巧解双曲线的离心率
双曲线的离心率问题
双曲线的离心率问题
一、引言
双曲线是平面几何中的一种重要曲线，其离心率问题是双曲线研究中的重要内容之一。本文将从离心率定义、离心率的几何意义、离心率的范围、离心率与双曲线的关系、离心率与渐近线的关系、离心率与焦点的关系、离心率与轴比的关系、离心率与实轴和虚轴的关系以及离心率与准线的关系等方面，对双曲线的离心率问题进行详细阐述。
二、离心率定义
离心率是描述双曲线的一个重要参数，其定义为：双曲线的焦距除以双曲线的实轴长度。离心率的数学表达式为：e=c/a，其中c为焦距，a为实轴长度。
三、离心率的几何意义
离心率的几何意义是描述双曲线在平面上的开口程度。当离心率e越大时，双曲线的开口程度越大；当离心率e越小时，双曲线的开口程度越小。
四、离心率的范围
离心率的范围为0
五、离心率与双曲线的关系
离心率与双曲线的关系密切。离心率的改变会导致双曲线的形状和开口程度发生变化。同时，离心率也是双曲线的一个重要参数，可
以用于描述双曲线的几何特征。
六、离心率与渐近线的关系
离心率与渐近线的关系也十分重要。渐近线是双曲线在某一方向上的近似直线，离心率的大小决定了渐近线的斜率。当离心率e越大时，渐近线的斜率越大；当离心率e越小时，渐近线的斜率越小。
七、离心率与焦点的关系
离心率与焦点的关系是双曲线的一个重要特征。双曲线的焦点到中心的距离为c，其中c的表达式为：c^2=a^2+b^2（在实数轴上）或者c^2=|a^2-b^2|（在复数轴上）。因此，离心率的改变会导致焦点的位置发生变化。
八、离心率与轴比的关系
轴比是描述双曲线的一个重要参数，其定义为：实轴长度a与虚轴长度b的比值。离心率的改变会影响轴比的大小，进而影响双曲线的形状和开口程度。
双曲线函数求离心率
双曲线函数求离心率
一、引言
双曲线函数是高中数学中的一个重要的知识点，它在几何、物理等领
域都有着广泛的应用。其中，离心率是描述双曲线形状特征的一个重
要参数，本文将介绍如何通过双曲线函数求离心率。
二、双曲线函数
双曲线函数是指函数y=a/x在平面直角坐标系上所表示的图形。其中，a为常数，x为自变量，y为因变量。当a>0时，图形在第一象限和第三象限中；当a<0时，图形在第二象限和第四象限中。
三、离心率
离心率是描述椭圆或双曲线形状特征的一个重要参数。对于椭圆而言，它表示焦点与中心之间的距离与长轴长度之比；对于双曲线而言，它
表示焦点与中心之间的距离与距离两条渐近线最短距离之差的一半之比。
四、求解方法
对于给定的双曲线函数y=a/x，在平面直角坐标系上可以画出该图形。根据定义可知，在该图形上任意一点P(x,y)，其到两个焦点F1和F2
的距离之差等于常数2a。因此，只需求出两个焦点的坐标，即可计算
出离心率。
五、计算步骤
1. 求解a值：根据双曲线函数y=a/x的定义可知，a为该函数图形中心到两条渐近线的距离。因此，只需求出该函数的渐近线方程，即可求解a值。
2. 求解焦点坐标：根据双曲线焦点公式可知，焦点坐标为
(F1,F2)=(±sqrt(a^2+b^2),0)，其中b为与a有关的参数。
3. 计算离心率：根据双曲线离心率公式可知，离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离。
六、代码实现
下面是一个用Python语言实现双曲线函数求离心率的示例代码：
def hyperbola_eccentricity(a,b):
双曲线离心率求解技巧
双曲线离心率求解技巧
双曲线是数学中一种常见的曲线形状，其特点是离心率大于1。在解决问题和分析双曲线时，了解和计算离心率是一项重要的技巧。下面是一些关于双曲线离心率求解技巧的详细说明。
首先，让我们回顾一下双曲线的定义。
双曲线可以通过以下方程表示：
(x²/a²) - (y²/b²) = 1
其中，a和b是曲线的两个参数，通过改变这两个参数的值可以调整曲线的形状。曲线的离心率可以通过参数a 和b来计算，具体方法如下：
1. 找到曲线的焦点坐标。
双曲线的焦点坐标可以通过下面的公式计算：
c = √(a² + b²)
其中，c是双曲线曲线的焦点到原点的距离。根据焦点的位置，曲线可以分为两种类型：左右开口和上下开口。如果曲线是左右开口的，焦点坐标的x分量为±c，y分量为0；如果曲线是上下开口的，焦点坐标的x分量为0，y 分量为±c。
2. 计算离心率。
离心率是一个用来描述在双曲线上的点离焦点的距离和该点到曲线的距离之比。数学上，离心率可以通过以下公式计算：
e = c/a
离心率大于1，说明曲线是一个双曲线。离心率越接近于1，曲线的形状越趋向于直线。离心率越大，曲线的形状越弯曲。
计算离心率是分析和解决问题的关键步骤之一，因为离心率的大小可以告诉我们关于曲线特性的很多信息。例如，离心率越大，曲线的焦点越集中，曲线在焦点附近的形状会发生明显变化。
除了上述的求解技巧，还有一些常见的双曲线的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和使用双曲线。以下是一些常见的例子：
1. 长轴和短轴：在双曲线上，a被称为长轴，b被称为短轴。它们之间的关系是a²- b²= 1。长轴是双曲线在水平方向上的最长距离，短轴是双曲线在垂直方向上的最短距离。
巧解双曲线的离心率
巧解双曲线的离心率
离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。下面就介绍一下常见题型和巧解方法。
1、求离心率的值
（1）利用离心率公式a
c
e =
，先求出c a ,，再求出e 值。 （2）利用双曲线离心率公式的变形： 2)(1a
b a
c e +==
，先整体求出a b
，再求出e 值。
例 1 已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为
__________.
分析：双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的渐近线方程为x a b y ±=，由已知可得34=a b
解答：由已知可得34
=a b ，再由2)(1a
b a
c e +==，可得35=e .
（3）构造关于c a ,的齐次式，再转化成关于e 的一元二次方程，最后求出e 值，即“齐次化e ”。例如：010222=-+⇒=-+e e a ac c
例2 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条
渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________. 分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。
解答：因为两条直线垂直，011)(2222=--⇒-=⋅=⇒-=-⋅e e a c c a b c b
a b
所以2
1
5+=
e （负舍） 2、求离心率的取值范围
求离心率的取值范围关键是建立不等关系。
（1）直接根据题意建立c b a ,,的不等关系求解e 的取值范围。
巧解双曲线的离心率
巧解双曲线的离心率
离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。下面就介绍一下常见题型和巧解方法。
1、求离心率的值
（1）利用离心率公式a
c
e =
，先求出c a ,，再求出e 值。 （2）利用双曲线离心率公式的变形： 2)(1a b a c e +==，先整体求出a
b
，再求出e 值。
例1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 3
4
=，则双曲线的离心
率为__________.
分析：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=，由已知可得3
4
=a b
解答：由已知可得3
4
=a b ，再由2)(1a b a c e +==，可得35=e .
（3）构造关于c a ,的齐次式，再转化成关于e 的一元二次方程，最后求出e 值，即“齐次化e ”。例如：010222=-+⇒=-+e e a ac c
例2 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线
的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________. 分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。
解答：因为两条直线垂直，011)(2222=--⇒-=⋅=⇒-=-⋅e e a c c a b c b
a b
所以2
1
5+=
e （负舍） 2、求离心率的取值范围
求离心率的取值范围关键是建立不等关系。
（1）直接根据题意建立c b a ,,的不等关系求解e 的取值范围。
双曲线离心率秒杀公式
双曲线离心率秒杀公式
双曲线离心率是一个让许多人感到困惑的概念,因为它看起来与公式似乎毫不相关。但是,如果我们深入理解双曲线的性质和定义,
就会发现离心率的概念实际上与双曲线的几何形状密切相关。在本文中,我们将探讨双曲线离心率的概念,并解释为什么它是一个非常重
要的概念。
让我们来看一下双曲线的定义。双曲线是由一个二次方程
$y^2=4cos^2(x)$ 生成的曲线。这个方程的解是
$x=ccos(t)$,$y=dsin(t)$。其中 $c$ 和 $d$ 是双曲线的离心
率,$t$ 是双曲线的参数。
离心率是指双曲线在 $x$ 轴上的离心程度,也就是当 $x$ 轴和$y$ 轴的交点从双曲线的圆心移动到 $x$ 轴正半轴时,双曲线的离
心程度。具体来说,离心率 $e$ 满足以下方程:
$$e=frac{c-d}{2}$$
可以看出,离心率是一个与双曲线的参数 $t$ 密切相关的概念。当 $t$ 增大时,双曲线的离心率 $e$ 增大,当 $t$ 减小时,双曲线
的离心率 $e$ 减小。
那么为什么离心率是一个非常重要的概念呢?实际上,离心率与
许多物理和工程问题密切相关。例如,在地球的重力场中,离心率可以用来描述行星的轨道形状。在光学中,离心率也是一个重要的参数,
可以用来描述双折射望远镜的折射率。此外,离心率还与双曲线的数学性质密切相关,例如它的渐近线、渐近函数、内接双曲线等。
总之,离心率是双曲线一个非常重要的概念。理解离心率的概念可以帮助我们更好地理解双曲线的几何形状,从而更好地应用双曲线在各种物理和工程问题中的性质。
巧解双曲线的离心率
巧解双曲线的离心率
离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。下面就介绍一下常见题型和巧解方法。
1、求离心率的值
（1）利用离心率公式a
c
e =
，先求出c a ,，再求出e 值。 （2）利用双曲线离心率公式的变形： 2)(1a b a c e +==，先整体求出a
b
，再求出e 值。
例1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 3
4
=，则双曲线的离心
率为__________.
分析：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=，由已知可得3
4
=a b
解答：由已知可得
3
4
=a b ，再由2)(1a b a c e +==，可得35=e .
（3）构造关于c a ,的齐次式，再转化成关于e 的一元二次方程，最后求出e 值，即“齐次化e ”。例如：010222=-+⇒=-+e e a ac c
例2 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________. 分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。
解答：因为两条直线垂直，011)(2222=--⇒-=⋅=⇒-=-⋅e e a c c a b c
b
a b
所以2
1
5+=
e （负舍） 2、求离心率的取值范围
求离心率的取值范围关键是建立不等关系。
（1）直接根据题意建立c b a ,,的不等关系求解e 的取值范围。
巧解双曲线的离心率.doc
巧解双曲线的离心率
离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。下面就介绍一下常见题型和巧解方法。
1、求离心率的值
（1）利用离心率公式ace?，先求出ca,，再求出e值。
（2）利用双曲线离心率公式的变形：2)(1abace???，先整体求出ab，再求出e值。
例1 已知双曲线)0,0(12222????babyax的一条渐近线方程为xy34?，则双曲线的离心率为__________.
分析：双曲线)0,0(12222????babyax的渐近线方程为xaby??，
由已知可得34?ab
解答：由已知可得34?ab ，再由2)(1abace???，可得35?e. （3）构造关于ca,的齐次式，再转化成关于e的一元二次方程，最后求出e值，即“齐次化e”。例如：010222???????eeaacc
例2 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________. 分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。
解答：因为两条直线垂直，011)(2222?????????????eeaccabcbab
所以215??e（负舍）
2、求离心率的取值范围
求离心率的取值范围关键是建立不等关系。
（1）直接根据题意建立cba,,的不等关系求解e的取值范围。
例3 若双曲线22221xyab??（0??ba），则双曲线离心率的取值范围是_________.
分析：注意到0??ba的条件
解答：），（21)(10102?????????abeabba
巧解双曲线的离心率
巧解双曲线的离心率
离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。下面就介绍一下常见题型和巧解方法。
1、求离心率的值
（1）利用离心率公式a
c
e =
，先求出c a ,，再求出e 值。 （2）利用双曲线离心率公式的变形： 2)(1a b a c e +==，先整体求出a
b
，再求出e 值。
例1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 3
4
=，则双曲线的离心
率为__________.
分析：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=，由已知可得3
4
=a b
解答：由已知可得3
4
=a b ，再由2)(1a b a c e +==，可得35=e .
（3）构造关于c a ,的齐次式，再转化成关于e 的一元二次方程，最后求出e 值，即“齐次化e ”。例如：010222=-+⇒=-+e e a ac c
例2 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线
的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________. 分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。
解答：因为两条直线垂直，011)(2222=--⇒-=⋅=⇒-=-⋅e e a c c a b c b
a b
所以2
1
5+=
e （负舍） 2、求离心率的取值范围
求离心率的取值范围关键是建立不等关系。
（1）直接根据题意建立c b a ,,的不等关系求解e 的取值范围。
双曲线离心率的求法
双曲线离心率的求法
在化学领域中，离心率（eccentricity）是指椭圆曲线形状（ellipses）长短轴两端之间的中间有多长的距离，双曲线离心率（hyperbolic eccentricity）是一种常见的曲线，它位于传统的椭圆曲线（ellipses）之后。双曲线的离心率可以通过一系列的特定算法或公式来求解。
双曲线离心率的求解公式是根据双曲线的对称性来确定的。双曲线的对称性可以通过它的弧长参数（arc length parameter）来定义。大多数情况下，双曲线的弧长参数r/r0是用于求解它的离心率的。下面是一个双曲线离心率的求解公式：
双曲线离心率（e）＝√(1-(r/r0)^2)
这个公式定义了双曲线的离心率，其中r/r0表示双曲线的弧长参数，e表示双曲线的离心率。这个公式可以用来计算任何双曲线的离心率，但是在使用这个公式之前，必须确定双曲线的弧长参数。
另一种求解双曲线离心率的方法是使用现有的椭圆离心率公式，这个公式可以用来求解任何椭圆的离心率：
椭圆离心率（e）＝√(a^2-b^2/a^2)
其中a,b分别为椭圆的长半轴（major axis）和短半轴（minor axis）。可以使用这个公式来求解任何双曲线的离心率，使用这种方法可以准确求解双曲线的离心率，而且这个公式不需要计算双曲线的弧长参数，只要确定椭圆的长半轴（major axis）和短半轴（minor axis），就可以求解出双曲线的离心率。
虽然这两种方法都可以求解出双曲线的离心率，但从精准性以及计算简单性上考虑，相比较而言椭圆公式求解双曲线离心率更为可行。尤其是在双曲线的弧长参数很难确定的情况下，使用椭圆公式求解双曲线离心率更加简易，并且结果更为准确。因此，椭圆公式求解双曲线离心率是比较理想的一种方法。
巧用定义和性质妙解双曲线的离心率问题
巧用定义和性质妙解双曲线的离心率问题《2017年浙江省普通高考考试说明》对双曲线的考试要求是了解双曲线的定义、标准
方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系。双曲线中基本知识的考查中常常涉及到双曲线基本量（a、b、c之间）的关系以及双曲线的渐近线，特别是双曲线的离心率。双曲线的离心率解题关键是挖掘出题中的隐含条件，巧用定义和性质，从而避开大量计算，达到化繁为简、化难为易的目的。
一、利用定义和比例性质求双曲线的离心率
双曲线的离心率是焦距与实轴长的比，解题时可根据已知条件找到e=的关系，从而利用定义来求出双曲线的离心率。
例1.已知F1、F2分别是双曲线－=1（a＞0,b＞0）的左右焦点,点P是双曲线右支上一点,O为坐标原点。若|PF2|∶|PO|∶|PF1|=1∶2∶4，则双曲线的离心率为()。
A.2
B.3
C.2
D.5
解析：依条件有：|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=4|PF2|，得|PF2|=,|PF1|＝，从而有
|PO|=2|PF2|＝。又2PO=PF1+PF2，且F1F2＝PF2－PF1，两式分别平方并相加得4PO＋F1F2＝2PF2＋2PF1，即2×＋2c2=＋，得c2＝2a2，故离心率e=2。
例2.设F1、F2分别是双曲线－=1(a＞0,b＞0)的左右焦点,双曲线上存在一点P，使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|·|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）。
A． B. C. D.3
解析：不妨设P是双曲线右支上一点，根据双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2a,又
双曲线离心率秒杀公式
双曲线离心率秒杀公式
在数学中，双曲线是一种非常有趣且重要的曲线形式。它由两个分离的点（焦点）和与这两个点的距离之差（称为离心率）的比例确定。离心率是双曲线的一个重要参数，可以用来描述其形状。
在研究双曲线的性质和应用时，计算离心率是一个常见的任务。幸运的是，有一个简单的公式可以用来计算双曲线的离心率，这个公式被称为双曲线离心率秒杀公式。
双曲线离心率秒杀公式是通过使用双曲线的焦点和顶点的坐标来计
算离心率的。假设双曲线的焦点坐标为（h，k），顶点坐标为（a，b），离心率为e。则公式如下：
e = √(h^2 + k^2 - a^2 - b^2) / |a|
这个公式的推导和证明可以通过几何和代数的方法完成，但是在这里我们只关注它的实际应用。通过使用这个公式，我们可以轻松地计算给定双曲线的离心率。
双曲线离心率秒杀公式的应用非常广泛。它可以在数学问题中使用，比如求解双曲线的方程、性质和参数等；它还可以在物理学和工程学中使用，比如在轨道力学中描述行星轨道的形状和运动等。
总结起来，双曲线离心率秒杀公式是一个非常有用的工具，可以帮助我们快速准确地计算双曲线的离心率。它在数学、物理学和工程学等领域都有着广泛的应用。掌握这个公式可以帮助我们更好地理解和应用双曲线的各种性质和特点。
双曲线的离心率问题
【解析】：如图，记右焦点为 F′， ∵ ，即为 +
可得 E 为 PF 的中点，∴OE 为△FF′P 的中位线， ∴PF′=2OE=a，∵E 为切点，∴OE⊥PF，∴PF′⊥PF， ∵点 P 在双曲线上，∴PF﹣PF′=2a，∴PF=PF′+2a=3a， 在 Rt△PFF′中，有：PF2+PF′2=FF′2 ∴离心率 e= = = = ， ∴9a2+a2=4c2 ， 即 10a2=4c2 ，
双曲线的离心率问题
长Leabharlann Baidu市明达中学 吴祥云
圆锥曲线一直是高考数学的热点问题。而对双曲线的考查主要出现在小题，利用焦点三角形或者渐近 线求双曲线的离心率或离心率的取值范围，笔者就这几种题型的常用解法作出阐述。 一、由焦点三角形求离心率 1.过双曲线 长 FE 交双曲线右支于点 P，若 A. B. 的左焦点 F（﹣c，0）（c＞0），作圆 x2+y2= ，则双曲线的离心率为（ ） C. 则 O 为 FF′的中点， =2 ， D. 的切线，切点为 E，延
， M 是两曲线的一个公共点，若∠F1MF2=60°，则双曲线的离心率为（ ） B. 2 C.
6 2
3
D. 2 ， 双曲线实轴为 2a2 ， ③ ， ， ， ② 令 M 在双曲线的右支上，
【解析】：由题意设焦距为 2c，椭圆长轴长为 2a1 由双曲线的定义|MF1|﹣|MF2|=2a2 由①②得，|MF1|=a1+a2 即 a12+3a22=4c2 ， 由
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巧解双曲线的离心率
离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。下面就介绍一下常见题型和巧解方法。
1、求离心率的值
（1）利用离心率公式a
c e =，先求出c a ,，再求出e 值。 （2）利用双曲线离心率公式的变形： 2)(1a b a c e +==，先整体求出a
b ，再求出e 值。 例1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 3
4=，则双曲线的离心率为__________.
分析：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=，由已知可得3
4=a b 解答：由已知可得3
4=a b ，再由2)(1a b a c e +==，可得35=e . （3）构造关于c a ,的齐次式，再转化成关于e 的一元二次方程，最后求出e 值，即“齐次化e ”。例如：010222=-+⇒=-+e e a ac c
例2 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________.
分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。 解答：因为两条直线垂直，011)(2222=--⇒-=⋅=⇒-=-⋅e e a c c a b c
b a b 所以2
15+=e （负舍） 2、求离心率的取值范围
求离心率的取值范围关键是建立不等关系。
（1）直接根据题意建立c b a ,,的不等关系求解e 的取值范围。
例3 若双曲线22
221x y a b
-=（0>>b a ），则双曲线离心率的取值范围是_________. 分析：注意到0>>b a 的条件 解答：），（21)(10102∈+=⇒>>⇒>>a
b e a b b a
（2）利用平面几何性质建立c a ,不等关系求解e 的取值范围。
例4 双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两个焦点为21,F F ，若P 为其上非顶点的一点，且212PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为__________.
分析：由双曲线上非顶点的点和两个焦点构成三角形，利用三角形性质构建不等式。 解答：因为⎪⎩⎪⎨⎧=-=a
PF PF PF PF 222121a PF a PF 2,421==⇒，而c F F 221=，又因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，a c a 622<<，所以31< （3）利用圆锥曲线相关性质建立c a ,不等关系求解e 的取值范围。 例5 已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线离心率e 的取值范围是__________. 分析：此题和上题类似，但也可以换一种办法找不等关系。 解答：由⎪⎩⎪⎨⎧=-=a PF PF PF PF 242121可得322a PF =，又因为点P 在双曲线的右支上，a c PF -≥2，即3532≤=⇒-≥a c e a c a ，所以3 51≤ 例6 双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是______ 分析：由直线和双曲线的位置关系得到不等关系 解答：由图象可知渐近线斜率360tan =≥ a b ，再由2)(12≥+==a b a c e 。 （5）运用函数思想求解e 的取值范围。 例7 设1>a ，则双曲线22 22 1(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是________. 分析：把离心率e 表示成关于a 的函数，然后求函数的值域 解答：把e 或2e 表示成关于a 的函数，212)1(1222222 ++=++=a a a a a e ，然后用 求函数值域的方法求解，)5,2(∈e 。 小结：通过以上例题，同学们应该体会到求离心率e 的值或取值范围有很多种办法，求值不一定非要先求出c a ,的值，能够得到c b a ,,中某两者的关系即可；求取值范围关键就是找到不等关系建立不等式，不等关系可以来自已知条件、可以来自图形特点、也可以来自双曲线本身的性质。总之，要认真审题、分析条件，巧解离心率。 练习： （1）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )． A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 解：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2 b 2＝1 可得y 2 ＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a ，∴b 2＝2a 2，3)(12=+==a b a c e 答案：B （2）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为 ( )． A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12x D ．y ＝± x 解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，又离心率为e ＝c a ＝ 1＋⎝ ⎛⎭ ⎪⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x . 答案：C （3）双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为l 1，l 2，点P 在第一象限内且在l 1上，若l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，则双曲线的离心率是( )． A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 解：如图1，由l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，可得PF 1⊥PF 2，则|OP |＝12|F 1F 2|＝c ， 设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b a m ，则 m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a m 2＝c a m ＝c ，