教师用习题解答第2章

思 考 题

2.1 从运动学的角度看，什么是简谐振动？从动力学的角度看，什么是简谐振动？ 答：从运动学的角度看，弹簧振子相对平衡位置的位移随时间按余弦函数的规律变化，所作的运动就是简谐振动。从动力学的角度看，如果物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比，而方向相反，那么该物体的运动就是简谐振动。

2.2 弹簧振子的振幅增大到2倍时，其振动周期、振动能量、 最大速度和最大加速度等物理量将如何变化？

答：弹簧振子的运动方程为0cos()x A t ωϕ=+，速度为0sin()v A t ωωϕ=-+，加速

度的为)cos(02ϕωω+-=t A a ，振动周期2T =2

2

1kA E =

。所以，弹簧振子的振幅A 增大到2倍时，其振动周期不变，振动能量为原来的4倍，最大速度为原来的2倍，最大加速度为原来的2倍。

2.3 下列运动是否为简谐振动？

（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；

（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动； （3）曲柄连杆机构使活塞作往复运动； （4）小磁针在地磁的南北方向附近摆动。 答：（2）、（4）为简谐振动，（1）、（3）、不是简谐振动。

2.4 三只相同的弹簧（质量忽略不计）都一端固定，另一端连接质量为m 的物体，它们放置情况不同，其中一个平放，一个斜放，另一个竖直放。如果它们振动起来，则三者是否均为简谐振动，它们振动的周期是否相同？

答：三者均为简谐振动，它们振动的周期也相同。

2.5 当谐振子作简谐振动的振幅增大为原来的2倍时，谐振子的什么量也增大为原来的2倍？

答：最大速度和最大加速度。

2.6 一弹簧振子作简谐振动，其振动的总能量为E 1。如果我们将弹簧振子的振动振幅增加为原来的2倍，而将重物的质量增加为原来的4倍，则新的振子系统的总能量是否发生变化？

答：弹簧振子2

12

E kA = ，所以新的振子系统的总能量增加为原来的4倍。

2.7 一质点作简谐振动，振动频率为n，则该质点动能的变化频率是多少？

答：该质点动能的变化频率是2n。

2.8 受迫振动的频率是否由振动系统的固有频率所决定？

答：不是。

2.9 产生共振的条件是什么?

答：策动力的频率接近振动系统的固有频率。

2.10 同方向同频率的简谐振动合成后的振动一定比分振动强度大吗？

答：不一定。

2.11 产生机械波的条件是什么？

答：机械波的产生，首先要有波源，即作机械振动的物体，其次，要有能够传播这种机械振动的介质。

2.12 机械波从一种介质进入另一种介质，其波长、波速和频率这三个物理量中，哪些会改变，哪些不变？

答：频率不变，波长、波速会改变。

2.13 波速和介质的振动速度有何区别？

答：波速是指振动在介质中传播的速度，它决定于介质本身的惯性和弹性，而与波源的振动频率无关。介质的振动速度是指介质的质点在其平衡位置附近作简谐振动的速度。

2.14 平面简谐波的平面是指什么？

答：当波源作简谐振动时，介质中各质点也作简谐振动，这时的波动称为简谐波。波面为平面的简谐波叫做平面简谐波。

2.15 从能量的角度看，谐振子系统与传播机械波的弹性介质元有何不同？

答：谐振子系统在运动过程中不受外力和非保守内力的作用，动能和势能分别随时间而变化，其总能量守恒，与振幅的平方成正比。在波动过程中，传播机械波的弹性介质元在各自的平衡位置附近振动，而具有动能，同时介质要产生形变，因而具有弹性势能，介质的动能与势能之和称为波的能量。在波传播的介质中，对于某一固定点x，动能能量密度 w k、势能能量密度w p均随x周期性的同步变化。和弹簧振子的情况不同，这里没有动能和势能的相互转化，能量密度均随t而变，但并不守恒。

2.16 在一根很长的弦线上形成的驻波是：

（A）由两列振幅相等的相干波沿相同方向传播叠加而形成的

（B）由两列振幅不相等的相干波沿相同方向传播叠加而形成的

（C）由两列振幅相等的相干波沿相反方向传播叠加而形成的

（D）由两列波沿相反方向传播叠加而形成的

答：（C）

2.17 当x为某一定值时，波动方程y=A cos2π(t /T- x/λ)所反映的物理意义是什么？

答：当x为某一定值时，波动方程y = A cos2π(t / T- x / λ)表示距原点为x处的质点在各不同时刻的位移，即这个质点在作周期为T的简谐振动的情形，并且还给出该点落后于波源O的相位差。

2.18 关于振动和波的关系，下面几句叙述中正确的是（）

（A）有机械振动就一定有机械波

（B）机械波的频率与波源的振动频率相等

（C）机械波的波速与波源的振动速度相等

答：（B）

2.19 下面叙述中正确的是（）

（A）波动方程中的坐标原点一定要放在波源位置

（B）机械振动一定能产生机械波

（C）质点振动的周期与波的周期数值相等

（D）振动的速度与波的传播速度大小相等

答：（C）

2.20 在什么情况下，入射波与反射波在两种介质分界面上要产生相位π的跃变？在什么情况下则不会产生相位π的跃变？

答：当波从波疏介质向波密介质入射时，反射波就要产生相位π的跃变；反之，则不会产生相位π的跃变。

2.21 在同一介质中，波源迎着观测者运动和观测者迎着波源以同样速率运动所形成的多普勒效应一定完全相同吗？

答：不完全相同，观测者观测到的频率都比声源的频率高，但升高的幅度不一样。

习 题

2.1 一质点沿ｘ轴作简谐振动，振动方程为) t 2cos(104312ππ+⨯=-x （SI ）。求：从t =0时刻起，到质点位置在x =-2cm 处，且向ｘ轴正方向运动的最短时间间隔？

解：用旋转矢量图求解，如图所示 t =0时刻，质点的振动状态为：

m t x 02.0)3

0cos(04.0)3

2cos(04.00=+

=+

=π

π

π

3sin 08.0)3 2sin(204.00<-=+⨯-==

πππππt dt dx v 可见，t =0时质点在2=x cm 处，向x 轴负方向运动。

设t 时刻质点第一次达到2-=x cm 处，且向x 轴正方向运动0>v 。 则：πϕ=∆min

5.02min ===

∆π

πωπt （s ）

2.2 一物体作简谐振动，其速度最大值s

m v m 2

103-⨯=，其振幅 m A 2102-⨯=。

若t=0时，物体位于平衡位置且向ｘ轴的负方向运动。求：

（1）振动周期T ；

（2）加速度的最大值m a ； （3）振动方程的表达式。

解：设物体的振动方程为) cos(ϕω+=t A x

则

)

cos( )

sin( 2

ϕωωϕωω+-=+-=t A a t A v

（1） 由, ωA v m =及s

m v m 2

10

3-⨯= 得物体的振动周期：πππωπ

34

10

31022 222

2=⨯⨯⨯===--m v A T （s ）

（2） 加速度最大值：

)(105.410

2)103(222222

2

s m A v A a m m ---⨯=⨯⨯===ω

2.1题图