桂林理工大学2020年《613量子力学》考研专业课真题试卷

2020年 《量子力学》 第1页 共2页 桂林理工大学2020年硕士研究生入学考试试题（A 卷）
考试科目代码：613
考试科目名称：量子力学
（总分150分，三小时答完） 考生注意：1. 请将答题写在答卷纸上，写在试卷上视为无效。

2．考试无需带其它的用具。

一 、简答题（每小题10分，共50分）
1．波长为λ的光，求其光子的能量。

2．波函数),(t r
ψ的统计意义。

3．证明：]ˆ,ˆ[1ˆˆH F i t F dt F d
+∂∂=。

4. 在坐标x ˆ表象中，求态⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x a a πψ3sin 2的表示。

5．证明：0ˆˆˆˆ=+z y y z σσσσ
，其中y σˆ和z σˆ是Pauli 算符。

二、计算题（每小题20分，共100分）
1.质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动，势能⎩⎨
⎧><∞<<=a
x x a x x U 或0,0,0)(试求： （1）能级与归一化波函数； （2）坐标算符x
ˆ在能量表象中的矩阵元。

2.设氢原子处于态⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=−),()(),()(),,(22321121ϕθϕθϕθψY r CR Y r R r nlm ，其中C 是常数，试求： （1）C ；
（2）磁矩S m
e L m e M ˆˆ2ˆ −−=的z 分量的期望值z M ˆ。

3. 对一维线性谐振子，设)ˆˆ(21ˆp i x a
βα+=和)ˆˆ(21ˆp i x a βα−=+，其中 ωαm =和
ωβm 1=，求： （1）]ˆ,ˆ[+a a ； （2）设 ,2,1,0,)2
1(,ˆ=+==n n E n E n H n
n ω，求n a a ˆˆ+、n a ˆ和n a +ˆ。