
asin C 1 又由正弦定理，得 sin A＝ c ＝2. 因为 0° <A<180° ，所以 A＝30° 或 150° . [错因] 注意到已知条件中 b＝2 2>a＝2 这一隐含条
件，可以得 B>A.所以 A＝150° 是不可能的．这一结果就是增解，应当舍去．
返回
[正解] ＝8－4
由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C 3，所以 c＝ 6－ 2.又由正弦定理，
返回

1.1.2 余弦定理 (共36张PPT)

设a=( 3 －1)k，b=( 3 +1)k，c=10k，
cosC a2 b2 c2 ( 3 1)2 k 2 ( 3 1)2 k 2 10k 2
2ab
2( 3 1)( 3 1)k 2
1 故最大内角C为120°.
2
创新型作业或异想天开，提出新问题与方法
请给出用三角形三边表示三角形面积一个公式，并用正弦或余弦定理证明。
是O，甲、乙两人同时从点O分别沿OA，OC方向出发，速度分别是4km/h，4.5km/h。3时后两人相距多远（精确到0.1km）？
解经过3时后，甲到达点P，OP=4×3=12（km），乙到达点 Q，OQ=4.5×3=13.5（km）。依余弦定理，知
C
Q
PQ OP2 OQ2 2OPOQcosPOQ
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
sin B b
2ab
a 2 a2 b2 c2
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O

课时作业37：1.1.2　第1课时　余弦定理及其应用

1.1.2 余弦定理

第1课时余弦定理及其应用

1．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝9，C ＝150°，则c 等于( ) A ．7 3 B ．8 3 C.39 D ．10 2 答案 A

解析由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(23)2＋92－2×23×9cos 150°＝147，∴c ＝147＝7 3.

2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝3

，且b <c ，则b 等于( )

A ．3

B ．2 2

C ．2 D. 3 答案 C

解析由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×3

，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.因为b <c ，所以b ＝2.

3．(2020·全国Ⅲ)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B 等于( )

A.19

B.13

C.12

D.23 答案 A

解析由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3，

所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝1

4．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＝3，b cos A ＝4，则c 等于( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7 答案 D

解析 ∵a cos B ＝3，b cos A ＝4，

原创1：1.1.2 余弦定理（一）

(, )
设点的坐标为(, 0)，点的坐标为________________，
根据两点间距离公式，有 =
即 2 = cos −
2
cos −
+ (sin)2 ，
整理得 2 = 2 + 2 − 2cos.
同理可得其它两个结论.
2
+ (sin)2 ，
即它不能唯一确定三角形，因而不是三角形全等的判定条件.
自主探究
（一）要点识记
余弦定理 :
平方
平方的和
三角形中任何一边的____等于其他两边的________减去这
余弦
两边与它们的_____的积的两倍.
即 2 = 2 + 2 − 2cos ；
2 = 2 + 2 − 2cos； 2 = 2 + 2 − 2cos
例1. 在∆中，若 = 2， = 2 2，C = 15° ，解此三角形．
【解析】方法1）
∵ cosC = cos15° =
6+ 2
，sinC
4
2
2
= sin15° =
6− 2
4
∴ 由余弦定理得 2 = + − 2cos
=4+8−2 2×
∴ = 6− 2
6+ 2 =8−4 3
则A < B < C，由余弦定理得cos =

1.1.2 余弦定理(一)(优秀经典教案)

1.1.2 余弦定理（一）

学科：数学【必修五】年级：高二

备课教师：

一、教学目标：

1、掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运

用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2、利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运

用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

3、培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三

角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

二、教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用。

三、教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

四、教学准备

1、课时安排：1课时

2、学情分析：学生在学习了勾股定理和正弦定理之后，继续学习余弦

定理，不仅会找到与勾股定理的联系，也能够找到与正

弦定理的区别，进一步掌握解三角形的方法。

3、教具选择：多媒体三角板

五、教学方法：指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，小组

讨论，引导学生理解掌握，讲练结合等。

六、教学过程

【自主导学】

1、余弦定理

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即a2＝b2＋c2－2bc cos_A，b2＝c2＋a2－2c a cos_B，c2＝a2＋b2－2a b cos_C。

2、余弦定理的推论

cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab 。

3、在△ABC 中：

(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°；

高中数学1.1.2余弦定理优秀课件

余弦定理课后作业
1 思考题
tan
在ABC
中，假设
ta
n
A B
a2 b2
，判断ABC 的形状
2 练习册做至10页〔含B组选择题1—4〕
谢谢
b ca
b 2 c a 2 c 2 a 2 2 a c
b 2a 2 c2 2 a cc o sB
同理可得：
a 2 b 2 c 2 2 b cc o sA c2a 2 b 2 2 a b c o sC
余弦定理
新课讲授
余弦定理：
a 2 b 2 c 2 2 b cc o sA b 2a 2 c2 2 a cc o sB c2a 2 b 2 2 a b c o sC 推论： cosAb2 c2 a2
得：a29a180，解得 a 3 或 a 6 ① a 3 , a b , A B 3 0 , C 1 2 0 ② a 6 , a c b , c o sA 9 2 7 3 6 0
2 3 33 A90, C60 找最大角时，算余弦值
余弦定理典例分析
例 3 在ABC 中， b2 ac,c，2a求 c o s B
2bc cosBa2 c2 b2
2ac cosCa2 b2 c2
2ab
余弦定理新课讲授
特别地，假设a 为ABC 中最大边： ABC 为直角三角形 b2c2a2 ABC 为锐角三角形 b2c2a2 ABC 为钝角三角形 b2c2a2

1.1.2余弦定理-(优秀课件)

解法一：由正弦定理（化边为角）得： a2 R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C, cos B sin B cos B b 代入 , cos C 2 sin A sin C 2a c 得： cos C
即2 sin A cos B sin C cos B cos C sin B 0 2 sin A cos B sin(B C ) 0,
又 A B C sin(B C) sin A,
2 sin A cos B sin A 0
1 sin A 0 cos B 2 2
B为三角形的内角，故 B 3
a、b、c, 例3： ABC中，A、B、C所对的边分别为
cos B b 且 , 求B的大小。 cos C 2a c a 2 c 2 b 2 a 2 b2 c2 ,cosC 解法二：由余弦定理得 cos B 2ab 2ac
b·a
2
2
b c 2ab
2
2
a c b ＋c · 2ac
2 2
2
a b c a c b 2a 2a
2 2 2 2
2
a2
例2：△ABC中，已知a=2，求bcosC＋ccosB的值。
解法二:（化边为角）由正弦定理得： bcosC＋ccosB ＝

2021-2022学年人教B版必修5 1.1.2余弦定理教案

课题：

课标要求

通过对任意三角形边长和角度的探索，掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

能够运用余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

一、教材分析

人教版?普通高中课程标准实验教科书·必修〔5〕?第一章?解三角形?第一单元第二课?余弦定理?第一课时。“余弦定理〞是“解三角形〞中的重要定理，在高考中属于“掌握〞层次。在教材中，利用向量的数量积推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决三角形中“边、角、边〞和“边、边、边〞问题，体会向量法的应用及方程思想，引起学生认知冲突和激发学生探究数学的潜能。

解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用，引导学生认识它们是解决测量问题的一种方法。

二、学情分析

1、认知特征

学生已经学习了三角函数、向量根本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的“边〞和“角〞的互化也有了进一步的认识。能熟练运用正弦定理解决“任意两角与一边〞和“两边和其中一边的对角〞的三角形问题。

2、思维特征

学生应用数学知识的意识不强，知识的系统性不完善，使学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，教师对此需作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联系、归纳从而能解决问题。

3、心理特征

高中生思维活泼，参与意识强烈，为探究式学习提供了空间，但学生的合作意识不强，应培养他们的合作学习能力。

三、教学目标

1、知识与技能

能推导余弦定理及其推论，并会用余弦定理解决两类根本的解三角形问题。

2、过程与方法

培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。