江西省南昌大学附属中学2014届高三第三次月考 理科数学 Word版含解析

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.一扇形的中心角为2，中心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为（ ）A ．2B ．1C ．21sin 1 D ．21cos 12.下列命题中的假命题．．．是（ ） A ．R x ∀∈，120x -＞ B ．N x *∀∈，()10x -2＞C ．R x ∃∈，lg x ＜1D ．R x ∃∈，tan 2x =3.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(sin120cos120)P，，则α可以是（ ） A ．60B ． 330C ．150D ．120【答案】B 【解析】试题分析：由三角函数的定义得1sin cos1202α==- ，在选项中只有B 选项的的正弦值为12-，故选B. 考点：三角函数定义、三角函数求值.4.设ω>0,函数sin 23y x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ） A ．23 B ．43 C ．32D ．35.函数331x x y =-的图象大致是( )【答案】C 【解析】试题分析：函数的定义域为{|0}x x ≠，排除A ；当0x <时，0y >排除B ；当x →+∞时，0y →，故选C.考点：函数图象、极限.6.设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( )A. ()01f =B. ()00f =C. ()'01f=D. ()'00f=。

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7. 是函数()f x 图像的一个对称中心; ②)(x f 的最小正周期是π2;③)(x f④)(x f)(x f 其中正确的命题为（ ）A ．①②④B ．③④⑤C ．②③D ．③④【答案】D 【解析】,1212k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故①错；最小正周期22T ππ==，②错；原函数在222262k x k πππππ-+≤-≤+，即163k x k ππππ-+≤≤+单调增，当0k =32k x ππ=+，当0k =16f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最大值为33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭)(x f 的值域为[]1,3.-⑤错；故选D.考点：三角函数的对称性质、三角函数的单调性、三角函数最值.8.已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A.3[,)4ππ B.[,)42ππ C.3(,]24ππ D.[0,4π)9.已知函数()1c o s (2)(0)22g x x ππϕϕ=-+<<的图象过点(1,2)，若有4个不同的正数i x 满足()i g x M =，且8(1,2,3,4)i x i <=，则1234x x x x +++等于（ ）A ．12B ．20C ．12或20D ．无法确定考点：正弦函数周期、正弦函数图象特征.10.设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 ( ) A. 当0a <时，12120,0x x y y +<+> B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+<C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+<D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+>第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.⎰-+22)cos (ππdx x x =_____________ _______.【答案】2 【解析】考点：定积分的计算.12.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是___ _米．13.已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=xx g ，若同时满足条件: ①R x ∈∀，0)(<x f 或0)(<x g ；②(),4x ∃∈-∞-, ()()0f x g x ⋅< 则m 的取值范围是______________. 【答案】(-4,-2) 【解析】试题分析：当(),1x ∈-∞时，()0g x <，因为R x ∈∀，0)(<x f 或0)(<x g ，故当[1,)x ∈+∞时，()0f x <恒成立，因为(),4x ∈-∞-时，()0g x <而(),4x ∃∈-∞-, ()()0f x g x ⋅<故(),4x ∃∈-∞-，()0f x >；由以上分析得0214234m m m m <⎧⎪<⎪⎨-<⎪⎪--<-⎩（无解）或043422431m m m m m <⎧⎪-<--⎪⇒-<<-⎨<-⎪⎪--<⎩，所以m 的取值范围是(-4,-2). 考点：指数函数单调性、一元二次不等式的解法.14.4cos50tan 40-=____________ _________.12题15.已知定义域为0+∞（，）的函数()f x 满足：（1）对任意0x ∈+∞（，），恒有()()f 2x =2f x 成立；（2）当]x ∈（1,2时，()2f x x =-.给出如下结论：①对任意m Z ∈，有()2m f =0；②函数()f x 的值域为[0+∞，）；③存在Z n ∈，使得()n2+1=9f ；④“函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得1(,)(2,2)k k a b +⊆”.其中所有正确结论的序号是 .【答案】①②④ 【解析】试题分析：由]x ∈（1,2时，()2f x x =-得，()20f =，由任意0x ∈+∞（，），恒有()()f 2x =2f x 成立，取1x =得()10f =；①任意m Z ∈，当0m =时，()20mf =，当0m >时()()()10222220m m m f f f -==== ，当0m <时，()()()()()()()112222,222,,2210,20m m m m m m m f f f f f f f +++-===== ，故①正确；②取()12,2m m x +∈，则(1,2];2222m m m xx x f ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭，从而()122222mm m x x f x f f x +⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中，0,1,2,m = 从而()f [0x ∈+∞，），②正确；③由②得()12m f x x +=-，令21nx =+，则有()121221n m n f ++=--，假设存在n 使()219n f +=，即存在12,x x ，122210x x -=，又2x 变化如下：2,4,8,16,32，显然不存在，所以③错；④根据前面的()12m f x x +=-，(),x a b ∈时，故()f x 是递减的，容易知道④正确，综合可知答案为①②④ 考点：抽象函数及应用.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.(本小题满分12分)（1）已知1411)cos(,71cos -=+=βαα，且)2,0(,πβα∈，求βcos 的值； （2）已知α为第二象限角，且42sin =α，求1)2sin(2cos )4cos(+---παααπ的值.(2)α为第二象限角，且42sin =α，所以cos 4α==-故1)2sin(2cos )4cos(+---παααπ21222cos 2sin cos 4cos αααααα+==⋅=+ 考点：两角差的余弦公式、二倍角公式、三角函数平方关系.17.(本小题满分12分)已知集合{}()1015,20;2A x R ax B x R x a ⎧⎫=∈<+≤=∈-<≤≠⎨⎬⎩⎭（1）B A ,能否相等？若能，求出实数a 的值，若不能，试说明理由？（2）若命题,:A x p ∈命题B x q ∈:且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.当0>a 时， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-=a x a x A 41则⎪⎩⎪⎨⎧≤->-⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-2421124211aa a a 或解得2>a 当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<≤=a x ax A 14则821214-<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-->a aa综上p 是q 的充分不必要条件，实数a 的取值范围是,2>a 或8-<a . 考点：集合间的关系、一元一次不等式解法、命题及其关系、分类讨论思想.18.(本小题满分12分)设ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且22sin sin() sin() sin 33A B B B ππ=+-+.(1)求角A 的值；(2)若12,AB AC a ⋅==,b c （其中b c <）.cos 12cb A = ①由（1）知3A π=，所以24cb = ②由余弦定理知2222cos a c b cb A =+-，将a =2252c b += ③③+②×2，得()2100c b +=，所以10c b +=因此，,c b 是一元二次方程210240t t -+=的两个根.解此方程并由c b >知6,4c b ==.考点：两角和与差的正弦定理、平面向量的数量积、余弦定理.19.(本小题满分12分)已知函数2()163f x x x q =-++：(1)若函数在区间[]1,1-上存在零点，求实数q 的取值范围；(2)问：是否存在常数(0)t t ≥，当[],10x t ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12t -.试题解析：⑴ ∵二次函数2()163f x x x q =-++的对称轴是8x = ∴函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减∴要函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点须满足(1)(1)0f f -⋅≤ 即 (1163)(1163)0q q +++⋅-++≤ 解得 2012q -≤≤ ，所以],[1220-∈q .经检验8t =或9t =或t =所以存在常数(0)t t ≥，当[],10x t ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12t -. 考点：零点存在性定理、二次函数的单调性、二次函数值域、分类讨论思想.20.(本小题满分13分)已知函数()21sin cos 422g x x x x =--，将其图象向左移4π个单位，并向上移12个单位，得到函数()()2cos0,,2f x a x b a b R πϕϕ⎛⎫=++>∈≤ ⎪⎝⎭的图象.(1)求实数,,a b ϕ的值；(2)设函数()()(),0,2x g x x x πϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求函数()x ϕ的单调递增区间和最值.∴301πϕ===,,b a(2)ϕ(x )＝g (x )－3f (x )＝12sin(2x ＋23π)cos(2x ＋23π)＝sin(2x ＋3π) 由()Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ223222得ππππk x k +≤≤+-1212，因为],[20π∈x ，所以当0=k时，在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调增，∴ϕ (x )的单调增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 值域为2⎡-⎢⎣⎦.，故()x ϕ的最小值为3-，最大值为231-. 考点：二倍角公式、三角函数诱导公式、三角函数单调性、三角函数最值.21.(本小题满分14分)已知函数()f x axe x =-，其中0a ≠.(1)若对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合；(2)在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 12()x x <，记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不 存在，请说明理由. 【答案】(1) a 的取值集合为{}1；(2) 存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为212211(ln,)()ax ax e e x a a x x -- 【解析】试题分析：(1)利用导数求出()f x 的最小值，令其大于等于1即111ln 1a a a-≥，解得a 的取值集合； (2)由题意知21212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==---，令2121()(),ax ax axe e xf x k ae x x ϕ-'=-=--然后说明在()12,x x 内()x ϕ有唯一零点c 且21211ln ()ax ax e e c a a x x -=-，故当且仅当212211(ln,)()ax ax e e x x a a x x -∈-时， 0()f x k '>. 试题解析：（1）若0a <，则对一切0x >，()f x 1axe x =-<， 这与题设矛盾，又0a ≠，故0a >.而()1,axf x ae '=-令11()0,ln .f x x a a'==得 当11ln x a a <时，()0,()f x f x '<单调递减；当11ln x a a >时，()0,()f x f x '>单调递增，故当11lnx a a=时， ()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当111l n 1a a a-≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减. 故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{}1.因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=2()0,()axx a e x ϕϕ'=>单调递增，故这样的c 是唯一的，且21211ln ()ax ax e e c a a x x -=-.故当且仅当212211(ln ,)()ax ax e e x x a a x x -∈-时， 0()f x k '>.综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为212211(ln,)()ax ax e e x a a x x --. 考点：直线斜率定义、利用导数求函数最值、利用导数求函数单调性、零点存在定理.。