高中数学第三章三角恒等变换31两角和与差的正弦余弦和正切公式311两角差的余弦公式知识巧解学案新人教A版必

3.1.1 两角差的余弦公式

疱工巧解牛

知识•巧学

一、两角差的余弦公式

1.推导方法1(向量法)：把cos(α-β)看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究.如图3-1-2，设α、β的终边分别与单位圆交于点P 1(cos α,sin α),P 2(cos β,sin β)，由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以我们只需考虑0≤α-β＜π的情况.

图3-1-2

设向量a =1OP =(cos α,sin α)，b =2OP =(cos β,sin β)，则ab =|a |²|b |²cos(α-β)=cos(α-β);另一方面，由向量数量积的坐标表示有a ²b =cos αcos β+sin αsin β，所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.于是对于任意的α、β都有上述式子成立.

图3-1-3

推导方法2(三角函数线法)：设α、β、α-β都是锐角，如图3-1-3，角α的终边与单位圆的交点为P 1,∠POP 1=β,则∠POx=α-β；过点P 作PM⊥x 轴于M ，则OM 即为α-β的余弦线.在这里，我们想法用α、β的三角函数线来表示OM ；过点P 作PA⊥OP 1于A ，过点A 作AB⊥x 轴于点B ，过点P 作PC⊥AB 于点C ，则OA 表示cos β，AP 表示sin β，并且∠PAC=∠P 1Ox=α,于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcos α+APsin α=cos βcos α+sin βsin α,即cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.

2.公式的结构特征

记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.

3.两角差的余弦公式C α-β的应用

(1)若所求角能表示成两个特殊角的差的形式，则所求角的三角函数值可用两个特殊角的三角函数值表示出来.

(2)已知角α、β的弦函数值，求cos(α-β)的值.

由cos(α-β)的展开式可知要求cos(α-β)的值，只需求得α、β的正弦值与余弦值即可.其中sin α、cos α，sin β、cos β都是同角的三角函数关系.

(3)利用两角差的余弦公式证明三角恒等式.

(4)利用两角差的余弦公式化简三角函数式.

学法一得 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)=cos 30°=2

1. 误区警示 和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(α±β)≠cos α±cos β. 典题•热题

知识点一 已知角α、β的三角函数值，求cos(α-β)的值

例1 已知sin α=

1715，α∈(2π,π),求cos(3π-α)的值. 思路分析：由于3π是特殊角，根据cos(3

π-α)的展开式，只需求出cos α的值即可. 解：∵sin α=1715,α∈(2π,π)，∴cos α=17

8)1715(1sin 122-=--=--α. ∴cos(3π-α)=cos 3πcos α+sin 3πsin α=34

8315171523)178(21-=⨯+-⨯. 例2 已知sin α=

1312，cos β=53-，α、β均为第二象限角，求cos(α-β). 思路分析：由cos(α-β)的展开式可知要求cos(α-β)的值，还需求出cos α、sin β. 解：由sin α=

1312，α为第二象限角，∴cos α=135)1312(1sin 122-=--=--α. 又由cos β=5

3-，β为第二象限角， ∴sin β=54)53(1cos 122=--=-β.

∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=6563541312)53()135(=⨯+-⨯-

. 方法归纳 若所求角能用已知角表示出来，则所求角的三角函数值可用已知角的三角函数值表示出来，因此合理进行角的变换是解题的关键.

例3 求函数y=cosx+3sinx 的周期、最值及取得最值时x 的集合.

思路分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.

解：y=cosx+3sinx=2(

21cosx+23sinx)=2(cosxcos 3π+sinxsin 3π)=2cos(x-3π).

所以所求周期为2π.

当x-

3π=2k π,k∈Z ，即{x|x=3

π+2k π,k∈Z }时，y max =2； 同理,可知当{x|x=-3

2π+2k π,k∈Z }时，y min =-2. 例4 已知cos α+cos β=53,sin α+sin β=54，求cos(α-β)的值. 思路分析：由于两角和、差的余弦公式与同名的两个三角函数的积有关，根据条件，将其平方后即可构造出同名的三角函数之积的形式.

解：将cos α+cos β=

53,sin α+sin β=5

4的两边分别平方并整理，得 cos 2α+cos 2β+2cos αcos β=259,sin 2α+sin 2β+2sin αsin β=2516. 把上述两式的两边分别相加，得2+2(cos αcos β+sin αsin β)=1,即cos(α-β)=21-. 方法归纳 要牢记C α-β的展开式的特点，着眼于式子结构形式的变换是解好本题的关键. 知识点二 利用两角差的余弦公式证明三角恒等式

例5 利用差角余弦公式证明下列等式：

(1)cos(π-α)=-cos α； (2)cos(2

3π-α)=-sin α. 思路分析：

直接利用差角余弦公式展开，利用特殊角的三角函数值化简证明.

证明：

(1)cos(π-α)=cos πcos α+sin πsin α=-cos α+0²sin α=-cos α; (2)cos(23π-α)=cos 23πcos α+sin 2

3πsin α=0²cos α-1²sin α=-sin α. 例6 证明3cos α+sin α=2cos(6

π-α). 思路分析：由于右边是我们熟悉的两角差的余弦形式，所以可从展开右边入手，把复角的三角函数转化成两单角的三角函数的形式.

证明：∵右边=2(cos 6πcos α+sin 6

πsin α)=3cos α+sin α=左边， ∴原式成立.

知识点三 逆用两角差的余弦公式化简三角函数式

例7 化简下列各式：

(1)cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α；(2)cos50°cos20°+cos40°sin20°.

思路分析：逆用两角差的余弦公式化简的关键是观察题目的特点，从整体出发，利用诱导公式，转化成两角差的形式.逆用公式求值是一种常见思路.

解：(1)原式=cos ［(α+β)-α］=cos β；

(2)原式=cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)=cos30°=2

3. 方法归纳 通过对变换对象和变换目标进行对比、分析，逐步学会如何根据题设与结论的特