小学三年级奥数--数阵图
【奥数】全国通用三年级下册数学《数阵图初步》高斯课件
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11 1 3
这节课你学会了什么？
导语
DIRECTORY
一 自我课堂表现怎么样？ 二 本节课学习的知识，学会了吗？ 三 说一说本节有什么收获。
1.自我反思今天的学习情况，总结 本课收获。
2.教科书课后第一题、第二题。 (20分钟内独立完成)
你专心听讲 的样子最美！
下课啦
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DIRECTORY
数阵图初步
例题1、在图中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三 角形每条边上的三个数之和都等于11。
2
公共和
5
3
4
1
6
练习1、在图中的四个圆圈内填入合适的自然数，使得正方形 每条边上的三个数之和都等于14。
158
6
2
734
例题2、在下图的八个圆圈中分别填入八个不同的自然数，使 正方形每条边上的三个数之和相等。现在已经填好了五个数， 那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整。
6
4
2
1
3
5
7
例题5、将1至9分别填入下图中的圆圈内，使得图中所有三角 形(共七个)的三个顶点上的数之和都等于15。现在已经填好 了其中三个，请你在图中填出剩下的数。
三年级奥数之数阵图习题
数阵图
1、把1到6这六个数分别填入下图的六个圈内，使得每个正方形顶点上的数的和都为13。
2、将2到7这六个数，填入上图的圈中，使得每条线上的三个数的和相等。练习：请将1到7这7个数填入下图中，使得每条线上的三个数的和相等。
3、将1到9这九个数填入下图，使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等。
练习：将1到8填入下图，使两个正方形顶点上的数的和相等，并且用斜线连接的4对数的和也都相等。
4、将1到5这五个数填入上图中，使得圆周上四个数的和与每条直线上的三个数的和都相等。
练习：在图中填上7、8、10、12，使得每个圆内的四个数的和相等。
5、将1到16填入4*4（16格）的正方形中，使每行、每列、每条对角线的和都相等。
数阵图练习
1、将6到10这五个数填入下图，使得每条边上的三个数的和相等。
2、将2到11填入下图，使得每条线段上的三个数之和相等。
3、将2到10填入下图，使得每条线上的四个数的和相等。
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小学奥数《数阵图问题》
小学奥数《数阵图问题》
关于数阵图问题的解决办法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手；区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围；运用已经得到的信息进行尝试,这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用。
小学奥数基础教程之数阵图
数阵图(二)
例1将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
例2将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
例3将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。
例4把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。
1.把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。
2.把1～6这六个数填入右上图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。
3.将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15。
4.将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。
5.将1～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等。
6.把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。
一起学奥数--有趣的数阵图
风子编辑
教育目标
观察图形，找出规律，进而发现数的规律 学会适当的推理，通过观察、尝试、验证等对问题进行思考
将问题简单化，找出解决问题的最佳途径
教育重点
观察发现图形规律，及数的规律。
教育难点
利用数形结合、容斥原理解决数阵图问题
第一课 横式数字谜
例1、把1-6这六个数填在下图六个○中，使每条边上的三个数之和都 等于9。
4组数列分别填在三个顶角，构建成的直线的和不同，所以基本解有4个。而每组三个数在 三个顶点的位置又有6种方式。所以合计填法为： 4×6=24种。
本题可以通过确定直线最小值和最大值，计算出公共点的和，再 分类讨论，剔除不合适的组。方法相对原始，但不容易漏掉。
例3、把1~12这十二个数，分别填在下图中正方形四条边上的十二个 ○内，使每条边上四个○内数的和都等于22，试求出一个基本解。
上两题相比较，图形特征与数字特征存在雷同性，但每条线上 三个数字和受限制。因此需要确定公共圆圈的值。
五条线段上的数字和相加为： 22×5=110 11个圆圈内的数字和为： 11×12÷2=66 则公共圆圈的数字为： （110-66）÷（5-1）=11
剩余圆圈上的填法，与之前题目相同。对剩下的10个数首尾取 数即可。
随便挑选一组，填到左图圆圈内。
例5、将1~9这九个数，分别填入下图中的各个○内，使每条线段上三 个○内的数的和相等。
小学奥数教程-数阵图2 (含答案)
1. 了解数阵图的种类
2. 学会一些解决数阵图的解题方法
3. 能够解决和数论相关的数阵图问题
.
一、数阵图定义及分类：
1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵
图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
复合型数阵图
【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，
每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．
31
32
33
212223131211
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++
10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）
由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．
奥数数阵三年级
例1:把1～5填入○里，使每条直线上三个圆圈的和等于10。
例1:把1～5填入○里，使每条直线上三个圆圈的和等于10。
例1:把1～5填入○里，使每条直线上三个圆圈的和等于10。
10
10
快乐学习 轻松做题
例1:把1～5填入○里，使每条直线上三个圆圈的和等于10。
10
10
线和：10+10=20
例1:把1～5填入○里，使每条直线上三个圆圈的和等于10。
1 2 3 4 5
10
10
线和：10+10=20
例1:把1～5填入○里，使每条直线上三个圆圈的和等于10。
1 2 3 4 5
10
10
线和：10+10=20
数和：1+2+3+4+5=15
例1:把1～5填入○里，使每条直线上三个圆圈的和等于10。
1 2 3 4 5
10
10
线和：10+10=20
数和：1+2+3+4+5=15
重叠数：20-15=5
例1:把1～5填入○里，使每条直线上三个圆圈的和等于10。
线和：10+10=20
数和：1+2+3+4+5=15
重叠数：20-15=5 1 2 3 4 5
510
10
例1:把1～5填入○里，使每条直线上三个圆圈的和等于10。
线和：10+10=20
数和：1+2+3+4+5=15
重叠数：20-15=5 1 2 3 4 5
14510
10
例1:把1～5填入○里，使每条直线上三个圆圈的和等于10。
线和：10+10=20
数和：1+2+3+4+5=15重叠数：20-15=5
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
10
10
例1把1～5填入○里，使每条直线上三个圆圈的和等于10。
1
2
34
510 10
线和：10+10=20
数和：1+2+3+4+5=15
小学人教版三年级上册数学奥数(数阵图进阶课件)
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例1、把 1，2，4，5，6，8，10 这 7 个数分别填入图中的圆圈中，使得 每条直线上 4 个数的和都等于 20．
三年级奥数第39讲数阵图
数阵图
数阵图：将一些数字依照必然的要求排列而成的某些图形。
数阵图的分类：
辐射型封闭型复合型
【例 1】 (★★)【例2】(★★★)
将 1～7 这七个数字，分别填入图中各个○内，使每条线段上的将1~11填入以下图的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数之和三个○内数的和都等于 14 。相
等。
1
【例 3】(★★★)【例4】(★★★★★)
你能把 1～ 6 六个数字分别填入以下图的六个圆圈中，使每一边三个数相将1~7七个数字填入以下图的七个○内，使每个圆周和每条直线上的加的和都等于 11 吗？三个数之和都相等。
【例 5】(★★★★)【例6】(★★★★★)
将 1~6 这六个数字分别填入以下图的六个○内，使得三条直线上的数以以下图，大三角形被分成了9 个小三角形。试将 1， 2， 3，4， 5，字之和都相等。 6 ，
7， 8， 9 分别填入这 9 个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要
求凑近大三角形 3 条边的每 5 个数相加的和相等，问这 5 个数的和最
大
2
【本讲总结】
数阵图一、
分类
辐射型封闭型复合型
二、基本关系
各数之和＋重叠数×重叠次数＝线和×线数
三、辐射型数阵图
窍门：掐头、去尾、取中间
四、注意事项
(a)要点点：特别地址
(b)(b) 复合型 :在调整的时候，不能够改变原有边和
3
三年级奥数数阵图PPT课件
A
B
C
D
第12页/共18页
将1～8这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和 都等于15。
不会做，就等着受死吧！
第13页/共18页
把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每 个圆圈里的四个数之和都等于13。
2 4
7 1 3
5 6
第14页/共18页
把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每 个圆圈里的四个数之和都等于15。
大王，求求你放了我们把！
第1页/共18页
把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上 的三个数之和为10。
1,2，3，4，5还剩1，2，3，4这四个 数， 那这四个数中两两相加的和为（10-5= ）5的 只有：
1+4=2+3
2
1
5
4
3
通关小诀窍：确定中 间值
第2页/共18页
练一练：将1～9这九个数分别填入右上图中的○里(其 中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。还有 其他填法吗？
12-4=8 则3+5=2+6=1+7
3 5
4 6 2
7 1
第5页/共18页
五
将1-9这九个数填入下图圆圈内，使横行、竖行 五个数相加和为24。
横行、竖行五数和：24+24=48 1-9数之和：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 A：48-45=3 12456789八个数分为两组，使每组中 四个数 字之和 ： 24-3=21 则1+5+6+9=2+4+7+8
小学奥数专题-数阵图(三)
1. 了解数阵图的种类
2. 学会一些解决数阵图的解题方法
3. 能够解决和数论相关的数阵图问题
.
一、数阵图定义及分类:
1. 定义:把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、
辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.
二、解题方法:
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手: 第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步:运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
数阵图与数论
【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差
数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．
【例 2】 将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．
【例 3】 在下面8个圆圈中分别填数字l ，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下
一个圆圈，这个圆圈中若填n (n ≤8)。则从这个圆圈开始顺时针走n 步进入另一个圆圈．依此下去，走7次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写8．请给出两种填法．
例题精讲
知识点拨
教学目标
5-1-3-3.数阵图
【例 4】在圆的5条直径的两端分别写着1～10（如图）。现在请你调整一部分数的位置，但保留1、10、5、6不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上）。
小学奥数教程之-数阵图
1.
了解数阵图的种类
2. 学会一些解决数阵图的解题方法
3. 能够解决和数论相关的数阵图问题
.
一、数阵图定义及分类：
1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.
3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关键点
(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
数阵图与数论
【例 1】 把0—9
这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差
数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．
【考点】数阵图与数论 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题
【解析】 设顶点分别为A 、B 、C 、D 、E ，有45+A +B +C +D +E =55，所以A +B +C +D +E =10，所以A 、B 、C 、D 、
E 分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a 1，公差为d .利用求和公式5（a 1＋a 1+4d ）2=55， 得a 1+2d =11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d 分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情
(完整版)小学三年级奥数--数阵图
数阵图(一)
在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：
左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。
例1 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以
(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，
重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。
小学奥数：数阵图(一).专项练习及答案解析
1. 了解数阵图的种类
2. 学会一些解决数阵图的解题方法
3. 能够解决和数论相关的数阵图问题
.
一、数阵图定义及分类：
1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵
图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
模块一、封闭型数阵图
【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】
例题精讲
知识点拨
教学目标
5-1-3-1.数阵图
【答案】
【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数
之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？
（1）
【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：
（2）h g
f e
d c b
a
a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）
趣味数学—数阵图与幻方
三年级奥数
--数阵图与幻方
知识框架
一、数阵图定义及分类：
定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：
第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
三、幻方起源：
幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：
（完整word版）小学三年级奥数--数阵图.doc
（完整word版）小学三年级奥数--数阵图.doc
实用标准文案
数阵图（一）
在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：
左上图中有3 个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三
个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于 15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某
种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是
先从几个简单的例子开始。
例1 把1～5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数
之和都等于 9。
同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把
它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的
三个数之和都等于 9，所以
(1+2+3+4+5)+重叠数 =9+9，
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数阵图（一）
在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢我们先观察下面两个图：
左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。
例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以
(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，
重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。
试一试：练习与思考第1题。
例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以，必须先求出这个“和”。根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于
[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
因此，两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5。在剩下的四个数1，2， 3， 4中，只有1+4=2+ 3=5。故有右上图的填法。
试一试：练习与思考第2题。
例3把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。
分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例1、例2的分析知道，
(1+2+3+4+5)+重叠数
=每条直线上三数之和×2，
所以，每条直线上三数之和等于(15+重叠数)÷2。
因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是1，3或5。
若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为(15+1)÷2=8。
填法见左下图；
若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为(15+3)÷2=9。
填法见下中图；
若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为(15+5)÷2=10。
填法见右下图。
试一试：练习与思考第3题。
练习与思考
1.将1～7这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
如果每条直线上的三个数之和等于10，那么又该如何填
2.将1～9这九个数分别填入右上图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。
如果中心数是5，那么又该如何填
3.将1～9这九个数分别填入右图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法)
数阵图（二）
由以上几例看出，求出重叠数是解决数阵问题的关键。为了进一步学会掌握这种解题方法，我们再看两例。
例4将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
分析与解：与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到
(1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。
由此得出重叠数为
[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。
剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；3，6；4，5。可得右上图的填法。
如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么仿照例3，重叠数可能等于几怎样填
例5将 10～20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。
解：与例2类似，中间○内的15是重叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个数字之和等于
[(10+11+…+20)+15×4]÷5=45。
剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=)30的有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。于是得到右上图的填法。
例1～5都具有中心数是重叠数，并且每边的数字之和都相等的性质，这样的数阵图称为辐射型。例4的图中有三条边，每边有三个数，称为辐射型3—3图；例5有五条边每边有三个数，称为辐射型5—3图。
一般地，有m条边，每边有n个数的形如下图的图形称为辐射型m－n图。
辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即m-1。对于辐射型数阵图，有
已知各数之和+重叠数×重叠次数
=直线上各数之和×直线条数。
由此得到：
(1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于
(直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数。
如例1、例4。
(2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条
数。如例2、例5。
(3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，
如例3。
练习与思考
4.将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。
5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，
并且尽可能大。
6.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈
上的三个数之和都相等。