自动控制原理课后答案第8章
自动控制原理第八章习题答案
第八章 非线性控制系统分析练习题及答案8-2 设一阶非线性系统的微分方程为3x x x+-= 试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。
解 令 x=0 得 -+=-=-+=x x x x x x x 321110()()()系统平衡状态x e =-+011,,其中：0=e x ：稳定的平衡状态；1,1+-=e x ：不稳定平衡状态。
计算列表，画出相轨迹如图解8-1所示。
可见：当x ()01<时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x ()01>时，系统发散；1)0(-<x 时，x t ()→-∞; 1)0(>x 时，x t ()→∞。
注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个 ~xx 平面上任意分布。
8-3 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
(1) x xx ++=0 (5) ⎩⎨⎧+=+=2122112x x xx x x解 （1） 系统方程为x -2 -1 -13 0 131 2x-6 0 0.385 0 -0.385 0 6 x 11 2 01 0211图解8-1 系统相轨迹⎩⎨⎧<=-+I I >=++I )0(0:)0(0:x x x x x x x x令0x x ==，得平衡点：0e x =。
系统特征方程及特征根：21,221,21:10,()2:10, 1.618,0.618()s s s s s s I II ⎧++==-±⎪⎨⎪+-==-+⎩稳定的焦点鞍点(, ) , , x f x x x x dxdxxx x dx dx x x x x x==--=--==--=-+=ααβ111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>--=)0(11:II )0(11:I x x βαβα计算列表用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解8-2（a ）所示。
图解8-2（a ）系统相平面图（5） xx x 112=+ ① 2122x x x+= ② 由式①： x xx 211=- ③ 式③代入②： ( )( )x xx x x 111112-=+- 即 x x x 11120--= ④ 令 x x110== 得平衡点： x e =0 由式④得特征方程及特征根为 ⎩⎨⎧-==--414.0414.20122,12λs s （鞍点） 画相轨迹，由④式x xdxdx x x x 1111112===+α xx 112=-α 计算列表用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解8-2（b ）所示。
自动控制原理_课后习题及答案
第一章绪论1-1试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点.解答：1开环系统(1)优点:结构简单，成本低，工作稳定。
用于系统输入信号及扰动作用能预先知道时，可得到满意的效果。
(2)缺点：不能自动调节被控量的偏差。
因此系统元器件参数变化，外来未知扰动存在时，控制精度差。
2 闭环系统⑴优点：不管由于干扰或由于系统本身结构参数变化所引起的被控量偏离给定值，都会产生控制作用去清除此偏差，所以控制精度较高。
它是一种按偏差调节的控制系统。
在实际中应用广泛。
⑵缺点：主要缺点是被控量可能出现波动，严重时系统无法工作。
1-2 什么叫反馈？为什么闭环控制系统常采用负反馈？试举例说明之。
解答：将系统输出信号引回输入端并对系统产生控制作用的控制方式叫反馈。
闭环控制系统常采用负反馈。
由1-1中的描述的闭环系统的优点所证明。
例如，一个温度控制系统通过热电阻（或热电偶）检测出当前炉子的温度，再与温度值相比较，去控制加热系统，以达到设定值。
1-3 试判断下列微分方程所描述的系统属于何种类型（线性，非线性，定常，时变）？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）解答：（1）线性定常（2）非线性定常（3）线性时变（4）线性时变（5）非线性定常（6）非线性定常（7）线性定常1-4如图1-4是水位自动控制系统的示意图，图中Q1，Q2分别为进水流量和出水流量。
控制的目的是保持水位为一定的高度。
试说明该系统的工作原理并画出其方框图。
题1-4图水位自动控制系统解答：(1) 方框图如下：⑵工作原理：系统的控制是保持水箱水位高度不变。
水箱是被控对象，水箱的水位是被控量，出水流量Q2的大小对应的水位高度是给定量。
当水箱水位高于给定水位，通过浮子连杆机构使阀门关小，进入流量减小，水位降低，当水箱水位低于给定水位时，通过浮子连杆机构使流入管道中的阀门开大，进入流量增加，水位升高到给定水位。
1-5图1-5是液位系统的控制任务是保持液位高度不变。
水箱是被控对象，水箱液位是被控量，电位器设定电压时（表征液位的希望值Cr）是给定量。
自动控制原理与系统部分课后答案孔凡才 第3版 机械工业出版社
1 、 题 4-11[ 解 ] 先 将 PI 调 节 器 传 递 函 数 化 成 标 准 形 式 ：
于是
如图 4-18b ）所示，其低频渐进线为
斜直线，转角频率 。图读者自画。
２、题 4-12[解] 由题 3-9 解答有
，
经 处变为水平线，其高度为
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上式中，
4、题 1-11[解]图 1-21 所示系统的组成框图和自动调节过程如下图所示：
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图（1-3） 直流调速系统组成框图和自动调节过程 ＊ 5、题 1-9 图 1-19 系统组成框图如下：
＊ 6、习题 1-10 第 2 章 [疑难问题解答]
中均应带一负号，由于书中约定，为简
化起见，一般将此负号省略，最终极性有实际状况确定。
此处由五个（奇数）环节，所以极性应变号，因此，此为负反馈。其反馈系数 由分压电
路可知
。
5.题 3-11[解] 由图 3-28 并参考式（3-45）有
6.题 3-13 [解] （１）对图 3-29a 所示系统，要特别注意的是：系统框图中的 H1(s)构成的回路不是反 馈 回 环 ， 而 是 G1(s)、 G2(s)的 并 联 支 路 。 于 是 先 并 联 后 ， 再 应 用 式 （ 3-38）， 可 求 得
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1、题 2-1 [解] 2、题 2-2 [解] 3、题 2-3 [解] ① 0 ；② 5 ；③ ∞ ；④ 0 。 第 3 章 [疑难问题解答] 题 3-1 定义传递函数时的前提条件是什么？为什么要附加这个条件？ 答：传递函数定义为：在初始条件为零时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。这里所谓初 始条件为零，一般是输入量在 t=0 时刻以后才作用于系统，系统的输入量和输出量及其各阶导数在 t≤0 时的值也均为零。现实的控制系统多属于这种情况。在研究一个系统时，通常总是假定该系统原来处于稳 定平衡状态，若不加输入量，系统就不会发生任何变化。系统中的各个变量都可用输入量作用前的稳定值 作为起算点，因此，一般都能满足零初始条件。 1.题 3-2 惯性环节在什么条件下可近似为比例环节？在什么条件下可近似为积分环节？ [答]：惯性环节在动态响应初期，它近似为一积分环节，而在响应后期（近稳态时）则近似为 一 比 例 环 节 ， 此 外 ， 从 频 率 响 应 看 （ 参 见 第 4 章 分 析 ）， 在 高 频 段 ， 惯 性 环 节 近 似 为 积 分 环 节 ， 而在低频段则近似为一比例环节。 2.题 3-3 [答 ]： 不 能 。 从 它 们 串 联 （ 或 并 联 ） 后 的 等 效 传 递 函 数 来 分 析 ， 就 可 得 到 这 个 结 论 ：
自动控制原理第八章
2.非线性系统的一般数学模型
f (t , d y dt
n n
,
dy dt
, y ) g (t ,
d r dt
m
m
,
dr dt
, r)
其中，f (· )和g (· )为非线性函数。
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 23
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 5
（1）当初始条件x0＜1时，1－x0＞0，上式具有负的特
征根，其暂态过程按指数规律衰减，该系统稳定。 （2）当x0=1时，1－x0=0，上式的特征根为零，其暂 态过程为一常量。 （3）当x0＞1时，1－x0＜0，上式的特征根为正值，系 统暂态过程按指数规律发散，系统不稳定。 系统的暂态过程如图所示。 由于非线性系统的这种性质， 在分析它的运动时不能应用 线性叠加原理。
非线性弹簧输出的幅频特性
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 11
实际中常见的非线性例子
实际的非线性例子：晶体管放大器有一个线性工作范围，
超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；有时，工程上
还人为引入饱和特性用以限制过载；
电动机输出轴上总是存在摩擦力矩和负载力矩，只有在输
2012-6-21
《自动控制原理》 第八章 非线性系统
16
系统进入饱和后，等效K↓
% ( 原来系统稳定，此时系 统一定稳定） （原来不稳，非线性系 统最多是等幅振荡） 振荡性 限制跟踪速度，跟踪误 差 ，快速性
自动控制原理第8章
f(x, x) f(x, x) 或 f(x, x) f(x, x)
即 f(x, x)是关于 xx
x
自动控制原理
9
(2)相平面图上的奇点和普通点
相平面上任一点(x, x)，只要不同时满足 x 0和 f(x, x) 0 ， 则该点的斜率是唯一的，通过该点的相轨迹有且仅有一条， 这样的点称为普通点。
中心点
jω
vortex or center
σ
x
x
中心点
鞍点
jω
x
saddle point
σ
鞍点
x
自动控制原理
21
j λ2 λ1 0
节点 node
j 0
j
0 λ1 λ2
不稳定节点 unstable node
j
0
稳定焦点 stable focus
j
不稳定焦点 unstable focus
j
0
λ1 0 λ2
此系统将具有振荡发散状态。
终将趋于环内平衡点，不会产生自振荡。
自动控制原理
25
例8-3 x 0.5x 2x x2 0
解： x dx 0.5x 2x x2 0 dx
试分析稳定性。
则：
dx dx
0.5x 2x x
x2
0 0
有:
0.5x 2x x2 0
x 0
-2
x
0x
奇点位置：
如果把相变量x视为位移，于是 x 和 x 可以理解为速度和
加速度。在奇点处，由于系统的速度和加速度均为零，因
此奇点就是系统的平衡点equilibrium point 。
自动控制原理
20
系统奇点的分类
高国燊《自动控制原理》(第4版)(名校考研真题 线性离散(时间)控制系统分析)
一、填空题1．离散系统输出响应的Z 变换为：()2320.3680.2642 1.6320.632z z C z z z z +=-+-则系统输出在前两个采样时刻的值为______，______。
[重庆大学()C nT ()0C =()C T =2006年研]【答案】0；0.3682．零阶保持器的传递函数是______，加入零阶保持器______会影响采样系统的稳定性。
[北京交通大学2009年研]【答案】；不1e Ts s--二、问答题1．如何判断离散系统的稳定性。
并图示说明之。
[东北大学研]答：由于Z 变换与拉普拉斯变换之间的映射关系为，其中T 为采样周期，在s平面内当系统稳定时所有特征根位于左半平面，映射到Z 平面中则是单位圆内，对应的映射关系如图8-1所示。
图8-1于是判断离散系统的稳定性时，只需判断其特征方程的根的模是否大于1，当其模大于1时，系统不稳定；模等于1时，系统临界稳定；当其模小于1时，系统稳定，为了能位于右半平面；位于左半平面；对应的映射关系如图8-2所示。
所示得到关于ω的特征方程，使用劳斯判据进行判断。
图8-22．线性定常离散系统的稳定性除了与系统结构参数有关之外，还与哪些因素有关？[南京航空航天大学2008年研]答：线性定常离散系统的稳定性除了与系统结构参数有关之外，还与采样周期T有关，当系统开环增益一定时，T越小，稳定性越好。
三、计算题1．先用Z变换法求解下面的微分方程，再求其终值e（∞）。
e（k＋2）＋3e（k＋1）＋2e（k）＝0，已知e（0）＝0，e（1）＝1。
[浙江大学研]解：将善分方程两沩讲行Z变换可以得到：将e（0）＝0，e（1）＝1代入整理可以得到：2．已知z变换求离散时间函数z（k）和采样函数[清华大学研]解：由对照典型函数的z 变换表可以得到即其中T为采样周期，为单位脉冲。
3．某离散系统如图8-3所示，试求其闭环脉冲传递函数[四川大学研]图8-3解：由题意，可以得到如下方程整理得到对式（3）两边进行z变换得到：（4）由两边进行Z 变换得到：（5）联立式（4），式（5），消去中间变量可以得到4．线性定常离散系统如图8-4所示，写出闭环系统的脉冲传递函数。
自动控制原理答案(第八章)
o o
− 90
o
o
− 45
o
= −180
(d) Angle of departure
K > 0:
−θ 1 − θ 2 − θ 3 − θ 4 = −180 −θ 1 − 135
o
o o
− 135
o
o
− 90
o
= −180
θ 1 = −180
121
(e) Angle of arrival
K < 0:
Asymptotes:
K > 0:
,
270
o
K < 0:
0 ,
o
180
o
Intesect of Asymptotes:
σ1 =
Breakaway-point Equation: Breakaway Points:
0, s
5
0
+ 0 − 8 − 8 − ( −4 ) − ( −4 )
4 s
4
−2
3
+ 20
90
and
K < 0:
0
o
and
180
o
σ1 =
Breakaway-point Equation:
2s
3
0
− 5 − 6 − ( −8 )
3 s ,
2
−1
s
= − 1.5
+ 35
+ 176
+ 240 = 0 − 9 . 7098
Breakaway Points: Root Locus Diagram:
− 1, − 2 . 5
6
(c) Breakaway-point Equation: 3 s + 54
《自动控制原理》(卢京潮,西北工业大学)第八章习题及答案[1]
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&1 ⎤ ⎡ 0 0 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡x ⎢x ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ & ⎢ 2 ⎥ = ⎢ − 2 − 3 0 ⎥ ⎢ x 2 ⎥ + ⎢ 2⎥ u ⎢ &3 ⎥ 2 − 3⎥ ⎣0 ⎦⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎣x ⎦ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎡ x1 ⎤ ⎥ y = x1 = [1 0 0]⎢ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦
181
由上式，可列动态方程如下
⎡ &1 ⎤ ⎢0 ⎡x 1 ⎥ ⎢x ⎢ & 0 ⎢ 2 ⎥ = ⎢0 R f + K bCm a m ⎢ &3 ⎥ ⎦ ⎢0 − ⎣x La J m ⎢ ⎣
⎤ 0 ⎥ ⎥ 1 La f m + J m R a ⎥ ⎥ − La J m ⎥ ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎢ x ⎥ + ⎢0 ⎢ 2 ⎥ ⎢0 ⎢ ⎦ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎢ Cm
182
⎡ ⎢ 0 由上式可得变换矩阵为 T = ⎢ 0 ⎢C ⎢ m ⎢ ⎣ Jm
8-2
1 0
⎤ 0 ⎥ 1 ⎥ f ⎥ 0 − m⎥ Jm ⎥ ⎦
&& + 6 & & + 11y & + 6 y = 6u 。式中 u 和 y 分别为系统输入、输 设系统微分方程为 & y y
出量。试列写可控标准型（即矩阵 A 为友矩阵）及可观测标准型(即矩阵 A 为友矩阵转置) 状态空间表达式，并画出状态变量图。 解： 由题意可得：
0⎤ ⎥ et ⎦
187
( sI − A) −1
⎡s + 1 0 ⎤ =⎢ s − 1⎥ ⎣ 0 ⎦
自动控制原理 第8章习题解答(非线性系统分析)
对于图
(a) 所示情形，G (
jω )
与
−
1 N
无交点，非线性系统不会产生自持振荡，
该非线性系统也是稳定的；
对于图 (b) 所示情形，G ( jω ) 与 − 1 有两个交点，其中交点 A 是稳定交点，
N
该非线性系统会产生自持振荡。
2 时， N(A)取极值。
2
−1
= − π ≈ −0.39
N ( A) A= 2
8
2
( ) （4）计算自振参数
− 1 =G N ( A)
jωg
A1 = 12.72 ，A2 = 0.503
即：系统将产生自振，振荡角频率为 ωg = 1 rad s ，振幅为 A = 12.72
12
【解】（1）将系统方框图化为标准结构
分析可得， ∆1 = 0.5
11
得系统等效方框图为：
（2）绘出线性部分的 G ( jω)曲线
与负实轴的交点处，ωg = 1
G( jω) =
10
=5
ω ⋅ ( 1+ ω 2 )2 ω =ωg
−0.39
（3）绘出非线性部分的
−
1 N
曲线
计算可得，当 A =
2e0 =
解得：
∆1
=
∆ k
+α
4
习题8.4 设有非线性控制系统，其中非线性特性为斜率 k = 1的饱
和特性。当不考虑饱和特性时，闭环系统稳定。试分析该非线性控制系统 是否有产生自持振荡的可能性。 【解】不考虑饱和因素时，稳定的线性系统的开环频率响应形式有多种，例如：
AB
考虑饱和因素，斜率为 k = 1的饱和特性的 − 1 曲线分布在负实轴上
自动控制原理原理第8章
KX sint Ka
0 ≤t≤1 1≤ t≤
2
第8章 非线性系统分析
y
y
Ka
a
K
0
a
x
x
0 1 1 2
t
0 1
（a）
（c）
1
1
t （b）
饱和特性及输入、输出波形
第8章 非线性系统分析
（2）由于饱和特性为单值斜对称，所以， A0 0 A1 0 1 0
X a
这是一个与输入正弦函数的振幅有关的复函数，说明输出的 基波分量对输入是有相位差的，输出滞后于输入。
第8章 非线性系统分析
4．继电器特性的描述函数 继电器特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形 y y 如图。 E
0 ma
a x
0 1 2
3 4
2
t
1 2
3
0
x
死区特性描述函数为
N ( X ) B1 2 K a a a arcsin 1 ( ) 2 X 2 X X X
( X a)
3．间隙特性的描述函数
间隙特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形
如图。 其输出表达式为
第8章 非线性系统分析
y
K
y
2
A1 B1
A1
1
2
0
y (t ) costdt
B1
1
2
0
y (t ) sin tdt
第8章 非线性系统分析
2．描述函数定义 非线性元件在正弦输入时，输出的基波分量与输入正弦量的 复数比，称为该非线性元件的描述函数。 描述函数用符号 N 表示，即
自动控制原理第8章 误差分析
G( s)H (s)
K ( i s 1) s (T j s 1)
j 1 i 1 n
m
式中，K为开环增益；τi和Tj为时间常数 ；υ为开环系统在s平面坐标原点上的极 点的重数。也是系统积分环节的个数。
2017/6/16
第8章 误差分析
3
引 言
误差的分类 给定稳态误差（由给定输入引起的稳态 误差） 对于随动系统，给定输入变化，要 求系统输出量以一定的精度跟随输入量的 变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的 稳态性能。 扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态 误差） 对恒值系统，给定输入通常是不变 的，需要分析输出量在扰动作用下所受到 的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统 的稳态性能。
2 t /T e ( t ) T e 其中， ts
随时间增长逐渐衰减至 ess (t) T( t T) 表明稳态误差 ess 零； （2）当 r(t ) sin t 时， R( s) / ( s2 2 ) s T 1 由于 E(s)
1 ( s )( s 2 2 ) T T 2 2 1 s 1 T
s T 2 3 1 2 2 T 1 s2 2 T 2 2 1 )
T T 2 2 cos t 2 2 sin t 2 2 T 1 T 1
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第8章 误差分析
11
8.1 稳态误差的基本概念
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第8章 误差分析
9
8.1 稳态误差的基本概念
【例8-1】设单位反馈系统的开环传递函 数为 G( s) 1 / Ts ，输入信号分别为 r(t ) t 2 / 2以及 r (t ) sin t ，试求控制 系统的稳态误差。 2 r ( t ) t / 2 时， R( s) 1/ s3 ,求得 解：（1）当
自动控制原理胡寿松 第8章
非线性元件用一个对正弦信号的幅值和相位进行变换的环 节来代替
N ( A) X 1 j1 e A
为A和 的复函数
其中：
A为正弦输入信号的振幅 X 1为输出信号的基波分量 的振幅
1为输出信号基波分量相 对输入正弦信号的相移 当非线性特性为单值奇函数时，A1 0 1 0
N ( A) B1 A
非线性系统：只要系统中包含一个或一个以上具有非线性元 件，即称为非线性系统。其特性不能用线性微分方程来描述。
非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性 本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化
非线性系统的主要特征： 系统的稳定性除与结构参数有关 外，还与起始偏差的大小有关 。 系统的响应形式与输入信号的大小 和初始条件有关。
假设线性部分是最小相位环节，非线性系统稳定性判断规则如下：
1 曲线则系统稳定，两者距离越远，稳定程度越高 N ( A) 1 （b） G ( jw) 包围 曲线则系统不稳定 N ( A) 1 （c） G ( jw) 与 曲线相交，则非线性系统存在着周期运动，它 N ( A)
（a） G ( jw) 不包围
4. 非线性系统结构图的简化
（1）由两个并联的非线性部件和线性部分串联而成
可以将两个非线性特性进行叠加，对叠加后的特性求其 描述函数N（A）。也可以先求各非线性特性的描述函数， 之后叠加得总描述函数N（A）,二者完全相同。 非线性环节并联后，总的描述函数等于各非线性环节描述 函数之和。
（2）当两个非线性环节串联时而成
(1)控制系统的稳定性分析
C ( j ) N ( A)G( j ) R( j ) 1 N ( A)G( j )
特征方程为 1 N ( A ) G ( jw ) 0
《自动控制原理》孙亮、杨鹏北京工业大学exe【khdaw_lxywyl】
ui
2－10 已知陀螺动力学系统的结构图
w.
ww
2－11 题图所示的力学测量系统原理，在满足相应要求的条件下，可以用于地震测量，也可 以用于测量物体的加速度，位移量 y(t) 和 y0 (t) 均为相对于惯性空间的位移。
kh da w. co m
yi k1 k2 k1 m m1 m2 k2 F(t ) x (t )
(d) 习题 2－13
R(s) + -
G1(s) G2(s)
C(s3;
课后答案网
+ +
R(s) +-
10 s +1
1 s
C(s) ++
Ks
(a)
2－15 写出题图所示系统的输出表达式 C ( s) 。
2－16 已知系统的微分方程组描述如下，试画出结构图，并化简求取传递函数。
（2） x ( k + 2) − 3 x ( k + 1) + 2 x ( k ) = 0
w.
出输出信号波形 c (t ) 。
课
1 − e −Ts （ 4） X ( s ) = 2 s ( s + 1) ∗ 8－3 已知采样信号的 z 变换 X ( z ) 如下，试求 z 反变换 x (t ) 。 z （ 1） X ( z ) = ( z − 1)( z − 2) 1 （ 2） X ( z ) = ( z − 1)( z − 2) z （ 3） X ( z ) = −T ( z − e )( z − e − 2T ) z （ 4） X ( z ) = 2 ( z − 1) ( z − 2)
1 （ 3） X ( s ) = 2 s ( s + 1)
8－5 采样控制系统如图所示，采样间隔为 T = 1 秒，试计算其输出 c (t ) ， c (t ) ，并画
(完整word版)自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验第8章
209第8章 离散控制系统的分析和综合本章讲述离散控制系统的分析和综合.首先介绍离散控制系统的组成、研究方法、采样过程、采样定理、z 变换、脉冲传递函数和差分方程；在此基础上，介绍了离散控制系统的稳定性、稳态误差和动态性能的分析等有关问题；介绍了数字控制器的脉冲传递函数以及最少拍系统的设计；最后介绍应用MATLAB 对离散控制系统的分析。
习教材习题同步解析8。
1 设时间函数的拉氏变换为()X s ，采样周期T s =1秒,利用部分分式展开求对应时间函数的z 变换()X z .（1） (3)()(1)(2)s X s s s s +=++ （2） (1)(2)()(3)(4)s s X s s s ++=++（3） 227()(2)(413)X s s s s =+++ （4） 210()(2)(1261)X s s s s s =+++ 解 （1）将()X s 展成部分分式1.520.5()12X s s s s -=++++ 则其z 变换为()()()121.520.5(0.8310.011)()110.3680.135z z z z z X z z z e z e z z z ----=++=------ (2）将()X s 展成部分分式26()134X s s s =+-++ 则其z 变换为23422630.1960.001()10.0680.001z z z z X z z e z e z z ---++=+-=---+210（3）将()X s 展成部分分式22233633(2)()24132(2)3s s X s s s s s s ++=-=-++++++ 则其z 变换为22222433(cos3)()2cos3z z ze X z z e z ze e -----=---+（4）将()X s 展开为部分分式2210059010515125012501()(2)(1261)614121261s X s s s s s s s s s +==⋅-⋅+++++++ 22225151100625614122501(6)52501(6)5s s s s s +=⋅-⋅+⋅-⋅+++++ 则其z 变换为26622612261255100cos52sin 5()6114125012cos525012cos5z z z ze ze X z z z e z ze e z ze e --------=⋅-⋅+⋅-⋅---+-+8。
自动控制原理第8章
这个跳跃之后，振幅A随着频率 的减小 一起减
小，并且沿着曲线从点6趋向点1。
自动控制原理
16
因此，响应曲线实际上是不连续的，并且对于频率增
加和减小的两种情况,响应曲线上的点沿着不同的路线移 动。点2与点5之间曲线对应的振荡是不稳定的振荡，在实 验中是观测不到的。
x 2
6
x 5 3
1
5
2
3
1
4
6
4
0
0
(a)具有硬弹簧的机械系统 (b)具有软弹簧的机械系统
图8.8 机械系统的频率响应
自动控制原理
17
8.3相平面分析法
相平面法是庞卡莱(H.Poincare)提出来的一 种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法，它 实质上属于状态空间分析法在二维空间中的应用， 该方法适合于研究给定初始状态的二阶自由运动 系统和给定初始状态及非周期输入信号(如阶跃、 斜坡或脉冲信号等)的二阶系统
假定，并且从图8.8(a)曲线上外作用频率 低的点
1开始。当 增加，A也增加，直到点2为止。若
频率继续增加，将引起从点2到点3的跳跃，并伴
有振幅和相位的改变，此现象称为跳跃谐振。当 频率 继续增加时，振幅A沿着曲线从点3到点4。
若换一个方向来进行实验，即从高频开始，这时
可观察到，当 减小时，振幅通过点3 逐渐增加， 直到点5为止。当 继续减小时，将引起从点5到
线性定常系统：例如典型二阶线性系统，如
果阻尼比=0，在初始状态的激励下，系统的零输
入响应为等幅周期振荡,其角频率 取决于系统的
参数，其振幅A与初始状态有关。但是，实际的线
性系统要维持振幅A和角频率 不变的等幅周期振 荡是不可能的。一是系统的参数会发生变化，即
自动控制原理第8章 误差分析
2017/6/16
第8章 误差分析
9
8.1 稳态误差的基本概念
【例8-1】设单位反馈系统的开环传递函 数为 G( s) 1 / Ts ，输入信号分别为 r(t ) t 2 / 2以及 r (t ) sin t ，试求控制 系统的稳态误差。 2 r ( t ) t / 2 时， R( s) 1/ s3 ,求得 解：（1）当
2017/6/16 第8章 误差分析 18
8.2 给定信号作用下的稳态误差及计算
如果用静态速度误差系数表示系统在斜 坡（速度）输入作用下的稳态误差，可 2 R ( s ) R / s 将 代入，可得 R R ess lim G ( s )H (s ) K
s0
式中
K lim sG ( s ) H ( s ) lim
2017/6/16 第8章 误差分析 8
8.1 稳态误差的基本概念
sR( s) ess lim sE ( s) lim s0 s0 1 G ( s ) H ( s )
由于上式算出的稳态误差是误差信号稳 态分量ess(t)在t趋于无穷时的数值，故有 时称为终值误差，它不能反映ess(t)随时 间t的变化规律，具有一定的局限性。
2017/6/16 第8章 误差分析 6
8.1 稳态误差的基本概念
误差本身是时间函数，其时域表达式为
e(t ) L1[E(s)] L1[e (s)R(s)]
e ( s) 为系统误差传递函数，由下 式中， 式决定：
E ( s) 1 e ( s) R( s ) 1 G ( s ) H ( s )
自动控制原理第8章
第八章 非线性控制系统分析 y0=［0.5 1］′ c=v＼y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
第八章 非线性控制系统分析 y0=［-0.8 -1］′ c=v＼y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
第八章 非线性控制系统分析 a=［1 1 1］ n=length(a)-1 p=roots(a) v=rot90(vander(p)) y0=［0 0］′ c=v＼y0 y1=zeros(1, length(t)) y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t) end plot(x1+y1′, x2+y2) hnd=plot(x1+y1′, x2+y2′) set(hnd, ′linewidth′, 1.3) hold on
第八章 非线性控制系统分析 8.1.3 非线性系统的分析与设计方法 系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式, 以解
决稳定性问题为中心, 对系统实施有效的控制。由于非线性系
精品文档-自动控制原理(李素玲)-第8章
x c xc
x c
(8-5)
28
在输入信号|x|＜c时，该环节是放大倍数为k的比例环 节，当|x|＞c时出现了饱和，随着|x|的不断增大，其等效 放大倍数逐步降低，如图8-6所示。
因此，饱和的存在使系统在大信号作用下的等效增益 下降，深度饱和情况下甚至使系统丧失闭环控制作用。另外， 饱和会使系统产生自振荡。但在控制系统中也可以人为地利 用饱和特性作限幅，限制某些物理量，保证系统安全合理的 工作，如调速系统中利用转速调节器的输出限幅值限制电机 的最大电枢电流，以保护电动机不致因电枢电流过大而烧坏。
16
非线性系统还具有很多与线性系统不同的特异现象，这 些现象无法用线性系统理论来解释，因而有必要研究它们， 以便抑制或消除非线性因素的不利影响。在某些情况下，还 可以人为地加入某些非线性环节，使系统获得较线性系统更 为优异的性能。
17
8.1.2 非线性系统的分析与设计方法 系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式，以
26 图8-4 包含多个死区的非线性系统
27
8.2.2 饱和特性 饱和特性也是控制系统中常见的一种非线性，几乎所有
的放大器都存在饱和现象。由于采用了铁磁材料，在电机、 变压器中存在磁饱和。系统中加入的各种限幅装置也属饱和 非线性。
典型的饱和特性如图8-5所示，其数学表达式为
kx, y kc,
kc,
29 图8-5 饱和非线性特性
30 图8-6 饱和非线性特性的等效增益
31
8.2.3 间隙(回环)特性 在各种传动机构中，由于加工精度及运动部件的动作需
要，总会存在一些间隙。如图87所示的齿轮传动系统，为了 保证转动灵活，不至于卡死，必须留有少量的间隙。
由于间隙的存在，当主动轮的转向改变时，从动轮开始 保持原有的位置，直到主动轮转过了2c的间隙，在相反方向 与从动轮啮合后，从动轮才开始转动。典型的间隙非线性特 性如图8-8所示。
自动控制原理(梅晓榕)习题答案第八章
习题答案88-1 1）二阶系统，2个状态变量。
设 2121212)(2)()( )()(x x t y t y t yx t y x x t y x --=--==⇒=== ， []⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==00 01 2110 B y A A ，，，x x x 2)[]x x x 001 100322100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=y u 3)[]x x x 121 100321100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=y u 提示：本题利用了可控规范型与微分方程系数的关系。
8-2 1)23101)()(ss s U s Y += []x x x 001 1001000100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=y u 2)815611171181891)()(23+⋅++⋅-⋅=++=s s s s s s s U s Y []x x x 001 100980100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=y u 或 x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=5617181111800010000y u 3) []x x x 145 1006116100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=y u 提示：本题利用了状态空间的规范型与传递函数系数的关系。
8-38659122+++s s s8-4 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---==⎥⎦⎤⎢⎣⎡----------t t t t tt t t t t Att x t x e e 11e 2e e2e 2e e e e 2)0(e )()(222221x 8-5 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=-==------t t t t s BU A sI t 3232113e 4e 1e e 21)]()[(L )()0(x 0x ， 8-6 [])(120)( )(100)(321100010)1(k k y k u k k x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+ 或 [])(100)( )(120)(310201100)1(k k y k u k k x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+ 或 [])(001)( )(111)(321100010)1(k k y k u k k x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+ 提示：利用状态空间的规范型与差分方程系数的关系。
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F ( j )
1.0
s 2
0
s 2
图 8-5 理想滤波器的频谱 零阶保持器是把某一时刻 nT 的采样值，恒值地保持到下一个采样时刻 (n 1)T ，也就是 按 nT 时刻的采样值（恒值）外推，即 f (t ) f (nT ) ， nT t (n 1)T 例如，具有一个电容保持的简单零阶保持电路如图 8-6 所示。假设在采样时刻 t nT ，电 容器瞬时被充到电压 f (nT ) （电容充电的实际速率是由容抗和实际电源阻抗决定的，通常很 小） 。当采样开关打开后，在采样间隔 T 期间，电容器保持此充电电压直至下一个采样时刻。 如果放大器的输入阻抗为无穷大， 则电容器就没有放电回路了。 零阶保持电路就将输入的 脉 冲扩展成一系列宽度为 T 的矩形波。实际上放大器只有有限的输入阻抗，因此，保持电路输 出的实际波形不是一系列方波，而是一系列时间常数很大的指数衰减的波形。
f kT t kT
k 0
如图 8-3 所示。
f (t )
f * (t )
f (t )
T
f * (t )
0
0
t
t
图 8-3 理想采样开关的采样过程
8.2.2 采样定理
T t 是一个周期函数，它可以展开成傅氏级数形式
T t
其中 s
k
8.1 引言
8.1.1 离散系统的基本概念
前面各章所研究的控制系统，由于系统中所有的信号均是时间 t 的连续函数，因此这样 的系统称为连续时间系统，简称连续系统；如果系统中某处或数处信号是脉冲序列或数码， 则这样的系统称为离散时间系统，简称离散系统。其中离散信号以脉冲序列形式出现的称为 采样控制系统或脉冲控制系统；以数码形式出现的称为数字控制系统或计算机控制系统。 由于计算机在控制精度，控制速度以及性能价格比等方面都比相应的模拟控制器具有明 显的优越性。采用计算机取代传统的模拟控制器的计算机控制系统，已在现代工业控制中成 为主流。因为计算机只能处理离散的数字信号（经采样并转换后得到） ，因此计算机控制系统 实际上就是一种采样控制系统。 如图 8-1 所示，在计算机控制系统中离散时间给定值 r * (t ) 在采样时刻被送入计算机，与 量测及 A/D 变换后送入计算机的被控量 c (t ) 的采样信号 c* (t ) 在计算机中进行比较，并根据一 定的控制算法产生数字控制信号 u * (t ) ， u * (t ) 经 D/A 转换后变成模拟信号 u (t ) ， 送入被控对象， 以使被控量 c (t ) 的变化满足控制系统的要求。
第 8 章 采样控制系统
【基本要求】 1. 正确理解采样控制系统和离散控制系统的基本概念和特点。 2. 理解信号采样和复现过程的物理意义及数学描述，掌握零阶保持器的特性，能运用香农 采样定理进行信号复现的判断。 3. 掌握 z 变换及 z 反变换的定义、定理和应用。 4. 熟练掌握脉冲传递函数及根据结构图求闭环脉冲传递函数，理解采样系统的稳定性条 件，掌握劳斯稳定性判据应用以及稳态误差计算。 5. 理解采样系统暂态响应与 z 平面上传递函数零、极点分布的关系。 6. 学会在时域内用离散脉冲序列对离散系统的动态性能进行分析。
8.1.2 离散系统的特点
离散控制系统特别是数字控制系统在自动控制领域取得了广泛地应用，主要是由于离散 控制系统较一般的连续控制系统具有如下一些优点： (1) 数字计算机能够保证足够高的计算精度。 (2) 在数字控制系统中可以采用高精度检测元件和执行元件，从而提高整个系统的精度。 (3) 数字信号或脉冲信号的抗干扰能力强，可以提高系统的抗干扰能力。 (4) 可以采用分时控制方式，用一台计算机可以同时控制多个控制系统，提升设备的利 用率，并且可以采用不同的控制规律进行控制。 (5) 由于计算机可以进行复杂的数学运算，所以可以实现一些模拟控制器难以实现的控 制律，特别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、智能控制等，只有数字计算机才 能完成。 因此，离散控制系统，特别是数字控制系统，具有连续系统所不具备的优越性，并已广 泛应用于自动控制各领域中。由于离散控制系统与连续控制系统之间存在着一些本质上的差 别，所以前面章节介绍的连续控制系统的分析和设计方法不能直接应用于离散控制系统。
重复。如果 f t 的频谱宽度是有限的，频谱最大宽度为 h ，且满足 器，则经滤波后即可得到 f t 的频谱。换而言之，可以由 f * t 无失真地恢复 f t 。反之，
s h ，则 f * t 的两相邻频谱相互重叠，产生了失真，则连续时间信号 f t 不可能不失 2 真地恢复。总结起来就是著名的香农采样定理。 2 香农采样定理：如果对信号 f t 的采样频率 s 大于或等于 2h ，即 T s 2h (8-9)
T t
被 f t 调幅的结果，即
k
t kT
(8-1)
f * t f t
k
t kT
(8-2)
f 0 t f T t T f 2T t 2T
Ce
k
jk s t
(8-3)
2 称为角频率， C k 是傅氏级数的系数 T
Ck
1 2 1 jks t dt T T t e T 2 T
1 jks t e T k 1 f t e jkst T k
T
(8-4)
从而有
T t
3s
2s
s
h
h
s
2s
3s
(b) s 2h
F * ( j )
s
h
h
s
(c) s 2h 图 8-4 函数采样前后的频谱变化 由图 8-4 可见， 连续信号 f t 经采样后， 其频谱将沿频率轴以采样频率 s 为周期而无限
s h ，则 f * t 的两 2 相邻频谱不相互重叠。 在这种情况下， 若在 f * t 后面加上一个频谱如图 8-5 所示的理想滤波
8.2 信号的采样与复现
8.2.1 采样过程
图 8-1 所示的计算机控制系统只能每隔一定的时间间隔进行一次控制循环，在每一次循 环中，首先是输入信号，即将各量测的模拟输入量加到 A/D 转换器上，转换成数字信号后输 入到计算机，计算机根据输入信号执行控制程序计算出控制量，然后输出控制信号。在整个 控制过程中，计算机不断地重复这一循环。A/D 变换实际上包括两个过程，一个是每隔时间 间隔 T 采入模拟信号的瞬时值即采样过程，相应的时间间隔 T 称为采样周期。另一个是将采 样所得的离散时间信号转换为数字信号的量化过程。对采样过程来说，若在系统各处的采样 周期 T 均相等，则称为周期采样。若系统在各处以两种或两种以上的采样周期采样则称为多 速率采样。本章中只讨论周期采样，它也是最常见的采样形式。采样过程是由采样开关实现 的，采样开关每隔一定时间 T 闭合一次，闭合时间为 ，于是将连续信号时间 f t 变成离散 的采样信号 f p* t ，如图 8-2 所示。
gh (t ) 1(t ) 1(t T )
(8-10)
对上式取拉氏变换，求得零阶保持器的传递函数为 1 1 1 e Ts Gh ( s) e Ts s s s 令 s j ，得到零阶保持器的频率特性为
采样器 到零输出阻 抗信号源 放大器
T
C
无限大输 入阻抗
保持电容器
图 8-6 采样器和零阶保持装置图 理想化零阶保持器的输入-输出关系如图 8-7 所示，其脉冲响应函数如图 8-8(a)所示。它 是一个高度为 1，宽度为 T 的方波。
f (nT )
Gh ( s)
f 0 (t )
f ( nT )
f0 (t )
1 T
k
F s jk
s
(8-7)
其中 F s 为 f t 的拉氏变换，由式 (8-7) ，显然 F * s jm ， m 为整数。将 s j 代入式(8-7)即得 f * t 得频率特性为
若 其中 h 为 f t 的有限带宽，则可由 f t 的采样信号 f * t 不失真地恢复到 f t 。 在实际应用中，香农采样定理只是给出了选择采样频率（或采样周期）的一个指导原则。 通常还必须综合各个方面的因素来选择采样频率，即，(8-9)式给出了采样频率必须充分高的 一个最基本的准则，而在实际工程中，一般总是取 s 2h ，而不取恰好等于 2h 的情形。
8.2.3
零阶保持器
为了实现对被控对象的有效控制，有时必须要把离散信号恢复为相应的连续信号，即信 号的复现。通过上一节的分析可以了解到，信号的复现需要通过一个理想的低通滤波器才可 以实现。但是具有如图 8-5 所示特性的理想滤波器在物理上是无法实现的。工程上常用接近 理想低通滤波器的保持器来代替。从数学意义来说，保持器的任务是解决各采样时刻之间的 插值问题。实际上，保持器是一种时域的外推装置，即按过去或现在时刻的采样进行外推求 得采样点之间的信号，它引入的相位延迟应较小，这对于反馈控制系统是很重要的，因此外 推法使用很普遍。在离散控制系统中，应用最广泛的是具有恒值外推功能的保持器，即零阶 保持器。
r * (t )
u* (t )
u (t )
c (t )
图 8-1 计算机控制系统示意图 显然，在计算机控制系统中， r * (t ) ， c* (t ) ， u * (t ) 等均是采样信号。由于这些信号只是在 某些离散的时刻取值，它们属于离散时间信号。因此通常采用离散时间系统的理论来分析和
综合采样控制系统。这样，它们就与原来所处理的连续时间系统有着本质上的区别。 根据采样器在系统中所处的位置不同，可构成各种采样系统。如果采样器位于系统闭合 回路之外或系统本身不存在闭合回路，则称为开环采样系统；如果采样器位于系统闭合回路 之内，则称为闭环采样系统。在各种采样控制系统中，用的最多的是误差采样控制的闭合采 样系统。 本章将讨论采样控制系统的基本理论、数学工具和简单的采样控制系统的分析与综合方 法。在学习中应随时注意这些方法与连续系统有关方法的联系与区别。