二项式定理中常考的几种题型

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二项式定理的常见题型

《中学生数理他》特别奉献

编者的话：高考是一种竞技，考验的是平时的努力。要想在高考中取得优异成绩，贵在平时的训练，平日从严，高考坦然。练习就是高考，高考就是练习！面对即将到来的高考，在明确命题规律的基础上，平时的训练要有针对性，要学会总结。

理殆常g 理

2^8

一、求幕指数的值

例1若(加-弓"展开式中含*项的系数与含+

项的系数之比为-5,求"的值。

点评：利用二项展开式的通项公式求壽指数 n,主要是体现了方程思想在二项展开式中的应用，我们只要根据题目条件建立关于"的方程，即可使问题得到解决。答案：”=6。

五、近似计算问题

例5求0.998。的近似值，使误差小于0. 001。点评：因为0.9986=(1-0.002)6=1+6(-0.002)+ 15(-0.002)2+-+(-0.002)6,所以可以用二项式定理计算。T 3= 15(-0.002)2=0.00006<0.001,从第3项起，以后各项可以忽略不计，即0.9986= 1+6(-0.002) =0.988。(1+*)"=1+C 浪+C 怎2+...+c ：w"(nWN+),当力的绝对值与1相比很小且n 足够大时*2、/、d 等项在精确度允许的范围之内可以忽略不计。

二、求展开式的某一项或指定项的系数例2如果在的展开式中，前三

2 v x

项系数成等差数列，求展开式中的有理项。

点评：求展开式中某一特定的项或指定项的系数，常用待定系数法先确定r 的值，本题要注意展开式中的有理项与系数是有理数的项是两个不

同的概念。答案：生普九八=十6。

二项式定理中常考的几种题型

一、求二项式展开式中指定项

在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定r的值，进而求出指定的项。

1. 求常数项

例1 （2006年山东卷）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为

，其中，则展开式中常数项是（）

A. －45i

B. 45i

C. －45

D. 45

解：第三项、第五项的系数分别为，由题意有

整理得

解得n=10

设常数项为

则有

得r=8

故常数项为，选D。

2. 求有理项

例2 已知的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。

解：展开式的前三项的系数分别为

则由题意可得

即

解得n=8（n=1舍去）

于是

若为有理项，则，且，所以r=0，4，8。

故展开式中所有的有理项为

3. 求幂指数为整数的项

例3 （2006年湖北卷）在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（）

A. 3项

B. 4项

C. 5项

D. 6项

解：

所以r=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，故选C。

4. 求系数最大的项

例4 已知的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项。

解：由只有第五项的二项式系数最大，可知展开式共有9项，故n=8

又

设第r+1项的系数最大，则有

解得

又，所以r=2或r=3

所以二项式的展开式中系数最大的项是

二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项

有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏。

二项式定理的常见题型及解法特全版

)]4 的形式然后按照二项展开
式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
3 ．二项式展开式的“逆用”
例 3．计算 1 3 解：原式=
0
C
1 n
9 C n 27 C n .... (1) n 3n cn ； (3)1 C n (3) 2 C n (3) 3 .... C n (3) n (1 3) n (2) n
解： Tr 1
C
5
r
10
( x )10r ( 3
1 x
) r , 展开式的中间项为 C10 ( x ) 5 ( 3
5
1 x
)5
即： 252 x 6 。当 n 为奇数时， (a b) 的展开式的中间项是
n
C
n 2 n
n 1 2 n
n 2
a
n 1 2
n 2
b
n 1 2

1 的展开式中没有常数项，且 2≤n≤8， n N* ，．． 3 x
n
分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题 ( x
1 n ) 对 n N * , 2 剟n 3 x
8 中，
只有 n 5 时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与 x 、 x 2 乘积为常数的项。故填 5。（备用题）（05 年湖北卷） (

二项式定理的高考常见题型及解题对策

二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式 ----二项

式的乘方的展开式。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布

之一的二项分布有着密切联系。掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，

深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填

空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希

望能够起到抛砖引玉的作用。

题型一：求二项展开式

例1 .求（3j X 1 〒）4

的展开式;

V x

3x 解：原式=(3X

^ V x 1、4 (3x 1)4

一)= ----- 2—

1 0 4

1 3

茫©4网4

C 4

X)3

—(81x 4 84x 3 X

2 2

3 4

C 4

(3X )2

C 4

(3X ) C 』

12 = 81x 2

84x —

小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。

2. “（a b ）n ”型的展开式

例2•求（3低亠）4

的展开式;

v x

分析：解决此题，只需要把

（3J X ¥）4

改写成［3-f X v x

“ / I \

n ” 1. (a b)

型的展开式

54x 2

12x 1)

“先（于）］4

的形式然后按照二

项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的 3 •二项式展开式的 “问题转化” 能力。

二项式定理常见题型

二项式定理

1．二项式定理：

011

()()n n n r n r r

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++

+∈，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做()n

a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r

n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r

n r

r n C a

b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r

r n

T C a b -+=表示。 3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n

b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。各项的次数和

等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n

n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a

与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

令1,,a b x == 0122

(1)()n r r n n

n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122

(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-

+-∈

5．性质：

二项式定理的常见题型解析

Ｃｌ￣ｏ
，
相加得
２Ｓ＝１０·２即
Ｓ＝５·２，所以
Ｅａｎｂ２＝
∑ｎＣｉ＇ｏ＋∑ｃ＝５·２＋２一１＝６１４３．
四、整除问题利用二项式展开式来解决整除问题很方便，关键是如何拆分成二项的和．
（下转１２１页）
酸学学习与研究２０１８．３
岸），ｔａｎ／＿ＢＣＯ＝÷ （１）求新桥ｃ的长；（２）当ＯＭ多长ｊ
时，圆形保护区的面积最大？解（１）如图所示，以０为坐
标原点，Ｄｃ所在直线为轴，建立，，，
直角坐标系Ｏｙ．所以Ａ（ｏ，６ｏ），／
ｃ（１７ｏ，ｏ），ＢＣ斜率
解题技巧与方法 ●
·
· Baidu Nhomakorabea
●
由于圆Ｍ与直线ＢＣ相切，故Ｍ（Ｏ，ｄ）到直线ＢＣ的距
离是ｒ，即ｒ：
：６Ｔ８０－３ｄ
．
眯（６０－。，ｔ）￣８ｏ，即｛：。．
先，要明确其背景，选择合适的数学模型将问题数学化；其
应用题的解决过程是各种综合能力的集中反映．因此，在教学中，我们要十分重视应用题的教学，给学生足够的时间审的解决过程中培养学生分析问题和解决问题的能力，即培

二项式定理常见题型

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:

ﻩ

二项式定理

１．二项式定理:

011

()()n n n r n r r

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++

+∈,

２．基本概念：

①二项式展开式:右边的多项式叫做()n

a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r

n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数:共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第1r +项r

n r

r n C a

b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r

r n

T C a b -+=表示。 3.注意关键点:

①项数:展开式中总共有(1)n +项。

②顺序:注意正确选择a ，b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n

b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列。b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。各项的次数和等

于n ．

④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是012,,,,,,.r n

n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a

与b 的系数（包括二项式系数)。

４.常用的结论:

令1,,a b x == 0122

(1)()n r r n n

n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=+++

+∈

令1,,a b x ==- 0122

二项式定理常见题型

二项式定理

1．二项式定理：

011

()()n n n r n r r

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++

+∈，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做()n

a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r

n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r

n r

r n C a

b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r

r n

T C a b -+=表示。 3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n

b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。各项的次数和

等于n .

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n

n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a

与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

令1,,a b x == 0122

(1)()n r r n n

n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=+++

+∈

令1,,a b x ==- 0122

(1)(1)()n r r

n n n

n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-

+++-∈

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)

二项式定理常见题型(老师用)

二项式定理

1．二项式定理：

011()()n n n r n r r n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做()n

a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r

n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r

n r

r n C a

b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r

r n

T C a b -+=表示。 3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n

b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。各项的次数和

等于n .

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n

n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a

与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *

+=++++++∈L L

令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *

-=-+-+++-∈L L

二项式定理九种常见的考查题型归纳

二项式定理常见的题型归纳

吴友明整理

题型一：指定项有关的问题例1.在12

)13(x

x -

展开式中,3-x 的系数为 . 解析:由二项式定理的通项公式得

11212122

112

12(3)(3(1)r r r

r r r r r

r T C x C x x ----+=⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅ 3

12122

(1)r

r C x

--=⋅-⋅⋅.

令3

1232

r -

=-可得10r =,即12101010

3311123(1)594T C x x ---=⋅-⋅⋅=.

故3

-x 项的系数为594.

点评:解决此类问题的一般策略是：先求二项式展开式的通项，再利用化简后的通项与指定项之间的联系求解。特别题型解题之前先确认题目是求二项式的展开式的系数或二项式的系数，另外二项式的展开式的通项化简时，要注意指数运算的性质的准确运用.

练习.若n x

x x )1(3

的展开式的常数项为84,则n = .

解析:由二项式定理的通项公式得

33332

1()

r r n r

r n r

r n

T C x C x

---+=⋅⋅=⋅⋅932

n r

r n

C x

-=⋅.

令9

302

n r -

=可设3,2n k r k ==,其中k N +∈. 故有23384r k k

n k k C C C ===,解得3k =.故39n k ==.

题型二：有理项有关的问题

例2. 二项式24

展开式中，有理项的项数共有（）项

A. 3

B. 4

C. 5

D. 7 解析:由二项式定理的通项公式得

241

136424

r !2424T ---+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭

二项式定理常见题型

二项式定理

1．二项式定理：

011

()()n n n r n r r

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++

+∈，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做()n

a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r

n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r

n r

r n C a

b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r

r n

T C a b -+=表示。 3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n

b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。各项的次数和

等于n .

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n

n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a

与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

令1,,a b x == 0122

(1)()n r r n n

n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=+++

+∈

令1,,a b x ==- 0122

(1)(1)()n r r

n n n

n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-

+++-∈

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)

二项式定理常见题型

3．计算1

927....(1)3n

n n

n n n n C C C C -+-++-；

5．(2x －1)6的展开式中x 2

的系数为( ) A ．15 B ．60 C ．120 D ．240

6．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3

x 项的系数是

8.求6

2)321(x x -+的展开式里x 5的系数.

9.求（1+x +x 2+x 3）（1－x ）7的展开式中x 4

的系数；

10.求（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50的展开式中x 3

的系数.

4.求系数最大或最小项 22．（00上海）在二项式11

)

1(-x 的展开式中，系数最小

的项的系数是；

29．（04天津）若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；

题型四：利用二项式定理求近似值

31．求6

998.0的近似值，使误差小于001.0；

题型五：利用二项式定理证明整除问题

32．（02潍坊模拟）求证：15151

-能被7整除。

33.若C n 1x ＋C n 2x 2＋…＋…＋C n n x n

能被7整除，则x ，n 的值可能为( )

A ．x ＝4，n ＝3

B ．x ＝4，n ＝4

C ．x ＝5，n ＝4

D ．x ＝6，n ＝5

解：原式=4)

13(x

x +=24

)13(x x +

=])3()3()3()3([144

34224314404

2C C C C C x x x x x ++++

二项式定理的常考题型

二项式定理是高中数学中的重要内容，常常作为数学考试的考点之一。在二项式定理中，最常考察的题型有以下几种：

1. 展开二项式：考生需要根据二项式定理的公式，将给定的二项式展开成多项式形式。这种题型考查考生对二项式定理的理解和应用能力。

2. 求二项式系数：考生需要根据二项式定理的公式，计算给定二项式中的某一项的系数。这种题型考查考生对组合数学的理解和计算能力。

3. 求二项式的特定项：考生需要根据二项式定理的公式，计算给定二项式中的某一项，并给出具体的数值。这种题型考查考生对二项式展开式的理解和运用能力。

4. 判断二项式的展开式：考生需要根据二项式的特定性质，判断给定的展开式是否是某个二项式的展开式。这种题型考查考生对二项式定理的理解和推理能力。

除了以上常见的题型外，还有一些拓展题型，如求二项式的和、证明二项式定理等，这些题型更加考查考生对二项式定理的深刻理解和灵

活运用能力。

总之，二项式定理的常考题型主要包括展开二项式、求二项式系数、求二项式的特定项和判断二项式的展开式等。掌握这些题型的解题方法和技巧，能够帮助考生在数学考试中取得更好的成绩。

二项式定理常见题型

二项式定理

1．二项式定理：

011

()()n n n r n r r

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++

+∈，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做()n

a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r

n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r

n r

r n C a

b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r

r n

T C a b -+=表示。 3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n

b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。各项的次数和

等于n .

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n

n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a

与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

令1,,a b x == 0122

(1)()n r r n n

n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=+++

+∈

令1,,a b x ==- 0122

(1)(1)()n r r

n n n

n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-

+++-∈

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)

二项式定理考题归类解析

二项式定理考题归类解析：

一、数学归类

1、二项式定理的推理求解：经常用于数学考试中，要求考生根据二项

式定理来推理出一些数学公式；

2、数学归类问题：该题考查考生对二项式定理的灵活运用，如果求解

题目中出现的通项公式；

3、二项式模型简单应用：这类考题要求考生根据二项式定理来解决简

单的模型问题，如求解一次二项式；

4、二项式定理特殊应用：考生需要理解二项式定理的特殊应用，如果

穷举求解二项式定理的特殊情况；

二、几何归类

1、几何证明与推导：几何归类考题最常见的问题是求几何图形的面积、周长等，通常要求考生根据二项式定理进行几何推导；

2、几何归类问题：这一类考题主要检测考生对二项式定理在几何形式

上的灵活运用能力，如求求解正方形的平行四边形的面积；

三、分析归类

1、归类恒立方形题：这是比较常见的一类归类题，要求考生根据恒立方根的性质，使用二项式定理来求解；

2、归类几何分析结构：考题要求考生根据几何结构特性，使用二项式定理来求解几何形状的属性；

3、归类几何结构分析：考题使用几何结构特性，结合二项式定理求出几何结构的属性；

四、应用归类

1、应用组合问题：根据二项式定理来解决一些应用问题，比如组合问题等，要求考生要分析讨论题目中涉及的实际情况；

2、归类排列组合问题：该类考题要求考生结合二项式定理的特点来解决题目中涉及的排列组合关系；

3、应用实际组合方法：考生结合二项式定理的特点，求解题目中的组合单位的实际组合方法；

4、应用不等式求解：考生根据题目给定的条件，合理使用二项式定理来求解不等式；