浙教版八年级上第1章 三角形的初步知识期末复习(含答案)

期末复习(一) 三角形的初步知识

01 知识结构

三角形的初步知识⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧三角形的概念⎩⎪⎨⎪

⎧三边关系内角和定理及其推论

三角形的中线、高线、角平分线

定义与命题⎩

⎪⎨⎪

⎧命题的组成

命题的分类

全等图形→全等三角形⎩⎪⎨⎪⎧全等三角形的性质

全等三角形的判定角平分线的性质定理

线段垂直平分线的性质定理尺规作图

02 重难点突破

重难点1 三角形的三边关系

【例1】 (萧山区期中)已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长是( B )

A ．12

B ．15

C ．12或15

D ．15或18 【方法归纳】 判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段．在已知等腰三角形的两边长求其周长时，需注意：(1)一定要利用分类讨论思想列举出三角形的三边长；(2)一定要利用三角形的三边关系检验列举出的三边长是否能围成三角形．

1．(海宁新仓中学期中)两根木棒的长分别是5 cm 和7 cm ，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形，则第三根木棒长的取值可以是( B )

A ．2 cm

B ．4 cm

C ．12 cm

D ．13 cm

重难点2 三角形形内角和定理及其推论 【例2】 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 等于( A

)

A ．15°

B ．17.5°

C ．20°

D ．22.5° 【方法归纳】 在计算与三角形有关的角度时，首先应判断出要求角与所在三角形中已知角

之间的关系，再合理选用三角形的内角和定理或外角的性质求角度，同时在解题时要注意角平分线的定义、平行线的性质等知识的运用．

2．如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为( C )

A．28°

B．38°

C．48°

D．88°

重难点3三角形的三条重要线段

【例3】如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，点F为BE的中点，S△ABC＝41，

则S△BFC＝41 4．

【思路点拨】根据三角形面积公式得S△BFC＝S△EFC，S△AEC＝S△DEC，S△AEB＝S△DEB，S△ABD

＝S△ADC，从而S△BFC＝1

4S△ABC.

3．在△ABC中，AC＝5 cm，AD是△ABC中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2 cm，则BA＝7_cm．

4．(1)如图所示，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数；

(2)在(1)中，若∠A＝α，∠B＝β(α≠β)，其他条件不变，求∠CDF的度数．(用含α和β的代数式表示)

解：(1)根据题意，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，

所以∠ACB＝68°.

因为CE平分∠ACB，所以∠ACE＝34°.

所以∠CED＝∠A＋∠ACE＝74°.

因为CD⊥AB，DF⊥CE，且∠ECD为公共角，

所以∠CDF＝∠CED＝74°.

(2)由(1)可知，∠CDF ＝∠CED ＝∠A ＋∠ACE ，∠ACE ＝180°－α－β

2.

所以∠CDF ＝180°＋α－β

2

.

重难点4 线段垂直平分线与角平分线的性质

【例4】 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，交AC 于点E ，DE 垂直平分AB 于点D ，求证：BE ＋DE ＝AC .

证明：∵∠ACB ＝90°， ∴AC ⊥BC .

∵ED ⊥AB ，BE 平分 ∠ABC ， ∴CE ＝DE ，

∵DE 垂直平分AB ， ∴AE ＝BE .

∵AC ＝AE ＋CE ，

∴BE ＋DE ＝AC . 【方法归纳】 在利用线段垂直平分线的性质求线段长度时，通常是根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，再根据相等线段之间的转换，得到所求线段的长．

5．如图，在△ABC 中，∠BAC >90°，AB 的垂直平分线MP 交BC 于点P ，AC 的垂直平分线NQ 交BC 于点Q ，连结AP ，AQ ，若△APQ 的周长为20 cm ，则BC 为20cm .

第5题图 第6题图

6．如图，△ABC 的三条角平分线交于O 点，已知△ABC 的周长为20，OD ⊥AB ，OD ＝5，则△ABC 的面积为50．

重难点5 全等三角形的性质与判定

【例5】 已知△ABN 和△ACM 的位置如图所示，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2.

(1)求证：BD ＝CE ； (2)求证：∠M ＝∠N .

【思路点拨】 (1)要证BD ＝CE ，可通过转化证△ABD ≌△ACE ，根据“SAS ”得证；(2)要证∠M ＝∠N ，可通过转化证△ACM ≌△ABN ，由(1)可知∠C ＝∠B .因为∠2＝∠1，所以∠CAM ＝∠BAN .再结合AB ＝AC ，即可根据“ASA ”得证．

证明：(1)在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，

∠1＝∠2，AD ＝AE ，

∴△ABD ≌△ACE (SAS )． ∴BD ＝CE .

(2)∵∠1＝∠2，

∴∠1＋∠DAE ＝∠2＋∠DAE ， 即∠BAN ＝∠CAM .

由(1)，得△ABD ≌△ACE ， ∴∠B ＝∠C .

在△ACM 和△ABN 中，⎩⎨⎧

∠C ＝∠B ，

AC ＝AB ，∠CAM ＝∠BAM ，

∴△ACM ≌△ABN (ASA )． ∴∠M ＝∠N .

【方法归纳】 三角形全等的证明思路：

已知两边⎩

⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS

找另一边→SSS

已知一边和一角 ⎩⎪⎨⎪⎧

边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS

找夹边的另一角→ASA

找边的对角→AAS

已知两角⎩

⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA

找任一角的对边→AAS

7．(成都中考)如图，△ABC ≌△A ′B ′C ′，其中∠A ＝36°，∠C ＝24°，则∠B ＝120°．