二项式定理中常考的几种题型
二项式定理的常见题型
《中学生数理他》特别奉献编者的话：高考是一种竞技，考验的是平时的努力。
要想在高考中取得优异成绩，贵在 平时的训练，平日从严，高考坦然。
练习就是高考，高考就是练习！面对即将到来的高考， 在明确命题规律的基础上，平时的训练要有针对性，要学会总结。
理殆常g 理2^8一、求幕指数的值例1若(加-弓"展开式中含*项的系数与含+项的系数之比为-5,求"的值。
点评：利用二项展开式的通项公式求壽指数 n,主要是体现了方程思想在二项展开式中的应 用，我们只要根据题目条件建立关于"的方程， 即可使问题得到解决。
答案：”=6。
五、近似计算问题例5求0.998。
的近似值，使误差小于0. 001。
点评：因为0.9986=(1-0.002)6=1+6(-0.002)+ 15(-0.002)2+-+(-0.002)6,所以可以用二项式定 理计算。
T 3= 15(-0.002)2=0.00006<0.001,从第3项 起，以后各项可以忽略不计，即0.9986= 1+6(-0.002) =0.988。
(1+*)"=1+C 浪+C 怎2+...+c ：w"(nWN+),当力 的绝对值与1相比很小且n 足够大时*2、/、d 等 项在精确度允许的范围之内可以忽略不计。
二、求展开式的某一项或指定项的系数例2如果在的展开式中，前三2 v x项系数成等差数列，求展开式中的有理项。
点评：求展开式中某一特定的项或指定项的 系数，常用待定系数法先确定r 的值，本题要注意 展开式中的有理项与系数是有理数的项是两个不同的概念。
答案：生普九八=十6。
六、确定展开式中系数的最大(小)项例6已知&+3Q)"的展开式中，各项系数和比 它的二项式系数和大992。
(1)求展开式中二项式 系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项。
点评：如果展开式中各项都是正数时，根据 “系数最大的项的系数既不小于其前一项的系数 又不小于其后一项的系数”列出不等式组求解； 如果展开式中各项系数有正有负时，则系数最大 项的系数必是正数，比较相邻几个正数得解。
二项式定理的高考常见题型及解题对策
二项式定理的高考常见题型及解题对策二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式 ----二项式的乘方的展开式。
二项式定理既是排列组合的直接应用， 又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。
掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好 的复习，深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。
所以有必要掌握好 二项式定理的相关内容。
二项式定理在每年的高考中基本上都有考到， 题型多为选择题， 填空题，偶尔也会有大题出现。
本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如 下，希望能够起到抛砖引玉的作用。
题型一：求二项展开式例1 .求（3j X 1 〒）4的展开式;V x3x 解：原式=(3X^ V x 1、4 (3x 1)4一)= ----- 2—x1 0 41 3茫©4网4C 4(3X)31—(81x 4 84x 3 X2 23 4C 4(3X )2C 4(3X ) C 』212 = 81x 284x —x小结：这类题目一般为容易题目， 高考一般不会考到， 但是题目解决过程中的这种 化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。
2. “（a b ）n ”型的展开式例2•求（3低亠）4的展开式;v x分析：解决此题，只需要把（3J X ¥）4改写成［3-f X v xA“ / I \n ” 1. (a b)型的展开式54x 212x 1)“先 （于）］4的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。
本题主要考察了学生的 3 •二项式展开式的 “问题转化” 能力。
“逆用”例3 .计算13cn239C n27Cn ....( 1)n 3ncn ；12233）1C n（ 3）2C n（小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式, 解：原式=c nc n（ 3)33C n（ 3）n（1 3）n（ 2）n把握公式本质。
题型二：求二项展开式的特定项21~2求两个二项式乘积的展开式指定幕的系数27例5. （02全国）（X 1）（X 2）的展开式中,X 3的系数应为：C 7（求可化为二项式的三项展开式中指定幕的系数1 3（04安徽改编）（X — 2）3的展开式中，常数项是X1 •求指定幕的系数或二项式系数 （1）求单一二项式指定幕的系数1 例4•（03全国）（X 2——）9展开式中 2X1 X rr丈=C9X解: T r1 C9（X 2）9r （ 令 18 3x9,则r X 9的系数是 18 2r（y （1）r =c 9（ 1）rX18 3X93，从而可以得到X的系数为:解: （X 丄 2）3 [4]3X X（X 1）63X 上述式子展开后常数项只有一项 3 3 3C6X 3（ 1）3 C63 ，即 X 20本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后, 考查了变型与转化的数学思想。
二项式定理的常考题型
二项式定理的常考题型
二项式定理是代数中常见且重要的定理之一，它可以用来展开二项式的幂。
在数学考试中，常常会出现与二项式定理相关的题目。
下面介绍几种常见的与二项式定理相关的考题类型。
1. 二项式系数的求解：考生需要根据给定的条件，求解二项式展开
式中某一项的系数。
这类题目通常需要考生运用组合数的性质，结合二项式定理进行计算。
2. 二项式展开的特定项：考生需要根据给定的条件，求解二项式展
开式中某一特定项的值。
这类题目通常需要考生根据二项式定理按照对应的系数进行计算，并注意运用组合数的性质。
3. 二项式定理与多项式的展开：考生需要将一个多项式展开成二项
式的形式。
这类题目通常需要考生运用二项式定理的逆定理，即将一个多项式写成二项式的形式。
4. 二项式定理与数列的关系：考生需要根据给定的数列，利用二项
式定理推导数列的通项公式或者递推关系。
这类题目通常需要考生观察数列的特点，利用二项式定理进行变形推导。
除了上述常见考题类型，二项式定理还可以与其他数学概念进行结合，
如排列组合、数学归纳法等。
因此，在学习二项式定理时，需要注意将其与其他数学概念进行联系，深化对二项式定理的理解，并灵活运用于解决各类数学问题。
二项式定理应用的六种题型
二项式定理的应用二项式定理)()(110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a nn n k k n k n n n n n n ⑴这个公式叫做二项式定理.⑵展开式：等号右边的多项式叫做nb a )(+的二项展开式，展开式中一共有1+n 项.⑶二项式系数：各项的系数}),,2,1,0{(n k C kn ∈叫做二项式系数.展开式的通项n b a )(+展开式的第1+k 项叫做二项展开式的通项，记作k k n k n k b a C T -+=1.题型1求某项系数例1.二项式8312(xx-中展开式的常数项是)(答案：常数项为7)1()21(68627=-⋅=C T .例2.在62)1(xx +的展开式中，3x 的系数是)(答案：20.例3.若二项式7)1(xx -的展开式中的第四项等于7,则x 的值是)(答案：51-=x .题型2多个多项式例4.72)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中，3x 的系数是)(答案：3x 的系数为7048373433==+++C C C C .例5.设432231404321))()()((A x A x A x A x A a x a x a x a x ++++=++++则=2A ；=3A ；答案：4343243212)()(a a a a a a a a a A +++++=，4324314213212a a a a a a a a a a a a A +++=.例6.9)2(z y x -+的展开式中324z y x 的系数为)(.答案：324z y x 的系数为5040-.例7.求当52)23(++x x 的展开式中x 的一次项的系数为)(.分析：解法①：5252]3)2[()23(x x x x ++=++，r rrr x x C T )3()2(5251-++=，当且仅当1=r 时，1+r T 的展开式中才有x 的一次项，此时x x C T T r 3)2(421521+==+，所以x 的一次项为x C C 3244415⋅，它的系数为2403244415=⋅C C .解法②：)22)(()2()1()23(555415505554155055552C x C x C C x C x C x x x x ++++++=++=++ 故展开式中含有x 的项为x x C xC C 2402244555545=+，故展开式中x 的系数为240.例8.求式子3)21(-+xx 的常数项为)(答案：631()21(xx x x -=-+，设第1+r 项为常数项，则rr r r rr r r xC xxC T 266661)1(1()1(--+-=-=，得3026=⇒=-r r ，所以20)1(36313-=-=+C T .例9.52)1)(1(x x x -++的展开式中，4x 的系数是)(分析：已知表达式展开式中每一项由两部分相乘而成，要想凑得4x ，不妨从其中一个式子切入进行分类讨论（以)1(2x x ++为例）1：)1(2x x ++出1，则5)1(x -出4x ，该项为：44455)(11xx C =-⋅⋅⋅2：)1(2x x ++出x ，则5)1(x -出3x ，该项为：4323510)(1xx C x -=-⋅⋅⋅3：)1(2x x ++出2x ，则5)1(x -出2x ，该项为：42325210)(1x x C x =-⋅⋅⋅综上所述：合并同类项后4x 的系数是5.例10.102)1(+-x x 的展开式中3x 的系数是)(分析：本题不利于直接展开所有项，所以考虑将其转化为10个因式如何分配所出项的问题：若要凑成3x 有以下几种可能：⑴：1个2x ，1个)(x -，8个1，所得项为：3888192110901)(xC x C x C -=⋅-⋅⑵：3个)(x -，7个1，所得项为：377733101201)(x C x C -=⋅-，所以3x 的系数是210-.例11.求43)1()21(x x -+的展开式中2x 的系数是)(分析：因为3)21(x +的展开式的通项是3,2,1,0,2)2(33=⋅⋅=⋅m x C x C mmmmm，4)1(x -的展开式的通项是4,3,2,1,0,)1()(44=⋅-⋅=-⋅n x C x C n n nn n ，令2=+n m ，则有0=m 且2=n ，1=m 且1=n ，2=m 且0=n ，因此43)1()21(x x -+的展开式中2x 的系数等于6)1(2)1(2)1(20422311411322403-=-⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅C C C C C C .例12.求10463)11()1(xx ++展开式中的常数项是)(答案：4246例13.已知nxx x x 1)(1(32+++的展开式中没有常数项，*∈N n 且82≤≤n ，则=n 分析：n xx 1(3+的展开式的通项为rn r n r r n r n x C x x C 43---⋅=⋅⋅，通项分别与前面三项相乘可得24144,,+-+--⋅⋅⋅r n r n r n r n rn rn x C x C xC ，因为展开式中不含常数项，82≤≤n 所以r n 4≠且14-≠r n 且24-≠r n ，即8,4≠n 且7,3≠n 且6,2≠n ，所以5=n 题型3系数特征例14.在204)3(y x +的展开式中，系数为有理数的项有项.答案：6项例15.求二项式93)(x x -的展开式中的有理项.分析：62793192191)1()()(x r rrrrr xC x x C T --+-=-=，令)90(,627≤≤∈-r Z r得3=r 或9=r 当3=r 时，44393484)1(,4627x x C T r -=-==-，当9=r 时，3399910)1(,3627x x C T r -=-==-.例16.nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项，系数最大的项.分析：二项展开式的通项rrrn r x C T 21=+，由第6项与第7项的系数相等得，8226655=⇒=n C C n n ，所以展开式中二项式系数最大得项为44448511202x x C T ==，设第1+r 项系数最大，则⎩⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--118811882222r r r r r r r r C C C C ，解之得65≤≤r 即5=r 或6，所以系数最大得项为55558617922x x C T ==或66668717922x x C T ==.例17.在nb a 2)(+的展开式中，求二项式系数最大的项.分析：二项式的幂指数是偶数n 2，则中间一项的二项式系数最大，即1122++=n nT T ，也就是第1+n 项.例18.在nxx)12(3-的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是.分析：只有第5项的二项式最大，则512=+n，即8=n ，所以展开式中的常数项为第7项等于721(268=C .题型4求系数和常用赋值举例：⑴设nn n r r n r n n n nn nb C b a C b aC a C b a +++++=+-- 11)(，①令1==b a ，可得：nnn n n nC C C C ++++= 212②令1,1-==b a ，可得：nn n n n n n C C C C C )1(0321-+-+-= ，即13120-+++=+++n n n n n n n n C C C C C C （假设n 为偶数），再结合①可得：1131202--=+++=+++n n n n n n n n n C C C C C C ⑵设nn n xa x a x a a x x f ++++=+= 2210)12()(①令1=x ，则有：)1()112(210f a a a a nn =+⨯=++++ ，即展开式系数和②令0=x ，则有：)0()102(0f a n=+⨯=，即常数项③令1-=x ，设n 为偶数，则有：)1()1)1(2(3210-=+-⨯=++-+-f a a a a a nn ，所以)1(((13120-=+++-+++-f a a a a a a n n ）），即偶次项系数和与奇次项系数和的差，由①③即可求出）n a a a +++ 20(和）131(-+++n a a a 的值例19.已知0199101052)123(a x a x a x a x x ++++=+- ，求29753121086420)()(a a a a a a a a a a a ++++-+++++的值.分析：令1=x ，得510102=+++a a a ，令1-=x ，得59753110864206)()(=++++-+++++a a a a a a a a a a a ，所以555297531210864201262)()(=⨯=++++-+++++a a a a a a a a a a a 求展开式系数和，充分利用赋值法.赋值时，一般地，对于多项式nn nx a x a x a a px x g ++++=+= 2210)1()(有以下结论：⑴)(x g 的二项式系数和为n2；⑵)(x g 的奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和12-=n ；⑶)(x g 的各项系数和为)1(g ；⑷)(x g 的奇数项的系数和为)]1()1([21-+g g ；⑸)(x g 的偶数项的系数和为)]1()1([21--g g .例20.已知1111221092)1()1()1()2)(1(-++-+-+=-+x a x a x a a x x ，则1121a a a +++ 的值为.分析：本题虽然等式左侧复杂，但仍然可通过对x 赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点可令2=x ，得到011210=++++a a a a ，只需要再求出0a 即可.令1=x 可得20-=a ，所以21121=+++a a a .例21.设443322104)22(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为.分析：所求))(()()(43210432102312420a a a a a a a a a a a a a a a +-+-++++=+-++，在恒等式中令1=x 可得443210)22(+=++++a a a a a ，令1-=x 可得44321022(-=+-+-a a a a a ，所以16)22(22()()(442312420=-+=+-++a a a a a 例22.若55443322105)32(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则||||||||||||543210a a a a a a +++++等于.分析：虽然5)32(x -的展开式系数有正有负，但5)32(x -与5)32(x +对应系数的绝对值相同，且5)32(x +展开式的系数均为正数.所以只需计算5)32(x +的展开式系数和即可.1=x 可得系数和为55，所以55432105||||||||||||=+++++a a a a a a .例23.若)(2206220N n C C n n ∈=++，且n n n x a x a a x +++=- 10)2(，则n n a a a a )1(210-+-+- 等于.分析：由2206220++=n n C C 可得262+=+n n 或202)62(=+++n n ，解得4=n ，所求表达式只需令1-=x ，可得81)]1(2[)1(4210=--=-+-+-n na a a a .例24.已知nn nx a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(，若n a a a n -=+++-29121 ，则n 的值为.分析：在恒等式中令1=x 可得系数和12)12(222221210--=+++=++++-n nn a a a a ，与条件联系可考虑先求出0a ，n a ，令0=x ，可得n a =0，展开式中n a 为最高次项系数，所以1=n a ，所以12211210---=+++++-n a a a a n n ,所以n n n -=---+291221，即3221=+n ，解得4=n .例25.55443322105)32(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则5432105432a a a a a a +++++的值是.分析：设55443322105)32()(x a x a x a x a x a a x x f +++++=-=所以45342321454322)32(5)(x a x a x a x a a x x f ++++=⋅-='，令1=x 可得54321543210a a a a a ++++=而在55443322105)32(x a x a x a x a x a a x +++++=-中，令0=x ，可得243350-=-=a ，所以2335432543210-=+++++a a a a a a .例26.已知10102210)(x a x a x a a x g ++++= ，9910)(x b x b b x h +++= ，若)()()1()21)(1(1019x h x g x x x +-=-+，则=9a .分析：由条件中恒等式的特点可得对应项的系数相等，在)()1(10x g x -中，与9a 相关的最高次项为19x ，故以此为突破口求9a ，等式左边19x 的系数为18181919)2()2(-+-C ，而右边19x 的系数为9910109)1(-⋅+C a a ，所以181819199910109)2()2()1(-+-=-⋅+C C a a ，只需再求出10a 即可，同样选取含10a 的最高次项，即20x ，左边20x 的系数为19)2(-，右边20x 的系数为10a ，所以1910)2(-=a ，从而解得18923⨯-=a .题型5逆用例27.=++⋅+⋅+-12321666n nn n n n C C C C .答案：)17(61-n例28.=++++-n n n n n n C C C C 1321393 .答案：314-n 题型6应用例29.证明：)(98322*+∈--N n n n 能被64整除分析：21111101211111011111211111011122888981)1(888898888898)18(989983-++++-+++++++-++++++++++=--++++++=--+++++=--+=--=--n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C n n C C C n C C C C C n n n 由于各项均能被64整除所以)(98322*+∈--N n n n 能被64整除.例30.已知*∈N n ，求证：1522221-++++n 能被31整除.分析：132122121222155152-=-=--=++++-n n n n 113131311)131(111-+⨯++⨯+=-+=--n n n n n n C C )3131(311211---++⨯+⨯=n n n n n C C 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.。
(完整版)二项式定理知识点和各种题型归纳带答案
二项式定理1．二项式定理：(a b)n C n0a n C1n a n 1b L C n r a n r b r L C n n b n (n N )，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数C n r (r 0,1,2, ,n) .③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1项C n r a n r b r叫做二项式展开式的通项。
用T r 1 C n r a n r b r表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(n 1) 项。
②顺序：注意正确选择a, b ,其顺序不能更改。
(a b)n与(b a)n是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是数是a与b 的系数(包括二项式系数) 。
4．常用的结论：令a 1,b x, (1 x)n C n0C n1x C n2x2L C n r x r L C n n x n(n N )5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离” 的两个二项式系数相等，即C n0 C n n，···C n k C n k 1②二项式系数和：令a b 1, 则二项式系数的和为C n0C n1C n2L C n r L C n n2n，变形式C1n C n2 L C n r L C n n2n 1 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a1,b 1 ，则C n0 C n1 C n2C n3 L ( 1)n C n n (1 1)n 0 ，从而得到：C n0 C n2C n4C n2r C n1 C n3 L 2r 1Cn12n2n 1 2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：C n,C n,C n , ,C n, ,C n .项的系令a 1,b x, (1 x)n C n0 C1n x C n2x2 L C n r x r L ( 1)n C n n x n (n N )n 2 2解：由条件知 C n n 2 45 ，即 C n 2 45 ， 2n 2 n 90 0 ，解得 n9(舍去 )或n 10 ，由(a x)nC n 0a n0xC n 1a n 1xC n 2a n 22 x L n 0 n 1 C n a x a 0 a 1x 2na 2x La n x(x a)nC n 0a0nx 1C n axn1C n 2a 2 n2xLn n 0 nC n a x a n x L21 a 2x a 1x a令x 1, 则 a 0 a 1 a 2a 3Lan(a 1)n①令x 1,则a 0a1a2a3L a n (a 1)n②① ②得,a 0 a2a 4L an(a1)n (a 2 1)(奇数项的系数和 )①②得,a 1a3a 5La n(a 1)n (a21)(偶数项的系数和)n⑤二项式系数的最大项： 如果二项式的幂指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式系数 C n 2 取得最大值。
二项式定理常见题型(老师用)
二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C ab -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n nn n n n n C C C C C ++++++=L L ，变形式1221r n nn n n n C C C C +++++=-L L 。
二项式定理题型
二项式定理题型一、求二项展开式中的特定项1. 题目- 求二项式(2x - (1)/(x))^6展开式中的常数项。
2. 解析- 根据二项式定理(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，对于(2x-(1)/(x))^6，a = 2x，b=-(1)/(x)，n = 6。
- 展开式的通项公式为T_r+1=C_6^r(2x)^6 - r(-(1)/(x))^r。
- 化简T_r + 1=C_6^r(2x)^6 - r(-(1)/(x))^r=C_6^r2^6 - rx^6 - r(-1)^rx^-r=C_6^r2^6 - r(-1)^rx^6 - 2r。
- 要求常数项，则令x的指数6-2r = 0，解得r = 3。
- 把r = 3代入通项公式中，可得常数项为C_6^32^6 - 3(-1)^3。
- 计算C_6^3=(6!)/(3!(6 - 3)!)=(6×5×4)/(3×2×1)=20。
- 所以常数项为20×2^3×(-1)=-160。
二、求二项展开式的系数和1. 题目- 已知二项式(1 + 2x)^n，设(1 + 2x)^n=a_0+a_1x + a_2x^2+·s+a_nx^n，求a_0+a_1+a_2+·s+a_n的值。
2. 解析- 令x = 1，则(1+2×1)^n=(1 + 2)^n=3^n。
- 此时(1 + 2x)^n变为a_0+a_1×1+a_2×1^2+·s+a_n×1^n，即a_0+a_1+a_2+·s+a_n=3^n。
三、二项式系数的性质相关题目1. 题目- 在二项式(x + y)^n的展开式中，二项式系数最大的项是第5项和第6项，求n的值。
2. 解析- 当n为偶数时，二项式系数最大的是中间一项，即第(n)/(2)+1项；当n为奇数时，二项式系数最大的是中间两项，即第(n + 1)/(2)项和第(n+3)/(2)项。
考向38 二项式定理全归纳(十五大经典题型)(原卷版)
考向38二项式定理全归纳经典题型一：求二项展开式中的参数 经典题型二：求二项展开式中的常数项 经典题型三：求二项展开式中的有理项 经典题型四：求二项展开式中的特定项系数 经典题型五：求三项展开式中的指定项经典题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 经典题型七：求二项式系数最值 经典题型八：求项的系数最值经典题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 经典题型十：求奇数项或偶数项系数和 经典题型十一：整数和余数问题 经典题型十二：近似计算问题 经典题型十三：证明组合恒等式 经典题型十四：二项式定理与数列求和 经典题型十五：杨辉三角（2022·全国·高考真题）81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为________________（用数字作答）．（2022·浙江·高考真题）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =__________，12345a a a a a ++++=___________．知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题（1）二项式定理 一般地，对于任意正整数，都有：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的r n r rnC a b -做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr n T C a b -+=，其中的系数r n C （r =0，1，2，…，n ）叫做二项式系数， （2）二项式()n a b +的展开式的特点： ①项数：共有1n +项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；④项的系数：二项式系数依次是012r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，，项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）．（3）两个常用的二项展开式：①（）②（4）二项展开式的通项公式二项展开式的通项：1r n r rr nT C a b -+=()0,1,2,3,,r n =⋯ 公式特点：①它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是；②字母b 的次数和组合数的上标相同； ③a 与b 的次数之和为n ．注意：①二项式()n a b +的二项展开式的第r +1项和()n b a +的二项展开式的第r +1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．②通项是针对在()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项是（只需把b -看成b 代入二项式定理）． 2、二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质①每一行两端都是1，即0nn n C C =；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即nn b a )(+011()(1)(1)n n n r r n r rn n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅*N n ∈122(1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++rn C r n r r n C a b -r n r r n C b a -1(1)r r n r rr n T C a b -+=-11m m m n nn C C C -+=+． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=．③二项式系数和令1a b ==，则二项式系数的和为0122rn n n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令11a b ==-，，则0123(1)(11)0n nn nn n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⋅=．⑤最大值：如果二项式的幂指数n 是偶数，则中间一项12n T +的二项式系数2n nC 最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，则中间两项12n T +，112n T ++的二项式系数12n nC-，12n nC+相等且最大．（2）系数的最大项求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为121n A A A +⋅⋅⋅，，，，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来． 知识点3、二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对a ，b 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取a ，b 的值．①令，可得：②令11a b ==，，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得： ．（2）若121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++++，则①常数项：令0x =，得0(0)a f =．②各项系数和：令1x =，得0121(1)n n f a a a a a -=+++++．③奇数项的系数和与偶数项的系数和()011222nn n n r n r rn nnn n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++1a b ==012n n n n n C C C =+++()012301nnn n n nn C C C C C =-+-+-02131n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++n 0213112n n n n n n n n n C C C C C C --+++=+++=（i ）当n 为偶数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a +-+++=；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a --+++=． （可简记为：n 为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） （ii ）当n 为奇数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a --+++=；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a +-+++=．（可简记为：n 为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若1210121()n n n n f x a a x a x a x a x --=+++++，同理可得．注意：常见的赋值为令0x =，1x =或1x =-，然后通过加减运算即可得到相应的结果．1、求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（）.（1）第项：：此时k +1=m ,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程. （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 2、解题技巧：（1）形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．（2）对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． （3）若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝(1)(1)2f f +-，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝(1)(1)2f f --.经典题型一：求二项展开式中的参数0,1,2,,k n =m1．（2022·湖南·模拟预测）已知6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-，则实数=a （ ） A ．2 B ．-2C ．8D ．-82．（2022·全国·高三专题练习）62ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为－160，则a ＝（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．23．（2022·全国·高三专题练习）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则=a （ ）A ．2B ．-2C ．2或-2D ．4经典题型二：求二项展开式中的常数项4．（2022·广东广州·高三阶段练习）若2nx x ⎛⎝的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为（ ） A ．160-B ．160C ．1120-D ．11205．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知53a x x ⎛⎝（a 为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（ ） A ．-90B ．-10C ．10D ．906．（2022·山东青岛·高三开学考试）在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80B ．80-C ．160D ．160-7．（2022·全国·高三专题练习）已知二项式1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（ ） A ．120-B ．20-C ．15D ．20经典题型三：求二项展开式中的有理项8．（2022·江苏南通·高三阶段练习）21031(2x x的二项展开式中有理项有（ ） A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项9．（2022·全国·高三专题练习（理））若65(32)n x x 的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数n 的取值为（ ） A ．4B ．6或8C ．7或8D ．810．（2022·重庆市第十一中学校高三阶段练习）已知二项式()nx n N x *⎛∈ ⎝的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式中有理项的系数之和为（ ） A ．119B ．168C ．365D ．52011．（2022·全国·高三专题练习）在243(2x x的展开式中，有理项共有（ ） A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项12．（2022·全国·高三专题练习（理））若21nx x ⎫⎪⎭展开式中只有第四项的系数最大，则展开式中有理项的项数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4经典题型四：求二项展开式中的特定项系数13．（2022·湖北·高三开学考试）已知二项式13nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x 的系数为（ ） A ．405-B ．405C ．81-D ．8114．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）在812x x ⎫⎪⎭的展开式中5x 的系数为（ ） A ．454B ．458-C ．358D ．715．（2022·全国·高三专题练习）在2()n x x -的展开式中，若二项式系数的和为32，则1x的系数为（ ） A ．80-B ．80C ．40-D ．4016．（2022·全国·高三专题练习（理））()()()239111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中2x 的系数是（ ） A ．45B ．84C ．120D ．21017．（2022·全国·高三专题练习）若()1nx +的展开式中，某一项的系数为7，则展开式中第三项的系数是（ ） A ．7B ．21C ．35D ．21或35经典题型五：求三项展开式中的指定项18．（2022·全国·高三专题练习）511x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（ ）A ．5B ．-5C ．15D ．-1519．（2022·江西南昌·高三阶段练习）5144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含3x -的项的系数为（ ） A ．1-B ．180C ．11520-D ．1152020．（2022·全国·高三专题练习）()423x y z +-的展开式中，所有不含z 的项的系数之和为（ ） A ．16B ．32C ．27D ．8121．（2022·全国·高三专题练习）()421x y x ++的展开式中22y x的系数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1222．（2022·全国·高三专题练习）在()5223x x --的展开式中含10x 和含2x 的项的系数之和为（ ） A ．674-B ．675-C ．1080-D ．148523．（2022·全国·高三专题练习）()635x y -的展开式中，22x y 的系数为（ ）A ．135-B ．75-C ．75D ．135经典题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 24．（2022·浙江邵外高三阶段练习）()()6x y x y +-的展开式中34x y 的系数是________．（用数字作答）25．（2022·全国·高三专题练习）()6213x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为__________．26．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）232345012345(1)(23)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则4a =_________.27．（2022·全国·高三专题练习）已知522a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的各项系数和为3-，则该展开式中的常数项为______.28．（2022·河北邢台·高三开学考试）()631x x x ⎛+ ⎝展开式中的3x 项的系数是______.29．（2022·浙江·杭十四中高三阶段练习）25()y x x x y ⎛⎫⎪⎭+ ⎝+的展开式中24x y 的系数为___________.（用数字作答）30．（2022·四川·树德中学高三阶段练习（理）） 6211(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为______.31．（2022·全国·高三专题练习）已知()52345601234561(1)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则03a a +的值为___________.32．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知51m x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为20，则m =___________.经典题型七：求二项式系数最值33．（2022·全国·高三专题练习）在()1nx +（*n ∈N ）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n 的值不可能是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1034．（2022·全国·高三专题练习）7(12)x +展开式中二项式系数最大的项是（ ） A ．3280xB ．4560xC ．3280x 和4560xD ．5672x 和4560x35．（2022·湖南·高三阶段练习）设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．836．（2022·全国·高三专题练习）5a x x ⎫⎪⎭的展开式中x 的系数等于其二项式系数的最大值，则a 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．2-经典题型八：求项的系数最值37．（2022·全国·高三专题练习）已知(13)n x -的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________．38．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）()91-x 的展开式中系数最小项为第______项． 39．（2022·全国·高三专题练习）若4()x xn 展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．经典题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和40．（2022·全国·高三专题练习）若7270127(1)x a a x a x a x -=++++，则1237a a a a ++++=_________.（用数字作答）41．（2022·全国·高三专题练习）设()20202202001220201ax a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，若12320202320202020a a a a a +++⋅⋅⋅+=则非零实数a 的值为（ ）A ．2B ．0C ．1D ．-142．（2022·全国·高三专题练习）已知202123202101232021(1)x a a x a x a x a x +=+++++，则20202019201820171023420202021a a a a a a ++++++=（ ）A ．202120212⨯B ．202020212⨯C ．202120202⨯D ．202020202⨯43．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）若()()()220222022012022111x x x a a x a x ++++++=+++，则（ ）A ．02022a =B ．322023a C =C ．20221(1)1ii i a =-=-∑D ．202211(1)1i i i ia -=-=∑经典题型十：求奇数项或偶数项系数和44．（2022·浙江·模拟预测）已知多项式()4228012832-+=++++x x a a x a x a x ，则1357a a a a +++=_______，1a =________．45．（2022·全国·模拟预测）若()()9911x ax x +-+的展开式中，所有x 的偶数次幂项的系数和为64，则正实数a 的值为______．46．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知2220122(2)1+)1+)...1+)n n n x a a x a x a x +=++++（（（，若15246222...21n n a a a a a -+++++=-，则n =_____________.47．（2022·全国·高三专题练习）若9290129(2)(1)(1)(1)++=+++++⋅⋅⋅++x m a a x a x a x ，且()()22028139++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+a a a a a a 93=，则实数m 的值可以为（ ） A ．1或3-B ．1-C ．1-或3D ．3-经典题型十一：整数和余数问题48．（2022·全国·高三专题练习（理））设0122191919191919C C 7C 7C 7a =++++，则a 除以9所得的余数为______．49．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）20222除以7的余数为_______． 50．（2022·福建漳州·三模）711除以6的余数是___________．51．（2022·全国·高三专题练习）091827899995555C C C C ++++被7除的余数是____________．52．（2022·天津市第七中学模拟预测）已知n 为满足()12320222022202220222022C C C C 3T a a =+++++≥能被9整除的正整数a 的最小值，则()()221nxx x -+-的展开式中含10x 的项的系数为______．53．（2022·全国·高三专题练习）若1002100012100(21)x a a x a x a x +=++++，则()1359923a a a a ++++-被8整除的余数为___________.54．（2022·浙江·高三专题练习）设a ∈Z ，且0≤a ≤16，若42021+a 能被17整除，则a 的值为 _____.经典题型十二：近似计算问题55．（2022·河南南阳·高三期末（理））81.02≈__________（小数点后保留三位小数）． 56．（2022·山西·应县一中高三开学考试（理））6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________．57．（2022·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据100.98的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.经典题型十三：证明组合恒等式58．（2022·全国·高三专题练习）（1）设m 、*n N ∈，m n ≤，求证：1111m mn n n C C m +++=+； （2）请利用二项式定理证明：()2*3213,n n n n N >+≥∈.59．（2022·江苏省天一中学高三阶段练习）已知*0()()nk k n n k f x C x n N ==∈∑.（1）若456()()2()3()g x f x f x f x =++，求()g x 中含4x 项的系数； （2）求：012112323n m m m m n C C C nC -++++++++.60．（2022·江苏·泰州中学高三阶段练习）（1）设()(12),()n f x x f x =+展开式中2x 的系数是40，求n 的值；（2）求证：11(1)0(2,)nk k n k kC n n N +*=-=≥∈∑经典题型十四：二项式定理与数列求和61．（2022·全国·高三专题练习（理））令n a 为()11n x ++的展开式中含1n x -项的系数，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A ．()32n n + B ．()12n n + C ．1n n + D ．21nn + 62．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的第5项是61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项，则28a a +=（ ） A ．20B ．20-C ．40D ．40-63．（2022·河北保定·二模）若n 为等差数列4,2,0,--中的第7项，则二项式21(2)n x x-展开式的中间项系数为（ ）A ．1120B ．1120-C ．1792D ．1792-64．（2022·江西新余·二模（理））已知等差数列{}n a 的第5项是6122x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项，则该数列的前9项的和为（ ） A ．160B ．160-C ．1440D ．1440-经典题型十五：杨辉三角65．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除两端的数字是1以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数n ，第2n 行中最大的数为x ，第21n 行中最大的数为y ，且137x y =，则n 的值为______．66．（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则第10条斜线上，各数之和为______.67．（2022·全国·高三专题练习（文））“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是______．68．（2022·全国·高三专题练习）如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1,3,3,4,6,5,10, ，记此数列的前n项之和为n S，则23S 的值为__________.1．（2022·北京·高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（ ）A ．40B ．41C ．40-D ．41-2．（2020·山东·高考真题）在821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，第4项的二项式系数是（ ）A ．56B ．56-C ．70D ．70-3．（2020·北京·高考真题）在5(2)x 的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5-B ．5C ．10-D ．104．（2020·全国·高考真题（理））25()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．205．（2022·天津·高考真题）523x x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为______.6．（2021·天津·高考真题）在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．7．（2020·天津·高考真题）在522x x ⎛ ⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________． 8．（2020·全国·高考真题（理））262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．9．（2021·浙江·高考真题）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.10．（2020·浙江·高考真题）设52345123456(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a =________；123a a a ++=________．。
(完整版)二项式定理十大典型例题纯版(最新整理)
练： 求(1 3 x )6 (1 1 )10 展开式中的常数项. 4x
系数分别
为
A1,
A2 ,,
An1 ，设第 r
1
项系数最大，应有
Ar
1
Ar1
Ar Ar 2
，从而解出 r
来。
专题一
题型一：二项式定理的逆用；
例： Cn1 Cn2 6 Cn3 62 Cnn 6n1
.
解： (1 6)n Cn0 Cn1 6 Cn2 62 Cn3 63 Cnn 6n 与已知的有一些差距，
C 4 r 1 r 1 12
，化简得到 9.4
r
10.4 ，又0
r
12 ，
r
10 ，展开式中系数最大的项为 T11 ,有 T11
(
1 2
)12
C10 12
410
x10
16896x10
练：在 (1 2x)10 的展开式中系数最大的项是多少？
解：假设 Tr1 项最大，Tr1 C1r0 2r xr
1．二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnr anrbr Cnnbn (n N ) ，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做 (a b)n 的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数 Cnr (r 0,1, 2,, n) . ③项数：共 (r 1) 项，是关于 a 与 b 的齐次多项式
3 ， T10
(1)3C99 x3
x3 。
题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
例：若 ( x2 1 )n 展开式中偶数项系数和为 256 ，求 n . 3 x2
解：设 (
x2
3
二项式定理九种常见的考查题型归纳
二项式定理常见的题型归纳吴友明 整理题型一：指定项有关的问题 例1.在12)13(xx -展开式中,3-x 的系数为 . 解析:由二项式定理的通项公式得1121212211212(3)(3(1)r r rr r r r rr T C x C x x ----+=⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅ 312122123(1)rrrr C x--=⋅-⋅⋅.令31232r -=-可得10r =,即121010103311123(1)594T C x x ---=⋅-⋅⋅=.故3-x 项的系数为594.点评:解决此类问题的一般策略是：先求二项式展开式的通项，再利用化简后的通项与指定项之间的联系求解。
特别题型解题之前先确认题目是求二项式的展开式的系数或二项式的系数，另外二项式的展开式的通项化简时，要注意指数运算的性质的准确运用.练习.若n xx x )1(3+的展开式的常数项为84,则n = .解析:由二项式定理的通项公式得333321()r r n rrr n rr nnT C x C xx---+=⋅⋅=⋅⋅932n rr nC x-=⋅.令9302n r -=可设3,2n k r k ==,其中k N +∈. 故有23384r k kn k k C C C ===,解得3k =.故39n k ==.题型二：有理项有关的问题例2. 二项式24展开式中，有理项的项数共有（ ）项A. 3B. 4C. 5D. 7 解析:由二项式定理的通项公式得241136424r !2424T ---+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭rrr r r C x x C x，其中0,1,2,,24r =L ， 由题意得364r Z -∈，则0,4,8,12,16,20,24r =，所以共有7个有理项点评: 有理项是指变量的指数是整数（可以是正整数，也可以是负整数和零）的项，所以此类问题的一般解题思路是：先求二项式的展开式的通项，化简后令x 的指数为整数解决问题。
二项式定理各种题型归纳
应用一：二项式展开
二项式展开是指将二项式(a+b)^n通过二项式定理拆开求解。这种方法使得计算大指数的表达式更加快速和方 便，同时也展示了数学中的美妙和规律。
应用二：二项式系数
二项式系数是二项式定理中的系数部分，表示每一项的系数。二项式系数具 有很多有趣的性质和应用，如计算排列组合、数学归纳法等，帮助解决实际 问题。
二项式定理各种题型归纳
二项式定理是一种重要的数学定理，它在许多数学问题中都有广泛的应用。 本次演示将归纳介绍二项式定理的不同题型和应用，帮助大家更好地理解和 运用该定理。
二项式定理的定义
二项式定理是指数为自然数的二项式的展开公式，它用于计算形如(a+b)^n的表达式。在计算多项式乘方以及 排列组合中，二项式定理起到关键的作用。
Байду номын сангаас
应用三：二项式定理的逆运算
二项式定理的逆运算是通过已知多项式求解其对应的二项式系数。这个逆运 算在计算概率和统计问题中十分重要，帮助我们从结果获取更多有关的信息。
应用四：二项式定理在排列组合中的应用
排列组合是运用二项式定理解决问题的重要领域。通过应用二项式定理，我们可以计算组合、计算概率、解决 生产排列问题等，为我们提供更多的解决思路。
总结和应用建议
通过本次演示，我们归纳了二项式定理的不同题型和应用。学习和理解这些 内容有助于我们更好地掌握和运用二项式定理，解决各种实际问题，提高数 学思维和计算能力。
二项式定理10种题型
二项式定理10种题型
二项式定理相关的10种题型如下：
1. 利用通项公式求某项的系数。
2. 利用通项公式求某项的值。
3. 利用通项公式确定有理项。
4. 利用通项公式确定系数和。
5. 求奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和。
6. 求二项式定理中的最大系数和最大项。
7. 含有三项变两项的问题。
8. 两个二项式的乘法问题。
9. 奇数项的系数和与偶数项的系数和。
10. 利用赋值法求解二项式定理中的系数和或者特定项的值。
此外，常见的题型还有求展开式的各项系数和、求展开式的常数项等。
如需更多关于二项式定理的题型，建议咨询数学教师或查阅数学教材教辅材料，获取更全面的题型资料。
二项式定理题型种种及解析
二项式定理题型种种及解析
二项式定理主要应用在排列组合概念上，可以求解给定n个物体，选择m个物体排列组合成一组并且可以重复计算出选择不同个数的物体组合的数量。
二项式定理考题主要有以下几种：
一、从n个元素中取m个元素的所有可能性
这种考题的关键就在于搞清楚n个元素中取m个元素的所有可能性有多少种。
二项式定理可以游刃有余的解决这种题目，前提条件是没有重复的元素选择。
具体的求解方法是运用二项式定理：Cnm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)／m!
二、从n个元素中取m个元素的组合数
二项式定理也可以求解从n个元素中取m个元素的组合数，它可以求出在选取不需要重复元素的情况下，挑选m个组合的数量。
公式是：组合数＝C（n，m）/m!
三、n的阶乘的计算
二项式定理也可以求解n的阶乘，其计算公式是：n!=n(n－1)(n－2) (1)
／2!，也就是二项式定理中NSm=0时的值。
二项式定理的几种重要题型
题型10
近似计算问题 文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
例17:计算 (1)(0.997)3旳近似值(精确到0.001) (2)(1.009)5旳近似值(精确到0.001)
总结
求二项展开式系数和，经常得用赋值法，设 二项式中旳字母为1或-1，得到一种或几种等 式，再根据成果求值
题型7 三项式转化为二项式 文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
例11 求( x 1 1 )8展开式中的常数项 x
解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式
( x 1 1 )8 [( x 1 ) 1]8
)2Cn4
(
偶
2
)4
所以 bn 为奇数 故选(A)
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
例3 求 x 3 x 9展开式中旳有理项
解:
Tr1
C9r
(x
1 2
)9r
(x
1 3
)r
(1)r
C9r
x
27r 6
令 27 r Z即4 3 r Z(r 0,1 9)
6
6
r 3或r 9
r 3
28
x12
y8
例15求 (1 2) 旳展开式中数值最大旳项 50
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
解：设第 r 1项是是数值最大旳项
TTrr
1 1
Tr Tr
2
C5r0 (
2)r
C r1 50
(
2 )r1
C5r0 (
2)r
C r1 50
(
2 )r1
r 102 51 2 r 101 51 2
5(x 1)
解(1):将原式变形
原式 Cn01n Cn11n1 2 Cn21n2 22 Cnn 2n
二项式定理中常考的几种题型
二项式定理中常考的几种题型一、求二项式展开式中指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定r的值，进而求出指定的项。
1. 求常数项例1 （2006年山东卷）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（）A. －45iB. 45iC. －45D. 45解：第三项、第五项的系数分别为，由题意有整理得解得n=10设常数项为则有得r=8故常数项为，选D。
2. 求有理项例2 已知的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。
解：展开式的前三项的系数分别为则由题意可得即解得n=8（n=1舍去）于是若为有理项，则，且，所以r=0，4，8。
故展开式中所有的有理项为3. 求幂指数为整数的项例3 （2006年湖北卷）在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（）A. 3项B. 4项C. 5项D. 6项解：所以r=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，故选C。
4. 求系数最大的项例4 已知的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项。
解：由只有第五项的二项式系数最大，可知展开式共有9项，故n=81又设第r+1项的系数最大，则有解得又，所以r=2或r=3所以二项式的展开式中系数最大的项是二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏。
例5 （2005年湖北卷）的展开式中整理后的常数项为________。
解：对于二项式的展开式中要得到常数项需10－r=5，则r=5所以常数项为例6 （2005年浙江卷）在展开式中，含的项的系数是（）A. 74B. 121C. －74D. －121解：的展开式中，含的项为，故选D。
三、求展开式中某一项的二项式系数或系数此类问题仍然是利用二项式的通项公式来加以求解，但在解题中要注意某一项的二项式系数与系数的区别。
二项式定理题型归纳
二项式定理题型归纳【类型1：求二项展开式】例1：求41⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的二项展开式；变式1：求()532b a -的二项展开式；变式2：求62⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式；例2：若()yi x i +=+521（其中R y x ∈、），则_______________,==y x ；【类型2：求二项展开式中的某一项】例1：求()121a +的二项展开式中的倒数第5项；变式1：求73312⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的二项展开式中的第5项；变式2：531⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式的第3项小于第4项，求x 的取值范围；变式3：若()5lg 1x x +展开式的第四项为410，则________=x ；【类型3：求二项展开式中的某一项系数】例1：求()712+x 的二项展开式的第4项的系数；变式1：求91⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中3x 项的系数；变式2：求下式中含8x 的项的系数：()()()()10321111x x x x ++++++++ ；例2：已知nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-321的展开式中第3项的二项式系数是66，求展开式中3x 的项的系数；变式1：如果x x ⎪⎭ ⎝-32展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，求展开式的中间项；变式2：已知n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x 的一次项；变式3：已知()nx x 62-的展开式中，第3项的系数与第5项的系数之比是1:4，且第4项等于-1600，求x 的值；例2：求()721x +的展开式中系数最大的项；变式1：已知*∈N n m 、,()()()nm x x x f +++=11的展开式中含x 项的系数为19， （1）求()x f 的展开式中含2x 项的系数的最小值； （2）当()x f 的展开式中含2x 项的系数取最小值时，求含7x 项的系数；例2：已知x x ⎪⎭ ⎝+42的二项展开式中，前三项系数成等差数列，求二项展开式中的所有有理项；变式：【类型4：求二项展开式的常数项】 例1：求1531⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 二项展开式中的常数项；变式：求18319⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 二项展开式中的常数项；【类型5：二项式系数的性质】例1：求证:n n n n n n n n n C C C C 4339311121=+++++-- ；变式：求证：n n n n n n n n n C C C C 3224211121=+++++-- ；例2：_________1111311111=+++C C C ；变式1：_________11211101210=++++++++++++n n n n n n n n n n C C C C C C C C ；例3：若()016677713a x a x a x a x ++++=- ，求167a a a +++ 的值；变式：已知()14141313221072321x a x a x a x a a x x +++++=+- ；（1）求14210a a a a ++++ ； （2）求1331a a a +++ ；例4：求()()()()10101033322211b a b a b a b a ++++ 的展开式中所有项的系数和； 【类型6：二项式定理的应用】例1：求证：15051-能被7整除；变式1：求5555被8除所得的余数；变式2：求证：17777-能够被19整除；变式3：求证：11110-能被100整除；例3：用()nx x n +≈+11，求下列数的近似值：（1）()6001.1； （2）()4997.0变式：求下列数的近似值：（1）9002.1 （2）49998.1。
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二项式定理中常考的几种题型
一、求二项式展开式中指定项
在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定r的值，进而求出指定的项。
1. 求常数项
例1 （2006年山东卷）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为
，其中，则展开式中常数项是（）
A. －45i
B. 45i
C. －45
D. 45
解：第三项、第五项的系数分别为，由题意有
整理得
解得n=10
设常数项为
则有
得r=8
故常数项为，选D。
2. 求有理项
例2 已知的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。
解：展开式的前三项的系数分别为
则由题意可得
即
解得n=8（n=1舍去）
于是
若为有理项，则，且，所以r=0，4，8。
故展开式中所有的有理项为
3. 求幂指数为整数的项
例3 （2006年湖北卷）在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（）
A. 3项
B. 4项
C. 5项
D. 6项
解：
所以r=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，故选C。
4. 求系数最大的项
例4 已知的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项。
解：由只有第五项的二项式系数最大，可知展开式共有9项，故n=8
又
设第r+1项的系数最大，则有
解得
又，所以r=2或r=3
所以二项式的展开式中系数最大的项是
二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项
有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏。
例5 （2005年湖北卷）的展开式中整理后的常数项为________。
解：
对于二项式的展开式中
要得到常数项需10－r=5，则r=5
所以常数项为
例6 （2005年浙江卷）在展开式中，含的项的系数是（）
A. 74
B. 121
C. －74
D. －121
解：的展开式中，含的项为
，故选D。
三、求展开式中某一项的二项式系数或系数
此类问题仍然是利用二项式的通项公式来加以求解，但在解题中要注意某一项的二项式系数与系数的区别。
例7 （2006年北京卷）在的展开式中，的系数是_________。
（用数字作答）
解：
令，得r=1
所以的系数为。
四、求展开式中的系数和
在涉及到求展开式中所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和的问题时，通常可以根据题目的结构特征，选择“赋值法”来加以解决。
例8 （2004年天津卷）若，则
=______________（用数字作答）。
解：取x=0，得
取x=1，得
故
=2003+1=2004
五、近似计算、证明整除及求余数问题
近似计算要首先注意精确度，然后选取展开式中前几项进行计算。
用二项式定理证明整除及求余数问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式来展开，常采用“配凑法”，“消去法”，结合整除的有关知识来解决。
例9 （2002年全国卷）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为（）
A. 115000亿元
B. 120000亿元
C. 127000亿元
D. 135000亿元
解：设到“十·五”末我国国内年生产总值为A，由复利公式或等比数列通项公式，得A=
故选C
例10 除以100的余数是___________。
解：＋92×90＋1（M为整数）=100M＋82×100＋81。
所以除以100的余数是81。
六、考查与其它知识交汇型问题
在知识点的交汇处命题，已成为新高考命题的一个趋势。
二项定理可以与组合、数列极限、杨辉三角等知识进行综合，而设计出新题。
例11 （2006年安徽卷）设常数a>0，展开式中的系数为，则=___________________。
解：
由，得r=2
又
所以。