新导学案高中数学人教版必修一311 方程的根与函数的零点

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高中数学必修一方程的根与函数的零点(一)

方程f (x)＝0有实数根
函数y＝f (x)的图象与x轴有交点
函数y＝f (x)有零点
探究3 二次函数的零点如何判定?
探究3 二次函数的零点如何判定? 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式＝b2－4ac.
探究3 二次函数的零点如何判定? 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式＝b2－4ac.
探究3 二次函数的零点如何判定? 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式＝b2－4ac.
方程函数判别式 ax2＋bx＋c＝0 y＝ax2＋bx＋c 的根的零点＞0 两不相等实根两个零点＝0 ＜0
探究3 二次函数的零点如何判定? 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式＝b2－4ac.
方程函数判别式 ax2＋bx＋c＝0 y＝ax2＋bx＋c 的根的零点＞0 两不相等实根两个零点＝0 两相等实根＜0
探究3 二次函数的零点如何判定? 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式＝b2－4ac.
方程函数判别式 ax2＋bx＋c＝0 y＝ax2＋bx＋c 的根的零点＞0 两不相等实根两个零点＝0 两相等实根一个零点＜0

3.1.1 方程的根与函数的零点导学案

鸡西市第十九中学学案

【函数零点的定义】问题1考察下列一元二次方程与对应的二次函数：

＝0与函数y＝x2－2x－3；

0与函数y＝x2－2x＋1;

0与函数y＝x2－2x＋3.

你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点坐标吗？

判断函数的零点的个数，可以转化为判断函数对应方程的实根的个数，也可以转化为判断函数图象与x轴交点的个数．

上的图象是一条的曲线，且，

)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有这两个条件后，函数的零点是唯一的吗？

函数零点不一定唯一，由下图可知，还需添加函数y＝

新人教A版必修1高中数学3.1.1-2方程的根与函数的零点导学案

高中数学 3.1.1-2方程的根与函数的零点导学案

新人教A 版必修1

学习目标：1、理解函数零点存在性定理

2、能应用零点存在性定理解决问题学习重点：零点存在性定理的应用学习过程：

一、观察分析、探究学习

1、判断函数183)(2--=x x x f 在[]8,1∈x 是否存在零点法Ⅰ：

法Ⅱ：

2、根据法Ⅱ总结零点存在定理

___________________________________________ 3、应用1：判断下列函数在给定区间上是否存在零点（1）1)(3--=x x x f []2,1-∈x

（2）x x x f -+=)2(log )(2 []3,1∈x

应用2：若)(x f y =的最小值为2，则1)(-=x f y 的零点个数为______个

应用3：若函数)0(12)(≠++=k k kx x f 在[]1,1-上存在一个零点，求k 的取值范围

应用4：若函数m x m x x f 2)1(-)(2+-=在()1,0上有且只有一个零点，求m 的取值范围

二、数形结合、深化研究

1、研究下列函数零点的个数（1）32)(+-=-x e x f x

（2）x

x x f ⎪⎭

⎫

⎝⎛-+=213log )(2

2、单调性、奇偶性与零点

（1）若奇函数)(x f 的定义域为R ，在()∞+，

0上是单调递增函数，0)1(=f ，求)(x f 在()2,2-内的零点个数

（2）求函数24)(x x x f -=的所有零点之和

三、课后感悟

1、函数()⎩⎨

⎧>+-≤-=1

,341

,442

人教A必修1第3章导学案

§3.1.1 方程的根与函数的零点

1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；

2. 掌握零点存在的判定定理.

一、课前准备

（预习教材P 86~ P 88，找出疑惑之处）

复习1：一元二次方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的解法. 判别式∆= .

当∆ 0，方程有两根，为1,2x = ；当∆ 0，方程有一根，为0x = ；当∆ 0，方程无实根.

复习2：方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的根与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象之间有什么关系？

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：

① 方程2230x x --=的解为，函数223y x x =--的图象与x 轴有个交点，坐标为 .

② 方程2210x x -+=的解为，函数221y x x =-+的图象与x 轴有个交点，坐标为 .

③ 方程2230x x -+=的解为，函数223y x x =-+的图象与x 轴有个交点，坐标为 .

根据以上结论，可以得到：

一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相

应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .

你能将结论进一步推广到()y f x =吗？

新知：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.

反思：

函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？

高中数学必修1导学案

班级：组别：组号：___________ 姓名：

2.2.1对数（1）

【学习目标】

1. 理解对数的概念；

2. 能够进行对数式与指数式的互化；

3．会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值。

【自主学习】认真阅读教材62页至63页例2，探究并思考:

1.问题：截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后人口数可达到18亿，20亿，30亿？

请问：（1）问题具有怎样的共性？

（2）已知底数和幂的值，求指数怎样求呢？例如：由1.01x m =，求x .

2.一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.

记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数

试试：将问题1中的指数式化为对数式.

3我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N

试试：分别说说lg5 、lg3.5、ln10、ln3的意义.

4.思考：

（1）指数与对数间的关系？

0,1a a >≠时，x a N =⇔ .

（2）负数与零是否有对数？为什么？

（3）log 1a = ， log a a = .

(4) log ____;n a a = log _____a N a =

5. 1)将下列指数式写成对数式：

（1）4216=；（2）31327-=

必修一3-1-1方程的根与函数的零点

课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引 1．函数的零点对于函数 y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x 叫做函数 y＝f(x)的零点．想一想：函数的零点是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点吗？提示函数的零点不是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点，而是 y＝f(x) 与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．函数零点与方程根的关系方程 f(x)＝0 有实数根 ⇔函数 y＝f(x)的图象与x轴有交点 ⇔函数 y＝f(x)有零点． 3．函数零点的存在性定理如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，
f(b)＜0 ，并且有 f(a)· 那么，函数 y＝f(x)在区间(a， b)内有零点，
【变式 1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
2 x － 1 x －4x＋3 2 (1)f(x)＝－x －4x－4；(2)f(x)＝； x－3
(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝log3(x＋1)．解：(1)令－x2－4x－4＝0，解得 x＝－2，所以函数的零点为－2. x－1x2－4x＋3 (2)令＝0，解得 x＝1，所以函数的零点为 1. x－3 (3)令 4x＋5＝0，则 4x＋5＞0，即方程 4x＋5＝0 无实数根，所以函数不存在零点． (4)令 log3(x＋1)＝0，解得 x＝0，所以函数的零点为 0.

2016-2017学年人教版高中数学必修一3.1.1《方程的根与函数的零点》word教案

“方程的根与函数的零点”

【教学目标】

一、知识与技能

1、通过探索一元二次方程的实根与二次函数图象之间的关系，让学生领会方程的根与函数零点之间的联系，了解零点的概念.

2、以具体函数在某区间上存在零点的特点，探索在某区间上图象连续的函数存在零点条件以及个数，理解并掌握在某个区间上图象连续的函数零点存在的判定方法.

二、过程与方法

1、采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现函数零点存在的条件。

2、在课堂探究中渗透由特殊到一般的认识规律，渗透数形结合思想及转化思想以及函数与方程的思想，培养学生观察、分析、归纳、抽象和概括能力.

三、情感、态度、价值观

努力营造平等、民主的课堂气氛，以学生为主体，营造学习氛围，使学生产生热爱学习数学的积极心理，引导学生进行积极主动的学习，培养良好的数学学习情感. 在函数与方程的联系中体验数形结合思想，培养学生的辨证思维能力，以及分析问题解决问题的能力．从易到难，使学生体会到学习数学的成功感，体验规律发现的快乐．

【教学重点】

1、体会函数的零点与方程根之间的联系；

2、掌握函数零点存在的判定方法.

【教学难点】

函数零点存在的判定方法及其运用.

【教学方式与手段】

电脑，多媒体，黑板．

【教学过程设计】

（一）设问激疑，引出新知

方程解法史话：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当

方程的根与函数的零点教案

本文题目：高一数学教案：方程的根与函数的零点教案

学习目标

1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在*及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系;

2.掌握零点存在的判定定理.

学习过程

一、课前准备

(预习教材p86~p88，找出疑惑之处)

复习1：一元二次方程+bx+c=0(a0)的解法.

判别式=.

当0，方程有两根，为;

当0，方程有一根，为;

当0，方程无实根.

复习2：方程+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax+bx+c(a0)的图象之间有什么关系?

判别式一元二次方程二次函数图象

二、新课导学

※学习探究

探究任务一：函数零点与方程的根的关系

问题：

①方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为.

②方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为.

③方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为.

根据以上结论，可以得到：

一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的.

你能将结论进一步推广到吗?

新知：对于函数，我们把使的实数x叫做函数的零点(zeropoint).

反思：

函数的零点、方程的实数根、函数的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系?

试试：

(1)函数的零点为;(2)函数的零点为.

小结：方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点.

探究任务二：零点存在*定理

问题：

①作出的图象，求的值，观察和的符号

②观察下面函数的图象，

在区间上零点;0;

在区间上零点;0.

新知：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根.

3.1.1(零点定理导学案)---宋丽玲

学校乐从中学年级高一学科数学导学案

主备宋丽玲审核张活富授课人授课时间班级姓名小组课题：3.1.1方程的根与函数的零点课型：新授课课时：1 【学习目标】

（1）了解函数的零点与对应方程的根的关系，了解零点概念；

（2）会根据二次函数的图像与x 轴的交点判断一元二次方程的根的个数与函数零的个数

（3）掌握数型结合的数学思想方法。【学习过程】一、课题引入 1、求下列方程的根

（1）0322

=--x x （2）0122

=+-x x （3）0322

=+-x x

2、完成下列表格：

方程 0322=--x x 0122=+-x x 0322=+-x x

函数 322--=x x y

122+-=x x y

322+-=x x y

函数图象

方程的实数根函数的图像与x 轴的交点

思考：一元二次方程的根与对应的二次函数的图象与x 轴的交点有什么关系？

（教师“复备”栏或学生笔记栏）

若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 及其相应的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点关系，上述结论是否成立？：

判别式△ = b2－4ac △＞0

△=0

△＜0

方程

)

0(0

2≠=++a c bx ax 的根

函数

)

0(2≠++=a c bx ax y 图象

函数的图象与 x 轴的交点

函数零点的定义：对于函数y=f(x),我们把使 ____________________ 的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。等价关系:

方程f(x)=0有实数根

【高中数学必修一】3.1.1方程的根和函数的零点

x1,x2 x1=x2 （x1,0），（x2，0）（x1，0）无交点
⊿>0 ⊿=0
⊿<0
无实根
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。注意：
零点指的是自变量的一个值，是一个实数。
零点是一个点吗?
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点
小结
1.函数零点的定义：
等价关系
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点
2.零点存在定理及定理的加强结论
ห้องสมุดไป่ตู้
2, 4上是否也具有这种特点呢？
结论并且有 f (a) f (b) 0 ，那么，函数 y f ( x) 在区间 a , b 内有零点，
如果函数 y f ( x) 在区间 a, b 上的图象是连续不断的一条曲线，
即存在 c a,b ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0 的根。
探究
观察二次函数 f ( x) x 2 2 x 3 的图象，如右图，我们发现函数 f ( x) x2 2 x 3在区间 2,1 上有零点。计算 f (2) 和 f (1) 的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间

高中数学《方程的根与函数的零点》导学案

给出函数零点概念

轴的交点，函数零点的关系

研究函数f(x)＝x2－2x－3的零点观察下面函数的图象

例1：判断函数f(x)=ln x+2x-6在区间[2,3]上是否存在零点.

解：因为f(2)=ln2−2<0,f(3)=ln3>0，

所以f(2)·f(3)<0

所以函数f(x)=ln x+2x-6在区间[2,3]上存在零点。

例2：求函数y=x3−2x2−x+2的零点

解：y=x(x2−1)−2(x2−1)=x(x2−1)=x(x−1)(x+1)

令x(x−1)(x+1)=0

解得：x1=0,x2=1,x3=−1

所有函数y=x3−2x2−x+2的零点为，0,1，-1

思考：请同学们思考，若函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续的一条曲线，那么是不是函数在区间[a,b]就一定没有零点？

课堂总结：

1：函数的零点，方程的根，函数图象与x轴的交点间的关系；

2：基本初等函数的零点

3：零点的存在性定理

作业：

人教版高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结

高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标）

2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点

3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程f(x)=0 的根。

4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：

（1）（代数法）求方程f(x)=0 的实数根；

（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)．

1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

二、二分法

1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

2、用二分法求方程近似解的步骤:

人教A版数学必修一3.1.1方程的根与函数的零点

3.1.1 │ 预习探究
(2)函数 y＝x2 有零点吗？函数 y＝x2(x∈[1，2])呢？解：函数 y＝x2 的零点是 0，函数 y＝x2(x∈[1，2])没有零点．
3.1.1 │ 预习探究
知识点二函数的零点、方程的根、函数图像与 x 轴的交点函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的_实__数__根___，也就是函数 y＝f(x)的图像与 x 轴的_交__点__的__横__坐__标_，即方程 f(x)
[解析] 因为 f(x)是 R 上的连续不断的函数，且 f(0)＝e0－3<0，f(1) ＝e1＋4－3>0，所以 f(x)在(0，1)上有零点．又 f(x)是 R 上的增函数，所以 f(x)只有 1 个零点．
3.1.1 │ 考点类析
(2)求函数 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 的零点个数．
解：在同一坐标系下作出 h(x)＝2－2x 和 g(x)＝lg(x＋1)的草图，如图所示．由图像知这两个图像有且只有一个交点，即 f(x)有且只有一个零点．
3.1.1 │ 考点类析
[小结] 确定函数零点个数的方法： (1)分解因式法：可转化为一元 n 次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决． (2)判别式法：可转化为一元二次方程根的问题，通常用判别式法来判断根的个数． (3)图像法：能够将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题，可用图像法解决． (4)单调性法：如果能够确定函数在所给区间上有零点，且是单调函数，则零点只有一个．

方程的根与函数的零点教学设计高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

3.1.1 方程的根与函数的零点

【教材分析】

节内容是高中数学人教版必修一第三章函数的应用第一节内容，本节内容主要有三个：一是零点概念的引出，主要利用学生熟悉的一元二次方程，二次函数的关系来引入；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是利用特殊的函数图象，引导学生发现连续函数零点的判定方法，并对定理进行必要的探究，加深对定理的理解：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。【教学目标】

1.理解函数零点的概念；能够利用已知条件求简单函数的零点，理解函数零点存在性定理，并会用其判断某函数在特定区间有无零点。

2.通过二次函数零点概念的形成过程，得出一般函数零点的定义，并总结出函数零点的等价条件，从而发现数学知识间存在必然联系。

3.通过本节内容的学习，培养学生从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，在解决问题的过程中掌握“数形结合”的方法。【学情分析】

1.学生具备的知识与能力

(1)对于一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系，大部分学生都可以观察得出。

(2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。 2. 学生欠缺的知识与能力

(1)复杂函数求值相关计算学生掌握不太准确，对函数图象和性质掌握不太扎实. (2)学生利用数学语言表达数学结论或定理比较困难，对数学语言和符号语言不太适应。【重点难点】

(完整)《方程的根与函数的零点》教案

《方程的根与函数的零点》教案

一、设计理念

按照新课程教学理念，“数学教学是数学活动的教学；在这个活动中，使学生掌握一定的数学知识和技能，同时身心获得一定的发展,形成良好的思想品质。”数学课已不仅仅是一些数学知识的学习，更要体现知识的认识和发展过程，引导学生积极探索，在探索过程中获得对数学的积极体验和应用.

二、教材分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书>人教版必修一第三章第一节第一课时《方程的根与函数的零点》，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点的存在性定理，是一节概念课。函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形,函数与方程联系在一起，本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的学习垫底基础。因此本节课内容具有承前启后的作用，地位至关重要。

三、学情分析

本节课的授课对象是普通高中高一学生，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图象已经有了比较系统的认识与理解，特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入起到了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进入高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察、归纳能力都还没有很全面，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发,环环

人教版教材数学高中必修一《方程的根与函数的零点》教学设计

3.1.1方程的根与函数的零点

[学习目标] 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系.

知识点一函数的零点

对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.

思考函数的零点是点吗？

答函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的解，即函数的零点是一个实数.

知识点二函数的零点、方程的根、函数图象之间的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.

知识点三函数零点的判定定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.

思考(1)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0一定成立吗？

(2)若函数f(x)在[a，b]上有f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)上一定没有零点吗？

答(1)不一定.可能y＝f(x)在x＝a或y＝b处无定义；即使有定义，也可能f(a)·f(b)>0.如函数y＝(x－1)2在(0,2)内有零点，但f(0)·f(2)>0.

(2)不一定，如y＝(x－1)2，在[0,2]上f(0)·f(2)>0，但f(x)在(0,2)上有零点1.

题型一求函数的零点

例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.