小学三年级奥数--数阵图

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三年级奥数数阵图与幻方

数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。

三年级上奥数第16讲数阵图(一)

三秋第16讲数阵图（一）一、教学目标将一些数按照一定的规律排列而成的图形，通常叫做数阵图．向四周呈放射状的数阵就是放射式数阵．首尾相接的是封闭状数阵．填数阵图的方法是将题目所给的若干个数进行分析，找出规律，正确填充．填放射式数阵的关键是确定公共部分的数．填封闭状数阵的关键是确定首尾相连即相交部分的数．二、例题精选【例1】将10—18这九个数分别填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都相等。

你有几种填法呢？（至少填出两种）【巩固1】在空格内填入1、2、3、4、5各数，使每条线上三个数的和都相等，你能写出几种呢？【例2】把2、3、4、5、6五个数填入下面的圆圈里，使横行、竖行三个数相加的和都是13．【巩固2】将7~1这七个数填入左下图中，使每条直线上的三个数的和为10。

【例3】一天喜羊羊在回羊村的路上遇到了灰太狼，灰太狼有意刁难他，挡住他的去路对他说：“只要你用16这六个数字填在图中的圆圈内，使每条线上的三个数之和等于12，我就让你过去。

”喜羊羊想了想，不慌不忙的就填了出来。

你知道喜羊羊是怎么解决的吗？【巩固3】从1、2、3、4、5、6中选取适合的数填在圆圈里，使每个圆上四个数的和都等于15．【例4】将1~9这九个数分别填入下左图中，使每个三角形的顶点上的三个数的和相等。

【巩固4】将1，2，3，5，6，7这六个数填入下左表中，使每行中三个数的和相等，同时使每列两个数的和也相等。

【例5】在下左图中，三个圆圈两两相交成7块小区域，分别填上1~7这七个自然数，在一些小区域中已填好数字，请你把其余的数填到空着的小区域中，要求每个圆圈中四个数的和都是15。

375【例6】在下左列表格中填上0~8这9个数字，使得各行各列的和都恰好等于表格边上的数。

（每个数字只能用1次）21312121014。

三年级奥数1-数阵图

课题之马矢奏春创作数阵图教学目标1：理解两种类型数阵图概念；2：能依照题中具体要求填数阵图重点填图三步调：1、算出1个（或几个）重叠数的值（或和）2、通过重叠数的值（或和）找出重叠数3、把数阵图填写完整难点通过找到重叠数填数阵图专题1：数阵图在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变更多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用一生的精力来研究它的变更，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数依照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

一、辐射型数阵图先从几个简单的例子开始。

把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

1.2 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

练一练：将1～9这九个数分别填入右上图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。

还有其他填法吗？例2将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

如果把例2中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么仿照例1，重叠数可能等于几？怎样填？练一练：将 10～20填入左下图的○内，使得每条边上的三个数字之和都相等。

二、封闭性数阵例3将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。

练一练：把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。

例4 将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。

将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。

附加：把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。

三年级下册奥数第六讲数阵图

数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：（一）封闭型数阵问题【例1】（★★）小蜗牛不小心爬到一个三角形数阵图中，必须将1～6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11才能通过这个数阵图，你能帮它吗？专题精讲？哪吒布阵，他要用360名士兵守卫一座城池（见下图，图中间表示城区，四周表示城墙，方格中的数表示兵力分布），要求四个角的兵力相同.现在的兵力分布恰好每边有100名士兵，如果哪吒想使每边有150名士兵，那么兵力应如何分布？ 1080801080108010【例2】（★★★）请分别将1，2，4，6这4个数填在下图的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的和都等于15．【例3】（★★★）如果将1～11这11个自然数填入下图的圆圈内，使每个菱形上四个数之和都等于24，那么A 等于多少?（二）辐射型数阵【例4】（★★）把1～5这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等.【例5】（★★★）将1～6这六个数字分别填入左下图的六个○内，使得三条直线上的数字的和都相等.【例6】（★★★）小鸟欢欢和乐乐有1至6六个数字，它们想把1至6分别填入图的各方格中，横行三个数字欢欢填，竖行四个数字乐乐填，并且使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等，你能做到吗？【例7】（★★★）将1～7七个数字填入左下图的七个○内，使每个圆周和每条直线上的三个数之和都相等.375（三）其它类型的数阵图【例8】（★★）在下列各图中，分别从1～8中选择六个数填入□内，使得按顺时针方向计算的各关系式成立：1.将1～6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于10．2.在下图的空格中填人适当的数字，使任意三个相邻格子中的数字之和都等于20．3.将1～5填入右图的○中，使得横、竖、大圆周上的几个数之和都相等.练习六。

小学奥数教程-数阵图2 (含答案)

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题【分析】这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。

如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是。

例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分【解析】 2 【答案】2【例 3】如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3）（1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C ）+（A+F+G ）+（A+D+E ）+（B+D+F ）+（C+E+G ）=5k ，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k ，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。

小学奥数之数阵图解题方法(完整版)

小学奥数之数阵图解题方法1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，3年级，第6题【解析】5-1-3-1.数阵图教学目标知识点拨例题精讲【答案】【例 2】将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？【考点】封闭型数阵图【难度】2星【题型】填空【解析】为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8，又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7. 说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数8765432187654321（）（2）h gf ed c ba阵的解题突破口.【答案】【例 3】在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是。

三年级奥数.计算综合.数阵图与幻方(C级).学生版

一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三知识框架数阵图与幻方阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。

小学人教版三年级上册数学奥数(数阵图进阶课件)

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例5、把 1，5，9，10，16，21 这 6 个数分别填入图中的○里，使每一个大圆上的四个数之和都等于 36．
将 5，6，9，11，14，15 这 6 个数分别填入图中的圆圈里，使两个大圆上 4 个数的和都等于40．
把 1，3，4，5，6，8，11，15 这 8 个数分别填入图中的圆圈里，使得每个大圆上 5 个数的和都等于 33．
把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等.
例3、把 2，3，4，5，6，7，8 这七个数分别填入图中的圆圈中，使两个正方形中四个数之和都等于 19．
例4、把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和是20。
将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。
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第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．

小学奥数专题-数阵图(三)

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类:1. 定义:把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手: 第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步:运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有种可能的取值．【例 2】将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l ，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n (n ≤8)。

则从这个圆圈开始顺时针走n 步进入另一个圆圈．依此下去，走7次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写8．请给出两种填法．例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【例 4】在圆的5条直径的两端分别写着1～10（如图）。

现在请你调整一部分数的位置，但保留1、10、5、6不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上）。

【例 5】图中是一个边长为1的正六边形，它被分成六个小三角形．将4、6、8、10、12、14、16各一个填入7个圆圈之中．相邻的两个小正三角形可以组成6个菱形，把每个菱形的四个顶点上的数相加，填在菱形的中心A、B、C、D、E、F位置上（例如:a b g f A+++=）．已知A、B、C、D、E、F 依次分别能被2、3、4、5、6、7整除，那么a g d⨯⨯=___________．【例 6】在如图所示的圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数的差都不能被3整除。

三年级奥数.计算综合.数阵图与幻方.学生版

(完整版)小学三年级奥数--数阵图

数阵图(一)在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右上图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。

我们还是先从几个简单的例子开始。

例1 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。

下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。

重叠数求出来了，其余各数就好填了（见右上图）。

试一试：练习与思考第1 题。

例2 把1～5 这五个数填入下页左上图中的○里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：与例1 不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所以，必须先求出这个“和”。

根据例1 的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[（1+2+3+4+5）+5] ÷2=10。

小学奥数基础教程之数阵图

数阵图（一）
例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。

例2用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方。

例3将前9个自然数填入右图的9个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻。

例4将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条
例5求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方。

1.将九个连续自然数填入3×3的方格内，使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于66。

2.将1，3，5，7，9，11，13，15，17填入3×3的方格内，使其构成一个幻方。

3.用2，4，6，12，14，16，22，24，26九个偶数编制一个幻方。

4.在下列各图空着的方格内填上合适的数，使每行、每列及每条对角线上的三数之和都等于27。

5.将右图中的数重新排列，使得每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等。

6.将九个质数填入3×3的方格内，使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于21。

7.求九个数之和为657的三阶质数幻方。

小学奥数：数阵图(一).专项练习及答案解析

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，3年级，第6题【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图【答案】【例 2】将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图【难度】2星【题型】填空【解析】为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8，又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行.若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行.若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A、B、C的和为18，则三个顶点上的三个数的和是。

小三奥数第10讲：数阵图

学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课T (同步知识主题) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）类型授课日期时段教学内容第十讲：数阵图．把1～6这六个数字分别填入图10 - l的六个圈内．使得每个正方形顶点上的数的和都为13．从l到6这六个数的和是21．而两个正方形8个顶点上的数之和是26(=13×2)，比六个数的总和大5．这是因为中间两个圈内的数，都被算了两次，所以，多出来的5就是中间两个圈内的数的和．每个正方形，去掉这中间的两个数，剩下的两个数，和都是8（=13 -5）．解在1到6六个数中，两个数的和为8，只可能足2+6、3+5．所以中间两个圈内填1与4．得到如幽10 - 2的填法．将3、4、6这二个数填入图10-3的三个圆圈内，使得每条边上的三个数的和等于11．．将2到7这六个数，填入图10- 4的圈中，使得每条线上的三个数的和相等．由2+7= 4+5=3+6=9．得到如图10-5的解将l到7这七个数填入图10-6，使得每条线上的三个数的和相等．．将1到9这九个数填入图10-7，使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等．．将1到9这九个数填入图10-7，使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等．l+2+…+9=45去掉中心的数后，每条线上两个数的和相等．4条线上8个数的和是每条线上的和乘以4．所以中心的数只能是1、5、9，去掉中心后的8个数的和分别是44、40、36，每条线上两个数的和分别是11、10、9．即有三种情况：（1）中心填1时，2与9、4与7、8与3、5与6两两搭配填入同一条线的两个圈内即可．（2）中心填5时，1与9、2与8、3与7、4与6搭配．（3）中心填9时，1与8、2与7、3与6、4与5搭配这样得到如图10-8所示的三个解将1~8填入图10-9，使两个正方形顶点上的数的和相等，并且用斜线连接的4对数的和也都相等．．将1到5这五个数填入图10 - 10，使得圆周上四个数的和与每条直线上的三个数的和都相等．设中心的数是a．因为竖线上的三个数的和等于圆周上的四个数的和，所以a等于它左、右两个数的和．同理，a等于它上、下两个数的和．从而a是最大的数5．其余四个数，2与3搭配．1与4搭配，写在同一条线上，得到的解如图10-11所示．在图10 – 12中填上7、8、10、1 2，使得每个圆内的四个数的和相等．．将l~6这六个数填入图10-13的六个圆圈内，使得每条边上的三个数的和相等．如果1与6都不在顶点处，那么在图10 -14中，a+l+c=b+6+c．所以a+1=6+b但6比a大，b比1大，所以a+l与6+b不可能相等．1与6至少有一个在顶点处．设1在顶点．2、3、4、5、6中取4个数，分成和相等的2组，只有3种可能：2+6=3+5．3+6=4+5．2+5=3+4前两种可得图10-15的(1)，(2)．第3种不可能，因为另一行3个数的和至少是2+3+6．超过1+2+5．同样，6在顶点时，可以得到图10 - 15的(3)，(4)因此，本题的答案是图10-15的(1)～(4)．用7减去1在顶点的图10 - 15(1)、(2)的每一个数，便得到（3）、（4）．反过来也是这样．将l到16填入图10 -16，使得每条线段上四个数的和相等，两个八边形八个顶点上的数的和也相等．将1~16填入图10 - 17的正方形，使每行、每列、每条对角线的和都相等．本题也就是造一个四阶幻方四阶幻方的造法很多，解也不唯一．下面介绍一种最简的做法，可以称为调整法．先将1~16依照次序先左后右，先上后下逐一填入图10 - 18(1)中得四阶幻方中每行和、每列和、每条对角线的和都是(1+2+…+16)÷4= (1+16)×16÷2÷4=34现在图10 - 18(1)的两条对角线的和都已经是34，合乎要求所以对角线上的数不要再动．先来调整行，将第一行的2、3分别与第四行的14，1 5对调，第二行的5、8分别与第三行的9、12对调，得图10 - 18(2)，这个图中，不但每条对角线的和是34，每一行的和也都是34．再调整列．将图10 - 18(2)第一列的9、5分别与第四列的12、8对调，第二列的14、2分别与15、3对调，得图10 -18(3)，这个图就是一个合乎要求的幻方．比较例6所得的幻方与巩固练习5的答案．有何联系？可能与必然上节末，说到一个游戏“数独”数独怎么填呢？比如先看第一行，在上节末的图中，有6个空格，应填1、2、4、7、8、9这6个数字，每个空格填的数有6种可能，难以确定．如果看第二列，只有2个空格，心填2、7，每个空格有2种可能，但还不能惟一确定．可能性太多，需要逐个枚举讨论，比较麻烦．所以应先考虑可能较小的方格，最好能发现一些方格，只有一种填法，也就是说这些方格填什么数是必然的．将这些方格先填好，对填其他方格会有帮助．同时考虑几个方面的要求，可以得到必然的填法，比如中间的3×3的正方形，只有3个空格，应填2、6、8．再结合第四行已经有8，第六行也已经有8，所以8必须填在中央．接下去，因为第四行已经有6，所以6必须填在第六行，2填在第四行．现在再看第四行，只剩2个空格，应填9与3．第九列有9，所以第四行的9只能（必然）在第三列，3在第九列．同样，右中3×3的正方形中，9必然在第六行，第六行第一列必填2．左中3×3的正方形中，5必在第一列，7在笫三列．第八列3必填在第九行，9必填在第二行．右上3×3的正方形中，7必填在第七列．右下3×3的正方形中，5必在第八行第七列，2必在第八行，1在第九列第七行，6在第七行第七列．右中3×3的正方形中，6在第九列，2在第七列，左下3×3的正方形中，2、3、8、6的填法郡是必然的．左上3×3的正方形中．按行依次填2、1、4、7、6．右上3×3的正方形中，填4、8．中上3×3的正方形中填8、9、6、2、7、4．中下3×3的正方形中填9、3、6、4、1、7．填法都是必然的，最后结果如图．当然，上面填数的顺序可以变更但应尽量先填只有一种可能的方格，而不要先填邮些难以确定的方格．1．如果图中每行、每列、每条对角线的和都相等，那么填入的数a、b、c、d有什么关系？2．将1到8这八个数填入下图，使得每条线上的三个数的和相等．3．将1到9这九个数填入下图，使得每条边上的四个数的和相等．4．将6到10这五个数填入下图，使得每条边上的三个数的和相等．5．将5到12填入下图，使得每条边上的四个数的和相等．6．将2到11填入下图，使得每条线段上的三个数之和相等．7．将1到10填入下图，使得每条线上的四个数的和相等．8．将l到10填入下图，使每条线段上的四个数的和相等，每个三角形三个顶点上的数的和也相等．（三角形顶点上的数的和不必与线段上的数的和相等）9．将1到8填入圈内，使得每个圆上的五个数的和相等．10．将l到8填入圈内，使每一圆周上的四个数、每条线上的四个数的和相等．11．在下面由圆分割出的9个区域中，填入1到9这九个数，使得每个圆内的数的和都等于11．12．将1到12填入下图，使每条边上的五个数的和相等．你做对了吗？答案：巩固练习6 图中的4条对角线是四阶幻方的4行，另有4组共线的点，如l、12、8、13等是幻方的4列，外面八边形的4个相邻顶点上的数16、1、6、11是幻方的一条对角线，另4个相邻顶点上的数10，7，4，13是幻方的另一条对角线。

三年级奥数1-数阵图

课题之羊若含玉创作数阵图教授教养目的1：懂得两种类型数阵图概念；2：能依照题中具体要求填数阵图重点填图三步调：1、算出1个（或几个）重叠数的值（或和）2、通过重叠数的值（或和）找出重叠数3、把数阵图填写完整难点通过找到重叠数填数阵图专题1：数阵图在神奇的数学王国中，有一类异常有趣的数学问题，它变更多端，引人入胜，奇妙无穷.它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字纪律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用一生的精神来研究它的变更，就连大数学家欧拉对它都有着浓重的兴趣.那么，到底什么是数阵呢？我们先不雅察下面两个图：上面两个图就是数阵图.准确地说，数阵图是将一些数依照一定要求分列而成的某种图形，有时简称数阵.一、辐射型数阵图先从几个简略的例子开端.把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等.1.2 把1～5这五个数分离填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9.练一练：将1～9这九个数分离填入右上图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等.还有其他填法吗？例2将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10.如果把例2中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么模仿例1，重叠数可能等于几？怎样填？练一练：将 10～20填入左下图的○内，使得每条边上的三个数字之和都相等.二、关闭性数阵例3将1～8这八个数分离填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21.练一练：把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20.例4 将1～6这六个自然数分离填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.将2～9这八个数分离填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18.附加：把1～7分离填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13.你学会了吗1.将3～9这七个数分离填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20.2.将1～11这十一个数分离填入图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大.3、把5、6、7、8、9、10、11、12、12、14填入下图，使每个大圆圈中六个数的和是554.将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15.作业：1、将1～9这九个数分离填入右图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等.(有若干种填法？)2、把1～6这六个数填入右上图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等.3、将4、5、6、7、8、9六个数填在下图，使每条边上得三个数之和都相等，并且和为最大，和为最小呢？4、把1——7这7个数，分离填入途中，使直线和大圆上的数之和相等生活趣题：小猫要把15条鱼分成数量不相等的4堆，问最多的一堆中最多可放几条鱼？。

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