高中极坐标,柱坐标,球坐标复习总结与联系
坐标系统知识点总结
坐标系统知识点总结1. 坐标系统的概念及历史坐标系统是用来描述物体在空间位置的一种数学工具。
它的起源可以追溯到古代希腊的几何学，当时人们已经使用了直角坐标系来描述平面上的几何图形。
后来，随着数学和物理学的发展，坐标系统的概念逐渐被推广到了三维空间，并且衍生出了更复杂的矢量坐标系等。
2. 坐标系统的类型在数学和物理学中，常见的坐标系统主要包括直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系等。
其中直角坐标系是最为常见的一种，它是由两条互相垂直的直线（通常被称为x轴和y轴）确定的。
极坐标系则是通过一个原点和一个单位向量来确定空间中的一个点，而柱坐标系和球坐标系分别是用一个点和两个点来确定空间中的一个点。
3. 坐标系的性质不同的坐标系有不同的性质，比如直角坐标系中的两个坐标轴是互相垂直的，极坐标系中的极轴是由原点向外延伸的直线等。
这些性质可以帮助我们更好地理解和应用坐标系统。
4. 坐标变换在实际问题中，有时候我们需要将一个点在一个坐标系中的位置转换到另一个坐标系中。
这时，就需要进行坐标变换。
通常来说，坐标变换可以通过矩阵乘法或者三维空间中的旋转、平移等变换来实现。
5. 坐标系在物理学中的应用在物理学中，坐标系统是一个非常基础的工具。
比如，我们可以用直角坐标系来描述一个物体在空间中的位置，用极坐标系来描述一个物体的运动轨迹等。
坐标系统的应用可以帮助我们更好地理解和解释物理现象。
6. 坐标系统在工程学中的应用在工程学中，坐标系统同样是一个非常重要的工具。
比如，在机械设计中，我们可以用坐标系统来描述一个零件的尺寸和形状，用坐标变换来实现零件的运动等。
在电子工程中，坐标系统同样有着广泛的应用。
总之，坐标系统是数学和物理学中的一个基础概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
对坐标系统的深入理解和熟练运用，可以帮助我们更好地理解和解释各种现象，提高工程设计和科学研究的效率。
高三极坐标知识点总结
高三极坐标知识点总结极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，它由一个原点O、一个极径r和一个极角θ组成。
在高三学习中，极坐标具有重要的应用价值。
本文将对高三极坐标的知识点进行总结。
一、极坐标的定义极坐标是由一个原点O、一个极径r和一个极角θ组成的，记作(r,θ)。
其中，r表示点到原点O的距离，θ表示点与极轴正方向之间的夹角。
二、极坐标与直角坐标的互换1. 直角坐标转极坐标：已知一个点的直角坐标为(x,y)，要将其转换为极坐标，则可通过以下公式计算：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)2. 极坐标转直角坐标：已知一个点的极坐标为(r,θ)，要将其转换为直角坐标，则可通过以下公式计算：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)三、点的表示及图形的表示1. 点的表示：一个点在极坐标系中的表示方式为：P(r,θ)，其中r为点P到原点O的距离，θ为点P与极轴正方向之间的夹角。
2. 图形的表示：在极坐标系中，常见的图形有极径、极角和极坐标方程表示的图形。
四、平面曲线的方程1. 极坐标方程：平面曲线的极坐标方程一般形式为r = f(θ)，其中f(θ)是一个关于θ的函数。
2. 常见曲线的极坐标方程：(1) 圆：r = a(2) 椭圆：r = a√(1 - e²cos²(θ))(3) 双曲线：r = a/√(e²cos²(θ) - 1)(4) 集线器：r = a(1 + cos(θ))(5) 螺线：r = aθ(6) 心形线：r = a(1 - cos(θ))五、曲线的性质通过对极角进行变换，可以得到曲线的对称性。
如对于圆、椭圆、双曲线等曲线，通过改变θ的正负，可以得到相应的对称曲线。
2. 曲线的极值点、渐近线：通过计算导数，可以得到曲线的极值点。
对于极坐标方程为r = f(θ)的曲线，当导数不存在或者导数等于零时，即可确定该曲线上的极值点。
极坐标知识点总结
极坐标知识点总结一、极坐标的基本概念1.1 极坐标的引入极坐标是一种描述平面上点的坐标系统，它由距离和角度两个参数来确定点的位置。
在直角坐标系中，一个点的位置可以用横坐标和纵坐标来表示，而在极坐标系中，则是用半径和角度来表示。
对于一个点P(x, y)，可以用极坐标(r, θ)表示，其中r是点P到原点O的距离，θ是OP与x轴正方向的夹角。
1.2 极坐标系的基本元素极坐标系包括极轴、极角、极径等基本要素。
极轴是平面上一条射线，通常取x轴的正半轴作为极轴，记作θ=0。
点P到极轴的距离r称为极径，点P与极轴的夹角θ称为极角。
1.3 极坐标系与直角坐标系的关系极坐标系与直角坐标系是可以相互转换的。
在直角坐标系中，点P(x, y)可以转换为极坐标(r, θ)的形式，其中r=√(x²+y²)，θ=tan^(-1)(y/x)。
反之，极坐标(r, θ)也可以转换为直角坐标(x, y)的形式，其中x=r*cosθ，y=r*sinθ。
二、极坐标的表示方法2.1 极坐标系的图示表示极坐标系通常用极轴和极角的方式进行图示表示，极轴通常取x轴的正半轴，极角从极轴正半轴开始逆时针旋转。
2.2 极坐标的参数表达对于一个点P(r, θ)，通常用参数方程的形式来表示，即x=r*cosθ，y=r*sinθ。
这种表示方法可以方便地描绘出曲线在极坐标系中的形状。
2.3 极坐标的极径范围在极坐标系中，极径r可以取任意实数，而极角θ通常取一个区间，通常是[0, 2π)，表示半平面θ的取值范围。
三、极坐标的转换方法3.1 极坐标到直角坐标的转换对于一个点P(r, θ)，可以通过r*cosθ和r*sinθ来转换为直角坐标系中的坐标(x, y)，即x=r*cosθ，y=r*sinθ。
这种转换方法可以帮助我们在直角坐标系中描绘出极坐标中的曲线。
3.2 直角坐标到极坐标的转换对于一个点P(x, y)，可以通过√(x²+y²)和tan^(-1)(y/x)来转换为极坐标系中的坐标(r, θ)，即r=√(x²+y²)，θ=tan^(-1)(y/x)。
高三极坐标方程知识点
高三极坐标方程知识点一、导言极坐标方程是数学中的一种坐标系表示方法，通过使用极径和极角来描述平面上点的位置。
在高三数学中，学习极坐标方程是必不可少的一部分。
本文将介绍极坐标方程的基本定义、图形表示以及相关的知识点。
二、基本概念1. 极坐标系：极坐标系是由极轴和极角组成的二维坐标系。
极轴是由原点O出发的射线，极角是用角度或弧度表示的射线与极轴的夹角。
2. 极坐标：一个点在极坐标系中的位置可以用极径r和极角θ来表示，记作(r,θ)。
其中，r表示点到原点O的距离，θ表示点所在射线与极轴的夹角。
三、极坐标方程的表示极坐标系下，一个点的坐标可以由极径r和极角θ来确定。
根据这个原理，可以得到极坐标方程的一般形式：r=f(θ)，其中f(θ)为一个函数。
极坐标方程描述了平面上所有满足该方程的点的集合。
四、极坐标方程的图形表示不同的方程对应不同的图形。
以下是一些常见的极坐标方程及其对应的图形表示：1. 极径为常数的方程：r=a，其中a为正实数。
该方程表示以极径为a的一个园。
2. 正弦曲线方程：r=a·sinθ，其中a为正实数。
该方程表示以极轴为对称轴的正弦曲线。
3. 余弦曲线方程：r=a·cosθ，其中a为正实数。
该方程表示以极轴为对称轴的余弦曲线。
4. 椭圆方程：r=a·(1-e·cosθ)，其中a和e为正实数。
该方程表示以极轴为对称轴的椭圆。
5. 双曲线方程：r=a·(1+e·cosθ)，其中a和e为正实数。
该方程表示以极轴为对称轴的双曲线。
六、其他相关知识点1. 极坐标方程与直角坐标方程互相转化：可以通过一定的数学运算将极坐标方程转化为直角坐标方程，或将直角坐标方程转化为极坐标方程。
2. 极坐标方程下的导数与曲线切线：使用导数的定义，可以求得极坐标方程下的导数及曲线的切线方程。
3. 高阶曲线的极坐标方程：对于一些高阶曲线，可以通过一定的数学方法求得其极坐标方程。
点的坐标的知识点总结
点的坐标的知识点总结一、概念点是几何中最基本的元素之一，它是没有大小和形状的，只有位置的概念。
在平面几何中，一个点的位置可以由其和参考坐标系中的两个坐标值来确定。
这两个坐标值分别叫做横坐标和纵坐标，通常用小括号分别括起来，中间用逗号隔开表示。
例如，点A的坐标为（x,y）。
其中，x是横坐标，y是纵坐标。
横坐标表示点在x轴上的位置，纵坐标表示点在y轴上的位置。
二、表示方法在平面直角坐标系中，点的位置是由两个坐标值确定的。
横坐标和纵坐标的取值范围可以是实数，也可以是整数，具体取决于所使用的坐标系和具体问题的要求。
通常，我们可以使用平面直角坐标系、极坐标系和球面坐标系来表示点的位置。
1、平面直角坐标系：平面直角坐标系是最常用的表示点的坐标的方法之一。
在平面直角坐标系中，x轴和y轴互相垂直，起始于原点O，并且正方向分别被定义为正的方向。
点的坐标表示为（x,y），其中x是点在x轴上的投影，y是点在y轴上的投影。
2、极坐标系：极坐标系是另一种表示点的坐标的方法。
在极坐标系中，点的位置不是由横纵坐标确定，而是由极径和极角确定。
极径表示点到坐标原点的距离，极角表示点在极轴上的极角。
点的坐标表示为（r,θ），其中r是点到原点的距离，θ是点在极轴上的极角。
3、球面坐标系：球面坐标系用来描述三维空间中点的位置。
在球面坐标系中，点的坐标表示为（r,θ,φ），其中r是点到原点的距离，θ是点在xz平面上的极角，φ是点与z轴的夹角。
球面坐标系能够描述点在球面上的位置，适用于球面上的问题。
三、坐标系坐标系是用来描述点的位置的基础工具之一。
在平面几何中，常用的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和其他特殊的坐标系。
每种坐标系都有其独特的特点和适用范围。
1、直角坐标系：直角坐标系是最基本，也是最常用的坐标系。
在直角坐标系中，点的位置是由横坐标和纵坐标表示的。
横坐标和纵坐标的取值范围都是实数。
直角坐标系可以用于描述平面上的点的位置，以及平面上的图形和问题。
柱坐标和球坐标
柱坐标和球坐标柱坐标和球坐标是数学中常用的两种坐标系，它们在描述空间中点的位置时有各自的特点和应用。
本文将介绍柱坐标和球坐标的定义、表示方法以及它们之间的转换关系。
柱坐标柱坐标是三维空间中表示点位置的坐标系之一。
柱坐标通常使用径向距离r、极角 $\\theta$ 和高度z来描述一个点的位置。
在柱坐标系中，点 $(r, \\theta,z)$ 表示距离原点的长度为r，与x轴正向的夹角为 $\\theta$，高度为z的点。
柱坐标系下，点 $(r, \\theta, z)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= r \\cdot\\sin(\\theta) \\\\ z &= z \\end{aligned} $$球坐标球坐标是另一种用于表示三维空间中点位置的坐标系。
球坐标通常使用球径ρ、极角 $\\phi$ 和方位角 $\\theta$ 来描述点的位置。
在球坐标系中，点$(ρ, \\phi,\\theta)$ 表示距离原点的长度为ρ，与z轴正向的夹角为 $\\phi$，与x轴正向的夹角为 $\\theta$ 的点。
球坐标系下，点$(ρ, \\phi, \\theta)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\sin(\\theta) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi)\\end{aligned} $$柱坐标和球坐标之间的转换要将柱坐标转换为球坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{aligned} ρ &= \\sqrt{r^2 + z^2} \\\\ \\phi &=\\arctan\\left(\\frac{r}{z}\\right) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$ 类似地，要将球坐标转换为柱坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{ali gned} r &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$应用和总结柱坐标和球坐标在不同的场景中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学领域。
高三数学极坐标知识点
高三数学极坐标知识点在数学学科中，极坐标是一种描述平面点位置的坐标系，它由极径和极角两个参数组成。
相比直角坐标系，极坐标能够更加简洁地描述点的位置，对于一些特定的问题具有独特的优势。
在高三数学学习中，掌握极坐标知识点对于解题非常重要。
本文将从极坐标的基本概念、坐标转换、曲线方程以及应用问题等方面进行探讨。
一、极坐标的基本概念极坐标是由两个参数构成的坐标系，其中极径表示点到极点的距离，极角表示点与极轴的夹角。
通常将极径记作r，极角记作θ。
在平面直角坐标系中，点P的坐标可以表示为（x，y），而在极坐标系中，点P的坐标表示为（r，θ）。
二、坐标的转换在解题过程中，有时需要将极坐标转换为直角坐标，或将直角坐标转换为极坐标。
这种转换可以通过一些数学公式进行实现。
1. 极坐标转直角坐标已知极坐标（r，θ），要将其转换为直角坐标（x，y），可以使用以下公式：x = r * cosθy = r * sinθ2. 直角坐标转极坐标已知直角坐标（x，y），要将其转换为极坐标（r，θ），可以使用以下公式：r = sqrt(x² + y²)θ = arctan(y / x)三、极坐标方程和曲线在极坐标系中，曲线的方程通常以极径r和极角θ的关系表示。
不同类型的曲线的极坐标方程有所不同，下面介绍几种常见的曲线方程。
1. 极轴极轴是极坐标系中的X轴，对应于直角坐标系中的Y轴。
极轴的极坐标方程为r = 0。
2. 极坐标圆极坐标圆的极坐标方程为r = a，其中a是常数，表示圆的半径。
3. 极坐标直线极坐标直线的极坐标方程为θ = α，其中α是常数，表示直线与极轴的夹角。
4. 极坐标双曲线极坐标双曲线的极坐标方程为r² = a² * cos 2θ 或r² = a² * sin 2θ，其中a是常数。
四、极坐标的应用问题极坐标具有一些特殊的性质，使得它在一些问题中具有便利的应用，尤其是与圆相关的问题。
柱坐标系与球坐标系-高中数学知识点讲解
柱坐标系与球坐标系
1．柱坐标系与球坐标系
【知识点的认识】
1．柱坐标系
如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz．设P 是空间任意一点．它在Oxy 平面上的射影为Q，用（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组（ρ，θ，z）（z∈R）表示．
建立了空间的点与有序数组（ρ，θ，z）之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组（ρ，θ，z）叫做点P 的柱坐标，记作P（ρ，θ，z），其中ρ≥0，0≤θ＜2π，z∈R．
2．球坐标系
建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．设P 是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ．
设P 在Oxy 平面上的射影为Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ．这样点P 的位置就可以用有序数组（r，φ，θ）表示．这样，空间的点与（r，φ，θ）之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系）．
有序数组（r，φ，θ）叫做点P 的球坐标，记做P（r，φ，θ），其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π）．
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高中数学选修4-4-极坐标
极坐标知识集结知识元极坐标知识讲解1．极坐标系【知识点的认识】极坐标系与点的极坐标在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对（ρ，θ）称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对（ρ，θ）决定一个点的位置．其中，ρ称为点M 的极径，θ称为点M的极角．由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π）时，平面上的点（除去极点）就与极坐标（ρ，θ）（ρ≠0）建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可取任意角．2．简单曲线的极坐标方程【知识点的认识】一、曲线的极坐标方程定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．二、求曲线的极坐标方程的步骤：与直角坐标系里的情况一样①建系（适当的极坐标系）②设点（设M（ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）④将等式坐标化⑤化简（此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）三、圆的极坐标方程（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．四、直线的极坐标方程（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a（3）过某个定点平行于极轴，r sinθ＝a（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）五、直线的极坐标方程步骤1、据题意画出草图；2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；3、连接MO；4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求．3．点的极坐标和直角坐标的互化【知识点的认识】坐标之间的互化（1）点的极坐标和直角坐标的互化以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位（如图）．平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为（x，y）和（ρ，θ），则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：，．通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ＜2π．（2）空间点P的直角坐标（x，y，z）与柱坐标（ρ，θ，z）之间的变换公式为：．（3）空间点P的直角坐标（x，y，z）与球坐标（r，φ，θ）之间的变换关系为：．例题精讲极坐标例1.在极坐标系中，已知M（1，），N，则|MN|=（）A．B．C．1+D．2例2.在极坐标系中，已知A（3，），B（4，），O为极点，则△AOB的面积为（）A．3B．C．D．2例3.已知直线l：（t为参数）与曲线ρ2=的相交弦中点坐标为（1，1），则a等于（）A．-B．C．-D．当堂练习单选题练习1.已知曲线C的极坐标方程为：ρ=2cosθ-4sinθ，P为曲线C上的动点，O为极点，则|PO|的最大值为（）A．2B．4C．D．2练习2.在极坐标中，O为极点，曲线C：ρ=2cosθ上两点A、B对应的极角分别为，则△AOB 的面积为（）A．B．C．D．练习3.已知直线l过点P（-2，0），且倾斜角为150°，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ=15．若直线l交曲线C于A，B两点，则|PA|∙|PB|的值为（）A．5B．7C．15D．20练习4.在平面直角坐标系中，记曲线C为点P（2cosθ-1，2sinθ+1）的轨迹，直线x-ty+2=0与曲线C 交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2B．C．D．4练习5.在极坐标系中，直线ρcosθ=2与圆ρ=4cosθ交于A，B两点，则|AB|=（）A．4B．C．2D．练习6.在同一平面直角坐标系中，将直线x-2y=2按φ：变换后得到的直线l，若以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程为（）A．4ρcosθ-ρsinθ=4B．ρcosθ-16ρsinθ=4C．ρcosθ-4ρsinθ=4D．ρcosθ-8ρsinθ=4填空题练习1.在极坐标系中，圆ρ=1上的点到直线的距离的最大值是___．练习2.在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ-ρcosθ-6=0的距离为___．练习3.在极坐标系下，已知圆，则圆O的直角坐标方程是_________________练习4.在极坐标系中，若点A（3，），B（3，），则△AOB的面积为___解答题练习1.'在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程是，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α<π），设P （1，2），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）当α=0时，求|AB|的长度；（2）求|PA|2+|PB|2的取值范围．'练习2.'在直角坐标xOy中，直线l的参数方程为{（t为参数）在以O为极点．x轴正半轴为极轴的极坐标系中．曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ-2cosθ．（I）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程：（Ⅱ）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．'。
数学坐标相关知识点总结
数学坐标相关知识点总结数学坐标是数学中一个重要的概念，它是描述点在二维平面或三维空间中位置的工具。
在数学中，坐标系统有多种表示方法，比如直角坐标、极坐标和球坐标等。
这些坐标系统都可以通过数学方法描述一个点在空间中的位置，从而便于进行各种计算和分析。
1. 直角坐标系直角坐标系是描述点在二维平面上位置的一种坐标系统。
它由两条互相垂直的坐标轴组成，一般约定为x轴和y轴。
x轴和y轴的交点称为原点O，x轴正方向为正方向，y轴正方向也为正方向。
在直角坐标系中，每个点可以由一对有序实数(x, y)表示，其中x称为横坐标，y称为纵坐标。
横坐标和纵坐标的符号取决于点所在的象限，其中象限是平面上以原点为中心的四个部分。
在直角坐标系中，两点的距离可以通过勾股定理计算：设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则AB的距离为√((x2-x1)² + (y2-y1)²)。
2. 极坐标系极坐标系是描述点在二维平面上位置的另一种坐标系统，它由极轴和极角组成。
极轴是一个过原点的射线，极角是从极轴到点的射线的逆时针方向的角度。
在极坐标系中，每个点可以由一对有序实数(r, θ)表示，其中r称为极径，θ称为极角。
在极坐标系中，点的坐标可以通过直角坐标系的转换关系来表示：x = r * cos(θ)，y = r *sin(θ)。
同样地，直角坐标系的坐标也可以通过极坐标系的转换关系来表示：r = √(x² + y²)，θ = arctan(y/x)。
3. 球坐标系球坐标系是描述点在三维空间中位置的一种坐标系统，它由径向、极角和方位角组成。
径向是从原点到点的直线距离，极角是径向与z轴的夹角，方位角是x轴正方向与点在水平面上的投影的夹角。
在球坐标系中，每个点可以由一组有序实数(r, θ, φ)表示，其中r称为径向，θ称为极角，φ称为方位角。
在球坐标系中，点的坐标可以通过直角坐标系的转换关系来表示：x = r * sin(θ) * cos(φ)，y = r * sin(θ) * sin(φ)，z = r * cos(θ)。
高中数学知识点精讲精析 柱坐标系和球坐标系
3 柱坐标系和球坐标系
1．球坐标系
球坐标是一种三维坐标。
设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段与z轴正向所夹的角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里M为点P在xOy面上的投影。
这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，这里r，φ，θ的变化范围为
0 ≤ r < +∞,
0 ≤φ≤ 2π,
0 ≤θ≤ π.
r = 常数，即以原点为心的球面；
θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；
φ= 常数，即过z轴的半平面。
其中
x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：
dl(r)=dr, dl(θ)=rdθ, dl(φ)=rsinθdφ
球坐标的面元面积是：
dS=dl(θ)* dl(φ)=r^2*sinθdθdφ
体积元的体积为：
dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r^2*sinθdrdθdφ
2．柱坐标系
如右图所示，柱坐标系中的三个坐标变量是r、φ、z。
与直角坐标系相同，柱坐标系中也有一个z变量。
各变量的变化范围是：0 ≤ r < +∞,
0 ≤φ≤ 2π
-∞<z<+∞
其中
x=rcosφ
y=rsinφ
z=z。
高三数学极坐标知识点总结
高三数学极坐标知识点总结极坐标是一种平面坐标系统，它由极径和极角组成。
在高三数学学习中，极坐标是一个重要的知识点。
本文将对高三数学中的极坐标相关知识进行总结。
一、极坐标的定义及表示方法极坐标用一个有序数对(r,θ)来表示一个点，其中r是这个点到原点的距离，θ是这个点与极轴的角度。
极轴是从原点开始的射线，极角θ的范围通常是[0,2π)或者[-π,π)。
二、极坐标与直角坐标之间的转换我们可以通过一些公式将极坐标和直角坐标进行转换，这样可以更方便地进行计算和理解。
1. 从直角坐标转换到极坐标：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)2. 从极坐标转换到直角坐标：x = r*cos(θ)y = r*sin(θ)三、极坐标系下的图形方程及性质在极坐标系下，很多图形的方程表示会更简洁。
以下是一些常见图形的极坐标方程及其性质：1. 圆：r = a（其中a为正实数），极坐标方程表示一个以原点为中心，半径为a的圆。
2. 旋线：r = aθ（其中a为正实数），极坐标方程表示一个以原点为中心，极角θ与极径r成正比的线。
3. 极轴：θ = kπ（其中k为整数），极坐标方程表示与极轴平行的直线。
4. 螺旋线：r = a*exp(bθ)（其中a、b为正实数），极坐标方程表示一种曲线形状类似于螺旋的图形。
四、极坐标下曲线的切线方程在直角坐标下，我们可以通过求导来求得曲线的切线方程。
而在极坐标下，切线的求导方法稍有不同。
对于一个极坐标方程r = f(θ)，我们可以通过以下步骤求得曲线上某点处的切线方程：1. 将极坐标方程转换为直角坐标方程。
2. 求得曲线上某点处的斜率。
3. 根据该点的直角坐标和斜率，列出切线方程。
五、极坐标下曲线的面积计算在直角坐标系下，我们可以通过积分计算曲线与x轴之间的面积。
而在极坐标系下，计算曲线的面积需要进行一些转换。
对于一个由极坐标方程r = f(θ)描述的曲线，其面积可以通过以下公式计算：S = 1/2 * ∫[α,β] (f(θ))² dθ其中α和β为曲线所围成的区域的起始角和终止角。
高考数学极坐标知识点
高考数学极坐标知识点数学一直被认为是高考的重点科目之一，而其中的极坐标系统更是高考数学中的一大难点。
本文将介绍高考数学中与极坐标有关的重要内容，包括极坐标的定义、转换公式、曲线方程、参数方程以及极坐标下的求导与积分等知识点。
一、极坐标的定义极坐标是一种用极径和极角来表示平面上点的坐标系统。
在极坐标系统中，一个点的坐标用(r, θ)表示，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与正半轴之间的夹角。
在直角坐标系中，点的坐标为(x, y)，与极坐标可以相互转换。
二、极坐标与直角坐标的转换公式在高考数学中，经常会涉及到极坐标与直角坐标之间的相互转换。
转换公式如下：(1) 由直角坐标(x, y)转换为极坐标(r, θ)：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)(2) 由极坐标(r, θ)转换为直角坐标(x, y)：x = r * cosθy = r * sinθ掌握转换公式可以在解决与极坐标有关的问题时起到很大的帮助。
三、曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程是指用极坐标来表示曲线上的点的方程。
常见的极坐标方程包括：(1) 极线方程：r = a当极径固定时，定义的曲线就是一条直线，称为极线。
(2) 极轨方程：r = f(θ)极坐标方程中的f(θ)表示一个函数关系，画出的曲线就是该函数的图形。
(3) 极坐标方程的性质：偶函数与奇函数若极坐标方程满足f(θ + π) = f(θ)，则称其为偶函数；若极坐标方程满足f(θ + π) = -f(θ)，则称其为奇函数。
四、参数方程与极坐标在高考数学中，参数方程是用参数t来表示点的坐标。
而在极坐标中，同样可以利用参数方程表示曲线方程。
例如：(1) 曲线的极坐标方程r = f(θ) 可以用参数方程表示为：x = f(θ) * cosθy = f(θ) * sinθ(2) 曲线的参数方程 x = g(t)，y = h(t) 可以转换为极坐标方程：r = √(g²(t) + h²(t))θ = arctan(h(t) / g(t))五、极坐标下的求导与积分在解决极坐标相关问题时，求导与积分是经常使用的技巧。
高三一轮复习资料极坐标知识点汇总
xy
= =
√ −1 + 2 cos
√ 1 + 2 sin θ
θ, (θ为参数)
被直线
y
=
0
截得的劣弧长为
()
√ 2π
(A) 2
(B) π
√ (C) 2 2π
(D) 4π
3.
已知曲线 C
:
yx
= =
√ 2 2
a+
t
√ 2 2
(
)
t为参数 , A(−1, 0), B(1, 0). 若曲线 C
sin φ
其中 φ ∈ [0, 2π)，注意 φ 不是椭圆上的点和原点连线的夹角，是椭圆对应的圆的离心角.
4. 双曲线的参数方程：
xy
= =
a b
sec tan
θ θ
(θ为参数)
5. 抛物线 y2 = 2px 的参数方程可表示为:
yx
= =
2 pt2 (t为参数)
(2) 若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B，求 |AB| 的最大值.
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2 参数方程
2.1 参数方程的概念
在平面直角坐标系中，若曲线
C
上的点
P(x,
y)
满足
xy
= =
f (t), g(t).
该方程叫曲线
C
的参数方程，变量
t
是
参变数，简称参数.(在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数
上存在点
P
满足
A# P» ·
B# P»
=
0, 则实数
a 的取值范围是
()
(A) −
极坐标知识点归纳总结
极坐标知识点归纳总结一、基本概念极坐标是一种描述平面上点位置的数学表示方法。
与直角坐标系不同，极坐标系使用径向和角度来描述一个点的位置，而不是使用水平和垂直距离。
在极坐标系中，一个点的位置可以用一个有序对(r, θ)来表示，其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示点与正向 x 轴的夹角。
二、极坐标与直角坐标的转换1. 从直角坐标到极坐标的转换对于给定的直角坐标点(x, y)，它的极坐标表示为：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)2. 从极坐标到直角坐标的转换对于给定的极坐标点(r, θ)，它的直角坐标表示为：x = r*cos(θ)y = r*sin(θ)三、极坐标下的图形1. 点在极坐标系中，点的位置由一个有序对(r, θ)来表示，其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示点与正向 x 轴的夹角。
2. 直线和圆在极坐标系中，直线可以表示为两个夹角θ1和θ2之间的所有点，即θ1 ≤ θ ≤ θ2。
而圆则可以表示为一个常数r。
3. 极坐标下的极坐标曲线极坐标方程可以描述出各种各样的曲线，其中一些常见的包括：- 极坐标的直线：r = a/cos(θ - α)- 极坐标的圆：r = a- 极坐标的双纽线：r² = a²*cos(2θ)四、极坐标下的运算1. 极坐标下的加法两个点的极坐标加法可以通过将它们的径向和角度相加得到：(r1, θ1) + (r2, θ2) = (r1 + r2, θ1 + θ2)2. 极坐标下的乘法两个点的极坐标乘法可以通过将它们的径向和角度相乘得到：(r1, θ1) * (r2, θ2) = (r1 * r2, θ1 + θ2)3. 极坐标下的除法两个点的极坐标除法可以通过将它们的径向和角度相除得到：(r1, θ1) / (r2, θ2) = (r1 / r2, θ1 - θ2)五、极坐标下的导数和微分在极坐标系下，对极坐标函数求导需要使用以下公式：dr/dt = ∂r/∂θ * dθ/dt + ∂r/∂tdθ/dt = 1/r * ∂r/∂θ + ∂θ/∂t其中dr/dt表示径向速度，dθ/dt表示角速度。
极坐标与柱坐标
极坐标与柱坐标极坐标和柱坐标是两种常用的坐标系，它们在数学和物理领域中广泛应用。
极坐标主要用于描述平面上点的位置，而柱坐标则用于描述空间中点的位置。
本文将介绍极坐标和柱坐标的定义、转换关系以及应用。
首先，我们来看极坐标。
极坐标是用极径和极角来表示平面上点的坐标。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴之间的夹角。
通常用(r,θ)表示一个点的极坐标，其中r表示极径，θ表示极角。
在极坐标系中，原点记作O，极径为正的半轴记作x轴，极角为0的半轴记作y轴。
极坐标系可以将极坐标点映射到直角坐标系中，而直角坐标系中的点也可以转换为极坐标。
极坐标的转换公式如下：x = r * cosθy = r * sinθ其中，x和y表示直角坐标系中点的横纵坐标，r和θ表示极坐标系中点的极径和极角。
接下来，我们来看柱坐标。
柱坐标是用径向、极角和高度来表示空间中点的坐标。
径向表示点到原点的距离，极角表示点与某一固定方向之间的夹角，而高度表示点在该方向上的投影长度。
通常用(r,θ,z)表示一个点的柱坐标，其中 r 表示径向，θ 表示极角，z 表示高度。
在柱坐标系中，原点记作O，径向为正的半轴记作x轴，极角为0的半轴记作y轴，高度方向记作z轴。
与极坐标类似，柱坐标系也可以将柱坐标点映射到直角坐标系中，而直角坐标系中的点也可以转换为柱坐标。
柱坐标的转换公式如下：x = r * cosθy = r * sinθz = z在实际应用中，极坐标和柱坐标常常用于描述圆形和圆柱形物体的特征。
极坐标可以简化对于圆形物体的分析，例如计算圆的面积和弧长等。
柱坐标则可用于描述圆柱形物体的外形和体积等特征。
总结起来，极坐标和柱坐标是两种重要的坐标系，它们分别用于描述平面上和空间中点的位置。
它们与直角坐标系之间有对应的转换关系，可以互相转换。
在数学和物理研究中，应用广泛且方便。
通过了解和掌握它们的概念和转换关系，我们能够更好地理解和分析相关问题。
高二数学必修三极坐标系知识点
⾼⼆数学必修三极坐标系知识点 极坐标系是⾼⼆数学必修三中的⼀⼤教学难点，有哪些知识点需要我们学习的呢?下⾯是店铺给⼤家带来的⾼⼆数学必修三极坐标系知识点，希望对你有帮助。
⾼⼆数学必修三极坐标系知识点 极坐标系的定义： 在平⾯上取定⼀点O，称为极点。
从O出发引⼀条射线Ox，称为极轴。
再取定⼀个长度单位，通常规定⾓度取逆时针⽅向为正。
这样就建⽴了⼀个极坐标系。
这样，平⾯上任⼀点P的位置就可以⽤线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的⾓度θ来确定，有序数对(ρ，θ)就称为P点的极坐标，记为P(ρ，θ);ρ称为P点的极径，θ称为P点的极⾓。
点的极坐标： 设M点是平⾯内任意⼀点，⽤ρ表⽰线段OM的长度，θ表⽰射线Ox到OM的⾓度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极⾓，有序数对(ρ，θ)叫做M点的极坐标，如图， 极坐标系的四要素： 极点，极轴，长度单位，⾓度单位和它的正⽅向.极坐标系的四要素，缺⼀不可. 极坐标系的特别注意： ①关于θ和ρ的正负：极⾓θ的始边是极轴，取逆时针⽅向为正，顺时针⽅向为负，θ的值⼀般以弧度为单位。
极坐标和直⾓坐标的互化: (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直⾓坐标系中的原点重合; ②极轴与x轴的正半轴重合; ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式 特别提醒:①直⾓坐标化为极坐标⽤第⼆组公式.通常取 所在的象限取最⼩正⾓; ②当 ③直⾓坐标⽅程及极坐标⽅程互化时，要切实注意互化前后⽅程的等价性. ④若极点与坐标原点不是同⼀个点.如图，设M点在以O为原点的直⾓坐标系中的坐标为(x，y)，在以 为原点也是极点的时候的直⾓坐标为(x′,y′)，极坐标为(ρ,θ)，则有 第⼀组公式⽤于极坐标化直⾓坐标;第⼆组公式⽤于直⾓坐标化极坐标. ⾼⼆数学必修三平⾯直⾓坐标系知识点 数轴(直线坐标系): 在直线上取定⼀点O，取定⼀个⽅向，再取⼀个长度单位，点O，长度单位和选定的⽅向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴.如图， 平⾯直⾓坐标系： 在平⾯上取两条互相垂直并选定了⽅向的直线，⼀条称为x轴，⼀条称为y轴，交点O为原点。
高中数学选修坐标知识点总结
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x x y yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以相互垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一样地,不作特别说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯独的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯独肯定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一样情形下,由tan θ肯定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示情势不唯独,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯独性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示情势,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种情势,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一样地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个答应值,由方程组①所肯定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同情势,一样地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范畴保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的情势不一定唯独。
高二文科数学极坐标知识点
高二文科数学极坐标知识点高二文科数学中的极坐标是一种描述平面点位置的坐标系统。
它将点的位置与极径和极角两个数值相关联。
在学习极坐标的知识点时，我们需要了解极坐标的表示方法、坐标系转换、极坐标方程以及极坐标下的图形表示等内容。
1. 极坐标的表示方法在极坐标中，平面上的点通过极径和极角两个数值来表示。
极径表示点到原点的距离，记作r，而极角表示点与极轴的夹角，记作θ。
通常，我们将极径r写在极角θ的右上方，形成一个有序对(r,θ)来表示点的位置。
2. 极坐标系转换在直角坐标系和极坐标系之间进行转换是极坐标的重要应用之一。
将直角坐标系中的点(x,y)转换为极坐标系中的点(r,θ)需要使用以下公式：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)反之，将极坐标系中的点(r,θ)转换为直角坐标系中的点(x,y)需要使用以下公式：x = r * cosθy = r * sinθ3. 极坐标方程极坐标方程是在极坐标系中表示曲线方程的一种形式。
一般来说，极坐标方程由极径r和极角θ的关系式来确定。
比如，常见的圆的极坐标方程为r = a，表示以极径a为半径的圆。
除了圆之外，其他曲线的极坐标方程可以通过关系式r = f(θ)来表示，其中f(θ)是极坐标函数。
例如，当f(θ) = a + bcosθ时，表示一个叫做“卡西尼曲线”的图形。
4. 极坐标下的图形表示在极坐标系中，我们可以通过调整极径和极角来画出各种各样的图形。
常见的图形包括圆、椭圆、双纽线以及心形线等。
画图时，可以先确定关键点的坐标，再通过连线或者曲线来表示整个图形。
对于一些复杂的曲线，我们可以利用计算机软件来绘制。
在实际应用中，极坐标常常用于描述与极轴的夹角和距离有关的物理问题，如雷达、天文学、电子工程等领域。
5. 总结高二文科数学中的极坐标是一种重要的坐标系统，用于描述平面点的位置。
通过了解极坐标的表示方法、坐标系转换、极坐标方程以及极坐标下的图形表示等知识点，我们可以更好地理解和应用极坐标。
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极坐标
简单曲线的极坐标方程 【基础知识导学】
1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。
1． 直线与圆的极坐标方程
① 过极点，与极轴成α角的直线
极坐标议程为
αθραθtan tan )(=∈=或R
②以极点为圆心半径等于r 的圆的
极坐标方程为 r =ρ
【知识迷航指南】 例1求（1）过点)4
,2(π
A 平行于极轴的直线。
（2）过点)3
,
3(πA 且和极轴成
4
3π
角的直线。
解（1）如图，在直线l 上任取一点),(θρM ，因为)4
,2(π
A ，所以|MH|=224
sin
=⋅π
在直角三角形MOH 中|MH|=|OM|sin θ即2sin =
θρ，所以过点)4
,2(π
A 平行于极轴的直线为
2sin =θρ。
（2）如图 ，设M ),(θρ为直线l 上一点。
x
)3
,
3(π
A ， OA =3，3
π
=
∠AOB
由已知4
3π=∠MBx ，所以125343π
ππ=-=∠OAB ，所以127125πππ=
-=∠OAM 又θπ
θ-=
-∠=∠4
3MBx OMA 在∆MOA 中，根据正弦定理得 12
7sin
)43sin(3πρ
θπ=
- 又426)34sin(127sin
+=+=πππ 将)4
3sin(θπ
-展开化简可得23233)cos (sin +=
+θθρ 所以过)3
,3(π
A 且和极轴成
4
3π
角的直线为：23233)cos (sin +=+θθρ
〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。
将它用坐标表示。
再通过代数变换进行化简。
例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程。
（2）从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程。
解：（1）设),(θρp 为圆C 上任意一点。
圆C 交极轴于另一点A 。
由已知 OA =8 在直角∆AOD 中θcos OA OD =，即 θρcos 8=， 这就是圆C 的方程。
（2）由4==OC r 。
连接CM 。
因为M 为弦ON 的中点。
所以ON CM ⊥，故M 在以OC 为直径的圆上。
所以，动点M 的轨迹方程是：θρcos 4=。
〔点评〕 在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法。
在极坐标中。
求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。
例2中（1）为直译法，（2）为定义法。
此外（2）还可以用动点转移法。
请同学们尝试用转移法重解之。
例3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。
（1）x y 42= （2）3
π
θ=
（3）12
cos 2
=θ
ρ （4）42cos 2=θρ
解：（1）将θρθρsin ,cos ==y x 代入x y 42=得θρθρcos 4)sin (2=化简得
θθρsin 4sin 2=
（2）∵x y =
θtan ∴ 33tan ==x y
π 化简得：)0(3≥=x x y （3）∵12cos 2=θρ ∴ 12
cos 1=+θ
ρ。
即2cos =+θρρ 所以
222=++x y x 。
化简得 )1(42--=x y 。
（4）由42cos 2=θρ 即4)sin (cos 222=-θθρ 所以 422=-y x
〔点评〕 （1）注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提。
（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定πθρ20,0<≤> （3）由极坐标方程化为极坐标方程时，要注意等价性。
如本例（2）中。
由于 一般约定.0>ρ故3
π
θ=表示射线。
若将题目改为)(3
R ∈=
ρπ
θ 则方程化为：x y 3=
〔解题能力测试〕 1 判断点)35,21(π-
是否在曲线2
cos θ
ρ=上。
2．将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。
（1）01222=--+x x y ；
（2）θ
ρcos 21
-=。
3．下列方程各表示什么曲线？
（1）a y =： 。
（2）a =ρ： 。
（3）αθ=： 。
〔潜能强化训练〕
１ 极坐标方程分别是θρcos =和θρsin =的两个圆的圆心距是（ ）
Ａ ２ Ｂ 2 Ｃ １ Ｄ
2
2 ２ 在极坐标系中，点)2
,
3(π
关于6
π
θ=
)(R ∈ρ的对称的点的坐标为 （ ）
A )0,3(
B )2,3(π
C )32,3(π-
D )6
11,3(π
3在极坐标系中，过点)3
,3(π
且垂直于极轴的直线方程为（ ）
A 2
3cos =
θρ B 23sin =θρ C θρcos 23= D θρsin 23
=
4 极坐标方程 )0(2
2
cos ≥=
ρθ 表示的曲线是 （ ） A 余弦曲线 B 两条相交直线 C 一条射线 D 两条射线 5 已知直线的极坐标方程为 2
2
)4
sin(=
+π
θρ，则极点到该直线的距离是： 。
6 圆)sin (cos 2θθρ+=
的圆心坐标是： 。
7 从原点O 引直线交直线0142=-+y x 于点M ，P 为OM 上一点，已知1=OM OD 。
求P 点的轨迹并将其化为极坐标方程。
〔知识要点归纳〕
1 直线，射线的极坐标方程。
2 圆的极坐标方程
三、简单曲线的极坐标方程 〔解题能力测试〕
1、在
2、（1）2
222cos 10
(2)34210x y x ρρθ--=+--=
3、（1）在直角坐标下，平行于X 轴的直线。
（2）在极坐标下，表示圆心在极点半径为a 的圆。
（3）在极坐标下，表示过极点倾斜角为α的射线。
〔潜能强化训练〕 1、D 2、D 3、A
4、D 5
、
6.(1,)2
4
π
7、以O 为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，直线方程化为2cos 4sin 10ρθρθ+-=，
设000000(,).(,)2cos 4sin 10M P ρθρθρθρθ+-=则又00
0011θθθθρρρρ
⎧=⎧=⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩
知
代入得：
1
1
2
cos 4
sin 10,2cos 4sin θθρθθ
ρ
ρ
+-=∴=+
柱坐标系和球坐标系
[教学目标]
知识与技能：1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法。
2.了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
3.掌握柱坐标、球坐标与直角坐标的互化 过程与方法：
情感、态度、价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
[教学重点]
在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法， [教学难点]
体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系.利用它们进行简单的数学应用。
[教学过程]。