第二章 指数函数、对数函数与幂函数半期复习讲义(师)

第二章 指数函数、对数函数与幂函数一、知识回顾（一）指数与指数函数 1．根式:（1）根式的概念（2）两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q)；②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q)；③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q)。

3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

（22、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②log 1a a =，③log Na a N =，④log Na a N =。

（2）对数的重要公式： ①换底公式：log log (,1,0)log N Na bba ab N =>均为大于零且不等于；②1log log baa b =。

（3）对数的运算法则：如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么①N M MN a a a log log )(log +=；②N M NMa a a log log log -=； ③)(log log R n Mn M a na ∈=；④b mnb a n a mlog log =。

x=1提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0<c<d<1<a<b.4、反函数指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。

（三）幂函数1、幂函数的定义形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，12y x=，y=x-1方法：可画出x=x0；当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2，y=x，12y x =，y=x-1；当0<x0<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x-1，12y x=，y=x，y=x2，y=x3。

二、题型归纳（一）运算问题例1、化简或求值：y=1（1）)1111214214310.756+102++164300⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭－－－；-16 （2）4123233322333a 8a ba a a a a a 4b ⎛÷ ⎝⎭－－； [解析]原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+- 23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=（3）1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅.[解析]分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++；分母=41006lg 26lg 101100036lg)26(lg =-+=⨯-+；∴原式=43.例2. （1）已知21212121-,9,12yx y x y x xy y x +<==+求且的值（2）已知lg a 和lg b 是关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0的两个根，而关于x 的方程x 2－(lg a )x －(1＋lg a )＝0有两个相等的实数根，求实数a 、b 和m 的值． 解 由题意得，⎩⎨⎧ lg a ＋lg b ＝1，lg a ·lg b ＝m ，(lg a )2＋4(1＋lg a )＝0，①②③由③得①(lg a ＋2)2＝0，∴lg a ＝－2，即a ＝1100.④ ④代入①得①lg b ＝1－lg a ＝3， ∴b ＝1 000⑤④⑤代入②得m＝lg a·lg b＝(－2)×3＝－6. （二）定义域、值域问题例2、求下列函数的定义域：(1)(2)ln(1)y yx==+。

(1)(1,1)(2)(1,0),1](0--例3、求下列函数的值域;（1）已知2()1log14f x x(x)=+≤≤，（2）2x+2xy2＝；；（3）()lg2y=3x+6x+7－；（4）1(0,1)1xxay a aa-=>≠+1(1)[1,3](2)[,)(3)(,1](4)(1,1)2+∞-∞-（三）单调性问题例4、求下列函数的单调区间：(1)2x6x+171y=2⎛⎫⎪⎝⎭－；(2)()lg2y=3x+6x+7－；(3)log20.3f(x)=|x6x+5|－；(1)-3),3+211333-13,51,35+∞∞∞∞增区间（，减区间（，）（）增区间（）减区间（，（）增区间（，），（）减区间（），（，）例5、(1)若0.5222,log3,log3a b cπ===，则（A）．A.a b c>> B.b a c>> C.c a b>> D.b c a>>变式：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log abbb ba1log,log,1的大小关系是（C）A.log abbb ba1loglog1<< B.bbbbaa1log1loglog<<C.bbbaba1log1loglog<< D.bbb aablog1log1log<<（五）奇偶性问题例6、定义在()∞∞－，＋的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和。

如果()xf(x)=lg10+1，x∈()∞∞－，＋，那么（C）A.()lg x xg(x)=x,h(x)=10+10+2－ B. x x11g(x)=lg(10+1)+x,h(x)=lg(10+1)x22⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦－C. ()lg xx xg(x)=,h(x)=10+122－ D. ()lg xx xg(x)=,h(x)=10+122－＋（六）综合问题例7、设集合}03log21log2|{8221≤+-=xxxA，若当Ax∈时，函数4log2log)(22xxxfa⋅=的最大值为2，求实数a的值.[解析]}3log 21|{}03log 7log 2|{2222≤≤=≤+-=x x x x x A }82|{≤≤=x x 而a x a x x a x x f 2log )2(log )2)(log (log )(22222++-=--=， 令321,82,log 2≤≤∴≤≤=t x t x ， a t a t t g x f 2)2()()(2++-==∴，其对称轴22+=a t ， ①当4722≤+=a t ，即12)3()]([23max =⇒==≤a g t g a 时，适合； ②当6132)21()]([,23,4722max =⇒==>>+=a g t g a a t 时即，适合； 综上，6131或=a .（八）恒成立、存在性问题例8. 对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若不等式()1f x ≥-有解，求实数a 的值； （5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值； （6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围. [解答]记2223)(32)(a a x ax x x g u -+-=+-==，（1）R x u ∈>对0 恒成立，33032min <<-⇒>-=∴a a u ，a ∴ 的取值范围是)3,3(-； （2）这是一个较难理解的问题。

从“x a log 的值域为R ”，这点思考，“u 21log 的值域为R ”等价于“)(x g u =能取遍),0(+∞的一切值”，或理解为“)(x g u =的值域包含了区间),0(+∞”，)(x g u = 的值域为),,0(),3[2+∞⊇+∞-a∴命题等价于33032min ≥-≤⇒≤-=a a a u 或， ∴a 的取值范围是),3[]3,(+∞--∞ ；（3）应注意“在),1[+∞-内有意义”与定义域的概念是不同的，命题等价于“),1[0)(+∞-∈>=x x g u 对恒成立”，应按)(x g 的对称轴a x =0分类，⎩⎨⎧<<--≥⎩⎨⎧->-<⇒⎩⎨⎧<-=∆-≥⎩⎨⎧>--<∴33121012410)1(12a a a a a a g a 或或， a ∴的取值范围是)3,2(-；（4），命题等价于()-1f x ≥函数的最大值，则不等式2232u x ax =-+≤的最小值11232min ≥-≤⇒≤-=a a a u 或（5）由对数函数性质易知：)(x g 的值域为),2[+∞，由此学生很容易得2)(≥x g ，但这是不正确的.因为“2)(≥x g ”与“)(x g 的值域为),2[+∞”并不等价，后者要求)(x g 能取遍),2[+∞的一切值（而且不能多取）.∵)(x g 的值域是),3[2+∞-a ，∴命题等价于123)]([2min ±=⇒=-=a a x g ； 即a 的值为±1；（6）命题等价于：⎩⎨⎧>≥=⇔⎩⎨⎧-∞∈>-∞0)1(1]1,(0)(]1,()(0g a x x x g x g 恒成立对为减函数在， 即⎩⎨⎧<≥21a a ，得a 的取值范围是)2,1[.课后巩固练习：1.函数y =的定义域是：（ D ） A [1,)+∞ B 23(,)+∞ C 2[,1] D 2(,1] 2.（2012年高考（陕西理））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ D ） A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =3.设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f (x )>2的解集为（ C ） A.（1，2）⋃（3，+∞） B.（10，+∞） C.（1，2）⋃（10 ，+∞） D.（1，2）4. 若132log >a ，则a 的取值范围是（ C ）A ．231<<aB ．23110<<<<a a 或C ．132<<aD ．1320><<a a 或5.已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k ＝（ A ）A ．41-B ．41C ．21- D ．216.（2012年高考（安徽理））下列函数中，不满足(2)2()f x f x =的是（ C ）A ．()f x x =B ．()f x x x =-C ．()f x x =+1D ．()f x x =-7. 函数)2(xf y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ D ）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[2，4]D ．[4，16]8、若函数)2(log )(22a a x x x f ++=是奇函数，则a=． 9. 已知函数)1,0)(4(log )(≠>-+=a a xa x x f a 且的值域为R ，则实数a 的取值范围是(0,1)(1,4] .10. （2012年高考（福建理））对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:22,*,a ab a b b ab ⎧-⎪=⎨⎪-⎩a ba b≤>,设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则m 的取值范围是_1(0,)4____. 11.已知函数xx x x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. (1)1,00,1-定义域（）（）（2）奇函数（3）在两个区间内均为增函数，证明略12.若函数22724)(21+⋅-=-x x a x f 在区间[0，2]上的最大值为9，求实数a 的值. [解析]2272221)(2+⋅-⋅=xx a x f ，令41,20,2≤≤∴≤≤=t x t x ，),41(2227)(2122721)()(222≤≤-+-=+-==∴t a a t at t t g x f∴抛物线)(t g 的对称轴为a t =，①当2584394243)4()]([,25max >=⇒=-==<a a g x f a 时，不合； ②当25≥a 时，5914)1()]([max =⇒=-==a a g x f ，适合；综上，5=a。