平面几何五种模型

平面几何五种模型

等积，鸟头，蝶形，相似，共边

1、等积模型

等底等高的2个三角形面积相等

2个三角形高相等，面积比=底之比

2个三角形底相等，面积比=高之比

夹在一组平行线之间的等积变形（方方模型）

等积模型是基本应用应是烂熟于心的

都是利用面积公式得到的推定比例

如下：

1等底等高的2个平行四边形面积相等

2三角形面积等于它等底等高的平行四边形面积的一半

3 2个平行四边形高相等，面积比=底之比；2个平行四边形底相等，面积比=高之比

2、鸟头模型（共角定理）

鸟头定理：2个三角形中，有一个角相等或互补，这2个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）

两夹边的乘积之比（夹角2边）

鸟头定理的使用要火眼金睛，经常需要自己补一条辅助线同时经过2次以上转换对应才能得到结果。

如图，浅紫色的三角形ADE跟大三角形ABC是公用A角的，等于浅紫色三角形是“嵌入”在大三角形ABC里面，注意，鸟头定理用的是乘积比！不是单独的线段比~

记忆上用夹角2边最好记，这里等于

鸟头定理的证明，写出来是因为很多题目的解题过程，都需要补这么一条辅助线来过度连接2个看起来无关的图形。证明的途径其实跟我们日常解题途径重合，所以写出来，仔细看。

经由媒介的?ABE，联系了?ADE和大三角形?ABC

BE辅助线很重要！鸟头定理是用等高（等于是用等积推算而得）第二种的证明方式将对顶角压回来?ABC内，对顶角性质是相等的，所以压回来的新?跟?ADE是全等?，再做一条辅助线就能用共角的方式证明出对角的鸟头定理

互补角的鸟头定理证明

高相等，所以面积相等B 写了这几个证明，其实说的目的只有一个：连接小三角形和大三角形过度的那条辅助线，特别重要！

3蝴蝶模型

任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）任蝴蝶

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯

②()()124

3

::

AO OC S S

S S =++

【上下比】 =

= =

【上上比】 = ==

由上述比例可以按数学运算原则推出很多规则：如

面积交叉相乘的乘积相等

= = 1324S S S S ⨯=⨯ 梯形蝴蝶定理（梯蝴蝶）

①2213::S S a b =→上：下=22:a b

②221324::::::S S S S a b ab ab =→上：下：左：右=22:::a

b ab ab ③S 的对应份数为()2a b +→a 2+2ab+b 2=a 2+b 2+ab+ab 有木有↑

4 相似三角形

形状相同，大小不同的三角形，只要形状不变，无论大小怎么改变，

他们都相似。

1 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且=它们的相似比

2 相似三角形的面积比=相似比的平方

3 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

三角形中位线定理：三角形的中位线长=它所对应的底边长的一半就是三角形任2边中点连出来的中位线就是第三边长的一半！

出题几率：多产生于2条平行线造成的相似三角形

金字塔模型沙漏模型

S?ADE：S?ABC=AF2：AG2

特别注意！相似三角形的面积比是等于相似比的平方

5 共边定理

燕尾模型、风筝模型、塞瓦定理

共边定理说明

如图一想知道?PAB和?QAB的面积比？我们就如图二做个高，因为同底（就是共用一个边）所以面积比=髙之比，再想办法偷懒，延长PQ、AB的线相交于M，那么刚学的相似三角形可以派上用

场，因为?PDM?QEM如图三

E D

P A

M

所以=

共边定理：若直线AB 和PQ 相交于点M （4种情况）则有

=

图一Q 图二

M P

A

图三

Q A 图四

A

最常应用到的其实是图一，

无论在三角形或四边形上我们喜欢用共边

2方的不同三角形面积比来比出线段比。（图形不重叠） 图二的比例图形有重叠，所以线段长度也是重叠比~

图三就是“燕尾定理”图形不重叠，所以线段比不重叠。

图四是四边形，做比的三角形有重叠，而比值是四边形的顶：延长线段QM(切记，唯一对比线段不在图形内的哈)

共边定理的证明

=

1

，M 点是PQ 和AB 延长后的交点

2，取N ，使得MN 长度=AB

3、==

?PNM 和?QNM 是等高?，

塞瓦定理（燕尾定理模型补充） 三边比例互乘为1

在△ABC 内任取一点O ，直线AO 、BO 、CO 分别交对边于E 、F 、D ，

则得出

××= 1

特殊题：参考共边定理2图（重叠）可得

三角形一边上之点到三边线交点O的长度：同边线全长的比值，3边比值相加=1

+ + =1