《2.2.3 解的存在性与唯一性》课件2-优质公开课-人教B版选修4-2精品

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人教版B版高中数学选修4-2：解的存在性与唯一性_课件1

由于矩阵变换Y=AX，把平面上的任意一个列
向看下量，的解原 xx12上象变面，成的而列方满向程足量x组1就xx121x是222xx2求2 2。列的从向列矩量向阵 12量变在换xx变12 的都换角是Y度=BA来在X
变换Y=AX下的原象，从而都是矩阵方程AX=B的解。
1 5

由于
1 2
1

2
2 1 1

5 2
5

1
5 5
故有
1

x1 x2

5 2 5
2 11
5 1
5

1 5

5 3
5

于是，原方程组的解为x1
例1和例2中都满足det(A)=0，但是例1中方程组无解，而例2中方程组有无数多解。
根据解题步骤我们可以看出，例1和例2 中A矩阵对应的都是投影变换，但列向量B不同，例1中的B不满足A所对应得投影变换的象，而例2中的B满足，所以例1中方程组无解，而例2中方程组有无数多解。
因此，det(A)=0是方程组有解无解还要看B。
解：原方程组对应的矩阵方程为
AX=B
其中
A

1 1
1
1

,
X

x1 x2
,B

1

2
由于矩阵变换Y=AX，把平面上的任意一个列向看量，解 xx12上变面成的列方向程量组就xx11是xx22求。列从向矩量阵 2变2 在换变的换角Y度=来AX 下的原象。但是，矩阵变换Y=AX的所有原象具有这

2.2解的存在唯一性定理

8
常微分方程
绵阳师范学院
下面分五个命题来证明定理,为此先给出下面分五个命题来证明定理为此先给出积分方程如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程. 号下含有未知函数则称这样的关系式为积分方程
如 : y = e + ∫ y( t )dt , 就是一个简单的积分方程 .
0
x
≤ L ∫ n (ξ ) n 1 (ξ ) dξ
x0
x
MLn ≤ n!
MLn n (ξ x0 ) dξ = ( x x0 ) n +1 , ∫x0 (n + 1)!
x
17
常微分方程
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于是由数学归纳法得知,对所有正整数有于是由数学归纳法得知对所有正整数n,有对所有正整数
则 (x, y)在上于满 Lipschitz条 . f R 关 y 足件 f (x, y1) f (x, y2 ) = f y (x, y2 +θ ( y1 y2 )) y1 y2 ≤ L y1 y2
2
常微分方程
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b (2) 定理中h = min{a , }的几何意义 M 在矩形R中有 f ( x , y ) ≤ M ,
故初值问题(2.1)的解曲线的斜率必介于 M 与M 之间,
过点( x0 , y0 )分别作斜率为 M 和M的直线,
b 当M ≤ 时(如图(a ) a 所示 ), 解y = ( x )在 x0 a ≤ x ≤ x0 + a 中有定义;
3
常微分方程
绵阳师范学院
b 而当M > 时(如图(b)所示), 不能保证解y = ( x )在 a x0 a ≤ x ≤ x0 + a中有定义;它有可能在区间内跑到矩形 b b R外去, 使得无意义, 只有当x0 ≤ x ≤ x0 + 时, 才能保 M M 证解y = ( x )在R内.

《2.2.3 解的存在性与唯一性》教案1

《2.2.3 解的存在性与唯一性》教案1教学目标1、理解二元一次方程整数解存在的条件2、掌握二元一次方程整数解的求法教学重难点学会掌握解的存在性和唯一性教学过程一、知识回顾1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。

即如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解，显然a,b 互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1, 5x －2y=7, 9x+3y=6都有整数解。

反过来也成立，方程9x+3y=10和 4x －2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。

一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。

2二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。

k 叫做参变数。

方法一：整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x=5111y -=y y y y 2515101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y=1－5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k －2(1－5k)=11k －2∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=ky k x 51211（k 是整数）方法二：公式法：设ax+by=c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 3、求二元一次方程的正整数解：i.求出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值 ii. 用观察法直接写出。

二、例题辨析例1、我们知道方程2312x y +=有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解。

例：由2312x y +=，得1222433x y x -==-，（x 、y 为正整数） 01220x x >⎧∴⎨->⎩ 则有06x <<. 又243y x =-为正整数，则23x 为正整数. 由2与3互质，可知：x 为3的倍数，从而3x =，代入2423y x =-=. 2312x y ∴+=的正整数解为32x y =⎧⎨=⎩ 问题：（1）请你写出方程25x y +=的一组正整数解：（2）若62x -为自然数，则满足条件的x 值有个 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？变式练习：求方程的正整数解：5x+7y=87；例2、求方程5x+6y=100的正整数解变式练习：求11x+15y=7的整数解．例3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？。

解的存在唯一性定理

一阶微分方程解的存在性定理的其它证明方法姜旭东摘要本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.关键词一阶微分方程不动点定理解的存在性唯一性 1、引言微分方程来源于生活实际，研究微分方程的目的在于掌握它所反映的客观规律。

在文[1]第二章里,介绍了能用初等解法求解的一阶方程的若干类型,但同时指出,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求解它的通解,而实际问题需要的往往是要求满足某种初始条件的解. 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解的存在唯一性定理的其它几种证法.考虑一阶微分方程 (,)dyf x y dx= (1.1)这里(,)f x y 是在矩形区域00:||,||R x x a y y b -≤-≤ (1.2)上的连续函数.函数(,)f x y 在R 上满足Lipschitz 条件，即存在常数L ＞0，使得不等式1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤- (1.3)对所有12(,),(,)x y x y R ∈都成立, L 称为Lipschitz 常数。

定理1.1、如果(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足Lipschitz 条件，则方程(1.1)存在唯一的解()y x ϕ=,定义于区间0||x x h -≤上,连续且满足初始条件00()x y ϕ=这里min(,)bh a M=,(,)max |(,)|x y R M f x y ∈=.文[1]中采用皮卡逐步逼近法来证明这个定理.为了简单起见,只就区间00x x x h≤≤+来讨论,对于00x h x x -≤≤的讨论完全一样.分五个命题来证明这个定理:命题1、设()y x ϕ=是方程(1.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初始条件00()x y ϕ=的解,则()y x ϕ=是积分方程0(,)xx y y f x y dx =+⎰ 00x x x h ≤≤+ (1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然. 现在取00()x y ϕ=,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:0000100()()(,())x nn x x y x y f d x x x hϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰ (1.5)(n=1,2,…)命题2 、对于所有的n ，(1.5)中()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、且满足不等式0|()|n x y b ϕ-≤命题3 、函数序列{}()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的. 命题4 、()x ϕ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.命题5 、()x ψ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的一个连续解，则()()x x ϕψ=，00x x x h ≤≤+.综合命题1—5，即得到存在唯一性定理.本文在方程(1.1)在满足定理1.1条件下,应用应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.2、预备知识定义 2.1、定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =,如果存在数M ＞0，使得对任一f F ∈，都有()f t M ≤，当t αβ≤≤时，则称函数族F 在t αβ≤≤上是一致有界的.定义2.2 、定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =，如果对于任给的ε﹥0，总存在δ﹥0，使得对任一f F ∈和任意的12,[,]t t αβ∈，只要12|,|t t -＜δ就有12()()f t f t -＜ε则称函数族F 在 t αβ≤≤上是同等连续.定义2.3、设X 是度量空间，M 是X 中子集，若M 是X 中紧集，则称M 是X 中相对紧集。

人教版B版高中数学选修4-2：二元一次方程组的矩阵解法_课件1

5 41
4
7
41
, A1B

41

3 41

5 41
4
41 3
41

11

9

1

2

,
所以原方程的一组解为x=1，y=2。
（2）
A

5 2
1 13
Det(A)=65-2=63,所以（1）有解，
13
由这一定理，我们可以推出这样一个结论：矩阵方程AX=B有唯一解的前提是二阶矩阵 A可逆。
二元一次方程组矩阵解法的步骤：第一步，求出矩阵的行列式；
第二步，判定矩阵方程解的存在性，若行列式等于0，则方程无解；若行列式不等于0，则方程有解，继续求解A的逆矩阵；第三步，求出A-1B，即得出二元一次方程组的解。
二元一次方程组的矩阵解法
课标解了解二阶行列式的定义，会用二读阶行列式求解矩阵。
知识回顾：请将下面的二元一次方程组用矩阵的形式表示出来：
x+y=12,
x-y=29.
解：由矩阵与向量乘法的关系，可以将上述方程组表示成如下形式：
1 1 x 12
1
1

y

A

3 3
2
1

求点P的坐标。
解：本题中，实际上是已知Y=AX中的A和Y，要求X。
3 2
A

3
1

Det(A)=3×1-3×（-2）=9,
1
A1

9

1 3
2

人教版B版高中数学选修4-2：几类特殊的矩阵变换_课件2

0
k

来表示。
例如：在平面直角坐标系中，以（ 0 ， 0 ），（ 0 ，
1 ），（ 1 ， 0 ），（ 1 ， 1 ）四点为顶点的正
方形，在矩阵

2 0
0 2

的作用下的象是什么？
解：在这一变换中，正方形的四个顶点的象分别为（ 0 ， 0 ），（ 0 ， 2 ），（ 2 ， 0 ），（ 2 ， 2 ），所以原来的正方形变换成为一个以（ 0 ， 0 ），（ 0 ， 2 ），（ 2 ， 0 ），（ 2 ， 2 ）为顶点、边长为2的正方形。
0 0

01 几类特的矩阵变换学习目标1.理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换。 2.掌握恒等、反射、伸压、旋转、投影变换的矩阵表示。 3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，并知道二阶矩阵对应的变换往往将直线变成直线。
知识导入
在学习平面几何知识的过程中，我们接触了平移、旋转、对称、伸缩等变换，这些变换都具有非常鲜明的特点。事实上矩阵中也存在类似的变换，主要包括恒等变换、反射变换、伸压变换、旋转变换、投影变换，等等。下面我们一起来认识一下。
旋转变换的矩阵特征
旋转变换可以用二阶来表示。
矩阵
cos sin
sin
cos

如：点（1，1）在矩阵
cos sin

2

2
sin
2
cos
2

作用下
的象为（-1，1），即为点（1，1）围绕原点按逆时针方向旋转90度所得点的坐标。
1 02 2

0
1
1

人教版B版高中数学选修4-2(B版)解的存在性与唯一性

而且: x1(t0 ) x(t0 ) 1, x2 (t0 ) x' (t0 ) 2 , , xn (t0 ) x(n1) (t0 ) n
即方程(5.6)可化为
0
1

0
0
x'

0
0

an (t) an1(t)

1
上可积的函数矩阵和向量,则易验证有下面的性质
10 AB A B ,
Ax A x ,
20 A B A B ,
xy x y ,
30
b
b
x(s)ds x(s) ds,
a
a
b
b
A(s)ds A(s) ds,
a
a
(a b).
(4 ) 向量或矩阵序列的敛散性 10 向量序列{xk }, xk (x1k , x2k , , xnk )T 称为收敛的,如果

是收敛的,则称 Ak是收敛的.

k 1

Ak是收敛
a(k ij
)收敛,
i,
j
1,
2,
, n.
k 1
k 1
如果对每一整数k , 都有
Ak Mk ,

而
M
收敛,
k
则 Ak收敛.
k 1
k 1

同样可给出函数矩阵级数 Ak (t)一致收敛定义和有关结果.
k 1
3 一阶线性微分方程组的向量表示
上是收敛 (一致收敛). 20 设 xk (t)是函数向量级数,如果部分和所组成的函 k 1
数向量序列在a t b收敛 (一致收敛),

《2.2.3圆锥面及其内切球》课件2-优质公开课-人教B版选修4-1精品

由以上分析可知，圆锥面与内切球的交线是一个圆，并且该圆所在平面垂直于该圆锥面的轴线.
例已知一圆锥面S，其轴为Sx，一平面不过顶点S 并且与圆锥面S的轴线相交于点M(如图).求证存在 . 圆锥面的内切球与平面相切
证明：过顶点S作直线垂直平面与点H，则平面 SMH垂直于平面，MH为这两个平面的交线.由于平面SMH过圆锥面的轴线Sx，所以圆锥面S关于这个平面成镜面对称.设平面SMH和锥面分别相交于母线SA，SB，则A，B在直线MH上. 作∠SBM的平分线交轴线Sx与点O，作OF1⊥AB与 F1，以O为球心，OF1为球的半径作球O，则球O与平面相切于点F1. 由于BO是∠SBM的平分线，所以点O到SB的距离等于球O的半径，因此球O与母线SB相切. 因为圆锥的所有母线与其轴线的夹角相等，所以球 O与所有的母线相切.
S1
Q1 F1 F2
S2
P
Q2
当时,由上面的讨论可知 , 图3 11 平面与圆锥的交线是一个封闭曲线 .设两个球与平面的切点分别为 F1、F2 , 与圆锥相切于圆 S1、S2 .
在截口的曲线上任取一点 P, 连接 PF1、PF2 .过 P 作母线交 S Q S1 于 Q1 , 交 S2于Q2 , 于是 PF1和 F PQ1是从 P到上方球的两条切 F P S 线,因此 PF1 PQ1 . Q 同理, PF2 PQ2.所以 PF1 PF2 PQ1 PQ2 Q1Q2 . 图3 11 由正圆锥的对称性 , Q1Q2长度等于两圆 S1、S 2 所在平行平面间的母线段的长度, 与点 P的位置无关 .由此可知截口的曲线是以 F1、F2为焦点的椭圆 .
都相交时, 设l与 AB(或 AB的延长线)交于 E , 与 AC 交于F .因为是 AEP 的外角 , 所以必然有 ; 反之, 当时, l与AB(或AB的延长线)、AC 都相交.

《2.2.3 解的存在性与唯一性》教案3

《2.2.3 解的存在性与唯一性》教案3教学目标1使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用2使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性3是学生判断解的存在性和唯一性重点与难点重点：能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系；难点：如何判断解的存在性和唯一性教学过程1．列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的（）2．一般来说，有几个未知量就必须列几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是（）量（2）同类量的单位要（）（3）方程两边的数值要相符。

3．列方程组解应用题要注意检验和作答，检验不仅要求所得的解是否（），更重要的是要检验所求得的结果是否（）4．一个笼中装有鸡兔若干只，从上面看共42个头，从下面看共有132只脚，则鸡有（），兔有（）新课探究问题：1 题中有哪些已知量？哪些未知量？2 题中等量关系有哪些？3如何解这个应用题？本题的等量关系是（1）（）（2）（）解：设平均每只母牛和每只小牛1天各需用饲料为xkg和ykg根据题意列方程，得解这个方程组得答：每只母牛和每只小牛1天各需用饲料为（）和（），饲料员李大叔估计每天母牛需用饲料18—20千克，每只小牛一天需用7到8千克与计算（）出入。

（“有”或“没有”）练一练：1、某所中学现在有学生4200人，计划一年后初中在样生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校学生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少人？2、有大小两辆货车，两辆大车与3辆小车一次可以支货15。

50吨，5辆大车与6辆小车一次可以支货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？3、某工厂第一车间比第二车间人数的54少30人，如果从第二车间调出10人到第一车间，则第一车间的人数是第二车间的43，问这两车间原有多少人？4、某运输队送一批货物，计划20天完成，实际每天多运送5吨，结果不但提前2天完成任务并多运了10吨，求这批货物有多少吨？原计划每天运输多少吨？小结用方程组解应用题的一般步骤是什么？方程组解的存在与否？。

常微分方程22解的存在唯一性定理省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

L 称为利普希兹常数。
§2.2 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
二、存在唯一性定理定理1
dy f (x, y).........(3.1.1) dx R : x x0 a, y y0 b
假如 f(x,y) 在 R 上连续且有关 y 满足利普希兹条件,
k (x) k1 (x)
MLk 1 k!
hk
(3.1.14)
(3.1.14)旳右端是正项收敛级数 MLk1 hk 旳一般项，
k 1
k!
由维尔斯特拉斯(Weierstrass)鉴别法(简称维氏鉴别法),
级数(3.1.11) 在 x0 x x0 h 上一致收敛,
因而序列 n (x) 也在 x0 x x0 h 上一致收敛。
由数学归纳法得知命题２对于全部 n 均成立。命题２证毕
命题３函数序列 n (x)在 x0 x x0 h上是一致收敛旳。
考虑级数:
0 (x) [k (x) k1(x)] k 1
x0 x x0 h
(3.1.11)
n
它旳部分和为：0 (x) [ k (x) k1 (x)] n (x) k 1
x
为此，从 0 (x) y0 n (x) y0 x0 f ( , n1 ( )d ) (n 1)
x
(x) y0 x0 f ( , ( ))d
进行如下旳估计
x
0 (x) (x) x0 f ( , ( )) d M (x x0 )
上旳连续解。
命题4 证毕
§2.2 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method

高中数学方程组解的存在性和唯一性

高中数学方程组解的存在性和唯一性方程组是数学中的重要概念，它是由多个方程组成的一组等式。

解方程组是数学学习中的基本内容，它涉及到方程组解的存在性和唯一性。

在本文中，我将重点讨论高中数学中方程组解的存在性和唯一性，并通过具体的题目举例，说明解题的关键。

一、方程组解的存在性方程组的解存在性指的是方程组是否有解。

对于一个方程组而言，它可能有唯一解、无解或无穷多解三种情况。

1. 唯一解的情况当方程组的方程个数等于未知数的个数，并且方程组的系数矩阵满秩时，方程组有唯一解。

例如，考虑下面的方程组：$$\begin{cases}2x + 3y = 7 \\4x + 5y = 11 \\\end{cases}$$通过高斯消元法，我们可以得到增广矩阵：$$\begin{bmatrix}2 &3 & 7 \\4 &5 & 11 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{R_2-2R_1}\begin{bmatrix}2 &3 & 7 \\0 & -1 & -3 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{R_1+\frac{3}{2}R_2} \begin{bmatrix}2 & 0 & \frac{1}{2} \\0 & -1 & -3 \\\end{bmatrix}$$最终得到方程组的解：$$\begin{cases}x = \frac{1}{2} \\y = 3 \\\end{cases}$$由此可见，该方程组有唯一解。

2. 无解的情况当方程组的方程个数大于未知数的个数，并且方程组的系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方程组无解。

例如，考虑下面的方程组：$$\begin{cases}2x + 3y = 7 \\4x + 6y = 11 \\\end{cases}$$通过高斯消元法，我们可以得到增广矩阵：$$\begin{bmatrix}2 &3 & 7 \\4 & 6 & 11 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{R_2-2R_1}\begin{bmatrix}2 &3 & 7 \\0 & 0 & -3 \\\end{bmatrix}$$由此可见，该方程组无解。

线性方程组解的存在性与唯一性分析

线性方程组解的存在性与唯一性分析线性方程组解的存在性与唯一性是线性代数中重要的概念。

在本篇文章中，我们将分析线性方程组解的存在性与唯一性，并探讨解的个数与线性方程组的特征之间的关系。

首先，我们来定义线性方程组的概念。

一个线性方程组是由若干个线性方程组成的，这些方程的未知数是相同的。

一个常见的线性方程组可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为系数，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，b₁, b₂, ..., bₙ为常数项。

现在来讨论线性方程组解的存在性与唯一性问题。

线性方程组解的存在性指的是是否存在至少一组解可以满足所有的方程。

线性方程组解的唯一性指的是是否有且只有一组解满足所有的方程。

1. 解的存在性：对于一个线性方程组，解的存在性由方程组的增广矩阵的行简化阶梯形来判断。

行简化阶梯形是将矩阵按行变换的方式化为一种特殊形式，使得每个非零行的首个非零元素（称为主元）出现在上一行主元的右下方。

如果方程组的增广矩阵的行简化阶梯形中，最后一行的非零元素与前面行的主元所在的列不重复，那么线性方程组无解；如果最后一行所有的元素都是0，并且每个主元所在的列都只有一个非零元素，则线性方程组有解；否则，线性方程组解的存在性不能确定，需进一步化简。

2. 解的唯一性：对于一个线性方程组，解的唯一性与方程组的系数矩阵的秩有关。

系数矩阵的秩是指矩阵经过行变换得到的行简化阶梯形矩阵中非零行的个数。

如果系数矩阵的秩等于未知数的个数，那么线性方程组有唯一解；如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，那么线性方程组有无穷多个解；如果系数矩阵的秩小于未知数的个数且有自由变量存在，那么线性方程组有无穷多个解。

在求解线性方程组时，可以利用高斯消元法或矩阵的逆来求解。

线性代数 4-2线性方程组解的存在性定理 PPT精品课件

性方
⑷ 若A为n阶方阵，则 AX 有非零解 A 0.
程
组
第二节线性方程组解的存在定理
例1判定下列方程组是否有解？
x1 x2 3 x3 1
第四章

2 x1 x1
x2 x2

2x3 1 x3 3
线性
x1 2 x2 3 x3 1
程
组

ar1 x1 ar 2 x2 arr xr br ar,r1 xr1 ar n xn
此方程组左端系数行列式不为零，由克莱姆法则：
对任意的 xr1, xr2, , xn 的一组值，都可唯一解出 x1, x2 , , xr
方
程
组
-8-
第二节线性方程组解的存在定理
例2 若线性方程组
第四章线
1 2 1 x1 1 2 3 a 2 x2 3 1 a 2 x3 0
性
方程
无解, 则 a ____ .
组
-9-
-4-
第二节线性方程组解的存在定理
x1 q1 c11 xr1 c12 xr2 c1,nr xn
x2 q2 c21 xr1 c22 xr2 c2,nr xn

第四
xr qn cr1 xr1 cr 2 xr2 ar ,nr xn
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
第

a21x1
a22 x2 a2n xn 0
⑵
四章
am1 x1 am2 x2 amn xn 0

人教B版高中数学选修4-2课件 2.2.3 解的存在性与唯一性课件1

2
y 4
解得
x
3 2 。求a+b的值
y 3
例题2：
ax by 2 解方程组 cx 7y 8 时，甲同学正确地
解得x 3 ，乙同学因把c看错而解得的解 y 2
x 2 为y 2 ，求a、b、c的值。
例题1：
已知关于x、y的二元一次方程组
3x 4y 7 2ax 3y 2 的解中x与y的
有相同的解，求m、n的值。
例题：已知关于m、n的二元一次方程组
am bn c dm en f
的解为
m 3 n 1
求
a(x d(x -
y) b(x y) e(x
y) y)
c f
的解
。
练习：已知关于m、n二元一次方程组
2m 3n 3m 5n
7 1
的解为nm21
求
2(x 3(x
a2 b2 c2
方程组有无数多解。（∵两个方程等效）
2、当
a1 b1 c1 a2 b2 c2
时
Байду номын сангаас
方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）
3、当
a1 b1
a2
b2
时方程组有唯一的解
练习1：下列方程组中，只有一组解（C ）
（A）3xxy3y1 0
（B）3xxy3y
0
3
（C）3xxy3y1 3 （D）3xxy3y1 3
值相等，求a的值。
练习：
已知关于x、y的二元一次方程组
2x 3y k 3x 5y k 1的解中x与y的值
互为相反数，求k的值。
练习：
已知关于x、y的二元一次方程组
3x 2y k 2x 3y k 4

《2.2.3 解的存在性与唯一性》教案2

《2.2.3 解的存在性与唯一性》教案2教学目标1.理解二元一次方程组的解的三种情况2.会判断二元一次方程组的解的情况3.通过引导，以及学生之间的合作交流，让学生学会对知识进行归纳总结，从而激发学生自主学习的兴趣。

重点难点重点：二元一次方程组的解的三种情况；会判断二元一次方程组的解的情况难点：理解二元一次方程组解的情况的判定方法教学过程一、复习引入：什么叫做方程的解？能使方程两边相等的未知数的取值。

如02=-x 的解是2=x 思考：是不是所有的一元一次方程都是只有一个解呢？解下列一元一次方程（1）122+=-x x （2）12+=-x x （3）)1(222+=+x x 解：122+=-x x 解：12+=-x x 解：2222+=+x x3=x 30= 00=有唯一解无解有无穷多解结论：并不是所有的一元一次方程都是只有一个解。

有的可能没有解，可能只有一个解，也有的有无数个解。

那二元一次方程组的解又有几种情况呢？（引入课题：二元一次方程组的解的情况）二、新课讲解先让学生计算下列三个题：（1）⎩⎨⎧=-=+9321752y x y x （2）⎩⎨⎧=+-=-56223y x y x （3）⎩⎨⎧-=+-=-46223y x y x 解得：⎩⎨⎧==16y x ①×2+②得0=9 ①×2+②得：0=0 让学生根据前面一元一次方程的解的情况，讨论出上述三个方程组的解的情况：① ② ① ②（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解从而得出二元一次方程组的解也有三种情况。

下面让学生小组讨论：分别在什么样的情况下方程组有唯一解、无解、有无数个解？（在学生讨论时教师给予提示：注意观察上述三个方程组中，每个方程组中的对应未知数的系数之间的关系。

必要时把它们乘一乘或者除一除。

）（1）中3522-≠ （2）中526321≠-=- （3）中426321-=-=- （注：在（2）、（3）两个方程组中也要注意观察方程中个常数项的关系）由上我们可以猜想：若方程组中y x ,两个未知数的系数比不相等，则方程组有唯一解；若方程组中y x ,两个未知数的系数比相等但与常数项的比值不等，则方程组无解；若方程组中y x ,两个未知数的系数比以及常数项的比值都相等，则方程组有无穷多解。

方程的解的存在与唯一性的讲解

方程的解的存在与唯一性的讲解知识点：方程的解的存在与唯一性方程是数学中非常重要的工具，解方程就是找到满足等式关系的未知数的值。

在实际问题中，解的存在与唯一性是确保问题得到正确解答的关键。

本节内容将讲解方程的解的存在与唯一性。

二、方程解的存在性1.定义：如果一个方程有解，那么这个解就是方程的解。

2.解的存在性：一个方程至少有一个解。

3.判定方法：(1)对于一元一次方程，一定有解。

(2)对于一元二次方程，当判别式大于等于0时，方程有解。

(3)对于多项式方程，如果方程的次数为n，那么方程最多有n个解。

三、方程解的唯一性1.定义：如果一个方程只有一个解，那么这个解就是方程的唯一解。

2.解的唯一性：一个方程的解是唯一的。

3.判定方法：(1)对于一元一次方程，方程的解是唯一的。

(2)对于一元二次方程，当判别式等于0时，方程有唯一解。

(3)对于多项式方程，如果方程的次数为n，那么方程至多有n个解。

四、方程解的存在性与唯一性1.存在性与唯一性的关系：一个方程的解既存在又唯一。

2.判定方法：(1)对于一元一次方程，一定存在且唯一。

(2)对于一元二次方程，当判别式等于0时，存在且唯一。

(3)对于多项式方程，如果方程的次数为n，那么方程最多有n个解，但不一定唯一。

本节内容讲解了方程的解的存在性与唯一性。

解的存在性指的是方程至少有一个解，而解的唯一性指的是方程的解是唯一的。

对于一元一次方程和一元二次方程，解的存在性与唯一性可以分别通过判定方法得出。

对于多项式方程，解的存在性可以通过判定方法得出，但解的唯一性需要进一步分析。

希望同学们通过本节内容的学习，能够更好地理解和掌握方程的解的存在性与唯一性。

习题及方法：1.习题：解方程 2x + 3 = 7。

答案：x = 2解题思路：将方程两边同时减去3，得到2x = 4，再将两边同时除以2，得到x = 2。

2.习题：判断方程 x^2 - 4 = 0 的解的存在性。

解题思路：根据判别式 b^2 - 4ac = (-4)^2 - 410 = 16 > 0，所以方程有解。